Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.1 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1078820 1078754 2026-05-06T16:58:31Z Bert Niehaus 20843 /* Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen */ 1078820 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegral über Vierecke/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsystem|b-adische Stellenwertsystem - Exkurs]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> lnxvnyctgl9bct3snxvqukxq0xf8dzh 1078851 1078820 2026-05-07T09:43:17Z Bert Niehaus 20843 /* Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen */ 1078851 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegral über Vierecke/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 1khi2szjvft1t4yh5y0du4j11qa88p1 1078867 1078851 2026-05-07T11:07:36Z Bert Niehaus 20843 /* Integrale über Polygone */ 1078867 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 3wuspo1gxa7le0ewgdv9iynhbwdo4p4 1078877 1078867 2026-05-07T11:31:42Z Bert Niehaus 20843 /* Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen */ 1078877 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> dh3ixha943w044rcetkhukc0x9zmgek 1078878 1078877 2026-05-07T11:33:48Z Bert Niehaus 20843 /* Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen */ 1078878 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 8s64jft7ev5c56clwtycyhl0mkyhvlm 106 71635 1078782 1078773 2026-05-06T12:03:58Z Falko Wilms 8588 /* Worum geht es bei der Thematik? */ 1078782 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||350px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Sommersemester 2026</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''Einführung in das Geschäftsprozessmanagement'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms ''mit Anwesenheitspflicht'' </span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;"><big>'''Umgang mit KI'''</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:blue;">'''zum Einsatz von KI-Tools''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:blue;">'''Dialog mit einem Chatbot''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Chatbot_als_Tutor| <span style="color:blue;">'''Chatbot als pers. Tutor''']] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Tipps</big>'''</div> *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheitspflicht|<span style="color:green;">'''<big>Anwesenheitspflicht</big>''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation]] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading Tipps zum schnellen Lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [http://www.falko-wilms.de/HL/s.pdf <span style="color:green;"><small>'''Studien-Basics''' (geschützt für m''ich'')</small>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''<span style="color:green;">Tipps für's Studieren</span>''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Verständlichkeit|<span style="color:red;">Verständlich formulieren]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] '''|''' [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==Worum geht es bei der Thematik?== Insbesondere in der mittelständischen Wirtschaft sind vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk exzellente Geschäftsprozesse der zentrale Erfolgsfaktor. Geschäftsprozessmanagement (GPM) liefert hierfür das Instrumentarium, um arbeitsteilige Wertschöpfungsketten unter den organisationalen Bedingungen systematisch zu planen, zu steuern und zu optimieren. Ziel ist die Verbindung von Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. Angesichts von Fachkräftemangel und Digitalisierungsdruck ist immer wieder abteilungsübergreifend trotz konkurrierender Ziele (z. B. Kostensenkung und Qualitätserhöhung) gut argumentierbare Lösungen zu finden. Wer bei der methodischen Lösungsfindung alle Stakeholder einbindet und die organisatorischen Rahmenbedingungen passend gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort. ==Lehrender== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV])<br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Prozessmanagement" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">Ausgangspunkte== <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ein eindeutiges Ergebnis''': # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. </span><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ebenso: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [[https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [[https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==<span style="color:grey;">Unterlagen für die asynchrone akademische Lehre== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#D9D9D9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blac;">'''Skripte''' zum asynchronen Lernen</div> * [https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EfA236TxfLpCk_kWc27eoeYBOWYLzfvuh2nE6Nz7NVzR9A?e=rXtbB3 <span style="color:grey;">Das Nugget-Chart] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EVUwGRf1-eNHnyiTkf9IYd0BQbaGdfKX3yG4-HutNCaKMw?e=cpQPdm <span style="color:grey;">St.Galler Management-Modell] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EQOExLN2mgpKi7ui6lhr-mYBNc1CnTHIhRs2SqV4bFrTBw?e=CxKgQx <span style="color:grey;">Geschäftsprozessmanagement] ------------ </div> <span style="color:grey;">Asynchrones Lernen meint, ohne Hilfe anderer (Lehr)Personen verfügbare Informations-Materialien zu nutzten, um sich eigenständig neues Wissen anzueignen. Dieser Kompetenzerwerb ist fester Bestandteil eines akademischen Studiums und bereitet auf das "Lebenslange Lernen" vor.<br><br> '''Bereitgestellte Materialien für die asynchrone Lehre:''' # <span style="color:grey;">ein traditioneller Foliensatz im PDF-Format # <span style="color:grey;">Lehrskripte zu verschiedenen Themen # <span style="color:grey;">ein elektronischer Semesterapparat mit eBooks # <span style="color:grey;">diese Wikiversity-Kursseite mit vielen links<br> <span style="color:grey;">'''Literatur:''' * <span style="color:grey;">Konrad, K. (2003): Wege zum selbstgesteuerten Lernen. Vom Konzept zur Umsetzung. In: Pädagogik 5/2003, S. 14 – 17. * <span style="color:grey;">Landwehr, N./Müller, E. (2006): Begleitetes Selbststudium, Bern. ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. ==<big>Themen</big>== geplante Themenfolge, von der nach Bedarf abgewichen derden kann: * <span style="color:blue;"> Einführung * <span style="color:blue;"> Prozessmanagement im Unternehmen * <span style="color:blue;"> Referenzmodelle | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=rGwM7ECpaFw Referenzmodelle] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozesse | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=3b-j3ZsLGKI Geschäftsprozesse] * <span style="color:blue;"> Business Process Management Life Cycle * <span style="color:blue;"> Gestaltung und Dokumentation von Geschäftsprozessen * <span style="color:blue;"> Prozesslandkarte | podcasts: Prozesslandkarte [https://www.youtube.com/watch?v=NerreGedHvA Prozesslandkarte], [https://www.youtube.com/watch?v=Ikuh4vwermQ Prozesslandkarte erstellen] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozessmodell * <span style="color:blue;"> Prozesscontrolling, Methoden der Prozessoptimierung * <span style="color:blue;"> Prozessführung: Performance Indicators<br><br> ==<span style="color:green;">Selbststudium am 13.06.2026== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#29B335;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:green;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:green;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:green;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:green;"> Template zur Verschriftlichung</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">Feedback-Bogen] -------------- </div> <span style="color:green;">Im Selbststudium übernehmen die Studierenden die individuelle Verantwortung für das Erringen von eigenen Lernfortschritte. Dies erfordert Disziplin und Selbstmotivation, die im Berufsalltag beim "lebenslangen Lernen" unbedingt benötigt werden. <span style="color:green;">Das in diesem Kurs erforderliche Selbststudiums durchläuft folgende Arbeitsphasen: * <span style="color:green;">die besprochenen Folien des Folienskriptes durcharbeiten * <span style="color:green;">in 5er-Gruppen ein gemeinsames Verständnis des Fachinhaltes erzielen * <span style="color:green;">in der Gruppe ein dazu passendes [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">'''Nugget-Chart'''</span>] <span style="color:green;"> </span> erstellen * <span style="color:green;">das erstellte Gruppen-Chart zum nächsten Treffen in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=764189 <span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] hochgeladen * <span style="color:green;">von jeder teilnehmenden Person des Kurses sind mindestesn 3 Gruppencharts hochzuladen. <br> <span style="color:green;">Wer darüber hinaus Vorarbeiten für seine eigene Seminararbeit ausführen möchte, tut erfahrungsgemäß gut daran * <span style="color:green;">das Gruppen-Chart in einem Text mit 5-Absätzen zu verschriftlichen * <span style="color:green;">abschließend(!) aus dem erstellten Text einen header zu entwicklen und ihn an den Textanfang zu platzieren * <span style="color:green;">die aktuielle Version des Textes mit dem [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">'''Feedback-Bogen'''] zu überarbeiten * <span style="color:green;">ein Feedback vom überarbeiteten Text einhzuholen ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#FF0000;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Unterlagen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Muster.pdf <span style="color:red;"> guter Text </span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|<span style="color:red;"> '''bessere Texte schreiben''']] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> Benotungskriterien</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">'''Template'''] -------------- </div> <span style="color:red;"> Zunächst üben die Studentinnen und Studenten * <span style="color:red;"> in Kleingruppen mehrmals(!) die Erstellung eines Nugget-Charts über das Thema des letzten Treffens * <span style="color:red;"> alleine mehrmals(!) das Verschriftlichen eines erstellten Nugget-Charts mit der Benutzung mindestens einer Eingabe (promt) in mindestens einem KI-Tool <span style="color:red;"> Dann verschriftlichen Studentinnen und Studenten in dem erforderlichen Template mit der Unterstütztung eines KI-Tools und legen ihre individuelle Prüfungsleistung in den ILIAs-Ordner '''Prüfungsleistungen''' ab * <span style="color:red;"> Spätester Abgabetermin: <big>23.06.2026 um 23:59 Uhr Uhr</big><br> <span style="color:red;">'''Voraussetzungen für die Benotung einer Prüfungsleistung:''' *<span style="color:red;"> Die Autorin/der Autor hat ein persönliches Kurslogbuch abgegebenen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit macht die benutzten KI-Tool und deren Promts in einer Liste kenntlich<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit ist rechtzeitig eingetroffen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit trägt im Kopf den Namen der Autorin bzw. des Autors<br> == Siehe auch == {|style="width:80%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozessmodellierung Geschäftsprozessmodellierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozess Prozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesskostenrechnung Prozesskostenrechnung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesslandkarte Prozesslandkarte] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessoptimierung Prozessoptimierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessstruktur Prozessstruktur] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Referenzmodell Referenzmodell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertsch%C3%B6pfungsprozess Wertschöpfungsprozess] |} == Empfohlene Fachliteratur == * [https://www.amazon.de/End-End-Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement-Organisationselement-Integrationsinstrument-Managementansatz/dp/370910839X Bergsmann, St. (2012): End-to-End-Geschäftsprozessmanagement, Organisationselement, Integrationsinstrument, Managementansatz, Springer: Wien/New York]; ISBN 978-3709108390 * [https://www.amazon.de/-/en/Marlon-Dumas/dp/3662587351/ref=sr_1_1?crid=3BYRBW6TRL7Z6&keywords=Grundlagen+des+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagements&qid=1674822625&s=books&sprefix=grundlagen+des+gesch%C3%A4ftsprozessmanagements%2Cstripbooks%2C101&sr=1-1 Dumas, M./La Rosa, M./Mendling, J./Reijers, H. A. (2021): Grundlagen des Geschäftsprozessmanagementsagel ]; ISBN 978-3662587355 * [https://www.amazon.de/Andreas-Gadatsch/dp/3658278110/ref=pd_rhf_d_se_s_pd_crcd_sccl_1_2/262-2030807-9113000?pd_rd_w=uCoNA&content-id=amzn1.sym.21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_p=21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_r=6HEM33MJ7GWNT1XCE3HX&pd_rd_wg=XKr1h&pd_rd_r=329d1a8b-acf2-4007-be57-ab0f801d3f2a&pd_rd_i=3658278110&psc=1 Gadatsch, A. (2020): Grundkurs Geschäftsprozess-Management. Analyse, Modellierung, Optimierung und Controlling von Prozessen, 9., akt. u. erw. Aufl., SpringerGabler: Wiesbaden]; ISBN 978-3658278113 * [https://www.amazon.de/-/en/Hermann-J-Schmelzer/dp/3446446257/ref=sr_1_1?crid=2X93WCJICAOG7&keywords=Schmelzer%2C+H.+J.%3B+Sesselmann%2C+W.+%282020%29%3A+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+Praxis.&qid=1674822854&s=books&sprefix=schmelzer+h.+j.+sesselmann+w.+2020+gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+praxis.+%2Cstripbooks%2C108&sr=1-1 Schmelzer, H. J.; Sesselmann, W. (2020): Geschäftsprozessmanagement in der Praxis. Kunden zufrieden stellen, Produktivität Steigern, Wert erhöhen, 9. vollst. überarb. Aufl., Hanser: München]; ISBN 978-3446446250 [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] dsmr0rfm2d0wf2zp6cuv6dm53hkjzs6 1078783 1078782 2026-05-06T13:27:18Z Falko Wilms 8588 /* Selbststudium am 13.06.2026 */ 1078783 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||350px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Sommersemester 2026</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''Einführung in das Geschäftsprozessmanagement'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms ''mit Anwesenheitspflicht'' </span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;"><big>'''Umgang mit KI'''</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:blue;">'''zum Einsatz von KI-Tools''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:blue;">'''Dialog mit einem Chatbot''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Chatbot_als_Tutor| <span style="color:blue;">'''Chatbot als pers. Tutor''']] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Tipps</big>'''</div> *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheitspflicht|<span style="color:green;">'''<big>Anwesenheitspflicht</big>''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation]] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading Tipps zum schnellen Lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [http://www.falko-wilms.de/HL/s.pdf <span style="color:green;"><small>'''Studien-Basics''' (geschützt für m''ich'')</small>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''<span style="color:green;">Tipps für's Studieren</span>''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Verständlichkeit|<span style="color:red;">Verständlich formulieren]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] '''|''' [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==Worum geht es bei der Thematik?== Insbesondere in der mittelständischen Wirtschaft sind vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk exzellente Geschäftsprozesse der zentrale Erfolgsfaktor. Geschäftsprozessmanagement (GPM) liefert hierfür das Instrumentarium, um arbeitsteilige Wertschöpfungsketten unter den organisationalen Bedingungen systematisch zu planen, zu steuern und zu optimieren. Ziel ist die Verbindung von Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. Angesichts von Fachkräftemangel und Digitalisierungsdruck ist immer wieder abteilungsübergreifend trotz konkurrierender Ziele (z. B. Kostensenkung und Qualitätserhöhung) gut argumentierbare Lösungen zu finden. Wer bei der methodischen Lösungsfindung alle Stakeholder einbindet und die organisatorischen Rahmenbedingungen passend gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort. ==Lehrender== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV])<br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Prozessmanagement" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">Ausgangspunkte== <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ein eindeutiges Ergebnis''': # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. </span><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ebenso: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [[https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [[https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==<span style="color:grey;">Unterlagen für die asynchrone akademische Lehre== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#D9D9D9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blac;">'''Skripte''' zum asynchronen Lernen</div> * [https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EfA236TxfLpCk_kWc27eoeYBOWYLzfvuh2nE6Nz7NVzR9A?e=rXtbB3 <span style="color:grey;">Das Nugget-Chart] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EVUwGRf1-eNHnyiTkf9IYd0BQbaGdfKX3yG4-HutNCaKMw?e=cpQPdm <span style="color:grey;">St.Galler Management-Modell] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EQOExLN2mgpKi7ui6lhr-mYBNc1CnTHIhRs2SqV4bFrTBw?e=CxKgQx <span style="color:grey;">Geschäftsprozessmanagement] ------------ </div> <span style="color:grey;">Asynchrones Lernen meint, ohne Hilfe anderer (Lehr)Personen verfügbare Informations-Materialien zu nutzten, um sich eigenständig neues Wissen anzueignen. Dieser Kompetenzerwerb ist fester Bestandteil eines akademischen Studiums und bereitet auf das "Lebenslange Lernen" vor.<br><br> '''Bereitgestellte Materialien für die asynchrone Lehre:''' # <span style="color:grey;">ein traditioneller Foliensatz im PDF-Format # <span style="color:grey;">Lehrskripte zu verschiedenen Themen # <span style="color:grey;">ein elektronischer Semesterapparat mit eBooks # <span style="color:grey;">diese Wikiversity-Kursseite mit vielen links<br> <span style="color:grey;">'''Literatur:''' * <span style="color:grey;">Konrad, K. (2003): Wege zum selbstgesteuerten Lernen. Vom Konzept zur Umsetzung. In: Pädagogik 5/2003, S. 14 – 17. * <span style="color:grey;">Landwehr, N./Müller, E. (2006): Begleitetes Selbststudium, Bern. ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. ==<big>Themen</big>== geplante Themenfolge, von der nach Bedarf abgewichen derden kann: * <span style="color:blue;"> Einführung * <span style="color:blue;"> Prozessmanagement im Unternehmen * <span style="color:blue;"> Referenzmodelle | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=rGwM7ECpaFw Referenzmodelle] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozesse | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=3b-j3ZsLGKI Geschäftsprozesse] * <span style="color:blue;"> Business Process Management Life Cycle * <span style="color:blue;"> Gestaltung und Dokumentation von Geschäftsprozessen * <span style="color:blue;"> Prozesslandkarte | podcasts: Prozesslandkarte [https://www.youtube.com/watch?v=NerreGedHvA Prozesslandkarte], [https://www.youtube.com/watch?v=Ikuh4vwermQ Prozesslandkarte erstellen] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozessmodell * <span style="color:blue;"> Prozesscontrolling, Methoden der Prozessoptimierung * <span style="color:blue;"> Prozessführung: Performance Indicators<br><br> ==<span style="color:green;">Selbststudium am 12/13.06.2026== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#29B335;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:green;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:green;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:green;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:green;"> Template zur Verschriftlichung</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">Feedback-Bogen] -------------- </div> <span style="color:green;">Im Selbststudium übernehmen die Studierenden die individuelle Verantwortung für das Erringen von eigenen Lernfortschritte. Dies erfordert Disziplin und Selbstmotivation, die im Berufsalltag beim "lebenslangen Lernen" unbedingt benötigt werden. <span style="color:green;">Das in diesem Kurs erforderliche Selbststudiums durchläuft folgende Arbeitsphasen: * <span style="color:green;">die besprochenen Folien des Folienskriptes durcharbeiten * <span style="color:green;">in 5er-Gruppen ein gemeinsames Verständnis des Fachinhaltes erzielen * <span style="color:green;">in der Gruppe ein dazu passendes [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">'''Nugget-Chart'''</span>] <span style="color:green;"> </span> erstellen * <span style="color:green;">das erstellte Gruppen-Chart zum nächsten Treffen in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=764189 <span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] hochgeladen * <span style="color:green;">von jeder teilnehmenden Person des Kurses sind mindestesn 3 Gruppencharts hochzuladen. <br> <span style="color:green;">Wer darüber hinaus Vorarbeiten für seine eigene Seminararbeit ausführen möchte, tut erfahrungsgemäß gut daran * <span style="color:green;">das Gruppen-Chart in einem Text mit 5-Absätzen zu verschriftlichen * <span style="color:green;">abschließend(!) aus dem erstellten Text einen header zu entwicklen und ihn an den Textanfang zu platzieren * <span style="color:green;">die aktuielle Version des Textes mit dem [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">'''Feedback-Bogen'''] zu überarbeiten * <span style="color:green;">ein Feedback vom überarbeiteten Text einhzuholen ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#FF0000;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Unterlagen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Muster.pdf <span style="color:red;"> guter Text </span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|<span style="color:red;"> '''bessere Texte schreiben''']] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> Benotungskriterien</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">'''Template'''] -------------- </div> <span style="color:red;"> Zunächst üben die Studentinnen und Studenten * <span style="color:red;"> in Kleingruppen mehrmals(!) die Erstellung eines Nugget-Charts über das Thema des letzten Treffens * <span style="color:red;"> alleine mehrmals(!) das Verschriftlichen eines erstellten Nugget-Charts mit der Benutzung mindestens einer Eingabe (promt) in mindestens einem KI-Tool <span style="color:red;"> Dann verschriftlichen Studentinnen und Studenten in dem erforderlichen Template mit der Unterstütztung eines KI-Tools und legen ihre individuelle Prüfungsleistung in den ILIAs-Ordner '''Prüfungsleistungen''' ab * <span style="color:red;"> Spätester Abgabetermin: <big>23.06.2026 um 23:59 Uhr Uhr</big><br> <span style="color:red;">'''Voraussetzungen für die Benotung einer Prüfungsleistung:''' *<span style="color:red;"> Die Autorin/der Autor hat ein persönliches Kurslogbuch abgegebenen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit macht die benutzten KI-Tool und deren Promts in einer Liste kenntlich<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit ist rechtzeitig eingetroffen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit trägt im Kopf den Namen der Autorin bzw. des Autors<br> == Siehe auch == {|style="width:80%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozessmodellierung Geschäftsprozessmodellierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozess Prozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesskostenrechnung Prozesskostenrechnung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesslandkarte Prozesslandkarte] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessoptimierung Prozessoptimierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessstruktur Prozessstruktur] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Referenzmodell Referenzmodell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertsch%C3%B6pfungsprozess Wertschöpfungsprozess] |} == Empfohlene Fachliteratur == * [https://www.amazon.de/End-End-Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement-Organisationselement-Integrationsinstrument-Managementansatz/dp/370910839X Bergsmann, St. (2012): End-to-End-Geschäftsprozessmanagement, Organisationselement, Integrationsinstrument, Managementansatz, Springer: Wien/New York]; ISBN 978-3709108390 * [https://www.amazon.de/-/en/Marlon-Dumas/dp/3662587351/ref=sr_1_1?crid=3BYRBW6TRL7Z6&keywords=Grundlagen+des+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagements&qid=1674822625&s=books&sprefix=grundlagen+des+gesch%C3%A4ftsprozessmanagements%2Cstripbooks%2C101&sr=1-1 Dumas, M./La Rosa, M./Mendling, J./Reijers, H. A. (2021): Grundlagen des Geschäftsprozessmanagementsagel ]; ISBN 978-3662587355 * [https://www.amazon.de/Andreas-Gadatsch/dp/3658278110/ref=pd_rhf_d_se_s_pd_crcd_sccl_1_2/262-2030807-9113000?pd_rd_w=uCoNA&content-id=amzn1.sym.21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_p=21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_r=6HEM33MJ7GWNT1XCE3HX&pd_rd_wg=XKr1h&pd_rd_r=329d1a8b-acf2-4007-be57-ab0f801d3f2a&pd_rd_i=3658278110&psc=1 Gadatsch, A. (2020): Grundkurs Geschäftsprozess-Management. Analyse, Modellierung, Optimierung und Controlling von Prozessen, 9., akt. u. erw. Aufl., SpringerGabler: Wiesbaden]; ISBN 978-3658278113 * [https://www.amazon.de/-/en/Hermann-J-Schmelzer/dp/3446446257/ref=sr_1_1?crid=2X93WCJICAOG7&keywords=Schmelzer%2C+H.+J.%3B+Sesselmann%2C+W.+%282020%29%3A+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+Praxis.&qid=1674822854&s=books&sprefix=schmelzer+h.+j.+sesselmann+w.+2020+gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+praxis.+%2Cstripbooks%2C108&sr=1-1 Schmelzer, H. J.; Sesselmann, W. (2020): Geschäftsprozessmanagement in der Praxis. Kunden zufrieden stellen, Produktivität Steigern, Wert erhöhen, 9. vollst. überarb. Aufl., Hanser: München]; ISBN 978-3446446250 [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] l6w2g4nj6ggm41dp987uvahufrso6b2 0 84356 1078838 963821 2026-05-07T07:34:02Z Bocardodarapti 2041 1078838 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die Eigenschaft, dass eine natürliche Zahl {{math|term= a |SZ=}} eine natürliche Zahl {{math|term= b |SZ=}} {{ Stichwort/Abfrage |teilt| |msw= |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qe1upba9nxryrbbhosvrmcycyldpj09 0 97958 1078871 1009667 2026-05-07T11:19:18Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen */ 1078871 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[w:de:unendliche Reihe|unendliche Reihe]] ähnlich einer [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[w:de:Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">a</math> diese Gestalt: :<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n (x-a)^n</math> * <math display="inline">c_n</math> Koeffizienten * <math display="inline">a</math> Entwicklungspunkt der Reihe == Hauptteil und Nebenteil == Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''. == Zusammenhang Potenzreihen == Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[w:de:Polynom|Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. == Geschichte == Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[w:de:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. ==Laurent-Zerlegung== Das Prinzip der Entwicklung einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>: :<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math> :<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>. === Darstellung der Laurentreihe durch 2 holomorphe Funktionen === Seien <math>g:G \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G \rightarrow \mathbb{C}</math> zwei holomorphe Funktionen mit Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math> :<math>f(z):=g(z-z_o)+\hat{h}(z-z_o)</math> mit <math>\hat{h}(z):= h(1/z)</math> <math>g</math> und <math>h</math> sind holomorphe Funktionen auf <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math>, die sich um 0 in eine Potenzreihe in <math>G_o</math> entwickeln lassen. == Konvergenzmenge der Laurentreihe == Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert <math>\hat{h}</math> mit <math>\hat{h}(z):=h(1/z)</math> auf dem Komplement einer Kreisschreibe. === Schnittmenge von Konvergenzbereichen === Wenn bei <math>f(z)</math> der Nebenteil <math>g(z)</math> und die Reihenentwicklung von <math>\hat{h}(z)</math> für ein bestimmtes <math>z</math> konvergent sind, so muss <math>z</math> im Schnitt der Konvergenzmenge von <math>g</math> und <math>h</math> liegen. Ist <math>r > R</math> ist die Konvergenzmenge leer, da <math>z</math> zugleich auf einer Kreisscheibe von Radius <math>R</math> und im Komplement der Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> liegen muss. === Konvergenzradien === Seien <math>R_g > 0</math> und <math>R_h > 0</math> die Konvergenzradien für die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>. Berechen Sie den Radius <math>R_{\hat{h}} > 0</math> der Konvergenzmenge von <math>\hat{h}(z):= h(1/z)</math> für den alle <math>z \in G_o</math> mit <math>|z| > R_{\hat{h}} > 0</math> konvergieren. == Geometrie der Konvergenzmenge == <math>h</math> ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius <math>1/r</math>. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math> auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. == Eindeutigkeit der Zerlegung == Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig. Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung: :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>. Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. === Zerlegung mit Entwicklungspunkt === Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>c</math>: :<math>f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-c)^n</math> == Beispiel == Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. :<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>. Die Funktion ist unendlich oft reell [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[w:de:komplex differenzierbar|komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[w:de:wesentliche Singularität|wesentliche Singularität]]. === Einsetzen in Taylorreihe === Indem man nun <math display="inline">z=-\frac{1}{x^2}</math> in die Potenzreihenentwicklung der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] einsetzt, :<math>exp(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-\frac{1}{x^2}\right)^{n}}{n!} </math> erhält man die Laurent-Reihe von <math display="inline">f</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">0</math>: :<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{-2n}}{n!} = \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{(-1)^n}{(-n)!} x^{2n} }_{\mbox{Hauptteil}} + 1</math> === Konvergenzbereich Laurentreihe === Der Nebenteil <math>g(x)=1</math> konvergiert auf ganz <math>\mathbb{C}</math> und der Hauptteil (und damit auch die Laurent-Reihe insgesamt) konvergiert für jede komplexe Zahl <math display="inline">x \neq 0</math>. === Approximation der Funktion durch Partial-Summen === [[File:Laurentreihe_Exp_-X-2.png|thumb|Annäherung der Laurentreihen über Partialsummen]] Das Bild zeigt, wie sich die Partialsummenfolge :<math>f_n(x) = \sum_{j=0}^n (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!}</math> an die Funktion annähert. === Graphen der Partial-Summen im Vergleich zur Funktion === [[File:Laurentreihe_Exp_-X-2.png|450px|Annäherung der Laurentreihen mit Partial-Summen]]. Da Graphen in <math>\mathbb{C}</math> Teilmengen von 4-dimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektoräumen sind, wird hier der Graph für Werte aus <math>x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}</math> geplottet. Die Laurententwicklung lässt sich in 0 stetig fortsetzen. == Konvergenz von Laurent-Reihen == Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[w:de:Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. === Kreisringe und Kreisscheibe === Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[w:de:Kreisring|Kreisring]] [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[w:de:Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind. Sei :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-c)^n</math> eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>c</math>. === Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring === Es gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen <math>r</math> und <math>R</math>, so dass Folgendes gilt: : Die Laurent-Reihe konvergiert auf dem offenen Kreisring <math>A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}</math> [[w:de:Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]]. Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil normal konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[w:de:Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge von <math>A</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>A</math>. Die Laurent-Reihe definiert auf <math>A</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>. === Außerhalb vom Kreisring === Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>A</math> mit :<math>\mathbb{C}\setminus \overline{A} := \{ z : r > \vert z - c \vert\vee\vert z - c \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven (Nebenteil) oder die Terme mit negativen Exponenten (Hauptteil) divergiert. === Rand von Kreisringen === Auf dem Rand des Kreisrings kann man '''keine''' allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. === Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard === Die beiden Radien können wie folgt mit der [[w:de:Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden: :<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math> :<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math> Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel. === Auf Kreisringen definierte Funktionen === Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}</math> und einer auf <math>A</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>c</math>, die (mindestens) auf <math>A</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt :<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(c)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-c\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math> für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an. === Gelochte Kreisscheibe === Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[w:de:Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. == Formale Laurent-Reihen == Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten <math display="inline">X</math>, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. === Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen === Die Koeffizienten <math display="inline">a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[w:de:kommutativ|kommutativ]]en [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil'', und die Entwicklungsstelle mit <math display="inline">c = 0</math> wegzulassen. === Gleichheit von formalen Laurent-Reihen === Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring <math display="inline">R</math> zu einem kommutativen Ring, der mit <math display="inline">R \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> bezeichnet wird. === Laurent-Reihen und Itegritätsringe === Ist <math>K</math> ein [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math display="inline">X</math> über <math display="inline">K</math> einen [[w:de:Integritätsring|Integritätsring]], der mit <math>K\left[\!\left[ X \right]\!\right]</math> bezeichnet wird. Sein [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] ist [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math display="inline">K \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> der Laurent-Reihen über <math display="inline">K</math>. == Aufgaben == Sei <math>K_{r_1,r_2}:=\{z \in\mathbb{C} \, | \, r_1 <|z| < r_2\}</math>. Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf <math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{r_1,r_2}}</math> nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit <math>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n</math> konvergiert für <math>q \in \mathbb{C}</math> für <math>|q| < 1 </math>. === Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen === * Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem <math>b</math>-adischen Zahlensystem (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil) * Stellen Sie die Zahl <math>\frac{1}{7}</math> als Funktionswert einer Laurent-Reihe im 4er-Zahlensystem <math>x=4</math> dar, wobei <math>c_n \in \{0,1,2,3\}</math> gilt und berechnen Sie die Koeffizienten <math>c_n</math>! :: <math>f(x):= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \cdot z^n</math> dar * Erläutern Sie, warum eine <math>b</math>[[B-adische_Stellenwertsysteme|-adische Zahldarstellung]] für jede beliebige Wahl von Koeffizienten im Hauptteil immer konvergiert! == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung_mit_Laurentreihen|Berechnung von Laurent-Reihen für gebrochenrationalen Funktionen]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Laurent Series]]</noinclude> ibxlh5lkrr38qoub5vfteged8nooktd 1078872 1078871 2026-05-07T11:19:49Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078872 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[w:de:unendliche Reihe|unendliche Reihe]] ähnlich einer [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[w:de:Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">a</math> diese Gestalt: :<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n (x-a)^n</math> * <math display="inline">c_n</math> Koeffizienten * <math display="inline">a</math> Entwicklungspunkt der Reihe == Hauptteil und Nebenteil == Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''. == Zusammenhang Potenzreihen == Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[w:de:Polynom|Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. == Geschichte == Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[w:de:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. ==Laurent-Zerlegung== Das Prinzip der Entwicklung einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>: :<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math> :<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>. === Darstellung der Laurentreihe durch 2 holomorphe Funktionen === Seien <math>g:G \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G \rightarrow \mathbb{C}</math> zwei holomorphe Funktionen mit Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math> :<math>f(z):=g(z-z_o)+\hat{h}(z-z_o)</math> mit <math>\hat{h}(z):= h(1/z)</math> <math>g</math> und <math>h</math> sind holomorphe Funktionen auf <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math>, die sich um 0 in eine Potenzreihe in <math>G_o</math> entwickeln lassen. == Konvergenzmenge der Laurentreihe == Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert <math>\hat{h}</math> mit <math>\hat{h}(z):=h(1/z)</math> auf dem Komplement einer Kreisschreibe. === Schnittmenge von Konvergenzbereichen === Wenn bei <math>f(z)</math> der Nebenteil <math>g(z)</math> und die Reihenentwicklung von <math>\hat{h}(z)</math> für ein bestimmtes <math>z</math> konvergent sind, so muss <math>z</math> im Schnitt der Konvergenzmenge von <math>g</math> und <math>h</math> liegen. Ist <math>r > R</math> ist die Konvergenzmenge leer, da <math>z</math> zugleich auf einer Kreisscheibe von Radius <math>R</math> und im Komplement der Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> liegen muss. === Konvergenzradien === Seien <math>R_g > 0</math> und <math>R_h > 0</math> die Konvergenzradien für die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>. Berechen Sie den Radius <math>R_{\hat{h}} > 0</math> der Konvergenzmenge von <math>\hat{h}(z):= h(1/z)</math> für den alle <math>z \in G_o</math> mit <math>|z| > R_{\hat{h}} > 0</math> konvergieren. == Geometrie der Konvergenzmenge == <math>h</math> ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius <math>1/r</math>. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math> auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. == Eindeutigkeit der Zerlegung == Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig. Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung: :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>. Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. === Zerlegung mit Entwicklungspunkt === Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>c</math>: :<math>f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-c)^n</math> == Beispiel == Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. :<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>. Die Funktion ist unendlich oft reell [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[w:de:komplex differenzierbar|komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[w:de:wesentliche Singularität|wesentliche Singularität]]. === Einsetzen in Taylorreihe === Indem man nun <math display="inline">z=-\frac{1}{x^2}</math> in die Potenzreihenentwicklung der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] einsetzt, :<math>exp(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-\frac{1}{x^2}\right)^{n}}{n!} </math> erhält man die Laurent-Reihe von <math display="inline">f</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">0</math>: :<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{-2n}}{n!} = \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{(-1)^n}{(-n)!} x^{2n} }_{\mbox{Hauptteil}} + 1</math> === Konvergenzbereich Laurentreihe === Der Nebenteil <math>g(x)=1</math> konvergiert auf ganz <math>\mathbb{C}</math> und der Hauptteil (und damit auch die Laurent-Reihe insgesamt) konvergiert für jede komplexe Zahl <math display="inline">x \neq 0</math>. === Approximation der Funktion durch Partial-Summen === [[File:Laurentreihe_Exp_-X-2.png|thumb|Annäherung der Laurentreihen über Partialsummen]] Das Bild zeigt, wie sich die Partialsummenfolge :<math>f_n(x) = \sum_{j=0}^n (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!}</math> an die Funktion annähert. === Graphen der Partial-Summen im Vergleich zur Funktion === [[File:Laurentreihe_Exp_-X-2.png|450px|Annäherung der Laurentreihen mit Partial-Summen]]. Da Graphen in <math>\mathbb{C}</math> Teilmengen von 4-dimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektoräumen sind, wird hier der Graph für Werte aus <math>x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}</math> geplottet. Die Laurententwicklung lässt sich in 0 stetig fortsetzen. == Konvergenz von Laurent-Reihen == Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[w:de:Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. === Kreisringe und Kreisscheibe === Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[w:de:Kreisring|Kreisring]] [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[w:de:Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind. Sei :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-c)^n</math> eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>c</math>. === Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring === Es gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen <math>r</math> und <math>R</math>, so dass Folgendes gilt: : Die Laurent-Reihe konvergiert auf dem offenen Kreisring <math>A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}</math> [[w:de:Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]]. Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil normal konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[w:de:Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge von <math>A</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>A</math>. Die Laurent-Reihe definiert auf <math>A</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>. === Außerhalb vom Kreisring === Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>A</math> mit :<math>\mathbb{C}\setminus \overline{A} := \{ z : r > \vert z - c \vert\vee\vert z - c \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven (Nebenteil) oder die Terme mit negativen Exponenten (Hauptteil) divergiert. === Rand von Kreisringen === Auf dem Rand des Kreisrings kann man '''keine''' allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. === Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard === Die beiden Radien können wie folgt mit der [[w:de:Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden: :<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math> :<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math> Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel. === Auf Kreisringen definierte Funktionen === Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}</math> und einer auf <math>A</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>c</math>, die (mindestens) auf <math>A</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt :<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(c)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-c\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math> für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an. === Gelochte Kreisscheibe === Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[w:de:Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. == Formale Laurent-Reihen == Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten <math display="inline">X</math>, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. === Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen === Die Koeffizienten <math display="inline">a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[w:de:kommutativ|kommutativ]]en [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil'', und die Entwicklungsstelle mit <math display="inline">c = 0</math> wegzulassen. === Gleichheit von formalen Laurent-Reihen === Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring <math display="inline">R</math> zu einem kommutativen Ring, der mit <math display="inline">R \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> bezeichnet wird. === Laurent-Reihen und Itegritätsringe === Ist <math>K</math> ein [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math display="inline">X</math> über <math display="inline">K</math> einen [[w:de:Integritätsring|Integritätsring]], der mit <math>K\left[\!\left[ X \right]\!\right]</math> bezeichnet wird. Sein [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] ist [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math display="inline">K \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> der Laurent-Reihen über <math display="inline">K</math>. == Aufgaben == Sei <math>K_{r_1,r_2}:=\{z \in\mathbb{C} \, | \, r_1 <|z| < r_2\}</math>. Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf <math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{r_1,r_2}}</math> nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit <math>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n</math> konvergiert für <math>q \in \mathbb{C}</math> für <math>|q| < 1 </math>. === Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen === * Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem <math>b</math>-adischen Zahlensystem (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil) * Stellen Sie die Zahl <math>\frac{1}{7}</math> als Funktionswert einer Laurent-Reihe im 4er-Zahlensystem <math>x=4</math> dar, wobei <math>c_n \in \{0,1,2,3\}</math> gilt und berechnen Sie die Koeffizienten <math>c_n</math>! :: <math>f(x):= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \cdot z^n</math> dar * Erläutern Sie, warum eine <math>b</math>[[B-adische_Stellenwertsysteme|-adische Zahldarstellung]] für jede beliebige Wahl von Koeffizienten im Hauptteil immer konvergiert! == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[b-adische Stellenwertsysteme]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung_mit_Laurentreihen|Berechnung von Laurent-Reihen für gebrochenrationalen Funktionen]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Laurent Series]]</noinclude> dv0jpwrvrhxxwllfgbkky6ny682qj50 1078873 1078872 2026-05-07T11:21:22Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen */ 1078873 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[w:de:unendliche Reihe|unendliche Reihe]] ähnlich einer [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[w:de:Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">a</math> diese Gestalt: :<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n (x-a)^n</math> * <math display="inline">c_n</math> Koeffizienten * <math display="inline">a</math> Entwicklungspunkt der Reihe == Hauptteil und Nebenteil == Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''. == Zusammenhang Potenzreihen == Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[w:de:Polynom|Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. == Geschichte == Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[w:de:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. ==Laurent-Zerlegung== Das Prinzip der Entwicklung einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>: :<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math> :<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>. === Darstellung der Laurentreihe durch 2 holomorphe Funktionen === Seien <math>g:G \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G \rightarrow \mathbb{C}</math> zwei holomorphe Funktionen mit Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math> :<math>f(z):=g(z-z_o)+\hat{h}(z-z_o)</math> mit <math>\hat{h}(z):= h(1/z)</math> <math>g</math> und <math>h</math> sind holomorphe Funktionen auf <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math>, die sich um 0 in eine Potenzreihe in <math>G_o</math> entwickeln lassen. == Konvergenzmenge der Laurentreihe == Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert <math>\hat{h}</math> mit <math>\hat{h}(z):=h(1/z)</math> auf dem Komplement einer Kreisschreibe. === Schnittmenge von Konvergenzbereichen === Wenn bei <math>f(z)</math> der Nebenteil <math>g(z)</math> und die Reihenentwicklung von <math>\hat{h}(z)</math> für ein bestimmtes <math>z</math> konvergent sind, so muss <math>z</math> im Schnitt der Konvergenzmenge von <math>g</math> und <math>h</math> liegen. Ist <math>r > R</math> ist die Konvergenzmenge leer, da <math>z</math> zugleich auf einer Kreisscheibe von Radius <math>R</math> und im Komplement der Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> liegen muss. === Konvergenzradien === Seien <math>R_g > 0</math> und <math>R_h > 0</math> die Konvergenzradien für die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>. Berechen Sie den Radius <math>R_{\hat{h}} > 0</math> der Konvergenzmenge von <math>\hat{h}(z):= h(1/z)</math> für den alle <math>z \in G_o</math> mit <math>|z| > R_{\hat{h}} > 0</math> konvergieren. == Geometrie der Konvergenzmenge == <math>h</math> ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius <math>1/r</math>. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math> auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. == Eindeutigkeit der Zerlegung == Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig. Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung: :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>. Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. === Zerlegung mit Entwicklungspunkt === Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>c</math>: :<math>f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-c)^n</math> == Beispiel == Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. :<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>. Die Funktion ist unendlich oft reell [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[w:de:komplex differenzierbar|komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[w:de:wesentliche Singularität|wesentliche Singularität]]. === Einsetzen in Taylorreihe === Indem man nun <math display="inline">z=-\frac{1}{x^2}</math> in die Potenzreihenentwicklung der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] einsetzt, :<math>exp(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-\frac{1}{x^2}\right)^{n}}{n!} </math> erhält man die Laurent-Reihe von <math display="inline">f</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">0</math>: :<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{-2n}}{n!} = \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{(-1)^n}{(-n)!} x^{2n} }_{\mbox{Hauptteil}} + 1</math> === Konvergenzbereich Laurentreihe === Der Nebenteil <math>g(x)=1</math> konvergiert auf ganz <math>\mathbb{C}</math> und der Hauptteil (und damit auch die Laurent-Reihe insgesamt) konvergiert für jede komplexe Zahl <math display="inline">x \neq 0</math>. === Approximation der Funktion durch Partial-Summen === [[File:Laurentreihe_Exp_-X-2.png|thumb|Annäherung der Laurentreihen über Partialsummen]] Das Bild zeigt, wie sich die Partialsummenfolge :<math>f_n(x) = \sum_{j=0}^n (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!}</math> an die Funktion annähert. === Graphen der Partial-Summen im Vergleich zur Funktion === [[File:Laurentreihe_Exp_-X-2.png|450px|Annäherung der Laurentreihen mit Partial-Summen]]. Da Graphen in <math>\mathbb{C}</math> Teilmengen von 4-dimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektoräumen sind, wird hier der Graph für Werte aus <math>x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}</math> geplottet. Die Laurententwicklung lässt sich in 0 stetig fortsetzen. == Konvergenz von Laurent-Reihen == Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[w:de:Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. === Kreisringe und Kreisscheibe === Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[w:de:Kreisring|Kreisring]] [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[w:de:Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind. Sei :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-c)^n</math> eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>c</math>. === Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring === Es gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen <math>r</math> und <math>R</math>, so dass Folgendes gilt: : Die Laurent-Reihe konvergiert auf dem offenen Kreisring <math>A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}</math> [[w:de:Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]]. Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil normal konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[w:de:Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge von <math>A</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>A</math>. Die Laurent-Reihe definiert auf <math>A</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>. === Außerhalb vom Kreisring === Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>A</math> mit :<math>\mathbb{C}\setminus \overline{A} := \{ z : r > \vert z - c \vert\vee\vert z - c \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven (Nebenteil) oder die Terme mit negativen Exponenten (Hauptteil) divergiert. === Rand von Kreisringen === Auf dem Rand des Kreisrings kann man '''keine''' allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. === Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard === Die beiden Radien können wie folgt mit der [[w:de:Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden: :<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math> :<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math> Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel. === Auf Kreisringen definierte Funktionen === Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}</math> und einer auf <math>A</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>c</math>, die (mindestens) auf <math>A</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt :<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(c)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-c\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math> für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an. === Gelochte Kreisscheibe === Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[w:de:Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. == Formale Laurent-Reihen == Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten <math display="inline">X</math>, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. === Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen === Die Koeffizienten <math display="inline">a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[w:de:kommutativ|kommutativ]]en [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil'', und die Entwicklungsstelle mit <math display="inline">c = 0</math> wegzulassen. === Gleichheit von formalen Laurent-Reihen === Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring <math display="inline">R</math> zu einem kommutativen Ring, der mit <math display="inline">R \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> bezeichnet wird. === Laurent-Reihen und Itegritätsringe === Ist <math>K</math> ein [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math display="inline">X</math> über <math display="inline">K</math> einen [[w:de:Integritätsring|Integritätsring]], der mit <math>K\left[\!\left[ X \right]\!\right]</math> bezeichnet wird. Sein [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] ist [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math display="inline">K \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> der Laurent-Reihen über <math display="inline">K</math>. == Aufgaben == Sei <math>K_{r_1,r_2}:=\{z \in\mathbb{C} \, | \, r_1 <|z| < r_2\}</math>. Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf <math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{r_1,r_2}}</math> nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit <math>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n</math> konvergiert für <math>q \in \mathbb{C}</math> für <math>|q| < 1 </math>. === Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen === * Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsysteme|-adischen Zahlensystem]] (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil) * Stellen Sie die Zahl <math>\frac{1}{7}</math> als Funktionswert einer Laurent-Reihe im [[B-adische_Stellenwertsysteme|4er-Zahlensystem]] <math>x=4</math> dar, wobei <math>c_n \in \{0,1,2,3\}</math> gilt und berechnen Sie die Koeffizienten <math>c_n</math>! :: <math>f(x):= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \cdot z^n</math> dar * Erläutern Sie, warum eine <math>b</math>[[B-adische_Stellenwertsysteme|-adische Zahldarstellung]] für jede beliebige Wahl von Koeffizienten im Hauptteil immer konvergiert! == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[b-adische Stellenwertsysteme]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung_mit_Laurentreihen|Berechnung von Laurent-Reihen für gebrochenrationalen Funktionen]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Laurent Series]]</noinclude> 3k19e2o0zt19ypufvz2jyrxgs4lzh4a 1078874 1078873 2026-05-07T11:22:09Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078874 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[w:de:unendliche Reihe|unendliche Reihe]] ähnlich einer [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[w:de:Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">a</math> diese Gestalt: :<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n (x-a)^n</math> * <math display="inline">c_n</math> Koeffizienten * <math display="inline">a</math> Entwicklungspunkt der Reihe == Hauptteil und Nebenteil == Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''. == Zusammenhang Potenzreihen == Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[w:de:Polynom|Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein Laurent-Polynom. == Geschichte == Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[w:de:Pierre Alphonse Laurent|Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[w:de:Karl Weierstraß|Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte. ==Laurent-Zerlegung== Das Prinzip der Entwicklung einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>: :<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math> :<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>. === Darstellung der Laurentreihe durch 2 holomorphe Funktionen === Seien <math>g:G \rightarrow \mathbb{C}</math> und <math>h: G \rightarrow \mathbb{C}</math> zwei holomorphe Funktionen mit Entwicklungspunkt <math>z_0 \in G</math> :<math>f(z):=g(z-z_o)+\hat{h}(z-z_o)</math> mit <math>\hat{h}(z):= h(1/z)</math> <math>g</math> und <math>h</math> sind holomorphe Funktionen auf <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math>, die sich um 0 in eine Potenzreihe in <math>G_o</math> entwickeln lassen. == Konvergenzmenge der Laurentreihe == Die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> lassen sich lokal als Potenzreihe auf einer Kreisscheibe in <math>G_o:= \{z-z_o \in \mathbb{C} \ | \ z \in G \}</math> darstellen (Holomorphiekriterium). Dann konvergiert <math>\hat{h}</math> mit <math>\hat{h}(z):=h(1/z)</math> auf dem Komplement einer Kreisschreibe. === Schnittmenge von Konvergenzbereichen === Wenn bei <math>f(z)</math> der Nebenteil <math>g(z)</math> und die Reihenentwicklung von <math>\hat{h}(z)</math> für ein bestimmtes <math>z</math> konvergent sind, so muss <math>z</math> im Schnitt der Konvergenzmenge von <math>g</math> und <math>h</math> liegen. Ist <math>r > R</math> ist die Konvergenzmenge leer, da <math>z</math> zugleich auf einer Kreisscheibe von Radius <math>R</math> und im Komplement der Kreisscheibe mit Radius <math>r</math> liegen muss. === Konvergenzradien === Seien <math>R_g > 0</math> und <math>R_h > 0</math> die Konvergenzradien für die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>. Berechen Sie den Radius <math>R_{\hat{h}} > 0</math> der Konvergenzmenge von <math>\hat{h}(z):= h(1/z)</math> für den alle <math>z \in G_o</math> mit <math>|z| > R_{\hat{h}} > 0</math> konvergieren. == Geometrie der Konvergenzmenge == <math>h</math> ist um den Mittelpunkt holomorph konvergent auf der Kreisscheiben mit dem Radius <math>1/r</math>. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math> auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. == Eindeutigkeit der Zerlegung == Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig. Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen so ergibt sich folgende Darstellung: :<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>. Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. === Zerlegung mit Entwicklungspunkt === Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>c</math>: :<math>f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-c)^n</math> == Beispiel == Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]. :<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>. Die Funktion ist unendlich oft reell [[w:de:Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[w:de:komplex differenzierbar|komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[w:de:wesentliche Singularität|wesentliche Singularität]]. === Einsetzen in Taylorreihe === Indem man nun <math display="inline">z=-\frac{1}{x^2}</math> in die Potenzreihenentwicklung der [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] einsetzt, :<math>exp(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-\frac{1}{x^2}\right)^{n}}{n!} </math> erhält man die Laurent-Reihe von <math display="inline">f</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">0</math>: :<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{-2n}}{n!} = \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{(-1)^n}{(-n)!} x^{2n} }_{\mbox{Hauptteil}} + 1</math> === Konvergenzbereich Laurentreihe === Der Nebenteil <math>g(x)=1</math> konvergiert auf ganz <math>\mathbb{C}</math> und der Hauptteil (und damit auch die Laurent-Reihe insgesamt) konvergiert für jede komplexe Zahl <math display="inline">x \neq 0</math>. === Approximation der Funktion durch Partial-Summen === [[File:Laurentreihe_Exp_-X-2.png|thumb|Annäherung der Laurentreihen über Partialsummen]] Das Bild zeigt, wie sich die Partialsummenfolge :<math>f_n(x) = \sum_{j=0}^n (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!}</math> an die Funktion annähert. === Graphen der Partial-Summen im Vergleich zur Funktion === [[File:Laurentreihe_Exp_-X-2.png|450px|Annäherung der Laurentreihen mit Partial-Summen]]. Da Graphen in <math>\mathbb{C}</math> Teilmengen von 4-dimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektoräumen sind, wird hier der Graph für Werte aus <math>x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}</math> geplottet. Die Laurententwicklung lässt sich in 0 stetig fortsetzen. == Konvergenz von Laurent-Reihen == Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[w:de:Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]]. === Kreisringe und Kreisscheibe === Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[w:de:Kreisring|Kreisring]] [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[w:de:Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind. Sei :<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-c)^n</math> eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>c</math>. === Konvergenzradien - Inneres vom Kreisring === Es gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen <math>r</math> und <math>R</math>, so dass Folgendes gilt: : Die Laurent-Reihe konvergiert auf dem offenen Kreisring <math>A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}</math> [[w:de:Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[w:de:Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[w:de:Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]]. Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil normal konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[w:de:Kompakter Raum|kompakten]] Teilmenge von <math>A</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>A</math>. Die Laurent-Reihe definiert auf <math>A</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>. === Außerhalb vom Kreisring === Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>A</math> mit :<math>\mathbb{C}\setminus \overline{A} := \{ z : r > \vert z - c \vert\vee\vert z - c \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven (Nebenteil) oder die Terme mit negativen Exponenten (Hauptteil) divergiert. === Rand von Kreisringen === Auf dem Rand des Kreisrings kann man '''keine''' allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann. Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. === Konvergenzradien und Cauchy-Hadamard === Die beiden Radien können wie folgt mit der [[w:de:Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden: :<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math> :<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math> Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel. === Auf Kreisringen definierte Funktionen === Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}</math> und einer auf <math>A</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>c</math>, die (mindestens) auf <math>A</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt :<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(c)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-c\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math> für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[w:de:Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an. === Gelochte Kreisscheibe === Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[w:de:Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. == Formale Laurent-Reihen == Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in der Unbestimmten <math display="inline">X</math>, die ohne Rücksicht auf Konvergenzbetrachtungen benutzt werden. === Laurent-Reihen auf kommutativen Ringen === Die Koeffizienten <math display="inline">a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[w:de:kommutativ|kommutativ]]en [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] stammen. In dieser Situation ist es jedoch nur sinnvoll, Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten zu betrachten, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil'', und die Entwicklungsstelle mit <math display="inline">c = 0</math> wegzulassen. === Gleichheit von formalen Laurent-Reihen === Zwei solche formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem ihre entsprechenden Koeffizienten addiert werden und weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[w:de:Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen über einem kommutativen Ring <math display="inline">R</math> zu einem kommutativen Ring, der mit <math display="inline">R \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> bezeichnet wird. === Laurent-Reihen und Itegritätsringe === Ist <math>K</math> ein [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math display="inline">X</math> über <math display="inline">K</math> einen [[w:de:Integritätsring|Integritätsring]], der mit <math>K\left[\!\left[ X \right]\!\right]</math> bezeichnet wird. Sein [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] ist [[w:de:Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math display="inline">K \left(\!\left( X \right)\!\right)</math> der Laurent-Reihen über <math display="inline">K</math>. == Aufgaben == Sei <math>K_{r_1,r_2}:=\{z \in\mathbb{C} \, | \, r_1 <|z| < r_2\}</math>. Konstruieren Sie eine Laurent-Reihe, die diesen Kreisring als Konvergenzbereich hat und auf <math>\mathbb{C}\setminus \overline{K_{r_1,r_2}}</math> nicht konvergiert. Verwenden Sie dabei als Idee geometrische Reihen mit <math>\sum_{n=0}^{+\infty} q^n</math> konvergiert für <math>q \in \mathbb{C}</math> für <math>|q| < 1 </math>. === Aufgaben zu Laurent-Reihen und b-adischen Zahlsystemen === * Analysieren Sie den Zusammenhang zwischen Laurent-Reihen und dem <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsysteme|-adischen Zahlensystem]] (z.B. Dualsysstem, Hexaldezimalsystem)! Welche Gemeinsamkeiten und welche Unterschiede gibt es? (Haupt- und Nebenteil) * Stellen Sie die Zahl <math>\frac{1}{7}</math> als Funktionswert einer Laurent-Reihe im [[B-adische_Stellenwertsysteme|4er-Zahlensystem]] <math>x=4</math> dar, wobei <math>c_n \in \{0,1,2,3\}</math> gilt und berechnen Sie die Koeffizienten <math>c_n</math>! :: <math>f(x):= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \cdot z^n</math> dar * Erläutern Sie, warum eine <math>b</math>[[B-adische_Stellenwertsysteme|-adische Zahldarstellung]] für jede beliebige Wahl von Koeffizienten im Hauptteil immer konvergiert! == Literatur == * [[w:de:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]] & Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1'', Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4 == Siehe auch == * [[b-adische Stellenwertsysteme]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] * [[w:de:Häufungspunkt|Häufungspunkt]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung_mit_Laurentreihen|Berechnung von Laurent-Reihen für gebrochenrationalen Funktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Folgen und Reihen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Laurent-Reihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Laurent Series]]</noinclude> epe47jt8wot1s3etgmta2lctzw9s0j6 0 99343 1078879 1065716 2026-05-07T11:44:50Z Bert Niehaus 20843 /* Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen */ 1078879 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === , definiere <math>g \colon G \to \mathbb C</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> dann ist <math>g</math> [[Holomorphie|holomorph]] und nach der [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] folgt :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. === Bemerkung - Anwendung auf konvexe Gebiete === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen durch Ergänzung von Wege auf Summe von Integralen auf konvexe Gebiete übertragen. Die Ergänzung von Wegen erfolgt mit Integralsumme 0. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> lycawcoklj4p562n1a12u0e70jwnxoz 0 99575 1078880 1065740 2026-05-07T11:47:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 9 */ 1078880 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIS für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> <math>h_0</math> ist eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion; wir zeigen, dass sie sogar holomorph ist. Dazu verwenden wir den [[Satz von Morera]]. === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> gghz13vv6jgzgy91ph016lzkaess9de 1078881 1078880 2026-05-07T11:52:07Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 3 - Integral über Zyklus */ 1078881 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIS für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> ist eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion; wir zeigen, dass sie sogar holomorph ist. Dazu verwenden wir den [[Satz von Morera]]. === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> hmztb22uit2x80gdz6ug4sy062fqydd 1078882 1078881 2026-05-07T11:55:29Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 4 - Satz von Morera */ 1078882 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIS für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ist eine auf ganz <math>G</math> ebenfalls eine stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet. === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> k9eqodff1r46o9i5ztl4rl0o5dvo6jw 1078883 1078882 2026-05-07T11:57:08Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 4 - Satz von Morera */ 1078883 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIS für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ist eine auf ganz <math>G</math> ebenfalls eine stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 7432yzjiqsqnu57pvf4dqeg3o5bokzp 0 108216 1078839 847853 2026-05-07T07:34:24Z Bocardodarapti 2041 1078839 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine Rekursionsvorschrift, die zu einem Zahlendreieck {{ Zusatz/Klammer |text=analog zum Pascalschen Dreieck| |ISZ=|ESZ= }} führt. 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Satz einer Patientenvorstellung]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] == Erstgespräche (transkribiert) == * [[Anamnesegespräche#Fall 14|Fall 14: Lion Kreher, 35 J.]] (to come) -- Patientenvorstellung dazu (to come) * [[Anamnesegespräche#Fall 13|Fall 13: Sebastian Mayer, 66 J.]] -- [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_3|Patientenvorstellung dazu]] * [[Anamnesegespräche#Fall 12|Fall 12: Annalena Randecker, 17 J. (ein sehr ausführliches Gespräch, 60 Minuten)]] * [[Anamnesegespräche#Fall 11|Fall 11: Tatjana Märker, 32 J.]] -- [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_6|Patientenvorstellung dazu]] * [[Anamnesegespräche#Fall 10|Fall 10: Rosa Brett, 26 J.]] * [[Anamnesegespräche#Fall 9|Fall 9: Birgit Schüttler, 40 J.]] * [[Anamnesegespräche#Fall 8|Fall 8: Sina Gowitz, 22 J.]] -- [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_9|Patientenvorstellung dazu]] * [[Anamnesegespräche#Fall 7|Fall 7: Hannelore Zimmermann, 82 J.]] * [[Anamnesegespräche#Fall 6|Fall 6: Anita Camara, 53 J.]] * [[Anamnesegespräche#Fall 5|Fall 5: Susanne Uhlenhorst, 45 J.]] * [[Anamnesegespräche#Fall 4|Fall 4: Antonio Braunmüller, 64 J.]] * [[Anamnesegespräche#Fall 3|Fall 3: Karl-Wilhelm Mühlhäuser, 47 J.]] * [[Anamnesegespräche#Fall 2|Fall 2: Roselinde Wank-Strecker, 37 J.]] * [[Anamnesegespräche#Fall_1|Fall 1: Manfred Markovich, 84 J.]] -- [[Anamneseberichte/Manfred_Markovich_84_J|Anamnesebericht dazu]] == Wozu dient diese Seite? == Die hier gesammelten Anamnesegespräche dienen der Vorbereitung auf die FSP. <br /> "FSP"? Ja: Für alle, die wissen, was das ist, ist diese Sammlung gemacht ;-) Es handelt sich um die '''Fachsprachprüfung''' (manchmal auch: Fachsprach'''en'''prüfung) für nach Deiutschland zuwanderende Ärzt*innen. Grund für diese öffentlich zugängliche Sammlung fiktiver Anamnesegespräche ist, außer den üblichen medizinischen Fragen '''''vor allem die kleineren ärztlichen Äußerungen zwischendurch''''' zu üben und einige davon an Beispielen zu zeigen. Das sind Redemittel - wie Überleitungen und andere Zwischentexte - , die Sie ja auch in Ihrer besten Sprache nutzen, damit die/der Patient/in versteht, wie es weitergeht, und damit Sie das Gespräch gut im Fluß halten können ('''fett markiert'''). Und was sage ich zum Beispiel zur Beruhigung der Patient*in, wenn zum Beispiel Angst geäußert wurde, Angst vor einer OP, Angst vor einer befürchteten Diagnose oder allgemein als Befindlichkeit? = Fall 1 = <!--(Gespräch plus 2 verlinkte Anamneseberichte)--> == Manfred Markovich == Ärztin: Guten Tag, nehmen Sie bitte Platz! Patient: Ja, danke, Frau Doktor, guten Tag, aber ich brauche noch ein bisschen... Ä: '''Lassen Sie sich Zeit!''' ... P: Ah ja, jetzt sitze ich. Ä: '''Kann es losgehen?''' P: Ja. Danke, Frau Doktor. Ä: '''Dann fangen wir mal an:''' Ich bin Dr. Felgendreher (, die diensthabende Ärztin,) und heute für Sie zuständig. [Schaut den Patienten an, um zu sehen, ob er das verstanden hat und wahrscheinlich einverstanden ist.] Zuerst benötige ich ein paar Angaben zu Ihrer Person... Wie heißen Sie? P: Manfred Markovich. Ä: Markovic mit zeh am Ende? P: Nein, mit zeh hah. Ä: Wie alt sind Sie, Herr Markovich? P: 84. Ä: Wie groß sind Sie? P: Ich war schonmal größer, aber das Alter, wissen Sie... Ä: Hm, wie groß sind Sie, bitte? P: Ich komme jedenfalls an den oberen Küchenschrank nicht mehr dran, ich weiß es nicht, Frau Doktor. Ä: '''Ah, dann messen wir es nachher aktuell''', Herr Markovich. Und Ihr Gewicht? P: Das weiß ich genau: 85,5 kg. Ä: Dankeschön. '''Jetzt kommen wir zu Ihren Beschwerden:''' Was führt Sie zu uns? P: Ja, Frau Doktor, ich habe Rückenschmerzen. Ä: Seit wann (haben Sie das)? P: Drei Wochen schon. Ä: Waren Sie schon beim Hausarzt? P: Ja, und hier habe ich die Überweisung. [Gibt der Ärztin ein Blatt Papier, das er aus einer Mappe in seiner Umhängetasche holt.] [Ärztin überfliegt kurz das Schreiben.] Ä: '''Vielen Dank dafür.''' Wo genau tut es Ihnen (denn) weh? P: Oben am Nacken. Ä: Hatten Sie das schonmal? P: Ja, aber das ist schon länger her. Das war aber ein Sturz. Ä: '''Ah....''' Wie stark sind denn die Schmerzen, die Sie jetzt haben? Auf einer Skala von eins bis zehn, wobei 1 leicht ist und 10 stark, wie stark sind Ihre Schmerzen aktuell? P: 7. Ä: Herr Markovich, strahlen die Schmerzen irgendwohin aus? P: Nein. Ä: Gibt es irgendwelche Auslöser dafür? P: Das kann ich Ihnen nicht sagen. Es kam aus heiterem Himmel, als ich in der Küche was wegwerfen wollte: Ich hab mit dem Fuß den Deckel geöffnet und die Bananenschale hineingeworfen. Wie ein Hexenschuss, wissen Sie? Ä: Gibt es irgendetwas, das die Schmerzen schlimmer oder besser macht? P: Ja, mich nicht bewegen - aber wie soll das gehen, Frau Doktor? Ä: Herr Markovich, '''meinen Sie damit, dass''' die Schmerzen in Ruhe besser werden, also wenn Sie sich nicht bewegen? P: Bisher schon, zwar nicht bedeutend, aber es tut mir dann weniger weh als beim Rumlaufen, beim Kochen und so. Ä: Ich würde Sie '''gern noch etwas''' zu Ihrem früheren Sturz fragen: Wie war das passiert? P: Sie werden lachen: Ich setzte mich draußen beim Naturfreundehaus auf einen Holzstuhl und der brach zusammen. [Pat lächelt vorsichtig.] Ä: '''Ohh, das tut mir leid zu hören. Ich hoffe es war nicht so schlimm?''' P: Nee, Frau Doktor, da war ich noch rüstig, war nur ne Prellung und nichts weiter, ... Ä: '''Gut, das freut mich zu hören.''' P: ... aber wehgetan hat's schon, Frau Doktor. Fast an derselben Stelle wie jetzt - so kommt es mir vor. Ä: '''Hm, aha...''' Könnten Sie bitte die aktuellen Schmerzen etwas genauer beschreiben? Sind sie stechend, brennend, bohrend, oder eher drückend? P: Wie es sich da im Nacken anfühlt, meinen Sie? Ä: '''Ja, genau.''' P: Hm, es tut weh und ich hab Angst, dass es noch schlimmer wird, wenn ich nachher hier wieder aufstehen soll. Manchmal stechend, manchmal dumpf, genauer kann ich es Ihnen nicht sagen, Frau Doktor. Ä: Danke, Herr Markovich, '''so reicht es mir eigentlich schon.''' Sind die Schmerzen immer da oder gehen sie auch mal weg? P: Ach, wissen Sie, ich schlafe zwar schlecht, aber ob die Schmerzen weg sind, wenn ich dann mal wieder eingeschlafen bin, kann ich ja nicht wissen. Und wenn ich mir ganz ruhig einen Film anschaue, sind sie vielleicht auch weg. Da habe ich noch nicht so drauf geachtet. Ich weiß nur, wann sie stärker werden. Das merke ich ja deutlich. Ä: '''... also wie Sie schon gesagt haben:''' In Ruhe wird es besser und geht vielleicht weg. '''Das hätten wir also soweit schon geklärt.''' Gibt es sonst noch etwas, das ich wissen sollte? P: Hm... Da bin ich mir nicht sicher... Ä: '''Ich meine,''' bezüglich der Beschwerden: Fällt Ihnen da vielleicht noch etwas ein? Ist Ihnen vielleicht sonst noch etwas aufgefallen, in den letzten 3 Wochen? P: Naja, ich bin ja nicht mehr der Jüngste, das sehen Sie ja, und manchmal fühle ich mich doch ziemlich schlapp in letzter Zeit... Ä: Seit wann fühlen Sie sich so, Herr Merkovich? P: Markovich heiße ich. Ä: '''Oh, Entschuldigung, ich hatte es mir richtig notiert und nur aus Versehen nicht richtig gelesen.''' Seit wann etwa? P: Seit diesem Schuss in den Nacken, Frau Doktor. Ä: '''Sie haben vorhin gesagt, dass''' Sie sich manchmal ziemlich schlapp fühlen, Herr Markovich, gibt es dafür irgendwelche Auslöser? P: Naja, ich glaube es ist das Alter. Ä: '''Wie ist es''' in letzter Zeit '''denn so mit''' Ihrem Appetit? P: Ich esse gern alles, was ich mir koche. Aber dazu muss ich mich ja leider bewegen. Ä: '''Ja, dass es derzeit nicht zusammenpasst, kann ich gut verstehen.<br/> Es ist gut, dass Sie zu uns gekommen sind.<br/> Sie sind bei uns in guten Händen und wir tun alles, damit es Ihnen bald wieder besser geht.''' Sagen Sie bitte: Ist Ihnen in letzter Zeit manchmal übel? P: Übel? Nein, mir schmeckt doch alles. Ä: '''Gut zu wissen, Herr''' Markovich. Haben Sie in letzter Zeit erbrochen? P: Nein. Ä: Ist Ihnen manchmal schwind(e)lig? P: Auch nicht. Ä: Wie ist es mit dem Schlafen? Haben Sie Schwierigkeiten beim Einschlafen oder beim Durchschlafen? P: Aber ja doch: wegen der Schmerzen. Müde genug bin ich abends immer. Ä: Ah. Schwitzen Sie nachts? P: Eigentlich nicht. Nur wenn ich vergessen habe, die Heizung auszumachen. Ä: '''Und wie ist es mit''' Stuhlgang und Wasserlassen? P: Kein Problem, alles wie sonst. Ä: '''Aha.''' Haben Sie in letzter Zeit ab- oder zugenommen? P: Nee, das hätte mein Freund bestimmt kommentiert! Ä: Haben Sie Fieber? P: Glaube (ich) nicht. Ä: Herr Markovich, haben Sie irgendwelche Krankheiten schon länger? P: Ja, Zucker, seit 20 Jahren. Ä: Nehmen Sie irgendwelche Medikamente deswegen? P: Ja, Metformin Eins Null Eins. Ä: '''Aha.''' [notiert es]<br/> Und wurden Sie schonmal operiert? P: Ja, Mandeln und Blinddarm sind draußen... Das ist aber schon mehr als 70 Jahre her, Frau Doktor. Ä: Haben Sie irgendwelche Allergien? P: Ja, gegen Nüsse, da juckt es am Hals. Ä: Haben Sie alle üblichen Impfungen? P: Ja, das Komplettprogramm. Ä: '''Aha.''' Rauchen Sie, Herr Markovich? P: Ja. Ä: Seit wann? Und wie viele Zigaretten pro Tag? P: Ne Schachtel [/ Packung], seit ich 21 bin. Ä: Trinken Sie regelmäßig Alkohol? P: Ja, abends einen Rotwein mit meinem Freund, das ist unser Ritual. A: '''Aha.''' Aus medizinischen Gründen - und bitte nehmen Sie es nicht persönlich - haben Sie Erfahrung mit Drogen? P: Nein, nie probiert. Ä: '''Ah.''' Gibt es in Ihrem engeren Familienkreis chronische oder erbliche Krankheiten? P: Weiß ich nicht, Sie meinen Krebs und sowas? Ä: '''Ja, und''' Zuckerkrankheit, Bluthochdruck, Schilddrüsenüber- oder -unterfunktion... P: Ach so, ja, mein Vater hatte Bluthochdruck und Zucker, meine Mutter Osteoporose, meine beiden Brüder Zucker und der eine ist letztes Jahr an Lungenkrebs gestorben. So ist unsere Bilanz. Nur ich lebe noch. Verwitwet in glücklicher Partnerschaft, mein Freund auch. Wir sind Nachbarn, haben fast zu gleicher Zeit unsere Ehefrauen verloren, zusammen getrauert. Ä: '''Mein herzliches Beileid.''' <br/>'''Wie gut, dass Sie in dieser schwierigen Phase des Abschieds nicht allein waren und dass es da jemanden an Ihrer Seite gab.''' P: Ja, und seither sind wir ein Paar geworden, sind uns näher gekommen in der Trauer, da hatten wir beide wirklich Glück im Unglück! Ä: '''Schön.''' Haben Sie Kinder, Herr Markovich? P: Nein, hat nicht geklappt bei uns. Bei meinem Partner auch nicht, ist auch kinderlos. Wir unterstützen einander und machen dann wohl das Licht aus. Ä: '''Ah. Verstehe ich richtig, dass es''' in Ihrer Beziehung keine Konflikte gibt? P: Ja, genau. Ä: '''Schön zu wissen.''' Und gibt es Konflikte in Ihrem sozialen Umfeld, mit den Nachbarn '''oder so'''? P: Nein, wir haben mit niemandem Stress. Ä: '''Also Herr Markovich, damit wäre ich soweit: Wenn ich Sie richtig verstanden habe,''' leiden Sie seit 3 Wochen an Rückenschmerzen im Nackenbereich, die plötzlich aufgetreten sind und die Sie auf einer Schmerzskala bei 7 einordnen. Sie leiden an Zucker seit 20 Jahren, wogegen Sie Metformin 2 mal pro Tag nehmen.<br/> Sie haben sich einer Mandel- und einer Blinddarmentfernung unterzogen.<br/> Sie haben eine Nussallergie und sie äußert sich als Juckreiz am Hals. <br/> Sie sind Raucher und Sie empfinden Ihr Leben als stressfrei.<br/> '''Habe ich alles richtig verstanden, Herr Markovich?''' P: Ja, Frau Doktor, alles richtig. Ä: Gibt es sonst noch etwas, das ich wissen sollte? P: Hm, ich glaube das war alles. Ä: Hätten Sie Fragen an mich? P: Was habe ich denn, Frau Doktor? Ä: Herr Markovich, '''das kann ich Ihnen leider jetzt noch nicht sagen, denn wir brauchen noch ein paar Untersuchungen. Danach wissen wir mehr.''' P: Dann muss ich mich wohl noch etwas gedulden... Ä: '''Brauchen Sie Hilfe beim Aufstehen?''' P: Nein danke, aber bald ein Schmerzmittel... Ä: '''Ja, das bekommen Sie.''' [Ende des Gesprächs] [[Anamneseberichte/Manfred_Markovich_84_J|Anamneseberichte zum Fall Manfred Markovich]] = Fall 2 = == Roselinde Wank-Strecker == Ärztin: Guten Tag! Patientin: Guten Tag, Frau Doktor, ich habe solche Schmerzen! Ärztin: Nehmen Sie bitte Platz! '''Darüber sprechen wir gleich.''' Patientin: Aber es tut so arg weh! Hier! Ich halte es kaum noch aus! Ärztin: Wenn Sie '''es nicht mehr aushalten''', könnte ich Ihnen ein Schmerzmittel geben. Patientin: Ich habe schon was genommen. Ärztin: Welches Mittel haben Sie genommen und wie viel davon? Patientin: Paracetamol, 1 Tablette. Ärztin: Und es hat nicht geholfen? Patientin: Nein. Ärztin: Tut mir leid zu hören, dass Sie noch Schmerzen haben, obwohl Sie schon ein Schmerzmittel genommen haben. P: Ja, deshalb habe ich mich schnell herfahren lassen. Ä: Alles klar, zuerst benötige ich ein paar Angaben zu Ihrer Person und möchte mich Ihnen kurz vorstellen.: Ich bin Dr./Frau Amadani und heute für Sie zuständig. '''Könnten wir mit unserem Aufnahmegespräch beginnen?''' P: Ja. Ä: '''Dann fangen wir mal an'''. Wie heißen Sie? P: Oh, wie lange dauert es noch? Ä: '''Bitte haben Sie noch etwas Geduld, es wird nur ein paar Minuten dauern. Verstehen Sie bitte: Unser Gespräch kann ich nur auf Basis Ihrer persönlichen Angaben führen, denn es geht ja um Sie als Person. Ohne dass Sie mir Ihre Daten nennen, kann ich also leider nicht anfangen.''' P: Ach so. Na dann. Ä: '''Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie unbedingt Bescheid oder fragen Sie nach, bitte.''' P: Ja, ok. Ä: Wie heißen Sie? [...] Ä: Schreibt man Ihren Nachnamen mit c k? P: Ja. Und es ist ein Doppelname. Ä: Roselinde Wang-Strecker? Habe ich es richtig gehört? P: Ja, aber mit k. Ä: Dankeschön, gut, deswegen habe ich nachgefragt, ob Ihr Nachname mit c k geschrieben wird. P: Aha, nein, ich meinte den ersten Teil von meinem Nachnamen. Der schreibt sich mit k, nicht mit g. Und der zweite: Ja, mit c k. Ä: '''Hmm. Gut zu wissen, danke.''' Wie alt sind Sie, bitte, Frau Wank-Strecker? P: 37. Ä: Und das Geburtsdatum? P: 14. Februar 1984. Ä: Wie groß sind Sie, Frau Wank-Strecker? P: Eins achtundsechzig. Ä: Und Ihr Gewicht? Wie viel wiegen Sie, bitte? P: 73 Kilo. Ä: Dankeschön, haben Sie einen Hausarzt oder eine Hausärztin? P: Ja klar, aber jetzt habe ich Schmerzen. Wie lange dauert es denn noch? Ä: '''Ich kann Sie gut verstehen, Frau Wank-Strecker. Aber ich sollte so schnell wie möglich unser Anamnesegespräch zu Ende bringen, um eine richtige Diagnose stellen zu können. Bitte sagen Sie mir doch kurz den Namen Ihrer Hausärztin oder Ihres Hausarztes.''' P: Sie heißt Dr. Tavakkoli. Ä: Dankeschön. - Jetzt kommen wir zu Ihren Beschwerden: Was bringt Sie zu uns? P: Starke Schmerzen im Bauch. Ä: Könnten Sie mir bitte sagen oder zeigen, wo die Schmerzen genau sind? Wo sind sie genau? P: Jetzt hier unten rechts. Aber vorher waren Sie oben im Bauch. Ä: Strahlen die Schmerzen irgendwohin aus? P: Nein, jetzt sind sie nur hier unten rechts. Ä: Seit wann haben Sie diese Schmerzen?? P: Seit gestern Abend. Ä: Haben die Schmerzen langsam oder plötzlich begonnen? P: Nach dem Abendessen tat es plötzlich so weh. Um den Magen rum. Ä: Könnten Sie die Schmerzen genauer beschreiben? Sind sie eher dumpf, drückend, ziehend, pochend ...? P: Naja, so stechend und manchmal plötzlich sehr stark. Ä: Wie stark sind die Schmerzen auf einer Skala von eins bis zehn, wobei 1 sehr leicht ist und 10 sehr stark? [die NRS ist eine 0 bis 10-Skala - aber hier liegen ja Schmerzen vor..., also können Sie mit 1 beginnen] P: Manchmal 6, manchmal 8, furchtbar, Frau Doktor. Ä: '''Tut mir leid zu hören''', Frau Wank-Strecker. Sind sie dauerhaft da, oder gehen Sie auch wieder weg? P: Seit heute morgen sind sie nicht wieder weggegangen. Und gestern Nacht zum Schlafengehen habe ich die Tablette genommen. Vom Essen hatte ich noch Bier, das hilft immer beim Einschlafen. Denken Sie, ich hätte heute morgen nochmal eine Tablette nehmen sollen? Wissen Sie, ich hatte wirklich Angst zu sterben, weil es immer schlimmer wurde, und wollte lieber gleich zu Ihnen in die Klinik kommen. Ä: '''Es ist gut, dass Sie zu uns gekommen sind, Frau Wank-Strecker. Bitte machen Sie sich keine Sorgen. Wir sind für Sie da. Sie sind bei uns in guten Händen und wir werden unser Bestes tun, damit Sie sich wieder besser fühlen. Haben Sie bitte noch etwas Geduld, wir sind gleich soweit.''' Gibt es irgendwelche Auslöser für die Schmerzen? P: Habe ich ja schon gesagt: nach dem Abendessen kamen sie. Ä: Ja ..., aber ich würde gern noch wissen, ob es noch andere Gründe für die Schmerzen gibt. Also: Könnte es noch etwas anderes sein, ein Sturz vielleicht? P: Nein, gefallen bin ich nicht. Ä: Ok. Frau Wank-Strecker, ist Ihnen übel? Oder haben Sie schon erbrochen? P: Ja, einmal, heute früh. Das hat mir echt Angst gemacht und ich bin gleich los. Ä: Wie sieht das Erbrochene aus? Schleimig, blutig oder nur Essensreste? P: So wie Brei vom Essen. Ä: '''Alles klar.''' Haben Sie vielleicht Mundgeruch? [etwas Tabu, lieber als Vermutung fragen] P: Weiß ich nicht. Ä: Haben Sie Schluckbeschwerden? P: Nein, Frau Doktor. Ä: Gut zu wissen, Frau Wank-Strecker, haben Sie vielleicht Blähungen? P: Ich glaube nicht. Ä: '''Hmm...''' Haben Sie saures Aufstoßen oder Sodbrennen? P: Ich habe ja gar nicht gefrühstückt. Wissen Sie, normalerweise stehe ich eine halbe Stunde früher auf, um gemütlich zu frühstücken, Nachrichten zu lesen, etwas Musik zu hören zur Einstimmung auf den Tag ... Ä: '''Oh, Frau Wank-Strecker, dürfte ich Sie kurz unterbrechen? Denn leider haben wir jetzt nicht genug Zeit, um ausführlicher darüber zu sprechen. Aber möchten Sie vielleicht jetzt eine Kleinigkeit haben?''' P: Oh, danke, nein, ich möchte nichts essen - nicht hier so nebenbei in der Klinik, Frau Doktor. Ä: '''Oh, ... hätte sein können, dass es Ihnen hilft. Dann machen wir weiter.''' Frau Wank-Strecker, ist Ihnen ein Kloßgefühl aufgefallen? P: Kloßgefühl? Was meinen Sie damit? Ä: Es fühlt sich so an, als wäre etwas im Hals steckengeblieben, was da nicht hingehört. P: Nein, habe ich nicht. Ä: Wie ist es mit Stuhlgang oder Wasserlassen? P: Alles normal seit gestern Abend. Ä: Ok. Haben Sie vielleicht Fieber? P: Kann sein, ja. Aber Frau Doktor, meine Schmerzen werden stärker! Sehen Sie, ich krümme mich so. Ä: Ich '''hätte Ihnen gern noch ein Schmerzmittel gegeben, aber ich sollte nachher bei der körperlichen Untersuchung alles spüren können.''' Haben Sie Ihre Temperatur schon gemessen? P: Nein. Ä: Okay, '''dann machen wir es gleich nachher.''' Frau Wank-Strecker, Sie haben vorhin schon erwähnt, dass Sie mit dem Einschlafen Schwierigkeiten haben... P: Normalerweise..., naja, ich trinke abends immer ein Bier zum Einschlafen. Ä: Haben Sie diese Schwierigkeiten schon länger? P: Ja. Ä: '''Ah/ Aha'''. Wie ist es mit Ihrem Appetit? P: Seit gestern habe ich nichts mehr gegessen. Wegen der Schmerzen. Ä: Tut mir leid zu hören. Haben Sie in den letzten Tagen ab- oder zugenommen? P: Weiß ich nicht, Frau Doktor, kann ich Ihnen nicht sagen. Ä: '''Hmm...''' Frau Wank-Strecker, haben Sie Husten? P: Ja, ich huste viel. Aber schon immer. Nicht erst seit heute. Ä: Wie ist Ihr Husten? Trocken oder produktiv, also mit Auswurf? P: Bronchitis, sagt meine Hausärztin. Ä: Dann haben Sie Reizhusten, oder? P: Weiß nicht, ob es dasselbe ist, was meine Hausärztin immer sagt. Ä: Hm, das kann ich dann eventuell bei ihr nachfragen. Frau Wank-Strecker, haben Sie irgendwelche wichtigen Krankheiten, von denen ich wissen sollte? P: Nee, sonst nichts. Bin doch noch jung. Ä: Freut mich. Nehmen Sie regelmäßig irgendwelche Tabletten? P: Nein, gegen die Bronchitis trinke ich Hustentees. Das hilft. Ä: Gut zu wissen, Frau Wank-Strecker..., sind Sie schon einmal operiert worden? P: Nein. Ä: Haben Sie irgendwelche Allergien? P: Ja, gegen Haselnüsse. Ä: Wie äußert sich die Allergie? P: Mein Hals schwillt zu. Ä: Und sind Ihnen vielleicht Unverträglichkeiten bei Lebensmitteln aufgefallen? P: Nein, ich esse alles außer Sachen mit Haselnüssen. Ä: '''Hmm.... [aha, neutral zur Kenntnis nehmend]''' Sind Sie vollständig geimpft? Auch schon gegen Covid-19? P: Ja, ich hab alles, da bin ich immer up-to-date, wissen Sie. Ä: Ich habe noch ein paar Fragen zu ihren Lebensgewohnheiten, und zwar würde ich gern wissen, ob Sie rauchen. P: Nein. Ä: Trinken Sie Alkohol? P: Das wissen Sie ja schon: Abends ein Bier. Ä: Wie häufig? P: Jeden Abend, zum Einschlafen. Das gibt mir die richtige Bettschwere. Ä: Nehmen Sie die folgende Frage bitte nicht persönlich: Aus medizinischen Gründen fragen wir routinemäßig, ob Sie Erfahrung mit Drogen haben. P: Nein, hab ich nicht. Ä: Alles klar. Frau Wank-Strecker: Ist Ihre Monatsblutung/ Periode regelmäßig? P: Ja. Ä: Könnte es sein, dass Sie schwanger sind? P: Nein, ausgeschlossen. Ä: Okay. Frau Wank-Strecker, leben Sie allein? P: Ja. Ä: Haben Sie vielleicht Haustiere? P: Ja, Katzen. Ä: Haben Sie Kinder? P: Nein. Ä: Was sind Sie von Beruf? P: Versicherungsmaklerin. Ä: Haben Sie beruflich Stress? P: Nein, da ist alles ok. Ä: Freut mich zu hören. Frau Wank-Strecker, sind Ihre Eltern gesund? P: Leider beide nicht. Das macht mir große Sorgen. Ä: Woran leiden sie? P: Meine Mutter hatte letzte Woche einen Schlaganfall und liegt noch auf der Intensivstation. Mein Vater hat stark Bluthochdruck und muss immer aufpassen. Jetzt ist alles sehr kompliziert. Ä: '''Tut mir leid zu hören'''. Haben Sie Geschwister? P: Ja, drei Brüder. Die kümmern sich gar nicht um die Eltern. Ä: Sind sie gesund? P: Keine Ahnung. Wir haben keinen Kontakt. Sie sind einfach auf und davon. Alle drei. Weit weg. Meine Eltern leiden sehr darunter, wissen Sie. Und ich auch. Ä: '''Ach so, ich kann Sie gut verstehen, Frau''' Wank-Strecker. Gibt es in Ihrer Familie irgendwelche vererbten Krankheiten, von denen ich wissen sollte? P: Von den Großeltern, meinen Sie? Ä: Ja genau, so etwas in der Art. Ich meine genetische Krankheiten. P: Darüber haben wir nicht gesprochen. Nur eine Großmutter hat den Krieg überlebt, wissen Sie. Und sie war sehr fit für ihr Alter, sie ... Ä: '''... alle diese Informationen sind für mich sehr wichtig, aber wir sollten zuerst unser Gespräch zu Ende führen. Nachher bei der körperlichen Untersuchung können wir darauf zurückkommen.''' -- '''Weiter zu Ihrer Familie''': Haben Sie Kinder? P: Das haben Sie doch vorhin schon gefragt und ich habe Nein gesagt. Ä: '''Das wäre dann schon alles meinerseits, dankeschön.''' Nehmen Sie bitte im Wartezimmer Platz, ich lasse Sie gleich wieder aufrufen. P: Ich danke Ihnen, Frau Doktor. Kann ich jetzt ein Schmerzmittel bekommen? Ä: '''Ja, hier, bitte, und ein Glas Wasser dazu.''' P: Danke. [Ende des Gesprächs] = Fall 3 = == Karl-Wilhelm Mühlhäuser == Ä: Guten Tag. P: Guten Tag, Frau Doktor. Ä: Ich bin Dr. Mammadova und auf dieser Station als Assistenzärztin tätig, P: [Pat. unterbricht] Aber... Ä: ... und würde gern das Erstgespräch mit Ihnen führen. Können wir anfangen? P: [Pat. unterbricht] ... ist da auch ein Oberarzt? Ä: Ja, wir arbeiten als Team. Und dazu gehört natürlich auch eine Oberärztin oder ein Oberarzt. P: Da bin ich beruhigt, mir geht es nämlich schlecht. Ä: Was führt Sie zu uns? Welche Beschwerden haben Sie? P: Hier [zeigt auf die Brust] tut es sehr weh, sehen Sie? Hier! Ä: '''Oh.''' Wenn Sie die Schmerzen nicht aushalten, kann ich Ihnen ein Schmerzmittel geben. P: Nein danke, Frau Doktor, ich halte es noch aus. Ä: '''Gut.''' Darf ich Ihren Namen erfahren? [Pat. sagt etwas] Ä: Herr Hellmülhäuser, wie alt sind Sie? P: Ich heiße nicht "Hellmülhäuser". Ä: '''Oh,''' wie lautet Ihr Nachname? [Pat. wiederholt seinen Nachnamen] Ä: Mit üh - hah - ell? P: Ja, wie die Mühle. Ä: Verstehe. Und Ihren Vornamen nochmal, bitte? P: Karl-Wilhelm, ein berühmter doppelter Vorname, wissen Sie! Ä: Ach so, mit Kah und Weh und und hah? Und dazwischen ein Bindestrich? P: Richtig! Ä: '''Okay. Dann so:''' Karl-Wilhelm Mühlhäuser? P: Ja, richtig. Ä: Okay. Herr Mühlhäuser, wie alt sind Sie? P: 74. Ä: Und wie groß sind Sie, Herr Mühlhäuser? P: Eins vierundachtzig. Ä: Wie viel wiegen Sie derzeit? P: Weiß nicht genau, so um die 80. Ä: Könnten Sie mir bitte noch Ihr Geburtsdatum nennen? P: Sechster August siebenundvierzig. Ä: Herr Mühlhäuser, '''kommen wir zu Ihren Beschwerden''': Seit wann haben Sie Brustschmerzen? P: Schon eine ganze Weile. Ä: Wie lange schon? P: Bestimmt ein paar Wochen. Ä: '''Oh.''' Strahlen diese Schmerzen in ein anderes Körperteil aus? P: Körperteil? Ä: Ja, zum Beispiel in Ihren Arm? P: Ach so meinen Sie das! Nein, Frau Doktor. Ä: Haben Sie noch andere Beschwerden, Herr Mühlhäuser? P: Seit gestern hab ich's schwer mit dem Atmen. Ä: Seit gestern, hm. Haben Sie Schwierigkeiten beim Einatmen oder beim Ausatmen? P: Da fragen Sie mich was, Frau Doktor! Moment: Ich glaub s'ist mehr beim Einatmen. Ä: '''Ah.''' Haben diese Schmerzen plötzlich oder langsam angefangen? P: Ja. In der Brust. Ä: Plötzlich, ja? P: Genau. Husten hatte ich schon, aber nicht mit solchen Schmerzen. Ä: Seit wann haben Sie Husten? P: Oh, mal überlegen... So seit Mitte November, als es zum ersten Mal so richtig kalt war, glaub' ich. Ä: Könnten Sie mir bitte den Husten genauer beschreiben? Ist er trocken oder haben Sie auch Auswurf? P: Ja, da kommt auch was raus. Ä: Wie ist der Auswurf? Grünlich, vielleicht gelblich? P: Nein, zum Glück nicht: weißlich. Ä: '''Gut.''' Wann tritt der Husten auf? In Ruhe oder wenn Sie sich bewegen? P: Da habe ich nicht drauf geachtet, ... Ä: Könnten Sie mir sagen, ob Sie unter Hustenattacken leiden? P: Ja, das kann man schon sagen. Ä: '''Aha.''' Könnten Sie mir bitte die Schmerzen beschreiben? Sind sie stechend, brennend, dumpf...? P: Na, so wie ein Stein auf der Brust, aber nicht immer. Ä: Könnten wir sie als dumpf beschreiben? P: Eher drückend. Ä: '''Alles klar. Ich notiere es mir eben.''' P: Sie wissen also schon, was ich habe? Ä: Leider nicht, Herr Mühlhäuser, '''ich brauche noch einige Untersuchungen, danach wissen wir mehr. Und wir arbeiten hier als Team und besprechen die Beschwerden, bevor wir eine Diagnose stellen. Haben Sie bitte noch etwas Geduld.''' P: Ja, ich habe Zeit genug mitgebracht. Ä: '''Sehr gut. Ich hätte da noch ein paar Fragen an Sie:''' Haben Sie Fieber, Herr Mühlhäuser? P: Nein, glaub nicht. Ä: Haben Sie andere Beschwerden, vielleicht Nachtschweiß oder Schüttelfrost? P: Nein, das habe ich nicht. Ä: Ist Ihnen übel? Haben Sie erbrochen? P: Nein, auch nicht. Ä: Wie ist Ihr Appetit? Also: Hat sich Ihr Appetit in letzter Zeit verändert? P: Hm, ja, schon, Frau Doktor, seit gestern. Wie das mit dem Atmen. Ä: Seit gestern. Sie essen also weniger? P: Ja, mir schmeckt es nicht mehr so. Ä: '''Hm.''' Haben Sie zusätzlich auch Schluckbeschwerden, Herr Mühlhäuser? P: Nein. Ä: '''Gut.''' Wie stark sind Ihre Brustschmerzen? ... wenn 1 leicht ist und 10 sehr stark? P: Hm [überlegt]. So 3 vielleicht der Husten, und der Druck auf der Brust, weiß nicht, sicher stärker. Ä: '''Okay, verstehe,''' Herr Mühlhäuser. '''Meine nächste Frage ist:''' Schlafen Sie gut? P: Ach nein, ich habe so Angst um meinen Bruder, da kann ich nicht schlafen, seit 6 Monaten nicht, vielleicht stirbt er bald, wissen Sie, aber ich möchte ihn nicht an den Krebs verlieren, wirklich nicht! Ä: '''Das tut mir leid zu hören,''' Herr Mühlhäuser. Wo hat er Krebs? P: Die Lunge ist es, wie bei mir, und ich habe auch Angst um mich selbst! Ist es bei mir auch Krebs? Ä: '''Hm... Dass Sie Angst haben, kann ich gut verstehen. Aber ich möchte Sie beruhigen, denn Krebs ist selten erblich. Man sollte nicht gleich ans Schlimmste denken.''' P: Ja, da haben Sie Recht, Frau Doktor, aber ich schlafe so schlecht - das war ja Ihre Frage. Ä: '''Ja.''' Herr Mühlhäuser, haben Sie in letzter Zeit ab- oder zugenommen? P: Da ist mir nichts aufgefallen. Ä: Wie ist es mit Stuhlgang und Wasserlassen? P: Alles wie sonst. Ä: '''Gut zu wissen. Jetzt würde ich gern etwas über''' Ihre Vorgeschichte erfahren, Herr Mühlhäuser. Leiden Sie an irgendwelchen chronischen Erkrankungen? P: Ja, da ist zu hoher Blutdruck, seit 10 Jahren, Zucker seit ... Moment: ... 14 Jahren. Ä: Ah [nickt]. Noch etwas? P: Nein. Aber meine Galle ist raus. Ä: Wann wurden Sie deswegen operiert? P: Ooooch, lange her, 35 Jahre bestimmt, nee, 34. Ä: '''Ah.''' Erinnern Sie sich, ob da alles ok war, mit der Narkose und so? P: Ja, das habe ich gut überstanden. Ä: Nehmen Sie regelmäßig oder gelegentlich Medikamente ein? P: Ja, mit Met... irgendwas, wegen Zucker, eins wegen Blutdruck. Ä: Metformin, meinen Sie? P: Ja, das ist das eine, morgens und abends. Und das andere nur morgens, viel weniger, es fällt mir gerade nicht ein. Ä: Vielleicht kann mir das Ihre Hausärztin oder Ihr Hausarzt sagen? P: Er heißt wie ich, aber mit Eszet. Ä: Dr. Mühlhäußer? P: Ja, mit scharfem s. Aber, ach ja, hier ist mein Medikamentenplan. Ich habe ihn ja dabei! [Holt ihn aus seiner Tasche und gibt ihn ihr.] Ä: '''Sehr gut, Herr Mühlhäuser, danke, dann schaue ich mal...''' [Hm. Liest] '''Kommen wir zu den Allergien:''' Reagieren Sie allergisch auf bestimmte Medikamente? P: Da wüsste ich nichts. Ä: Oder auf Tierhaare... P: Auf Hausstaub, Frau Doktor. Da muss ich husten und niesen. Ä: '''Ah.''' Noch etwas? P: Von Zwiebeln bekomme ich Blähungen und es tut stark weh. Ä: '''Ah.''' Nur von Zwiebeln oder vertragen Sie noch etwas Anderes nicht so gut? P: Nein, ich glaube, das ist alles. Ä: Dann die Impfungen: Sind Sie vollständig geimpft? P: Ja, volles Programm. Ich nehme alles, was ich bekommen kann. Ä: Haben Sie Ihren Pass dabei? P: Den Impfpass, meinen Sie? Nein, den habe ich vergessen. Ä: Waren Sie in letzter Zeit im Ausland, '''ich meine:''' in den letzten 6 Monaten? P: Nein. Ä: Rauchen Sie? P: Ja, seit ... hm ... 20 Jahren ... Ä: Wie viele Zigaretten? P: Zwei Schachteln bestimmt. Ä: '''Am Tag?''' [Notiert es sich.] Haben Sie '''eventuell schonmal''' versucht, mit dem Rauchen aufzuhören? P: Ach ja, schon öfter. Ist aber sehr schwer, Frau Doktor. Rauchen Sie selbst denn? Ä: '''Bleiben wir mal bei Ihnen, Herr Mühlhäuser.''' P: Aber, wissen Sie, immerhin trinke ich nicht, gar nichts. Ä: '''Ah.''' Bitte nehmen Sie die nächste Frage nicht persönlich. Routinemäßig muss ich fragen, ob Sie Erfahrung mit Drogen haben. P: Als Jugendlicher hab ich Cannabis ausprobiert, war interessant, aber auch irgendwie zu schön, um damit weiterzumachen... Hat mir Angst gemacht, irgendwie. Ä: '''Ah. Okay. Gab es da vielleicht noch etwas?''' P: Nein, damit war die Sache erledigt. Ä: '''Jetzt kommen wir zu''' Ihrer Familie, Herr Mühlhäuser. Sie haben '''mir vorhin schon gesagt, dass''' Ihr Bruder an Lungenkrebs leidet. Sind Ihre anderen Familienmitglieder gesund? Ihre Geschwister? P: Ja, gesund bzw. nicht mehr am Leben, also meine Eltern. Mein Vater ist sehr plötzlich an einem Herzinfarkt gestorben! Ä: '''Das tut mir leid.''' P: ... und meine Mutter an, naja, bei ihr war es das Alter, würde ich sagen, sie war fast nie krank. Ä: Haben Sie Kinder? P: Wir haben vier Kinder, alle soweit gesund. Ä: '''Schön.''' Herr Mühlhäuser, was sind Sie von Beruf? P: In Rente, vorzeitig, wegen Hausstaub, in der Bank, da war es immer so trockene Luft und die war voller Staub. Ä: '''Hm.''' Wie lange haben Sie dort gearbeitet? P: Von 19 bis 59, vierzig Jahre. Und am Schluss ging es einfach nicht mehr. Da konnte ich gehen. Zuhause war ja schon alles hausstaubfrei - dafür habe ich selbst gesorgt! Ä: Sind Sie verheiratet? P: Ja, und ich lebe mit der Mutter unserer Kinder zusammen. Ä: Wie viel Kinder haben Sie? P: Hab ich Ihnen doch vorhin schon gesagt: Vier. Ä: '''Entschuldigen Sie bitte, Herr Mühlhäuser. Ja, hier steht es auch schon [zeigt auf ihre Notizen].''' Sind Ihre Kinder gesund? P: Ja, zum Glück! Alle gesund. Ä: Gut zu wissen, Herr Mühlhäuser. '''Eine letzte Frage hätte ich noch:''' Haben Sie Haustiere? P: Milben [lacht] - wie alle, glaube ich. Aber wir halten sie so gut es geht in Schach, Frau Doktor, wegen meiner Allergie. Ich habe einen richtigen Putzfimmel entwickelt deswegen, das kann man sich sicher vorstellen! (Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Hausstaubmilben ) Ä: '''Sehr schön, Sie achten auf Ihre Gesundheit!''' P: Aber sicher. Nur das mit meinem Drücken in der Brust... - Was kann ich da denn tun? [klingt sehr beorgt] Ä: '''Ich kann gut verstehen, dass Sie sich Sorgen machen, und es ist gut, dass Sie zu uns gekommen sind. Wir tun alles, damit es Ihnen bald wieder besser geht.''' Ich rufe Sie gleich für die körperliche Untersuchung wieder auf. Nehmen Sie bitte solange im Wartezimmer Platz. Vielen Dank für Ihre Geduld. P: Ja klar, ich habe ja Zeit, und Sie waren sehr nett, Frau Doktor. [Ende des Gesprächs] = Fall 4 = == Antonio Braunmüller == [Patient betritt zögerlich den Raum/ das Sprechzimmer] Ärztin: Hallo, guten Tag, bitte nehmen Sie Platz. Patient: Guten Abend, Frau Doktor. Ich habe starke Schmerzen. Hier! Ä: Verstehe, '''darüber sprechen wir gleich'''. Können Sie es aushalten oder soll ich Ihnen ein Schmerzmittel geben? '''Ich habe allerdings zuerst ein paar Fragen an Sie, die für die Diagnose sehr wichtig sind.''' Pat: Ja, glaub schon - wenn es schnell geht und nicht mehr allzu lange dauert. Ä: '''Wir versuchen es.''' Zuerst möchte ich mich kurz vorstellen. Ich bin Dr. Rezaei und heute für Sie zuständig. Ich benötige zuerst ein paar persönliche Angaben von Ihnen. Pat.: Aber das dauert doch zu lange! Sie haben gesagt es ist ein kurzes Gespräch. Ä: '''Bitte haben Sie Verständnis dafür, dass ich ohne persönliche Daten dieses Gespräch nicht führen kann, denn wir brauchen diese Daten.''' Pat.: Ok, verstehe, dauert ja nicht lange. Ä: '''Dann fragen wir mal an.''' Wie heißen Sie, bitte? Pat.: Antonio Braunmüller. Ä: Darf ich fragen, wie alt Sie sind? Pat: 64. Ä: Herr Braunmüller, wann sind Sie geboren? Pat: Am 1. Februar, ich hatte gerade Geburtstag, wissen Sie, und wir hatten viele Gäste, alle mit Maske, das war ein bisschen komisch, aber naja, Hauptsache sie waren allen da zum Gratulieren. Ein sehr schönes Fest, viel Essen, guter Wein.... Ä: '''Verstehe''', Herr Braunmüller, '''meinen herzlichen Glückwunsch nachträglich. Es war bestimmt sehr schön, aber jetzt haben wir leider nicht genug Zeit, um ausführlich darüber zu sprechen. Lassen Sie uns bitte zu meinen Fragen zurückkommen.''' Wie groß sind Sie und wie viel wiegen Sie, bitte? Pat.: 86 Kilo. Ä: Und die Größe? Pat.: Eins neunzig. Ä: Was sind Sie von Beruf? Pat.: Medizintechniker. Ä: '''Interessant.''' Herr Braunmüller was führt Sie zu uns? Pat.: Bauchschmerzen, hier. Hab ich doch schon gezeigt. [Oberbauch/Magenbereich] Stark. Ä: Könnten Sie bitte diese Beschwerden genauer beschreiben? Ich meine: Die Art der Beschwerden? Sind sie dumpf, stechend, ziehend... oder? Pat.: Wie ein Krampf, Frau Doktor, schrecklich, plötzlich wieder, immer ganz unerwartet. Ä: OK, und in welcher Situation sind sie aufgetreten? Pat.: Nach dem Essen beim Geburtstag. Ä: Wie stark ist der Schmerz auf einer Schmerzskala, wobei Eins leicht ist und Zehn stark? Pat.: Sieben. Ziemlich stark, meine Schmerzen, Frau Doktor. Ä: '''Das tut mir leid zu hören. Nach der körperlichen Untersuchung kann ich Ihnen sofort ein Schmerzmittel geben, aber während der Untersuchung sollte ich alle Schmerzpunkte spüren können, um zu verstehen, was Sie haben.''' Pat.: Naja, wenn Sie es mir so herum erklären, verstehe ich natürlich, warum Sie mich vorhin gefragt haben, ob ich die Schmerzen noch etwas aushalten kann. Bitte machen Sie schnell weiter, Frau Doktor. Ä: '''Machen wir.''' Herr Braunmüller, strahlen diese Schmerzen in bestimmte Region aus? Pat.: Nein, die sind nur hier, genau hier, und schlimm. Ä: Hatten Sie das schonmal? Pat.: Hatte ich noch nie. Ä: Verstehe. Wie lange haben Sie diese starken Schmerzen schon? Pat.: Das habe ich doch schon gesagt. Seit meiner Geburtstagsfeier. Ä: '''Ach ja, Entschuldigung, Sie haben es vorhin schon gesagt.''' Sind die Schmerzen ständig da oder gehen Sie auch mal wieder weg? Pat.: Manchmal sind sie weg, ich glaube nachts manchmal, aber wenn sie plötzlich wieder da sind, erschrecke ich mich sehr, weil sie so stark sind. Meistens nach dem Essen, denke ich. Ä: Und wie lange dauert eine Attacke? Pat.: Oooch, unterschiedlich, manchmal in die Nacht hinein, sodass ich kaum einschlafen kann, manchmal nur kurz, so 15 Minuten. Ganz verschieden, ich weiß auch nicht, warum. Ä: '''Machen Sie bitte keine Sorgen. Es ist sehr gut, dass Sie zu uns gekommen sind. Wir sind hier, um Ihnen zu helfen.''' Herr Braunmüller, haben Sie etwas probiert, um die Schmerzen zu lindern? Vielleicht ein bestimmtes Medikament? Oder wird es in einer bestimmten Körperhaltung besser? Pat.: Ich habe gehofft, dass sie von selbst wieder weggehen. Und weniger gegessen und getrunken, ich meine: Alkohol. Ä: Aha, und: Hat das geholfen? Pat.: Ach, dann wäre ich ja nicht hier. Es ist eben nicht besser geworden damit. Ä: Wenn ich richtig verstanden habe, hat es sich in den letzten Tagen verschlimmert, richtig? Pat.: Ja, kann man schon sagen. Ä: Haben Sie sonst noch etwas Ungewöhnlich bemerkt? Pat.: Aufstoßen. Das habe ich so sonst auch nicht. Ä: Ah. Ist Ihnen übel? Pat.: Ja, so n bisschen flau im Magen, würde ich sagen. Nicht so richtig, naja, kotzübel - sorry, Frau Doktor. Ä: '''Dafür brauchen Sie sich bitte nicht zu entschuldigen. Sie sagen es einfach so, wie Sie es empfinden. Also keine Sorge, Herr Braunmüller. Machen wir weiter:''' Dann mussten Sie vielleicht auch erbrechen? Pat.: Nein. Noch nicht jedenfalls. Bisher nicht. Ä: Gut, haben Sie Fieber? Pat.: Hm, vielleicht ja. Ä: Haben Sie es gemessen? Pat.: Nein. Ä: '''Dann messen wir es gleich nachher.''' Schwitzen Sie? Pat.: Sie meinen: nachts? Ä: Ja genau. Pat.: Da ist mir nichts aufgefallen. Ä: Ist Ihnen schwindelig? Pat.: Nein. Alles klar und stabil. Ä: '''Sehr schön. Sagen Sie bitte:''' Haben Sie ungewollt abgenommen? Und wie ist Ihr Appetit? Wie ich verstanden habe, haben Sie in den letzten Tagen an Appetitlosigkeit gelitten, richtig? Pat.: Naja, mit Schmerzen ist man vorsichtiger. Ä: Und es gab keinen auffälligen Gewichtverlust? Pat.: Leider nicht. Ich wäre schon gern etwas schlanker. Aber mit solchen Schmerzen denkt man erstmal an nichts Anderes mehr. Ä: Verstehe. Haben Sie Schwierigkeiten beim Wasserlassen? Pat.: Nee, alles normal, so wie sonst auch. Ä: Müssen Sie nicht nachts häufig auf die Toilette? Pat.: Nein, eher das Gegenteil: Verstopfung. Ä: '''Hm, ich meinte nur:''' häufigeren Harndrang. Müssen Sie nachts raus, um Wasser zu lassen? Pat.: Nein. Weiß nicht. Kann ich nicht sagen. Ä: '''Und Sie sagten Sie haben''' Verstopfung. Seit wann haben Sie Verstopfung? Pat.: Ooch, hin und wieder mal. Das kenne ich schon. Ä: Nehmen Sie dagegen dann irgendwelchen Medikamente ein? Pat.: Nein, ich trinke Pflaumensaft. Manchmal helfen auch trockene Pflaumen. Mein Hausarzt hat mir mal was verschrieben, aber davon wurde mir übel. Da habe ich meine Nachbarin gefragt und seither mache ich es mit Natur, wissen Sie. Ä: '''Verstehe.''' Wie ist es mit dem Einschlafen? Haben Sie da Schwierigkeiten? Pat.: Manchmal ja, manchmal nein. Im Job habe ich Stress und es fällt mir manchmal doch schwerer, abzuschalten. Dann wälze ich mich manchmal etwas im Bett herum, bis ich dann doch einschlafe. Ä: Gehen Sie regelmäßig zum Hausarzt? Pat.: Ach ja, da passt meine Frau schon auf. Ä: '''Schön zu hören.''' Wie heißt Ihr Hausarzt? Pat.: Dr. Tavakkoly. Ä: Herr Braunmüller, leiden Sie an irgendwelchen Erkrankungen? '''Ich meine:''' An chronischen Krankheiten wie Bluthochdruck ... Pat.: Nein, ich bin ziemlich fit trotz Stress, Migräne manchmal, aber sonst eigentlich nichts. Deshalb bin ich doch etwas alarmiert wegen dieser Schmerzen. Ich schäme mich etwas vor unserem Hausarzt, deshalb bin ich direkt hierher gekommen. Ä: '''Aber man braucht sich beim Arzt nicht zu schämen, ...''' Pat.: Ach, Sie kennen ihn ja nicht, so ein feiner Mann, wirklich. Und ich war bisher so fit, war fast nur zu den Routineuntersuchungen bei ihm und wir haben uns nett unterhalten nebenher. Er geht nämlich auch gern zum Tennis. Ä: Verstehe, Herr Braunmüller, '''man sollte sich schon regelmäßig untersuchen lassen - egal was man hat oder glaubt zu haben. Aber jetzt zurück zu meinen Fragen.''' Sie haben gesagt, dass alles mit Ihnen in Ordnung ist: Nehmen Sie dennoch regelmäßig oder gelegentlich Medikamente, vielleicht bei Bedarf? Pat.: Ja, bei Migräne nehme ich dann was, aber mir fällt gerade nicht ein, wie das heißt. Soll ich meine Frau anrufen? Ä: Nein, ich frage Ihren Hausarzt später danach. Haben Sie Allergien? Pat: Nein. Ä: Sind Sie vollständig geimpft? Pat.: Ja, alles komplett. Auch gegen Corona. Ä: '''Gut''', rauchen Sie? Pat.: Nein. Auch keine Drogen. (Mein Bruder aber.) Ä: Wie viel Alkohol trinken Sie? Pat.: Regelmäßig guten Rotwein. Das muss sein. Gehört zum Leben. Jeden Abend ein Gläschen. Naja, derzeit weniger. Ä: Haben Sie schon einmal gedacht, dass es zu viel ist? Pat.: Nee, ich halte doch Maß. Ä: Gibt es irgendwelche Erkrankungen in Ihrer Familie? Leben Ihre Eltern noch? Pat.: Mein Vater ist leider an einem Magenkarzinom gestorben. Ehrlichgesagt habe ich Angst, dass mir das auch blüht, mit solchen Schmerzen. Meine Mutter ist 93 und einfach nur alt, naja, Bluthochdruck und sowas. Mein Bruder hat Zucker. Aber das ist auch schon alles. Ä: '''Es tut mir leid für Ihren Vater, aber keine Sorge, nicht alle Schmerzen deuten auf Krebs hin.''' Sie haben gesagt, dass Sie eine Frau haben. Ich nehme an Sie wohnen zusammen? Haben Sie Kinder? Pat.: Ja, und wir haben vier Töchter, alle noch gesund, zum Glück. Ä: Gut zu wissen, und sind sie schon ausgezogen oder leben sie noch bei Ihnen? Pat.: Nein, alle sind ausgezogen und längst flügge. Ä: '''So, vielen Dank für Ihre Geduld''', Herr Braunmüller. Das wäre alles meinerseits. Hätten Sie Fragen an mich? Pat.: Muss ich hier bleiben, Frau Doktor, und wie lange dauert es noch, bis ich ein Schmerzmittel bekommen kann? Ä: '''Ja, Sie sollten hier bleiben, damit wir Sie untersuchen können.''' Und um eine richtige Diagnose stellen zu können, sollten wir eine körperliche Untersuchung und eine Laboruntersuchung durchführen. Pat.: Ok, Frau Doktor, danke. Und was ist mit dem Schmerzmittel? Ä: Nach der körperlichen Untersuchung dann sofort, Herr Braunmüller. Pat.: Ach ja, das sagten Sie ja schon. Danke. [Ende des Gesprächs] = Fall 5 = == Susanne Uhlenhorst == Ärztin: Guten Tag. <br/> Patientin: Guten Tag. Ärztin: Nehmen Sie bitte Platz. <br /> Patientin: Dankeschön. Ärztin: Mein Name ist Anita Löbel, ich bin Ärztin auf dieser Station und heute für Sie zuständig. '''Können wir anfangen?'''<br /> Patientin: [nickt] Ärztin: Ich würde Ihnen am Anfang gern ein paar allgemeine Fragen stellen. '''Ist das für Sie so in Ordnung?'''<br /> Patientin: Ja, ok. Ärztin: Wie heißen Sie denn?<br /> Patientin: Susanne Uhlenhorst. Ärztin: '''Den Nachnamen nochmal, bitte?'''<br /> Patientin: Uhlenhorst. Ärztin: '''Schreibt sich das''' am Anfang '''mit''' "Uh haah"?<br /> Patientin: Ja. Ärztin: Und am Ende mit "er es teh"?<br /> Patientin: Ja, richtig. Ärztin: Aha, danke, also "Uhlenhorst", richtig?<br /> Patientin: Ja, genau. Ärztin: Wie alt sind Sie, bitte? <br /> Patientin: Ich bin 45. Ärztin: Wann sind Sie genau geboren?<br /> Patientin: Am ersten Mai neunundsiebzig. Ärztin: Wissen Sie, wie groß Sie sind?<br /> Patientin: Eins siebzig. Ärztin: Wissen Sie auch, wie viel Sie wiegen?<br /> Patientin: Zweiundsechzig Kilo. Ärztin: Vielen Dank. Was führt Sie denn heute zu uns?<br /> Patientin: Frau Doktor, seit Monaten bin ich immer müde und fühle mich sehr schlapp. Ärztin: (Hhem.)[<-- Die Ärztin signalisiert, dass sie zugehört hat.]<br /> Patientin: Und ich habe Herzrasen. Ärztin: (Hhem.) Wie schnell ist denn der Herzschlag?<br /> Patientin: Sehr schnell und irgendwie durcheinander, also: Es fühlt sich so an, als ob mein Herz nicht regelmäßig schlägt. Ärztin: Haben Sie das mal gemessen?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Ok [notiert sich etwas]. Haben Sie noch andere Beschwerden?<br /> Patientin: Ja, Herzklopfen habe ich auch. Ärztin: (Hhem.) Gibt es bestimmte Situationen, wo Ihnen das besonders aufgefallen ist?<br /> Patientin: Nein, Frau Doktor. Da wüsste ich nichts. Ärztin: Und das mit dem Herzen, ist das auch seit zwei Monaten?<br /> Patientin: Ja, genau. Und ich bin immer so nervös und komme kaum zur Ruhe, was mir echt Angst macht. Ärztin: '''Was meinen Sie mit "nervös"?''' Was sind das für Situationen, wo Sie nervös werden?<br /> Patientin: Ach, es ist seit einigen Wochen ständig so, dass ich nervös bin. Ärztin: Und das ist etwas, was Sie so nicht kennen, von früher? Ist es das erste Mal, dass Sie diese Beschwerden haben oder hatten Sie das schonmal?<br /> Patientin: Nein, das ist erst seit zwei Monaten so. Ärztin: (Hhem.) Wie ist denn Ihr Schlaf? Schlafen Sie gut?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Haben Sie Probleme beim Einschlafen?<br /> Patientin: Ja. Ärztin: (Hhem.) Und auch beim Durchschlafen?<br /> Patientin: Ja, das auch manchmal. Ärztin: Würden Sie sagen, dass Sie insgesamt weniger schlafen als früher?<br /> Patientin: Ja. Ärztin: Schlafen Sie manchmal tagsüber?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Nein [kleine Pause, überlegt], ok. Wie ist es denn mit der Verdauung? Haben Sie irgendwelche Probleme mit der Verdauung?<br /> Patientin: Hm, Frau Doktor, ich habe viel Stuhlgang, sehr viel sogar. Aber ich habe auch viel mehr Appetit als sonst. Ärztin: (Hhem.)<br /> Patientin: Und ich gehe auch viel häufiger zur Toilette als sonst. Ärztin: '''Meinen Sie:''' beim Stuhlgang?<br /> Patientin: Ja. Ärztin: (Hhem.) Wie oft am Tag haben Sie ungefähr Stuhlgang?<br /> Patientin: Zwei oder drei Mal. Ärztin: '''Verstehe.''' Wie sieht denn der Stuhl aus?<br /> Patientin: Normal, aber ein bisschen dünner. Ärztin: Hhem, "dünner". '''Meinen Sie: Auch ein bisschen weicher?'''<br /> Patientin: Ja, weicher. Ärztin: Und welche Farbe hat der Stuhl?<br /> Patientin: Braun. Ärztin: (Hhem.) Ist Ihnen mal Blut oder so ein ganz schwarzer Stuhl aufgefallen?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Ok. Wie ist es beim Wasserlassen? Gibt es da irgendwelche Probleme?<br /> Patientin: Nein, da ist alles wie immer. Ärztin: (Hhem.) Ist Ihnen aufgefallen, dass Sie in letzter Zeit mehr schwitzen?<br /> Patientin: Ja, ich schwitze echt viel. Ärztin: (Hhem.) Und ist Ihnen häufig kalt oder eher warm?<br /> Patientin: Kalt. Und ich zittere dann auch. Ärztin: (Hhem.) Zittern Ihre Hände?<br /> Patientin: Ja. Ärztin: (Hhem.) Dieses Zittern: Ist das die ganze Zeit da oder nur manchmal?<br /> Patientin: Nur manchmal. Ärztin: Und ist das eher, wenn Sie etwas greifen wollen? Also, wenn Sie '''zum Beispiel''' nach einem Glas Wasser greifen wollen. Zittern dann die Hände mehr?<br /> Patientin: Ja. Ärztin: (Hhem.) Frau Uhlenhorst, wie hat sich denn Ihr Gewicht in der letzten Zeit entwickelt?<br /> Patientin: Obwohl ich mehr esse, habe ich abgenommen. Ärztin: Oh! Wie viel haben Sie abgenommen?<br /> Patientin: Ich glaube drei Kilo. Ärztin: Hm, in welchem Zeitraum?<br /> Patientin: In den letzten 3 Monaten. Ärztin: Obwohl Sie also viel mehr essen als sonst, haben Sie abgenommen?<br /> Patientin: Genau. Ärztin: '''Haben Sie selbst irgendeine Idee, woher das kommen könnte? Also, warum es Ihnen in den letzten zwei Monaten schlechter geht?'''<br /> Patientin: Nein. Ich verstehe es überhaupt nicht und würde wirklich mal gern wissen, was mit mir los ist.<br /> Ärztin: '''Es ist auf jeden Fall gut, dass Sie hergekommen sind.'''<br /> Patientin: Was habe ich denn, Frau Doktor? Ärztin: '''Leider kann ich es Ihnen jetzt noch nicht sagen, aber nach den Untersuchungen wissen wir mehr.'''<br /> Patientin: [nickt] Ärztin: Hat jemand in Ihrer Umgebung oder aus Ihrer Familie ähnliche Beschwerden?<br /> Patientin: Dazu fällt mir gerade nichts ein. Meine Mutter hatte mir mal erzählt, dass meine Tante Hormonprobleme hat. Aber meine Mutter lebt seit 20 Jahren nicht mehr. Ärztin: '''Oh, das tut mir sehr leid.''' Woran ist sie denn gestorben?<br /> Patientin: Bei einem Unfall. Ärztin: '''Oh jeh.''' Darf ich dennoch fragen, ob Ihre Mutter eine chronische Erkrankung hatte?<br /> Patientin: Natürlich dürfen Sie mich danach fragen, Frau Doktor. Sie hatte Probleme mit den Nerven und hatte irgendwie oft Angst und hat sich wegen allem Sorgen gemacht. Ärztin: (Hhem.) Wissen Sie etwas über Erkrankungen in Ihrer weiteren Familie: beim Vater oder den Geschwistern?<br /> Patientin: Mein Vater ist zuckerkrank. Ärztin: (Hhem.) Haben Sie Geschwister?<br /> Patientin: Ja, einen Bruder. Ärztin: Ist er gesund?<br /> Patientin: Ja. Ärztin: Und haben Sie Kinder?<br /> Patientin: Ja, zwei. Ärztin: Wie alt sind die denn?<br /> Patientin: 8 und 14. Ärztin: '''Ah, super.''' Wohnen die bei Ihnen zuhause?<br /> Patientin: Ja. Ärztin: Haben die irgendwelche gesundheitlichen Probleme?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: '''Schön.''' '''Kommen wir nochmal zu Ihnen selbst zurück''': Ist Ihnen sonst noch etwas aufgefallen?<br /> Patientin: Ja. Meine Haut fühlt sich ganz warm an. Ärztin: (Hhem.)<br /> Patientin: Und meistens feucht. Ärztin: '''Verstehe.''' '''Vorhin haben Sie mir ja schon gesagt, dass''' Sie meistens schwitzen. '''Das hatte ich mir notiert.''' '''Ich habe noch ein paar Fragen zu''' Ihrer medizinischen Vorgeschichte: Sind bei Ihnen irgendwelche chronischen Erkrankungen bekannt?<br /> Patientin: Ja, ich habe Zucker. Ärztin: (Hhem.) Seit wann?<br /> Patientin: Seit 8 Jahren. Ärztin: Wissen Sie, welche Form von Zuckerkrankheit Sie haben?<br /> Patientin: Während meiner zweiten Schwangerschaft wurde ich zuckerkrank und seither ist es so. Ärztin: Wie wird denn diese Erkrankung behandelt?<br /> Patientin: Mit Metformin. Das nehme ich morgens. Ärztin: In welcher Dosierung nehmen Sie das?<br /> Patientin: 500. Ärztin: Vertragen Sie das gut?<br /> Patientin: Ja. Ärztin: '''Super.''' Nehmen Sie noch weitere Medikamente?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Nehmen Sie manchmal etwas bei Bedarf? Also bei Kopfschmerzen, '''zum Beispiel'''?<br /> Patientin: Ja, eine Paracetamol. Ärztin: (Hhem.) '''Und ich hätte da noch eine wichtige Frage''': Sind bei Ihnen irgendwelche Allergien bekannt?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Auch nicht gegen Medikamente?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Ok. Und gibt es irgendwelche Lebensmittel, die Sie nicht vertragen?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Gut. Gibt es außer dieser Zuckerkrankheit bei Ihnen noch andere chronische Erkrankungen?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Sind Sie mal im Krankenhaus behandelt worden, in den letzten Jahren?<br /> Patientin: Nein, ich gehe nur zum Hausarzt wegen meinem Zucker. Ärztin: '''Gut.''' Wer ist Ihr Hausarzt?<br /> Patientin: Frau Dr. Seemann. Ärztin: (Hhem.) Sind Sie schonmal operiert worden?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Ok. Und wie ist das mit dem Rauchen?<br /> Patientin: Ja, ich bin Raucherin: 8-9 Zigaretten am Tag. Ärztin: Seit wann?<br /> Patientin: Seit ich 20 bin. Ärztin: '''Also''' haben Sie mit 20 angefangen, ja?<br /> Patientin: Ja. Ärztin: Haben Sie in den Schwangerschaften auch geraucht?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Haben Sie schon versucht, damit aufzuhören?<br /> Patientin: Ja, habe ich, aber es ist mir nicht gelungen. Ich habe es neben dem Beruf und der Familie einfach nicht geschafft. Aber immerhin habe ich es etwas reduziert, von 10-12 auf 8-9 pro Tag. Ärztin: '''Das ist ja schonmal gut.''' Was machen Sie denn beruflich?<br /> Patientin: Ich bin Bibliothekarin. Ärztin: Schön. In Vollzeit?<br /> Patientin: Ja. Ärztin: '''Kommen wir nochmal zurück.''' Wie ist es mit Alkohol? Trinken Sie Alkohol?<br /> Patientin: Ja, jeden Abend ein Gläschen Wein. Ärztin: Wie lange schon?<br /> Patientin: Seit 20 Jahren. Ärztin: Und andere Alkoholika? Noch was Hochprozentiges, '''vielleicht'''?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: '''Nehmen Sie die folgende Frage bitte nicht persönlich. Es ist eine Routinefrage''': Wie ist es mit anderen Drogen?<br /> Patientin: Nie probiert. Ärztin: Gut. '''Frau Uhlenhorst, darf ich fragen, ob Sie verheiratet sind'''?<br /> Patientin: Ja, bin ich. Ärztin: '''Leben Sie als Familie zusammen?'''<br /> Patientin: Ja. Ärztin: Frau Uhlenhorst, waren Sie in der letzten Zeit im Ausland?<br /> Patientin: Nein. Ärztin: Und wie sieht es mit den Impfungen aus? Haben Sie zufällig Ihren Impfausweis dabei?<br /> Patientin: Oh, heute nicht. Aber ich habe alles. Ärztin: Was war denn die letze Impfung? '''Erinnern Sie sich daran?'''<br /> Patientin: Ja, gegen Corona, zwei Mal. Ärztin: Ok. Ich habe alle wichtigen Fragen gestellt. Haben Sie Fragen an mich?<br /> Patientin: Mir ist noch etwas eingefallen: Meine Haare sind dünner und spröder geworden. Ärztin: (Hhem.) Seit wann ist das so?<br /> Patientin: Seit zwei, drei Monaten. Und ich habe auch das Gefühl, dass meine Haut dünner wird. Ärztin: (Hhem.) Und haben Sie manchmal plötzlich blaue Flecken, und wissen gar nicht, wo das herkommt?<br /> Patientin: Nein. Aber ich kann mich auch nicht so gut konzentrieren, wie ich das von mir gewohnt bin. Das merke ich bei der Arbeit und auch im Umgang mit den Kindern. Ärztin: (Hhem.) '''Verstehe'''. '''Sie haben vorhin schon gesagt, dass''' Sie so nervös sind. '''Das klingt wirklich sehr anstrengend, ja.'''<br /> Patientin: Ist es auch. Und ich halte Hitze echt nicht gut aus. Was könnte es sein, Frau Doktor? Kann es Krebs sein? Ich habe da echt Angst. Ärztin: '''Ja, ich kann gut verstehen, dass Sie Angst haben.''' Also, ich vermute im Moment, dass es etwas mit der Schilddrüse zu tun haben könnte. Die Schilddrüse ist ein kleines Organ hier am Hals [zeigt hin]. Haben Sie damit jemals Probleme gehabt?<br /> Patientin: Nein. [Überleitung zum Schluss] <br /> Ärztin: '''Wir werden auf jeden Fall ein paar Untersuchungen machen. Ich werde Sie einmal von Kopf bis Fuß untersuchen und alles einmal durchchecken. Wir müssen auch das Blut untersuchen. Man kann dann mit Ultraschall diese Schilddrüse ganz gut einschätzen - was da los ist. Ich denke, dass wir schon heute die ersten Ergebnisse haben und sagen können, ob das die Schilddrüse ist oder nicht. - Haben Sie weitere Fragen?'''<br /> Patientin: Was ist Ultraschall, Frau Doktor? Ärztin: Vielleicht erinnern Sie sich aus der Schwangerschaft: Ultraschall ist das, wo man mit einem Gel auf dem Bauch herumgefahren ist, und das können wir auch an der Schilddrüse machen. Das geht ganz schnell, tut nicht weh und ist auch ohne Strahlung.<br /> Patientin: Ok. Ärztin: Ja? '''Haben Sie sonst noch Fragen?'''<br /> Patientin: Nein, sonst ist alles klar, Frau Doktor. Vielen Dank. Ärztin: '''Dann schlage ich vor, Sie setzen sich schonmal auf die Untersuchungsliege und ich untersuche Sie erstmal'''.<br /> Patientin: Muss ich hier bleiben? Ärztin: Sie meinen, ob Sie im Krankenhaus bleiben müssen?<br /> Patientin: Ja, das meine ich. Ärztin: '''Also: Das kommt ein bisschen auf die Untersuchungsbefunde an. Ich würde sagen, wir schauen erstmal, und ich denke: In ungefähr ein bis zwei Stunden wissen wir Genaueres, ja, und dann sage ich Ihnen Bescheid.'''<br /> Patientin: Ok, vielen Dank. Ärztin: Gern. [Ende des Gesprächs] = Fall 6 = Für das Transkript in der ersten Version danke ich T.M. sehr herzlich. == Anita Camara == (Dieses Anamnesegespräch wurde von einer muttersprachlichen Ärztin durchgeführt.) Ärztin: Hallo, guten Tag. Patientin: [müde klingend] Hallo, Frau Doktor. Ärztin: '''Bitte nehmen Sie Platz.''' Patientin: Ja, danke. Ärztin: Ich bin Dr. Müller und heute für Sie zuständig. '''Bevor es losgeht''', würde ich gerne wissen, wie Sie heißen. Patientin: Ich heiße Camara Anita. Ärztin: Anita Kamara? Huum, können Sie Ihren Nachnamen buchstabieren, bitte? Patientin: Ja, also: Ceh - Ah - Emm - Ah - Er - Ah. Ärztin: '''Nochmal, bitte!?''' Patientin: Ceh - Ah - Emm - Ah - Er - Ah. Ärztin: Aha: Ceh - Ah - Emm - Ah - Er - Ah. Patientin: Ja, genau. Ärztin: Gut, danke. Anita mit einem n? Patientin: Ja. Ärztin: Ok. Frau Camara, wie alt sind Sie? Patientin: Ich bin 53. Ärztin: Hmm, wann sind Sie genau geboren? Patientin: 1970. Ich weiß mein Geburtsdatum leider nicht genau, in meinem Land ist das oft so, wissen Sie, ich weiß nur das Geburtsjahr. Ärztin: '''Aha, ok, danke.''' Wie groß sind Sie? Patientin: 168 cm [eins achtundsechzig]. Ärztin: Ah, wie viel wiegen Sie? Patientin: 87. Ärztin: Hmm, vielen Dank. Ja, '''erzählen Sie mal: Was führt Sie heute her?''' Patientin: Eeh, ich hatte habe Schmerzen hier oben im Bauch und die werden seit 3-4 Tagen schlimmer. Mir ist auch übel und ich musste erbrechen. Ärztin: Oh, ahmm, wann hat das mit der Übelkeit angefangen? Patientin: Gestern. Ärztin: Wie oft haben Sie sich übergeben? Patientin: Drei Mal. Einmal gestern und heute zweimal. Deswegen bin ich hier in die Notaufnahme gekommen, Frau Doktor. Ärztin: '''Ja, das verstehe ich.''' Eeh, wie sah war denn das Erbrochene aus? Patientin: Sauer... Ärztin: Es hat '''also sauer''' geschmeckt? Patientin: Ja sauer, ich habe ja nichts gegessen, seit gestern und nur Flüssigkeit erbrochen. Ärztin: '''Hmm, verstehe.''' War da auch Blut zu sehen? Patientin: Nein, war es nicht. Ärztin: Haben Sie noch weitere Beschwerden? Patientin: Bauchschmerzen, es tut wirklich weh, und ich habe auch Rückenschmerzen, Frau Doktor. Ärztin: Die Rückenschmerzen sind '''also''' auch seit 3 Wochen da? Patientin: Ja, seit 3 Wochen, und sie sind in den letzten 2-3 Tagen stärker geworden. Ärztin: Ok. Haben Sie solche Schmerzen auch früher schonmal gehabt? Patientin: Nein, noch nie. Ärztin: Hmm. Ok. Wissen Sie, ob jemand in Ihrer Umgebung ähnliche Beschwerden hat? Patientin: Ich wohne allein, Frau Doktor, also kann ich dazu nichts sagen. Ärztin: Haben Sie Fieber oder haben Sie vielleicht Fieber gemessen? Patientin: Ja, ich habe Fieber. Ich habe es aber nicht gemessen. Seit vorgestern schon habe ich das Gefühl, Fieber zu haben. Ärztin: Hatten Sie Schüttelfrost? Patientin: Ja, heute Morgen. Ärztin: Aha, '''haben Sie schonmal erlebt, dass''' Sie ganz stark geschwitzt haben, so dass alles nassgeschwitzt war? Patientin: Nein. Ärztin: Ok, gut. Hat sich Ihr Gewicht in der letzten Zeit verändert? Patientin: Nein, Frau Doktor, oder vielleicht habe ich ein bisschen abgenommen... Ärztin: Könnten Sie sagen, wie viel Kilo ungefähr? Patientin: Einer Kollegin von mir ist es aufgefallen, ich weiß nicht, wie viel. Ärztin: Also, bei der Arbeit ist jemandem aufgefallen, dass Sie dünner aussehen, richtig? Patientin: Ja, genau. Ärztin: Was arbeiten Sie denn? Patientin: In der Buchhandlung, bei meinem Partner. Früher habe ich in der Personalabteilung von einer Firma gearbeitet, bis 2008. Ärztin: Ok. Nochmal zurück zu Ihren aktuellen Beschwerden. Schlafen Sie gut? Patientin: Oh, ich habe schon lange nicht mehr richtig durchschlafen. Ärztin: '''Hmm...''' Seit wann ist das so? Patientin: Eemm... Seit 2008. Ärztin: '''Hmm …''' Gibt es irgendwelche weiteren Beschwerden, die Ihnen aufgefallen sind? Patientin: Ja, mir ist auch ein bisschen schwindelig und es fühlt sich so an, als ob ich zu viel Luft im Bauch habe. Heute Morgen habe ich mich im Spiegel gesehen und mir ist aufgefallen, dass meine Haut ein bisschen gelblich ist. Ärztin: '''Also, dass''' die Haut gelb aussieht? Patientin: Ja, genau. Ärztin: Aha. Und das ist Ihnen '''(also) heute Morgen''' aufgefallen? Patientin: Ja. Ärztin: '''Aha. Ok. Aamm, Sie haben schon gesagt, dass''' Sie in einem afrikanischen Land geboren sind. Jetzt muss ich einmal fragen: Welche Farbe hat Ihre Haut sonst? Patientin: Aber Sie sehen mich doch, Frau Doktor! [Die Patientin ist hellhäutig.] Ärztin: Ja, ok, das sehe ich. Hat sich das Weiße im Auge vielleicht verfärbt? Patientin: Nein. Ärztin: Frau Camara, sind bei Ihnen irgendwelche Erkrankungen bekannt? Etwas Chronisches, oder sind Sie mal schwer erkrankt gewesen? Patientin: Ach ja, Frau Doktor, ich habe einmal versucht, mich umzubringen, das war 2008. Ärztin: '''Ojeeh, was ist denn passiert?''' Patientin: Ich habe das Sorgerecht für meine Tochter verloren und seit 2008 meine Tochter nicht gesehen. Das war sehr schwierig für mich und ist es immer noch... Ärztin: '''Ja, das glaube ich.''' Hatten Sie denn dann Hilfe, nach dem Suizidversuch? Patientin: Eeeh, ich war im Krankenhaus, einen Monat, danach war ich bei einem Psychiater. Aber inzwischen geht es mir besser. Ärztin: Jetzt geht es Ihnen besser, '''das ist ja schön.''' Wurden '''denn''' auch Medikamente verschrieben, damals? Patientin: Ja, aber ich weiß den Namen nicht mehr. Ärztin: Nehmen Sie die Medikamente immer noch? Patientin: Ja, zwar unregelmäßig, aber ja. Ich fühle mich besser, Frau Doktor, wissen Sie... Ich habe die Medikamente ja abgesetzt. Ich brauche sie nicht mehr. Ärztin: Nehmen Sie im Moment irgendwelche Medikamente? Patientin: Eemm, im Moment nehme ich keine Medikamente, außer Eisentabletten. Ärztin: Ok. Wer hat denn die Eisentabletten verschrieben? Patientin: Ich habe sie selbst bei DM gekauft. Ärztin: '''Aha,''' die sind von DM. Und warum, wenn ich fragen darf? Patientin: Ich fühle mich manchmal zu müde und ich dachte, das würde helfen. Wahrscheinlich habe ich Eisenmangel. Ärztin: '''Ja, das kann schonmal vorkommen.''' Wurde das Blut in letzter Zeit untersucht? Patientin: Nein. Ärztin: Haben Sie einen Hausarzt? Patientin: Ja, ich habe einen, aber ich gehe nicht gern dahin. Ärztin: Wann waren Sie '''denn''' zum letzten Mal '''da'''? Patientin: Hmm. Bei meiner letzten Erkältung, also vor einem Jahr. Ärztin: Ok. Gut. '''Ich weiß jetzt, dass''' 2008 ein schwieriges Jahr für Sie war. Aamm, gibt es noch andere Erkrankungen, von denen ich wissen sollte? Patientin: Also, ja, Frau Doktor, ich bin alkoholabhängig. Ärztin: Wie viel trinken Sie ungefähr am Tag? Patientin: Ich trinke eine halbe Flasche Gin oder Wodka... Ärztin: War das schonmal mehr als eine halbe Flasche? Patientin: Ja, also vorgestern, am Wochenende . . . Ärztin: Wie viel war es da? Patientin: Hmm. Wir haben ein Spiel gespielt und da, ja, habe ich viel getrunken, wissen Sie. Ärztin: Wie viel ungefähr? Patientin: Vielleicht 6-7 Shots von Jägermeister waren das und danach sind wir dann draußen gewesen und da habe ich echt viel getrunken. Ärztin: Haben Sie da eine Erinnerungslücke von dem Abend, oder können Sie sich an alles erinnern? Patientin: Nein, ich kann mich da nicht an alles erinnern. Aber ich war mit meinem Partner zusammen und alles war gut. Er hat mir später aber gesagt, dass ich am Wochenende viel getrunken habe, und mir ist seitdem übel und ich musste ja auch erbrechen. Er hat mir gestern Pantoprazol gegeben, aber das hat mir nicht geholfen. Ärztin: Hmm. '''Ich denke, wir müssen einmal ganz genau schauen, was bei Ihnen so los ist mit dem Magen. Es ist gut, das Sie mir erzählt haben, das Sie relativ viel Alkohol trinken.''' Seit wann ist das so, also: dass Sie regelmäßig so viel Alkohol trinken? Patientin: Hmm, seit 2008 Frau Doktor, wissen Sie... aber, ja, eine halbe Flasche ist nicht viel, damals war es mehr. Ärztin: Ach ja, '''es ist gut, dass es jetzt nicht mehr so viel ist, aber''' trotzdem ist es natürlich dem menschlichen Körper zu viel. '''Jetzt machen wir eins nach dem anderen. Erstmal gucken wir, was mit dem Magen ist. Ich werde Sie untersuchen, Blut abnehmen, und dann schauen wir, wie es weitergeht, ja?''' - '''Ein paar Fragen habe ich leider noch:''' Rauchen Sie? Patientin: Ja, eine Schachtel pro Tag. Ärztin: Wann haben Sie mit dem Rauchen angefangen? Patientin: Mit 23 Jahren. Ärztin: Hm. Und haben Sie die ganze Zeit geraucht? Patientin: Sorry? Ärztin: Haben Sie die ganze Zeit geraucht, seitdem Sie begonnen haben, oder gab es... Patientin: Achso, ja, aber jetzt rauche ich weniger. Früher habe ich mehr geraucht. Ärztin: '''Na, auf jeden Fall ist es gut, dass es jetzt nicht mehr so viel ist.''' Haben Sie schon mal Drogen genommen? Patientin: Hmm. Drogen? Warum fragen Sie? Ärztin: Jaaa, '''das ist eigentlich nur eine Routinefrage.''' Aaam, ich meine sowas wie Canabis, oder irgendwelche Pillen, oder was zu Beruhigung. Haben Sie damit Erfahrung? Patientin: Ja, als Teenager habe ich mit Freunden Drogen genommen. Ärztin: Wissen Sie, was genau? Patientin: Ich habe was geraucht... Ärztin: Cannabis oder was anderes? Patientin: Ja, ich habe mit Freunden Cannabis geraucht. Ärztin: Und noch andere Drogen? Patientin: Ja, ich habe auch Kokain probiert. Ärztin: Noch was? Patientin: Hmm. Auch LSD. Ärztin: Wann war denn der letzte Konsum dieser Substanzen? Patientin: Meinen Sie zum Rauchen? Ärztin: Nein, '''überhaupt, ich meine:''' alles, was nicht Zigaretten und Alkohol sind. Patientin: Also, am Wochenende habe ich mit meinem Partner ein bisschen Kokain genommen... und dann haben wir auf dem Nachhauseweg noch geraucht. Ärztin: Einen Joint, '''meinen Sie'''? Patientin: Ja, ein paar Joints. Ärztin: Hmmmm. '''Waren Sie jemals''' in einer Klinik aufgrund dieser Substanzen, die Sie einnehmen? Also in Entgiftung oder in Entzugsbehandlung, haben Sie das schon mal gemacht? Patientin: Nein. Ich will nicht. Ärztin: Sind Sie denn sonst noch einmal im Krankenhaus gewesen? Patientin: Nein, nur 2008, in einer Psychiatrie. Ärztin: Ja, das habe ich mir schon notiert. '''Das war also bisher das einzige Mal?''' Patientin: Ja. Ärztin: Ok. Sind Sie schon mal operiert worden? Patientin: 1995 hatte ich einen Kaiserschnitt. Ärztin: Gab es da irgendwelche Schwierigkeiten? Patientin: Nein, alles war gut. Ärztin: '''Schön zu wissen.''' Außer dieser Schwangerschaft, sind Sie vorher oder danach schwanger gewesen? Patientin: Ja, ich hatte 2 Fehlgeburten und einen Schwangerschaftsabbruch. Ärztin: Oh, und gab es ansonsten noch andere OPs, vielleicht hatten Sie mal einen Knochenbruch? Patientin: Nein. Ärztin: Ok. Sie haben mir vorhin schon gesagt, das Sie einen Partner haben und das Sie aktuell mit dem Partner im Buchhandel arbeiten, richtig? Patientin: Ja. Ärztin: '''Aber Sie wohnen nicht zusammen, richtig?''' Patientin: Ja, richtig. Ärztin: Sind Sie mal verheiratet gewesen? Patientin: Ja, einmal. Ärztin: Und was ist dann passiert? Patientin: Mit dem Vater meiner Tochter war ich verheiratet und 2008 haben wir uns scheiden lassen. Wegen dem Alkohol habe ich meine Tochter für immer verloren, wissen Sie... Ärztin: '''Hmm, das war bestimmt nicht einfach für Sie.''' Patientin: Ahh, ... ja. Ärztin: Ich habe noch ein paar Fragen zu Ihre Familie. Zu Ihrer Tochter und Ihren Eltern: Sind bei denen irgendwelche Erkrankungen bekannt? Patientin: Meine Tochter ist gesund. Meine Mutter hat Zucker und mein Vater hatte einen Herzinfarkt und wurde operiert. Ärztin: '''Und beide, Vater und Mutter, leben noch?''' Patientin: Mein Vater ist gestorben. Meine Mutter lebt noch, ja. Ärztin: Ok. Wann ist denn Ihr Vater gestorben? Patientin: Vorletztes Jahr. Ärztin: '''Das tut mir leid zu hören.''' Haben Sie Geschwister? Patientin: Keine von meinen Eltern, aber ich habe 2 Stiefbrüder. Ärztin: '''Frau Camara, habe ich vielleicht irgendwelche wichtigen Fragen vergessen? Möchten Sie mir noch irgend etwas erzählen, was Ihnen wichtig erscheint?''' Patientin: Hmm... Nein. Ärztin: Sind bei Ihnen irgendwelche Allergien bekannt? Patientin: Allergien habe ich nicht. Ärztin: Gibt es irgendwelche Lebensmittel, die Sie nicht vertragen? Patientin: Nein. Ärztin: Essen Sie Fleisch? Patientin: Ja, manchmal, aber das ist zu teuer, Frau Doktor. Ärztin: Hmm. Ok. '''Frau Camara, wie gesagt, ein paar Untersuchungen stehen an. Es ist wichtig, dass Sie auf jeden Fall erstmal bei uns bleiben.''' Haben Sie heute schon Alkohol getrunken? Patientin: Nein, heute noch nicht. Ärztin: Ok. '''Kennen Sie das, wenn''' Sie tagsüber gar nichts trinken''', dass''' Sie vielleicht zittrig werden oder dass Ihnen übel wird? Patientin: Manchmal passiert das, ja. Ärztin: Ok. Also, '''wenn sowas passiert, sagen Sie mir bitte Bescheid.''' Also dann können wir Ihnen jetzt Medikamente geben. Patientin: Ok. Ärztin: '''Bitte verlassen Sie die Klinik nicht einfach so, sondern erst nach Rücksprache mit mir. Das ist wichtig.''' Patientin: [schaut die Ärztin nicht an] Was denken Sie, Frau Doktor? Was habe Ich? Ärztin: '''Also, ich kann mir vorstellen, das etwas mit''' dem Magen '''nicht in Ordnung ist.''' Wenn man über längere Zeit Alkohol trinkt, dann kann es passieren, dass einige Organe geschädigt werden, z.B. die Leber. Das wissen Sie wahrscheinlich, dass die Leber nicht so viel Alkohol verträgt. Manchmal kommt es auch dazu, dass innere Blutungen entstehen. '''Wir müssen das auf jeden Fall abklären.''' Patientin: Ok. Ist das schlimm? Ärztin: '''Das kann ich jetzt im Moment gar nicht sagen, wir müssen tatsächlich erstmal die Untersuchungen machen und dann wissen wir mehr.''' Patientin: Ok, vielen Dank. Ärztin: Gerne. '''Dann werde ich Sie jetzt erstmal untersuchen, und dafür bitte einmal auf die Liege legen und das Oberteil ausziehen.''' [Ende des Gesprächs] = Fall 7 = Mit herzlichem Dank an S.M. für die Ersttranskription. == Hannelore Zimmermann == Arzt: Guten Tag! Patientin: Guten Tag! Arzt: Mein Name ist Dr. Marrero und ich würde gern mit Ihnen ein Erstgespräch führen. '''Können wir anfangen?''' Patientin: Ja, bitte! Arzt: Wie heißen Sie, bitte? Patientin: Mein Name ist Hannelore Zimmermann. Arzt: Danke, Frau Zimmermann, '''also wie''' der Beruf? Patientin: Ja, genau. Arzt: '''Und Ihren''' Vornamen in einem Wort? Patientin: Ja. Arzt: Wie alt sind Sie? Patientin: Ich bin 82. Arzt: 82… Wie groß sind Sie? Patientin: Ooh, ich denk’ so eins siebenundsechzig. Arzt: '''Mmhmm...''' Und wie viel wiegen Sie? Patientin: Ooh… 62. Arzt: '''Ok, und''' wie heißt Ihr Hausarzt? Patientin: Dr. Bösch. Arzt: '''Schreibt sich Bösch mit''' „öh“ „es“ „zeh“ „hah“? Patientin: Ja, „Beh-öh-es-zeh-hah“. Arzt: Dankeschön. Was führt Sie zu uns? Patientin: Ja, also ich habe schon ganz lange immer Rückenschmerzen. Arzt: '''Mmhmm,''' seit wann haben Sie Rückenschmerzen? Patientin: Ein halbes Jahr. Arzt: Ok. Wie sind diese Rückenschmerzen? Sind Sie stechend, drückend, ziehend...? Patientin: Drückend, und ich kann manchmal kaum aufstehen und kaum laufen. Arzt: '''Ah... also''' drückend. Wie stark sind die Schmerzen auf einer Skala von eins bis zehn, wobei zehn am stärksten ist? Patientin: Ohh, sehr stark! Also zurzeit bestimmt 6-7. Arzt: Strahlen die Schmerzen irgendwohin aus? Patientin: Ja, manchmal ins Bein. Arzt: In welches Bein? Patientin: In beide. Arzt: '''In beide, Frau Zimmermann?''' Patientin: Ja, aber mehr ins rechte. Arzt: '''Ok.''' Gibt es einen bestimmten Auslöser für diese Beschwerden? Patientin: Kann ich Ihnen nicht sagen: Ich tue ganz normal, was ich immer tue. Ich putze, mache meinen Garten, aber nichts Besonderes. Arzt: '''Ah, ok.''' Haben Sie vielleicht sonst noch Beschwerden? Patientin: Also, ich hab’ es oft auf dem Magen und habe auch Durchfall. Arzt: '''Ah, es ist was mit dem Magen:''' Haben Sie vielleicht eine Magenentzündung? Patientin: Wissen Sie, Herr Doktor, ich hatte im letzten Jahr eine Magenspiegelung, und da war alles in Ordnung. Arzt: '''Gut zu wissen.''' Und wie ist es mit dem Durchfall? Patientin: Naja, wie soll ich sagen… Arzt: '''Ich meine:''' Wie oft haben Sie Durchfall? Patientin: Ja, also nicht jeden Tag, aber so jeden dritten vielleicht. Jeden zweiten manchmal auch. Arzt: '''Mmhmm... ok.''' Haben Sie Fieber oder hatten Sie in der letzten Zeit Fieber? Patientin: Nein. Arzt: Haben Sie erbrochen? Patientin: Nein. Arzt: Ist Ihnen übel? Patientin: Nein, aber mein Bauch tut weh. Arzt: '''Ja, danke, das sagten Sie vorhin schon. Ich habe es mir hier notiert.''' Wie ist es aktuell mit Wasserlassen? Patientin: Ich habe eine Harnwegsinfektion, aber ist es schon ziemlich vorbei. Arzt: Wie lange ist diese Harnwegsinfektion schon vorbei? Patientin: Also, gerade war ich beim Doktor, er hat mir ein Antibiotikum verschrieben und jetzt ist es gut so. Arzt: '''Ahh… Außer Magenschmerzen und Durchfall,''' leiden Sie vielleicht an irgendwelchen chronischen Erkrankungen, also: was man dauerhaft hat? Patientin: Also, ich habe ein bisschen Bluthochdruck, so Altersbluthochdruck, und ein bisschen Cholesterin, aber dagegen nehme ich Tabletten. Und ich habe Wasser in den Füßen, so seit 2 Monaten vielleicht. Arzt: '''Wie bitte?''' Patientin: Wasser in den Füßen… Dicke Füße… Arzt: '''Ah so, ja, verstehe,''' und was nehmen Sie gegen Bluthochdruck? Patientin: Tabletten. Ich weiß leider nicht, wie die Tabletten heißen, aber Tabletten schon länger, und die sind gut eingestellt. Arzt: '''Ok. Und gegen''' Ihr Cholesterin? [hatte die Patientin selbst so genannt] Patientin: Αlso, ich weiß leider nicht, wie sie heißen, aber damit ist auch alles in Ordnung. Arzt: '''Ok, verstehe.''' Gibt es in Ihrer Familie irgendwelche chronischen Erkrankungen? Patientin: Das weiß ich jetzt so nicht. Ich bin 82 und meine Eltern sind schon so lange tot. Arzt: '''Aha''' [notiert es sich]. Patientin: Aber ich selber habe ein Aneurysma. Arzt: Bei Ihrer Mutter oder bei Ihrem Vater? Patientin: Nein, ich selbst. Arzt: '''Ah, ok. Und''' seit wann haben Sie ein Aneurysma? Patientin: Seit 10 Jahren. Arzt: '''Mmhm, wichtig zu wissen.''' Und wo? Patientin: Im Kopf. Arzt: '''Aha.''' - '''Kommen wir nochmal kurz zurück zu''' Ihren Eltern. '''Wenn ich fragen darf:''' Woran sind Ihre Eltern gestorben? Patientin: Also, mein Vater war sehr krank und ist relativ jung gestorben, der hatte so eine Blutkrankheit, aber ich weiß nicht, was genau er hatte. Und meine Mutter hatte einen Schlaganfall und nach dem Anfall hat sie noch 5 Jahren gelebt und ist dann einfach eingeschlafen. Arzt: '''Danke für diese Angaben.''' - '''Kommen wir zurück zu Ihnen selbst:''' Sind Sie schonmal operiert worden? Patientin: Ja. Ich habe zwei Mal ein Meningnom am Kleinhirn gehabt und der Blinddarm ist auch raus, aber nichts anderes bisher. Arzt: Sind Sie vollständig geimpft? Patientin: Ja, also auch Pneumokokken, Lungenentzündung und alles. Also alles, was man so im Alter machen soll. Arzt: '''Perfekt.''' Rauchen Sie? Patientin: Aber nein! Arzt: Trinken Sie Alkohol? Patientin: Vielleicht einmal pro Monat trinke ich ein Glas Wein, wenn ich irgendwo zum Essen eingeladen bin. Arzt: '''Ahem.''' Und bitte nehmen Sie die folgende Frage nicht persönlich, aber aus medizinischen Gründen muss ich wissen, ob Sie Erfahrung mit Drogen haben. Patientin: Nein, um Himmels Willen! Es ist mir ja schon zu viel, dass ich die Tabletten jeden Tag nehmen muss. Arzt: Sind bei Ihnen irgendwelche Allergien oder Unverträglichkeiten bekannt? Patientin: Νein. Arzt: '''Kommen wir zu''' Ihrem Alltagsumfeld: Wohnen Sie allein? Patientin: Ja, ich wohne allein, aber meine Tochter wohnt im gleichen Haus. Meine Tochter und mein Enkel. Ich habe eine getrennte, eigene Wohnung, wissen Sie, aber sie sind im gleichen Haus. Arzt: '''Gut zu wissen.''' Sind Sie verheiratet? Patientin: Nein, nein, ich bin alleine. Arzt: Ah. Haben Sie außer Ihrer Tochter noch andere Kinder und sind sie gesund? Patientin: Ja, meine Tochter ist gesund, meine Enkelkinder auch. Arzt: '''Schön. Wie ist es mit''' dem Reisen: Waren Sie in der letzten Zeit im Ausland? Patientin: In letzter Zeit...? Was meinen Sie mit „in letzter Zeit“? Arzt: '''Ich meine:''' In den letzten 6 Monaten? Patientin: In den letzten 6 Monaten war ich in Belgien und in Frankreich. A: '''Aha.''' Was haben Sie beruflich gemacht? Patientin: Ich war Sekretärin. A: '''Ah. Kommen wir zurück zu Ihren Beschwerden.''' - '''Ich fasse es mal eben zusammen:''' Sie haben gerade drückende Rückenschmerzen und die Stärke ist sechs bis sieben von zehn, wenn zehn am stärksten ist. Sie strahlen in beide Beine aus, aber mehr ins rechte. Wegen der Schmerzen können Sie kaum laufen. '''Stimmt das soweit?''' Patientin: Ja, genau, Herr Doktor, so stimmt es. Arzt: Ist Ihnen vielleicht sonst noch etwas Ungewöhnliches aufgefallen oder möchten Sie noch etwas ergänzen? Patientin: Nein, da fällt mir gerade nichts ein, ich weiß nicht… Arzt: '''Das war also aus Ihrer Sicht alles?''' Patientin: Ja, also die Rückenschmerzen, die Bauchschmerzen und der Durchfall. Arzt: '''Genau.''' Hatten Sie das schonmal? Patientin: Naja, also, ich hatte schon manchmal Rückenschmerzen, aber keine so starken. Ich hatte auch Durchfall schon mal, aber nicht so lang und nicht mit solchen Schmerzen. Arzt: '''Ah, das ist für mich wichtig zu wissen.''' - '''Sie sagten eingangs:''' seit 6 Monaten… Sind die Schmerzen immer da oder gehen sie auch mal weg? Patientin: Also, am Anfang war es immer so auf und ab, aber jetzt sind sie eigentlich immer da und deswegen bin ich jetzt gekommen. Arzt: '''Ja, es ist gut, dass Sie zu uns gekommen sind, Frau Zimmermann.''' Sind die Schmerzen im Laufe der Zeit schlimmer geworden? Patientin: Ja. Arzt: Haben Sie schon etwas gegen die Schmerzen genommen? Patientin: Ich nehme nicht so gern Tabletten. Ich habs halt versucht mit ner Wärmflasche gegen den Rücken und mitm Tee gegen den Bauchweh [(Schwäbisch) = die Bauchschmerzen], aber das hat net so arg [(Schwäbisch) = nicht viel] geholfen. Arzt: '''Ok.''' Nehmen Sie regelmäßig irgendwelche Medikamente bei Bedarf? Patientin: Nein. Nur die gegen den Bluthochdruck und die gegen den hohen Cholesterin. Arzt: '''Frau Zimmermann, dankeschön soweit, das wäre alles meinerseits.''' Vielleicht hat mein Kollege weitere Fragen an Sie [übergibt das Wort an seinen Kollegen]. 2. Arzt: '''Also,''' sagen Sie mir bitte, wo genau Sie diese Schmerzen haben, im Lendenbereich oder im Halsbereich? Patientin: Nein, nicht ganz so weit unten: also da, wo vorn der Magen ist, da hinten im Rücken. 2. Arzt: '''Also wegen dem Magen?''' Patientin: Nein, Herr Doktor, wenn ich hier komme [zeigt auf den Magen], dann sind im Rücken die Schmerzen hier. [= auf Magenhöhe im Rücken] 2. Arzt: Sind es Flankenschmerzen oder sind sie in der Mitte? Patientin: Sie sind in der Mitte. 2. Arzt: '''In der Mitte, mmhmm.''' Und diese Bauchschmerzen, haben Sie die nur beim Durchfall? Patientin: Nein, mittlerweile sie sind immer da. Also am Anfang waren sie nicht immer da, aber jetzt schon. 2. Arzt: '''Aber''' wie oft haben Sie diese Bauchschmerzen? Alle 2 oder 3 Tage? Patientin: Das ist der Durchfall, aber die Schmerzen habe ich mittlerweile immer. 2. Arzt: '''Oh. Ja. Aber ist das mit''' den Rückenschmerzen das erste Mal oder hatten Sie das früher auch schonmal? Patientin: Hatte ich früher so (stark) nicht. 2. Arzt: '''Aber seit wann''' haben Sie Bauchschmerzen und Durchfall? Patientin: Also die Rückenschmerzen, die haben so angefangen vor einem halben Jahr und die Bauchschmerzen vielleicht vor 2 Monaten. 2. Arzt: '''Ah, und seit wann genau''' haben Sie Durchfall? Patientin: Das ist immer so mal, auch so seit 2 Monaten oder so: Es kommt und hört wieder auf, dann kommt es wieder und hört wieder auf und so. 2. Arzt: '''Ehem. Ja,''' bewegen Sie sich täglich, eher viel oder eher wenig oder sitzen Sie meistens? Patientin: Also jetzt sitze ich gerade ein bisschen mehr, weil der Rücken so weh tut, aber sonst nicht, denn ich habe einen großen Garten und ich schaffe viel im Garten. 2. Arzt: '''Und wie ist es mit''' dem Tragen? Haben Sie vielleicht etwas Schweres getragen? Patientin: Nein, das kann ich gerade gar nicht. Es tut so weh, dass ich nichts tragen kann. 2. Arzt: Können Sie sich bücken, also sich nach vorn beugen …? Patientin: Oh, das geht gar nicht gut. 2. Arzt: '''Aha...''' Wegen diesen Schmerzen also? Patientin: Ja, genau. 2. Arzt: Danke, Frau Zimmermann. 1. Arzt: '''Ich habe da auch noch ein paar Fragen an Sie:''' Hängen die Rückenschmerzen mit den Bauchschmerzen zusammen? Patientin: Das weiß ich nicht. 2. Arzt: '''Und ich wollte auch fragen:''' Wie ist es beim Stuhlgang? Leiden Sie vielleicht unter Verstopfung? Patientin: Nein. 2. Arzt: Wie stark sind die Bauchschmerzen auf einer Skala von 1 bis 10, wobei 10 am stärksten ist? Patientin: Vielleicht 5. 2. Arzt: Strahlen diese Schmerzen irgendwohin aus? Patientin: Das kann ich Ihnen nicht sagen. 1. Arzt: Wie sind diese Bauchschmerzen aufgetreten? Plötzlich? Oder gibt es da einen bestimmten Auslöser? Patientin: Auslöser? Nein. Aber eigentlich ziemlich plötzlich. 2. Arzt: '''Mhmm.''' Patientin: Aber sie sind langsam schlimmer worden. 2. Arzt: Sind diese Rückenschmerzen '''auch''' plötzlich aufgetreten? Patientin: Ja. 2. Arzt: '''Und jetzt sind''' diese Schmerzen stärker als früher''', ja?''' Patientin: Ja. 2. Arzt: Haben Sie '''vielleicht''' an Gewicht verloren? Patientin: Nein, ich wiege so seit 20 Jahren gleich viel. Aber jetzt habe ich eine Frage an Sie: Was machen Sie jetzt mit mir? 2. Arzt: Frau Zimmermann, ich mache zuerst eine körperliche Untersuchung, - und auch eine neurologische Untersuchung - , und berate mich dann mit anderen Fachkollegen, '''denn es ist noch ein bisschen unklar, was Sie haben.''' Ich nehme Ihnen auch Blut ab und lasse im Labor alles genau prüfen. '''Und wir brauchen''' einen Ultraschall von Ihrem Bauch, ein Röntgen von Ihrem Rücken und '''vielleicht auch ein Rücken-CT. Wurde das bei Ihnen schonmal gemacht?''' Patientin: Ach so, ja, Herr Doktor, vor einigen Jahren mal. A: '''Ah, vielen Dank,''' dann kommen Sie jetzt bitte mit nach nebenan zur Untersuchung. [Ende des Gesprächs] = Fall 8 = == Sina Gowitz == (Dieses Anamnesegespräch wurde von einer muttersprachlichen Ärztin durchgeführt.) Ärztin: Hallo, guten Tag, '''kommen Sie rein.''' Patientin: Hallo, Frau Doktor, ja, vielen Dank. Ärztin: '''Setzen Sie sich bitte.''' Patientin: Oh [stöhnt]. Ärztin: '''Oh, geht es Ihnen nicht gut?''' Patientin: Durchfall habe ich auch. Seit drei Tagen habe ich auch Durchfall, oooch, fast vier Mal pro Tag. Ärztin: '''Ja, erzählen Sie mal!''' Sie haben Bauchschmerzen und Durchfall. '''Noch was?''' Patientin: Noch was? [überlegt] Fieber hab ich. Ärztin: Hm, haben Sie das gemessen? Patientin: Habe ich gemessen, ja. Aber das war vor zwei Wochen schonmal. Und dann war's wieder weg. Ja, und dann..., seit heute Morgen habe ich das wieder und dann habe ich gedacht: Ja, mit Fieber muss ich jetzt doch zum Arzt. Ärztin: '''Ja, gut, dass Sie hergekommen sind.''' Seit wann genau haben Sie diese Bauchschmerzen? Patientin: Seit gestern Abend, Frau Doktor. Ärztin: '''Und hatten Sie das auch vorher, so vor zwei Wochen, schon mal?''' Patientin: Nee, da hatte ich, naja ich hab seit zwei Jahren immer mal wieder Bauchschmerzen. Und da hat meine Hausärztin gesagt, das ist so was wie'n Reizdarm oder sowas. Ja, aber das habe ich schon seit zwei Jahren, ja, aber das ist doof. Und Verstopfung und sowas gehört auch dazu. Also mit meinem Gedärm, ja, da geht es mir nicht so richtig gut. Ärztin: '''Wollen Sie sich schon mal auf die Liege legen? Ist das besser?''' Pat: Ja, es ist viel besser im Liegen. Ärztin: '''Ok, dann legen Sie sich mal hin.''' Ich habe noch ein paar allgemeine Fragen: Wie heißen Sie denn? Pat: Sina Gowitz. Ärztin: Ok, Sina, und dann Gowitz, können Sie das buchstabieren? Pat: Geh-Oh-Weh-Ih-Teh-Zett. Ärztin: Frau Gowitz, wie alt sind Sie? Pat: 22. Ärztin: 22? Patientin: Ja. Ärztin: Und Ihr Geburtsdatum, bitte? Patientin: Das ist der 14.4.2002. Ärztin: Wissen Sie, wie groß Sie sind? Pat: Ja, eins fünfundachtzig bin ich, das weiß ich genau, weil ich Basketball spiele. Ärztin: Und wie viel wiegen Sie? Pat: 80. Ärztin: Achtzig Kilo, ah. Hat sich das Gewicht in der letzten Zeit verändert? Pat: Nö, ung-ung. [= Nein] Aber die Schmerzen sind sehr stark, Frau Doktor! Können Sie mir vielleicht was geben? Ärztin: '''Ja, das kann ich gleich machen.''' Wissen Sie, ob Sie irgendwelche Allergien haben? Pat: Amoxicillin vertrage ich nicht. Da kriege ich Atemnot. Ärztin: Eijeijei [= oh, wie schlimm]. Noch irgendwas? Ich meine: Noch andere Allergien? Pat: Nö, ich vertrag so'n paar Früchte nicht, aber das sind keine richtigen Allergien. Das weiß ich nur: Die muss ich vermeiden. Ärztin: Ah. Patientin: Mit meinem Bauch. Da sind auch Früchte ausschlaggebend gewesen, so Äpfel, Kiwi, Ananas und sowas. Ärztin: Ahüm. '''Haben Sie denn zuhause schon ein Schmerzmittel eingenommen?''' Patientin: Nein, ich hatte nix da. Ärztin: Und was nehmen Sie '''sonst''', wenn Sie Schmerzen haben? Patientin: Das weiß ich gar nicht genau. Ich halte es meistens aus: Der Durchfall ist irgendwann vorbei, die Verstopfung, die ist auch irgendwann vorbei. N ja, Fieber? Nee, ich hab eigentlich nix da. Wissen Sie, ich leb' total sparsam. Ich bin noch Studentin, ich hab keinen großen Haushalt, ich habe keinen Apothekenschrank und so. Hab ich alles nicht. Da frag ich Freunde, ob die mir was geben und so. Ärztin: Ah. '''Habe ich das richtig verstanden, dass Sie keine feste Medikation haben, also nichts, was Sie regelmäßig einnehmen?''' Patientin: Naja, ich habe Asthma, seit der Kindheit, und da habe ich so sein Spray, wie heißt das noch? Irgendwas mit Artro… das weiß ich jetzt nicht genau, entschuldigen Sie, bitte. Ärztin: '''Nicht schlimm.''' Haben Sie das jetzt dabei? Patientin: Ja, hier. [Holt es aus der Jackentasche und gibt es der Ärztin.] Ärztin: Super. Vielen Dank. Gut. '''Sie haben ziemlich starke Schmerzen, das habe ich jetzt verstanden.''' Wo sind die Schmerzen genau? Patientin: Zuerst waren sie ganz in der Mitte und jetzt sind sie unten rechts. Ärztin: Und wie fühlen sich die Schmerzen an? Patientin: Ziehend, Frau Doktor. Ärztin: '''Ich untersuche jetzt einmal Ihren Bauch.''' Und dann lege ich Ihnen so einen kleinen Zugang in die Vene. '''Das piekt nur einmal.''' Und dann kriegen Sie eine Infusion mit einem Schmerzmittel drin. Patientin: Ja, da bin ich nicht empfindlich. Machen Sie das ruhig. Ärztin: Super. Patientin: Ach, und für meinen Darm, da nehme ich auch manchmal, wie heißt das? Duspatal. Da steht 200 drauf. Ärztin: Sind das Tabletten? Patientin: Ja. Ärztin: '''Das nehmen Sie also nur bei Bedarf?''' Patientin: Jaja, wenn das mit dem Durchfall wieder anfängt. Und vor zwei Wochen hatte ich mal einen eitrigen Ausfluss aus der Scheide. Da habe ich Zäpfchen bekommen. Ärztin: Ehem, und was waren das für Zäpfchen? Patientin: Oh, wenn ich das jetzt wüsste! Ich habe einen ganz unregelmäßigen Zyklus, wissen Sie, meine letzte Mens - das wird ja immer gefragt, ne - die war vor drei Wochen. Und ja, och, eigentlich... und jetzt fragen Sie bestimmt, wann ich zuletzt bei der Hausärztin war. Das ist schon ein Jahr her, aber immerhin. Nicht länger als ein Jahr her. Ärztin: '''Könnte es sein, dass Sie schwanger sind?''' Patientin: Nein, ich hatte keinen Geschlechtsverkehr. Es gibt ja noch eine andere Möglichkeit, schwanger zu werden, aber das ist bei mir nicht der Fall. Ärztin: '''Sie haben vorhin schon gesagt, dass Sie''' häufiger Beschwerden haben mit Verstopfung und Durchfall und dass der Hausarzt gesagt hat, das könnte Reizdarm sein. Patientin: Vor zwei Jahren war die Diagnose, ja genau. Ärztin: Und wurde schon mal eine Darmspiegelung durchgeführt? Patientin: Glaub nicht. Vor zwei Jahren, das war ne ganz unruhige Zeit in meinem Leben, da kann ich mich an ein paar Sachen nicht so genau erinnern. Das ist mit schon aufgefallen. Ich weiß nicht, ich war da öfter beim Arzt wegen diesem Darm, aber ich weiß nicht mehr, ob da auch eine Spiegelung gemacht wurde. Ärztin: '''Gibt es sonst noch irgendwelche Vorerkrankungen, von denen ich wissen sollte?''' Patientin: Meine Mandeln sind raus und dann hatte ich mal einen Schienbeinbruch links, vor vier Jahren. Und da habe ich ein Implantat. Ärztin: Wie meinen Sie das: ein Implantat? Patientin: Da hamse was reingebaut. Ärztin: So'n Metallstück? Patientin: Ja, genau. Ärztin: '''Ist das noch drin?''' Patientin: Ja, das ist noch drin. Und es stört mich doch manchmal sehr beim Sport. Aber ich finde, Sport ist total wichtig. Wissen Sie, das brauche ich auch zum Ausgleich. Ich bin Physikstudentin und das geht immer total in den Kopf. Und ich brauche unbedingt Sport, und manchmal merke ich aber doch, dass ich da operiert bin. Ärztin: '''Ja, das glaube ich.''' Gibt es noch andere Operationen, die bei Ihnen durchgeführt wurden? Patientin: Ja, im Harnleiter, da hatten sich mal Steine verklemmt. Ärztin: Ahem. '''Wie hat sich das geäußert?''' Patientin: Heftige, krampfartige Schmerzen waren das. Aber das ist jetzt irgendwie vorbei. Och, wissen Sie, mit 22 hatte ich wirklich schon ganz schön viel Zeug, und jetzt diese neuen Bauchschmerzen... Ärztin: '''Wird es denn schon ein bisschen besser jetzt, mit dem Schmerzmittel?''' Patientin: Leicht besser, ja, das stimmt. Vorher war es so richtig stark, aber jetzt ... Ärztin: Wie stark sind denn die Schmerzen jetzt? Wenn wir uns so ne Schmerzskala vorstellen, von eins bis zehn: Eins sind so ganz leichte und zehn sind unerträgliche Schmerzen? Patientin: Vorhin war es acht, aber jetzt eher sieben, vielleicht sechs. Aber vorhin lag es echt bei acht. Ärztin: Ja, das glaube ich. Patientin: Das war echt ein guter Vorschlag, dass ich mich hinlegen darf, Frau Doktor. Damit habe ich mich jetzt wirklich ein bisschen entspannt. Ärztin: '''Das freut mich.''' Sind Sie in der letzten Zeit mal im Krankenhaus behandelt worden? Patientin: In der letzten Zeit? Das mit diesen Steinen im Harnleiter, das war mit 18, da habe ich gerade Abitur gemacht, also vor 4 Jahren. Ärztin: Frau Gowitz, sie haben vorhin schon gesagt, dass Sie Studentin sind, wie wohnen Sie denn? Studentin: Ich wohne in einer WG. Ärztin: Wie viele Mitbewohner haben Sie? Studentin: Wir sind zu sechst. Ärztin: '''Ui.''' Studentin: Ach, das klappt ganz gut: Die einen kochen gern, die anderen putzen gern, die Dritten gehen gern einkaufen und so. Super, eigentlich. Ärztin: Hat irgendjemand aus der WG auch solche Beschwerden wie Sie? Patientin: Wir reden über alles. Wenn jemand sowas hätte: Das wüsste ich. Ärztin: '''Also niemand mit Erbrechen oder Übelkeit, Fieber?''' Patientin: Nein, nichts gehört. Naja, zwei sind gerade nicht da, aber die haben es dann ja auch nicht, denke ich mal, wenn Sie meinen, dass ich jemanden angesteckt habe oder ich mich bei jemandem angesteckt haben könnte. Ärztin: Ja, also: Wir müssen gerade an alles denken. Wie sieht es aus mit Rauchen? Patientin: Nein. Ärztin: Haben Sie mal geraucht? Patientin: Nein. Ärztin: Und Alkohol? Patientin: Im Sommer öfter, beim Draußenrumsitzen. Aber wissen Sie, ich bin Sportlerin und will mit Alkohol nicht viel zu tun haben. Ärztin: Was trinken Sie denn, wenn Sie Alkohol trinken? Patientin: Alkoholfreies Bier. Ärztin: Ah, das hat nun wirklich ganz wenig Alkohol. '''Und wenn Sie was Alkoholisches trinken, was trinken Sie dann?''' Patientin: N Aperol Spritz trinke ich dann manchmal. Ärztin: Wie sieht es mit Drogen aus? Patientin: Ach, vor nem Jahr habe ich mal Cannabis probiert. Ich wollte eigentlich selbst mal ausprobieren, was andere erzählen, und wollte auch wissen, worüber geredet wird, wenn man sagt: Das ist gefährlich. Ich fand's interessant, aber ich glaube, das mache ich nicht nochmal. Ärztin: '''Und sonst? Andere Drogen mal probiert?''' Patientin: Nee. Ärztin: Waren Sie in den letzten 6-8 Monaten mal im Ausland? Patientin: Ja, in Slowenien, bei nem Sportscamp, aber das zählt wahrscheinlich nicht. Ärztin: Gut. '''Wie ist das mit Ihrer Familie?''' Gibt es da irgendwelche schweren Erkrankungen, Krebserkrankungen ... Patientin: Nein, meine Mutter hatte schon als Kind eine Herzschwäche. Ärztin: Oh... Patientin: Und mein Vater hat nen Bechterow und er hat da Schübe, seit er 30 ist, aber wie sein Vater. Ärztin: '''Ach so''', der hatte das auch, ok. Patientin: Er atmet etwas schwer und hat leider öfter mal Kreuzschmerzen. Ärztin: '''Oh jeh.''' Patientin: Er ist erst 53. Ich hoffe wirklich, ich bin noch fitter, wenn ich mal so alt bin. Ärztin: '''Ja, das hoffe ich auch.''' Und haben Sie Geschwister? Patientin: Ja, einen Bruder, aber der ist einiges älter als ich und hat es auch mit dem Herzen, wie meine Mutter. Ärztin: Und wurde bei Ihnen mal das Herz untersucht? Patientin: Nein, dafür hatte ich noch keinen Grund. Ärztin: Wie sieht das mit Impfungen aus? Wann war Ihre letzte Impfung? Patientin: Im März habe ich FSME aufgefrischt. Mein Hausarzt passt da gut auf. Der weiß, dass ich keine Fernreisen mache, aber er ist da gut informiert. Ärztin: Haben Sie Ihren Impfpass dabei? Patientin: Ja, hier auf dem Handy. Ärztin: Ah, perfekt, danke. Ja, ich habe alle Fragen gestellt. Haben Sie Fragen an mich? Patientin: Was habe ich denn, Frau Doktor? Ärztin: '''Ach, das kann ich jetzt tatsächlich noch gar nicht sagen. Es ist auf jeden Fall gut, dass Sie hergekommen sind.''' Wir machen ein paar Untersuchungen, zum Beispiel einen Ultraschall. Das kennen Sie vielleicht: Das ist mit diesem Schallkopf auf dem Bauch und tut eigentlich nicht weh. Und ich habe Ihnen eben, als ich den Zugang gelegt habe, auch schon etwas Blut abgenommen und ich denke, dass wir dann relativ schnell herausfinden werden, was los ist. Patientin: Ok. Ärztin: '''Bleiben Sie bitte einfach hier liegen und ich hole mal das Ultraschallgerät. Dann schauen wir mal, was im Bauch so los ist.''' Patientin: Ja, danke, Frau Doktor. Ärztin: '''Gern geschehen, dafür sind wir da.''' [Ende des Erstgesprächs] [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_9|Patientenvorstellung dazu]] = Fall 9 = == Birgit Schüttler == Ärztin: Hallo, guten Tag!? Patientin: Mhm [stöhnt etwas], guten Tag, Frau Doktor... Ärztin: Mein Name ist Dora Müller, ich bin Ärztin hier auf der Station und heute für Sie zuständig. Wie heißen Sie? Patientin: Birgit Schüttler. Ärztin: [wiederholt den Namen] Birgit Schüttler, ok: [Schreibt man] '''Schüttler mit''' Es, Zeh, Hah, Üh, Doppel-T, Eh, Er? Patientin: Ja, genau. Ärztin: Sehr gut. Frau Schüttler, wie alt sind Sie denn? Patientin: 40. Ärztin: Wann sind Sie genau geboren? Patientin: Am 13. Juni 85. Ärztin: Juno oder Julai? Patientin: Juno, bitte. Ärztin: Ah, ok [notiert es sich]. Wissen Sie, wie groß Sie sind? Patientin: Ja, eins siebenundsechzig. Ärztin: Und auch, wie viel Sie wiegen? Patientin: Dreiundsechzig. Ärztin: Ok, vielen Dank [macht sich Notizen]. Frau Schüttler, '''was führt Sie heute zu uns?''' Patientin: Oh, ich habe seit gestern Schmerzen im Rücken, in der Flanke, im Bauch, so rechts. Ärztin: '''Überall?''' Patientin: Ja. Ärztin: Aha, '''wo hat es denn angefangen?''' Patientin: Wenn ich das so genau wüsste... Es kam allmählich. Ich habe es gar nicht so richtig gemerkt. Aber jetzt ist es ziemlich stark und es zieht! Und manchmal ist es wie ein Krampf! Es kommt und geht. Es ist irgendwie ein bisschen durcheinander, ich weiß nicht, das hatte ich noch nie. Ärztin: Öhöm, ok. '''Wissen Sie noch, wann es genau angefangen hat?''' Patientin: Ich glaube, nach langem Sitzen hat es angefangen. Ich habe einen Sitzberuf, wissen Sie. Ärztin: Ja... '''Und: gestern, sagen Sie?''' Patientin: Ja, gestern, gestern so um die Mittagszeit, kurz vor der Mittagspause. Ärztin: Ah, was machen Sie denn beruflich? Patientin: Ich bin im Büro tätig, im Finanzamt. Da sitzen wir immer, viel, lange und immer, ganz schrecklich. Ärztin: '''Ja, das glaube ich.''' Haben Sie '''irgendwelche anderen Beschwerden, so etwas wie Übelkeit ...''' Patientin: Ja, ich habe einmal gespuckt, also ich musste einmal erbrechen, ja. Das war dann nach der Mittagspause. Ärztin: Oh jeh, [und das war] '''bei der Arbeit'''? Patientin: Ja. Ärztin: Wie sah denn das Erbrochene aus? Patientin: Oh. Darauf habe ich nicht geachtet, Frau Doktor. Ärztin: '''Haben Sie da Blut gesehen?''' Patientin: Ich habe gar nicht hingeguckt. Das hat vielleicht gestunken! Ärztin: Verstehe. Patientin: Ja eben. Ich kann das nicht gut sehen, Frau Doktor, und dann war es mir ja auch so peinlich, dass es da so gestunken hat, denn es ist die Toilette, die alle benutzen, also, von den Mitarbeitern, es war mir ganz arg peinlich, nun ja. Ärztin: Sind Sie dann nach Hause gegangen? Patientin: Nee, ich habe noch durchgehalten. Ärztin: Och! Ok. '''Waren Sie heute auch bei der Arbeit'''? Patientin: Nein, heute nicht. Ärztin: Ok. Patientin: Ich habe aber noch keine Krankmeldung. Die brauche ich dann, Frau Doktor. Ärztin: '''Ja, auf jeden Fall.''' Wie ist es denn mit dem Wasserlassen: '''Ist da vielleicht etwas anders als sonst?''' Patientin: Ja, die Blase fühlt sich voll an, aber es kommt nur ganz wenig Urin. Aber ich konnte es nicht wirklich halten. Ich bin dann gestern Nachmittag auch ständig auf die Toilette gegangen. Ärztin: Hm. Patientin: Also, es war alles durcheinander gestern. Ärztin: Hmm. '''Glaube ich.''' - '''Hatten Sie schonmal eine Blasenentzündung?''' Patientin: Das weiß ich gar nicht genau. [Spricht zu sich selbst, wie laut denkend] Hatte ich das schonmal? [laut] Vielleicht, [das] weiß ich nicht mehr. Ärztin: '''Ok, nicht schlimm.''' Haben Sie das Gefühl, Fieber zu haben? Haben Sie Fieber gemessen? Patientin: Ja, ich habe Fieber. Gestern Abend habe ich es gemessen, es war 39, und dann habe ich gedacht: Für heute sage ich die Arbeit ab, da gehe ich nicht hin, mit Fieber. Ärztin: Ja. - [Wie ist es mit] Schüttelfrost? Hatten Sie Schüttelfrost? Patientin: Nee, Schüttelfrost hatte ich nicht. Ärztin: Ok, und Schweißausbrüche? Patientin: Ja, schwitzen tue ich. Heute Nacht habe ich auch geschwitzt. Ärztin: '''Wie war denn die Nacht überhaupt? Haben Sie denn geschlafen?''' Patientin: Schauen Sie mal, ich sehe ziemlich müde aus... Nee, ich glaube, ich habe nicht viel geschlafen. Ärztin: Na, also '''es ist auf jeden Fall gut, dass Sie hergekommen sind.''' Patientin: Ja, das fühlt sich so an. Ärztin: Ja... Wer ist denn Ihr Hausarzt? Patientin: Doktor Stützler. Ärztin: Dankeschön. Sind bei Ihnen irgendwelche chronischen Erkrankungen bekannt? Patientin: Ich hab ne Arthritis schon n bisschen, hier in der Hand. Ich weiß nicht, ob das Rheuma ist oder ne Arthritis, aber so was habe ich schon, jetzt. Ärztin: '''Waren Sie damit mal beim Arzt?''' Patientin: Nö, nee, ich warte noch ein bisschen ab. Ärztin: Welche Hand ist denn betroffen? Patientin: Beide. Ärztin: Ah [notiert es sich]. Patientin: Wissen Sie, ich fahre nämlich relativ viel Fahrrad und dann, manchmal, vergesse ich, dass ich doch Handschuhe anziehen sollte und … Ich habe einen sehr schönen Weg zur Arbeit, Frau Doktor, aber eigentlich habe ich Schmerzen ... Ärztin: '''Aber das ist ja schonmal gut, wenn dann der Weg wenigstens schön ist …''' - Gibt es noch weitere Erkrankungen? Patientin: Nee... Ärztin: '''Ist mit dem Herzen alles in Ordnung, mit den Nieren, mit der Leber …?''' Patientin: Mein Blut war ein bisschen rot! Ärztin: [stutzt] '''Nochmal, bitte!''' Patientin: Ach, ich meinte: Mein Urin war ein bisschen rot. Ärztin: Ah. Verstehe [macht sich Notizen]. Seit gestern? Patientin: Ja. Und das hat mir ein bisschen Angst gemacht. Frau Doktor, ist das was Schlimmes, Blut im Urin? Ärztin: '''Das klingt ein bisschen so, als ob da''' vielleicht Blut drin ist. '''Das kann passieren, wenn''' man so etwas wie eine Blasenentzündung hat. '''Deswegen ist es gut, dass Sie hergekommen sind.''' '''Wir müssen das auf jeden Fall untersuchen.''' Patientin: Ehem. Ärztin: '''Und wenn das bei Ihnen so etwas ist, kann man das ganz gut behandeln.''' Es ist gut, wenn Sie viel trinken, damit das, was jetzt in der Blase diese Entzündung verursacht, rausgespült wird. Das sind meistens Bakterien. Patientin: Aha. Ärztin: Wie ist es denn mit Operationen? Wurden Sie schonmal operiert? Patientin: Oh, meine Operationen?! Frau Doktor, dadurch, dass ich so viel Fahrrad fahre, hatte ich da schon ein paar Unfälle. Da hatte ich mal ein Schädel-Hirn-Trauma, weil ich keinen Helm getragen hatte damals, wissen Sie, ich wohne in einer ziemlich hügeligen Gegend und auf dem Weg zur Arbeit passiert an einer Kreuzung ständig was, es steht dann ja auch in der Zeitung, aber jetzt nehme ich immer einen anderen Weg und umgehe dieses Nadelöhr. Ich hoffe, jetzt passiert mir nicht mehr so viel. Ärztin: Wann war denn das mit dem Schädel-Hirn-Trauma? Patientin: Vor 13 Jahren. Ärztin: Und Sie wurden mehrfach operiert, '''habe ich das richtig herausgehört?''' Patientin: Nee, da musste ich schnell ins Krankenhaus. Ob es eine OP war, weiß ich nicht mehr, ist ja schon einige Jahre her. Aber jedenfalls zwei, drei Tage musste ich dableiben. Ich war unter Beobachtung, denn es war wohl ein ziemlich schwerer Unfall, ja. Und ich bin auch mal über den Lenker abgestiegen, auf einem asphaltierten Waldweg, wegen eines Eichhörnchens, das meinen Weg kreuzte, naja, eigentlich ja, weil ich zu stark gebremst habe. Das gab eine Prellung am Oberschenkel und es ist auch ewig nicht geheilt, wie das so ist, ne langwierige Sache... Ärztin: Und dass Sie wirklich mal im OP waren, ist das auch schonmal vorgekommen? Patientin: Ja, als Jugendliche, auch ein Fahrradunfall, da war meine Elle gebrochen, hier, links. Es war leider der linke Arm und ich musste trotzdem in der Schule schreiben, weil ich Rechtshänderin bin. Ärztin: '''Ok, wir versuchen mal, beim Thema zu bleiben''': Wurde die Elle gegipst oder operiert? Patientin: Ich hatte einen Gips, sehr lange aber. Ärztin: Frau Schüttler, sind bei Ihnen irgendwelche Allergien bekannt? Patientin: Ja, Erdnuss, das kann ich nicht essen. Ärztin: '''Was passiert, wenn Sie das essen?''' Patientin: Davon bekomme ich Halsschwellung und Atemnot und ich habe immer ein Spray dabei für den Fall, dass wieder irgendwo Erdnuss drin war und nix davon draufstand, also nicht deklariert war. Ärztin: Wie heißt das Spray? Patientin: Moment, hier habe ich's: Salbutamol. Ärztin: Und das nehmen Sie aber nur im Notfall? Patientin: Ja. Ärztin: Sind bei Ihnen noch andere Allergien bekannt? Patientin: Von Ibuprofen muss ich aufstoßen. Ärztin: '''Das heißt: Sie nehmen das nicht?''' Patientin: Genau, wenn ich es vermeiden kann, nehme ich es nicht. Ärztin: Welche Medikamente nehmen Sie denn? Patientin: Sonst keine, außer Multivitaminen, also, wenn wir in meiner WG ne Weile kein Obst haben, dann nehme ich das Zeug zur Überbrückung, so ne Brausetablette aus der Drogerie. Ärztin: Sind bei Ihnen irgendwelche Unverträglichkeiten bekannt? Gibt es Lebensmittel, die Sie nicht vertragen? Patientin: Da bin ich mir nicht sicher, aber mir scheint: so Gambas und Krabben und manche Fischsorten... davon halte ich mich lieber fern. Ärztin: '''Das ist ja auch in Ordnung, warum nicht?''' -- Frau Schüttler: Rauchen Sie? Patientin: So'n Oraltabak habe ich. Ärztin: '''Was ist das?''' Patientin: Snuus heißt meine Lieblingssorte, aus Schweden. Kaut man. Ärztin: Also Kautabak. Patientin: Genau. Ärztin: Und haben Sie mal Zigaretten geraucht? Patientin: Nee, das wollte ich irgendwie nicht. Ärztin: Gut [macht sich Notizen]. Patientin: Als Kleinkind hatte ich nämlich mal eine schwere Lungenentzündung, weswegen ich mit der Lunge aufpasse und nicht rauche. Aber Tabak schmeckt mir eben. Ärztin: Ah. Wie ist es mit Alkohol? Trinken Sie Alkohol? Patientin: Also, ne Freundin von uns ist Schnapsbrennerin und wir müssen da immer mal vorkosten, in der Saison an den Wochenenden. Alles hat sie: Quitte, Birne, Pflaume, sogar Mirabelle. Mögen Sie sowas auch, Frau Doktor? Ärztin: '''Ehhhm, ich würde gern bei Ihnen bleiben''': Wie oft trinken Sie denn Schnaps? Patientin: In der Saison jedes Wochenende. Ärztin: '''Und wie viele Gläser [sind das dann so]?''' Patientin: Da geht es ja eher ums Nippen, dazwischen dann was zum Neutralisieren, sagen wir: 2 Gläschen sind es dann alles zusammen an einem Samstag. Ärztin: Aha [macht sich Notizen]. Und trinken Sie noch anderen Alkohol? Patientin: Nein, denn das mit dem Schnaps ist mehr so aus sozialen Gründen, nachbarschaftlich, freundschaftlich sozusagen. Wissen Sie, die ist selbstständig und muss so ihr Geld verdienen. Da schenken wir ihr das Probieren und unser Feedback. Ärztin: Ja. '''Wie ist es mit anderen Drogen, [mit] so etwas wie Cannabis?''' Patientin: Nee, das hat mich nicht interessiert und ich habe es den anderen überlassen. Ärztin: '''Sie haben mir vorhin schon gesagt, dass''' Sie im Finanzamt arbeiten. Wie ist denn Ihre häusliche Situation: Sie haben eine WG erwähnt. Sie leben also mit jemandem zusammen? Patientin: Ja, wir sind vier Erwachsene und eine hat auch zwei Kinder aus einer Ehe, die leider gescheitert ist. Also: in einer WG. Ärztin: '''Sind Sie im Moment in einer Partnerschaft?''' Patientin: Nein. Ich zähle mich zu den Asexuellen, wissen Sie, also ich brauche keinen Sex, um das Leben genießen zu können. ([https://de.wikipedia.org/wiki/Asexualit%C3%A4t "Asexualität" bei de.wikipedia.org]) Ärztin: Sie haben '''also''' keine Kinder? Patientin: Ja, so ist es. Erst dachte ich, ich würde gern Kinder haben, aber schwanger wollte ich nicht werden. Und so hat es sich nicht ergeben und jetzt ist wohl die Zeit dafür um. Also bin ich in unserer WG wie eine Tante für die beiden. Und das ist eine Rolle, die mir irgendwie ziemlich gut passt. Ärztin: '''Vielleicht noch ein paar Fragen zu''' Ihrer Monatsblutung: Ist die regelmäßig? Patientin: Ja, da könnte ich fast meine Uhr nach stellen, also: ein sehr zuverlässiger Zyklus. Ärztin: Wann war die letzte Blutung? Patientin: Vor 12 Tagen. Ärztin: Gibt es irgendwelche Beschwerden '''im Rahmen dieser Blutung'''? Patientin: Nein, die Frauenärztin ist immer zufrieden mit mir und schickt mich gleich wieder weg. Ärztin: Ok. '''Wann waren Sie zuletzt bei der Frauenärztin?''' Patientin: Vor 6 Monaten, zur Routineuntersuchung. Ärztin: Gut. -- Gibt es in Ihrer Familie irgendwelche Erkrankungen, chronische Erkrankungen? Patientin: Meine Mutter hat Bluthochdruck und irgendetwas mit den Nieren, mein Vater hat Arthritis in den Händen - und ich glaube das habe ich von ihm. Und mein Bruder, der ist gesund - nee, er hat manchmal Verstopfung - und das habe ich auch manchmal. Und wenn ich eine Verstopfung spüre, trinke ich Joghurt, ich meine: Kefir, oder einen Pflaumensaft oder koche mir Rote Beete. Eins davon hilft dann meistens. Ärztin: Es ist gut, dass Sie mir das mit Ihrer gelegentlichen Verstopfung '''jetzt noch''' erzählt haben. -- Und, gibt es Fälle von Krebs in Ihrer Familie? Patientin: Ja, bei einem Großvater mütterlicherseits, der hatte Krebs. Er war in der Kriegsgefangenschaft, lange noch, und hat tausend Sachen mitgebracht, und da war auch Krebs dabei, im Darm. Ärztin: '''Sie haben vorhin gesagt, dass Sie''' manchmal Rote Beete essen. Haben Sie in den letzten drei, vier Tagen Rote Beete gegessen? Patientin: Nein, das ist schon länger her mit meiner letzten Verstopfung. Und so aus Appetit esse ich keine Rote Beete. Ärztin: '''Dann ist da ja erstmal alles klar soweit''' [wegen des rötlichen Urins]. '''Ich habe jetzt alle Fragen gestellt. Haben Sie vielleicht noch Fragen an mich?''' Patientin: Habe ich was Schlimmes, Frau Doktor? Ärztin: Nein, ich denke nicht. Im Moment denke ich, dass das eine Entzündung ist, vielleicht in der Blase, vielleicht aber auch schon in Richtung Niere. '''Das kann mal vorkommen, vor allem''' passiert es bei Frauen schneller als bei Männern. '''Man kann es aber sehr gut behandeln und es ist in der Regel nicht gefährlich.''' Patientin: Aha. Na, da bin ich aber froh. Ärztin: Ich werde Sie körperlich untersuchen, und '''wir brauchen ein bisschen Urin, also wenn Sie mal müssen, sagen Sie Bescheid, dann bekommen Sie einen Becher. Wenn's geht, nehmen Sie bitte den Mittelstrahl-Urin''', das heißt: '''Wir brauchen die mittlere Position. Also anfangs den Urin in die Toilette laufen lassen und erst dann den Becher drunterschieben. Das ist natürlich schwierig, wenn nur so ein paar Tropfen kommen. Nehmen Sie bitte einfach das, was Sie schaffen, ja?''' Patientin: Ja. Ärztin: Blut abnehmen werde ich auch gleich bei Ihnen... Patientin: Oh, wie geht das mit dem Blutabnehmen? Machen Sie das mit einer Nadel? Ärztin: Mit einer '''ganz kleinen''' Nadel, aus der Ellenbeuge. Patientin: Aus der Ellenbeuge? Ach, das habe ich gar nicht so gerne. Geht das nicht anders? Ärztin: '''Es gibt natürlich noch andere Stellen, wo man Blut abnehmen kann, aber wirklich ganz anders geht es nicht...''' Patientin: Haben Sie einen Kaffee? Ich meine: Kann ich gleich danach einen Kaffee trinken? Ärztin: Hier in der Notaufnahme? Ich kann Ihnen auf jeden Fall ein Glas Wasser geben. Patientin: Ach ja, das hilft dann vielleicht schon. Aber das mit den Nadeln... Ärztin: Ja, ich kenne das. Ich mag das auch nicht besonders gerne. Patientin: Kann die Person, die das macht, mich vielleicht etwas ablenken währenddessen? Ärztin: '''Auf jeden Fall.''' Patientin: Ok, also, wenn Sie das bitte dazusagen, dann wird es gehen. Irgendwas reden hilft, ne kleine Story, wenn ich da richtig zuhören muss. Dann bin ich erfahrungsgemäß von Pieks genügend abgelenkt. Ärztin: Ja. Patientin: Ich bin da auch schonmal in Ohnmacht gefallen, ist zwar schon länger her, aber ja, da wurde ich vielleicht nicht gut genug abgelenkt. Da hatte ich echt Pech. Ärztin: Ja, das kann passieren. Patientin: Es war wahrscheinlich ein schlechter Tag. Ärztin: '''Jedenfalls, wir geben uns große Mühe. Und wenn Sie merken, dass Ihr Blutdruck wegsackt, bitte Bescheid sagen. Man muss es ja nicht im Sitzen machen, denn es geht auch im Liegen.''' Patientin: Alles klar, Dankeschön. Ärztin: '''Haben Sie noch weitere Fragen?''' Patientin: Muss ich hier bleiben, über Nacht, meine ich? Ärztin: '''Ja, das könnte sein, ich weiß es aber noch nicht genau. Wir müssen abwarten, was die Untersuchungen uns bringen. Ich sage Ihnen aber auf jeden Fall Bescheid, sobald ich mehr weiß.''' Patientin: Und schicken Sie meine Krankmeldung selbst an meinen Arbeitgeber? Ärztin: Nein, die geben wir Ihnen mit, und dann können Sie das einreichen. Patientin: Aber ich kann doch nicht nach Hause heute. Ärztin: '''Das ist nicht schlimm. Sie können entweder dort anrufen oder Sie machen es erst, wenn Sie wieder zuhause sind.''' Patientin: Ich muss also nicht zwei, drei Wochen hier bleiben? Ärztin: '''Ich denke nicht. In den meisten Fällen geht es im ersten Schritt telefonisch.''' Patientin: Wissen Sie, mit unserem Chef ist es ein bisschen kompliziert, denn er nimmt alles millimetergenau. Ich glaube, ich rufe lieber meine WG an und jemand von ihnen holt hier den Zettel ab und sorgt dafür, dass er dort ankommt. Ärztin: '''Das ist ja auch eine gute Idee.''' -- Wollen Sie erst zur Toilette? Patientin: Jaja, natürlich. Geben Sie mir den Becher, bitte? Ärztin: '''Hier, bitte, ich untersuche Sie dann gleich danach. Ich warte hier auf Sie.''' Patientin: Ah, gut, und danke, Frau Doktor. Ärztin: '''Gern geschehen. Dafür sind wir da.''' [Ende des Erstgesprächs] = Fall 10 = == Rosa Brett == Ärztin: Guten Tag, nehmen Sie bitte Platz. Patientin: Guten Tag, ja, ok. Ärztin: '''Ich bin Lena Mayer und heute für Sie zuständig. Ich würde gern das Erstgespräch mit Ihnen führen. Sind Sie soweit?''' Patientin: Ja, Frau Doktor. Ärztin: Wie heißen Sie? Patientin: Rosa Brett. Ärztin: "Brett" mit zwei t? Patientin: Ja, genau wie das Brett. Ärztin: '''Und Ihren Vornamen nochmal, bitte?''' Patientin: Rosa. Ärztin: '''Aha, danke,''' wie alt sind Sie? Patientin: 26. Ärztin: Wann sind Sie geboren? Patientin: Am siebzehnten achten achtundneunzig. [Am 17.8.1998.] Ärztin: Wie groß sind Sie? Patientin: Einen Meter neunundfünfzig. [1,59 m/ 159 cm] Ärztin: Wie viel wiegen Sie zur Zeit? Patientin: Ich denke, so um die 52 Kilo. Ärztin: Sie haben sich '''also''' in letzter Zeit nicht gewogen? Patientin: Ja, aber ich denke, mein Gewicht ist in etwa stabil - meinen Hosen nach zu urteilen. Ärztin: '''Ah.''' Was führt Sie zu uns? Weshalb sind Sie heute hier? Patientin: Ach, etwas Schlimmes, Frau Doktor: Heute beim Frühstücken konnte ich plötzlich nicht mehr kauen und es lief mir was aus dem Mund, so schrecklich. Und ich spüre mein Gesicht nicht mehr, also links, ich meine: Es ist da ganz taub und es stresst mich sehr. Und irgendwie geht das Sprechen nicht. Als ob da etwas völlig anders ist. Ärztin: '''Das tut mir leid zu hören.''' Hatten Sie so etwas schon einmal? Patientin: Nein, so etwas hatte ich noch nie. Aber die letzten zwei Wochen waren hart und ich bin richtig k.o., müde, fühle mich abgeschlagen und so ... Ärztin: '''Meinen Sie:''' Sie können nicht so gut schlafen? Patientin: Nein, anders: Ich schlafe viel zu viel, Frau Doktor, und wache trotzdem nicht gut auf. Ärztin: '''Und wie ist es mit''' dem Appetit? Patientin: Soweit ok. Nichts Besonderes. Ärztin: Ist Ihnen '''sonst noch''' etwas aufgefallen? Kopfschmerzen, '''vielleicht'''? Patientin: Nein, nicht direkt, aber mein linkes Ohr tut auch weh. Ärztin: '''Seit wann'''? Patientin: Seit vorgestern - oder war es gestern? Ärztin: Wie stark sind diese Schmerzen von eins bis zehn, wobei zehn am stärksten ist? Patientin: 2-3, würde ich sagen. Ärztin: '''Und die anderen Beschwerden, haben Sie die schon länger oder auch erst seit''' vorgestern? Patientin: Diese Ohrenschmerzen kamen vorgestern, und an meinem rechten Oberschenkel ist irgendwas wie eine Entzündung, die weh tut: so ein großer roter Ring. Aber ich kann Ihnen nicht genau sagen, seit wann das so aussieht. Ärztin: Wo genau fühlt es sich entzündet an? '''Also ich meine:''' auf der Innenseite oder auf der Außenseite? Patientin: Es ist innen. Ärztin: '''Ist es da auch''' etwas dicker und warm? Patientin: Ja, es fühlt sich wie entzündet an. Ärztin: Waren Sie vielleicht draußen und es könnte '''was mit''' Insekten sein, zum Beispiel auf einer Wiese, '''vielleicht etwas mit''' Zecken? Patientin: Ah, vor zwei Wochen habe ich an der Ostsee gezeltet. Aber gegen Insekten habe ich vorsorglich immer ein Spray dabei, wissen Sie. Ärztin: '''Habe ich richtig verstanden, dass Sie denken,''' es könnte ein Insekt gewesen sein? Patientin: Ja, das könnte schon sein, denn wir waren ja im Grünen die ganze Zeit. Ärztin: Aha. '''Machen wir noch kurz weiter mit allgemeineren Fragen:''' Haben Sie chronische Vorerkrankungen, ich meine: Leiden Sie vielleicht an der Zuckerkrankheit? Patientin: Aber vor vier Jahren hatte ich eine Eierstockentzündung und habe dagegen Antibiotika genommen, und vor zwei Jahren habe ich mir den Unterarm gebrochen, bei einem Unfall. Ärztin: '''Ah, was war das für''' ein Unfall? Patientin: Mit dem E-Roller. Ärztin: Waren Sie '''deswegen''' im Krankenhaus? Patientin: Ja, in der Notaufnahme, mit Gips. Ärztin: '''War das''' links oder rechts? Patientin: Rechts? Ärztin: Danke. Gehen Sie regelmäßig zur Frauenärztin? Patientin: Ja. Ärztin: '''Und, ist alles in Ordnung?''' Patientin: Ja. Ärztin: Sind Sie sexuell aktiv? Patientin: Ja, manchmal habe ich Sex. Ärztin: Verhüten Sie? Patientin: Nein, ich schlafe mit Frauen. Ärztin: '''Verstehe.''' Und sind Sie vollständig geimpft? Patientin: Soweit ich weiß, ja. Ärztin: '''Gut.''' Rauchen Sie? Patientin: Nein, habe ich auch noch nie. Ärztin: Trinken Sie Alkohol? Patientin: Ja, gelegentlich, bei Familienfeiern oder Partys, so alle 6 Wochen, vielleicht, ein Glas Wein oder Sekt oder sowas. Ärztin: '''Und ich hätte noch eine Routinefrage:''' Sind Sie mit Drogen in Kontakt gekommen? Patientin: Nein. Ärztin: '''Und wie ist es mit''' Allergien? Patientin: Da habe ich keine. Ärztin: '''Auch nicht gegen''' Medikamente? Patientin: Nicht, dass ich wüsste. Ärztin: '''Wie ist es mit''' der Ernährung? Vertragen Sie alles? Patientin: Ja. Ärztin: '''Kommen wir zu''' Ihren Eltern und Geschwistern: Sind alle gesund? Patientin: Ja, zum Glück. Niemand nimmt Medikamente. Aber meine Schwester hat Schuppenflechte und hat dafür so Spritzen. Ärztin: Danke. '''Kommen wir zurück zu''' Ihren aktuellen Beschwerden. Haben Sie '''vielleicht''' Fieber? Patientin: Ja, das könnte sein. Wegen der Ohrenschmerzen habe ich eine Paracetamol genommen und ich habe mich danach ein bisschen besser gefühlt: Vielleicht hat es auch das Fieber gesenkt, ich weiß es aber nicht, weil ich es nicht gemessen hatte. Ärztin: '''Dann messen wir es gleich nachher.''' Ist Ihnen übel oder schwindelig? Patientin: Nein, Frau Doktor. Ärztin: Fühlt sich ihre linke Gesichtshälfte '''schon etwas anders''' an '''als''' zu Beginn unseres Gesprächs? Patientin: Nein, es ist noch genau so. Ärztin: Ah, danke. '''Von meiner Seite ist das alles. Haben Sie Fragen an mich?''' Patientin: Was habe ich denn, Frau Doktor? Ist es etwas Schlimmes, mit dem Gesicht? Ärztin: '''Das kann ich Ihnen leider jetzt noch nicht sagen. Aber nach der körperlichen Untersuchung und der Blutabnahme wissen wir dann mehr.''' Patientin: Aha, das klingt nicht so dramatisch, da bin ich aber erleichtert. Ich dachte schon, es sei vielleicht ein Schlaganfall! Ärztin: '''Das glaube ich nicht,''' Frau Brett. Kommen Sie bitte mit mir mit ins Nebenzimmer? Patientin: Ja klar. Und wie lange dauert das so insgesamt noch? Ärztin: '''Rechnen Sie bitte mit''' 2-3 Stunden, denn wir brauchen ja auch Laborwerte. Patientin: Ah, alles klar. Dann rufe ich mal eben bei meinem Studi-Job an, damit da niemand umsonst auf mich wartet. Ärztin: Ja gern. '''Dann bin ich gleich wieder bei Ihnen.''' Patientin: Ok. [Ende des Erstgesprächs] = Fall 11 = Mit Dank an F.S. für die Ersttransktiption. == Tatjana Märker == Arzt: Hallo, Guten Tag. Patientin: Hallo. Arzt: Wie heißen Sie, bitte? Patientin: Tatjana Märker. Arzt: Märker '''mit''' k-e-r '''am Ende und mit''' ä '''vorne'''? Patientin: Ja, Märker mit zwei Punkten auf dem a. Arzt: Wie alt sind Sie, Frau Märker? Patientin: Ich bin zweiunddreißig. Arzt: Wie viel wiegen Sie? Patientin: Einundsiebzig Kilo. Arzt: Wann haben Sie sich zuletzt gewogen? Patientin: Vor zwei Wochen. Arzt: Gut. Wie heißt Ihr Hausarzt? Patientin: Dr. Berner. Arzt: Was bringt Sie zu uns, Frau Märker? Patientin: Ich habe so ein ganz komisches Herz. Also, das Herz rast total. Und ich fühle mich auch irgendwie ganz komisch. Also, es flackert so vor den Augen. Und mein Mund ist extrem trocken. Und ich weiß auch nicht, ich bin voll unruhig. Fast so in Panik. Und ich habe auch fast gar nicht geschlafen diese Nacht. Arzt: '''Ja, das kann ich verstehen. Beruhigen Sie sich bitte erstmal, damit wir dieses Gespräch in Ruhe führen können, und ich das, was Sie mir sagen, richtig verstehe und Ihre Beschwerden gut einschätzen kann. Machen wir es also mal Schritt für Schritt:''' Seit wann haben Sie Herzrasen und Mundtrockenheit? Patientin: Ja, seit gestern Abend. Und ich mache mir jetzt auch echt Sorgen. Das hört halt gar nicht auf. Arzt: Ist gestern Abend '''vielleicht''' etwas passiert? Patientin: Wie bitte? Arzt: Etwas Ungewöhnliches, '''meine ich'''? Patientin: Nee. Arzt: Hat das Herzrasen plötzlich angefangen? Patientin: Ja, und .... also: Auf jeden Fall wird es gar nicht besser. Arzt: '''Was haben Sie gemacht, bevor''' dieses Herzrasen anfing? Patientin: Also ich habe mich mit einer Freundin getroffen und wir waren ein bisschen feiern. Arzt: Und es ist '''also''' nach dem Feiern passiert? Patientin: Ja. Arzt: Wann genau? Patientin: Also wir waren halt Montag verabredet. Und weil meine Mutter auch gerade zu Besuch ist und sich um die Kinder kümmert, haben wir halt einfach, also ich habe dann halt auch bei ihr geschlafen und so. Und mir ist das jetzt echt unangenehm, aber sie hat mir halt so Tabletten angeboten. Also: Das waren halt so kleine Herzen, so rosane. Und dann habe ich halt eine, also eigentlich wollte ich gar nicht. Und dann habe ich es halt doch gemacht. Und dann habe ich halt so eine Tablette genommen und habe halt gar nichts gemerkt. Und dann habe ich nach 20 Minuten die zweite genommen. Und dann habe ich halt voll die krasse Wirkung gehabt. Also: Das hat schon richtig reingehauen. Ich war irgendwie total glücklich und kuschelig und alles war ganz schön, es war wirklich krass. Arzt: '''Verstehe.''' Ihre Freundin hat Ihnen '''also''' eine Tablette angeboten? Patientin: Ja, und sie hat es auch genommen. Arzt: Okay, was für Tabletten hat sie Ihnen angeboten? Patientin: Also: Ich glaube Ecstasy. Arzt: Ecstasy, ah. Und sie haben vorgestern diese Ecstasy genommen, und zwei davon. Patientin: Ja, also das war halt schon nach der Nacht, weiß ich nicht, morgens um sechs oder so, also gestern. Also: Wir waren halt feiern. Arzt: Nachdem Sie die Ecstasy genommen haben, sind Sie feiern gegangen, also ausgegangen zu Feiern, richtig? Patientin: Ja, wir waren unterwegs und da hat sie mir das gegeben. Und das hat auch, also eigentlich war alles fein. Und als dann aber dieses tolle Gefühl halt weg war, dann, ich weiß auch nicht, dann ging es mir nur scheiße. Und jetzt habe ich halt dies: dass das Herz überhaupt nicht mehr aufhört, so schnell zu schlagen. Und der Mund ist so trocken, ich habe echt Panik. Arzt: '''Ah, aber bitte beruhigen Sie sich. Sie sind ja jetzt hier bei uns in der Klinik. Und wir tun alles, damit es Ihnen wieder besser geht.''' Wir machen jetzt eine Elektrokardiographie, und schauen uns Ihren aktuellen Herzrhythmus genauer an. Damit können wir ausschließen, dass etwas Schlimmes mit Ihrem Herz ist. '''Und dann machen wir mit diesem Gespräch weiter.''' Patientin: Okay. Arzt: Dann '''kommen Sie mal mit, bitte'''. Patientin: Ja. [Arzt mimt die Durchführung einer Elektrokardiographie.] Arzt: Okay, '''ich kann Ihnen jetzt versichern, dass''' Ihr Herz zwar ein bisschen zu schnell schlägt, '''aber es gibt da nichts Schlimmes'''. Okay? Patientin: Okay. Arzt: Und, haben Sie Brustschmerzen? Patientin: Nee. Da ist halt noch dieses komische Flackern vor den Augen. Ich habe das Gefühl, ich kann gar nicht richtig gut gucken. Arzt: Ja, wann war Ihre letzte Ecstasy-Einnahme genau, also: die letzte Ecstasy, die Ihre Freundin Ihnen gegeben hat, wann war das? Patientin: Ja, gestern Morgen, also noch fast Nacht. Ich habe die halt kurz hintereinander genommen. Weil ich halt, wie gesagt, erst gar nichts gemerkt habe, ja und dann hat es sich vielleicht so verdoppelt. Arzt: Haben Sie '''ansonsten irgendwelche anderen''' Drogen genommen? Patientin: Nein, nein, nein. Arzt: Und können Sie sich an alles erinnern? Patientin: Ja. Arzt: Hatten Sie keinen Filmriss? Patientin: Nein. Arzt: Haben Sie auch Alkohol getrunken? Patientin: Ja, wir haben eigentlich den ganzen Abend irgendwas getrunken. Arzt: Und trinken Sie '''sonst auch''' regelmäßig Alkohol? Patientin: Nein, jetzt nicht irgendwie jedes Wochenende oder so. Ich habe ja auch zwei kleine Kinder. Arzt: Und: Rauchen Sie? Patientin: Ja, wenn ich weggehe. Arzt: Wie viel rauchen Sie ungefähr pro Tag? Patientin: Also: So im normalen Leben rauche ich gar nicht. Nur wenn ich halt, wie gesagt, weggehe, dann, ja, rauche ich so zwei, drei Zigaretten. Arzt: Und: War es das erste Mal, dass Sie Drogen genommen haben? Patientin: Ja. Oh, ich glaube, jetzt haben Sie voll den falschen Eindruck von mir. Arzt: '''Machen Sie sich deswegen bitte keine Sorgen. Ich frage es aus medizinischen Gründen, Frau Märker'''. Haben Sie irgendwelche Allergien? Patientin: Ja, Nüsse. Gegen Nüsse. Arzt: Und wie äußert es sich? Patientin: Ich habe das halt schon, seitdem ich ganz klein bin. Ich weiß es gar nicht genau. Also auf jeden Fall haben meine Eltern immer voll die Panik geschoben. Arzt: Frau Märker, '''haben Sie außer dem noch irgendwas Ungewöhnliches bemerkt, was wichtig sein könnte? Ich meine: Außer''' dem Herzrasen, dem trockenen Mund und dieser großen Angst? Patientin: Also, dass ich halt nicht gut gucken kann, das macht mir so Angst. Das flackert die ganze Zeit so. Arzt: Auch seit gestern? '''Können Sie es bitte ein bisschen näher beschreiben?" Was für Sehstörungen haben Sie? Sehen Sie schwarze Punkte? Patientin: Ja, eher hell und dunkel. Das flackert so die ganze Zeit. Es flackert. Arzt: Haben Sie sich übergeben? Haben Sie erbrochen? Patientin: Nein. Arzt: Hatten Sie Nasenbluten? Patientin: Nein. Arzt: Ohrenbluten? Patientin: Nein. Arzt: Haben Sie Bauchschmerzen? Patientin: Nein. Aber ich habe ganz doll geschwitzt gestern. Arzt: Geschwitzt, ja, also ich würde sagen: Das ist normal bei Ekstasy. Patientin: Haben Sie das auch schon mal genommen? Arzt: Nein, ich nicht, aber ich habe viel darüber gelesen, natürlich. Patientin: Okay. Arzt: '''Ich hätte da noch ein paar Fragen ein Sie:''' Bewusstlos waren nicht? Patientin: Nein. Arzt: Wie ist es mit Stuhlgang und Wasserlassen? Patientin: Alles ok. Ärztin: Hatten Sie in den letzten Tagen Durchfall? Patientin: Nein. Arzt: Haben Sie Kopfschmerzen? Patientin: Nein. Arzt: Und: Schlafen Sie gut? Patientin: Eigentlich ganz okay. Die Kinder, also die Kleine, die ist halt noch so, dass sie immer wach wird nachts, aber ansonsten ist es schon okay. Arzt: Sie haben '''also''' Kinder, wie viele Kinder haben Sie? Patientin: Zwei. Einen Sohn und eine Tochter. Und ja, mit dem Vater, da ist es so ein bisschen on-off. Arzt: Sie leben '''also''' allein mit Ihren zwei Kindern zusammen? Patientin: Im Moment ja. Arzt: Und was machen Sie beruflich? Patientin: Also: Gelernt habe ich Bäckereifachverkäuferin, aber ich habe jetzt, seitdem ich die Kinder habe, nicht wieder gearbeitet. Arzt: Und: Wovon leben Sie? Patientin: Also von der Stütze. Nur von der Stütze. Arzt: Haben Sie keine andere Einkommensquelle? Patientin: Nein. Arzt: Und: Sind Sie sexuell aktiv? Patientin: Also wie gesagt, im Moment ist es halt schwierig mit dem Papa und ... Arzt: Haben Sie andere Partner? Patientin: Also ich hatte zwischendurch mal wen getroffen, aber ach, das ist auch echt schwierig irgendwie. Arzt: Ja, '''das kann ich gut nachvollziehen'''. Patientin: Ah, haben Sie damit auch manchmal Probleme? Arzt: Bleiben wir mal bei Ihnen. ... Verhüten Sie? Patientin: Also, ich nehme jetzt nicht mehr die Pille oder so. Arzt: Und Ihr Partner? Nutzt er Kondome? Patientin: Also: Das ist jetzt schon lange her, dass ich mal mit wem geschlafen habe. Arzt: '''Verstehe'''. Wann waren Sie das letzte Mal bei der Frauärztin? Patientin: Ich glaube, eigentlich nach der Entbindung von meiner Tochter. Arzt: Wie alt ist sie jetzt? Patientin: Sie wird jetzt drei. Arzt: Und ihr Sohn? Patientin: Der ist viereinhalb. Arzt: Ah. Seit wann arbeiten Sie nicht mehr? Patientin: Ja, eigentlich, seitdem mein Sohn geboren ist. Ärztin: '''Also''' seit viereinhalb Jahren? Patientin: Ja. Arzt: Frau Märker, leiden Sie an irgendwelchen Vorerkrankungen? Patientin: Ja, die Schilddrüse ist nicht in Ordnung bei mir. Also ein bisschen arbeitet sie noch, aber nicht mehr so ... Also: Ich muss so ein bisschen was von diesen Hormonen nehmen. Arzt: Dann nehmen Sie also regelmäßig jeden Morgen Tabletten? Patientin: Ja, aber nur fünfzig. Arzt: Fünfzig? Und welches Medikament ist das genau? Patientin: Ja, fünfzig. Den Namen weiß ich grad nicht. Arzt: Seit wann haben Sie Schilddrüsenprobleme, diese Unterfunktion? Patientin: Ich glaube, seitdem ich siebzehn bin. Arzt: Ansonsten: '''Nehmen Sie noch andere Medikamente regelmäßig?''' Patientin: Nein. Arzt: Haben Sie irgendwelche anderen Vorerkrankungen? Patientin: Also ich war mal stationär, weil ich magersüchtig war. Arzt: Ah. Und wann war das? Patientin: Ja, so mit 17, 16, 17. Ich habe halt nur noch ganz, ganz, ganz wenig gegessen. Und habe auch nur noch 43 Kilo gewogen, also: Das war voll krass eigentlich. Arzt: Haben Sie sich da auch gezwungen, sich nach dem Essen zu übergeben? Patientin: Nee, das habe ich nicht. Ich habe einfach nur wenig gegessen. Arzt: Waren Sie da in einer Reha? Patientin: Ja, ich war stationär. Arzt: Wie lange? Patientin: Acht Wochen. Arzt: '''Und wie fühlen Sie sich inzwischen?''' Patientin: Das ist ja schon voll lange her. Jetzt geht es mir eigentlich gut. Arzt: '''Gut zu hören.''' Und sind Sie schon mal operiert worden? Patientin: Ja, ich habe mir mal die Nase richten lassen. Arzt: Wann war das? Patientin: Mit 19. Arzt: Ah. Und '''gibt es irgendwelche Erkrankungen in Ihrer Familie? Mutter, Vater, Geschwister?''' Patientin: Ja, also meine Mutter ist Diabetikerin und die spritzt sich Insulin. Mein Vater hat Grauen Star. Arzt: Grauen Star? Und in welchem Alter hat er diesen Grauen Star bekommen? Patientin: Das weiß ich gar nicht, wann das angefangen hat. Er hat auf jeden Fall jetzt schon zwei neue Linsen gekriegt. Arzt: Haben Sie Geschwister? Patientin: Nein. Arzt: Sind Sie vollständig geimpft? Patientin: Also: Corona habe ich nur eine einzige Impfung, diese von Johnson & Johnson. Arzt: '''Und davor, hatten Sie da''' alle Impfungen? Patientin: Weiß ich ehrlich gesagt gar nicht genau. Arzt: Okay. Dann frage ich es bei Ihrem Hausarzt nach, wie auch den Namen Ihres Medikaments wegen der Schilddrüse. Waren Sie in der letzten Zeit unterwegs im Ausland? Patientin: Nein. Arzt: Okay. Frau Märker, '''ich fasse es mal eben zusammen: '''Sie haben gestern mit Ihrer Freundin zwei Ecstasy-Tabletten genommen, die letzte Einnahme war vor einem Tag, gestern Abend, '''ist das so richtig?''' Patientin: Nein, nein, erst am Morgen. Ich dachte, das habe ich schon gesagt?! Also Dienstag, also gestern irgendwann in den frühen Morgenstunden, so um sechs, vielleicht, vielleicht auch früher. Ich hab ja nicht auf die Uhr geguckt. Wir haben halt, wie gesagt, meine Mutter war ja da und hat halt auf die Kinder aufgepasst und dann waren wir halt auch die ganze Nacht unterwegs. Arzt: Okay, und das war gestern. Und Sie haben die zwei Ecstasy-Tabletten nacheinander genommen und seitdem haben Sie Herzrasen, Ihr Mund ist trocken und Sie fühlen sich irgendwie unwohl und komisch. Patientin: Genau, und ich kann halt nicht gut gucken. Arzt: '''Ja. Das habe ich mir auch notiert.''' Haben Sie Atemprobleme, Atemnot? Patientin: Nee, aber ich bin innerlich noch so voll unruhig. Ich habe richtig so das Gefühl, dass ich vielleicht wie so Panik kriege. Arzt: '''Ja, verstehe. Danke, Frau Märker, also: Das wäre alles meinerseits.''' Jetzt muss ich Sie körperlich untersuchen und Ihnen Blut abnehmen, und dann, sobald wir das Ergebnis haben, besprechen wir es weiter. Wir geben Ihnen jetzt auch eine Infusion. Patientin: Okay, was ist da drin? Arzt: Das ist nur, um Sie etwas zu hydratieren. Patientin: Verstehe ich nicht: Was heißt das? Arzt: '''Also, es geht darum,''' mehr Flüssigkeit in Ihren Körper zu bringen, weil Sie stark geschwitzt haben und Sie haben dieses Herzrasen und diesen trockenen Mund. '''Also geben wir Ihnen, sagen wir, Wasser, aber intravenös, also in die Vene, damit es schneller wirkt.''' Patientin: Okay, ja. Arzt: '''Und ich möchte Ihnen versichern, dass Sie nichts mit''' dem Herzen haben, also keine Herzprobleme. Ihr Herz hat so stark reagiert, weil Sie zwei davon genommen haben. Patientin: Okay. Und das wird jetzt von alleine besser oder was habe ich zu erwarten? Arzt: '''Genau deswegen lassen Sie uns erstmal''' Blut abnehmen und überprüfen, ob mit den Organen alles in Ordnung ist. '''Und danach besprechen wir es weiter.''' Patientin: Okay, danke. Arzt: '''Haben Sie noch etwas, das Sie mir sagen möchten?''' Patientin: Nein. Arzt: Okay, vielen Dank.[Ende des Gesprächs] [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_6|Patientenvorstellung dazu]] = Fall 12 = Eine echte Patientin ist zu einem ausführlichen Gespräch bereit (60 Minuten). Die Patientin schaut dabei 10 Jahre zurück. Stand: September 2024. Ergänzend finden sich Informationen zu Selbsthilfegruppen für diese Erkrankung. == Annalena Randecker == Ärztin: Guten Tag! Patientin: Guten Tag! Ärztin: Mein Name ich Olga Adrianova und ich möchte das Erstgespräch mit Ihnen führen. '''Können wir anfangen?''' Patientin: Ja, ich bin soweit. Ärztin: Gut, wie heißen Sie, bitte? Patientin: Annalena Randecker. Ärztin: Ihren Nachnamen bei mit e oder mit ä? Patientin: Wie die Ecke, also mit e-c-k. Ärztin: Und Ihr Vorname Annalena wird in einem Wort geschrieben, richtig? Patientin: Ja. Ärztin: '''Was führt Sie zu uns?''' Patientin: Ja, ich bin jetzt hier in die Kinderklinik Esslingen gekommen, das gehört zu der Geschichte, im September 2003, und ich bin 17 Jahre alt. Ärztin: Ahem. [nickt] Patientin: Und ich wurde von einem Neurologen überwiesen, der mich zur stationären Aufnahme und Abklärung in die Klinik geschickt hat. Ärztin: Ja. Patientin: Bei den Neurologen war ich aber nur kurz. Ich hatte nämlich eine Überweisung von einem Augenarzt bekommen. Dorthin war ich gegangen, weil ich auf dem einen Auge nicht mehr richtig sehen konnte. Ärztin: Hm. Patientin: Das ist so passiert: Wir sind in Urlaub gefahren und ich saß hinten im Auto am offenen Autofenster. Es war August und sehr heiß. Da habe ich gemerkt, dass mein linkes Auge irgendwie komisch wird und weh tut. Ärztin: Ahm. Patientin: Ich dachte dann: Ich habe mir wahrscheinlich n Zug geholt von der Autofahrt, also n Luftzug. Und als wir dann bei meiner Tante angekommen waren, für den Urlaub, habe ich dort versucht, mit Kamillenteebeuteln diese Schmerzen von den Augen wegzubekommen, und habe dann mit der Zeit auch bemerkt, dass ich auch gar nicht mehr richtig sehen kann auf dem Auge, ... Ärztin: Hm... Patientin: ... also es hat nicht nur richtig weh getan auf dem Auge, sondern ich konnte auch gar nicht mehr richtig sehen. Ärztin: Ja. Patientin: Meine Mutter, die dabei war, meinte dann irgendwann auch, dass sie gemerkt hat, dass ich irgendwie ein bisschen komisch gelaufen bin, also anders als sonst. Ärztin: Ehm. Patientin: Genau, und als wir dann aus dem Urlaub zurück waren, bin ich eben zum Augenarzt gegangen, auch, weil ich das sowieso vorhatte, weil ich ein Jahr davor, da war ich im Mittelamerika gewesen, in Guatemala, für ein Jahr, und hatte dort auf dem anderen Auge bereits ein ähnliches Problem gehabt. Ärztin: Aha! Patientin: Und das hat sich dann aber nach vielleicht sechs Monaten irgendwie halbwegs zurück gebildet gehabt und da konnte ich wieder normal sehen, auf dem anderen Auge, und so vom Problem her war es wie durch eine Milchglasscheibe gucken, wie durch ein verschwommenes Glas gucken, irgendwie. Genau. Und deswegen wollte ich eigentlich sowieso zum Augenarzt, hatte es aber noch nicht hingekriegt, weil ich da gerade erst wiedergekommen war aus dem Ausland und wir dann in den Urlaub gefahren waren. Und, genau, habe das dann meinem Augenarzt berichtet und dachte: Naja, der wird mir irgendwelche Medikamente verschreiben, aber stattdessen hat er mich eben zum Neurologen überwiesen. Ärztin: Ja. '''Hatten Sie vielleicht auch woanders noch''' ein komisches Gefühl oder sogar Schmerzen, vielleicht in anderen Bereichen Ihres Gesichts? Patientin: Nee, das war wirklich nur so ums Auge rum. Ich weiß auch gar nicht mehr so genau, wie es war. Ärztin: Ehm. Patientin: In dem Jahr davor war es so gewesen, dass ich nur nicht mehr richtig gesehen habe. Da hatte ich ziemlich dramatischen Liebeskummer und meine Gastmutter hatte gesagt: "Hör auf zu heulen, du heulst dich blind!" Und, ja, kurze Zeit später konnte ich nicht mehr richtig sehen auf dem Auge, wo ich dann dachte: Das wär jetzt irgendwie komisch! Aber, genau, und da war's irgendwie … ohne Schmerzen, sondern einfach, dass ich nicht mehr richtig gesehen habe auf dem Auge. Ärztin: Ja. Und wie war es dann in der Klinik? Patientin: Erst war ich ja zu einem niedergelassenen Neurologen geschickt worden. Und er so übliche neurologische Tests mit mir gemacht: Ich musste auf einer Linie laufen, meine Nasenspitze treffen, und solche Dinge. Und irgendwas hat ihn dann dazu bewogen, mich in die Klinik zu schicken. Ich weiß es nicht. Und jetzt bin ich hier [lächelt]. Ärztin: Jetzt spiele also ich die Ärztin im Klinikum, ja? Patientin: Genau. Sie sitzen mit gegenüber als die Ärztin im Klinikum. Ich habe Ihnen jetzt erzählt, wie ich zu Ihnen gekommen bin. Ärztin: Gut, dann stelle ich Ihnen jetzt ein paar Fragen. Vor einem Jahr, also als Sie 16 waren, hatten Sie da eine genaue Diagnose? Patientin: Nein. Ich hatte in Guatemala erst eine Verdachtsdiagnose auf Migräne Ärztin: Ehem. Patientin: Ich konnte zu der Zeit noch nicht richtig Spanisch und das war alles ziemlich schwierig, weil ich kein Spanisch konnte und die anderen Menschen um mich herum weder Englisch, noch Deutsch, noch Französisch konnten, was die anderen Sprachen gewesen wären, die ich hätte sprechen können. Und ich habe mich dann irgendwie mit dem Wörterbuch durchgeschlagen, denn 2003 gab es ja auch noch keine maschinelle Übersetzung und so, und es war mir aber wichtig, dass ich davon ausgehe, dass es keine Migräne ist, weil … ich hatte keine Lichtempfindlichkeit und so, es hat irgendwie nicht gepasst zu meiner Idee von Migräne und so Ärztin: … und keine Schmerzen? Patientin: Ja, und keine Schmerzen. Es war wirklich so, dass ich nur nicht mehr richtig gesehen hab. Ärztin: Und haben Sie dort irgendwelche Tabletten bekommen, oder eine andere Therapie? Patientin: Genau. Ich habe dann nach mehreren Tagen meine Gastfamilie soweit gehabt, dass sie mich zu einem Augenarzt mitgenommen haben, und der hat sich dann den Augenhintergrund angeguckt, mit einem sehr altmodisch wirkenden Gerät, aber er hat festgestellt, dass irgendwie eine Entzündung vorliegt. Ärztin: Ehem. Patientin: Und hat mir dann Cortisontabletten verschrieben und ich glaub auch irgendein Beruhigungsmittel, weil ich ja diesen furchtbaren Liebeskummer hatte. Ärztin: Und '''wie lange haben Sie diese Cortisontabletten genommen'''? Patientin: Ich würde schätzen: vielleicht zwei Wochen, ich weiß es aber nicht mehr. Ärztin: Und dann, nach sechs Wochen, '''war da alles von selbst wieder gut'''? Patientin: Also, es ist nicht von jetzt auf gleich wieder gut geworden, sondern ich habe einfach immer wieder n bisschen besser sehen können, Schritt für Schritt besser. Ärztin: Und waren Sie dann auch in Deutschland nochmal beim Augenarzt? Patientin: Nach den sechs Monaten wurde es besser und ich glaube nach weiteren zwei Monaten bin ich dann zurück nach Deutschland und ich bin glaube ich im Juni oder Juli zurückgekommen und es war glaube ich alles so anders mit der Umstellung und ich war ja gerade erst siebzehn geworden, also es war auch alles eine etwas wilde Zeit mit Wieder-in-die-Schule-Gehen dort, und meine alten Freunde treffen und so weiter, das heißt: Ich habe das dann nicht mehr ganz so wichtig genommen, diese ersten zwei Monate lang. Und dann sind wir in' Urlaub gefahren und dann kam's mit dem anderen Auge, wo ich dann dachte, so: Hah! Mist, stimmt, ich wollte ja eigentlich … Es scheint ja irgendwas zu sein, was womöglich wiederkommt. Ärztin: Das bedeutet: Sie hatten keine genaue Diagnose. Patientin: [Nickt.] Ärztin: Hatten Sie in der Kindheit irgendwelche chronischen Erkrankungen? Patientin: Na, ich hatte tatsächlich mit zwölf Jahren mal das Phänomen, dass, wenn ich meinen Kopf gebeugt habe, also wenn ich den Kopf inkliniert habe, dass dann meine Arme gekribbelt haben vorne, also dann war es wie Ameisenlaufen die Arme entlang. Ärztin: Ehm. Aber '''auch ohne genaue Diagnose'''? Patientin: Damals hieß es, ich solle nicht so viele Bücher tragen in meinem Schulranzen und ich habe etwas Massage bekommen, Physiotherapie: "... und dann wird das schon wieder!" Ärztin: Aber außer diesem Phänomen war alles andere ganz in Ordnung bei Ihnen, ich meine: in der Kindheit? Patientin: Ja. Meine Mutter hat später gesagt, dass ich wohl mit Zwölf aufgehört habe, Fahrrad zu fahren. Also, bis dahin bin ich immer Fahrrad gefahren, und so ab Zwölf habe ich dann irgendwie aufgehört, mit dem Rad zur Schule zu fahren, und bin die zwei Kilometer lieber gelaufen. Das ist meiner Mutter dann nachträglich noch eingefallen, dass das ja vielleicht auch schon wichtig war. Ärztin: Ja. Wurden Sie in der Kindheit mal operiert? Patientin: Nein. Ärztin: '''War mit der Periode alles in Ordnung'''? Patientin: Ja. Ärztin: Jetzt kommen wir zurück zu Ihrem Fall 2003. Ich fasse es mal zusammen: Es war während des Urlaubs bei einer Autofahrt, am offenen Fenster. Plötzlich tat Ihr linkes Auge weh und Sie hatten so ein komisches Gefühl und Sie konnten nicht richtig sehen. Sie haben versucht, mit Kamillentee aufs Auge aufgelegt etwas Linderung herbeizuführen, es hat Ihnen aber nicht geholfen. Danach haben Sie eine Überweisung ins Klinikum bekommen. '''Gibt es da vielleicht sonst noch etwas Wichtige, das ich wissen sollte?''' Patientin: Bei der Visite vorhin meinten Ihre Kollegen, vielleicht solle man eine Lumbalpunktion machen - und ein MRT. Ärztin: Ehm. Und: Wurde es gemacht? Patientin: Ich weiß ja nicht genau, ab welcher Stelle wir jetzt spielen ;-) Kennen Sie schon die Befunde? Ärztin: Ich habe bisher nur eine Verdachtsdiagnose, aber mir liegen ja noch keine Befunde vor. ;-) Patientin: Stimmt ;-) Ärztin: '''Bevor diese Beschwerden auftraten, hatten Sie da vielleicht irgendwelche Beschwerden wie Fieber oder Halsschmerzen oder vielleicht eine Erkältung?''' Patientin: Nein. Ärztin: Aha. War vielleicht jemand von Ihren Bekannten krank? Patientin: Auch nicht. Ich hatte auch keinen Zeckenbiss. Ärztin: Ehm. Wo war der Urlaub nochmal? Patientin: In Budapest, in Ungarn. Ärztin: Ehm. Ist Ihnen vielleicht ein Hautauschlag aufgefallen? Patientin: Nein. Ärztin: Hatten Sie vielleicht Schwierigkeiten, den Kopf nach vorn zu beugen? Patientin: Nein, da war alles normal mit Bewegungen. Ärztin: Das habe ich Sie jetzt gefragt, weil ich mit dem Stichwort "Lumbalpunktion" den Verdacht auf eine Meningitis ausschließen wollte. Patientin: Ihre Kollegen wollten nach oligoclonalen Banden suchen. Ärztin: Wonach? [erstaunt] Patientin: Nach oligoklonalen Banden. Ok, das ist wahrscheinlich wirklich zu fachspezifisch, nur bei Neurologen bekannt. Ärztin: Vielleicht könnten mir meine beiden Kollegen hierzu etwas weiterhelfen? Normalerweise fragen wir ja auch etwas zu Nikotin, Alkohol, Drogen und so. Haben Sie geraucht, als Sie siebzehn waren? Patientin: Ja, ich habe geraucht und ja, ich habe im Urlaub auch Alkohol getrunken. Ärztin: Ah. Und wie viel Alkohol? Patientin: Ich war zusammen mit einem Freund unterwegs und manchmal haben wir wohl auch ein bisschen zu viel Alkohol getrunken - wie man das mit siebzehn manchmal macht. Ärztin: Und dieses Mal, könnte es sein, dass es genau nach dieser Party war? Patientin: Nee, das gibt es keinen zeitlichen Zusammenhang. Ärztin: Haben Sie bei dieser Gelegenheit auch Drogen konsumiert? Patientin: Nur Alkohol und Tabak. Ärztin: Wie viel haben Sie früher geraucht? Patientin: Wenn ich das noch wüsste, wie viel ich früher geraucht habe - ich rauche schon so lange nicht mehr! Ehm, vielleicht 5 am Tag, keine Ahnung. Ärztin: Ok, vielleicht möchten meine beiden Kollegen Ihnen noch Fragen stellen? Ich habe bis hierher zwei Verdachtsdiagnosen: Als erstes habe ich an den Trigeminalnerv gedacht, denn manchmal ist eine Trigeminitis mit Schmerzen verbunden. Und dann habe ich an eine Meningitis gedacht. Aber es gibt so viele verschiedene neurologische Erkrankungen, dass ich unser Gespräch gern mit meinen Kollegen zusammen weiterführen möchte. Patientin: Ok, und vielleicht sind dann ja schon die Befunde zum MRT und zur Lumbalpunktion da. Ärztin: Ich denke, die Fragen meiner Kollegen wären zu diesem Zeitpunkt am interessantesten. Kollege 1: Haben oder hatten Sie Fieber? Patientin: Nein. Kollege 2: Wie gut können Sie aktuell mit dem linken Auge sehen? Patientin: Auf dem linken Auge habe ich noch 15 % Sehkraft. Und es ist so, dass ich quasi im zentralen Bereich einen blinden Fleck habe, im äu0eren Bereich aber sehen kann. Kollege 2: Ist dieser Fleck im linken Auge geblieben? Patientin: Ja, da ist es in der Mitte wie bei einer Milchglasscheibe. Kollege 1: Wie stark waren diese Schmerzen auf einer Skala von eins bis zehn, wobei zehn am stärksten ist? Patientin: Nicht wirklich schlimm, vielleicht 3. Kollege 1: Darf ich auch fragen: Hat das linke Augenlid heruntergehangen? Patientin: Nein, das Auge sah von außen ganz normal aus. Nur, dass ich irgendwie komisch gelaufen bin. Kollege 1: Und wie war es 2003 mit dem rechten Auge? Patientin: Es war wieder ganz normal. Kollege 2: Haben die Schmerzen irgendwohin ausgestrahlt? Patientin: Nein, nur am Auge, aber vielleicht war etwas mit dem Augenbeweger nicht in Ordnung, aber das weiß ich nicht genau. Vielleicht einer der Bewegemuskeln vom Auge, der weh getan hat. Ärztin: Aber konnten Sie Ihre Augen bei diesen beiden Gelegenheiten normal bewegen? Patientin: Ja. Ärztin: Und kontrolliert bewegen? Patientin: Ja, da gab es keinen Nystagmus. Ärztin: Ihre Hauptbeschwerde war also, dass Sie nicht mehr richtig sehen konnten? Patientin: Genau. Ärztin: Hatten Sie beim zweiten Mal vielleicht sonst noch etwas Ungewöhnliches bemerkt? Patientin: Eigentlich nicht, außer, dass es mir bekannt vorkam, auf einem Auge plötzlich nicht mehr richtig sehen zu können, weil ich das in Guatemala ja auch schon erlebt hatte. Ärztin: War Ihnen übel oder hatten Sie schonmal erbrochen? Patientin: Nein. Ärztin: Könnten Sie mir diese Schmerzen vielleicht genauer beschreiben? Wie waren sie: stechend, pulsierend, erinnern Sie sich vielleicht daran? Patientin: Am ehesten dumpf. Ärztin: Aha. Ohne Ausstrahlung? Patientin: Ja, ohne Ausstrahlung. Aber im Jahr zuvor hatte ich keine Schmerzen am Auge. Ärztin: Vielleicht haben Sie irgendwelche neurologischen Erkrankungen in der Familie? Patientin: Nein, aber es gibt eine Autoimmunerkrankung. Ärztin: Welche? Patientin: Morbus Crohn. Ärztin: Und wer hat Morbus Crohn? Patientin: Meine Mutter. Ärztin: Gab es in dieser Zeit einen bestimmten Auslöser für diese Beschwerden? Patientin: Also: 2002 hatte ich ziemlich schlimmen Liebeskummer und 2003 hatte ich eigentlich auch wieder Liebeskummer, so gesehen, wie ich meinen Freund aus Guatemala nicht mitnehmen konnte nach Deutschland und er dort geblieben ist. Ärztin: Und nach 2003, hatten Sie da irgendwelche anderen Beschwerden, wie Beinschwäche, Schwierigkeiten beim Laufen, Muskelschwäche in den Armen oder andere neurologische Beschwerden? Patientin: Aha, ich glaube, Sie sind auf dem richtigen Weg :) Ok, spielen wir weiter im Jahr 2003 oder? Ärztin: Was Sie möchten. Patientin: Also: Später hatte ich öfter nochmal Probleme mit den Augen, zum Beispiel einen Nystagmus, also dass das eine Auge irgendwie anders gewandert ist als das andere. Ich hatte auch Gangstörungen, ich glaube Ataxien. Ich hatte ... einmal war meine halbe Seite taub, also das fing am Daumen an und ich hab dann immer mehr Fühlstörungen bekommen, bis meine halbe Seite taub war. Ärztin: Hhm. Patientin: Und, ja, ich habe auf alle Fälle sehr stark mit Fatigue zu kämpfen. Jetz weiß ich nicht, ob ich zu viel verrate. Vielleicht erstmal so weit. Ärztin: Jetzt habe ich noch eine andere Verdachtsdiagnose: Jetzt denke ich an Multiple Sklerose. Denn das kann mit Sehstörungen anfangen und andere Beschwerden können hinzukommen. Und was war da mit den Antikörpern bei der Lumbalpunktion? Damit kenne ich mich leider nicht aus. Patientin: Ich müsste auch nochmal nachgucken, ob ich das wirklich richtig im Kopf habe, dass eben im Liquor ein bestimmter Befund vorliegt, der deutlich auf MS hinweist. Wenn ich das richtig im Kopf habe, aber bitte das nicht aufschreiben, und nicht merken, sondern nur zum Nochmal-Nachgucken: Ich meine, es sind die oligoclonalen Banden... Also, wenn oligoclonalen Banden im Liquor gefunden werden, dann ist das eigentlich relativ klar, dass das MS sein muss. Ärztin [auch zu Ihren beiden Kollegen]: Wir recherchieren es mal. Patientin: Und das MRT ist 2003 im Kinderklinikum dann durchaus auffällig gewesen und es war dann eben eine Sehnerventzündung, die aus einem bestimmten Hirnarreal kommt, und die die Probleme verursacht hat. Ärztin: Vielleicht war es nur ein Teil der Diagnosestellung? Patientin: Ich meine, dass zu der Zeit State-of-the-Art war, dass man MRT plus Liquorbefund zusammengenommen hat und dass das dann eigentlich schon ziemlich sicher war. Vor allem, wenn im MRT mehrere Herde schon sichtbar waren. Wenn es ein einmaliges Ereignis ist - und damals war es so - wenn es um ein einmaliges Ereignis ging und im MRT auffällig war, dann sprach man noch nicht von MS, damals. Ich glaube, dass hat sich in den letzten zwei Jahren geändert, dass da unter Umständen schon von einer frühen MS gesprochen wird, wenn da nur ein Erlebnis ist und nur ein Herd auftaucht, einfach, damit früher mit der Therapie begonnen werden kann. Ärztin: Ja, das habe ich auch gelesen: Dass die Diagnose mittels MRT bestätigt werden kann. Und wie wurde es therapiert? Bis hierher habe ich verstanden, dass es wegen der Exazerbation mit Cortison behandelt wurde, und was war dann, also danach? Patientin: In der Klinik habe ich dann erst einmal hochdosiert Cortison-Infusion bekommen, wahrscheinlich 5 Tage 500 mg, denke ich. Das Gängige zu der Zeit waren 5 Tage 500 mg oder 3 Tage 1000 mg, aber ich denke, bei mir waren es 5 Tage, denn ich war ja noch nicht mal 18. Ach ja! Und weil ich auch noch keine 18 war, habe ich auch noch keine weitergehende Therapie bekommen, weil das alles erst ab 18 zugelassen war. Ärztin: Aha! Patientin: Das heißt: Es gab für Jugendliche keine Medikamente. Ärztin: Und also keine Therapiemöglichkeiten? Patientin: Für mich zu der Zeit nicht, ja. Also höchstens off-label dann, aber … Ich hatte dann das Glück, dass die Uniklinik in Tübingen mir dann glaube noch vor meinem 18. Geburtstag doch was verschrieben hatte, aber das war kompliziert damals, weil es eben eigentlich nicht zugelassen war. Ich habe dann ein paar Monate nach der Diagnose in Tübingen Interferon verschrieben bekommen. Ärztin: Welche Therapie war das genau? Wir haben zusammen ein bisschen recherchiert und gelesen, dass es jetzt gegen MS so viele verschiedene Medikamente gibt. Aber wie ist es in der Praxis? Welche Medikamente nutzen Ärzte in Deutschland in erster Linie, in zweiter Linie und so? Patientin: Das ist eine ziemlich schwierige Frage, denn damals, 2003, gab es noch nicht viel, also da gab es nur Interferon, und Glatirameracetat gab es glaube ich auch schon. Das waren die einzigen beiden Substanzen, die es zur Behandlung eigentlich gab. Und dann hat sich super viel getan, also seit 2003 sind so viele Medikamente auf den Markt gekommen. Ärztin: Ah ja. Patientin: Ich bekomme ja mit, in Selbsthilfegruppen oder wenn man was liest oder so, dass inzwischen eigentlich mit einer härteren Therapie angefangen wird, also durchaus schon mit Infusionstherapien und nicht mit Medikamenten, die man sich selbst spritzt, oder mit Tabletten. Obwohl..., bei Tabletten gibt es inzwischen fast 20 zugelassene Medikamente oder so. Und es gibt so eine Tendenz, relativ früh schon relativ starke Medikamente zu verschreiben, weil festgestellt wurden, dass eigentlich die ersten Jahre sehr entscheidend sind, auch für den späteren Krankheitsverlauf... Ärztin: Aha. Patientin: ... also, dass es eigentlich wohl besser ist, sehr früh sehr hart zu therapieren, was natürlich schwierig ist, weil die Patient*innen selbst noch gar nicht viel merken, weshalb wohl eine Therapie mit schweren Nebenwirkungen mit einer nicht so guten Compliance versehen ist, dann, dass die Patient*innen das auch gar nicht machen wollen. Also, wenn sie selbst nicht viele Beschwerden haben oder sich alles zurückentwickelt hat, warum sollen sie dann irgendwas nehmen, was ihnen schwere Nebenwirkungen bereitet? Ärztin: Es wäre interessant zu wissen, was Sie selbst für Beschwerden hatten, zu diesem Zeitpunkt. Patientin: Ich habe tatsächlich... also, es ist wirklich so: Jede MS ist anders, sie heißt ja auch "die Krankheit der tausend Gesichter", also, es gibt keine MS, die wie eine andere ist, würde ich behaupten. Ärztin: Hm. Patientin: Bei mir ist es wirklich so, dass das Interferon am allerbesten von allem gewirkt hat, bisher. Ich hatte irgendwann Glatirameracetat genommen statt Interferon, weil es hieß, dass ich unter … naja, ich habe unter dem Interferon tatsächlich depressive Verstimmungen bekommen, und da meinten dann Ärzte von wegen, na wenn das so ist, dann sollten wir etwas Anderes nehmen, also dann wurde ich auf Glatirameracetat umgestellt. Ich habe es neun Monate genommen und hatte alle zwei Monate einen Schub. Das Medikament hat bei mir also überhaupt nicht gut funktioniert, es war katastrophal, die Zeit. Da hatte ich dann auch die Nystagmen und so und ständig Gefühlsstörungen. Das hat also bei mir nicht funktioniert, das Medikament - was aber nicht heißt, dass es bei anderen auch so ist. -----------00:34:44 Ich hatte dann irgendwann auch Dimethylfumarat, also Fumarsäure, das ist dann in Tablettenform, weil ich mit dem Spritzen so Probleme habe. Also: Interferon hat zwar gut gewirkt, aber man muss es nach wie vor [Stand: September 2024] spritzen, und wenn man, seit man 17 ist, spritzen muss - und es eben nicht so einen direkten Zusammenhang gibt wie bei Diabetes, wo man nicht anders kann, dann ist das irgendwann einfach schwierig. Genau, aufgrund von Spritzenphobie habe ich dann eben Tabletten bekommen und das Dimethylfumarat hatte dann bei mir - gefühlt - eigentlich auch gut gewirkt. Dann hatte ich aber einen ziemlich schweren Schub - das war in 2018 - wobei, das ist bis heute diffenzialdiagnostisch noch nicht hundertprozentig geklärt, also … Ich gehe ein bisschen davon aus, dass ich eine postvirale Fatigue auch noch hab, seit 2018. Ärztin: Aham. Patientin: also, diese Grippewelle 2017/2018 war ja auch ziemlich schwerwiegend, und seitdem habe ich eben extreme Fatigue-Erscheinungen. Ärztin: Haben Sie vielleicht auch ein Medikament mit, Moment, Natalizumab am Ende, etwas mit monoklonalen Antikörpern, probiert? Patientin: Wir sind jetzt in 2018, also nach dem sehr schweren Schub, wo ich zwei Wochen im Krankenhaus lag und fast nicht ansprechbar war, also so schlimm war die Fatigue, dass ich wirklich von 24 Stunden wohl 22 Stunden geschlafen habe, da kam dann mein Neurologe auf die Idee, dass es wahrscheinlich an der Zeit wäre, Natalizumab auszuprobieren, also Tysabri als Infusion. Ich habe zu der Zeit tatsächlich den Neurologen gewechselt und dieser Neurologe hielt es für eine schwere Verfehlung, dass ich bisher nur Interferon und Dimethylfumarat bekommen hatte und hat mich dann auf Natalizumab gesetzt und … [stöhnt etwas] es hat mir mehr Probleme gebracht als Erleichterung - ich weiß, dass es bei anderen Leuten anders ist, also: Ich habe Freundinnen, bei denen Natalizumab super wirkt - Ärztin: Ja, so etwas gibt es. Patientin: Aber bei mir war es so, dass sämtliche Allergien sind zurückgekommen sind, also: Ich hatte richtig viele Nebenwirkungen und die Fatigue wurde nochmal schlechter, also, ich hatte jedes Mal, wenn ich die Infusion hatte, danach, ich glaube: eine Woche oder zwei, so eine schwere Fatigue, dass ich eigentlich nichts mehr wirklich machen konnte, also direkt anschließend an die Infusionen Ärztin: Ja... Patientin: Dann habe ich mir irgendwann mein eigenes Schaubild angeguckt, wo ich vermerkt habe, wann ich Schübe hatte und welche Medikamente ich genommen habe und habe dann wieder gesehen, dass Interferon anscheinend das ist, was bei mir am meisten bringt. Und habe dann meinen Neurologen gebeten, ob wir vielleicht doch wieder auf Interferon umsteigen können... Genau, und ich habe jetzt [September 2024] eben das dritte Interferon-Präparat, seit ich angefangen habe, und das muss ich jetzt nur alle zwei Wochen spritzen, und das ist eigentlich ganz ok dann. Ärztin: Ist Ihnen aufgefallen, ob sich die Symptome bei kaltem Wetter, bei warmem Wetter ändern? Dazu habe ich mal was gelesen, Klimaabhängigkeit. Patientin: Ah, Sie meinen das Uhthoff-Phänomen? Was das angeht, bin ich völlig atypisch. denn eigentlich ist Hochsommer die Zeit, in der es mir am besten geht. Gerade so schwül-warmes Klima ist optimal für mich, denn da fühle ich mich richtig gut. Aber ich bin mir sicher, dass es bei 90% der MS-Patientinnen und -Patienten anders ist. Ich glaube, fast alle haben Probleme mit Hitze, aber ich nicht. Bei mit ist es anders herum: Ich mag den Hochsommer. Ärztin: Ich habe nämlich mal gehört, dass Menschen wegen MS in eine andere Klimazone gezogen sind, und dort die Symptome ganz weg waren. Ich weiß nicht, woran es liegen könnte oder wie es zu erklären ist. Patientin: Ja, vielleicht ist es dann wirklich so, dass diese Person vor allem mit dem Klima große Schwierigkeiten hatte. Aber die Trigger für Schübe sind ja sehr unterschiedlich. Bei mir sind es vor allem emotionale Belastungssituationen, also emotionaler Stress. Ich weiß, dass es bei anderen durchaus körperlicher Stress sein kann. Damit habe ich eher keine Probleme. denn ich bin noch lange wandern gegangen und war auf Reisen, habe durchaus auch - naja, vielleicht nicht Extremsport gemacht, aber Höhlenklettern, also, das ist vielleicht ein bisschen körperlich fordernder, auch psychisch anstrengend, wenn man zehn Stunden in einer dunklen Höhle unterwegs ist. Aber emotional ist es eben sehr gut gewesen. Bei mir ist es also weder psychisch noch körperlich, sondern das Emotionale, was bei mir die Probleme gemacht hat. Bis 2018. Und seit 2018 ist alles anders, keine Ahnung. Ärztin: Was genau ist anders? Patientin: Ja, es gab damals einen Arzt, der meinte, dass es womöglich der Übergang von der schubförmigen in die progrediente Form wäre, dieser Moment, in 2018. Mein Neurologe geht davon aus, dass das nicht stimmt, weil das MRT gleich bleibt. Ich habe seit Jahren ein stabiles MRT. Es sieht schlecht aus, wirklich schlecht, aber es sieht schon seit 10 Jahren schrecklich aus. Aber es hat sich nicht mehr verändert. Insofern, ich weiß nicht, was es ist. Vielleicht hat auch das ständige Kämpfen gegen irgendwelche Grippeviren in meinem Körper - was nach wie vor passiert - und auch ein Grund für die Müdigkeit ist, vielleicht hat das was damit zu tun? Ich weiß es nicht - oder... das ist jetzt alles Spekulation. Ärztin: Und wie alt sind Sie jetzt? Patientin: Jetzt bin ich 38. Ärztin: Und, wenn ich fragen darf: Haben Sie Kinder? Patientin: Ja, ich habe inzwischen einen Sohn. Genau, Schwangerschaft und Stillzeit waren wunderbar. Und seither geht es mir viel besser. Ärztin: Wie als ist Ihr Sohn? Patientin: Er ist jetzt 2 3/4, im Dezember wird er drei. Also schwanger war ich 2021. Ärztin: Und während der Schwangerschaft war alles gut? Patientin: Also, ich habe dann in der Frühschwangerschaft das Interferon abgesetzt, nach Rücksprache mit meinem Arzt. Es ist inzwischen zugelassen [September 2024], also man könnte auch Interferon weiter nehmen, in der Schwangerschaft. Aber da ich nach wie vor auch Nebenwirkungen von dem Interferon habe und deswegen Ibuprofen nehmen muss, um diese grippeähnlichen Symptome vom Interferon in Schach zu halten, wollte ich das einfach in der Schwangerschaft nicht machen. Es war aber super, also, wie gesagt, vor der Schwangerschaft ging es mir richtig schlecht. Ärztin: Ehem. Patientin: Deshalb war es auch eine schwierige Entscheidung, ob wir das wirklich versuchen wollen, weil man ja als Mutter auch ein bisschen für sein Kind da sein möchte, und so weiter und das ja auch alles ein bisschen schwierig ist, wenn man nicht weiß, wie es wird. Aber es war eine gute Entscheidung und es ist sehr positiv gewesen und hat mir einfach auch unglaublich viel Energie zurückgegeben. Ärztin: Schön zu hören. Patientin: Vielleicht hat sich mein Körper in der Schwangerschaft nochmal umgebaut, von der postviralen Geschichte nochmal hormonell … ich habe keine Ahnung, es ist nicht so ganz erklärbar. Ärztin: Wann sind die Fatigue-Symptome wieder aufgetreten? Patientin: Sie sind immer ein bisschen da, aber nicht mehr so schlimm. Wenn ich davor im Schnitt vielleicht zwei Stunden am Tag was machen konnte, dann sind es inzwischen eher sechs. Ärztin: Es hat sich also seit der Schwangerschaft verbessert. Patientin: Auf alle Fälle, ja. Ärztin: Und Ihre Therapie lautet derzeit: zwei Mal im Monat Interferon, richtig? Patientin: Genau. Ärztin: Und das ist alles? Patientin: Ja. Und das MRT ist nach wie vor stabil, also da gab es keine weiteren Veränderungen. Ich habe inzwischen einen Rollstuhl, tatsächlich, seit 2018, aber ich brauche ihn nicht immer. Meine Gehstrecke ist inzwischen, na, sechs Meter, also eben auch seit 2018. Also bis 2018 habe ich im Stehen und Gehen gearbeitet. Ich habe in einer Apotheke gearbeitet und war dort die ganze Zeit auf den Beinen, eigentlich, habe also viel gestanden. Und habe mit dem Schub 2018 diese starke Verschlechterung bekommen. Ärztin: Und mit den Armen können Sie sich normal bewegen? Pat: Ja, also ich bin eigentlich nicht wirklich mobilitätseingeschränkt, sondern eher krafteingeschränkt, würde ich sagen. Ärztin: Ah ja? Patientin: Ja, ich kann eigentlich alles: Ich kann auf einem Bein stehen, ich kann auf einem Bein hüpfen, ich habe keine Gleichgewichtsprobleme … Es funktioniert eigentlich alles, aber eben nicht lange. Also: Es sind kurze Zeitspannen und danach muss ich mich erstmal eine halbe Stunde hinsetzen. Ärztin: Aham. Wie ist es mit Stuhlgang und Wasserlassen? Pat: Da ist alles ok. Ich hatte in der Vergangenheit manchmal Probleme mit der Blase, eine leichte Dranginkontinenz, vielleicht war das 2008, schon länger her, aber das hat sich wieder zurückentwickelt. Ärztin: Vielen Dank für Ihre ganze Geschichte. Es war sehr interessant und hilfreich. -------- ab Minute 50 Selbsthilfegruppen bei chronischen Erkrankungen am Beispiel von MS Patientin: Ja, also, da MS ja ne relativ häufige chronische Erkrankung ist, ist bei MS das Netz der Selbsthilfegruppen eigentlich wirklich gut ausgebaut, würde ich sagen. Also eigentlich gibt es in jeder mittelgroßen Stadt, vielleicht sogar in großen Dörfern, eigene Selbsthilfegruppen. Viele davon gehören zum Dachverband DMSG, der Deutschen Multiple Sklerose Gesellschaft, die einfach auch viele hilfreiche Sachen anbieten, zum Beispiel Seminare für Leiterinnen und Leiter von Selbsthilfegruppen oder: Die DMSG organisiert auch Patienteninformationstage usw. Geleitet wird so eine Gruppe von einer Betroffenen, so wie die Selbsthilfegruppen sich auch aus selbst Betroffenen zusammensetzen und manchmal sind auch Angehörige dabei, aber es sind vor allem Betroffene, die sich einfach zusammenfinden und gemeinsam über ihre Probleme reden - oder auch nur über ihren Alltag - und sich zum Beispiel in sozialrechtlichen Fragen sehr gut gegenseitig unterstützen können. Das Sozialrechtliche ist tatsächlich mindestens dann sehr wichtig bei MS, wenn man mit einer fortschreitenden Behinderung zu tun hat. Es betrifft zum Beispiel Sachen wie die Frühverrentung oder den Anspruch auf Hilfsmittel oder die Ausstellung eines Behindertenausweises. Und all diese Sachen werden eben... Es ist nicht so, dass man, nur weil man plötzlich einen Rollstuhl braucht, man auch gleich einen Behindertenausweis bekommt und überall parken darf. Was den Behindertenausweis angeht, muss man den eben beantragen, beim Landesamt für Versorgung und dieser Antrag wird dann eben bewilligt oder nicht. Und es ist unter Umständen ein ziemlich langer Kampf, bis man dann einen Behindertenausweis bekommt bzw. bis man die Merkzeichen bekommt, die dann auch adäquat sind. Das hat bei mir auch lange gedauert, aber inzwischen habe ich sogar einen Parkausweis. Ich darf sogar inzwischen offiziell auf Rollstuhlparkplätzen parken, ja. Das alles ist mit relativ viel Kampf und Arbeit verbunden. Also zum Beispiel auch: Eine Reha machen zu können, ist unter Umständen nicht selbstverständlich. Deswegen ist es superwichtig, dass es Selbsthilfegruppen gibt, die einen dann in solchen Situationen unterstützen können. Dozentin: Also: Erfahrungsaustausch und alles, sehr wichtig, und: einander Zeit zu schenken. Patientin: Zum Beispiel: "Versuch' mal, dies und das mit in den Antrag zu schreiben", also: Das Behördenchaos … Dozentin: … die Antragspolitik ... Patientin: Ja … ist eben schwierig. Es gibt auch andere Gruppen, die einem helfen, zum Beispiel der VdK [ursprünglich "Verband der Kriegsbeschädigten, Kriegshinterbliebenen und Sozialrentner Deutschlands", gegründet am 28.1.1950 in Düsseldorf, hervorgegangen aus einem Dachverband mit Vorläuferorganisationen, in denen sich zu 90% Kriegsopfer in Selbsthilfe organisiert haben, aktuell ein Verein mit 2,3 Millionen Mitgliedern], die haben auch eine Rechtsberatung. Der DMSG ist der Bundesverband und es gibt eigentlich in jedem Bundesland einen Verband. In Baden-Württemberg ist "aMSel" die Gruppe von der DMSG. [ https://www.amsel.de/ ] Dozentin: Ich danke dir sehr, auch im Namen meines Kurses, natürlich. Patientin: Gern geschehen. = Fall 13 = == Sebastian Mayer == Patient: Guten Tag, Herr Doktor, heute fühle ich mich nicht gut, bin total im Eimer, weil ich nicht richtig atmen kann. Ich brauche Ihre Hilfe! Arzt: Geht es dabei ums Einatmen oder ums Ausatmen? Patient: Das Einatmen fällt mir schwer, ja, aber beim Ausatmen kommt es mir so vor, als ob Luft drin bleibt. Arzt: '''Wie lange schon?''' Patient: Ach, eigentlich habe ich die Beschwerden seit heute Morgen. Ich konnte es nicht mehr aushalten, Herr Doktor. Arzt: Dann gebe ich Ihnen jetzt Sauerstoff und lege Ihnen einen Pulsoximeter. '''Einen Moment mal. Nehmen Sie bitte hier Platz.''' Patient: Dankeschön. Arzt: Wie heißen Sie? Patient: Dr. Sebastian Mayer. Arzt: Mayer mit Ah Ypsilon? Patient: Ja. Arzt: Wie alt sind Sie? Patient: 66. Arzt: Wie groß sind Sie, Herr Dr. Mayer? Patient: Eins sechsundachtzig. Arzt: Und wie viel wiegen Sie ungefähr? Patient: 88 Kilo. Arzt: Wie heißt Ihre Hausärztin oder Ihr Hausarzt? Patient: Dr. Schmidt. Arzt: Mit Deh Teh am Ende? Patient: Ja, genau. Arzt: '''Sagen Sie mir bitte, was genau passiert ist''' heute Morgen. Woher kommt die plötzliche Luftnot? Gibt es da einen Auslöser? Patient: Heute Morgen hatte ich zuerst Schwierigkeiten beim Einatmen und war total müde. Arzt: '''Haben Sie etwas Besonderes gemacht''', Sport vielleicht, oder haben Sie nur gesessen, als es anfing? Patient: Nichts Besonderes, nein. Und eigentlich ist das schon seit drei Tagen so, mit Auswurf. Arzt: Ah. Welche Farbe hat der Auswurf? Patient: So grünlich-gelb ist der, richtig ein bisschen eklig. Arzt: Haben Sie auch Fieber? Patient: Ja. Gestern waren es 38 Grad. Meine Frau hat es gemessen. Arzt: Wo hat Ihre Frau Fieber gemessen? Patient: Im After. Das ist doch immer der beste Platz für eine genaue Messung, oder? Arzt: Aha, anal gemessen 38° [Grad] Celsius. [notiert es sich] Patient: Ich hatte auch Herzrasen heute Morgen und in meiner Brust war es so eng überall. Da habe ich einen Hub Salbutamol genommen, aber es hat nur eine halbe Stunde geholfen und danach fing es wieder an. Arzt: '''Hatten Sie das schon einmal?''' Patient: Wissen Sie, Herr Doktor, ich habe Asthma, schon seit der Kindheit. Also kenne ich das so, aber heute ist es viel stärker als sonst. Arzt: '''Ist Ihnen sonst noch etwas aufgefallen''', Herr Dr. Mayer? Patient: Ja, ich habe blaue Lippen, hat meine Frau gesagt. Und mein Herz schlägt schneller. Und es ist schlimmer geworden. Deshalb bin ich hier. Ich komme nicht zur Ruhe und es geht mir gar nicht gut, Herr Doktor. Bitte helfen Sie mir. Arzt: '''Gut, dass Sie gekommen sind. Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Sie sind bei uns in guten Händen. Wir tun alles, damit es Ihnen bald wieder besser geht.''' Haben Sie irgendwo Schmerzen? Patient: Nein, da tut nichts weh. Es ist nur so drückend und sehr unangenehm. Arzt: '''Seit wann ist das so?''' Patient: Seit 3 Tagen. Aber seit heute ist es viel schlimmer. Arzt: '''Waren Sie deswegen schon beim Hausarzt?''' Patient: Nein, Herr Doktor, da ist es morgens immer so voll und ich wollte nicht so lange warten müssen. Arzt: Ah. '''Wo genau''' ist das Engegefühl? Hinter dem Brustbein? Patient: Ja, hier oben in der Mitte. Das macht mir Angst, Herr Doktor. Arzt: '''Hatten Sie das schonmal?''' Patient: Als Kind, ja, aber mit heute ist es nicht zu vergleichen. Arzt: '''Haben Sie noch andere Erkrankungen?''' Patient: Vor 3 Jahren hat mein Arzt gesagt, ich habe ein Lungenemphysem. Und er hat mir Prolenium verschrieben, was ich seither morgens nehme. Arzt: '''Nehmen Sie noch andere Medikamente regelmäßig oder bei Bedarf? Haben Sie Ihren Medikationsplan dabei?''' Patient: Ja, hier, Herr Doktor. Arzt: Vielen Dank. '''Außer den schon genannten Erkrankungen, haben Sie noch etwas anderes?''' Patient: Nein, aber ich gehe nicht gern zum Arzt und möchte mich auch mit gesundheitlichen Problemen nicht so gern beschäftigen und nehme ungern Medikamente. Arzt: Ja, '''das kann ich gut verstehen. Ich empfehle Ihnen aber, auf Ihre Gesundheit zu achten.''' Und Operationen? Patient: Ich habe seit 4 Monaten ein neues Knie. Arzt: Welches Knie war das? Patient: Das rechte. Arzt: Aha. Und war alles komplikationslos? Patient: Ja, zum Glück, Herr Doktor. Arzt: '''Waren Sie in der letzten Zeit mal erkältet?''' Oder gab es da vielleicht was Anderes, eine andere Erkrankung? Patient: Seit 3 Tagen denke ich, dass ich vielleicht erkältet bin, wegen dem Husten, dem Auswurf, dem Fieber. Arzt: Haben Sie in den letzten 3 Tagen vielleicht Salbutamol genommen, zusätzlich zu Prolenium, oder Prolenium und zusätzlich auch mal Salbutamol? Patient: Ja, einmal zusätzlich. Heute Morgen. Arzt: '''Wie häufig nehmen Sie Salbutamol bei Bedarf?''' Patient: Mein letzter Anfall war vor 3 Jahren. Da hat mein Hausarzt mich untersucht und ein Lungenemphysem gefunden. Arzt: Aber derzeit verwenden Sie das Spray sehr selten, richtig? Patient: Ja, so ist es. Arzt: Hat Ihr Hausarzt auch von COPD gesprochen? Patient: Nein, Herr Doktor, das höre ich zum ersten Mal. Arzt: Ist es irgendwo geschwollen? Die Unterschenkel, vielleicht? Patient: Nein, aber ich habe etwas Wichtiges vergessen: Seit einem Jahr wird meine Brust größer, also mein Brustkorb. Meine Hemden sind viel zu eng geworden. Und beim Ausatmen ist da ein komisches Geräusch, wie ein Pfeifen. Das hatte ich sonst nie, das ist neu, Herr Doktor. Arzt: Wie ist es mit Stuhlgang und Wasserlassen, Herr Dr. Mayer? Patient: Alles ok. Arzt: Wie schlafen Sie? Patient: Ganz normal, eigentlich, aber nicht, wenn ich solche Atemnot habe. Dann stehe ich auf und nehme Salbutamol. Arzt: Haben Sie mehr als ein Kopfkissen? Patient: Nein, nur eins. Arzt: Haben Sie Stress, beruflich oder privat? Was sind Sie von Beruf? Patient: Speditionskaufmann. Und ja, ich bin im letzten Berufsjahr, dann kommt die Rente. Um in Ruhe gehen zu können, habe ich noch sehr viel zu tun. Arzt: Leben Sie allein? Patient: Nein, ich lebe mit meiner Frau zusammen. Unsere beiden Kinder sind aus dem Haus. Arzt: Sind sie gesund? Patient: Ja, zum Glück! Sie kommen nach der Mutter. [= sind der Mutter ähnlich] Arzt: Leben Ihre Eltern noch? Patient: Meine Mutter hatte Bluthochdruck und ist mit 86 Jahren gestorben, an einem Schlaganfall. Arzt: Und Ihr Vater? Patient: Er hatte Asthma und ist mit 75 Jahren gestorben. Arzt: Mein Beileid. Haben Sie Geschwister? Patient: Ja, einen Bruder, hat auch Asthma. Arzt: Haben Sie alle Impfungen? Patient: Ja. Arzt: Waren Sie in den letzten sechs Monaten im Ausland? Patient: Nein. Arzt: Rauchen Sie? Patient: Früher habe ich sehr viel geraucht, eine Schachtel pro Tag. Aber seit dem Lungenemphysem weiß ich, dass ich damit aufhören sollte. Aber ich habe es noch nicht geschafft. Nicht ganz. Aber reduziert. Seit 3 Jahren sind es aber immerhin nur noch 3 Zigaretten pro Tag. Sobald ich in Rente bin, höre ich auf, Herr Doktor. Arzt: Ich wünsche Ihnen, dass Sie es schaffen. Trinken Sie Alkohol? Patient: Nur zu besonderen Anlässen. Arzt: Wie viel trinken Sie dann? Patient: 1 Glas Wein. Arzt: Wie oft ist das? Patient: Jeden Sonntag. Arzt: Und wie ist es mit Drogen? Patient: Keine. Arzt: Herr Dr. Mayer, wir sind am Ende unseres Gesprächs angelangt. Bleiben Sie bitte bei uns, damit wir Sie gründlich untersuchen können. Patient: Ok. Arzt: Gut, ich mache zuerst eine körperliche Untersuchung und höre Ihre Lunge ab. Ich denke, wir brauchen dann auch ein Röntgen. Patient: Heute Morgen war ich sehr unruhig, aber jetzt geht es mir schon besser. Arzt: Das ist gut zu hören. Patient: Vielen Dank, Herr Doktor. Arzt: Gern geschehen. Dafür sind wir da. Nehmen Sie bitte im Wartezimmer Platz. Ich bespreche es kurz mit meiner Oberärztin und dann geht es weiter. Patient: Alles klar, Herr Doktor. [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_3|Patientenvorstellung dazu]] = Fall 14 = bzfdg5fjabf5rrvpcav3v7z7j27usv3 106 156347 1078781 1076522 2026-05-06T12:03:19Z Falko Wilms 8588 /* Worum es geht */ 1078781 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''<big>''Angewandte Entscheidungstheorie''</big>'''</span></span></span><br> <span style="color:blue;"><big>ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms im SS 2026</big></span><br><br> <span style="color:grey;">Der Kurs richtet sich an nebenberuflich und an vollzeitlich Studierende<br> Die Inhalte werden bewusst auf dem Vorwissen der Teilnehmenden abgestimmt<br> Es handelt sich ''nicht'' um zwei genau gleiche Lehrangebote<br> </span></center> <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHES</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''<big>KI-Tools</big>''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:red;">'''<big>Dialog mit Chatbot</big>''']] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Suchmaschinen</big>'''</div> * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==<big>Worum es geht</big>== Insbesondere in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist das Treffen betrieblicher Weichenstellungen der Erfolgsfaktor. Die Organisation bietet hierfür den strukturellen Rahmen, der Kern ist die angewandte Entscheidungstheorie. Bei jeder Problemlösung immer wieder zwischen konkurrierenden Zielen (z. B. Kostensenkung und Qualitätserhöhung) begründet abzuwägen. Weil Problemstellungen bestehende Grenzen von Abteilungen überschreiten, sind Problemlösungen oft in Gruppen zu entwickeln. Dabei sind verschiedene Perspektiven und Interessen zu berücksichtigen. Um nicht allein auf die persönliche Intuition zu vertrauen, sind theoretisch fundierte Methoden in praxistauglicher Weise anzuwenden, um gut argumentierbare Entscheidungen zu treffen. Wer in Rahmen organisatorischer Bedingungen nachvollziehbar entscheidet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort. <br> In der Arbeitswelt sind Entscheidungsnotwendigkeiten knapp und strukturiert aufzubereiten. Dazu dient das Erstellen von '''Decision Briefing Paper'''. Genau das ist die Prüfungsleistung des Kurses. Im Berufsalltag kommt es immer wieder vor, dass Entscheidungsträger von Absolventinnen und Absolventen einer University of Applied Sciences eine prägnante, fundierte Entscheidungsvorlage erwarten. <br> ==<span style="color:blue;">besser Studieren== <span style="color:blue;">'''Wessen Gehirn immer weniger benutzt wird, dessen Gehirn verkümmert mit der Zeit!'''<br> <span style="color:blue;">Das Paper „The Memory Paradox: Why Our Brains Need Knowledge in an Age of AI“ (Oakley, Johnston, Chen, Jung & Sejnowski, 2025) belegt mit neurowissenschaftlich fundierter Argumentation, dass ein geübtes Gedächtnis ein Leistungsträger für das Denken und Voraussetzung für den effektiven Einsatz von KI-Tools ist. [[Benutzer:Falko Wilms/Lernen & KI|'''<span style="color:red;">(=> Details)''']] <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen: Am besten handschriftliche Notizen!''' # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen Fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. <br><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==Dozent== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV] ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Angewandte Entscheidungstheorie" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">'''Thematische Schwerpunkte des Kurses'''== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Materialien zu Excel'''</div> * [http://www.gcflearnfree.org/excel2016/ Excel-Tutorium (engl.)] * [http://www.fzt.haw-hamburg.de/pers/Abulawi/ExceleinfuehrungWS06.pdf gute Einführung] * [http://www.grundlagen-computer.de/excel-tutorial/ Grundlagen] </div> Im Vollzeitstudium erfolgen Treffen zu 90 min., im nebenberuflichen Studienangebot werden die Treffen entweder 90 min oder 130 min. dauern. Daher unterscheiden sich die gesetzen Schwerpunkte der beiden Angebote ein wenig, nur das Wesentlichste wird in gleicher Form angeboten. Auch die Reihenfolge der bearbeiteten Oberthemen ist variabel. * '''Hinführung''' [https://www.youtube.com/watch?v=GUbytj7Hk5Q podcast] *''' Modelle''' [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Mothe.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia: '''[https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * '''Mentale Modelle''' [http://www.youtube.com/watch?v=Leex8OQN-LI podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/MMo.pdf geschützte PDF] |[https:////de.wikipedia.org/wiki/Mentales_Modell Mentales Modell] | [https://de.wikipedia.org/wiki/Mentalit%C3%A4t Mentalität] * '''Das St.Galler Management Modell''' [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 podcast] | [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 '''SGMM (2019)'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=KuSW9EheY4A <span style="color:grey;">'''<small>SGMM (2017)</small> '''] * '''Trilemma''' [http://www.youtube.com/watch?v=yufszib2i7o podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Tri.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Trilemma Trilemma] | [https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%BCnchhausen-Trilemma Münchhausen-Trilemma] * '''Eingeschränkte Rationalität''' [http://www.youtube.com/watch?v=vlF3cnb8wC4 podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Ra.pdf geschützte PDF] || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Rationalit%C3%A4t Rationalität] | [https://de.wikipedia.org/wiki/Vernunft Vernunft] * '''Ziele und Zielhierarchien''' || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Ziel Ziel] || [https://de.wikipedia.org/wiki/Unternehmensziel Unternehmensziel] * '''Goldene Regel''' * '''Problemlösungszyklus''' || '''Wikipedia:''' [https://de.wikipedia.org/wiki/Vorgehensmodell PLZ als Vorgehensmodell] || [http://www.gitta.info/SystProbSolv/de/html/Unit1_Unit1LO1.html PLZ im System Engineering] | [https://www.projektmagazin.de/glossarterm/probleml%C3%B6sungszyklus PLZ im Projektmagazin] * '''Kooperation''' [https://www.youtube.com/watch?v=qTMMlCFqocQ podcast] * '''Multikriterielle Entscheidungen''' [http://www.youtube.com/watch?v=gsl-wQwV7zM podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/EtheorieGr.pdf geschützte PDF] *''' Multipersonelle Entscheidungen''' [http://www.youtube.com/watch?v=Tyhk-6bBZho podcast] | [https://homepages.fhv.at/wf/Protected/MulitEnt.pdf geschützte PDF] ==Benutzung der Lehrmaterialien== * Das Folienset strukturiert die Thematik und gibt eine gedankliche Ordnung. * Das Skript dient der Vertiefung, indem es die Argumentation nachvollziehbar macht. * Die Übungen ermöglichen das Übersetzen von Erkenntissen und konkreten Handlungen. ''Nur wer eigenhändige Notizen zu den im Kurs besprochenen Inhalten verfasst, verarbeitet sie aktiv und macht aus den gebotenen Information belastbares persönliches Wissen. Im Skript können jederzeit gezielt die Abschnitte nachgelesen werden, die noch nicht ganz verstanden sind. Wirkliches Verständnis entsteht erst durch eigenes Denken und selbständiges Formulieren und niemals durch reines Konsumieren.'' <br> ==Vertiefung des Wissens== Die hier aufgeführten Übungen können ihre Wirkungen des besseren Verständnisses nur dann entfalten, wenn man zuerst die Übungsaufgaben bearbeitet und erst danach die Lösungen betrachtet. Die dargebotenen PDFs zeigen zunächst eine Seite mit den Fragen und danach eine weitere Seite mir den korrekten Antworten. {|style="width:70%" |-style="vertical-align:top;" | * <span style="color:blue;"><big>Multiple Choice '''Fragebögen'''</big></span> ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721336&preview=/163721336/163721375/t1.pdf '''Prolog-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/2.+Systemdenken?preview=/163721332/163721378/t2.pdf '''Systemdenken-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/0.+Thesenpapier?preview=/163722772/163722779/These1.pdf '''Thesenpapier-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/3.+Trilemma?preview=/163721338/163723963/t3.pdf '''Trilemma-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721342&preview=/163721342/163723966/t4.pdf '''Rationalität-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/5.+Mentale+Modelle?preview=/163721344/163723969/t5.pdf mentale '''Modelle Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/6.+PL-Zyklus?preview=/163721346/163723972/t6.pdf '''Problemlösungszyklus-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721361 '''Ziele & Zielhierarchie-Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721363 '''multikrit. Entscheidungen Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721365&preview=/163721365/163726794/muE1.pdf '''multipers. Entscheidungen Fragen'''] ** [https://inside.fhv.at/display/~wf/10.+Kooperation?preview=/163721367/163726797/Ko1.pdf '''Kooperations-Fragen'''] | * <span style="color:blue;"><big>'''Aufgaben''' zum Ausrechnen</big> </span> **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721382&preview=/163721382/163721421/1.pdf '''Prioritäten setzen '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/101.+Paarweiser+Vergleich?preview=/163721384/163721425/2.pdf '''paarweiser Vergleich'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/102.+Paarvergleich+mit+Nutzwertanalyse?preview=/163721386/163721432/3.pdf '''Paarvergleich mit Nuzwertanalyse'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/103.+Entscheidungen+unter+Risiko?preview=/163721388/163721435/4.pdf '''Entscheidungen unter Risiko'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/104.+Savage-Niehans?preview=/163721390/163721438/5.pdf '''Savage-Niehans'''] '''|''' [https://inside.fhv.at/display/~wf/104.+Savage-Niehans?preview=/163721390/163723992/2.pdf '''mehr zu Savage-Niehans'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/105+Mehrere+Kriterien '''mehrere Kriterien'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721394 '''gew.Kriterien mit gleich bewerteten Abw.'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721396 '''gew.Kriterien mit ungleichen bewerteten Abw.'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/108+Qualitative+Kriterien '''qualitative Kriterien'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721400&preview=/163721400/163726791/m1.pdf '''Stimmenmehrheit(en)'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/110+disjunktive+Stimmen?preview=/163721402/163721463/11.pdf '''disjunktive Stimmen '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/111.+Systemisches+Konsensieren?preview=/163721404/163721466/12.pdf '''systemisches Konsensieren'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/112+.+Risokovermeidend+konsensieren?preview=/163721406/163721469/13.pdf '''risikovermeidend konsensieren '''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/113+BORDA-Regel?preview=/163721408/163721472/14.pdf '''BORDA-Regel'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/114+Approvial-Voting?preview=/163721410/163721478/15.pdf '''Approvial-Voting'''] **[https://inside.fhv.at/display/~wf/115.+Zielgewichtung+durch+mehrere+Personen?preview=/163721412/163721481/16.pdf '''Zielgewichtung durch mehrere Personen'''] **[https://inside.fhv.at/pages/viewpage.action?pageId=163721414&preview=/163721414/163721484/17.pdf '''Zielgewichtung bei ungleichen Beiträgen'''] |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. Am Kursende werden die fertig gestgellten persönlichen Logbucheinträge als PDF-Datei in ILIAS hochgeladen: * <span style="color:green;"> vollzeit Studierende in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=756669 <span style="color:green;"> '''in diesen Ordner'''] </span> * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierende in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=756659 <span style="color:brown;"> '''in diesen Ordner'''] </span> <br> <br> ==<span style="color:red;"><big> '''Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:20%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Prüfungsleistung'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4X.docx Template] * [https://falko-wilms.de/HL/DBP.pdf sehr gutes Beispiel] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Benotung_des_Decision_Briefing_Papers Benotung] </div> <span style="color:red;">Die Studierenden verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4X.docx <span style="color:red;"> diesem '''Template'''] ein von ihnen erstelltes '''''Decision Briefing Paper''''' und legen ihre Arbeit als PDF-Datei '''bis zum 08.05. um 23:59 Uhr''' in den dafür eingerichteten ILIAS-Übungs-Ordner ab. * <span style="color:green;"> vollzeit Studierende legen ihre Arbeit in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=812370<span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] </span> ab * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierende legen ihren Text in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=812368 <span style="color:brown;"> '''diesen Ordner'''] </span> ab <br> * <span style="color:red;">'''Benotungskriterien''' sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Benotung_des_Decision_Briefing_Papers <span style="color:red;">'''hier'''] erläutert *<span style="color:red;">'''Voraussetzung für die Benotung der Seminararbeit ist die vorherige Abgabe des persönlichen Kurslogbuchs mit mindestens 7 Einträgen!'''</span> * <span style="color:red;"> ''' hier ein [https://falko-wilms.de/HL/DBP.pdf <span style="color:red;">gutes Gutes beispielhaftes Decision Briefing Paper''']. <br> <br> ==Fachliteratur== * Fischer, J./Pfeffel, F. (2010): Systematische Problemlosung in Unternehmen, Ein Ansatz zur strukturierten Analyse und Losungsentwicklung, Wiesbaden: Gabler * Laux, H./Gillenkirch, R. M./Schenk-Mathes, H. Y. (2018): Entscheidungstheorie, 10., akt. u. erw. Aufl., Wiesbaden: SpringerGabler * Göbel, E. (2018): Entscheidungstheorie, 2. überarb. Aufl., Stuttgart: UTB * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] 14cum6z92ekcsg4dx9gbv8fecgwlyr2 0 156412 1078784 1078777 2026-05-06T13:54:16Z Bert Niehaus 20843 /* Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten */ 1078784 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{(p)} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{(3)} = 0,\overline{3}_{(10)} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] eo8dfjtx4qyhem9q4ckz6spys7c2ctx 1078786 1078784 2026-05-06T13:55:22Z Bert Niehaus 20843 /* Notation - p-adischer Zahlen */ 1078786 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{(3)} = 0,\overline{3}_{(10)} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 1vcmaey0f0i3h9semj9f2x4xf0chg5o 1078787 1078786 2026-05-06T13:56:01Z Bert Niehaus 20843 /* Periodische - endliche p-adische Entwicklung */ 1078787 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] nu935d9yphv9us3a0f4bzwjdpt6k4dy 1078788 1078787 2026-05-06T14:26:11Z Bert Niehaus 20843 /* (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen */ 1078788 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] h9inc7bwm67y30mgdwe8q15qdusrd4a 1078789 1078788 2026-05-06T14:43:28Z Bert Niehaus 20843 /* (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition */ 1078789 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 465m41iqku4empn4ldmvip2bzez7sd9 1078790 1078789 2026-05-06T14:50:24Z Bert Niehaus 20843 /* Analytische Konstruktion */ 1078790 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] r0chy5k3urxhj2usuzjb8u08h5mtgjz 1078791 1078790 2026-05-06T14:53:49Z Bert Niehaus 20843 /* Eigenschaften */ 1078791 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 5knohaik1l8nvpkm0h9te1tk8c59s5j 1078792 1078791 2026-05-06T14:57:15Z Bert Niehaus 20843 /* Algebraische Konstruktion */ 1078792 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] ltlii8plshhcezjsyhcgrh2jjq9i3s6 1078793 1078792 2026-05-06T15:06:02Z Bert Niehaus 20843 /* Algebraische Konstruktion */ 1078793 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 5vpmbkwk6wuj2aa0ximhm33i51yrvst 1078794 1078793 2026-05-06T15:06:32Z Bert Niehaus 20843 /* Projektiven Limes */ 1078794 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 0ag1il8xd64ccvkwhme9y88qr2gjg8u 1078795 1078794 2026-05-06T15:25:04Z Bert Niehaus 20843 /* Unterschiede zu den archimedischen Systemen */ 1078795 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: === Basen === Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahlen]] oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelemente]]. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion und der den Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\mathbb{Z}_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\mathbb{Z}_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\mathbb{Q}_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\mathbb{Q}_2 \!\! \times \! \mathbb{Q}_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \!\! \times \! \mathbb{Z}_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]]. Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\mathbb{Q}_p \ne \mathbb{Q}_q</math>, obwohl <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \cap \mathbb{Q}_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \mathbb{Q}_3</math>, aber <math>\mathbb{Q}_2 \ni \sqrt{41} \in \mathbb{Q}_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\mathbb{Q}_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\mathbb{Q}_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \mathbb{Q}_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> ==== Ganze Zahl als Basis ==== Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\mathbb{Z} \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. === Eindeutigkeit === * Die (kanonische) <math>p</math>-adische Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe ist eineindeutig. * Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystems]] der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen ::<math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math> : oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> ==== Darstellung von -1 ==== Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format als Reihe ist: :<math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p.</math> Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\mathbb{Q}_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\mathbb{Q}_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ <math>p</math>-adischen Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. ==== Beispiele für Darstellung von Primzahlen ==== {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. === Grundrechenarten === Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenarten]] (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle. ==== Berechnung des Fehlers bei Abbruch der Rechnung ==== Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben. Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> ==== p-adische Verknüpfungen ==== Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. ==== Irrationale Zahlen ==== Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. === Bewertungsring === Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. ==== Archimendische Systeme ==== Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. === Topologie === Topologisch sind die <math>\mathbb{Z}_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. <math>\mathbb{R}</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 30nxxjsqhb1pe4y1lflm9pp8wuhm3g8 1078798 1078795 2026-05-06T15:30:34Z Bert Niehaus 20843 /* p-adische Funktionentheorie */ 1078798 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: === Basen === Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahlen]] oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelemente]]. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion und der den Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\mathbb{Z}_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\mathbb{Z}_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\mathbb{Q}_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\mathbb{Q}_2 \!\! \times \! \mathbb{Q}_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \!\! \times \! \mathbb{Z}_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]]. Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\mathbb{Q}_p \ne \mathbb{Q}_q</math>, obwohl <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \cap \mathbb{Q}_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \mathbb{Q}_3</math>, aber <math>\mathbb{Q}_2 \ni \sqrt{41} \in \mathbb{Q}_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\mathbb{Q}_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\mathbb{Q}_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \mathbb{Q}_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> ==== Ganze Zahl als Basis ==== Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\mathbb{Z} \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. === Eindeutigkeit === * Die (kanonische) <math>p</math>-adische Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe ist eineindeutig. * Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystems]] der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen ::<math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math> : oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> ==== Darstellung von -1 ==== Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format als Reihe ist: :<math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p.</math> Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\mathbb{Q}_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\mathbb{Q}_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ <math>p</math>-adischen Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. ==== Beispiele für Darstellung von Primzahlen ==== {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. === Grundrechenarten === Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenarten]] (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle. ==== Berechnung des Fehlers bei Abbruch der Rechnung ==== Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben. Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> ==== p-adische Verknüpfungen ==== Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. ==== Irrationale Zahlen ==== Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. === Bewertungsring === Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. ==== Archimendische Systeme ==== Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. === Topologie === Topologisch sind die <math>\mathbb{Z}_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. <math>\mathbb{R}</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == p-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> === Darstellung der Exponentialfunktion === Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als <math>p</math>-adische Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. === Potenzreihendarstellung - Logarithmus === Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[Logarithmus]] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> ==== Konvergenzgebiete ==== In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> ==== Ableitung 0 ==== Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\mathbb{Q}_p</math> nach <math>\mathbb{Q}_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 60w8hak7nq34bvjhu4l14miq7qpm0kh 1078799 1078798 2026-05-06T15:32:23Z Bert Niehaus 20843 /* Ableitung 0 */ 1078799 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: === Basen === Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahlen]] oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelemente]]. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion und der den Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\mathbb{Z}_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\mathbb{Z}_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\mathbb{Q}_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\mathbb{Q}_2 \!\! \times \! \mathbb{Q}_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \!\! \times \! \mathbb{Z}_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]]. Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\mathbb{Q}_p \ne \mathbb{Q}_q</math>, obwohl <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \cap \mathbb{Q}_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \mathbb{Q}_3</math>, aber <math>\mathbb{Q}_2 \ni \sqrt{41} \in \mathbb{Q}_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\mathbb{Q}_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\mathbb{Q}_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \mathbb{Q}_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> ==== Ganze Zahl als Basis ==== Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\mathbb{Z} \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. === Eindeutigkeit === * Die (kanonische) <math>p</math>-adische Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe ist eineindeutig. * Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystems]] der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen ::<math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math> : oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> ==== Darstellung von -1 ==== Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format als Reihe ist: :<math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p.</math> Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\mathbb{Q}_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\mathbb{Q}_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ <math>p</math>-adischen Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. ==== Beispiele für Darstellung von Primzahlen ==== {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. === Grundrechenarten === Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenarten]] (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle. ==== Berechnung des Fehlers bei Abbruch der Rechnung ==== Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben. Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> ==== p-adische Verknüpfungen ==== Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. ==== Irrationale Zahlen ==== Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. === Bewertungsring === Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. ==== Archimendische Systeme ==== Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. === Topologie === Topologisch sind die <math>\mathbb{Z}_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. <math>\mathbb{R}</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == p-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> === Darstellung der Exponentialfunktion === Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als <math>p</math>-adische Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. === Potenzreihendarstellung - Logarithmus === Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[Logarithmus]] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> ==== Konvergenzgebiete ==== In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> ==== Ableitung 0 - Unterschied zur Analyis ==== Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\mathbb{Q}_p</math> nach <math>\mathbb{Q}_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. ==== Definition der Ableitung - Unterschied zur Analyis ==== Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 118mndnsem3xhq8opztuxpxh6o1rzy2 1078800 1078799 2026-05-06T15:35:57Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1078800 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\mathbb{Q}_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\mathbb{Q}</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math> und über allen <math>\mathbb{Q}_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so im Allgemeinen zutrifft - siehe [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]]). === p-adische Analysis === Als [[Normen, Metriken, Topologie|metrischer Raum]] ist <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: === Basen === Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahlen]] oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelemente]]. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion und der den Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\mathbb{Z}_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\mathbb{Z}_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\mathbb{Q}_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\mathbb{Q}_2 \!\! \times \! \mathbb{Q}_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \!\! \times \! \mathbb{Z}_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]]. Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\mathbb{Q}_p \ne \mathbb{Q}_q</math>, obwohl <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \cap \mathbb{Q}_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \mathbb{Q}_3</math>, aber <math>\mathbb{Q}_2 \ni \sqrt{41} \in \mathbb{Q}_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\mathbb{Q}_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\mathbb{Q}_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \mathbb{Q}_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> ==== Ganze Zahl als Basis ==== Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\mathbb{Z} \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. === Eindeutigkeit === * Die (kanonische) <math>p</math>-adische Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe ist eineindeutig. * Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystems]] der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen ::<math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math> : oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> ==== Darstellung von -1 ==== Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format als Reihe ist: :<math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p.</math> Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\mathbb{Q}_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\mathbb{Q}_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ <math>p</math>-adischen Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. ==== Beispiele für Darstellung von Primzahlen ==== {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. === Grundrechenarten === Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenarten]] (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle. ==== Berechnung des Fehlers bei Abbruch der Rechnung ==== Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben. Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> ==== p-adische Verknüpfungen ==== Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. ==== Irrationale Zahlen ==== Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. === Bewertungsring === Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. ==== Archimendische Systeme ==== Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. === Topologie === Topologisch sind die <math>\mathbb{Z}_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. <math>\mathbb{R}</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == p-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> === Darstellung der Exponentialfunktion === Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als <math>p</math>-adische Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. === Potenzreihendarstellung - Logarithmus === Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[Logarithmus]] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> ==== Konvergenzgebiete ==== In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> ==== Ableitung 0 - Unterschied zur Analyis ==== Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\mathbb{Q}_p</math> nach <math>\mathbb{Q}_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. ==== Definition der Ableitung - Unterschied zur Analyis ==== Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 77cll3ny6fzmjlibl5ls81ce0en5uwb 1078801 1078800 2026-05-06T15:37:29Z Bert Niehaus 20843 /* Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen */ 1078801 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\mathbb{Q}_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\mathbb{Q}</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math> und über allen <math>\mathbb{Q}_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so im Allgemeinen zutrifft - siehe [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]]). === p-adische Analysis === Als [[Normen, Metriken, Topologie|metrischer Raum]] ist <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in Stellenwertsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: === Basen === Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahlen]] oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelemente]]. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion und der den Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\mathbb{Z}_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\mathbb{Z}_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\mathbb{Q}_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\mathbb{Q}_2 \!\! \times \! \mathbb{Q}_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \!\! \times \! \mathbb{Z}_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]]. Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\mathbb{Q}_p \ne \mathbb{Q}_q</math>, obwohl <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \cap \mathbb{Q}_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \mathbb{Q}_3</math>, aber <math>\mathbb{Q}_2 \ni \sqrt{41} \in \mathbb{Q}_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\mathbb{Q}_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\mathbb{Q}_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \mathbb{Q}_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> ==== Ganze Zahl als Basis ==== Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\mathbb{Z} \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. === Eindeutigkeit === * Die (kanonische) <math>p</math>-adische Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe ist eineindeutig. * Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystems]] der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen ::<math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math> : oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> ==== Darstellung von -1 ==== Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format als Reihe ist: :<math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p.</math> Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\mathbb{Q}_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\mathbb{Q}_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ <math>p</math>-adischen Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. ==== Beispiele für Darstellung von Primzahlen ==== {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. === Grundrechenarten === Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenarten]] (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle. ==== Berechnung des Fehlers bei Abbruch der Rechnung ==== Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben. Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> ==== p-adische Verknüpfungen ==== Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. ==== Irrationale Zahlen ==== Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. === Bewertungsring === Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. ==== Archimendische Systeme ==== Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. === Topologie === Topologisch sind die <math>\mathbb{Z}_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. <math>\mathbb{R}</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == p-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> === Darstellung der Exponentialfunktion === Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als <math>p</math>-adische Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. === Potenzreihendarstellung - Logarithmus === Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[Logarithmus]] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> ==== Konvergenzgebiete ==== In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> ==== Ableitung 0 - Unterschied zur Analyis ==== Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\mathbb{Q}_p</math> nach <math>\mathbb{Q}_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. ==== Definition der Ableitung - Unterschied zur Analyis ==== Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] s6fzdxjb55fq5or5sl1jbblwcga88xe 1078802 1078801 2026-05-06T15:38:57Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - periodische Zahlen */ 1078802 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\mathbb{Q}_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\mathbb{Q}</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math> und über allen <math>\mathbb{Q}_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so im Allgemeinen zutrifft - siehe [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]]). === p-adische Analysis === Als [[Normen, Metriken, Topologie|metrischer Raum]] ist <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in Stellenwertsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{_5}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{_5} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{_5} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: === Basen === Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahlen]] oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelemente]]. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion und der den Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\mathbb{Z}_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\mathbb{Z}_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\mathbb{Q}_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\mathbb{Q}_2 \!\! \times \! \mathbb{Q}_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \!\! \times \! \mathbb{Z}_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]]. Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\mathbb{Q}_p \ne \mathbb{Q}_q</math>, obwohl <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \cap \mathbb{Q}_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \mathbb{Q}_3</math>, aber <math>\mathbb{Q}_2 \ni \sqrt{41} \in \mathbb{Q}_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\mathbb{Q}_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\mathbb{Q}_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \mathbb{Q}_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> ==== Ganze Zahl als Basis ==== Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\mathbb{Z} \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. === Eindeutigkeit === * Die (kanonische) <math>p</math>-adische Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe ist eineindeutig. * Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystems]] der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen ::<math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math> : oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> ==== Darstellung von -1 ==== Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format als Reihe ist: :<math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p.</math> Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\mathbb{Q}_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\mathbb{Q}_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ <math>p</math>-adischen Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. ==== Beispiele für Darstellung von Primzahlen ==== {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. === Grundrechenarten === Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenarten]] (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle. ==== Berechnung des Fehlers bei Abbruch der Rechnung ==== Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben. Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> ==== p-adische Verknüpfungen ==== Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. ==== Irrationale Zahlen ==== Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. === Bewertungsring === Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. ==== Archimendische Systeme ==== Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. === Topologie === Topologisch sind die <math>\mathbb{Z}_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. <math>\mathbb{R}</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == p-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> === Darstellung der Exponentialfunktion === Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als <math>p</math>-adische Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. === Potenzreihendarstellung - Logarithmus === Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[Logarithmus]] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> ==== Konvergenzgebiete ==== In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> ==== Ableitung 0 - Unterschied zur Analyis ==== Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\mathbb{Q}_p</math> nach <math>\mathbb{Q}_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. ==== Definition der Ableitung - Unterschied zur Analyis ==== Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 4b7gncb6li5tmh86zt76lm6lslz7jeg 1078803 1078802 2026-05-06T15:40:54Z Bert Niehaus 20843 /* Grenzwert der Reihe */ 1078803 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\mathbb{Q}_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\mathbb{Q}</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math> und über allen <math>\mathbb{Q}_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so im Allgemeinen zutrifft - siehe [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]]). === p-adische Analysis === Als [[Normen, Metriken, Topologie|metrischer Raum]] ist <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in Stellenwertsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> in Stellenwertsystem durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{_5}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{_5} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{_5} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: === Basen === Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahlen]] oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelemente]]. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion und der den Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\mathbb{Z}_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\mathbb{Z}_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\mathbb{Q}_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\mathbb{Q}_2 \!\! \times \! \mathbb{Q}_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \!\! \times \! \mathbb{Z}_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]]. Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\mathbb{Q}_p \ne \mathbb{Q}_q</math>, obwohl <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \cap \mathbb{Q}_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \mathbb{Q}_3</math>, aber <math>\mathbb{Q}_2 \ni \sqrt{41} \in \mathbb{Q}_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\mathbb{Q}_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\mathbb{Q}_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \mathbb{Q}_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> ==== Ganze Zahl als Basis ==== Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\mathbb{Z} \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. === Eindeutigkeit === * Die (kanonische) <math>p</math>-adische Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe ist eineindeutig. * Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystems]] der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen ::<math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math> : oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> ==== Darstellung von -1 ==== Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format als Reihe ist: :<math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p.</math> Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\mathbb{Q}_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\mathbb{Q}_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ <math>p</math>-adischen Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. ==== Beispiele für Darstellung von Primzahlen ==== {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. === Grundrechenarten === Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenarten]] (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle. ==== Berechnung des Fehlers bei Abbruch der Rechnung ==== Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben. Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> ==== p-adische Verknüpfungen ==== Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. ==== Irrationale Zahlen ==== Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. === Bewertungsring === Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. ==== Archimendische Systeme ==== Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. === Topologie === Topologisch sind die <math>\mathbb{Z}_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. <math>\mathbb{R}</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == p-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> === Darstellung der Exponentialfunktion === Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als <math>p</math>-adische Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. === Potenzreihendarstellung - Logarithmus === Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[Logarithmus]] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> ==== Konvergenzgebiete ==== In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> ==== Ableitung 0 - Unterschied zur Analyis ==== Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\mathbb{Q}_p</math> nach <math>\mathbb{Q}_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. ==== Definition der Ableitung - Unterschied zur Analyis ==== Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] bxdyewo23p41vv74rg4xoyszcfyoq9n 1078804 1078803 2026-05-06T15:46:31Z Bert Niehaus 20843 /* Grenzwert der Reihe */ 1078804 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\mathbb{Q}_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\mathbb{Q}</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math> und über allen <math>\mathbb{Q}_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so im Allgemeinen zutrifft - siehe [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]]). === p-adische Analysis === Als [[Normen, Metriken, Topologie|metrischer Raum]] ist <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in Stellenwertsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> in Stellenwertsystem durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: :<math>\sum_{i=-\infty}^{-1} |z_i \cdot p^i| \leq p \cdot \sum_{i=1}^{\infty} {\underbrace{\left(\tfrac{1}{p}\right)}_{< 1}}^i = p \cdot \tfrac{1}{1-\tfrac{1}{p}} =\tfrac{p^2}{p-1} </math> === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{_5}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{_5} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{_5} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: === Basen === Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahlen]] oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelemente]]. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion und der den Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\mathbb{Z}_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\mathbb{Z}_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\mathbb{Q}_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\mathbb{Q}_2 \!\! \times \! \mathbb{Q}_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \!\! \times \! \mathbb{Z}_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]]. Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\mathbb{Q}_p \ne \mathbb{Q}_q</math>, obwohl <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \cap \mathbb{Q}_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \mathbb{Q}_3</math>, aber <math>\mathbb{Q}_2 \ni \sqrt{41} \in \mathbb{Q}_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\mathbb{Q}_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\mathbb{Q}_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \mathbb{Q}_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> ==== Ganze Zahl als Basis ==== Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\mathbb{Z} \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. === Eindeutigkeit === * Die (kanonische) <math>p</math>-adische Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe ist eineindeutig. * Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystems]] der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen ::<math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math> : oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> ==== Darstellung von -1 ==== Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format als Reihe ist: :<math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p.</math> Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\mathbb{Q}_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\mathbb{Q}_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ <math>p</math>-adischen Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. ==== Beispiele für Darstellung von Primzahlen ==== {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. === Grundrechenarten === Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenarten]] (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle. ==== Berechnung des Fehlers bei Abbruch der Rechnung ==== Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben. Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> ==== p-adische Verknüpfungen ==== Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. ==== Irrationale Zahlen ==== Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. === Bewertungsring === Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. ==== Archimendische Systeme ==== Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. === Topologie === Topologisch sind die <math>\mathbb{Z}_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. <math>\mathbb{R}</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == p-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> === Darstellung der Exponentialfunktion === Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als <math>p</math>-adische Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. === Potenzreihendarstellung - Logarithmus === Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[Logarithmus]] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> ==== Konvergenzgebiete ==== In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> ==== Ableitung 0 - Unterschied zur Analyis ==== Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\mathbb{Q}_p</math> nach <math>\mathbb{Q}_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. ==== Definition der Ableitung - Unterschied zur Analyis ==== Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] mj9kh02phto99srz03mcbf5srh30q1o 1078807 1078804 2026-05-06T15:53:02Z Bert Niehaus 20843 /* p-adische Analysis */ 1078807 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\mathbb{Q}_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\mathbb{Q}</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math> und über allen <math>\mathbb{Q}_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so im Allgemeinen zutrifft - siehe [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]]). === p-adische Analysis === Als [[Normen, Metriken, Topologie|metrischer Raum]] ist <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. === b-adische Stellenwertsysteme === Bei <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsystem|-adischen Stellenwertsystemen]] hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math>. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in Stellenwertsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> in Stellenwertsystem durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: :<math>\sum_{i=-\infty}^{-1} |z_i \cdot p^i| \leq p \cdot \sum_{i=1}^{\infty} {\underbrace{\left(\tfrac{1}{p}\right)}_{< 1}}^i = p \cdot \tfrac{1}{1-\tfrac{1}{p}} =\tfrac{p^2}{p-1} </math> === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{_5}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{_5} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{_5} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: === Basen === Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahlen]] oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelemente]]. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion und der den Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\mathbb{Z}_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\mathbb{Z}_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\mathbb{Q}_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\mathbb{Q}_2 \!\! \times \! \mathbb{Q}_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \!\! \times \! \mathbb{Z}_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]]. Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\mathbb{Q}_p \ne \mathbb{Q}_q</math>, obwohl <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \cap \mathbb{Q}_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \mathbb{Q}_3</math>, aber <math>\mathbb{Q}_2 \ni \sqrt{41} \in \mathbb{Q}_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\mathbb{Q}_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\mathbb{Q}_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \mathbb{Q}_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> ==== Ganze Zahl als Basis ==== Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\mathbb{Z} \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. === Eindeutigkeit === * Die (kanonische) <math>p</math>-adische Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe ist eineindeutig. * Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystems]] der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen ::<math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math> : oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> ==== Darstellung von -1 ==== Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format als Reihe ist: :<math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p.</math> Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\mathbb{Q}_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\mathbb{Q}_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ <math>p</math>-adischen Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. ==== Beispiele für Darstellung von Primzahlen ==== {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. === Grundrechenarten === Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenarten]] (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle. ==== Berechnung des Fehlers bei Abbruch der Rechnung ==== Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben. Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> ==== p-adische Verknüpfungen ==== Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. ==== Irrationale Zahlen ==== Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. === Bewertungsring === Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. ==== Archimendische Systeme ==== Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. === Topologie === Topologisch sind die <math>\mathbb{Z}_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. <math>\mathbb{R}</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == p-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> === Darstellung der Exponentialfunktion === Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als <math>p</math>-adische Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. === Potenzreihendarstellung - Logarithmus === Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[Logarithmus]] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> ==== Konvergenzgebiete ==== In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> ==== Ableitung 0 - Unterschied zur Analyis ==== Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\mathbb{Q}_p</math> nach <math>\mathbb{Q}_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. ==== Definition der Ableitung - Unterschied zur Analyis ==== Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] inq3jc92rxjm8ac0xp95fw81l63q4gz 1078810 1078807 2026-05-06T16:01:13Z Bert Niehaus 20843 /* Endliche p-adische Nachkommastellen */ 1078810 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\mathbb{Q}_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\mathbb{Q}</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math> und über allen <math>\mathbb{Q}_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so im Allgemeinen zutrifft - siehe [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]]). === p-adische Analysis === Als [[Normen, Metriken, Topologie|metrischer Raum]] ist <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. === b-adische Stellenwertsysteme === Bei <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsystem|-adischen Stellenwertsystemen]] hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math>. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in Stellenwertsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> in Stellenwertsystem durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: :<math>\sum_{i=-\infty}^{-1} |z_i \cdot p^i| \leq p \cdot \sum_{i=1}^{\infty} {\underbrace{\left(\tfrac{1}{p}\right)}_{< 1}}^i = p \cdot \tfrac{1}{1-\tfrac{1}{p}} =\tfrac{p^2}{p-1} </math> === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{_5}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{_5} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{_5} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Anzahl von Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: === Basen === Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahlen]] oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelemente]]. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion und der den Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\mathbb{Z}_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\mathbb{Z}_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\mathbb{Q}_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\mathbb{Q}_2 \!\! \times \! \mathbb{Q}_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \!\! \times \! \mathbb{Z}_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]]. Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\mathbb{Q}_p \ne \mathbb{Q}_q</math>, obwohl <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \cap \mathbb{Q}_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \mathbb{Q}_3</math>, aber <math>\mathbb{Q}_2 \ni \sqrt{41} \in \mathbb{Q}_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\mathbb{Q}_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\mathbb{Q}_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \mathbb{Q}_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> ==== Ganze Zahl als Basis ==== Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\mathbb{Z} \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. === Eindeutigkeit === * Die (kanonische) <math>p</math>-adische Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe ist eineindeutig. * Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystems]] der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen ::<math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math> : oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> ==== Darstellung von -1 ==== Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format als Reihe ist: :<math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p.</math> Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\mathbb{Q}_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\mathbb{Q}_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ <math>p</math>-adischen Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. ==== Beispiele für Darstellung von Primzahlen ==== {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. === Grundrechenarten === Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenarten]] (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle. ==== Berechnung des Fehlers bei Abbruch der Rechnung ==== Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben. Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> ==== p-adische Verknüpfungen ==== Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. ==== Irrationale Zahlen ==== Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. === Bewertungsring === Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. ==== Archimendische Systeme ==== Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. === Topologie === Topologisch sind die <math>\mathbb{Z}_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. <math>\mathbb{R}</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == p-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> === Darstellung der Exponentialfunktion === Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als <math>p</math>-adische Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. === Potenzreihendarstellung - Logarithmus === Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[Logarithmus]] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> ==== Konvergenzgebiete ==== In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> ==== Ableitung 0 - Unterschied zur Analyis ==== Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\mathbb{Q}_p</math> nach <math>\mathbb{Q}_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. ==== Definition der Ableitung - Unterschied zur Analyis ==== Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 2hd5guyplpccoei8pdhsugfnblczq8x 1078831 1078810 2026-05-07T06:25:04Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078831 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\mathbb{Q}_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\mathbb{Q}</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\mathbb{R}</math> und über allen <math>\mathbb{Q}_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so im Allgemeinen zutrifft - siehe [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]]). === p-adische Analysis === Als [[Normen, Metriken, Topologie|metrischer Raum]] ist <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. === b-adische Stellenwertsysteme === Bei <math>b</math>[[b-adische Stellenwertsystem|-adischen Stellenwertsystemen]] hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math>. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in Stellenwertsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> in Stellenwertsystem durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: :<math>\sum_{i=-\infty}^{-1} |z_i \cdot p^i| \leq p \cdot \sum_{i=1}^{\infty} {\underbrace{\left(\tfrac{1}{p}\right)}_{< 1}}^i = p \cdot \tfrac{1}{1-\tfrac{1}{p}} =\tfrac{p^2}{p-1} </math> === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{_5}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{_5} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{_5} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Anzahl von Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung. ==== (PAS4) b-adische Zahldarstellung - Stellenwertsysteme ==== Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung nach dem Stellenwertsystem zu einer Basis <math>b</math> gemeint. Falls man nicht im Dezimalsystem Rechenoperationen durchführt, wird häufig wird die Basis als Index nach der Zahldarstellung benannt, um die Zahldarstellung in unterschiedlichen <math>b</math>-adischen System unterscheiden zu können. Bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. ==== (PAS5) b-adische und p-adische Zahldarstellung - Unterschied ==== Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). ==== (PSA6) p-addische Verknüpfungen - Restklassenaddition ==== Mit diesen formalen [[Laurent-Reihe|Laurent-Reihen]] und einer endlichen Anzahl von Nachkommastellen in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen für reelle Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche nach links fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] ([[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]) eine <math>p</math>-adische Darstellung haben (siehe auch [[Restklassengruppe/Repräsentant/Definition|Restklassengruppe]]) ==== (PSA7) p-addische Verknüpfungen - Übertrag ==== Um einen wohldefinierten Übertrag vorliegen zu haben, benötigt man bei den Nachkommastellen eine endliche Entwicklung, sodass man beim kleinsten Exponenten den Übertrag starten kann und dann für den nächsten größeren Exponenten festlegen zu können, ob ein Übertrag erfolgt oder nicht. ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassensubtraktion ==== Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> ==== (PSA8) p-addische Verknüpfungen - Restklassenmultiplikation ==== Die Multiplikation wird analog zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, wobei mit dem Distributivgesetz die p-adische Darstellung als Summe der Potenzen ausmultipliziert wird und Produkte aus <math>a_i\cdot p^i</math> und <math>b_k\cdot p^k</math> als <math>a_i\cdot b_k\cdot p^{i+k}</math> entstehen. Dann bestimmt man für die Potenzen für die <math>i+k</math>-te Stelle den Übertrag mit allen Produkten Die Division dagegen wird im Gegensatz zur <math>n</math>-ten Potenz <math>p^n</math> gehören (siehe auch [[w:de:Cauchy-Produkt|Cauchy-Produkt für Reihen). Analog zu schriftlichen Multiplikation in der Schule wird die Addition mit Übertrag stellenweise von rechts nach links durchgeführt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. ===Wahl der Metrik auf dem p-adischen System === Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== p-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: * <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. * <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> * <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. * <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> ==== Bemerkung - Exponentenbewertung ==== Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> ==== Normierung ==== Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== p-adische Metrik ==== Die <math>p</math>-adische Metrik <math>d_p</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> ==== Beispiel - p-adische Metrik ==== Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> ==== Vervollständigung - metrischer Raum ==== Die [[w:de:Vollständiger_Raum#Vervollständigung|Vervollständigung]] des [[Normen, Metriken, Topologie|metrischen Raums]] <math>(\mathbb{Q},d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\mathbb{Q}_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folgen]], wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\mathbb{Q}</math> enthalten ist. ==== Ultrametrik ==== Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\mathbb{Q}_p</math>. ==== Projektiven Limes ==== Wir definieren <math>\mathbb{Z}_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\mathbb{Z}_p=\varprojlim_{n\in\N} \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die folgende ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) erfüllen: : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> ==== Stationäre Folgen - Dichtheit in den ganzen Zahlen ==== Für jede ganze Zahl <math>m\in\mathbb{Z}</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. ==== Wohldefiniertheit von Verknüpfungen ==== Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. ==== Additiv inverse Elemente==== Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. ==== Multiplikative inverse Elemente ==== Jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> nicht <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math>. ==== p-adische Zahl als Reihendarstellung ==== Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\mathbb{N}}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsummen]] : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. ==== Beispiel - Reihendarstellung ==== Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. ==== Ring der p-adischen Zahlen ==== Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[w:de:Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt :<math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die <math>(p-1)</math>-ten [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive <math>(p-1)</math>-te Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: === Basen === Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahlen]] oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelemente]]. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion und der den Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\mathbb{Z}_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\mathbb{Z}_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\mathbb{Q}_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\mathbb{Q}_2 \!\! \times \! \mathbb{Q}_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\mathbb{Z}_{10} = \mathbb{Z}_2 \!\! \times \! \mathbb{Z}_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]]. Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\mathbb{Q}_p \ne \mathbb{Q}_q</math>, obwohl <math>\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}_p \cap \mathbb{Q}_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \mathbb{Q}_3</math>, aber <math>\mathbb{Q}_2 \ni \sqrt{41} \in \mathbb{Q}_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\mathbb{Q}_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\mathbb{Q}_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \mathbb{Q}_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> ==== Ganze Zahl als Basis ==== Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\mathbb{Z} \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. === Eindeutigkeit === * Die (kanonische) <math>p</math>-adische Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe ist eineindeutig. * Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystems]] der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen ::<math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math> : oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> ==== Darstellung von -1 ==== Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format als Reihe ist: :<math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p.</math> Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\mathbb{Q}_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\mathbb{Q}_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ <math>p</math>-adischen Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. ==== Beispiele für Darstellung von Primzahlen ==== {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. === Grundrechenarten === Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenarten]] (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle. ==== Berechnung des Fehlers bei Abbruch der Rechnung ==== Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben. Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> ==== p-adische Verknüpfungen ==== Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten. ==== Irrationale Zahlen ==== Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. === Bewertungsring === Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. ==== Archimendische Systeme ==== Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. === Topologie === Topologisch sind die <math>\mathbb{Z}_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\mathbb{Q}_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. <math>\mathbb{R}</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == p-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> === Darstellung der Exponentialfunktion === Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als <math>p</math>-adische Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. === Potenzreihendarstellung - Logarithmus === Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[Logarithmus]] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> ==== Konvergenzgebiete ==== In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[Kurs:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> ==== Ableitung 0 - Unterschied zur Analyis ==== Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\mathbb{Q}_p</math> nach <math>\mathbb{Q}_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. ==== Definition der Ableitung - Unterschied zur Analyis ==== Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[b-adische Stellenwertsysteme]] * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 0q8ijuvi1ymvxab8eq0n6vg0fco0kvd 0 160407 1078837 1034570 2026-05-07T07:32:01Z Bocardodarapti 2041 1078837 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf der Dating-Plattform {{Anführung|Catch your match}} ist eine Menge {{math|term= M |SZ=}} von Personen registriert. Es gibt ferner eine Menge {{math|term= E |SZ=}} von Eigenschaften, über die die Personen verfügen oder nicht {{ Zusatz/Klammer |text=was man dem Profil entnehmen kann| |ISZ=|ESZ=. }} Zu einer Teilmenge an Eigenschaften {{ Relationskette | W | \subseteq| E || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Wunscheigenschaften| |ISZ=|ESZ= }} definieren wir {{ Relationskette/display | W^\perp || {{Mengebed| m \in M |m \text{ besitzt alle Eigenschaften aus } W }} || || || |SZ= }} und zu einer Teilmenge {{ Relationskette | S | \subseteq| M || || || |SZ= }} definieren wir {{ Relationskette/display | S^\perp || {{Mengebed| e \in E| \text{ jeder Mensch aus } S \text{ besitzt die Eigenschaft } e }} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung8 |Beschreibe zu einer Eigenschaft {{ Relationskette | e | \in | E || || || |SZ= }} die Menge {{mathl|term= \{ e \}^\perp |SZ=}} mit einem Satz. |Beschreibe zu einer Person {{ Relationskette | m | \in | M || || || |SZ= }} die Menge {{mathl|term= \{ m \}^\perp |SZ=}} mit einem Satz. |Warum ist vermutlich {{ Relationskette | E^\perp || \emptyset || || || |SZ=? }} |Zeige{{n Sie}}: Zu Teilmengen {{ Relationskette | W_1 | \subseteq| W_2 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= E |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| W_1 |}}^\perp | \supseteq | {{makl| W_2 |}}^\perp || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}: Für eine beliebige Teilmenge {{ Relationskette | W | \subseteq| E || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | W |\subseteq | {{makl| W^\perp |}}^\perp || || || || |SZ=. }} |Zeige{{n Sie}}: Für eine Vereinigung {{ Relationskette/display | W || W_1 \cup W_2 | \subseteq| E || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{makl| W_1 \cup W_2 |}}^\perp || {{makl| W_1 |}}^\perp \cap {{makl| W_2 |}}^\perp || || || |SZ=. }} |Gilt für einen Durchschnitt {{ Relationskette/display | W || W_1 \cap W_2 | \subseteq| E || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{makl| W_1 \cap W_2 |}}^\perp || {{makl| W_1 |}}^\perp \cup {{makl| W_2 |}}^\perp || || || |SZ=? }} |Gilt für eine beliebige Teilmenge {{ Relationskette | W | \subseteq| E || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | W^\perp || {{makl| {{makl| W^\perp |}}^\perp |}}^\perp || || || |SZ=? }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=0.5 |p2=0.5 |p3=0.5 |p4=0.5 |p5=1 |p6=1 |p7=1 |p8=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1d4ozenwdy2yfshr2ud5f93tgoevtxy 0 160585 1078858 969425 2026-05-07T10:07:08Z Bocardodarapti 2041 1078858 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die erste Begegnung {{ Zusatz/Klammer |text=nach der Begegnung am Start| |ISZ=|ESZ= }} findet statt, wenn Knopfloch {{mathl|term= {{op:Bruch|5|9}} |SZ=}} und Eisenbeis {{mathl|term= {{op:Bruch|4|9}} |SZ=}} des Sees umrundet hat. Dieser Rhythmus bleibt konstant, d.h. Eisenbeis begegnet Knopfloch stets nach einer Wegstrecke von {{mathl|term= {{op:Bruch|4|9}} |SZ=}} des Seeumfanges. Da sie viermal den See umrundet, sind das insgesamt {{math|term= 10 |SZ=}} Begegnungen {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term= {{op:Bruch|0|9}},{{op:Bruch|4|9}}, {{op:Bruch|8|9}} {{kommadots|}} {{op:Bruch|36|9}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 37srva8mv6ds0zmdonxctudik8a0gxx 0 162012 1078841 1078745 2026-05-07T08:01:07Z C.Koltzenburg 13981 /* A */ 1078841 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Patientenvorstellungen]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] Zu dieser Fachbegriffe-Liste: 1000 Dank an Ch. und Th. für die Vorarbeiten, die Protokolle gründlich auszuwerten - und vielen Dank an die Verfasser*innen der Protokolle! [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#A|A]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#B|B]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#C|C]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#D|D]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#E|E]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#F|F]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#G|G]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#H|H]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#I|I]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#J|J]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#K|K]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#L|L]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#M|M]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#N|N]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#O|O]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#P|P]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#R|R]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#S|S]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#T|T]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#U|U]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. Januar 2025)#V|V]] - [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart (bis inkl. 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Hirnnerv, r '''Abduktion''', e –– Abspreizung von Körperteilen, (Hin)Wegführung / Wegspreizen einer Extremität nach außen '''Ablatio mammae''', e –– Brustamputation '''Ablatio retinae''', e –– Netzhautablösung Ablation, e –– Entfernung von Körpergewebe bzw. Körperteilen abnorm (Adj./ Adv.) –– pathologisch, krankhaft '''Abort''', r –– Fehlgeburt, e Abortus completus, r –– vollständige Fehlgeburt, e '''Abortus imminens''', r –– drohende Fehlgeburt, e '''Abortus incipiens''', r –– beginnende Fehlgeburt, e '''Abszess''', r –– eitrige Geschwulst, Eiteransammlung in einem nicht vorbestehenden Hohlraum, r '''Abusus''', r –– Missbrauch (Noxen (Tabak, Alkohol, Drogen), Medikamente) Acetabulum, s –– Hüftpfanne, e '''Acidose''' siehe '''Azidose''' Achalasie, e –– Funktionsstörung der Speiseröhre (Erschlaffung der glatten Muskulatur) ACS, s –– Akutes Koronarsyndrom '''Adaptation''', e –– Anpassung '''adäquat''' (Adj./ Adv.) –– passend '''Adduktoren''', r –– anziehende Muskeln, Muskeln, die eine Extremität zur Körpermittellinie ziehen Adenom, s –– gutartige Geschwulst des Drüsengewebes oder der Schleimhaut '''Adenotomie''', e –– operative Entfernung der Rachenmandel '''Adhäsion''', e –– Verwachsung, Verklebung '''adipös''' (Adj./ Adv.) –– fettleibig '''Adipositas''', e –– Fettsucht, e, Fettleibigkeit, e '''Adnexe''' (Pl.), e –– Eierstock, r, und Eileiter, r '''Adnexitis''', e –– Entzündung der Eileiter und Eierstöcke '''Adoleszenz''', e -– Jugendalter, s adrenal (Adj./ Adv.) –– die Nebennieren betreffend '''Adrenalektomie''', e –– operative Entfernung der Nebenniere adult (Adj./ Adv.) –– Erwachsene betreffend '''Adventitia''', e –– äußere Schicht der Blutgefäßwand, e '''Adynamie''', e –– Antriebslosigkeit, e aerob (Adj./ Adv.) –– Sauerstoff (O2), r (+ Akk), benötigend '''Aerobier''', r –– von Sauerstoff abhängiger Mikroorganismus, sauerstoffabhängiger Organismus '''Aerosol''', s –– Inhalationsmittel, s afebril (Adj./ Adv.) –– ohne Fieber '''Affekt''', r –– starke, kurz andauernde Gemütsbewegung '''Agglutination''', e –– Verklumpung '''aggravieren''' (Verb) –– eine Krankheit übertrieben darstellen '''Aggregation''', e –– Zusammenlagerung Aglossie, e –– Fehlen, s der Zunge '''Agonie''', e –– Todeskampf, r '''Agranulozytose''', e –– Verminderung der Granulozyten [Pl.] AHB –– Anschlussheilbehandlung, Anschlussrehabilitation, "Reha" '''Akkommodation''', e –– Anpassung, Scharfeinstellung des Auges Akne rosacea, e –– Kupferrose, e '''Akren''' [Pl.] –– die äußersten Teile des Körpers '''Akromegalie''', e –– Vergrößerung der äußersten Körperteile Akromion, s –– Schulterdach, s '''akut''' (Adj./ Adv.) –– plötzlich auftretend akute Sinusitis, e –– akute Nasennebenhöhlenentzündung '''Albino''', s –– Lebewesen mit angeborenem Pigmentmangel '''Albumin''', s –– ein Eiweißstoff im Blut Algesie, e –– Schmerz, r Algurie, e –– Schmerzen beim Wasserlassen, s, schmerzhaftes Wasserlassen '''alkalisch''' (Adj./ Adv.) –– basisch, laugenhaft '''Alkalose''', e –– Basenüberschuss, r, Erhöhung des pH-Werts im Blut, krankhafte Anhäufung von Basen im Blut '''Allergen''', s –– Stoff, der eine Allergie hervorrufen kann '''Allergie''', e –– krankhafte Überempfindlichkeit (auf einen bestimmten Stoff) '''allergisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft überempfindlich (auf einen bestimmten Stoff) allergische Rhinokonjunktivitis, e -- Heuschnupfen, r '''allergischer Schock''', r –– lebensbedrohliche, allergische Überreaktion, e '''Alopezie''', e –– Haarausfall, e ALS –– amyotrophe Lateralsklerose, e Alteration, e –– krankhafte Veränderung, krankhafte Abweichung Alternative, e –– andere Möglichkeit, Option '''Altinsulin''', s –– Normalinsulin (Insulin ohne verzögernde Zusätze) '''Alveolen''', e [Pl.] –– Lungenbläschen, s [Sing./ Pl.] '''Amaurose''', e –– totale Erblindung '''Amenorrhoe/ ö''', e –– Ausbleiben, s, der Regelblutung '''Amnesie''', e –– Erinnerungslücke, e, Gedächtnisverlust, r '''Amnioskopie''', e –– Fruchtwasserspiegelung Amputation, e –– Abtrennung von Gliedmaßen anaerob (Adj./ Adv.) –– ohne Sauerstoff, keinen Sauerstoff benötigend '''anal''' (Adj./ Adv.) –– den After betreffend Analabszess, r –– Eiteransammlung im/am After, s Analfissur, e –– Einriss der Haut des Afters '''Analgesie''', e –– Schmerzbekämpfung, Schmerzlosigkeit, e '''Analgetika''', e [Pl.] –– Schmerzmittel, e [Pl.] '''Analgetikum''', s [Sing.] –– Schmerzmittel, s [Sing.] '''analgetisch''' (Adj./ Adv.) –– schmerzstillend / schmerzlindernd '''analog''' (Adj./ Adv.) –– ähnlich Analprolaps, r –– Vorfall, r, der Haut des Afters, r Analpruritus, r –– Juckreiz am After, r '''Analsphinkter''', r –– Schließmuskel des Afters '''Anämie''', e –– Blutarmut, e '''anämisch''' (Adj./ Adv.) –– blutarm Anamnese, e –– Krankengeschichte, e '''anamnestisch''' (Adj./ Adv.) –– zur Vorgeschichte des/der Kranken gehörend '''anaphylaktischer Schock''', r –– schweres allergisches Kreislaufversagen, s, lebensbedrohliche, allergische Überreaktion des Kreislaufs Anarthrie, e –– Sprechstörung (schwerste Form, e) '''Anästhesie''', e –– Betäubung, Narkose, e '''Anastomose''', e –– Verbindung zwischen anatomischen Strukturen '''Anatomie''', e –– Lehre vom Bau des Körpers, vom Körperbau '''Androgene''' [Pl.] –– männliche Sexualhormone '''Aneurysma''', s –– Aussackung der Gefäßwand, e (Schlagader, e) Angina Pectoris, e –– Brustenge, e Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Angiographie''', e –– die radiologische Darstellung der Gefäße '''Angiologie''', e –– Lehre von den Gefäßen '''angiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Blutgefäße betreffend Angiom, s –– Blutschwamm, r Angiopathie, e –– krankhafte Veränderung von Gefäßen [Pl.] '''Angulation''', e –– Winkelung '''Angulus''', r –– Winkel, r Anhidrose, e –– fehlende Schweißbildung, Schweißdrüsenfunktionsstörung Anisokorie, e –– Pupillendifferenz, e '''Anomalie''', e –– Entwicklungsstörung, Abweichung vom Normalen Anorexia, Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''Anorexia nervosa''', e –– Magersucht, e Anosmie, e –– Verlust, r des Geruchssinns '''Antagonist''', r –– Gegenspieler, r, gegensätzlich wirkendes Organ oder Medikament, s '''Antazida, e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''Antazidum, s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] zur Neutralisation der Magensäure, Magensäurebinder, r '''anterior''' (Adj./ Adv.) –– vordere/r, vorn(e) Anthrax, r –– Milzbrand, r Anthropologie, e –– Menschenkunde, e '''Antiarrhythmika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antiarrhythmikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Herzrhythmusstörungen '''Antibiotika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bakterien '''Antibiotikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bakterien '''Anticholinergika''', e [Pl.] –– Wirkstoffe, e, die die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Anticholinergikum''', s [Sing.] –– Wirkstoff, r, der die Wirkung von Acetylcholin unterdrückt, Medikament gegen Nervenreizübertragung '''Antidiabetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Zuckerkrankheit '''Antidiabetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Zuckerkrankheit Antidot, s –– Gegenmittel, s, Gegengift, s '''Antiemetika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiemetikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Erbrechen, Übelkeit und Brechreiz '''Antiepileptika''', e [Pl.], Antikonvulsiva, e [Pl.] –– Arzneimittel [Pl.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) '''Antiepileptikum''', s [Sing.], Antikonvulsivum, s [Sing.] –– Arzneimittel [Sing.] gegen epileptische Anfälle (Krampfleiden, Krampfanfälle ) Antigen, s –– Stoff, der die Bildung von Antikörpern bewirkt, Stoff, der das Immunsystem aktiviert Anthelminthika, e [Pl.] –– Mittel, e [Pl.] gegen Würmer, Mittel, e [Pl.] zur Bekämpfung von Würmern Anthelminthikum, s [Sing.] –– Mittel, s [Sing.] gegen Würmer, Mittel, s [Sing.] zur Bekämpfung von Würmern '''Antihypertensiva''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Bluthochdruck '''Antihypertensivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Bluthochdruck Antikoagulation, e –– Blutverdünnung '''Antikonvulsiva''', e [Pl.] -- Arzneimittel, e [Pl.] gegen epileptische Anfälle, krampflösende Mittel '''Antikonvulsivum''', s [Sing.] -- Arzneimittel, s [Sing.] gegen epileptische Anfälle, krampflösended Mittel [Sing.] '''Antikörper''' [Pl.] –– Abwehrstoffe im Blut (gegen artfremde Eiweiße) '''Antimykotika''', e [Pl.] –– Mittel, e, [Pl.] gegen Pilzerkrankungen '''Antimykotikum''', s [Sing.] –– Mittel, s, [Sing.] gegen Pilzerkrankungen '''Antiphlogistika''', e [Pl.] –– Arzneimittel, e, [Pl.] gegen Entzündungen '''Antiphlogistikum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s, [Sing.] gegen Entzündungen '''antiphlogistisch''' (Adj./ Adv.) –– entzündungshemmend '''Antipyretika''', e [Pl.] –– fiebersenkende Mittel [Pl.] '''Antipyretikum''', s [Sing.] –– fiebersenkendes Mittel [Sing.] antipyretisch (Adj./ Adv.) –– fiebersenkend '''Antiseptika''', e [Pl.] –– keimtötende Mittel [Pl.] '''Antiseptikum''', s [Sing.] –– keimtötendes Mittel [Sing.] '''Antitussiva''', e [Pl] –– Arzneimittel, e [Pl.] gegen Husten '''Antitussivum''', s [Sing.] –– Arzneimittel, s [Sing.] gegen Husten '''Anurie''', e –– Harnproduktion unter (<) 100 ml pro Tag '''Anus''', r –– After, r '''Anus praeter''', r, '''Anus praeternaturalis''', r –– künstlicher Darmausgang, r '''Anxiolyse''', e –– Beseitigung nervöser Unruhe, e (durch Medikamente), medikamentöse Linderung von Nervosität '''Anxiolytika''', s [Pl.] –– angstlösende Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Pl.] '''Anxiolytikum''', s [Sing.] –– angstlösendes Mittel, s, Beruhigungsmittel, s [Sing.] Aorta, e –– Hauptschlagader, e '''Aortenaneurysma''', s –– Aussackung der Hauptschlagader, e '''Aortenklappeninsuffizienz''', e –– mangelhafte Schließfähigkeit, e, / Schließunfähigkeit, e, der Aortenklappe, e, des Herzens, s Aortenklappenstenose, e –– Einengung der Aortenklappe, e, Verengung '''Apathie''', e –– Teilnahmslosigkeit, e, Antriebslosigkeit, e '''apathogen''' (Adj./ Adv.) –– nicht krankmachend, keine Krankheit hervorrufend '''Apex cordis''', r –– Herzspitze, e '''Apgar-Schema'', s –– Schema zur Vitalitätsbeurteilung des Neugeborenen, s [Akronym: Atmung, Puls, Grundtonus, Aussehen, Reflexe, nach Virginia Apgar (1909-1974), Chirurgin und Anästhesistin] Aphagie, e –– Unvermögen, s, Unfähigkeit, e, zu schlucken '''Aphasie''', e –– Verlust des Sprechvermögens bei Gehirnstörung, Sprachverlust durch Störung des Sprachzentrums '''Aphthen''' [Pl.] –– Mundausschlag, r, schmerzhaftes Mundgeschwür, s '''Aphthoid''', s –– Mundfäule, e Apnoe, e –– Atemstillstand, r '''Apoplex''', r, '''apoplektischer Insult''', r –– Schlaganfall, r '''Appendektomie''', e –– Blinddarmentfernung, operative Entfernung des Wurmfortsatzes, r Appendix (vermiformis), r –– Wurmfortsatz, r, „Blinddarm", r '''Appendizitis''', e –– Entzündung des Wurmfortsatzes, Wurmfortsatzentzündung, Blinddarmentzündung '''applizieren''' (Verb) –– verabreichen Arrhythmie, e –– Herzrhythmusstörung art. Coxae, s –– Hüftgelenk, s art. Cubiti, s –– Ellenbogengelenk, s art. Genus, s –– Kniegelenk, s art. Glenohumerale, s –– Schultergelenk, s Arteria carotis, e –– Halsschlagader, e '''Arteria iliaca communis''', e –– gemeinsame Hüftschlagader, e, Beckenarterie, e '''Arteria poplitea''', e –– Kniekehlenschlagader, e '''Arteria pulmonalis''', e –– Lungenschlagader, e Arteria renalis, e –– Nierenarterie, e Arterie, e –– Schlagader, e arterielle Hypertonie, e –– Bluthochdruck, r '''Arteriosklerose''', e –– Gefäßverkalkung, Arterienverkalkung Arteritiis, e –– Entzündung der Arterie, e Arthralgie, e –– Gelenkschmerz, r '''Arthritis urica''', Hyperurikämie, e –– Gicht, e, akute Gelenkentzündung bei Gicht, e Arthrodese, e –– Gelenkversteifung Arthrose, e –– Gelenkverschleiß, r '''Arthroskopie''', e –– Gelenkspiegelung articularis (Adj./ Adv.) –– zum Gelenk gehörend ascendens (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Asepsis''', e –– Keimfreiheit, e '''aseptisch''' (Adj./ Adv.) –– keimfrei Asomnie, e –– Schlaflosigkeit, e Asphyxie, e –– Erstickung Aspiration, e –– Ansaugen, s, Verschlucken, s ASR –– Achillessehnenreflex, r '''Asthma''', s –– Atemnoterkrankung, chronisch-entzündliche Erkrankung der Atemwege Astrozytom, s –– Gehirntumor, r Asystolie, e –– Herzstillstand, r aszendierend (Adj./ Adv.) –– aufsteigend '''Aszites''', e –– Bauchödem, s, Bauchwassersucht, e, Flüssigkeitsansammlung in der freien Bauchhöhle, e '''Ataxie''', e –– Störung der Bewegungskoordination, e '''Atelektase''', e –– Lungenkollaps, r, kollabierter Lungenabschnitt, r '''Ätiologie''', e –– Lehre von den Krankheitsursachen '''ätiologisch''' (Adj./ Adv.) –– die Krankheitsursachen betreffend Atresie, e –– fehlende natürliche Körperöffnung Atrium, s –– Herzvorhof, r Atrial Fibrillation, e –– Vorhofflimmern, s Atriumseptumdefekt, r –– Loch, s, in der Scheidewand zwischen den Vorhöfen des Herzen '''Atrophie''', e –– Gewebeschwund, r / Schwund, r AU –– Arbeitsunfähigkeit, e, Abdomenumfang, r '''Auricula''' auris, e –– Ohrmuschel, e '''aurikular''' (Adj./ Adv.) –– die Ohren betreffend, zum Ohr gehörig '''Auskultation''', e –– Untersuchung durch Abhorchen (Abhören) '''auskultatorisch''' (Adj./ Adv.) –– durch Abhorchen '''Axilla''', e –– Achselhöhle, -e axillär (Adj./ Adv.) –– die Achselhöhle betreffend / in der Achselhöhle AZ, r –– Allgemeinzustand, r '''Azidose''', e –– Übersäuerung des Blutes, Steigerung des Säuregehaltes im Blut = B = '''Bakteriämie''', e –– (Vorhandensein von) Bakterien im Blut '''Bakteriostase''', e –– Keimwachstumshemmung ohne Abtötung '''bakterizid''' (Adj./ Adv.) –– bakterientötend / keimtötend Balanitis, e –– Eichelentzündung, Vorhautentzündung Barotrauma, s –– Druckverletzung (aufgrund von Druckdifferenzen, z.B. beim Tauchen) '''Basaliom''', s –– weißer Hautkrebs, r, bösartiger Hauttumor, r basilar (Adj./ Adv.) –– grundlegend Beinödem, s –– Wassereinlagerung im Bein, s benigne (Adj./ Adv.) –– gutartig BGA –– Blutgasanalyse, e '''bilateral''' (Adj./ Adv.) –– beidseitig '''bimanuell''' (Adj./ Adv.) –– mit beiden Händen, an beiden Händen Biopsie, e –– Entnahme, e, und Untersuchung einer Gewebeprobe, e '''Bipolare Störung''' –– manisch-depressive Erkrankung '''Bluttransfusion''', e –– Blutübertragung '''Body-Mass-Index''', r (BMI) –– Körpermasseindex, r '''Brachialgie''', e –– Oberarmschmerzen, e [Pl.] Brachium, s –– Oberarm, r Bradykardie, e –– verlangsamter Herzschlag, r '''Bride''', e, intraabdominale Adhäsion, e –– Verwachsung '''Bronchiales Asthma''', s –– Atemnoterkrankung '''Bronchialkarzinom''', s –– Lungenkrebs, r '''Bronchialkonstriktion''', e –– Verengung der Luftwege in der Lunge '''Bronchiektase''', e –– krankhafte Erweiterung(en) der Bronchien Bronchitis, e –– Entzündung der Bronchien, Atemwegsentzündung '''Bronchoskopie''', e –– Atemwegsspiegelung, Lungenspiegelung '''Bronchospasmus''', r –– Bronchialkrampf, r BSG, e –– Blutsenkungsgeschwindigkeit, e Bulimia nervosa, e –– Ess-Brechsucht, e '''Bursa''', e –– Schleimbeutel, r, Beutel, r '''Bursitis''', e –– Schleimbeutelentzündung, e BWS, e –– Brustwirbelsäule, e BZ, r –– Blutzucker, r = C = C2 –– Alkohol, r, Ethanol, s '''Calcaneus''', r –– Fersenbein, s Calor, r –– Wärme, e, Hitze, e, Überwärmung '''Capitulum''', s –– Köpfchen, s (z. B. eines Knochens), Gelenkköpfchen, s '''Carcinoma in situ''', s –– Frühstadium eines Tumors ohne invasives Wachstum '''Cardia''', e –– Mageneingang, r cardiogen (Adj./ Adv.) –– vom Herz ausgehend, am Herzen entstehend Cardiomegalie, e –– Herzvergrößerung '''Carotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Cartilago, e –– Knorpel, r '''Cartilago thyroidea''', e –– Schilddrüsenknorpel, r '''Cava''', e, Cavum, s –– Hohlraum, r '''cave!''' –– 1) „Vorsicht!“, 2) „vermeide!“ Cavitas abdominalis, e –– Bauchhöhle, e Cavitas glenoidales scapulae, e –– Schultergelenkspfanne, e CED, e –– chronisch-entzündliche Darmerkrankung '''Cephalgie''', e –– Kopfschmerzen [Pl.] '''cerebral(is)''' (Adj./ Adv.) –– das Gehirn betreffend, zum Großhirn gehörig '''Cerebrum''', s –– das Großhirn, das Gehirn Cerumen, s –– Ohrenschmalz, r Cervix, e –– Gebärmutterhals, r Cheilitis angularis, e –– Einriss, r, des Mundwinkels, r, Mundwinkelrhagade, e '''Chemotherapie''', e –– medikamentöse Behandlung gegen Krebs, r Chiragra, e –– akuter Gichtanfall, r, der Hand- und Fingergelenke '''Chloasma''' (Melasma), Hyperpigmentierung –– brauner Hautfleck, r '''Cholangiom''', s –– Geschwulst, e, im Bereich der Gallenwege '''Cholangitis''', e –– Entzündung der Gallenwege Choledochusstenose, e –– Verrenkung des Hauptgallengangs, r Cholelithiasis, e –– Gallensteine [Pl.] '''Cholestase''', e –– Gallestauung Cholesterin, s –– Blutfette [Pl.] Cholezystitis, s –– Gallenblasenentzündung Chondritis, e –– Knorpelentzündung '''chronisch''' (Adj./ Adv.) –– langdauernd, lange dauern chronische Niereninsuffizienz, e –– chronisches Nierenversagen, s '''Claudicatio intermittens''', e –– Schaufensterkrankheit, e '''Clavicula''', e –– Schlüsselbein, s CLL –– Chronisch-lymphatische Leukämie, e '''Cochlea''', e –– Hörschnecke, e, Ohrschnecke, e '''Colitis''', e –– Dickdarmentzündung '''Colitis ulcerosa''', e –– chronische Entzündung des Dickdarms, r, mit Geschwürbildung Collum femoris, s –– Schenkelhals, r '''Colon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Colon irritabile''', s –– Reizdarmsyndrom (RDS), s '''Commissura''', e –– Weichteilverbindung '''Commotio cerebri''', e –– Gehirnerschütterung '''Compliance''', e –– Einhaltung der Therapie, Beachten der Therapievorgaben Compressio cerebri, e –– Gehirnquetschung Contusio cerebri, e –– Gehirnprellung COPD, chronisch-obstruktive pulmonale Dysfunktion –– chronische Verengung der Atemwege, „Raucherhusten" (ugs.), r Cor pulmonale, s –– Rechtsherzbelastung aufgrund von Drucksteigerung im Lungenkreislauf, r Cornea, e –– Hornhaut, e, des Auges Corpus lutem, s –– Gelbkörper, r Cortex, r –– Gehirnrinde, e Costae [Pl.] –– Rippen [Pl.] '''Coxa''', e –– Hüfte, e '''Coxa valga''' –– Fehlstellung des Oberschenkelhalses (mehr als 140°) '''Coxalgie''', e –– Hüftschmerz, r '''cranial''' (Adj./ Adv.) –– kopfwärts, in Richtung des Kopfes, zum Kopf gehörig '''Cranium''', s –– Schädel, r '''Cruralgie''', e –– Beinschmerzen [Pl.] '''Crusta''', e –– Kruste, e CTG –– Kardiotokographie '''Cutis''', e –– Haut, e = D = '''Defibrillation''', e –– Beseitigung von Herzrhythmusstörungen durch Elektroschocks, Wiederbelebung durch Elektroschocks, r '''Defibrillator''', r –– Schockgeber, r degenerativ (Adj./ Adv.) –– sich zurückbildend, abbauend '''Dehydratation''', e –– Austrocknung, Flüssigkeitsmangel, r '''Dekade''' –– zehn Stück, s, Zeitraum, r, von zehn Tagen, Wochen, Monaten oder Jahren '''Dekubitus''', e –– Druckgeschwür, s, Wundliegen, s delirant (Adj./ Adv.) –– verwirrt '''Delirium''', s –– Bewusstseinstrübung mit Verwirrtheit, e '''Delirium tremens''', s –– Alkoholdelir, r, Alkoholentzugsdelir, r '''Demenz''', e –– Verlust der geistigen Leistungsfähigkeit, e, erworbene Geistesschwäche, e '''Dens''', r –– Zahn, r '''depressiv''' (Adj./ Adv.) –– niedergeschlagen '''Dermatitis''', e –– Hautentzündung Dermatitis solaris, e –– Sonnenbrand, r Dermatologe, r –– Hautarzt, r '''Dermatose''', e –– Hautkrankheit '''Dermis''', e –– Lederhaut, e '''Descensus uteri''', r –– Gebärmuttersenkung '''Deviation''', e –– Abweichung dexter, dextra –– rechts, rechtsseitig (cave! =/= rechtzeitig ) diabetische Retinopathie, e –– Netzhauterkrankung aufgrund von Zuckerkrankheit, e Diagnose, e –– Krankheitsfeststellung '''Diagnosis ex juvantibus''' –– Diagnose, e, anhand eines Heilerfolgs, r/ Therapierfolgs, r '''Dialyse''', e –– Blutwäsche, e '''Diaphragma''', s –– Zwerchfell, s Diaphyse, e –– Knochenschaft, r '''Diarrhö''', e –– Durchfall, r digestiv (Adj./ Adv.) –– die Verdauung betreffend digitale Untersuchung –– Untersuchung mit dem Finger '''digital-rektale Untersuchung''' (DRU) –– Untersuchung des Afters mit dem Finger Dignität, e –– Wertigkeit im Hinblick auf die Bösartigkeit von Tumoren Diphterie, e –– ansteckende Infektionskrankheit des Halses (mit Mandel- und Kehlkopfschwellung) '''Diplopie''', e –– Doppelsehen, s Diskusprolaps, r –– Bandscheibenvorfall, r '''Dislokation''', e –– Verschiebung oder Verlagerung von Knochenbruchstücken '''Disposition''', e –– Anfälligkeit, e, Veranlagung für bestimmte Krankheiten distal (Adj./ Adv.) –– körperfern '''Distorsion''', e –– Zerrung, Verstauchung, Verdrehung '''Diurese''', e –– Harnausscheidung '''Diuretika''', e [Pl.] –– harntreibende Arzneimittel [Pl.], Wassertabletten [Pl.] '''Diuretikum''', s [Sing.] –– harntreibendes Arzneimittel [Sing.], Wassertablette [Sing.] '''Divertikulitis''', e –– Entzündung von Ausstülpungen im Dickdarm, r '''dorsal''' (Adj. /Adv.) –– rückenseitig, rückenwärts '''Dorsum''', s –– Rücken, r '''Drainage''', e –– Ableitung von Flüssigkeit, Schlauch zur Ableitung von Wundsekret, Abfluss '''drainieren / dränieren''' (Verb) –– ableiten (z.B. von Wundflüssigkeit) Ductus, r –– Gang, r '''Ductus choledochus''', r –– Hauptgallengang, r '''Duodenalsonde''', e –– Zwölffingerdarmsonde, e Duodenoskopie (ÖGD), e –– Magenspiegelung Duodenum, s –– Zwölffingerdarm, r '''duplex''' (Adj./ Adv.) –– doppelt Duplexsonographie, e, farbkodierte –– Ultraschall, r, der Gefäße, s '''Dysarthrie''', e –– Sprachstörung Dysästhesie, e –– Missempfindung (bei leichter Berührung kommt es zur Auslösung eines Schmerzes oder unangenehmen Gefühls) Dyskrinie, e –– abnormale Produktion eines Drüsensekrets (Menge, Beschaffenheit) Dyslexie, e –– Lesestörung '''Dysmenorrhoe / ö''', e –– schmerzhafte Regelblutung Dyspareunie, e –– schmerzhafter Geschlechtsverkehr, r Dyspepsie, e –– Verdauungsstörung Dysphagie, e –– Schluckstörung '''Dysphonie''', e –– Heiserkeit, e, Stimmstörung, e '''Dyspnoe''', e –– Atemnot, e '''Dysurie''', e –– schmerzhaftes Wasserlassen = E = EEG, s –– Elektroenzephalographie, e, Aufzeichnung der Hirnströme, r '''Ejakulation''', e –– Samenerguss, r '''Ektropionieren''', s –– Untersuchung der Innenseite des Augenlids, allg.: Ausstülpen, s, einer Struktur, e (z. B. eines Augenlids oder einer Schleimhaut) '''Ekzem''', s –– Hautentzündung, Juckflechte, entzündlicher Hautausschlag '''Elektrokardiogramm''' (EKG), s –– Aufzeichnung der Herzmuskelströme, Messung der elektrischen Herzaktivität Elevation, e –– Anheben, s, (des Armes) '''Embolie''', e –– Gefäßverschluss durch Blutgerinnsel von einem anderen Ort '''Embolus''', r –– Gefäßpfropf, r '''Emesis''', e –– Erbrechen, s Emphysem, s –– Überblähung der Lunge, e '''Empyem''', a –– Eiteransammlung in einer Körperhöhle, e Endokard, s –– Herzinnenhaut, e '''Endokarditis''', e –– Entzündung der Herzinnenhaut, e '''Endometrium''', s –– Gebärmutterschleimhaut, e Endophthalmus, r –– Einsinken des Augapfels in die Augenhöhle, e Endoprothese, e –– künstliches Gelenk, s, künstlicher Gelenkersatz, r '''endotracheal''' (Adj./ Adv.) –– in die Luftröhre, in(nerhalb) der Luftröhre Enteritis, e –– Darmentzündung '''Enuresis''' nocturna, e –– (nächtliches) Bettnässen, Einnässen Enzephalomyelitis, e –– Entzündung von Gehirn, s, und Rückenmark, s Enzephalomyelitis disseminata (ED), e –– Multiple Sklerose, e Enzephalopathie, e –– krankhafte Veränderung des Gehirns, s '''Epididymistorsion''', e –– Nebenhodenverdrehung '''Epididymitis''', e –– Nebenhodenentzündung epidurale Anästhesie, e –– Spritze in den Rückenmarksraum, r '''epigastrisch''' (Adj./ Adv.) –– den Oberbauch betreffend, r Epigastrium, s –– Bereich, r, zwischen Rippenbogen, r, und Bauchnabel, r '''Epiglottis''', e –– Kehldeckel, r Epiglottitis, e –– Kehldeckelentzündung Epilepsie, e –– Krampfleiden, s, Krampfanfall, r (obsolet: Fallsucht, e) Epinephron, s, Glandula suprarenalis, e –– Nebenniere, e Epiphora, e –– tränendes Auge, s, Tränenfluss, r Epiphyse, e –– Knochenendstück, s '''Episiotomie''', e –– Dammschnitt, r (zw. Scheide und Anus) '''Epistaxis''', e –– Nasenbluten, s ERCP –– Endoskopisch-retrograde Cholangiopankreatikographie Ergometrie, e –– Belastungs-EKG, s Erysipel, e –– Wundrose, e Erythem, e –– Hautrötung, e Erythrozyten [Pl.] –– rote Blutkörperchen [Pl.] Exanthem, s –– Hautausschlag, r '''Exartikulation''', e –– operative Entfernung eines Gliedes, s, im Gelenk, s '''Exazerbation''', e –– Verschlimmerung einer Krankheit, e exazerbiert (Adj./ Adv.) –– verschlimmert Exkoriation, e –– Abschürfung '''Exophthalmus''', r –– krankhaftes Vortreten, s, des Augapfels, r '''Exostose''', e –– Knochenauswuchs, r '''Expektorantien''' [Pl.] –– auswurffördernde Mittel [Pl.] '''Expektorantium''' [Sing.] –– auswurfförderndes Mittel [Sing.] '''exsikkiert''' (Adj./ Adv.) –– ausgetrocknet '''Exsikkose''', e –– Austrocknung Exstirpation, e, Ektomie, e –– vollständige Entfernung von Organen, s Extension, e –– Streckung extra (Adv.) –– außerhalb Extraktion, e –– Entfernung Extrasystole, e –– Extraschlag, r, zusätzliche Herzschläge [Pl.], Herzstolpern, s Extrauteringravidität, e, extrauterine Gravidität, e –– Bauchhöhlenschwangerschaft, e = F = '''Facies''', e –– Gesicht, s '''Falx cerebri''', e –– größte Verdoppelung der Hirnhaut, e '''Fascia lata''', e –– Bindegewebshülle, e, am Oberschenkel, r '''Faszie''', e –– Bindegewebshülle, e Faszikel, e –– (Nervenfaser-) Bündel, s Fatigue (franz.), e –– chronische Müdigkeit, e '''Fazialis''', r –– Gesichtsnerv, r Feinnadelbiopsie, e –– Punktion, e, für Abstrich, r, Gewebeprobenentnahme, e '''Femur''', r –– Oberschenkelknochen, r '''Femurfraktur''', r –– Oberschenkelknochenbruch, r '''Fibromyalgie''', e –– chronische Erkrankung mit Muskel- und Sehnenschmerzen '''Fibrose''', e –– Gewebsverhärtung, Vermehrung von Bindegewebe, s '''Fibula''', e –– Wadenbein, s '''Fissur''', e –– Riss, r '''Flatulenz, Meteorismus''', e –– Blähsucht, Blähungen '''Flexion''', e –– Beugung, e '''Flexur''', e –– Biegung, e '''fluktuierend''' (Adj./Adv.) –– wechselnd, schwankend, Flüssigkeiten: hin und her schwappend Foeter ex ore, r, Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Follikulitis''', e –– Haarbalgentzündung Foramen, s –– Loch, s '''Foramen magnum''', s –– Hinterhauptsloch, s '''Fornix cerebri''', s –– Struktur, e, des Limbischen Systems, s, im Großhirn, s '''Fragment''', s –– Bruchstück, s (z. B. Knochenbruchstück, s) '''Fraktur''', e –– Knochenbruch, r '''frontal''' (Adj./Adv.) –– an der Stirn / stirnseitig '''Fundus oculi''', r -– Augenhintergrund,r Funiculus umbilicalis, r -– Nabelschnur, e = G = Galaktorrhoe, e –– Milchfluss, r Gallensteinileus, r –– Darmverschluss, r, aufgrund von Gallenstein, r '''Gangrän''', e –– Gewebsnekrose, e, Zerfall, r, des Gewebes, s, abgestorbene Körperteile, Sonderform, e, der Koagulationsnekrose, e '''gastral''' (Adj./Adv.) –– den Magen betreffend Gastrektasie, e –– Magenerweiterung '''Gastrektomie''', e –– operative Entfernung des Magens, r Gastritis, e –– Magenschleimhautentzündung, e gastroenterologisch (Adj./Adv.) –– Magen, r, und Darm, r, betreffend gastroösophageale Refluxkrankheit, e –– gesteigerter Rückfluss, r, von Magensäure, e, in die Speiseröhre, e '''Gastroskopie''', e –– Magenspiegelung, e '''Gastrostomie''', e –– Anlegung eines Magenschlauches, r, zur künstlichen Ernährung GCS, e (Glasgow Coma Scale) –– Glasgow Koma Skala, e Gefäß, s (Arterie/Vene) –– Ader, e '''Genese''', e –– Entstehung Genetik, e –– Vererbungslehre, e '''genetisch''' (Adj./Adv.) –– erblich (bedingt) '''Genitalien''' [Pl.] – Geschlechtsorgane [Pl.] '''Genom''', s –– Erbgut, s '''Genum''', s –– Knie, s '''Genum valgum''', s –– X-Bein, s Genum varus, e –– O-Bein, s '''Geriatrie''', e –– Altersmedizin, e '''Germinom''', s –– Keimzelltumor, r, bösartiges Tumor, r, des Gehirns, s Gestagen, s –– Gelbkörperhormon, s '''Gibbus''', r (Hyperkyphose), e –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Gingiva''', e –– Zahnfleisch, s '''Glandula''', e –– Drüse, e '''Glandula lacrimalis''', e –– Tränendrüse, e '''Glandula parotidea/parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Glandula salivatoria, e –– Speicheldrüse, e Glandula suprarenale, e –– Nebenniere, e '''Glandula thyroidea''', e –– Schilddrüse, e '''Glaukom''', s –– grüner Star, r Globusgefühl, s –– Fremdkörpergefühl, s, im Rachen, r '''Gonade''', e –– Geschlechtsdrüse, e (Eierstöcke und Hoden) '''Gonarthrose''', e –– Kniegelenkverschleiß, r, Arthrose, e, des Kniegelenks, s '''Gonorrhoe''', e –– Tripper, r '''Grand mal''', r [Frz.] –– großer epileptischer Anfall, r Granulozyt, r –– Art von weißen Blutkörperchen '''Gravidität''', e –– Schwangerschaft, e '''grippaler Infekt''', r –– Erkältung Grünholzfraktur, e –– Fraktur, e mit intakter Knochenhaut, e Gynäkologie, e –– Frauenheilkunde, e Gynäkomastie, e –– Vergrößerung der Brustdrüse, e, beim Mann, r = H = '''habituelle Luxation''', e –– ständig vorkommende Ausrenkung Halitosis, e –– Mundgeruch, r '''Hallux valgus''', r –– Großzeh-Fehlstellung, -Schiefstand (bei dem dieser in Richtung der kleinen Zehen abweicht) '''Halluzination''', e –– Sinnestäuschung Hämangiom, s –– Blutschwamm, r Hämarthrose, e –– Blutansammlung im Gelenk, s '''Hämatemesis''', e –– Bluterbrechen, s, Erbrechen von Blut '''Hämatochezie''', e –– Blut, s, im Stuhl, r '''Hämatokolpos''', r –– Blutansammlung in der Scheide, e Hämatom, s –– Bluterguss, r Hämatoperikard, s –– Blutansammlung im Herzbeutel, r Hämatothorax, r –– Blutansammlung zwischen Lunge, e und Rippenfell, s (Pleuraspalt, r) '''Hämaturie''', e –– Blut, s, im Urin, r Hämoglobin, s –– roter Blutfarbstoff, r Hämoglobinurie, e, [s.a. Mikro/Makrohämaturie, e] –– Blutfarbstoff, r im Urin, r Hämophilie, e –– Blut(er)krankheit, e Hämoptoe, e –– Bluthusten, r '''Hämorrhagie''', e –– Blutung Hämorrhagischer Insult, r –– Hirnblutung nach Schlaganfall, r Harninkontinenz, e –– Blasenschwäche, e Hautabszess, r –– Eiteransammlung in der Haut, e HCT, s –– Hydrochlorothiazid, s Hemianopsie, e –– halbseitiger Gesichtsfeldausfall, r '''Hemikolektomie''', e –– operative Entfernung einer Dickdarmhälfte, e '''Hemiparese''', e –– unvollständige Lähmung einer Körperhälfte, unvollständige halbseitige Lähmung '''Hemiplegie''', e –– vollständige Lähmung einer Körperhälfte, vollständige halbseitige Lähmung '''Hepar''', s –– Leber, e '''Hepatitis''', e –– Leberentzündung Hepatojugulärer Reflux, r –– Halsvenenstauung '''Hepatomegalie''', e –– Lebervergrößerung '''Hepatopathie''', e –– Lebererkrankung '''hereditär''' (Adj./ Adv.) –– erblich '''Heredität''', e –– Erblichkeit, e '''Hernia inguinalis''', e –– Leistenbruch, r '''Hernia umbilicalis''', e –– Nabelbruch, r '''Hernie''', e –– Eingeweide(-Bruch), r Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Herzinfarkt''', r –– Absterben, s, von Teilen, r, des Herzmuskels, r Herzinsuffizienz, e –– Herzschwäche, e Hiatushernie, e –– Zwerchfellbruch, r Hirninfarkt, r, Apoplex, r –– Schlaganfall, r, Absterben, s, von Hirngewebe, s Hirnödem, e –– Flüssigkeitseinlagerung im Gehirn, s Hirsutismus, r –– vermehrte Behaarung HKT, Hkt, r –– Hämatokrit, r '''Hodentorsion''', e –– Hodenverdrehung Hordeolum, s –– Gerstenkorn, s (akute Entzündung des Augenlids, s) H-TEP, e –– Hüftgelenk-Totalendoprothese, Totalendoprothese des Hüftgelenks '''Humerus''', r –– Oberarmknochen, r '''Humerusfraktur''', e –– Knochenbruch, r, des Oberarmknochens, r, Oberarmbruch HWI, r –– Hinterwandinfarkt, r // Harnwegsinfekt, r Hydronephrose, e –– Wassersackniere, e, Harnstauungniere, e '''Hydrops''', r –– Flüssigkeitsansammlung in einer Körperhöhle, e Hydroureter, r –– Harnleitererweiterung (durch Harnrückstau, r) Hydrozele, e –– Wasserbruch, r, Flüssigkeitsansammlung im Hodensack, r '''Hydrozephalus''', r –– Wasserkopf, r '''Hygiene''', e –– Gesundheitslehre, e Hymen, e –– Jungfernhaut, e, Jungfernhäutchen, s Hypakusis, e –– Schwerhörigkeit, e, Hörminderung '''Hypalgesie''', e –– verminderte Schmerzempfindlichkeit, e Hypästhesie, e –– Taubheitsgefühl, s hyper- (Vorsilbe) –– erhöht Hyperästhesie, e –– Überempfindlichkeit, e, für Berührungsreize [Pl.] '''Hypercholesterinämie''', e [Sing.] –– erhöhte Blutfettwerte [Pl.] '''Hyperemesis''', e –– starkes Erbrechen, s '''Hyperemesis gravidarum''', e –– unstillbares, starkes Erbrechen, s, in der Schwangerschaft, e Schwangerschaftserbrechen, s Hyperglykämie, e –– Überzuckerung, erhöhte Blutzuckerwerte '''Hyperhidrose''', e –– krankhaft übermäßiges Schwitzen, s '''Hyperkaliämie''', e –– erhöhter Kaliumgehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkapnie''', e –– übermäßiger Kohlensäuregehalt, r, des Blutes, s '''Hyperkeratose''', e –– Verdickung der Hornschicht, e, der Haut, e Hyperkyphose, e, (Gibbus, r) –– Buckel, r, Spitzbuckel, r '''Hyperopie''', e –– Weitsichtigkeit, e '''Hyperparathyreoidismus''', r –– Überfunktion der Nebenschilddrüsen [Pl.], Nebenschilddrüsenüberfunktion, e Hyperthermie, e –– unphysiologische Überwärmung des Organismus, r '''Hyperthyreose''', e –– Überfunktion der Schilddrüse, e Hyperurikämie, e –– erhöhte Harnsäurewerte im Blut (oft bei Gicht) Hyperventilation, e –– übermäßige schnelle Atmung '''Hyperventilationstetanie''', e –– schnelle und flache Atmung mit Muskelkrämpfen [Pl.] '''hyperventilieren''' –– schnell und flach atmen hypo- (Vorsilbe) –– vermindert Hypoglykämie, e –– Unterzuckerung '''Hypophyse''', e –– Hirnanhangsdrüse, e '''Hyposensibilisierung''', e –– durch Allergieimpfung weniger sensibel machen '''Hyposensibilität''', e –– verminderte Empfindlichkeit, e Hyposomnie, e –– Schlafmangel, r Hypothermie, e –– Unterkühlung '''Hypothyreose''', e –– Unterfunktion der Schilddrüse, e hypovolämischer Schock, r –– Volumenmangelschock, r Hypoxie, e –– Sauerstoffmangel, r, Verminderung von Sauerstoff im Körper, r '''Hysterektomie''', e –– operative Entfernung der Gebärmutter, operative Gebärmutterentfernung, „Total-OP" (ugs.), e = I = '''iatrogen''' (Adj./Adv.) –– durch ärztliche Maßnahmen [Pl.] verursacht intramuskulär (Adj./Adv.), '''i.m.''' –– in den Muskel, r '''Ichthyosis, e –– Fischschuppenkrankheit, e '''Ikterus''', r, Hepatitis A/ B, e –– Gelbsucht, e Ileostoma, s –– künstlicher Darmausgang, r Ileum, s –– Krummdarm, r '''Ileus''', r –– Darmverschluss, r '''imperative Miktion''', e –– Harndrang, r in vitro Fertilisation, e –– künstliche Befruchtung Inappetenz, e –– Appetitlosigkeit, e '''incompliance''' (Engl.) –– Nichtbeachtung (einer Therapie) '''incompliant''' (Engl.) (Adj./Adv.) –– nicht beachtend Index, r –– Zeigefinger, r indolent (Adj./Adv.) –– schmerzlos '''Indolenz''', e –– Schmerzlosigkeit, e, Unempfindlichkeit, e, gegenüber Schmerzen [Pl.] '''Induration''', e –– Verhärtung, Verdickung von Gewebe, s '''infaust''' (Adj./Adv.) –– hoffnungslos, mit ungünstiger Vorhersage, e, (Prognose, e), mit einem schlechten Verlauf, r Infekt, r –– Erkältung infektiös (Adj./Adv.) –– ansteckend, übertragbar infertil (Adj./Adv.) –– unfruchtbar Infertilität, e –– Unfruchtbarkeit, e Inflammation, e –– Entzündung '''Influenza''', e –– Grippe, e inframandibular (Adj./Adv.) –– unterhalb des Unterkiefers, r '''Infusion''', e –– Flüssigkeitsgabe, e, in die Vene, e Inguinalhernie, e –– Leistenbruch, r '''Inhalation''', e –– Einatmung von Heilmitteln [Pl.] (in Form von Dämpfen) '''Inhaler''', r [Engl.] –– Inhalationsapparat, r, Inhalationsgerät, s '''inhalieren''' (Verb) –– einatmen Injektion, e –– Einspritzung in eine Ader, e, oder ins Gewebe, s '''Inkarzeration''', e –– Einklemmung eines Eingeweidebruchs, r '''inkontinent''' (Adj./Adv.) –– unfähig, Harn oder Stihl zurückzuhalten '''Inkontinenz''', e –– Unfähigkeit, e, Harn, r, oder Stuhl, r, zurückzuhalten Inoperabilität, e –– Unmöglichkeit, e, eine OP durchzuführen Insomnie, e –– Schlafstörung (Einschlafstörung, Durchschlafstörung) inspiratorisch (Adj./Adv.) –– bei der Einatmung '''Insult''', r –– Anfall, r, Schlaganfall, r '''intercostal''' (Adj./Adv.) –– zwischen den Rippen [Pl.] Interkostalfraktur, e -- Rippenbruch, r '''Interkostalneuralgie''', e –– Schmerzen im Bereich, r, der Zwischenrippennerven [Pl.] '''intermittierend''' (Adj./Adv.) –– zeitweise (aussetzend), kommt und geht '''Interruptio''', e –– Schwangerschaftsabbruch, r intervertebral (Adj./Adv.) –– zwischen den Wirbeln [Pl.] Intestinum tenue, s –– Dünndarm, r Intima, e –– Gefäßinnenschicht, e '''Intoxikation''', e –– Vergiftung intra- (Vorsilbe) –– innerhalb '''intraabdominelle Gravidität''' –– Bauchhöhlenschwangerschaft intrakraniell (Adj./Adv.) –– innerhalb des Schädels intrakutan, perkutan (Adj./Adv.) –– durch die Haut '''intramuskulär''' (Adj./Adv.) –– im Muskel, r intramuskuläre Injektion, e, i.m. –– Einspritzung, „Spritze", e, in den Skelettmuskel, r '''intraokular''' (Adj./Adv.) –– innerhalb des Auges, s intravenös Injektion, e, i.v. –– Einspritzung in eine Ader, e, oder Vene, e intravenös, intravasal (Adj./Adv.) –– in eine Vene, e, hinein '''intrazerebrale Blutung''', e –– Gehirnblutung '''Intubation''', e –– Einführung eines Beatmungsschlauchs, r, einer Sonde, e, in die Luftröhre, e invasiv (Adj./Adv.) –– eindringend '''Inzidenz''', e –– Häufigkeit, e, der Neuerkrankungen [Pl.] '''Inzision''', e –– Einschnitt, r Iris, e –– Regenbogenhaut, e '''irreversibel''' (Adj./Adv.) –– nicht umkehrbar '''Irritabile Bowel Syndrom''' (IBS), s –– Reizdarmsyndrom, s (RDS) '''Ischämie''', e –– Minderdurchblutung, Mangeldurchblutung '''Ischialgie''', e (ugs. '''Ischias''', r) –– Schmerzen im Bereich des Ischiasnervs, Schmerzen im unteren Rücken oder Gesäß ITN, e –– Intubationsnarkose, e = J = '''Jejunitis''', e –– Entzündung des Leerdarms, r Jejunum, s –– Leerdarm, r '''juvenil''' (Adj./Adv.) –– jugendlich = K = '''kachektisch''' (Adj./Adv.) –– abgemagert / ausgezehrt '''Kachexie''', e –– Auszehrung, starke Abmagerung mit Kräfteverfall, r Kalkaneusfraktur, e –– Fersenbeinbruch, r Kallus, r –– Narbengewebe, s, des Knochens, r Kapillar, s –– Haargefäß, s, kleinstes Blutgefäß, s Karbunkel, r –– Haarbalgentzündung '''kardial''' (Adj./Adv.) –– das Herz betreffend '''kardinal''' (Adj./Adv.) –– hauptsächlich Kardia, e –– Herz, s '''kardio-''' (Vorsilbe) –– auf das Herz bezogen, das Herz betreffend '''kardiogen''' (Adj./Adv.) –– vom Herzen ausgehend '''Kardiomegalie''', e –– Herzvergrößerung Kardiomyopathie, e –– Herzmuskelschwäche, e kardiotoxisch (Adj./Adv.) –– herzschädigend, herzschädigende Wirkung einer Substanz, e '''Karenz''', e, Abstinenz, e –– Verzicht auf, r, Meiden von, s Karies, e –– Zahnfäule, e Karotis (Arteria carotis), e –– Halsschlagader, e '''Karotisstenose''', e –– Verengung der Halsschlagader, e Karzinom, s –– bösartiger Tumor, r, Krebsgeschwulst, e '''Katarakt''', r –– grauer Star, r '''kaudal''' (Adj./Adv.) –– in Richtung des Steißbeins (Os coccygis), s, steißwärts kausal (Adj./Adv.) –– ursächlich '''Keratitis''', e –– Hornhautentzündung KHK, e –– koronare Herzkrankheit Klavikula, e –– Schlüsselbein, s '''Klistier''' (Klysma), s –– Einlauf, r (Einlaufmittel, s), Darm-Einlauf, s KM –– Kontrastmittel, s, Knochenmark, s '''Koagulation''', e –– Blutgerinnung '''Kolektomie''', e –– operative Dickdarmentfernung Kolik, e –– krampfartige und wellförmige Schmerzen '''Kolon''', s –– Grimmdarm, r, Dickdarm, r '''Koloskopie''', e –– Darmspiegelung, Dickdarmspiegelung '''Kolpitis''', e –– Scheidenentzündung Komorbidität, e –– Begleiterkrankung Konfusion, e –– Verwirrung, e, Verwirrtheit, e '''kongenital''' (Adj./Adv.) –– angeboren '''Konjunktivitis''', e –– Bindehautentzündung Konkrement, s –– Stein, r (z.B. in der Gallenblase, e) '''kontagiös''' (Adj./Adv.) –– ansteckend Kontagiosität, e –– Ansteckungskraft, e, Übertragbarkeit, e '''Kontamination''', e –– Verunreinigung (durch Mikroorganismen [Pl.]) Kontraindikation, e –– Gegenanzeige, e '''Kontraktur''', e –– Gelenksteife, e (infolge einer Verkürzung der Muskeln [Pl.] und Sehnen [Pl.]) Kontrazeptivum, s –– Verhütungsmittel, s, Pille, e [TM] '''Kontusion''', e –– Prellung Kornea, e –– Hornhaut Koronarangiographie, e –– Darstellung der Herzkranzgefäße [Pl.] Koronararterie, e –– Herzkranzgefäß, s '''Koronararterienstenose''', e –– Gefäßverengung der Herzkranzgefäße [Pl.] '''Koxalgie''', e –– Hüftschmerz, r Koxarthrose, e –– Arthrose, e, des Hüftgelenks, s '''kranial''' (Adj./Adv.) –– zum Kopf gehörig, kopfwärts, in Richtung des Kopfes '''Kropf''', r (ugs.) –– Schilddrüsenvergrößerung '''Kryochirurgie''', e –– Kältechirurgie, e K-TEP, e –– Kniegelenkstotalendoprothese, -e '''kurativ''' (Adj./ Adv.) –– heilend = L = Laparoskopie, e –– Bauchspiegelung '''Laryngitis''', e –– Kehlkopfentzündung '''Larynx''', e –– Kehlkopf, r Larynxödem, s –– Kehlkopfschwellung '''Läsion''', e –– Verletzung; Schädigung lateral (Adj./Adv.) –– seitlich, an der Seite Laxantien [Pl.] –– Abführmittel, e [Pl.] '''Laxativum''' [Sing.] –– Abführmittel, s [Sing.] '''Leberzirrhose''', e –– Verhärtung des Lebergewebes, s, „Schrumpfleber", e, Leberschrumpfung Leistenhernie, e –– Leistenbruch, r '''letal''' (Adj./Adv.) –– tödlich '''Letalität''', e –– Tödlichkeit, e, einer Erkrankung '''Leukämie''', e –– Blutkrebs, r '''Leukozyten''' [Pl.] –– weiße Blutkörperchen [Pl.] Leukozytopenie/ Leukopenie, e –– verminderte Anzahl, e, von weißen Blutkörperchen [Pl.] '''Ligament(um)''', s –– Band, s Ligamentum cruciatum anterior/posterior, s –– vorderes/hinteres Kreuzband, s Ligatur, e –– Unterbindung '''Linea anocutanea''', e –– untere Grenze, e, des Analkanals, r '''Lipidose''', e –– Störung des Fettstoffwechsels, r '''Lipom''', s –– gutartige Fettgeschwulst, e '''liquid(e)''' (Adj./Adv.) –– flüssig '''Liquor''' cerebrospinale, r –– Gehirn-/ Rückenmarksflüssigkeit, e '''Livor(es)''', r –– rotblauer Fleck, e, Leichenflecken [Pl.]/ Totenfleck, r '''Lobektomie''', e –– operative Entfernung eines Organlappens, r (z.B. Lungenlappen, r) '''Lobulus''', r –– kleiner Lappen, r (Teil eines Organs oder einer Drüse) '''Lobus''', r –– Lappen, r (z.B. Lungenlappen) '''Logopädie''', e –– Sprachtherapie, e '''Lokalanästhesie''', e –– örtliche Betäubung Lues (venerea), e –– Syphilis, e (sexuell übertragbare Infektion) '''Lumbago''', r, Lumbalgie, e –– Hexenschuss, r Lumbalpunktion, e –– Entnahme, e, von Rückenmarksflüssigkeit, e, mittels Nadel, e '''Lumboischialgie''', e –– Rückenschmerzen [Pl.] mit Ursprung, r, in der Lendenwirbelsäule, e '''Lungenatelektase''', e –– kollabierter Lungenabschnitt, r '''Lungenembolie''', e –– Verschluss, r, einer (oder mehrerer) Lungenarterien [Pl.] durch ein verschlepptes Blutgerinnsel, s Luxation, e –– Verrenkung, Ausrenkung, Auskugelung Lymphadenitis, e –– Lymphknotenentzündung Lymphadenopathie, e –– Erkrankung der Lymphknoten [Pl.] Lymphangitis, e –– Lymphgefäßentzündung '''Lymphödem''', s –– Verdickung (Schwellung) der Haut, e, infolge von Lymphstauungen [Pl.] '''Lymphom''', s –– Lymphdrüsenkrebs, r, Lymphknotengeschwulst, e = M = Magnetresonanztomografie (MRT), e –– Kernspintomographie, die '''Makroglossie''', e –– Vergrößerung der Zunge Makrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, sichtbares Blut, s, (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r makroskopisch (Adj./Adv.) –– mit bloßem Auge sichtbar '''Makula''', e –– gelber Fleck, r '''maligne''' (Adj./Adv.) –– bösartig '''Malignom''', s –– bösartige Geschwulst, e (Tumor, r) Malleolus lateralis, r –– Außenknöchel, r '''Malleolus medialis''', r –– Innenknöchel, r '''Malrotation''', e –– gestörte Darmdrehung Mamma, e –– Brustdrüse, e, Brust, e Mammaablation, e –– Entfernung der Brustdrüse, e Mammakarzinom, e –– Brustkrebs, r '''Mandibula''', e –– Unterkiefer, r Manometer, s –– Druckmessgerät, s Manometrie, e –– Diagnostik, e, der Motilitätsstörung '''Mastektomie''', e –– Brustamputation '''Mastitis''', e –– Entzündung der weiblichen Brust, e '''Maxilla''', e –– Oberkiefer, r Meatus acusticus externus, r –– äußerer Gehörgang, r '''Meckel-Divertikel''', s –– Ausstülpung des Dünndarms, r (Leerdarms, r, oder Krummdarms, r) '''medial''' (Adj./Adv.) –– zur Körpermitte gerichtet, zur Mitte hin '''Medulla oblongata''', e –– verlängertes Mark, s Medulla renalis, e –– Nierenmark, s Medulla spinalis, e –– Rückenmark, s Mekonium, s –– erster Stuhl, r, eines Neugeborenen, s '''Meläna''', e –– Teerstuhl, r (durch Blut, s, schwarz gefärbter Stuhl, r) Melanom, s –– schwarzer Hautkrebs, r Membrana tympani, e –– Trommelfell, s '''Menarche''', e –– erste Regelblutung Mendelson-Syndrom, s –– Lungenentzündung infolge Erbrechen, s, Aspirationspneumonie, e, nach Aspiration, e, von Magensaft, r Meningen [Pl.] –– Hirnhäute [Pl.] '''Meningitis''', e –– Hirnhautentzündung, e '''Menopause''', e –– Aufhören, s, der Regelblutung in den Wechseljahren [Pl.] / Wechseljahre [Pl.] '''Menstruation''', e –– Regelblutung '''metabolisch''' (Adj./Adv.) –– stoffwechselbedingt '''Metabolismus''', r –– Stoffwechsel, r Metastase, e –– Tochtergeschwulst, e, eines Tumors, r '''Meteorismus''', r, Flatulenz, e –– übermäßige Gasansammlung im Darm, r / Blähsucht, e / Blähungen [Pl.] '''Metrorrhagie''', e –– Zwischenblutung / Blutung außerhalb des Menstruationszyklus, r Mikrohämaturie, e –– mit bloßem Auge, s, nicht sichtbares Blut, s (rote Blutkörperchen [Pl.]) im Urin, r Miktion, e –– Wasserlassen, s Miosis, e –– Pupillenverengung Mitralstenose, e –– Verengung der Mitralklappe, e / der Herzklappe, e MMR, e –– Impfung gegen Masern [Pl.], Mumps, r, und Röteln [Pl.] '''Monoarthritis''', e –– Entzündung eines einzelnen Gelenks, s Mononucleosis infectiosa, e –– Pfeiffer-Drüsenfieber, s / Pfeiffersches Drüsenfieber, s Monoplegie, e –– Lähmung einer Extremität, e '''Morbidität''', e –– Erkrankungshäufigkeit, e Morbus Crohn, r –– chronisch–entzündliche Darmerkrankung Morbus Parkinson, r –– Schüttellähmung / Zitterlähmung '''mortal''' (Adj./Adv.) –– tödlich MRSA, r –– Methicillin-resistenter Staphylococcus aureus '''Mukolytika''', e –– schleimlösende Medikamente, e '''Mukolytikum''', s –– schleimlösendes Medikament, s '''multimorbid''' (Adj./Adv.) –– an mehreren Krankheiten erkrankt '''Multimorbidität''', e –– Mehrfacherkrankung Multiple Sklerose, e, MS, e –– chronische Erkrankung des Nervensystems, s / Muskelschwund, r Mumps, r –– Ziegenpeter, r Myasthenia gravis, e –– Autoimmunerkrankung der Muskulatur, e '''Mycosis fungoides''', e –– bösartige Geschwulst, e, der Haut, e '''Mydriase''', e –– Pupillenerweiterung Myelopathie, e –– Gehirn- oder Rückenmarkserkrankung '''Mykose''', e –– Pilzinfektion, e mykotisch, fungal (Adj./Adv.) –– durch Pilze verursacht '''Mykotoxin''', s –– Schimmelpilzgift, s '''Myokardinfarkt''', r –– Herzinfarkt, r '''Myokarditis''', e –– Herzmuskelentzündung Myokardium, s –– Herzmuskel, r '''Myom''', s –– gutartiger Muskeltumor, r / Geschwulst, e, in der Gebärmutter, e '''Myopie''', e –– Kurzsichtigkeit, e Myose, e –– Pupillenverengung '''Myositis''', e –– Muskelentzündung '''Myxödem''', e –– Unterhautschwellung infolge einer Schilddrüsenfunktionsstörung = N = NaCl, Natriumchlorid, s –– Kochsalz, s (Nahrungsmittel) Narkolepsie, e –– Schlafkrankheit, e / Schlummersucht, e Nasenseptum, s –– Nasenscheidewand, e Nävus, r –– Muttermal, s / Leberfleck, r Nekrose, e –– lokaler Gewebstod, r '''Neoplasma''', s –– / '''Neoplasie''', e –– Gewebeneubildung / Neubildung von Körpergeweben [Pl.] (gutartig oder bösartig) '''Nephrektomie''', e –– operative Entfernung einer Niere, e '''Nephritis''', e –– Nierenentzündung '''Nephrolithiasis''', e –– Nierensteinleiden, s / Nierensteinkrankheit, e nephrotoxisch (Adj./Adv.) –– die Nieren schädigend, nierenschädigend Nervus ischiadicus, r –– Ischiasnerv, r Nervus olfactorius, r –– Riechnerv, r Nervus opticus, r –– Sehnerv, r Nervus phrenicus, r –– Zwerchfellnerv, r Nervus splanchnicus, r –– Eingeweidenerv, r '''Neuralgie''' (interkostale), e –– Nervenschmerz (zwischen den Rippen) '''neurogen''' (Adj./Adv.) –– von den Nerven [Pl.] ausgehend Neuropathie, e –– Erkrankung des peripheren Nervensystems, s neurotoxisch (Adj./Adv.) –– nervenschädigend neurotrop(isch) (Adj./Adv.) –– auf das Nervensystem wirkend Niereninsuffizienz, e –– finales Nierenversagen, s / Nierenfunktionsstörung Nodulus, r –– Knötchen, s Nodus, r –– Knoten, r '''Noncompliance''' [Engl.], e –– Nichtbefolgen, s, medizinischer Anweisungen, Nichtbeachtung / Nichteinhaltung der Therapie, e '''nosokomial (Adj./Adv.)''' –– das Krankenhaus betreffend Noxen [Pl.] –– Schadstoffe [Pl.] '''Nucleus''', r –– Kern, r nullpara –– (noch) kein Kind geboren '''Nykturie''', e –– vermehrtes nächtliches Wasserlassen, s '''Nystagmus''', r –– Augenzittern, s = O = observieren (Verb) –– beobachten, unter Beobachtung stellen '''Obstipation''', e –– Verstopfung '''Ödem''', s –– Schwellung / Wasseransammlung / krankhafte Flüssigkeitsansammlung im Gewebe Odynophagie, e –– Schmerzen beim Schlucken '''ÖGD''', e –– Ösophago-Gastro-Duodenoskopie, e '''ökonomisch''' (Adj./Adv.) –– wirtschaftlich (Englisch: sparsam = economical) '''okzipital''' (Adj./Adv.) –– in Richtung Hinterhaupt, zum Hinterhaupt gehörend '''Olecranon''', s –– Ellenfortsatz, r Omarthrose, e –– Arthrose, e, des Schultergelenkes, s '''Onanie''', e / Masturbation, e –– Selbstbefriedigung Oncychomykose, e –– Nagelpilz, r Oophoritis, e -- Eierstockentzündung opB -- ohne pathologischen Befund '''Ophthalmoplegie''', e –– Augenmuskellähmung oral (Adj./Adv.) –– durch den Mund, r Orbita, e –– Augenhöhle, e orbital (Adj./Adv.) –– die Augenhöhle betreffend Orchis, e /Testis, r –– Hoden, r '''Orchitis''', e –– Hodenentzündung ORSA –– Oxacillin-resistenter-Staphylococcus aureus Orthopnoe, e –– Luftnot, e, im Liegen, s '''Os carpi''', s –– Handwurzelknochen, r '''Os coccygis''', s/ Coccyx, e –– Steißbein, s '''Os frontale''', s –– Stirnbein, s '''Os ilium''', s –– Darmbein, s Os metacarpale, s –– Mittelhandknochen, r '''Os metatarsale''', s –– Mittelfußknochen, r Os naviculare, s –– Kahnbein, s '''Os occipitale''', s –– Hinterhauptbein, s '''Os pubis''', s –– Schambein, s Os sacrum, s –– Kreuzbein, Os schaphoidem, s –– Kahnbein, s '''Os tarsi''', s –– Fußwurzelknochen, r '''Ösophagitis''', e –– Speiseröhrenentzündung '''Ösophago-Gastro-Duodenoskopie''' (ÖGD), e –– Magendarmspiegelung '''Ösophagus''', r –– Speiseröhre, e Ösophagusatresie, s, ÖA –– Fehlbildung der Speiseröhre, e (angeborener Verschluss, r, der Speiseröhre, e) Ösophagusvarizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] der Speiseröhre, e '''Ossa''', e –– Knochen, r '''Osteogenese''', e –– Knochenbildung Osteogenesis imperfecta, e –– Glasknochenkrankheit, e Osteomalazie, e –– Knochenerweichung '''Osteoporose''', e –– Knochenschwund, r Osteosarkom, s –– bösartiger Tumor, r, aus Knochen gehend / Knochenkrebs, r '''Osteosynthese''', e –– operative Knochenzusammenfügung / operative Verbindung von Knochenfragmenten [Pl.] Östrogen, s –– Follikelhormon, s / weibliches Hormon, s '''Otitis''', e –– Ohrenentzündung '''Otitis externa''', e –– Entzündung des äußeren Gehörgangs, r Otitis interna, e –– Innenohrentzündung '''Otitis media''', e –– Mittelohrentzündung ovariell/ ovarial (Adj./ Adv.) -- den Eierstock, r, betreffend, vom Eierstock, r, ausgehend bzw. durch ihn bedingt '''Ovarium''', s / Ovar, s –– Eierstock, r Ovulation, e –– Eisprung, r = P = Palatine, e –– Gaumen, r Palliation, e –– Linderung '''palliativ''' (Adj./ Adv.) –– lindernd, nicht heilend, symptomatische Therapie '''palliative Therapie''', e / Palliativtherapie, e –– lindernde Behandlung (ohne zu heilen) '''palmar''' (Adj./ Adv.) –– handflächenseitig, die Handfläche betreffen '''Palpation''', e –– Untersuchung durch Betasten, s / Abtasten, s Palpitation, e –– Herzpochen, s / Herzklopfen, s pan (Adv.) –– überall, an allen Orten '''Panikattacke''', e –– Angstanfall, r '''Pankreas''', s –– Bauchspeicheldrüse, e Pankreaskarzinom, s –– Bauchspeicheldrüsenkrebs, r '''Pankreaszyste''', e –– Bauchspeicheldrüsenzyste, mit Flüssigkeit gefüllter Hohlraum in der Bauchspeicheldrüse '''Pankreatitis''', e –– Bauchspeicheldrüsenentzündung Panzytopenie, e –– Zellzahlabnahme, e Paralyse, e –– Lähmung, vollständige motorische Lähmung paraneoplastisch (Adj./ Adv.) –– Begleiterscheinungen eines Tumors, r, betreffend Paranoia, e –– Verfolgungswahn, r, anhaltende wahnhafte Störung Paraplegie, e –– vollständige Lähmung beider Beine [Pl.], Querschnittslähmung Parästhesie, e –– Kribbelgefühl, s, Ameisenlaufen, s, Missempfindung '''Parathyreoidea''', e –– Nebenschilddrüse, e parenteral (Adj./ Adv.) –– Gabe, e, von Nährstoffen [Pl.] direkt in den Blutkreislauf, r Parese, e –– teilweise motorische Lähmung / unvollständige Lähmung '''Parkinson''', r –– Zitterlähung '''Parotis''', e –– Ohrspeicheldrüse, e Patella, e –– Kniescheibe, e '''pathologisch''' (Adj./ Adv.) –– krankhaft PCO, s –– polyzystisches Ovarialsyndrom, s, PCOS, PCO-Syndrom, s '''pCO2''', r –– Kohlendioxid-Partialdruck, r '''Pediculosis capitis''', e –– Kopfläuse [Pl.], Läusebefall, r, auf dem Kopf, r Pelvis renalis, r –– Nierenbecken, s Pelvis, s –– Becken, s Penetration, e –– Durchdringen, s, Eindringen, s '''per oral''' (p.o) (Adj./ Adv.) –– durch den Mund, r '''percutan''' / perkutan (Adj./ Adv.) –– durch die Haut '''Perforation''', e –– Durchbohrung des Gewebes, s, Durchbruch, r perianal (Adj./ Adv.) –– rund um den After, um den After herum Periduralanästheise (PDA), Epiduralanästhesie, e –– Rückenmarksnarkose, e Perikard, s –– Herzbeutel, r Perikarderguss, r –– Flüssigkeitsansammlung im Herzbeutel, r perinatal (Adj./Adv.) –– um die Geburt herum Perios, s –– Knochenhaut, e '''peripher''' (Adj./Adv.) –– am Rand, r, gelegen Peristaltik, e –– Bewegung von Hohlorganen [Pl.] '''Peritoneum''', s –– Bauchfell, s Peritonitis, e –– Bauchfellentzündung '''periumbilikal''' (Adj./Adv.) –– um den Bauchnabel, r, herum Perkussion, e –– Abklopfen, s '''perkussorisch''' / '''perkutorisch''' (Adj./Adv.) –– durch Abklopfen, s '''perkutan''' (Adj./Adv.) –– durch die Haut, e Permeabilität, e –– Durchlässigkeit, e persistierend (Adj./Adv.) –– andauernd (z.B. persistierender Schmerz, r) '''pertrochantäre Femurfraktur''', e –– Knochenbruch, r, der Oberseite, e, des Oberschenkelknochens, r '''Pertussis''', e –– Keuchhusten, r Pes, r –– Fuß, r Pescetarier:innen, e [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch meiden (vgl. Vegetarier [Pl.] weder Fisch noch Fleisch) Petechien [Pl.] –– punktförmige Hautblutungen aus Kapillaren [Pl.] (den kleinsten Gefäßen [Pl.]) Phalanx distalis, e –– Fingerendglied, s Phalanx media, e –– Fingermittelglied, s Phalanx proximalis, e –– Fingergrundglied, s '''Phäochromozytom''', s –– Geschwulst, e, des Nebennierenmarks, s '''Pharyngitis''', e –– Rachenentzündung '''Pharynx''', r –– Rachen, r Pharynxkarzinom, s –– Rachenkrebs, r '''Phimose''', e –– Vorhautverengung '''Phlebitis''', e –– Venenentzündung Phlebographie, e –– röntgenologische Darstellung von Venen [Pl.] '''Phobie''', e –– Angststörung / krankhafte übermäßige Angst, e Phonohypersensibilität, e –– Lärm(über)empfindlichkeit, e Phonophobie, e –– Angst, e, vor Lärm, r '''Physiotherapie''', e –– Krankengymnastik, e '''Placebo''', r –– Scheinmedikament, s, ohne Wirkstoffe [Pl.] '''Placeboeffekt''', r –– Wirkung eines Medikaments, s, ohne Wirkstoff, r '''Plazenta''', e –– Mutterkuchen, r Plegie, e –– vollständige Lähmung '''Pleura''', s –– Brustfell, s / Rippenfell, s / Lungenfell, s Pleuraerguss, r –– pathologische Flüssigkeitsansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s Pleuraspalt, r –– Raum zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s '''Pleurektomie''', e –– operative Entfernung des Brustfells, s '''Pleuritis''', e –– Brustfellentzündung / Rippenfellentzündung Plexus, r –– Nervengeflecht, s Plexus brachialis, r –– Armgeflecht, s Pneumatose, e –– Luftansammlung im Bauch, r '''Pneum(on)ektomie''' / Lungenresektion, e –– operative Entfernung eines Lungenflügels, r '''Pneumonie''', e –– Lungenentzündung Pneumoperitoneum, e –– Ansammlung von Luft, e, in der Bauchhöhle, e '''Pneumothorax''', e –– Luftansammlung zwischen den Blättern [Pl.] des Brustfells, s POCD –– postoperative kognitive Dysfunktion, e '''Podagra''', e –– Fußgicht, e Poliomyelitis, e –– Kinderlähmung Pollakisurie, e –– häufiges Wasserlassen, s, in kleinen Mengen [Pl.] '''Pollinose''', e –– Heuschnupfen, r polymorph (Adj./Adv.) –– vielgestaltig Polyp, e –– (Gewebs-)Wucherung Polytrauma, s –– Mehrfachverletzung Polyurie, e –– erhöhte Urinausscheidung Posthitis, e –– Vorhautentzündung postiktal (Adj./ Adv.) –– nach einem (epileptischen) Anfall, r postnatal (Adj./Adv.) –– nach der Geburt, e postpartum (Adv.) –– nach der Geburt, e postprandial (Adj./Adv.) –– nach dem Essen, s / nach einer Mahlzeit, e Präeklampsie, e –– Schwangerschaftsvergiftung / hypertensive Schwangerschaftserkrankung '''präfinal''' (Adj./ Adv.) –– kurz vor dem Tod präprandial (Adj./ Adv.) –– vor dem Essen, s / vor einer Mahlzeit, e Präputium, s –– Vorhaut, e Prävalenz, e –– Häufigkeit, e, einer (bestehenden) Erkrankung / Anzahl, e, aller Fälle [Pl.] einer Erkrankung '''Prävention''', e –– Vorbeugung [im weiteren Sinn =/= Nachvornbeugen, s] '''präventiv''' (Adj./ Adv.) –– vorbeugend '''Presbyakusis''', e –– Altersschwerhörigkeit Presbyopie, e –– Alterssichtigkeit Processus styloideus ulnae, r –– Griffelfortsatz, r (der Elle, e) Prognose, e –– Vorhersage, e, erwarteter Verlauf, r '''progredient''' (Adj./ Adv.) –– fortschreitend, sich verschlimmernd, zunehmend Proktoskopie, e –– Untersuchung des Mastdarms, r, bzw. Dickdarms, r '''Prolaps''', r –– Organvorfall, Vorfall, r, (Heraustreten, s) von inneren Organen [Pl.], Pronation, e –– Einwärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r Prophylaxie, e –– Vorbeugung / Schutzmaßnahme, e Prostata, e –– Vorsteherdrüse, e '''Prostatitis''', e –– Prostataentzündung, Vorsteherdrüsenentzündung '''Protein''', s –– Eiweiß, s Proteinurie, e –– Eiweiß, s, im Urin, r '''Protrusion''', r –– Vorsprung, r / Hervortreten, s / Verlagerung eines Organs, s, nach außen proximal (Adj./ Adv.) –– körperzentrumnah Pruritus, r –– Juckreiz, r Pseudarthrose, e –– Falschgelenk, s '''Psoriasis''', e –– Schuppenflechte, e PSR, r –– Patellarsehnenreflex, r '''psychiatrisch''' (Adj./ Adv.) –– seelische Erkrankungen betreffend Ptosis, e –– hängendes Lid, s / herabhängendes oberes Augenlid, s '''Pulmo''', r –– Lunge, e pulmonale Hypertonie, e –– Lungenhochdruck, r Punktion, e –– Nadelentnahme, e, krankhafter Flüssigkeit, e '''Pus''', r –– Eiter, r '''Pyelonephritis''', e –– Nierenbeckenentzündung Pylorus, r –– Magenpförtner, r Pyrosis, e –– Sodbrennen, s / saures Aufstoßen, s Pyurie, e –– Eiter im Urin, r = R = '''Rabies''' / Lyssa, e –– Tollwut, e '''radial''' (Adj./Adv.) –– auf den Radius bezogen radialis (Adj./ Adv.) –– zur Speiche gehörend '''Radiatio''', e –– Bestrahlung '''radiatus''' (Adj./ Adv.) –– strahlenförmig / strahlenartig / strahlend radikulär (Adj./ Adv.) –– die Nervenwurzel (den Radix) betreffend '''Radiologe''', r, Radiologin, e –– Facharzt/-ärztin für Strahlenkunde, e / Röntgenarzt/ -ärztin Radiologie, e –– Strahlenheilkunde, e '''Radius''', r –– Speiche, e Ranula, e –– „Froschgeschwulst", e, Mundbodenzyste, e / Zyste, e unter der Zunge, e / Entzündung der Unterzungenspeicheldrüse, e Reanimation, e –– Wiederbelebung '''Reflux''', r –– Rückfluss, r (von Magensäure, e) regredient (Adj./ Adv.) –– sich zurückentwickelnd, etwas rückgängig machend Rekonvaleszenz, e –– Erholungsphase, e / Genesung nach einer Erkrankung '''Rektoskopie''', e –– Mastdarmspiegelung Rektum, s –– Mastdarm, r '''Rektumexstirpation''', e / Rektumamputation, e –– chirurgische Entfernung des Mastdarmes, r Rektumprolaps, r –– Vorfall, r, des Mastdarms, r '''Rekurrensparese''', e –– Stimmbandlähmung (Schwäche, e, eines Nervs, r, der für die Bewegung der Stimmbänder [Pl.] zuständig ist) Remission, e –– Abklingen, s / Besserung / Rückgang der Symptome [Pl.] Ren, r –– Niere, e '''Reposition''', e –– Zurückverlagerung in eine normale Stellung, Wiedereinrichtung (von Knochenbrüchen [Pl.], Eingeweidebrüchen [Pl.] oder Verrenkungen) '''Resektion''', e –– teilweise operative Entfernung eines Organs, s '''resezieren''' (Verb) - chirurgisch entfernen '''resistieren''' (Verb) - widerstehen Resorption, e –– Aufnahme, e, von Nährstoffen [Pl.] Restitutio ad integrum, e –– vollständige Wiederherstellung, vollständige Heilung Restless-legs-Syndrom, s –– unruhige Beine [Pl.] '''Restriktion''', e –– Beschränkung, Einschränkung '''Retina''', e –– Netzhaut, e retropatellar (Adj./ Adv.) –– hinter der Kniescheibe, e '''retrosternal''' (Adj./ Adv.) –– hinter dem Brustbein, s reversibel (Adj./ Adv.) –– umkehrbar/ wieder normal machbar Rezidiv, s –– Rückfall, r '''rezidivierend''' (Adj./ Adv.) –– [für Diagnosen und Symptome] wiederkehrend (im Sinne von Rückfall nach einer Behandlung und einer beschwerdefreien Zeit) RG –– Rasselgeräusch, s '''Rh-Inkompatibilität''', e –– Blutgruppeninkompatibilität, e '''Rhagade''', e –– Einriss, r, Risswunde, e Rhinitis, e –– Schnupfen, r, Nasenschleimhautentzündung '''Rigidität''', e –– Steifigkeit, e, und Starre, e, der Muskeln [Pl.] Rigor mortis, r –– Leichenstarre, e, Totenstarre, e rostral (Adj./ Adv.) –– schnabelförmig, nach vorn(e) Rostrum, r –– Schnabel, r Rotation, e –– Drehung RR –– Relatives Risiko / Riva-Rocci (Blutdruckmesstechnik) Rubella, e –– Röteln [Pl.] '''Rubor''', r –– Rötung '''Ructus''', r, Ruktus –– Aufstoßen, s Ruptur, e –– Riss, r = S = sakral (Adj./ Adv.) –– zum Kreuzbein, r, gehörend '''Salpingektomie''', e –– operative Entfernung eines Eileiters, r Salpingitis, e –– Eileiterentzündung '''Sarkom''', s –– bösartige Bindegewebsgeschwulst, e '''SAS bzw. S.A.S.''' (OSAS) –– Schlafapnoe-Syndrom, s (obstruktives Schlafapnoesnydrom) '''Scapula''', e –– Schulterblatt, s '''Schizophrenie''', e –– Bewusstseinsspaltung, Persönlichkeitspaltung '''Schlafapnoe''', e –– Atemstillstand, r, im Schlaf, r Sectio caesarea, e –– Kaiserschnitt, r Sedation, e –– Beruhigung, e '''Sedativa''', e [Pl.] –– Beruhigungsmittel, s, schlaffördernde Mittel, s [Pl.] '''Sedativum''', s [Sing.] –– Beruhigungsmittel, s, schlafförderndes Mittel, s [Sing.] Sedierung, e –– Beruhigung Sekretolytika / Mukolytika, e –– Schleimlöser [Pl.], schleimlösende Mittel [Pl.] sensibel (Adj./ Adv.) –– empfindlich '''Sensibilität''', e –– Empfindlichkeit, s '''Sepsis''', e –– Blutvergiftung Sibilanz, s –– Pfeiffen, s (=/= Stridor, r –– Giemen, s) '''Singultus''', r –– Schluckauf, r sinister, sinistra (Adj./ Adv.) –– links '''Sinus maxillaris''', r –– Kieferhöhle, e (Nasennebenhöhle, e) Sinusitis, e –– Nasennebenhöhlenentzündung '''Sinusitis frontalis''', e –– Entzündung der Stirnhöhlen [Pl.] (die vorderen Nasennebenhöhlen [Pl.]) '''Situs inversus''', r –– spiegelbildliche Lageanomalie, e, der Organe '''Skabies''', e –– Krätze, e Sklera, e –– Lederhaut, s, des Auges, s Sklerose, e –– Verhärtung von Geweben [Pl.] und Organen [Pl.] '''Skotom''', s –– Gesichtsfeldausfall, r Skrotum, s –– Hodensack, r '''solitär''' (Adj./ Adv.) –– einzeln '''somnolent''' (Adj./ Adv.) –– schläfrig '''Somnolenz''', e –– krankhafte Schläfrigkeit, e Spasmolytikum, s –– krampflösendes Mittel, s '''Spasmus''', r –– Krampf, r (z.B. in den Muskeln [Pl.]) '''Spatium''', a –– Zwischenraum, r '''Sperma''', s –– Samenflüssigkeit, e '''Sphinkter''', r –– Schließmuskel, r '''Sphinkter ani''', r –– After-Schließmuskel, r '''Spina bifida''', e –– offener Rücken, r / Spaltung der Wirbelsäule, e spinal (Adj./ Adv.) –– Wirbelsäule, e, oder Rückenmark, s, betreffend Spinalanästhesie, e –– rückenmarksnahe Regionalbetäubung '''Spinalstenose''', e –– Verengung des Wirbelkanals, r '''Splenektomie''', e –– Milzentfernung '''Splenomegalie''', e –– Milzvergrößerung '''Spondylitis''', e –– Wirbelentzündung Spongiosa, e –– Knochenbälkchen / rotes Knochenmark SSW –– Schwangerschaftswoche, e Stase, Stagnation, e –– Stillstand / Stauung Stauung der vena jugularis externa, e –– Halsvenenstauung '''Stauungsdermatitis''', e –– Hautentzündung durch schlechte Blutzirkulation / Entzündung der Haut, e, an den Unterschenkeln [Pl.] durch Stauung von Blut, s, und Flüssigkeit, e Steatosis hepatis, e –– Fettleber, e STEMI, r –– ST-Hebungs-Myokardinfarkt, r '''Stenose''', e –– Verengung '''Sterilität''', e –– 1. Keimfreiheit, e / 2. Unfruchtbarkeit, e '''Sternum''', s –– Brustbein, s '''STIKO''', e –– Ständige Impfkommission am Robert-Koch-Institut (Berlin), eine ehrenamtliche, derzeit 18-köpfige Expertengruppe Stoma, s –– Mund, r, Öffnung Stomatitis, e –– Entzündung der Mundschleimhaut, e, Mundschleimhautentzündung '''Strabismus''', r –– Schielen, s Stridor, r –– Giemen, s, zischendes Atemgeräusch, s (=/= Sibilanz, e –– Pfeifen, s) Struma, e –– "Kropf", Schilddrüsenvergrößerung, geschwollener Hals, r Struma nodosa, e –– knotige Schilddrüsenvergrößerung Subarachnoidalblutung, e –– "Hirnblutung", Blutung zwischen der mittleren und inneren Hirnhaut, e '''Subcutis''', e –– Unterhautfettgewebe, s '''Subduralhämatom''', s –– Einblutung zwischen der Hirnhaut, s, und Gehirn, s '''subfebril''' (Adj./ Adv.) –– mit leicht erhöhter Körpertemperatur, e (bis 38 °C) '''Subileus''', r –– unvollständiger Darmverschluss, r '''subkutan''' (Adj./ Adv.) –– unter der Haut (wo?), unter die Haut (wohin?) sublingual (Adj./ Adv.) –– unter der Zunge, e, unter die Zunge, e '''Subluxation''', e –– unvollständige Ausrenkung / Auskugelung / unvollständige Verrenkung Subsitution, Substituierung, e –– Ersatz, r, Ersetzen, s '''Sugillation''', e –– oberflächlicher Bluterguss, r '''Suizid''', e –– Selbsttötung, e, Selbstmord, r superfiziell (Adj./ Adv.), e –– oberflächlich '''Supination''', e –– Auswärtsdrehung von Hand, e, und Fuß, r '''Sympathikolyse''', e –– Ausschaltung der sympathischen Innervierung '''Symptom''', s –– Krankheitszeichen, s [Pl.] / Beschwerden [Pl.] Syndrom, s –– Symptomkomplex, mehrere Krankheitszeichen zusammen '''Synechie''' (Adhäsion, Bride), e –– Verklebung, Verwachsung '''Synkope''', e –– kurze Bewusstlosigkeit, e, plötzliche, kurz andauernde Ohnmacht, e Synovia, e –– Gelenksflüssigkeit, e, Gelenkschmiere, e = T = Tachykardie, e –– Herzrasen, s / erhöhte Herzfrequenz von mehr als 100 Schlag/Min. Tachypnoe, e –– Kurzatmigkeit, e, erhöhte Atemfrequenz, e tachypnoeisch (Adj./ Adv.) –– kurzatmig Tendinitis, e –– Sehnenentzündung Tendovaginitis, e –– Sehnenscheidenentzündung Tenesmus, r –– schmerzhafter Stuhl- oder Harndrang, r '''teratogen''' (Adj./Adv.) –– Missbildungen erzeugend, Fehlbildungen verursachend '''terminal''' (Adj./ Adv.) –– final / das Ende betreffend // im Endstadium, s '''terminale Niereninsuffizienz''', e –– finales Nierenversagen, s '''Tetanus''', r –– Wundstarrkrampf, r Tetraplegie, e –– Lähmung aller vier Extremitäten Therapie, e –– Behandlung thorakal (Adj./ Adv.) –– den Brustkorb/-raum betreffend Thorax, r –– Brustkorb, r '''Thrombektomie''', e –– Entfernung eines Blutpfropfs, r '''Thromboembolie''', e –– Verschluss, r, eines Blutgefäßes, s, durch einen Blutpfropf, r Thrombopenie / Thrombozytopenie, e –– Mangel an Blutplättchen [Pl.] Thrombophlebitis, e –– Entzündung der oberflächlichen Venen [Pl.], akute Thrombose, e '''Thrombose''', e –– Gefäßverschluss, r, durch ein Blutgerinnsel, s '''Thrombozyten''', e [Pl.] –– Blutplättchen [Pl.] '''Thrombozytopenie''', e –– Mangel an Blutplättchen '''Thyreoidea''', e –– Schilddrüse, e '''Thyreoidektomie''', e –– operative Entfernung der Schilddrüse, e Thyreoiditis, e –– Schilddrüsenentzündung '''TIA''', e –– transitorische ischämische Attacke, e '''Tibia''', e –– Schienbein, s '''Tic''', r –– Zucken, s / unwillkürliche, nervöse Muskelzuckung, nicht unterdrückbares Muskelzucken, s Tinea pedis, e –– Fußpilz, r '''Tinnitus''', r –– Ohrgeräusche [Pl.], „Ohrensausen" Tonsilla, e –– Gaumenmandel, e '''Tonsillektomie''', e –– operative Entfernung der Mandeln [Pl.] '''Tonsillitis''' / Angina tonsillaris, e –– Mandelentzündung '''Tonsillitis''' purulenta, e –– eitrige Mandelentzündung Tonus, r –– Spannung Tophus, r –– Knoten, r (z. B. Gichtknoten, r) '''Tophus''', r [Sing.] / Tophi [Pl.] –– entzündlicher Knoten, r (bei Gicht, e) Torsion, e –– Drehung Torsionsfraktur, e –– Spiralfraktur, e '''Tortikollis''', r –– Schiefhals, r / verkrampfter Hals, r (bei Kindern [Dativ Pl.]) '''toxisch''' (Adj./ Adv.) –– giftig '''Trachea''', e –– Luftröhre, e Tracheostoma, s –– Luftröhrenschnitt, r (dauerhafte Öffnung) '''Tracheotomie''', e –– Luftröhrenschnitt, r '''Tranquilizer''', r –– Beruhigungsmittel, s [auch Pl.] Transfusion, e –– Blutübertragung '''transitorische Ischämie''', e –– vorübergehende Durchblutungsstörung, “Mini-Schlaganfall’’, r Transpiration, e –– Schwitzen, s transversal (Adj./ Adv.) –– quer transversum (Adj./ Adv.) –– querlaufend '''Trauma''', s –– körperliche oder seelische Verletzung '''Tremor''', r –– Zittern, s / Muskelzittern, s '''Trepanation''', e –– Schädelöffnung durch Anbohren, s '''Trigeminusneuralgie''', e –– Gesichtsschmerz, r, Nervenschmerz, r, im Gesicht, s '''Trikuspidalinsuffizienz''', e –– Herzklappenfehler, r, Schließunfähigkeit, e, der Trikuspidalklappe, e, des Herzens, s TSH, s –– Thyreoidea-stimulierendes Hormon, s Tuba auditiva, e –– Ohrtrompete, e Tuba uterina, e –– Eileiter, r '''Tubargravidität''', e –– Eileiterschwangerschaft, e Tube / Tuba, e –– Röhre, e Tuber ischiadicum, r –– Sitzbeinhöcker, r Tuberkulose (kurz: TB), e –– Schwindsucht, e Tumor, r –– Geschwulst, e Tunica media, e –– mittlere Schicht, e, der Gefäßwand, e TUR, e –– transurethrale Resektion, e Tussis, e –– Husten, r TVT, e –– tiefe Venenthrombose, e, Phlebothrombose, e = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e '''ubiquitär''' (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s '''Ulcus cruris''', r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s '''Ulcus duodeni''', r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s '''Ulcus ventriculi''', r –– Magengeschwür, s '''Ulna''', e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r '''Urämie''', e –– Harnansammlung im Blut '''Ureter''', r –– Harnleiter, r '''Urethra''', e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r '''Urosepsis''', e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e '''Uterus''', r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventriculi cerebri [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventriculus cordis, Herzventrikel, s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = X = '''Xerodermie''', e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e '''zerebral''' (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend '''Zervikalgie''', e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e '''Zoster''', r / Herpes Zoster, r –– Gürtelrose, e '''Zoster oticus''', r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) '''zyanotisch''' (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e '''Zyklothymie''', e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] '''Zyste''', e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r '''Zystitis''', e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung '''Zystostatika''', e [Pl.] –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung '''Zystostatikum''', e [Sing.] –– Zellwachstum, s, hemmendes Medikament [Sing.] / Medikament zur Krebsbehandlung = U = UAG, e –– Unterarmgehstütze, e, Krücke, e ubiquitär (Adj./ Adv.) –– überall verbreitet Ulcus, r –– Geschwür, s Ulcus cruris, r –– Unterschenkelgeschwür, s / offenes Bein, s Ulcus duodeni, r –– Zwölffingerdarmgeschwür, s Ulcus ventriculi, r –– Magengeschwür, s Ulna, e –– Elle, e Umbilicus, r –– Bauchnabel, r Umbilikalhernie, e –– Nabelbruch, r Urämie, e –– Harnvergiftung (Anhäufung von harnpflichtigen Stoffen [Pl.] im Blut, s) Ureter, r –– Harnleiter, r Urethra, e –– Harnröhre, e Urikämie, e –– erhöhte Harnsäure, e, im Blut, s Urin, r –– Harn, r Urosepsis, e –– lebensbedrohliche Blutvergiftung durch eine Harnwegsinfektion Urtika, e –– Quaddel, e / Quaddeln [Pl.] Urtikaria, e –– Nesselsucht, e, Nesselfieber, e Uterus, r –– Gebärmutter, e Uteruskarzinom, s –– Gebärmutterkrebs, r Uterusmyom, s –– gutartiger Tumor, r, der Gebärmutter, e Uterusprolaps, r –– Gebärmuttervorfall, r = V = Vagina, e –– Scheide, e Vaginitis, e / Kolpitis, e –– Scheidenentzündung '''Valva''', e –– Klappe, e '''Valva aortae''', e –– Aortenklappe, e Varizen [Pl.] –– Krampfadern [Pl.], krankhafte Erweiterung der Venen [Pl.] Varikose, e / Varikosis, e –– Krampfaderleiden, s '''Variola''', e –– Pocken [Pl.] '''Varizellen''' [Pl.] –– Windpocken [Pl.] '''Varizen''' [Pl.] –– Krampfadern [Pl.] '''Vaskulitis [Pl.] –– Gefäßentzündung Veganer:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die keine tierischen Produkte essen oder verwenden Vegetarier:innen [Pl.] –– Menschen [Pl.], die Fleisch, s, und Fisch, r, meiden (vgl. Pescetarier:innen, kein Fleisch, aber Fisch) '''Vena cava inferior''', e –– untere Hohlvene, e '''Vena cava superior''', e –– obere Hohlvene, e Vena iliaca externa, e –– äußere Beckenvene, e '''Vena pulmonalis''', e –– Lungenvene, e '''Veneninsuffizienz''', e –– Venenschwäche, e, mangelhafte Funktion der Blutadern [Pl.] '''Venenthrombose''', e –– Blutgerinnsel, s, in den Hauptvenen [Pl.] (Blutadern [Pl.]) '''Venter''', r –– Muskelbauch, r '''ventral''' (Adj./ Adv.) –– bauchseitig, bauchwärts, zum Bauch gehörend, den Bauch betreffend Ventriculus, r –– Magen, r Ventrikel [Pl.] –– Hirnkammern [Pl.] Ventrikel (Herz), s –– Herzkammer, e '''Verrucae''' [Pl.] –– Warzen [Pl.] '''vertebragen''' (Adj./Adv.) –– von der Wirbelsäule, e, ausgehend / wirbelsäulenbedingt (bei Erkrankungen) vertebral (Adj./Adv.) –– die Wirbel betreffend Vertigo, r –– Schwindel, r '''Vesica biliaris''', e –– Gallenblase, e Vesica urinaria, e –– Harnblase, e '''Vigilanz''', e –– Wachheit, e, Wachsamkeit, e, Daueraufmerksamkeit, e Viszera, e –– Eingeweide, s Vitiligo, e –– Weißfleckenkrankheit, e '''Volvulus''', r –– Darmverdrehung, Darmverschlingung Vulnus, r –– Wunde, e = X = Xerodermie, e –– Trockenheit, e, der Haut, e / Hauttrockenheit, e Xerostomie, e –– Mundtrockenheit, e = Z = Zenker Divertikel, s –– Ausstülpung der Speiseröhre, e zerebral (Adj./Adv.) –– zum Gehirn gehörend, das Gehirn betreffend Zervikalgie, e –– Nackenschmerz, r Zervix, e –– Gebärmutterhals, r Zervixkarzinom, e –– Gebärmutterhalskrebs, r ZNS, s –– Zentralnervensystem, s, zentrales Nervensystem, s Zöliakie, e –– Unverträglichkeit, e, von Gluten, s, Glutenunverträglichkeit, e Zoster, r –– Gürtelrose, e Zoster oticus, r –– Gürtelrose, e, am Ohr, s Zyanose, e –– Blaufärbung der Haut, e, (Lippen [Pl.], Zunge, e) zyanotisch (Adj./Adv.) –– bläulich verfärbt Zygote, e –– befruchtete Eizelle, e Zyklothymie, e –– Stimmungsschwankungen [Pl.] Zyste, e –– mit Flüssigkeit, e, gefüllter Gewebehohlraum, r Zystitis, e –– Blasenentzündung Zystoskopie, e –– Blasenspiegelung Zystostatika, e –– Zellwachstum, s, hemmende Medikamente [Pl.] / Medikamente zur Krebsbehandlung 8caa9zmjm74gnc1iji62ocjw0cuvyoo 106 162299 1078868 1075490 2026-05-07T11:08:34Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 1 - Beweis Korrollar */ 1078868 wikitext text/x-wiki == Kreisförmige Konvergenzbereiche == Die Konvergenzbereiche von [[Laurent-Reihe|Haupt- und Nebenteil der Laurent-Reihe]] sind im Wesentlichen Kreischeiben, wobei der Konvergenzbereiche für den Nebenteil die Punkte im Inneren einer Kreisscheibe und für den Hauptteil die Punkte außerhalb des Komplementes eine Kreisschreibe enthält und für diese Punkte Nebenteil bzw. Hauptteil absolut konvergent ist. === Kreisrand von Konvergenzbereichen === Für die Punkte auf dem Kreisrand kann es der Fall sein, dass der Hauptteil bzw. Nebenteil konvergiert oder divergiert. === Abelsches Lemma und Konvergenzbereiche=== Das Abelsche Lemma ist der zentral Satz in der Funktionentheorie, der die Konvergenz von Potenzreihen untersucht. Durch die Operation <math>h(z)=\frac{1}{z}</math> kann man die Aussage für Potenzreihen von dem Nebenteil auf den Hauptteil der [[Laurent-Reihe]] übertragen. Dabei wird die punktierte kreiförmige Umgebung <math>U_1:=D_r(z_o)\setminus \{z_0\}</math> auf das Komplement der Kreisscheibe <math>U_2:=\mathbb{C} \setminus \overline{D_{\frac{1}{r}}(z_o)} </math> bijektiv abgebildet. === Kreisringe als Konvergenzbereiche === Eine [[Laurent-Reihe]] konvergiert für ein <math>z\in \mathbb{C}</math>, wenn sowohl der Hauptteil als auch der Nebenteil für das <math>z</math> konvergiert. Mit dem Abelschen Lemma enthält der Konvergenzbereich einer [[Laurent-Reihe]] im Wesentliche aus dem Schnitt einer Kreisschreibe mit einem Komplement einer Kreisscheibe. Der Konvergenzbereich besteht ohne Berücksichtung der Ränder daher aus einem offenen Kreisring, wobei Punkte auf dem Rand des Kreisringes auch zum Konvergenzbereich der [[Laurent-Reihe]] gehören können. == Abelsches Lemma== Sei <math>z_0 \not= 0</math> und <math> f(z):= \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n </math> eine Potenzreihe, für die die Menge <math>\{ |a_n \cdot z_0^n| \, : \, n\in \mathbb{N}_0 \}</math> beschränkt ist, dann konvergiert die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> gleichmäßig auf jeder abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_R(0)} := \{z\in \mathbb{C} \, : \, |z|\leq R \} </math> mit <math>R < |z_0| </math>. == Beweis== Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Konvergenz der Reihe für <math> R > 0 </math> - Majorante geometrische Reihe. * Gleichmäßige Konvergenz auf der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_R(0)}</math>, * Abschätzung der Restsumme der Reihe * gleichmäßige Konvergenz und Partialsummen * Schlussfolgerung für den Konvergenzbereich === Beweischritt 1 - Abschätzung Majorante - geometrische Reihe === Durch <math>z_0 \not= 0 </math> und der Beschränktheit der Summenterme <math> |a_n \cdot z_0^n| \leq M</math> für alle <math> n\in \mathbb{N} </math> ergibt sich für jedes <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z|\leq R < |z_0| </math> ein geometrische Reihe als Majorante. :<math> \left| \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n \right| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \left| a_n \cdot z^n \right| \leq \sum_{n=0}^{\infty} \underbrace{\left| a_n \cdot z_0^n \right|}_{\leq M} \cdot \frac{\left| z^n \right| }{\left| z_0^n \right| } \leq M \cdot \sum_{n=0}^{\infty} {\underbrace{\left( \frac{R}{| z_0 |} \right)}_{=q < 1}}^n </math> === Beweischritt 2 - Konvergenz der Reihe für einen positiven Radius === Für jedes <math> R > 0 </math> mit <math> R < |z_0| </math> konvergiert die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot R^n </math> absolut. Dies bedeutet insbesondere, dass die Partialsummen <math> f_N(R) = \sum_{n=0}^{N} a_n R^n </math> eine konvergente Folge bilden. === Beweischritt 3 - Gleichmäßige Konvergenz für kleinere Radien === Um die gleichmäßige Konvergenz auf <math>\overline{D_R(0)}</math> zu zeigen, betrachtet man die Partialsummen <math> f_N(z) = \sum_{n=0}^{N} a_n \cdot z^n </math> für <math> z \in \mathbb{C} </math> mit <math> |z| \leq R </math> und bezeichnen die Potenzreihe mit <math>f(z):= \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n </math>. Zu zeigen ist nun die [[w:de:gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßige Konvergenz]] der Funktionenfolge <math>(f_N)_{N\in \mathbb{N}}</math> gegen <math> f</math>, d.h. :<math>\forall \varepsilon > 0 \ \exists N_o \in \mathbb{N} \ \forall x \in \overline{D_R(0)} \ \forall N \ge N_o : \quad \left|f_N(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> === Beweischritt 4 - Abschätzung der Restsumme der Potenzreihe === Für <math> z \in \mathbb{C} </math> mit <math> |z| \leq R </math> und <math> N < M </math> gilt: :<math> \left|f(z) - f_N(z) \right| = \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \cdot z^n \right| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot |z|^n \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> Da die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> konvergiert, wird der Restterm <math> \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> beliebig klein, wenn <math> N </math> groß genug gewählt wird. === Beweischritt 5 - Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummenfolge === Für gleichmäßige Konvergenz mussen man zeigen, dass für jedes <math> \epsilon > 0 </math> ein <math> N_\varepsilon </math> existiert, sodass für alle <math> N > N_\varepsilon </math> und alle <math> z \in \mathbb{C} </math> mit <math> |z| \leq R </math> gilt: :<math> |f(z) - f_N(z)| = \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n \cdot z^n \right| < \epsilon </math> === Beweischritt 6 - Gleichmäßige Konvergenz der Partialsummenfolge === Sei nun <math> N_\varepsilon </math> mit der Konvergenz von <math> \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| \cdot R^n </math> so gewählt, dass die folgende Ungleichung gilt: <math> \sum_{n=N_\varepsilon+1}^{\infty} |a_n| \cdot R^n < \epsilon </math> gilt. Dann erhält man für <math> N\geq N_\epsilon </math>: :<math> |f(z) - f_N(z)| \leq \sum_{n=N+1}^{\infty} \left| a_n \right| \cdot \left| z^n \right| \leq \sum_{n=N_\varepsilon+1}^{\infty} \left| a_n \right| \cdot \underbrace{ \left| z^n \right| }_{ \leq R^n } < \epsilon </math> === Beweischritt 7 - Schlussfolgerung === Da die Bedingung des Cauchy-Kriteriums erfüllt ist, konvergiert die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> gleichmäßig auf <math>z \in \overline{D_R(0)}</math>. == Korrollar - Divergenz == Sei <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> eine Potenzreihe und <math> r > 0 </math>. Wenn die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n r^n </math> divergiert, dann ist die Reihe <math> \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> für alle <math>z \in \mathbb{C}</math> mit <math>|z| > r</math> nicht absolut konvergent. === Aufgabe 1 - Beweis Korrollar === Führen Sie den Beweis für das Korrollar durch Widerspruch über die Anwendung des Abelschen Lemmas. === Aufgabe 2 - Hauptteil Laurent-Reihe === Sei <math> f(z) := \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n </math> eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius <math> R </math>, die für ein <math>z\in \mathbb{C}</math> mit <math>|z| = R</math> absolut konvergiert. Zeigen Sie, dass die darstellende Reihe der folgenden Funktion <math>g:= f\circ h</math> mit <math>h(z)=\frac{1}{z}</math> auf <math>U:=\mathbb{C} \setminus D_{\frac{1}{R}}(0) </math> absolut konvergiert. <!-- '''Bemerkung:''' Erläutern Sie, warum in dem oben genannten Fall alle Punkte auf dem Rand des Konvergenzbereiches konvergieren. --> == Siehe auch == * [[kreisförmige Menge]] * [[Lokale Entwicklung in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|Beispiele für Potenzreihenentwicklungen]] * [[Potenzreihenalgebra]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n5w3jfmv91qyk3n75byfvr57vj6vfry 108 166886 1078840 1065719 2026-05-07T07:52:09Z Jeb 26942 Beiträge 1078840 wikitext text/x-wiki {{In Arbeit}} {{Projektdaten |PROJEKTTITEL=''Call for Edits nearby: Open archives metadata from Saxony'' |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]], SLUB Dresden, [https://scholia.toolforge.org/author/Q56880673 (Q56880673)] |LAUFZEIT=2025–... |ZUSAMMENARBEIT=Martin Munke [https://scholia.toolforge.org/author/Q28024172 (Q28024172)] |KURZBESCHREIBUNG=Saxorum: Call ''Wie Archive von Geokoordinaten in Wikidata profitieren'', https://saxorum.hypotheses.org/12360 |BILD= |KEINEAUTOKATEGORIE=1 }} == Queries == ; Weltkarte (Auswahl ''map'' & Play-Button): https://w.wiki/7zt9 & Ergebnis '''https://w.wiki/7zwE''' {{SPARQL|query= #------------------------------------------- #title: "archiviert" in Item with geocoords, archives at (P485) #------------------------------------------- #defaultView:Map{"hide":"?coords"} SELECT ?item ?itemLabel (CONCAT("Bestand: ", STR(?bestandID)) as ?bestand) ?image ?coords WHERE { ?item wdt:P485 ?archive. # Property:P485 archives at irgendwo ?item wdt:P625 ?coords. # hole Koordinaten aus den Items OPTIONAL { ?item p:P485 [ pq:P217 ?bestandID ]. } # hole optional Bestand ID aus Qualifier OPTIONAL { ?item wdt:P18 ?image. } # hole optional ein Bild der Einrichtung SERVICE wikibase:label { bd:serviceParam wikibase:language "[AUTO_LANGUAGE],en". } } }} ; Quickstatements * 2.11.2024: https://editgroups.toolforge.org/b/QSv2T/1730553641028/edits/ & https://editgroups.toolforge.org/b/QSv2T/1730551456806/edits/ * Februar: Archiv-Ids, https://editgroups.toolforge.org/b/QSv2T/1740149199440/edits/ + neue Objekte, https://editgroups.toolforge.org/b/QSv2T/1739730531977/edits/ * Adressen am 25. 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Januar 2026, https://doi.org/10.5334/johd.430, in ''Journal of Humanities Data (JOHD)'': ''[https://openhumanitiesdata.metajnl.com/en/collections/wikidata_across_the_humanities Wikidata Across the Humanities: Datasets, Methodologies, Reuse]'' ; Abstract ''Wikidata is including data from municipal archives, state archives and other sectors: metadata from archival records, archive creators, on provenance and the archives themselves. The metadata of German archives in Wikidata has improved massively since winter 2024/25. Users added archive Qids (the unique identifier for Wikidata items), linked new identifiers, geo data and other information. We are asking in a call of the web portal SAXORUM for blog posts, reports, ideas and queries for 'Wikidata, Geo Data and Archives' since January, https://saxorum.hypotheses.org/12360. We will discuss 'nearby' perspectives in regional use cases in Saxony, regarding archival institutions nearby in Poland, Czech Republic and nearby Bundesländer. Nearby, meaning geographically adjacent institutions, regions and its open metadata. We demonstrate that indexing of archives in Wikidata can foster cooperation and networking among memory institutions.'' ; Übersicht [[d:Wikidata:WikiProject Germany/Archivwesen]] == Beiträge == * Max Grund: ''Archivale georeferenzieren. Ein Praxisbericht aus dem Projekt DigiHistDB'', Coding Oberpfalz, 14. Oktober 2025, https://oberpfalz.hypotheses.org/411 * Alexander Winkler: ''Nachlassinformationen aus Kalliope für Wikidata erschließen'', Saxorum, 5. Mai 2026, https://saxorum.hypotheses.org/15723 == Quellen == * Wolfgang Hans Stein: Inventar von Quellen zur deutschen Geschichte in Pariser Archiven und Bibliotheken. Band 2: Archive im Bereich des Verteidigungsministeriums, Archive des Außen- und Finanzministeriums, Stadtpariser Archive und Bibliotheken, Koblenz (Verlag der Landesarchivverwaltung Rheinland-Pfalz) 2002, Veröffentlichungen der Landesarchivverwaltung Rheinland-Pfalz, Bd. 97 (Instrumenta, 5), https://perspectivia.net//publikationen/instrumenta/stein_inventar * Siwecka, D. (2021). Awareness of Linked Open Data Among the Employees of Polish Libraries, Archives, and Museums. Results of a Survey – Pilot Study. ZIN. Studia Informacyjne/Information Studies, 59(2), 7–25, https://doi.org/10.36702/zin.826. * Siwecka, D. (2025). Linked Open Data (and Wikidata) Awareness in Polish LAM Sector – Survey (Early) Results. WikiCite 2025. August 30. https://w.wiki/Fmaw. == Galerie == <gallery> WC2025 Siwecka.pdf|Dorota Siwecka: ''[[meta:Abstracts#Linked_Open_Data_awareness_in_Polish_LAM_sector_–_Survey_Results|Linked Open Data awareness in Polish LAM sector – Survey Results]]'', WikiCite 2025 </gallery> [[Kategorie:Open GLAM]] nf1gir43edjvtgq5wgx0bveiy8qabxw 0 168226 1078884 1076229 2026-05-07T11:58:43Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078884 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Satz von Morera bildet zusammen mit dem [[Cauchy-Integralsatz]] ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], der eine hinreichende Bedingung für die Holomorphie einer Funktion liefert. Er ist damit eine Art Umkehrung des [[Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatzes]]. Als [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] erhält man damit eine äquivalente Eigenschaft zur [[Holomorphie]]. :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> == Satz von Morera == Sei <math> f: G \to \mathbb{C} </math> eine [[Stetigkeit|stetige]] Funktion auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>. Wenn für jeden geschlossenen Weg <math> \gamma </math> in <math> D </math> gilt, dass :<math> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0, </math> dann ist <math> f </math> holomorph auf <math> G </math><ref>Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2010). Complex analysis (Vol. 2). p. 53, Princeton University Press.</ref>. == Beweis des Satzes von Morera == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweisschritte * Stetigkeit und Differenzierbarkeit * Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes * Konstruktion einer Stammfunktion * Differenzierbarkeit von <math> F </math> liefert Holomorphie von <math> f </math> === Beweisschritt 1 - Voraussetzungen=== * <math> f: G \to \mathbb{C} </math> ist stetig. * <math> G </math> ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet. * Für jeden geschlossenen Weg <math> \gamma </math> in <math> G </math> gilt <math> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 </math>. === Beweisschritt 2 - Stetigkeit und Differenzierbarkeit=== Zu zeigen ist nun, dass <math> f: G \to \mathbb{C} </math> holomorph auf ganz <math> G </math> ist. Da <math> f </math> [[Stetigkeit|stetig]] ist, muss man für jeden Punkt <math> z_0 \in G </math> zeigen, dass <math> f </math> in <math> z_0 \in G </math> komplex differenzierbar ist, d.h. :<math> f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} </math> existiert. === Beweisschritt 3 - Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes=== Der [[Cauchy-Integralsatz]] besagt, dass für eine holomorphe Funktion <math> g </math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math> G </math> und jeden geschlossenen Weg <math> \gamma </math> in <math> G </math> gilt: :<math> \oint_{\gamma} g(z) \, dz = 0. </math> Da <math> f </math> die Bedingung des Satzes von Morera erfüllt, gilt <math> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 </math> für jeden geschlossenen Weg <math> \gamma </math> in <math> G </math>. === Beweisschritt 4 - Konstruktion einer Stammfunktion=== Man definiert nun die Funktion <math> F: G \to \mathbb{C} </math> als [[Wegintegral]] von dem festen Punkt <math>z_o\in G</math> zu einem beliebigen Punkt <math>z\in G</math>. :<math> F(z) = \int_{\gamma_z} f(\xi) \, d\xi, </math> wobei <math> \gamma_z : [a,b]\to G </math> ein zu <math> z\in G</math> gewählter [[Integrationsweg]], dessen Spur vollständig in <math> G </math> liegt. === Beweisschritt 5 - Wohldefiniertheit der Stammfunktion=== Betrachtet man einen weiteren Weg <math>\widetilde{\gamma_z}:[a,b]\to G</math> mit <math>\widetilde{\gamma_z}(a)=z_o </math> und <math>\widetilde{\gamma_z}(b)=z </math>. Dann ist <math> \gamma := \gamma_z - \widetilde{\gamma_z}</math> Da <math> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 </math> für jeden geschlossenen Weg <math> \gamma </math> in <math> G </math> gilt, ist <math> F </math> wohldefiniert und unabhängig vom speziellen Weg von <math> z_0 </math> nach <math> z </math>. <span id="Stammfunktion"></span> === Beweisschritt 6 - Differenzierbarkeit des Wegintegrals === Man zeigt dann, dass <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math> für alle <math> z \in D </math>. * Sei <math> z \in D </math> und <math> h \in \mathbb{C} </math> mit <math> |h| </math> klein genug, sodass <math> z + h \in D </math>. Dann gilt: :<math> \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_{z_0}^{z + h} f(\zeta) \, d\zeta - \int_{z_0}^{z} f(\zeta) \, d\zeta \right) = \frac{1}{h} \int_{z}^{z + h} f(\zeta) \, d\zeta. </math> * Da <math> f </math> stetig ist, gilt: <math> \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{z}^{z + h} f(\zeta) \, d\zeta = f(z). </math> Also ist <math> F </math> differenzierbar und <math> F'(z) = f(z) </math>. (siehe auch ausführlichere Darstellung des oben definierten Wegintegrals als Stammfunktion) === Beweisschritt 7 - Holomorphie von <math> f </math>=== * Da <math> F </math> differenzierbar ist und <math> F'(z) = f(z) </math>, ist <math> f </math> die Ableitung einer holomorphen Funktion <math> F </math>. * Da die Ableitung einer holomorphen Funktion selbst holomorph ist, ist <math> f </math> holomorph auf <math> D </math>. Insgesamt wurde gezeigt, dass eine [[Stetigkeit|stetige]] Funktion <math> f </math> auf einem [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebiet <math> G </math>, die die Bedingung des Satzes von Morera erfüllt, dann auch holomorph auf <math> G </math> ist. Der Beweis verwendet die Konstruktion einer Stammfunktion <math> F </math> und die Differenzierbarkeit von <math> F </math>, um die [[Holomorphie]] von <math> f </math> zu zeigen. == Literaturquellen == <references/> == Siehe auch == * [[Cauchy-Integralsatz]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[einfach zusammenhängend]] * [[Holomorphie]] * [[Stetigkeit]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Satz%20von%20Morera https://de.wikiversity.org/wiki/Satz%20von%20Morera] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Satz%20von%20Morera Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Satz%20von%20Morera * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cayv8shramb1nog9fhlyf3alyfrzmx3 106 168584 1078805 1078391 2026-05-06T15:47:06Z Cookietogo97 35924 Neuer Abschnitt /* Frage zur Schreibweise der Kanonische Projektion aus Vorlesung 11 */ 1078805 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Navigation}} {{Intro-Forum}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> == Frage zu Definition 7.8 == Hallo, der folgende Satz unter Definition 7.8 im Skript verwirrt mich ein wenig: "Man vermeide Formulierungen wie, dass a die Zahl b teilt, wenn bei der Division von b durch a kein Rest bleibt oder dass der Bruch b/a ganzzahlig ist. " Warum genau sollte man das nicht so sagen? Ich hätte eher gedacht, dass man diese Formulierungen vermeiden sollte eben wenn ein Rest bleiben würde, bzw. wenn b/a nicht ganzzahlig ist. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 21. Apr. 2026 (CEST) :Der Punkt ist, dass man einfache Beziehungen nicht durch komplizierte Bedingungen/Konstruktionen definieren sollte. Teilbarkeit ist eine Beziehung, für deren Definition man weder die Division mit Rest noch Brüche braucht.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:16, 21. Apr. 2026 (CEST) ::Jetzt hab ich's verstanden. Danke sehr :) [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:52, 23. Apr. 2026 (CEST) == Ordnungen Vorlesung 7 == Hallo, beim lesen von Vorlesung 7 ist mir die Frage aufgekommen ob es möglich ist mehrere Ordnungen auf der selben Menge zu definieren die sich nicht Widersprechen. Intuitiv dache ich mir zuerst die Antwort wäre nein. Nach ein wenig Überlegung denke ich jedoch es wäre abhängig von der Beschaffenheit der Menge möglich. Etwa bei Mengen aus Tupeln. Liege ich damit richtig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:37, 23. Apr. 2026 (CEST) :Auf einer Menge kann man verschiedene Ordnungen definieren, man denke an eine endliche Menge. (Ebenso kann man auf einer Menge verschiedene Monoidstrukturen definieren.) Entscheidend ist, dass eine geordnete Menge beides ist, eine Menge und eine fixierte Ordnung. Wenn man zwei Ordnungen auf einer Menge vergleichen möchte, so geht es beispielsweise um die Frage, ob die Identität {{mathl|term= (M, \leq_1) \rightarrow (M, \leq_2) |SZ=}} ordnungstreu ist. In diesem Fall ist {{math|term= \leq_2 |SZ=}} eine Verfeinerung der ersten Ordnung. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 08:16, 24. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Definition 7.17 == Hallo, in Definition 7.17 wird die zweite Menge mit der Ordnung ≤ definiert, im zweiten Satz wird sie jedoch als ≥ verwendet. Ich könnte es überlesen haben, aber darf man davon ausgehen, dass immer wenn das eine definiert ist, dass andere es auch ist, so wie es hier impliziert ist? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:49, 23. Apr. 2026 (CEST) :das ist die Definition von monoton fallend, da ändert sich die Richtung. In der Tat, statt {{math|term= a \leq b |SZ=}} schreibt man auch {{math|term= b \geq a |SZ=.}} [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 07:58, 24. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Schreibweisen von Vergleichsrelationen in Vorlesungen 7,8,9 == Hallo, mir ist aufgefallen, dass an vielen stellen in den obenstehenden Vorlesungen an Stellen wo "echt kleiner" oder "echt größer" gemeint ist die Schreibweise "a ≠ b, a ≤ b" verwendet wird, anstelle von < und >. Ist das so weil < und > vorher nicht formal eingeführt wurden? Wenn es so ist, warum wurde dann an einer stelle doch < verwendet? MfG Lars [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:32, 28. Apr. 2026 (CEST) :hab diese Schreibweise jetzt auch eingeführt. An vielen Stellen sind beide Schreibweisen gleichermaßen möglich, da bitte nichts überinterpretieren. Tendenziell würde ch sagen: Im allgemeinen Kontext wie bei Definitionen bevorzugt man das eigentliche Relationssymbol, in konkreten Fällen wie bei der Division mit Rest ist aber < eine sinnvolle Abkürzung.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 21:20, 28. Apr. 2026 (CEST) == Frage zur Schreibweise der Kanonische Projektion aus Vorlesung 11 == Hallo, in Definition 11.11 wird die Kanonische Projektion definiert als <math>q_R{:} ...</math>, und in Lemma 11.12 wird das R, bzw. im Lemma währe es <math>\sim</math> weggelassen. Ist die Angabe der Relation im Index von <math>q</math> im allgemeinen optional und nur bei eventueller Mehrdeutigkeit notwendig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 17:47, 6. Mai 2026 (CEST) driuale0lk0kb4h506p0xst2vapmdji 1078806 1078805 2026-05-06T15:47:24Z Cookietogo97 35924 /* Frage zur Schreibweise der Kanonische Projektion aus Vorlesung 11 */ 1078806 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Navigation}} {{Intro-Forum}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> == Frage zu Definition 7.8 == Hallo, der folgende Satz unter Definition 7.8 im Skript verwirrt mich ein wenig: "Man vermeide Formulierungen wie, dass a die Zahl b teilt, wenn bei der Division von b durch a kein Rest bleibt oder dass der Bruch b/a ganzzahlig ist. " Warum genau sollte man das nicht so sagen? Ich hätte eher gedacht, dass man diese Formulierungen vermeiden sollte eben wenn ein Rest bleiben würde, bzw. wenn b/a nicht ganzzahlig ist. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 21. Apr. 2026 (CEST) :Der Punkt ist, dass man einfache Beziehungen nicht durch komplizierte Bedingungen/Konstruktionen definieren sollte. Teilbarkeit ist eine Beziehung, für deren Definition man weder die Division mit Rest noch Brüche braucht.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:16, 21. Apr. 2026 (CEST) ::Jetzt hab ich's verstanden. Danke sehr :) [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:52, 23. Apr. 2026 (CEST) == Ordnungen Vorlesung 7 == Hallo, beim lesen von Vorlesung 7 ist mir die Frage aufgekommen ob es möglich ist mehrere Ordnungen auf der selben Menge zu definieren die sich nicht Widersprechen. Intuitiv dache ich mir zuerst die Antwort wäre nein. Nach ein wenig Überlegung denke ich jedoch es wäre abhängig von der Beschaffenheit der Menge möglich. Etwa bei Mengen aus Tupeln. Liege ich damit richtig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:37, 23. Apr. 2026 (CEST) :Auf einer Menge kann man verschiedene Ordnungen definieren, man denke an eine endliche Menge. (Ebenso kann man auf einer Menge verschiedene Monoidstrukturen definieren.) Entscheidend ist, dass eine geordnete Menge beides ist, eine Menge und eine fixierte Ordnung. Wenn man zwei Ordnungen auf einer Menge vergleichen möchte, so geht es beispielsweise um die Frage, ob die Identität {{mathl|term= (M, \leq_1) \rightarrow (M, \leq_2) |SZ=}} ordnungstreu ist. In diesem Fall ist {{math|term= \leq_2 |SZ=}} eine Verfeinerung der ersten Ordnung. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 08:16, 24. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Definition 7.17 == Hallo, in Definition 7.17 wird die zweite Menge mit der Ordnung ≤ definiert, im zweiten Satz wird sie jedoch als ≥ verwendet. Ich könnte es überlesen haben, aber darf man davon ausgehen, dass immer wenn das eine definiert ist, dass andere es auch ist, so wie es hier impliziert ist? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:49, 23. Apr. 2026 (CEST) :das ist die Definition von monoton fallend, da ändert sich die Richtung. In der Tat, statt {{math|term= a \leq b |SZ=}} schreibt man auch {{math|term= b \geq a |SZ=.}} [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 07:58, 24. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Schreibweisen von Vergleichsrelationen in Vorlesungen 7,8,9 == Hallo, mir ist aufgefallen, dass an vielen stellen in den obenstehenden Vorlesungen an Stellen wo "echt kleiner" oder "echt größer" gemeint ist die Schreibweise "a ≠ b, a ≤ b" verwendet wird, anstelle von < und >. Ist das so weil < und > vorher nicht formal eingeführt wurden? Wenn es so ist, warum wurde dann an einer stelle doch < verwendet? MfG Lars [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:32, 28. Apr. 2026 (CEST) :hab diese Schreibweise jetzt auch eingeführt. An vielen Stellen sind beide Schreibweisen gleichermaßen möglich, da bitte nichts überinterpretieren. Tendenziell würde ch sagen: Im allgemeinen Kontext wie bei Definitionen bevorzugt man das eigentliche Relationssymbol, in konkreten Fällen wie bei der Division mit Rest ist aber < eine sinnvolle Abkürzung.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 21:20, 28. Apr. 2026 (CEST) == Frage zur Schreibweise der kanonischen Projektion aus Vorlesung 11 == Hallo, in Definition 11.11 wird die Kanonische Projektion definiert als <math>q_R{:} ...</math>, und in Lemma 11.12 wird das R, bzw. im Lemma währe es <math>\sim</math> weggelassen. Ist die Angabe der Relation im Index von <math>q</math> im allgemeinen optional und nur bei eventueller Mehrdeutigkeit notwendig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 17:47, 6. Mai 2026 (CEST) cski0p95c0evn6nv1k90hj11riud0iw 1078821 1078806 2026-05-06T17:03:33Z Bocardodarapti 2041 /* Frage zur Schreibweise der kanonischen Projektion aus Vorlesung 11 */ 1078821 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Navigation}} {{Intro-Forum}} <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> == Frage zu Definition 7.8 == Hallo, der folgende Satz unter Definition 7.8 im Skript verwirrt mich ein wenig: "Man vermeide Formulierungen wie, dass a die Zahl b teilt, wenn bei der Division von b durch a kein Rest bleibt oder dass der Bruch b/a ganzzahlig ist. " Warum genau sollte man das nicht so sagen? Ich hätte eher gedacht, dass man diese Formulierungen vermeiden sollte eben wenn ein Rest bleiben würde, bzw. wenn b/a nicht ganzzahlig ist. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 21. Apr. 2026 (CEST) :Der Punkt ist, dass man einfache Beziehungen nicht durch komplizierte Bedingungen/Konstruktionen definieren sollte. Teilbarkeit ist eine Beziehung, für deren Definition man weder die Division mit Rest noch Brüche braucht.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 18:16, 21. Apr. 2026 (CEST) ::Jetzt hab ich's verstanden. Danke sehr :) [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:52, 23. Apr. 2026 (CEST) == Ordnungen Vorlesung 7 == Hallo, beim lesen von Vorlesung 7 ist mir die Frage aufgekommen ob es möglich ist mehrere Ordnungen auf der selben Menge zu definieren die sich nicht Widersprechen. Intuitiv dache ich mir zuerst die Antwort wäre nein. Nach ein wenig Überlegung denke ich jedoch es wäre abhängig von der Beschaffenheit der Menge möglich. Etwa bei Mengen aus Tupeln. Liege ich damit richtig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:37, 23. Apr. 2026 (CEST) :Auf einer Menge kann man verschiedene Ordnungen definieren, man denke an eine endliche Menge. (Ebenso kann man auf einer Menge verschiedene Monoidstrukturen definieren.) Entscheidend ist, dass eine geordnete Menge beides ist, eine Menge und eine fixierte Ordnung. Wenn man zwei Ordnungen auf einer Menge vergleichen möchte, so geht es beispielsweise um die Frage, ob die Identität {{mathl|term= (M, \leq_1) \rightarrow (M, \leq_2) |SZ=}} ordnungstreu ist. In diesem Fall ist {{math|term= \leq_2 |SZ=}} eine Verfeinerung der ersten Ordnung. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 08:16, 24. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Definition 7.17 == Hallo, in Definition 7.17 wird die zweite Menge mit der Ordnung ≤ definiert, im zweiten Satz wird sie jedoch als ≥ verwendet. Ich könnte es überlesen haben, aber darf man davon ausgehen, dass immer wenn das eine definiert ist, dass andere es auch ist, so wie es hier impliziert ist? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:49, 23. Apr. 2026 (CEST) :das ist die Definition von monoton fallend, da ändert sich die Richtung. In der Tat, statt {{math|term= a \leq b |SZ=}} schreibt man auch {{math|term= b \geq a |SZ=.}} [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 07:58, 24. Apr. 2026 (CEST) == Frage zu Schreibweisen von Vergleichsrelationen in Vorlesungen 7,8,9 == Hallo, mir ist aufgefallen, dass an vielen stellen in den obenstehenden Vorlesungen an Stellen wo "echt kleiner" oder "echt größer" gemeint ist die Schreibweise "a ≠ b, a ≤ b" verwendet wird, anstelle von < und >. Ist das so weil < und > vorher nicht formal eingeführt wurden? Wenn es so ist, warum wurde dann an einer stelle doch < verwendet? MfG Lars [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 19:32, 28. Apr. 2026 (CEST) :hab diese Schreibweise jetzt auch eingeführt. An vielen Stellen sind beide Schreibweisen gleichermaßen möglich, da bitte nichts überinterpretieren. Tendenziell würde ch sagen: Im allgemeinen Kontext wie bei Definitionen bevorzugt man das eigentliche Relationssymbol, in konkreten Fällen wie bei der Division mit Rest ist aber < eine sinnvolle Abkürzung.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 21:20, 28. Apr. 2026 (CEST) == Frage zur Schreibweise der kanonischen Projektion aus Vorlesung 11 == Hallo, in Definition 11.11 wird die Kanonische Projektion definiert als <math>q_R{:} ...</math>, und in Lemma 11.12 wird das R, bzw. im Lemma währe es <math>\sim</math> weggelassen. Ist die Angabe der Relation im Index von <math>q</math> im allgemeinen optional und nur bei eventueller Mehrdeutigkeit notwendig? [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 17:47, 6. Mai 2026 (CEST) :ja, genau so. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 19:03, 6. Mai 2026 (CEST) edj969dcr1tdxt2jy9nr1233jewqs5d 106 170056 1078785 1078335 2026-05-06T13:55:16Z Bocardodarapti 2041 1078785 wikitext text/x-wiki {{Deckblatt |Blatt1=7 |von1=25 |bis1=30 |Blatt2=8 |von2=36 |bis2=42 |}} [[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]] 9fk20vfu8suit532ggqnkg0tj6rdr38 0 170237 1078797 1078042 2026-05-06T15:26:44Z C.Koltzenburg 13981 1078797 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Diabetesfragen|Anamnesefragen bei Diabetes-Patienten]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' (15-20 Minuten) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive ANKI BaWü (fett markiert)''' (5 Minuten) * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt q68clywfgm7pidv5wtosi4dfc8osuf8 1078842 1078797 2026-05-07T08:28:32Z C.Koltzenburg 13981 1078842 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Redemittel|Redemittel: wie auf Aussagen oder Fragen von Patient*innen reagieren]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Diabetesfragen|Anamnesefragen bei Diabetes-Patienten]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' (15-20 Minuten) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive ANKI BaWü (fett markiert)''' (5 Minuten) * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt tcq0lvlglumxdsxfaojeosa0rwqnuyx 1078843 1078842 2026-05-07T08:28:47Z C.Koltzenburg 13981 1078843 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Redemittel|Redemittel: wie auf Aussagen oder Fragen von Patient*innen reagieren?]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Diabetesfragen|Anamnesefragen bei Diabetes-Patienten]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' (15-20 Minuten) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive ANKI BaWü (fett markiert)''' (5 Minuten) * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt lbyvvhgai612s9bj1p187hdof7ulw4o 1078846 1078843 2026-05-07T08:53:22Z C.Koltzenburg 13981 1078846 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Eröffnung|Beispiele für Eröffnungssätze beim Anamnesegespräch]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Redemittel|Redemittel: wie auf Aussagen oder Fragen von Patient*innen reagieren?]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Diabetesfragen|Anamnesefragen bei Diabetes-Patienten]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' (15-20 Minuten) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive ANKI BaWü (fett markiert)''' (5 Minuten) * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt 9wwf78qd8rnt044f1121gcobflvkxz9 1078876 1078846 2026-05-07T11:24:20Z C.Koltzenburg 13981 1078876 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Eröffnung|Beispiele für Eröffnungssätze beim Anamnesegespräch]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/ Redemittel|Redemittel: wie auf Aussagen oder Fragen von Patient*innen reagieren?]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Diabetesfragen|Anamnesefragen bei Diabetes-Patienten]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' (15-20 Minuten) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive ANKI BaWü (fett markiert)''' (5 Minuten) * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt ep6s6mlg8ojw8a2122t37n0bu0b33ds 106 170301 1078852 1078752 2026-05-07T09:45:30Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegral über Vierecke]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke]]: konsistente Titel - Plural 1078752 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 \cdot (1- t_2) + (z_3-z_4) \cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] 0c6gr61ez46gyopbnlqtm2vkjpv3dug 1078854 1078852 2026-05-07T09:53:32Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078854 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 \cdot (1- t_2) + (z_3-z_4) \cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] 7h0buqhh73rkqkkdo0gix41uvyrsw4a 1078855 1078854 2026-05-07T09:57:37Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen */ 1078855 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2)\cdot \bigg((1-t_1)\cdot z_1 + t_1\cdot z_2\bigg) + t_2 \cdot \bigg((1-t_1)\cdot z_4 + t_3\cdot z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] 101omdfqchafqgzo9cg9njj918w9cov 1078856 1078855 2026-05-07T09:58:11Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen */ 1078856 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2)\cdot \bigg((1-t_1)\cdot z_1 + t_1\cdot z_2\bigg) + t_2 \cdot \bigg((1-t_1)\cdot z_4 + t_3\cdot z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] hmg1eaxhrcs21eejzbi7cb4hjfquc1y 1078857 1078856 2026-05-07T09:59:13Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen */ 1078857 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_3z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Rechteck <math>R:= [a_1,b_1]+i\cdot [a_2,b_2]</math> mit <math>R\subset G</math> durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_R} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2):=t_1 + i\cdot t_2</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_R}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_R}(t_1,t_2)</math> ist für die [[orientierte Fläche]] nach <math>t_1</math> ist mit <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_1}(t_1,t_2) = 1 </math> konstant. === Beweisschritt 2 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Rechteck <math>R\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i </math> ist ebenfalls konstant. === Beweisschritt 3 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>R\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 4 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_R}}{dt_2}(t_1,t_2) = i</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_R}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 - \int_{a_2}^{b_2} \!\!\!\! F\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \cdot i \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 5 - Eckpunkt des Rechtecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Rechtecke <math>R</math> aus. Damit erhält man: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(b_1,a_2)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,b_2)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(a_1,a_2)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,b_2)}_{=:z_{4}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(b_1,a_2)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,b_2)}_{=:z_{2}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_R}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>R</math>: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] lv7q9wsduj3mfm50dqoiz9ue7b20f3g 1078859 1078857 2026-05-07T10:48:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Lemma für Viereckintegrale */ 1078859 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_3z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_2z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] 71nnf0eivm2j2reoax41i32amon5cga 1078860 1078859 2026-05-07T10:50:20Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078860 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_3z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_2z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(a_1,a_2)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] bd5c222pmt0myinslsbqwabzufqunca 1078861 1078860 2026-05-07T11:00:16Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks */ 1078861 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_3z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_2z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] oq1setguhxols299xqmyftwppqyj1wr 1078862 1078861 2026-05-07T11:01:42Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078862 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_3z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_2z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] 5wqbju5qf37h7fhca6pxt4as4nmrxut 1078863 1078862 2026-05-07T11:02:00Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion */ 1078863 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_3z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_2z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] h901x3js3rp9nj2fllsgppj2lx314xj 1078864 1078863 2026-05-07T11:05:04Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen */ 1078864 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_3z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] === Viereck als Konvexkombination von Konvexkombinationen === In der obigen Animation ist zu erkennen, dass das Viereck als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombination auf den Seiten <math>\langle z_1, z_2 \rangle</math> und <math>\langle z_4, z_3 \rangle</math> gebildet wurde. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_2z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] fofdbbk4yz7cs71awwt3jggysuzi6yu 1078865 1078864 2026-05-07T11:06:13Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078865 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_3z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] === Viereck als Konvexkombination von Konvexkombinationen === In der obigen Animation ist zu erkennen, dass das Viereck als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombination auf den Seiten <math>\langle z_1, z_2 \rangle</math> und <math>\langle z_4, z_3 \rangle</math> gebildet wurde. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_2z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale_%C3%BCber_Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale_%C3%BCber_Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale_%C3%BCber_Vierecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale_%C3%BCber_Vierecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale_%C3%BCber_Vierecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale_%C3%BCber_Vierecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale_%C3%BCber_Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 8ty66gmv7xy0zkdvcepzseqfzoczfmf 1078866 1078865 2026-05-07T11:06:54Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1078866 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_3z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] === Viereck als Konvexkombination von Konvexkombinationen === In der obigen Animation ist zu erkennen, dass das Viereck als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombination auf den Seiten <math>\langle z_1, z_2 \rangle</math> und <math>\langle z_4, z_3 \rangle</math> gebildet wurde. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_2z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] awn5pgg50u585wtsa7w56khkgmubbhy 0 170306 1078808 2026-05-06T15:58:56Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078808 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. q7h3wgt2cqp5w8ycczx9bs5xnrnqdib 1078809 1078808 2026-05-06T15:59:50Z Bert Niehaus 20843 /* Stellenwertsysteme in Schule */ 1078809 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] gp7fvpqby70i3bo58evssufdtlvba4u 1078811 1078809 2026-05-06T16:02:17Z Bert Niehaus 20843 /* Stellenwertsysteme in Schule */ 1078811 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. === Anzahl von Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] 10g8eog9smtfq891peuzbj2ldikkb75 1078813 1078811 2026-05-06T16:13:29Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078813 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. === Anzahl von Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] 8j0845imuuaxxohkg3byjk37eacgsi0 1078814 1078813 2026-05-06T16:14:00Z Bert Niehaus 20843 /* Anzahl von Nachkommastellen */ 1078814 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] 7w8g4hgi2jzmvn2l6v9mc2zvkh3c71m 1078815 1078814 2026-05-06T16:26:34Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078815 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] cx7wikaq07fj5f3i2zsly6f8fms1e4y 1078816 1078815 2026-05-06T16:33:26Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078816 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]] bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] ohvouug9ok46y2kbdpz696uvgzoicjp 1078817 1078816 2026-05-06T16:50:32Z Bert Niehaus 20843 /* Teilbarkeitsregel */ 1078817 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]] bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] sb4s2pd3u34gftwtbf0jgm3p38ww4fd 1078818 1078817 2026-05-06T16:55:14Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Dezimalsystem */ 1078818 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]] bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] d4wji9vngweabupq96u55d08o5tvb6t 1078819 1078818 2026-05-06T16:57:26Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078819 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]] bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 6tgpsdfyvpua7hdv4ljrs0rrnv6rtu7 1078822 1078819 2026-05-06T17:06:15Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078822 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]] bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{_5}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{_5} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{_5} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] rdz1mye10yvvt12g7611lbg8udfndpk 1078824 1078822 2026-05-06T17:06:49Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078824 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]] bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{_5}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{_5} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{_5} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 5uud5zpczfkywh5vxhx1ddh0o6vjvh0 1078826 1078824 2026-05-06T17:13:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - periodische Zahlen */ 1078826 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]] bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ciu9hasndhzuf4mvubqwxkqdsyhvz1u 1078827 1078826 2026-05-06T17:14:18Z Bert Niehaus 20843 /* Teilbarkeitsregel */ 1078827 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] pbs4ears2atqr2aodi6y0ab4ose2hgu 1078829 1078827 2026-05-07T06:21:36Z Bert Niehaus 20843 /* Periodische - endliche b-adische Entwicklung */ 1078829 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römisches Zahlsystem|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] h3umofwnqp66jt0bb580kfhz0ihruzv 1078830 1078829 2026-05-07T06:22:22Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078830 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römisches Zahlsystem|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römisches Zahlsystem|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] gf08xamh71art8rgli3qy353fkf68r0 1078832 1078830 2026-05-07T06:27:06Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[B-adische Stellenwertsystem]] nach [[B-adische Stellenwertsysteme]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: Typo - konsistente Formulierung 1078830 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römisches Zahlsystem|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römisches Zahlsystem|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] gf08xamh71art8rgli3qy353fkf68r0 1078833 1078832 2026-05-07T06:29:01Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 - Peano-Axiome */ 1078833 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römisches Zahlsystem|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] a0a5zjgy5dzyqd4sykxf8umdek2w8ae 1078834 1078833 2026-05-07T06:29:20Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078834 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in {0,1,\ldots , b-1}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] iosnxqdbl46ioe76gwnlzpcfvoj1729 1078835 1078834 2026-05-07T06:36:56Z Bert Niehaus 20843 /* Ganze Zahlen */ 1078835 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 2zqaxlwy30neksgc3j5nkqbepixdpgm 1078836 1078835 2026-05-07T06:47:49Z Bert Niehaus 20843 /* Periodische - endliche b-adische Entwicklung */ 1078836 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Endliche Anzahl von Nachkommastellen === Zahlen einer endliche Anzahl von Nachkommastellen kann man als [[w:de:Laurent-Polynom|Laurent-Polynom]] <math>P(b)=\sum_{k=-m}^n z_k\cdot b^k</math> mit <math>m,n\in \mathbb{N}_0</math> auffassen, wobei <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> wieder die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. ==== Hauptteil - Nebenteil ==== Analog zur [[Laurent-Reihe]] bezeichnet man * '''(Nebenteil - ganzzahlige Teil)''' die Summe der Summanden mit nicht-negativem Exponenten als Nebenteil <math>P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> und * '''(Hauptteil - Nachkommastellen)''' die Summe der Summanden mit negativem Exponenten als Hauptteil <math>P_{k < 0}(b)=\sum_{k=-m}^{-1} z_k\cdot b^k</math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 7dte9jz7d8wfgpqfrki9bo9v5gkwnhs 1078844 1078836 2026-05-07T08:41:19Z Bert Niehaus 20843 /* Hauptteil - Nebenteil */ 1078844 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Endliche Anzahl von Nachkommastellen === Zahlen einer endliche Anzahl von Nachkommastellen kann man als [[w:de:Laurent-Polynom|Laurent-Polynom]] <math>P(b)=\sum_{k=-m}^n z_k\cdot b^k</math> mit <math>m,n\in \mathbb{N}_0</math> auffassen, wobei <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> wieder die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. ==== Hauptteil - Nebenteil ==== Analog zur [[Laurent-Reihe]] bezeichnet man * '''(Nebenteil - ganzzahlige Teil)''' die Summe der Summanden mit nicht-negativem Exponenten als Nebenteil <math>P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> und * '''(Hauptteil - Nachkommastellen)''' die Summe der Summanden mit negativem Exponenten als Hauptteil <math>P_{k < 0}(b)=\sum_{k=-m}^{-1} z_k\cdot b^k</math> ==== Konvergenz - Laurent-Reihe ==== Eine [[Laurent-Reihe]] konvergiert, wenn der Haupteil- und Nebenteil beide konvergieren. Beim Nebenteil folgt aus der Konvergenz, dass es eine Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}</math> geben muss, ab der alle Ziffern <math>z_k=0</math> sein müssen, da ansonsten mit <math>z_{k_i}\geq 1</math> für abzählbar viele <math>i \in \mathbb{N}</math> der Nebenteil divergiert. Ansonsten gilt nämlich: :<math> P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^{+\infty} z_k\cdot b^k \geq \sum_{i=0}^{+\infty} \underbrace{z_{k_i}\cdot b^{k_i}}_{\geq 1} = +\infty</math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 603zanktoat8p6cq20on1eurqs2q2lt 1078845 1078844 2026-05-07T08:51:12Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 - Peano-Axiome */ 1078845 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Endliche Anzahl von Nachkommastellen === Zahlen einer endliche Anzahl von Nachkommastellen kann man als [[w:de:Laurent-Polynom|Laurent-Polynom]] <math>P(b)=\sum_{k=-m}^n z_k\cdot b^k</math> mit <math>m,n\in \mathbb{N}_0</math> auffassen, wobei <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> wieder die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. ==== Hauptteil - Nebenteil ==== Analog zur [[Laurent-Reihe]] bezeichnet man * '''(Nebenteil - ganzzahlige Teil)''' die Summe der Summanden mit nicht-negativem Exponenten als Nebenteil <math>P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> und * '''(Hauptteil - Nachkommastellen)''' die Summe der Summanden mit negativem Exponenten als Hauptteil <math>P_{k < 0}(b)=\sum_{k=-m}^{-1} z_k\cdot b^k</math> ==== Konvergenz - Laurent-Reihe ==== Eine [[Laurent-Reihe]] konvergiert, wenn der Haupteil- und Nebenteil beide konvergieren. Beim Nebenteil folgt aus der Konvergenz, dass es eine Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}</math> geben muss, ab der alle Ziffern <math>z_k=0</math> sein müssen, da ansonsten mit <math>z_{k_i}\geq 1</math> für abzählbar viele <math>i \in \mathbb{N}</math> der Nebenteil divergiert. Ansonsten gilt nämlich: :<math> P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^{+\infty} z_k\cdot b^k \geq \sum_{i=0}^{+\infty} \underbrace{z_{k_i}\cdot b^{k_i}}_{\geq 1} = +\infty</math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? === Aufgabe 3 - Verknüfungstafeln === Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für die Addition und Multiplikation im 7er-System und berechnen Sie dann die folgende Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im 7er-System ohne Umrechnung in das Dezimalsystem: * <math> 14563_{_7} + 3635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> <math> 1456,3_{_7} - 36,35_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} \cdot 35_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> <math> 563_{_7} \cdot 100_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 10_{_7} : 6_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> <math> 563_{_7} : 100_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 42mw6pyswnx2reth014o7snezgisobn 1078847 1078845 2026-05-07T09:01:37Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 3 - Verknüfungstafeln */ 1078847 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Endliche Anzahl von Nachkommastellen === Zahlen einer endliche Anzahl von Nachkommastellen kann man als [[w:de:Laurent-Polynom|Laurent-Polynom]] <math>P(b)=\sum_{k=-m}^n z_k\cdot b^k</math> mit <math>m,n\in \mathbb{N}_0</math> auffassen, wobei <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> wieder die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. ==== Hauptteil - Nebenteil ==== Analog zur [[Laurent-Reihe]] bezeichnet man * '''(Nebenteil - ganzzahlige Teil)''' die Summe der Summanden mit nicht-negativem Exponenten als Nebenteil <math>P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> und * '''(Hauptteil - Nachkommastellen)''' die Summe der Summanden mit negativem Exponenten als Hauptteil <math>P_{k < 0}(b)=\sum_{k=-m}^{-1} z_k\cdot b^k</math> ==== Konvergenz - Laurent-Reihe ==== Eine [[Laurent-Reihe]] konvergiert, wenn der Haupteil- und Nebenteil beide konvergieren. Beim Nebenteil folgt aus der Konvergenz, dass es eine Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}</math> geben muss, ab der alle Ziffern <math>z_k=0</math> sein müssen, da ansonsten mit <math>z_{k_i}\geq 1</math> für abzählbar viele <math>i \in \mathbb{N}</math> der Nebenteil divergiert. Ansonsten gilt nämlich: :<math> P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^{+\infty} z_k\cdot b^k \geq \sum_{i=0}^{+\infty} \underbrace{z_{k_i}\cdot b^{k_i}}_{\geq 1} = +\infty</math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? === Aufgabe 3 - Verknüfungstafeln === Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für die Addition und Multiplikation im 7er-System und berechnen Sie dann die folgende Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im 7er-System ohne Umrechnung in das Dezimalsystem. ==== Aufgaben 3.1 - Addition ==== * <math> 14563_{_7} + 3000_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 64563_{_7} + 2104_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 14563_{_7} + 3635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 145,\!63_{_7} + 3,\!635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.2 - Subtraktion ==== * <math> 14563_{_7} - 3635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 1456,3_{_7} - 36,35_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} - \frac{1_{_{7}}}{4_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} - \frac{1_{_{7}}}{5_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.3 - Multiplikation ==== * <math> 563_{_7} \cdot 35_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} \cdot 100_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} \cdot \frac{1_{_{7}}}{10_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} \cdot \frac{1_{_{7}}}{5_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.4 - Division ==== * <math> 10_{_7} : 6_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} : 100_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} : 0,\!001_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{5}}}{4_{_{5}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] mdw47m6ssbtq3e7vh5ks7gxuwmzteka 1078848 1078847 2026-05-07T09:31:33Z Bert Niehaus 20843 /* Teilbarkeitsregel */ 1078848 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Endliche Anzahl von Nachkommastellen === Zahlen einer endliche Anzahl von Nachkommastellen kann man als [[w:de:Laurent-Polynom|Laurent-Polynom]] <math>P(b)=\sum_{k=-m}^n z_k\cdot b^k</math> mit <math>m,n\in \mathbb{N}_0</math> auffassen, wobei <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> wieder die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. ==== Hauptteil - Nebenteil ==== Analog zur [[Laurent-Reihe]] bezeichnet man * '''(Nebenteil - ganzzahlige Teil)''' die Summe der Summanden mit nicht-negativem Exponenten als Nebenteil <math>P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> und * '''(Hauptteil - Nachkommastellen)''' die Summe der Summanden mit negativem Exponenten als Hauptteil <math>P_{k < 0}(b)=\sum_{k=-m}^{-1} z_k\cdot b^k</math> ==== Konvergenz - Laurent-Reihe ==== Eine [[Laurent-Reihe]] konvergiert, wenn der Haupteil- und Nebenteil beide konvergieren. Beim Nebenteil folgt aus der Konvergenz, dass es eine Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}</math> geben muss, ab der alle Ziffern <math>z_k=0</math> sein müssen, da ansonsten mit <math>z_{k_i}\geq 1</math> für abzählbar viele <math>i \in \mathbb{N}</math> der Nebenteil divergiert. Ansonsten gilt nämlich: :<math> P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^{+\infty} z_k\cdot b^k \geq \sum_{i=0}^{+\infty} \underbrace{z_{k_i}\cdot b^{k_i}}_{\geq 1} = +\infty</math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? === Aufgabe 3 - Verknüfungstafeln === Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für die Addition und Multiplikation im 7er-System und berechnen Sie dann die folgende Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im 7er-System ohne Umrechnung in das Dezimalsystem. ==== Aufgaben 3.1 - Addition ==== * <math> 14563_{_7} + 3000_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 64563_{_7} + 2104_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 14563_{_7} + 3635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 145,\!63_{_7} + 3,\!635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.2 - Subtraktion ==== * <math> 14563_{_7} - 3635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 1456,3_{_7} - 36,35_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} - \frac{1_{_{7}}}{4_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} - \frac{1_{_{7}}}{5_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.3 - Multiplikation ==== * <math> 563_{_7} \cdot 35_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} \cdot 100_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} \cdot \frac{1_{_{7}}}{10_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} \cdot \frac{1_{_{7}}}{5_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.4 - Division ==== * <math> 10_{_7} : 6_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} : 100_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} : 0,\!001_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{5}}}{4_{_{5}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> == Brüche und Stellenwertsysteme == Brüche sind alternative Zahldarstellung zu der Darstellung im <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem. In den beiden folgenden Abschnitten werden die Umrechnungen: * Bruch in <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem und * <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem in Bruch bei endlicher Anzahl von Nachkommastellen oder mit periodischer Darstellung behandelt. === Bruch in b-adische Darstellung === Für die Umrechnung von Brüchen <math>\tfrac{a_1}{a_2}</math> in das <math>b</math>-adische Stellenwertsystem führt man die Division <math>a_1:a_2</math> durch, bis entweder der Rest 0 auftritt oder eine Periode bei der Division durch <math>a_2</math> auftritt. Ein Periode muss auftreten, da bei der Division durch <math>a_2</math> nur endlich viele Reste <math>0,1, \ldots ,(a_2-1)</math> auftreten können. Damit kann die Periodenlänge maximal <math>(a_2-1)</math> Stellen lang sein. Im Dezimalsystem hat <math>\tfrac{1}{7}</math> die Periodenlänge 6. === b-adische Darstellung in Bruch === Man unterscheidet nun eine * endliche Anzahl von Nachkommastellen, * periodische <math>b</math>-adische Entwicklung. ==== endliche Anzahl von Nachkommastellen ==== Bei endlicher Anzahl von Nachkommastellen erweitert man die <math>b</math>-adische Zahldarstellung entsprechend der Anzahl der Nachkommastellen mit der entsprechenden Bündelungseinheit: :<math> 12,\!346_{_7} = \frac{12346_{_7}}{1000_{_7}} </math> ==== periodische Nachkommastellen ==== Bei periodischen Nachkommastellen kann man das algebraisch über <math>b</math>-adische Zahldarstellung berechnet. Im Kern verwendet man das Prinzip der geometrischen Reihe, um entsprechend Zähler und Nenner des zugehörigen Bruchs zu bestimmen: :<math> \begin{array}{crcl} & 1000_{_7}\cdot x &=&346,\overline{\!346}_{_7} \\ - & x &=&0,\overline{\!346}_{_7} \\ \hline & 666_{_7}\cdot x & = & 346_{_7} \end{array} </math> Damit erhält <math>x= \tfrac{346_{_7}}{666_{_7}}= 0,\overline{\!346}_{_7}</math> als Bruchdarstellung im 7er-System. ==== periodische Nachkommastellen 2 ==== Allgemeiner kann man mit den beiden obigen Methoden die Nachkommastellen wie folgt zunächst als Summe von Brüchen und nach Addition dann als einen Bruch darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} 123,\!4\,\overline{246}_{_7} &=&123,\!4 +0,\!0\overline{246}_{_7} \\ & = & \frac{1234_{_7}}{10_{_7}} + \frac{246_{_7}}{6660_{_7}} = \frac{1234_{_7}\cdot 666_{_7} + 246_{_7}}{6660_{_7}} \end{array} </math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] sb7328ww4uqnairrdjp74k3rhrayk2v 1078849 1078848 2026-05-07T09:34:44Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078849 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Endliche Anzahl von Nachkommastellen === Zahlen einer endliche Anzahl von Nachkommastellen kann man als [[w:de:Laurent-Polynom|Laurent-Polynom]] <math>P(b)=\sum_{k=-m}^n z_k\cdot b^k</math> mit <math>m,n\in \mathbb{N}_0</math> auffassen, wobei <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> wieder die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. ==== Hauptteil - Nebenteil ==== Analog zur [[Laurent-Reihe]] bezeichnet man * '''(Nebenteil - ganzzahlige Teil)''' die Summe der Summanden mit nicht-negativem Exponenten als Nebenteil <math>P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> und * '''(Hauptteil - Nachkommastellen)''' die Summe der Summanden mit negativem Exponenten als Hauptteil <math>P_{k < 0}(b)=\sum_{k=-m}^{-1} z_k\cdot b^k</math> ==== Konvergenz - Laurent-Reihe ==== Eine [[Laurent-Reihe]] konvergiert, wenn der Haupteil- und Nebenteil beide konvergieren. Beim Nebenteil folgt aus der Konvergenz, dass es eine Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}</math> geben muss, ab der alle Ziffern <math>z_k=0</math> sein müssen, da ansonsten mit <math>z_{k_i}\geq 1</math> für abzählbar viele <math>i \in \mathbb{N}</math> der Nebenteil divergiert. Ansonsten gilt nämlich: :<math> P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^{+\infty} z_k\cdot b^k \geq \sum_{i=0}^{+\infty} \underbrace{z_{k_i}\cdot b^{k_i}}_{\geq 1} = +\infty</math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? === Aufgabe 3 - Verknüfungstafeln === Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für die Addition und Multiplikation im 7er-System und berechnen Sie dann die folgende Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im 7er-System ohne Umrechnung in das Dezimalsystem. ==== Aufgaben 3.1 - Addition ==== * <math> 14563_{_7} + 3000_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 64563_{_7} + 2104_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 14563_{_7} + 3635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 145,\!63_{_7} + 3,\!635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.2 - Subtraktion ==== * <math> 14563_{_7} - 3635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 1456,3_{_7} - 36,35_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} - \frac{1_{_{7}}}{4_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} - \frac{1_{_{7}}}{5_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.3 - Multiplikation ==== * <math> 563_{_7} \cdot 35_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} \cdot 100_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} \cdot \frac{1_{_{7}}}{10_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} \cdot \frac{1_{_{7}}}{5_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.4 - Division ==== * <math> 10_{_7} : 6_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} : 100_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} : 0,\!001_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{5}}}{4_{_{5}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> == Brüche und Stellenwertsysteme == Brüche sind alternative Zahldarstellung zu der Darstellung im <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem. In den beiden folgenden Abschnitten werden die Umrechnungen: * Bruch in <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem und * <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem in Bruch bei endlicher Anzahl von Nachkommastellen oder mit periodischer Darstellung behandelt. === Bruch in b-adische Darstellung === Für die Umrechnung von Brüchen <math>\tfrac{a_1}{a_2}</math> in das <math>b</math>-adische Stellenwertsystem führt man die Division <math>a_1:a_2</math> durch, bis entweder der Rest 0 auftritt oder eine Periode bei der Division durch <math>a_2</math> auftritt. Ein Periode muss auftreten, da bei der Division durch <math>a_2</math> nur endlich viele Reste <math>0,1, \ldots ,(a_2-1)</math> auftreten können. Damit kann die Periodenlänge maximal <math>(a_2-1)</math> Stellen lang sein. Im Dezimalsystem hat <math>\tfrac{1}{7}</math> die Periodenlänge 6. === b-adische Darstellung in Bruch === Man unterscheidet nun eine * endliche Anzahl von Nachkommastellen, * periodische <math>b</math>-adische Entwicklung. ==== endliche Anzahl von Nachkommastellen ==== Bei endlicher Anzahl von Nachkommastellen erweitert man die <math>b</math>-adische Zahldarstellung entsprechend der Anzahl der Nachkommastellen mit der entsprechenden Bündelungseinheit: :<math> 12,\!346_{_7} = \frac{12346_{_7}}{1000_{_7}} </math> ==== periodische Nachkommastellen ==== Bei periodischen Nachkommastellen kann man das algebraisch über <math>b</math>-adische Zahldarstellung berechnet. Im Kern verwendet man das Prinzip der geometrischen Reihe, um entsprechend Zähler und Nenner des zugehörigen Bruchs zu bestimmen: :<math> \begin{array}{crcl} & 1000_{_7}\cdot x &=&346,\overline{\!346}_{_7} \\ - & x &=&0,\overline{\!346}_{_7} \\ \hline & 666_{_7}\cdot x & = & 346_{_7} \end{array} </math> Damit erhält <math>x= \tfrac{346_{_7}}{666_{_7}}= 0,\overline{\!346}_{_7}</math> als Bruchdarstellung im 7er-System. ==== periodische Nachkommastellen 2 ==== Allgemeiner kann man mit den beiden obigen Methoden die Nachkommastellen wie folgt zunächst als Summe von Brüchen und nach Addition dann als einen Bruch darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} 123,\!4\,\overline{246}_{_7} &=&123,\!4 +0,\!0\overline{246}_{_7} \\ & = & \frac{1234_{_7}}{10_{_7}} + \frac{246_{_7}}{6660_{_7}} = \frac{1234_{_7}\cdot 666_{_7} + 246_{_7}}{6660_{_7}} \end{array} </math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] k0es9zkzr5vfy1oy2ityesvfrlylpxu 1078850 1078849 2026-05-07T09:42:04Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1078850 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei <math>b</math>-adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch <math>b</math> die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste <math>0,1,...,9</math>. Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen <math>b^n</math> der Basis <math>b \in \mathbb{N}</math> mit <math>b > 1</math> und <math>n\in \mathbb{Z}</math>. === Stellenwert === Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt: : ''Stellenwert = Ziffernwert <math> \cdot </math> Wert der Bündelungseinheit'' === Stellenwertsysteme in Schule === Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen. == Ganze Zahlen == Ganze Zahlen kann man als Polynome <math>P(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> auffassen, wobei die <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. === Dezimalsystem === Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen: :<math> 7\cdot 10^2 + 3\cdot 10^1 + 5\cdot 10^0 </math> === Binäres Zahlsystem === Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl <math>35=35_{_{10}}</math> im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> == Nachkommastellen == Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen <math>\mathbb{Z}</math> auf <math>\mathbb{Q}</math> zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in <math>b</math>-adischen Zahlsystemen übertragen. === Nachkommastellen im Dezimalsystem === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und === Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen === Wenn man die Stellenwerttafel in <math>b</math>-adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten <math>b^{-n}</math> * <math>b^{-1}</math> analog zu Zenteln <math>\tfrac{1}{10}=10^{-1}</math> * <math>b^{-2}</math> analog zu Hundertsteln <math>\tfrac{1}{100}=10^{-2}</math> * <math>b^{-3}</math> analog zu Tausendsteln <math>\tfrac{1}{1000}=10^{-3}</math> * ... === Periodische - endliche b-adische Entwicklung === Ob in eine rationale Zahl <math>\tfrac{a}{b}\in \mathbb{Q}</math> im <math>b</math>-adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis <math>b</math> ab. Die Zahl <math>x=\tfrac{1}{3}</math> hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{_3} = 0,\overline{3}_{_{10}} </math> === Endliche Anzahl von Nachkommastellen === Zahlen einer endliche Anzahl von Nachkommastellen kann man als [[w:de:Laurent-Polynom|Laurent-Polynom]] <math>P(b)=\sum_{k=-m}^n z_k\cdot b^k</math> mit <math>m,n\in \mathbb{N}_0</math> auffassen, wobei <math>z_k\in \{0,1,\ldots , b-1\}</math> wieder die Ziffern darstellen und <math>b^k</math> den Wert der Bündelungseinheit. ==== Hauptteil - Nebenteil ==== Analog zur [[Laurent-Reihe]] bezeichnet man * '''(Nebenteil - ganzzahlige Teil)''' die Summe der Summanden mit nicht-negativem Exponenten als Nebenteil <math>P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^n z_k\cdot b^k</math> und * '''(Hauptteil - Nachkommastellen)''' die Summe der Summanden mit negativem Exponenten als Hauptteil <math>P_{k < 0}(b)=\sum_{k=-m}^{-1} z_k\cdot b^k</math> ==== Konvergenz - Laurent-Reihe ==== Eine [[Laurent-Reihe]] konvergiert, wenn der Haupteil- und Nebenteil beide konvergieren. Beim Nebenteil folgt aus der Konvergenz, dass es eine Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}</math> geben muss, ab der alle Ziffern <math>z_k=0</math> sein müssen, da ansonsten mit <math>z_{k_i}\geq 1</math> für abzählbar viele <math>i \in \mathbb{N}</math> der Nebenteil divergiert. Ansonsten gilt nämlich: :<math> P_{k\geq 0}(b)=\sum_{k=0}^{+\infty} z_k\cdot b^k \geq \sum_{i=0}^{+\infty} \underbrace{z_{k_i}\cdot b^{k_i}}_{\geq 1} = +\infty</math> == Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen == Das Rechnen in <math>b</math>-Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben: * '''(Fachdidaktik Primarstufe)''' Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen. * '''(Fachdidaktik Sekundarstufe)''' Über die Analyse der Rechenoperation in anderen <math>b</math>-adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren. * '''(Algebra und Zahlentheorie)''' <math>b</math>-adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie. === Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System === Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis <math>30_{_7}</math>! :<math>1_{_7},2_{_7},3_{_7},4_{_7},5_{_7},6_{_7},10_{_7},11_{_7},...</math> Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen! === Aufgabe 2 - Peano-Axiome === Welche Bedeutung haben mathematisch die [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] mit alternierender 5er-2er-Bündelung)? === Aufgabe 3 - Verknüfungstafeln === Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für die Addition und Multiplikation im 7er-System und berechnen Sie dann die folgende Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im 7er-System ohne Umrechnung in das Dezimalsystem. ==== Aufgaben 3.1 - Addition ==== * <math> 14563_{_7} + 3000_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 64563_{_7} + 2104_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 14563_{_7} + 3635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 145,\!63_{_7} + 3,\!635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.2 - Subtraktion ==== * <math> 14563_{_7} - 3635_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 1456,3_{_7} - 36,35_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} - \frac{1_{_{7}}}{4_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} - \frac{1_{_{7}}}{5_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.3 - Multiplikation ==== * <math> 563_{_7} \cdot 35_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} \cdot 100_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} \cdot \frac{1_{_{7}}}{10_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{7}}}{4_{_{7}}} \cdot \frac{1_{_{7}}}{5_{_{7}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> ==== Aufgaben 3.4 - Division ==== * <math> 10_{_7} : 6_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} : 100_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> 563_{_7} : 0,\!001_{_7} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> * <math> \frac{3_{_{5}}}{4_{_{5}}} = \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_7}</math> == Brüche und Stellenwertsysteme == Brüche sind alternative Zahldarstellung zu der Darstellung im <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem. In den beiden folgenden Abschnitten werden die Umrechnungen: * Bruch in <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem und * <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem in Bruch bei endlicher Anzahl von Nachkommastellen oder mit periodischer Darstellung behandelt. === Bruch in b-adische Darstellung === Für die Umrechnung von Brüchen <math>\tfrac{a_1}{a_2}</math> in das <math>b</math>-adische Stellenwertsystem führt man die Division <math>a_1:a_2</math> durch, bis entweder der Rest 0 auftritt oder eine Periode bei der Division durch <math>a_2</math> auftritt. Ein Periode muss auftreten, da bei der Division durch <math>a_2</math> nur endlich viele Reste <math>0,1, \ldots ,(a_2-1)</math> auftreten können. Damit kann die Periodenlänge maximal <math>(a_2-1)</math> Stellen lang sein. Im Dezimalsystem hat <math>\tfrac{1}{7}</math> die Periodenlänge 6. === b-adische Darstellung in Bruch === Man unterscheidet nun eine * endliche Anzahl von Nachkommastellen, * periodische <math>b</math>-adische Entwicklung. ==== endliche Anzahl von Nachkommastellen ==== Bei endlicher Anzahl von Nachkommastellen erweitert man die <math>b</math>-adische Zahldarstellung entsprechend der Anzahl der Nachkommastellen mit der entsprechenden Bündelungseinheit: :<math> 12,\!346_{_7} = \frac{12346_{_7}}{1000_{_7}} </math> ==== periodische Nachkommastellen ==== Bei periodischen Nachkommastellen kann man das algebraisch über <math>b</math>-adische Zahldarstellung berechnet. Im Kern verwendet man das Prinzip der geometrischen Reihe, um entsprechend Zähler und Nenner des zugehörigen Bruchs zu bestimmen: :<math> \begin{array}{crcl} & 1000_{_7}\cdot x &=&346,\overline{\!346}_{_7} \\ - & x &=&0,\overline{\!346}_{_7} \\ \hline & 666_{_7}\cdot x & = & 346_{_7} \end{array} </math> Damit erhält <math>x= \tfrac{346_{_7}}{666_{_7}}= 0,\overline{\!346}_{_7}</math> als Bruchdarstellung im 7er-System. ==== periodische Nachkommastellen 2 ==== Allgemeiner kann man mit den beiden obigen Methoden die Nachkommastellen wie folgt zunächst als Summe von Brüchen und nach Addition dann als einen Bruch darstellen: :<math> \begin{array}{rcl} 123,\!4\,\overline{246}_{_7} &=&123,\!4 +0,\!0\overline{246}_{_7} \\ & = & \frac{1234_{_7}}{10_{_7}} + \frac{246_{_7}}{6660_{_7}} = \frac{1234_{_7}\cdot 666_{_7} + 246_{_7}}{6660_{_7}} \end{array} </math> == Teilbarkeitsregel == Aus der Schule sich i.d.R. [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln]]<ref name="komma">Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2</ref> bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen. === Definition - Gewichtete Quersumme === Hat <math>x\in \mathbb{N}</math> die folgende Darstellung im <math>b</math>-adischen System : <math>x = \sum_{i=0}^n z_i \cdot b^i </math> und ist <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0}\in\mathbb{Z}^{\mathbb{N}_0}</math> eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe <math>Q(x)</math> die gewichtete Quersumme von <math>x</math> :<math>Q(x) := \sum_{i=0}^n q_i \cdot z_i </math> === Teilbarkeitsregeln === Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. <math>a\in\mathbb{N}</math> wählt man für <math>q_i</math> ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit <math>q_i = b^i \mathrm{ mod } \,\, a</math>. === Beispiel - Dezimalsystem === Bei der Division durch 9 gilt <math>1 = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 9</math> und man erhält die klassische Quersummenregel mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := (1)_{i \in\mathbb{N}_0}</math>. Bei der Division durch 11 erhält man <math>(-1)^i = 10^i \,\,\mathrm{ mod } \,\, 11</math> und man erhält eine alternierende Quersumme mit <math>(q_i)_{i\in\mathbb{N}_0} := \big((-1)^i\big)_{i \in\mathbb{N}_0}</math> === Aufgaben - Teilbarkeitsregeln === * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an! * Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an! * Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. <math>a=2^i\cdot 5^j</math> von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab? == Laurent-Reihen == Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten. === b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine [[Laurent-Reihe]] beliebigen Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>x_o\in \mathbb{C}</math> und der folgenden Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für <math>b</math>-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=b=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=b=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die <math>b</math>-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{5} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{10} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{_p} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{_5} = 0{,}\!\overline{13}_{_5} = 0{,}131313\dots_{_5} </math> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Laurent-Reihe]] * [[p-adische Zahlsysteme]] * [[w:de:Peano-Axiome|Peano-Axiome]] * [[Potenzreihe]] * [[w:de:römische Zahlschrift|römisches Zahlsystem]] * [[w:de:Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_im_Dezimalsystem|Teilbarkeitsregeln im Dezimalsytem]] === Kurse === * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsysteme&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsysteme&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Algebra Kurs:Algebra]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsystem] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/b-adische%20Stellenwertsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsysteme&author=Kurs:Algebra&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] rkx28m2x8rwkypw59zyf3kb267i1x5l 1 170307 1078812 2026-05-06T16:03:22Z Cookietogo97 35924 Neuer Abschnitt /* Klarifikation von q */ 1078812 wikitext text/x-wiki == Klarifikation von q == Ich denke es wäre gut, wenn in dem Lemma erwähnt werden würde was q ist. Ich gehe zwar davon aus, dass q die kanonische Projektion ist, da diese im Skript vorher mit q bezeichnet wird, jedoch ist dies, wenn man nur dieses Lemma vor sich hat, nicht so klar. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 6. Mai 2026 (CEST) q8fqejrmjkp9c92mshp1eed586h0lsx 1078825 1078812 2026-05-06T17:07:08Z Bocardodarapti 2041 /* Klarifikation von q */ 1078825 wikitext text/x-wiki == Klarifikation von q == Ich denke es wäre gut, wenn in dem Lemma erwähnt werden würde was q ist. Ich gehe zwar davon aus, dass q die kanonische Projektion ist, da diese im Skript vorher mit q bezeichnet wird, jedoch ist dies, wenn man nur dieses Lemma vor sich hat, nicht so klar. [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 18:03, 6. Mai 2026 (CEST) :Danke, ist eingefügt. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 19:07, 6. Mai 2026 (CEST) qoplpzky2hvqndl6ca8xxr744947a3c 3 170308 1078828 2026-05-06T17:17:57Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1078828 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=S.wai.s.jai.s.wai.s.jai.s.w.l.w.r.w.s.jai.s.wai.s.jai.s.wai.s}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 19:17, 6. Mai 2026 (CEST) nhnvxg5q69uqi4qfhqk23gcbuncggx7 106 170309 1078853 2026-05-07T09:45:30Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegral über Vierecke]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke]]: konsistente Titel - Plural 1078853 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke]] 4bwi5wzydex3830mv3ji8fxuv8i8wbd 0 170310 1078869 2026-05-07T11:17:26Z C.Koltzenburg 13981 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078869 wikitext text/x-wiki == Verständnisprobleme == Wie bitte? <br /> Nochmal, bitte? <br /> Würden Sie bitte etwas lauter und langsamer sprechen, sodass ich alles gut verstehen kann? Könnten Sie es bitte wiederholen? <br /> Könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? <br /> Könnten Sie bitte etwas deutlicher sprechen? Wie meinen Sie das? <br /> Was meinen Sie damit? <br /> Beschreiben Sie das bitte mal (genauer)? <br /> Könnten Sie es vielleicht anders ausdrücken / formulieren? <br /> Dürfte ich es mal wiederholen, um sicher zu sein, dass ich es richtig verstanden habe: ... == Um Hochdeutsch bitten == Herr x/ Frau y, könnten Sie bitte Hochdeutsch (mit mir) sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich würde gern alles richtig verstehen, was Sie berichten, habe aber noch nicht genügend schwäbische Freunde, um richtig gut Schwäbisch zu können. Könnten Sie mir bitte helfen und eher Hochdeutsch sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich finde, dass Dialekte wichtig sind, denn ich spreche selbst Dialekt, muss Sie aber richtig verstehen können und Schwäbisch fällt mir noch etwas schwer. Könnten Sie bitte Hochdeutsch mit mir sprechen? == langsamer, bitte == Frau x ..., es ist alles wichtig, was Sie sagen, aber ich möchte mir Notizen machen, könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? Denn sonst muss ich Sie zu oft unterbrechen, was ich nicht gern tue. == weniger, bitte == Herr x ..., ich kann verstehen, dass Sie | gestresst sind <br /> | viel zu berichten haben <br /> , aber ich verstehe Sie besser, wenn Sie etwas langsamer sprechen. Und dann kann ich mir auch alles Wichtige notieren. Frau x ..., könnten wir bitte Schritt für Schritt vorgehen? [Pat. ungehalten sein lassen, 1 Minute reden lassen] <br /> Herr x ..., Sie kommen doch, weil Sie Beschwerden haben. Ich würde gern zu Ihren Beschwerden kommen. == es nicht wiederholen, bitte == Pat. sagt etwas zwei Mal "Ja, das habe ich mir schon notiert." <br /> [Sie haben versehentlich eine Frage zwei Mal gestellt] <br /> "Ach ja, richtig, das hatte ich mir schon notiert. == Empathie zeigen == ?? Allein zu Haus Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie Hilfe (im Alltag) brauchen? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie nicht alles erledigen allein können? (-) Pat.: Bitte helfen Sie mir. Ärztin: Es ist gut, dass Sie zu uns gekommen sind. Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Sie sind bei uns in guten Händen. Wir tun alles, damit es Ihnen bald wieder besser geht. (nicht in Onko!!!) | Keine Sorge... | Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Machen Sie sich nicht so viele Sorgen, das wird schon wieder. Das kann leider vorkommen. Ich hoffe, dass es (ihr) bald wieder besser geht. Verstehe! | Das kann ich verstehen. | Das kann ich mir vorstellen. Das kann ich gut verstehen, Frau / Herr ... | So etwas ist stressig. |So ein Kribbeln kann sehr unangenehm sein. Pat. reagiere auf wiederholte Fragen verärgert „Ich frage nochmal Herr/Frau X, um sicherzugehen. Ich möchte alles richtig notieren." | Ich möchte mir wirklich alles genau notieren, um sicherzustellen, dass ich nichts Wichtiges übersehe" | Herr/ Frau "X" , manchmal kann es helfen, die Dinge noch einmal durchzugehen, um ganz sicher zu sein. (+) Oh, gut zu hören! Das wäre gut für Ihre Gesundheit. | Das ist gut für Ihre Gesundheit (Pat. sagt dass er nicht Raucht) | Ja, das ist eine wichtige Vorsorge (Pat. berichtet, dass regelmäßig zum Frauenarzt geht) Das kann sein. "meine Freundin hatte das auch" [C2 PS] Ja, das kann vorkommen. Aber so etwas kann bei jedem anders sein. | Wenn (/Falls) es bei Ihrer Freundin schlecht war und lange nicht besser wurde, heißt das nicht, dass es bei Ihnen auch so kommen muss. Nehmen Sie die folgende Frage bitte nicht persönlich. Das ist eine Routinefrage. (Pat.: Da war schonmal so ein Anzeichen. --> Nachfragen (?)) Ich frage es bei Ihrem Hausarzt nach. Onko-Empathie schlechte Nachrichten überbringen Ich kann Ihre Sorgen gut verstehen und deshalb werde ich jetzt ein paar Untersuchungen durchführen, damit wir die Ursachen Ihrer Beschwerden herausfinden. Beispieldialog Fall Jochen Meier Sie haben die ersten Befunde vorliegen und sagen zum Patienten: Herr Meier, leider scheint es bei Ihnen etwas Ernstes zu sein. Pat: [sagt nichts, schaut wie versteinert, hat Angst vor dem nächsten Satz] Ich möchte Ihnen unsere Untersuchungsergebnisse erklären: Leider haben Ihre Beschwerden mit einer Geschwulst zu tun. Pat: "Sie meinen: Krebs? Ich habe also einen Tumor?" Höchstwahrscheinlich ja. [bricht in Tränen aus, weint] Pat: "Oh jeh! Aber Frau braucht mich doch, und mein Junge!" [weinen lassen] Bitte beruhigen Sie sich. Ich kann Ihre Angst gut nachempfinden... Sicherlich braucht Ihre Familie Sie. [wird ganz pragmatisch] Pat: "Wie lange habe ich noch?" Das können wir Ihnen leider noch nicht genau sagen. Wir brauchen noch eine Gewebeprobe, damit wir es genauer wissen, also: wie weit der Krebs fortgeschritten ist und was wir (für Sie) tun können. Wir tun alles, was möglich ist. Pat: "Muss ich operiert werden?" Das wissen wir noch nicht genau. Aber es könnte sein, dass Sie danach eine bessere Prognose haben. Pat: "Was soll mit meinem Jungen werden? Der ist doch erst 16? Und wenn meine Frau die Leukämie jetzt auch nicht überlebt, ist er Waise (hat er keine Eltern mehr)." Bei Angst: Pat: "Habe ich Krebs?" Arzt: "Dazu kann ich leider noch nichts Genaues sagen, denn wir brauchen noch einige Untersuchungen. Danach wissen wir mehr." "Ihre Beschwerden können verschiedene Ursachen haben. Das finden wir noch heraus." Herr / Frau X, wieso denken Sie gleich an das Schlimmste? Versuchen Sie bitte, sich ein bisschen zu beruhigen, sodass ich meine Fragen zu Ende führen kann. Herr / Frau X, ich bitte Sie um ein bisschen Geduld. Im Moment kann ich leider noch nichts ausschließen. Wir werden jetzt dieses Gespräch zu Ende führen, danach werde ich einige Untersuchungen für Sie organisieren. Team aus Sozialarbeitern und Psychologen Wir haben hier in der Klinik ein Team aus Sozialarbeitern und Psychologen, die Sie (und Ihre Familie )mit Rat und Hilfe unterstützen können. | Soll man mit Ihnen Kontakt aufnehmen? | Möchten Sie, dass ich eine Kontaktaufnahme veranlasse? Pat: "Natürlich, ich kann jede Hilfe gebrauchen. Sonst helfe immer ich - und jetzt bin ich selbst dran." ---- - Es tut mir sehr leid, Ihnen diese schlechte Nachricht überbringen zu müssen. - Es gibt | einige Behandlungsalternativen | verschiedene Möglichkeiten , mit denen wir Ihre Krankheit zu bekämpfen versuchen (können). | - Der Weg wird schwierig, aber man muss | kampfbereit [klingt auf Deutsch etwas zu militärisch] sein. | kämpfen wollen. So ist das Leben (ja) (schließlich) immer.| - Der Weg wird schwierig, aber im Leben muss man bereit sein, für das Leben zu kämpfen. Das kennen Sie ja auch aus Ihrem Beruf sehr gut. - Wir tun alles, was möglich ist, um Ihnen zu helfen. Pat: "Welche Behandlungsmöglichkeiten habe ich?" - Die Behandlung hängt von verschiedenen Faktoren ab, zum Beispiel vom Stadium des Krebses und von Ihrem allgemeinen Gesundheitszustand. - Es gibt verschiedene Behandlungsmöglichkeiten, die wir besprechen können, wie Chemotherapie, Operation oder palliative Maßnahmen. Wir werden zusammen entscheiden, welche Therapieoption für Sie am besten geeignet ist. l - Wir können gemeinsam entscheiden, welche Optionen für Sie sinnvoll sind, um Ihre Lebensqualität zu erhalten und Symptome zu lindern. Pat: "Gibt es Hoffnung auf Heilung?" - Im Laufe der Behandlung können wir es genauer sagen. Aber ich denke, es gibt immer (eine) Hoffnung. (mit Blick auf die Nachsorge) Empathie gewinnt immer. [Bei einer Erstdiagnose sollte man die Informationen schrittweise und langsam aufbauen. Psychologische Faktoren sind hier sehr wichtig.] Es ist wichtig, sorgsam abzuwägen, was gesagt werden kann. [die Waage, etwas abwägen] Hier muss aufseiten der Ärztin/ des Arztes, passend zur eigenen Persönlichkeit, viel Erfahrung gesammelt werden und anfangs ist Professionalität besonders wichtig. Sich dann von der Oberärztin/ dem Oberarzt Rat zu holen, ist wichtig. (auf Patientenseite ist es persönlichkeitsabhängig: die einen möchten es höflich, die anderen wollen es gleich klar haben; die einen wollen Aufmunterung, die anderen ärgert es vielleicht) Überleitungen Kommen wir zurück zu Ihren aktuellen Beschwerden. Kommen wir nochmal zu Ihrem Alkoholkonsum: ... Bleiben wir mal bei Ihnen. (zur Abwendung von persönlichen Fragen des Patienten an Sie als Ärztin/Arzt) "Sie haben vorhin schon gesagt, dass Sie vor dem letzten Anfall Fußball gespielt hatten, machen Sie das öfter?" Nachfragen: Sie haben vorhin gesagt, Sie hatten vor 3 Jahren einen Radunfall .... Sie haben vorhin etwas von einem Radunfall gesagt, ... bei einem zu viel redenden Patienten Einen Moment bitte, entschuldigen Sie: Nachher bei der kU haben wir etwas mehr Zeit dafür. Jetzt sollte ich erstmal weitermachen, Frau / Herr ... Frau/ Herr x, dürfte ich Sie kurz unterbrechen? Nachher bei der körperlichen Untersuchung können wir uns ausführlicher unterhalten, aber jetzt würde ich gern | mit dem (Anamnese)Gespräch fortfahren. | zuerst unser (Anamnese)Gespräch zu Ende führen. "Nein Sagen..." Da kann ich Ihnen leider nicht weiterhelfen. Ich kann Ihnen leider nur in (/bei) gesundheitlichen Fragen helfen. Zum Schluss kommen Was habe Ich, muss ich hier bleiben? Es wäre am besten (im Krankenhaus bleiben usw.), denn es scheint ernst zu sein. Ich bespreche Ihre Beschwerden mit dem Oberarzt und komme danach wieder zu Ihnen. Ich weiß es leider nicht genau, aber es könnte x sein. Es könnte mit ...... (z.B. dem Herz) zusammenhängen, aber es muss nicht gleich .......(z.B. ein Herzinfarkt) sein. Aber wir sollten sehr aufmerksam sein. Leider kann ich es Ihnen (jetzt) noch nicht sagen,... | aber... | denn ich werde mit meinem OA reden, und dann zu Ihnen zurückkommen. | Danach sprechen wir nochmal darüber. Warten Sie bitte hier auf mich. Sobald ... | wir mehr wissen, kann ich es Ihnen erklären. | die Befunde vorliegen, wissen wir mehr. Bis dahin bleiben Sie bitte bei uns. |, besprechen wir, welche weiteren Schritte erforderlich sind. Ich kann Ihnen leider nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Leider kann ich Ihnen nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Ohne Sie untersucht zu haben, kann ich Ihnen leider nichts Genaueres sagen. Das wäre alles | meinerseits. (Doz) | von meiner Seite. (FD) Hätten Sie vielleicht (noch) Fragen an mich? Wenn Sie keine Fragen mehr haben, sind wir fertig. Untersuchungen Legen Sie sich bitte hier auf die Liege. Zuerst/ Zunächst untersuche ich Sie körperlich, danach nehmen wir Ihnen Blut ab, ... (jdn untersuchen + Akk.) Eventuell schreiben wir noch ein EKG. Danach werden wir einen Ulltraschal machen, ich würde gerne mal ihre Bauchorgane, die Nieren und das Herz anschauen, weil ihre Symptome auch für andere Erkrankungen sprechen könnten. Ich möchte nur sicher gehen. Sollten wir die Ursache nicht finden, würde ich Sie gern zum X überweisen. Bitte nehmen Sie Platz, so dass wir | weitermachen können. | mit der Untersuchung beginnen können. [B1] Zuerst müssen wir Sie untersuchen und dann wissen wir, welche Krankheit Sie haben und wir können die richtige Behandlung bestimmen. Wir nehmen Ihnen auch Blut ab und dann wissen wir mehr. [C1 Med] | Zuerst untersuche ich Sie und nehme Ihnen Blut ab, um es im Labor untersuchen zu lassen. | Sobald wir die Ergebnisse haben, | Sobald die Befunde vorliegen, | können wir Ihnen sagen, | wissen wir, | was Sie haben und wie es weitergeht. | welche Diagnose es ist und welche Behandlung Sie bekommen. | besprechen wir die mögliche Behandlung. | bespreche ich mit Ihnen die mögliche Behandlung. Privat mit Pat sprechen Ich würde gern mit meinem Patienten/ meiner Patientin allein sprechen. Dürfte ich Sie einmal vor die Tür bitten? (= ugs. Gehen Sie bitte mal raus?) =/= Könnten wir es bei Ihrer Frau/ Ihrem Mann/ Ihrer Begleitperson nachfragen? Könnten wir Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal reinbitten? Holen Sie Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal rein? | Dann | Das | Dazu würde ich in Ihrem Altenheim nachfragen. | Mit wem soll ich da sprechen? [PS] | Wer ist der Ansprechpartner? === Kann ich nach Hause? === - Nein, Sie müssen noch ein paar Stunden bei uns bleiben, damit wir eine Blutabnahme zur Labordiagnostik und einige Untersuchungen durchführen können. <br /> - Es tut mir leid, aber Sie können noch nicht nach Hause. Wir müssen Sie für einige Stunden hier behalten, um sicherzustellen, dass keine weiteren Probleme auftreten. Während dieser Zeit werden wir eine Blutabnahme zur weiteren Untersuchung und einige Tests durchführen, um die Ursache Ihrer Beschwerden abzuklären und sicherzustellen, dass es Ihnen gut geht. <br /> ioock24yji593cidsatlcwlw7w2tj71 1078870 1078869 2026-05-07T11:18:34Z C.Koltzenburg 13981 /* es nicht wiederholen, bitte */ 1078870 wikitext text/x-wiki == Verständnisprobleme == Wie bitte? <br /> Nochmal, bitte? <br /> Würden Sie bitte etwas lauter und langsamer sprechen, sodass ich alles gut verstehen kann? Könnten Sie es bitte wiederholen? <br /> Könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? <br /> Könnten Sie bitte etwas deutlicher sprechen? Wie meinen Sie das? <br /> Was meinen Sie damit? <br /> Beschreiben Sie das bitte mal (genauer)? <br /> Könnten Sie es vielleicht anders ausdrücken / formulieren? <br /> Dürfte ich es mal wiederholen, um sicher zu sein, dass ich es richtig verstanden habe: ... == Um Hochdeutsch bitten == Herr x/ Frau y, könnten Sie bitte Hochdeutsch (mit mir) sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich würde gern alles richtig verstehen, was Sie berichten, habe aber noch nicht genügend schwäbische Freunde, um richtig gut Schwäbisch zu können. Könnten Sie mir bitte helfen und eher Hochdeutsch sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich finde, dass Dialekte wichtig sind, denn ich spreche selbst Dialekt, muss Sie aber richtig verstehen können und Schwäbisch fällt mir noch etwas schwer. Könnten Sie bitte Hochdeutsch mit mir sprechen? == langsamer, bitte == Frau x ..., es ist alles wichtig, was Sie sagen, aber ich möchte mir Notizen machen, könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? Denn sonst muss ich Sie zu oft unterbrechen, was ich nicht gern tue. == weniger, bitte == Herr x ..., ich kann verstehen, dass Sie | gestresst sind <br /> | viel zu berichten haben <br /> , aber ich verstehe Sie besser, wenn Sie etwas langsamer sprechen. Und dann kann ich mir auch alles Wichtige notieren. Frau x ..., könnten wir bitte Schritt für Schritt vorgehen? [Pat. ungehalten sein lassen, 1 Minute reden lassen] <br /> Herr x ..., Sie kommen doch, weil Sie Beschwerden haben. Ich würde gern zu Ihren Beschwerden kommen. == es nicht wiederholen, bitte == Pat. sagt etwas zwei Mal <br /> Sie: "Ja, das habe ich mir schon notiert." <br /> [Sie haben versehentlich eine Frage zwei Mal gestellt] <br /> Pat.: Aber das habe ich Ihnen doch schon gesagt! <br /> Sie: "Ach ja, richtig, das hatte ich mir schon notiert, danke." == Empathie zeigen == ?? Allein zu Haus Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie Hilfe (im Alltag) brauchen? Gibt es jemanden, der sich um Sie kümmern kann, wenn Sie nicht alles erledigen allein können? (-) Pat.: Bitte helfen Sie mir. Ärztin: Es ist gut, dass Sie zu uns gekommen sind. Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Sie sind bei uns in guten Händen. Wir tun alles, damit es Ihnen bald wieder besser geht. (nicht in Onko!!!) | Keine Sorge... | Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Machen Sie sich nicht so viele Sorgen, das wird schon wieder. Das kann leider vorkommen. Ich hoffe, dass es (ihr) bald wieder besser geht. Verstehe! | Das kann ich verstehen. | Das kann ich mir vorstellen. Das kann ich gut verstehen, Frau / Herr ... | So etwas ist stressig. |So ein Kribbeln kann sehr unangenehm sein. Pat. reagiere auf wiederholte Fragen verärgert „Ich frage nochmal Herr/Frau X, um sicherzugehen. Ich möchte alles richtig notieren." | Ich möchte mir wirklich alles genau notieren, um sicherzustellen, dass ich nichts Wichtiges übersehe" | Herr/ Frau "X" , manchmal kann es helfen, die Dinge noch einmal durchzugehen, um ganz sicher zu sein. (+) Oh, gut zu hören! Das wäre gut für Ihre Gesundheit. | Das ist gut für Ihre Gesundheit (Pat. sagt dass er nicht Raucht) | Ja, das ist eine wichtige Vorsorge (Pat. berichtet, dass regelmäßig zum Frauenarzt geht) Das kann sein. "meine Freundin hatte das auch" [C2 PS] Ja, das kann vorkommen. Aber so etwas kann bei jedem anders sein. | Wenn (/Falls) es bei Ihrer Freundin schlecht war und lange nicht besser wurde, heißt das nicht, dass es bei Ihnen auch so kommen muss. Nehmen Sie die folgende Frage bitte nicht persönlich. Das ist eine Routinefrage. (Pat.: Da war schonmal so ein Anzeichen. --> Nachfragen (?)) Ich frage es bei Ihrem Hausarzt nach. Onko-Empathie schlechte Nachrichten überbringen Ich kann Ihre Sorgen gut verstehen und deshalb werde ich jetzt ein paar Untersuchungen durchführen, damit wir die Ursachen Ihrer Beschwerden herausfinden. Beispieldialog Fall Jochen Meier Sie haben die ersten Befunde vorliegen und sagen zum Patienten: Herr Meier, leider scheint es bei Ihnen etwas Ernstes zu sein. Pat: [sagt nichts, schaut wie versteinert, hat Angst vor dem nächsten Satz] Ich möchte Ihnen unsere Untersuchungsergebnisse erklären: Leider haben Ihre Beschwerden mit einer Geschwulst zu tun. Pat: "Sie meinen: Krebs? Ich habe also einen Tumor?" Höchstwahrscheinlich ja. [bricht in Tränen aus, weint] Pat: "Oh jeh! Aber Frau braucht mich doch, und mein Junge!" [weinen lassen] Bitte beruhigen Sie sich. Ich kann Ihre Angst gut nachempfinden... Sicherlich braucht Ihre Familie Sie. [wird ganz pragmatisch] Pat: "Wie lange habe ich noch?" Das können wir Ihnen leider noch nicht genau sagen. Wir brauchen noch eine Gewebeprobe, damit wir es genauer wissen, also: wie weit der Krebs fortgeschritten ist und was wir (für Sie) tun können. Wir tun alles, was möglich ist. Pat: "Muss ich operiert werden?" Das wissen wir noch nicht genau. Aber es könnte sein, dass Sie danach eine bessere Prognose haben. Pat: "Was soll mit meinem Jungen werden? Der ist doch erst 16? Und wenn meine Frau die Leukämie jetzt auch nicht überlebt, ist er Waise (hat er keine Eltern mehr)." Bei Angst: Pat: "Habe ich Krebs?" Arzt: "Dazu kann ich leider noch nichts Genaues sagen, denn wir brauchen noch einige Untersuchungen. Danach wissen wir mehr." "Ihre Beschwerden können verschiedene Ursachen haben. Das finden wir noch heraus." Herr / Frau X, wieso denken Sie gleich an das Schlimmste? Versuchen Sie bitte, sich ein bisschen zu beruhigen, sodass ich meine Fragen zu Ende führen kann. Herr / Frau X, ich bitte Sie um ein bisschen Geduld. Im Moment kann ich leider noch nichts ausschließen. Wir werden jetzt dieses Gespräch zu Ende führen, danach werde ich einige Untersuchungen für Sie organisieren. Team aus Sozialarbeitern und Psychologen Wir haben hier in der Klinik ein Team aus Sozialarbeitern und Psychologen, die Sie (und Ihre Familie )mit Rat und Hilfe unterstützen können. | Soll man mit Ihnen Kontakt aufnehmen? | Möchten Sie, dass ich eine Kontaktaufnahme veranlasse? Pat: "Natürlich, ich kann jede Hilfe gebrauchen. Sonst helfe immer ich - und jetzt bin ich selbst dran." ---- - Es tut mir sehr leid, Ihnen diese schlechte Nachricht überbringen zu müssen. - Es gibt | einige Behandlungsalternativen | verschiedene Möglichkeiten , mit denen wir Ihre Krankheit zu bekämpfen versuchen (können). | - Der Weg wird schwierig, aber man muss | kampfbereit [klingt auf Deutsch etwas zu militärisch] sein. | kämpfen wollen. So ist das Leben (ja) (schließlich) immer.| - Der Weg wird schwierig, aber im Leben muss man bereit sein, für das Leben zu kämpfen. Das kennen Sie ja auch aus Ihrem Beruf sehr gut. - Wir tun alles, was möglich ist, um Ihnen zu helfen. Pat: "Welche Behandlungsmöglichkeiten habe ich?" - Die Behandlung hängt von verschiedenen Faktoren ab, zum Beispiel vom Stadium des Krebses und von Ihrem allgemeinen Gesundheitszustand. - Es gibt verschiedene Behandlungsmöglichkeiten, die wir besprechen können, wie Chemotherapie, Operation oder palliative Maßnahmen. Wir werden zusammen entscheiden, welche Therapieoption für Sie am besten geeignet ist. l - Wir können gemeinsam entscheiden, welche Optionen für Sie sinnvoll sind, um Ihre Lebensqualität zu erhalten und Symptome zu lindern. Pat: "Gibt es Hoffnung auf Heilung?" - Im Laufe der Behandlung können wir es genauer sagen. Aber ich denke, es gibt immer (eine) Hoffnung. (mit Blick auf die Nachsorge) Empathie gewinnt immer. [Bei einer Erstdiagnose sollte man die Informationen schrittweise und langsam aufbauen. Psychologische Faktoren sind hier sehr wichtig.] Es ist wichtig, sorgsam abzuwägen, was gesagt werden kann. [die Waage, etwas abwägen] Hier muss aufseiten der Ärztin/ des Arztes, passend zur eigenen Persönlichkeit, viel Erfahrung gesammelt werden und anfangs ist Professionalität besonders wichtig. Sich dann von der Oberärztin/ dem Oberarzt Rat zu holen, ist wichtig. (auf Patientenseite ist es persönlichkeitsabhängig: die einen möchten es höflich, die anderen wollen es gleich klar haben; die einen wollen Aufmunterung, die anderen ärgert es vielleicht) Überleitungen Kommen wir zurück zu Ihren aktuellen Beschwerden. Kommen wir nochmal zu Ihrem Alkoholkonsum: ... Bleiben wir mal bei Ihnen. (zur Abwendung von persönlichen Fragen des Patienten an Sie als Ärztin/Arzt) "Sie haben vorhin schon gesagt, dass Sie vor dem letzten Anfall Fußball gespielt hatten, machen Sie das öfter?" Nachfragen: Sie haben vorhin gesagt, Sie hatten vor 3 Jahren einen Radunfall .... Sie haben vorhin etwas von einem Radunfall gesagt, ... bei einem zu viel redenden Patienten Einen Moment bitte, entschuldigen Sie: Nachher bei der kU haben wir etwas mehr Zeit dafür. Jetzt sollte ich erstmal weitermachen, Frau / Herr ... Frau/ Herr x, dürfte ich Sie kurz unterbrechen? Nachher bei der körperlichen Untersuchung können wir uns ausführlicher unterhalten, aber jetzt würde ich gern | mit dem (Anamnese)Gespräch fortfahren. | zuerst unser (Anamnese)Gespräch zu Ende führen. "Nein Sagen..." Da kann ich Ihnen leider nicht weiterhelfen. Ich kann Ihnen leider nur in (/bei) gesundheitlichen Fragen helfen. Zum Schluss kommen Was habe Ich, muss ich hier bleiben? Es wäre am besten (im Krankenhaus bleiben usw.), denn es scheint ernst zu sein. Ich bespreche Ihre Beschwerden mit dem Oberarzt und komme danach wieder zu Ihnen. Ich weiß es leider nicht genau, aber es könnte x sein. Es könnte mit ...... (z.B. dem Herz) zusammenhängen, aber es muss nicht gleich .......(z.B. ein Herzinfarkt) sein. Aber wir sollten sehr aufmerksam sein. Leider kann ich es Ihnen (jetzt) noch nicht sagen,... | aber... | denn ich werde mit meinem OA reden, und dann zu Ihnen zurückkommen. | Danach sprechen wir nochmal darüber. Warten Sie bitte hier auf mich. Sobald ... | wir mehr wissen, kann ich es Ihnen erklären. | die Befunde vorliegen, wissen wir mehr. Bis dahin bleiben Sie bitte bei uns. |, besprechen wir, welche weiteren Schritte erforderlich sind. Ich kann Ihnen leider nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Leider kann ich Ihnen nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Ohne Sie untersucht zu haben, kann ich Ihnen leider nichts Genaueres sagen. Das wäre alles | meinerseits. (Doz) | von meiner Seite. (FD) Hätten Sie vielleicht (noch) Fragen an mich? Wenn Sie keine Fragen mehr haben, sind wir fertig. Untersuchungen Legen Sie sich bitte hier auf die Liege. Zuerst/ Zunächst untersuche ich Sie körperlich, danach nehmen wir Ihnen Blut ab, ... (jdn untersuchen + Akk.) Eventuell schreiben wir noch ein EKG. Danach werden wir einen Ulltraschal machen, ich würde gerne mal ihre Bauchorgane, die Nieren und das Herz anschauen, weil ihre Symptome auch für andere Erkrankungen sprechen könnten. Ich möchte nur sicher gehen. Sollten wir die Ursache nicht finden, würde ich Sie gern zum X überweisen. Bitte nehmen Sie Platz, so dass wir | weitermachen können. | mit der Untersuchung beginnen können. [B1] Zuerst müssen wir Sie untersuchen und dann wissen wir, welche Krankheit Sie haben und wir können die richtige Behandlung bestimmen. Wir nehmen Ihnen auch Blut ab und dann wissen wir mehr. [C1 Med] | Zuerst untersuche ich Sie und nehme Ihnen Blut ab, um es im Labor untersuchen zu lassen. | Sobald wir die Ergebnisse haben, | Sobald die Befunde vorliegen, | können wir Ihnen sagen, | wissen wir, | was Sie haben und wie es weitergeht. | welche Diagnose es ist und welche Behandlung Sie bekommen. | besprechen wir die mögliche Behandlung. | bespreche ich mit Ihnen die mögliche Behandlung. Privat mit Pat sprechen Ich würde gern mit meinem Patienten/ meiner Patientin allein sprechen. Dürfte ich Sie einmal vor die Tür bitten? (= ugs. Gehen Sie bitte mal raus?) =/= Könnten wir es bei Ihrer Frau/ Ihrem Mann/ Ihrer Begleitperson nachfragen? Könnten wir Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal reinbitten? Holen Sie Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal rein? | Dann | Das | Dazu würde ich in Ihrem Altenheim nachfragen. | Mit wem soll ich da sprechen? [PS] | Wer ist der Ansprechpartner? === Kann ich nach Hause? === - Nein, Sie müssen noch ein paar Stunden bei uns bleiben, damit wir eine Blutabnahme zur Labordiagnostik und einige Untersuchungen durchführen können. <br /> - Es tut mir leid, aber Sie können noch nicht nach Hause. Wir müssen Sie für einige Stunden hier behalten, um sicherzustellen, dass keine weiteren Probleme auftreten. Während dieser Zeit werden wir eine Blutabnahme zur weiteren Untersuchung und einige Tests durchführen, um die Ursache Ihrer Beschwerden abzuklären und sicherzustellen, dass es Ihnen gut geht. <br /> da6npogagdsrp93gnlph2h6srzr82bc 1078875 1078870 2026-05-07T11:23:58Z C.Koltzenburg 13981 /* Empathie zeigen */ 1078875 wikitext text/x-wiki == Verständnisprobleme == Wie bitte? <br /> Nochmal, bitte? <br /> Würden Sie bitte etwas lauter und langsamer sprechen, sodass ich alles gut verstehen kann? Könnten Sie es bitte wiederholen? <br /> Könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? <br /> Könnten Sie bitte etwas deutlicher sprechen? Wie meinen Sie das? <br /> Was meinen Sie damit? <br /> Beschreiben Sie das bitte mal (genauer)? <br /> Könnten Sie es vielleicht anders ausdrücken / formulieren? <br /> Dürfte ich es mal wiederholen, um sicher zu sein, dass ich es richtig verstanden habe: ... == Um Hochdeutsch bitten == Herr x/ Frau y, könnten Sie bitte Hochdeutsch (mit mir) sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich würde gern alles richtig verstehen, was Sie berichten, habe aber noch nicht genügend schwäbische Freunde, um richtig gut Schwäbisch zu können. Könnten Sie mir bitte helfen und eher Hochdeutsch sprechen? Herr x/ Frau y ..., ich finde, dass Dialekte wichtig sind, denn ich spreche selbst Dialekt, muss Sie aber richtig verstehen können und Schwäbisch fällt mir noch etwas schwer. Könnten Sie bitte Hochdeutsch mit mir sprechen? == langsamer, bitte == Frau x ..., es ist alles wichtig, was Sie sagen, aber ich möchte mir Notizen machen, könnten Sie bitte etwas langsamer sprechen? Denn sonst muss ich Sie zu oft unterbrechen, was ich nicht gern tue. == weniger, bitte == Herr x ..., ich kann verstehen, dass Sie | gestresst sind <br /> | viel zu berichten haben <br /> , aber ich verstehe Sie besser, wenn Sie etwas langsamer sprechen. Und dann kann ich mir auch alles Wichtige notieren. Frau x ..., könnten wir bitte Schritt für Schritt vorgehen? 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(nicht in Onko!!!) | Keine Sorge... | Machen Sie sich bitte keine Sorgen. Machen Sie sich nicht so viele Sorgen, das wird schon wieder. Das kann leider vorkommen. Ich hoffe, dass es (ihr) bald wieder besser geht. Verstehe! | Das kann ich verstehen. | Das kann ich mir vorstellen. Das kann ich gut verstehen, Frau / Herr ... | So etwas ist stressig. |So ein Kribbeln kann sehr unangenehm sein. Pat. reagiere auf wiederholte Fragen verärgert „Ich frage nochmal Herr/Frau X, um sicherzugehen. Ich möchte alles richtig notieren." | Ich möchte mir wirklich alles genau notieren, um sicherzustellen, dass ich nichts Wichtiges übersehe" | Herr/ Frau "X" , manchmal kann es helfen, die Dinge noch einmal durchzugehen, um ganz sicher zu sein. (+) Oh, gut zu hören! Das wäre gut für Ihre Gesundheit. | Das ist gut für Ihre Gesundheit (Pat. sagt dass er nicht Raucht) | Ja, das ist eine wichtige Vorsorge (Pat. berichtet, dass regelmäßig zum Frauenarzt geht) Das kann sein. "meine Freundin hatte das auch" [C2 PS] Ja, das kann vorkommen. Aber so etwas kann bei jedem anders sein. | Wenn (/Falls) es bei Ihrer Freundin schlecht war und lange nicht besser wurde, heißt das nicht, dass es bei Ihnen auch so kommen muss. Nehmen Sie die folgende Frage bitte nicht persönlich. Das ist eine Routinefrage. (Pat.: Da war schonmal so ein Anzeichen. --> Nachfragen (?)) Ich frage es bei Ihrem Hausarzt nach. == schlechte Nachrichten überbringen == Pat.: "Ist es Krebs?" <br /> Sie: [langsam] Naja, das könnte sein. Wir brauchen noch einige Untersuchungen, um etwas Genaueres sagen zu können. Pat.: "Habe ich Krebs?" <br /> Sie: "[langsam] Naja, es ist (noch) zu früh, um etwas zu sagen. Wir brauchen zuerst einige Untersuchungen, danach wissen wir mehr." Pat.: "Ist es Multiple Sklerose?" <br /> Sie: "[langsam] Ich kann Ihre Sorgen gut verstehen und deshalb werde ich jetzt ein paar Untersuchungen durchführen, um die Ursachen Ihrer Beschwerden zu finden." Pat: "Habe ich Krebs?" Sie: "Dazu kann ich leider noch nichts Genaues sagen, denn wir brauchen noch einige Untersuchungen. Danach wissen wir mehr." Pat.: "Ist es Krebs?" <br /> Sie: "Ihre Beschwerden können verschiedene Ursachen haben. Das finden wir noch heraus." Pat.: "Ist es Multiple Sklerose?" <br /> Sie: Herr / Frau X, bitte denken Sie gleich an das Schlimmste. Versuchen Sie bitte, sich ein bisschen zu beruhigen, sodass ich meine Fragen zu Ende führen kann. Pat.: "Ist es etwas Schlimmes?" <br /> Sie: Herr / Frau X, ich bitte Sie um ein bisschen Geduld. Im Moment kann ich leider noch nichts ausschließen. Wir werden jetzt dieses Gespräch zu Ende führen, danach werde ich einige Untersuchungen für Sie organisieren. == Team aus Sozialarbeitern und Psychologen == Wir haben hier in der Klinik ein Team aus Sozialarbeitern und Psychologen, die Sie (und Ihre Familie )mit Rat und Hilfe unterstützen können. | Soll man mit Ihnen Kontakt aufnehmen? | Möchten Sie, dass ich eine Kontaktaufnahme veranlasse? Pat: "Natürlich, ich kann jede Hilfe gebrauchen. Sonst helfe immer ich - und jetzt bin ich selbst dran." ---- - Es tut mir sehr leid, Ihnen diese schlechte Nachricht überbringen zu müssen. - Es gibt | einige Behandlungsalternativen | verschiedene Möglichkeiten , mit denen wir Ihre Krankheit zu bekämpfen versuchen (können). | - Der Weg wird schwierig, aber man muss | kampfbereit [klingt auf Deutsch etwas zu militärisch] sein. | kämpfen wollen. So ist das Leben (ja) (schließlich) immer.| - Der Weg wird schwierig, aber im Leben muss man bereit sein, für das Leben zu kämpfen. Das kennen Sie ja auch aus Ihrem Beruf sehr gut. - Wir tun alles, was möglich ist, um Ihnen zu helfen. Pat: "Welche Behandlungsmöglichkeiten habe ich?" - Die Behandlung hängt von verschiedenen Faktoren ab, zum Beispiel vom Stadium des Krebses und von Ihrem allgemeinen Gesundheitszustand. - Es gibt verschiedene Behandlungsmöglichkeiten, die wir besprechen können, wie Chemotherapie, Operation oder palliative Maßnahmen. Wir werden zusammen entscheiden, welche Therapieoption für Sie am besten geeignet ist. l - Wir können gemeinsam entscheiden, welche Optionen für Sie sinnvoll sind, um Ihre Lebensqualität zu erhalten und Symptome zu lindern. Pat: "Gibt es Hoffnung auf Heilung?" - Im Laufe der Behandlung können wir es genauer sagen. Aber ich denke, es gibt immer (eine) Hoffnung. (mit Blick auf die Nachsorge) Empathie gewinnt immer. [Bei einer Erstdiagnose sollte man die Informationen schrittweise und langsam aufbauen. Psychologische Faktoren sind hier sehr wichtig.] Es ist wichtig, sorgsam abzuwägen, was gesagt werden kann. [die Waage, etwas abwägen] Hier muss aufseiten der Ärztin/ des Arztes, passend zur eigenen Persönlichkeit, viel Erfahrung gesammelt werden und anfangs ist Professionalität besonders wichtig. Sich dann von der Oberärztin/ dem Oberarzt Rat zu holen, ist wichtig. (auf Patientenseite ist es persönlichkeitsabhängig: die einen möchten es höflich, die anderen wollen es gleich klar haben; die einen wollen Aufmunterung, die anderen ärgert es vielleicht) Überleitungen Kommen wir zurück zu Ihren aktuellen Beschwerden. Kommen wir nochmal zu Ihrem Alkoholkonsum: ... Bleiben wir mal bei Ihnen. (zur Abwendung von persönlichen Fragen des Patienten an Sie als Ärztin/Arzt) "Sie haben vorhin schon gesagt, dass Sie vor dem letzten Anfall Fußball gespielt hatten, machen Sie das öfter?" Nachfragen: Sie haben vorhin gesagt, Sie hatten vor 3 Jahren einen Radunfall .... Sie haben vorhin etwas von einem Radunfall gesagt, ... bei einem zu viel redenden Patienten Einen Moment bitte, entschuldigen Sie: Nachher bei der kU haben wir etwas mehr Zeit dafür. Jetzt sollte ich erstmal weitermachen, Frau / Herr ... Frau/ Herr x, dürfte ich Sie kurz unterbrechen? Nachher bei der körperlichen Untersuchung können wir uns ausführlicher unterhalten, aber jetzt würde ich gern | mit dem (Anamnese)Gespräch fortfahren. | zuerst unser (Anamnese)Gespräch zu Ende führen. "Nein Sagen..." Da kann ich Ihnen leider nicht weiterhelfen. Ich kann Ihnen leider nur in (/bei) gesundheitlichen Fragen helfen. Zum Schluss kommen Was habe Ich, muss ich hier bleiben? Es wäre am besten (im Krankenhaus bleiben usw.), denn es scheint ernst zu sein. Ich bespreche Ihre Beschwerden mit dem Oberarzt und komme danach wieder zu Ihnen. Ich weiß es leider nicht genau, aber es könnte x sein. Es könnte mit ...... (z.B. dem Herz) zusammenhängen, aber es muss nicht gleich .......(z.B. ein Herzinfarkt) sein. Aber wir sollten sehr aufmerksam sein. Leider kann ich es Ihnen (jetzt) noch nicht sagen,... | aber... | denn ich werde mit meinem OA reden, und dann zu Ihnen zurückkommen. | Danach sprechen wir nochmal darüber. Warten Sie bitte hier auf mich. Sobald ... | wir mehr wissen, kann ich es Ihnen erklären. | die Befunde vorliegen, wissen wir mehr. Bis dahin bleiben Sie bitte bei uns. |, besprechen wir, welche weiteren Schritte erforderlich sind. Ich kann Ihnen leider nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Leider kann ich Ihnen nichts Genaueres sagen, ohne Sie untersucht zu haben. Ohne Sie untersucht zu haben, kann ich Ihnen leider nichts Genaueres sagen. Das wäre alles | meinerseits. (Doz) | von meiner Seite. (FD) Hätten Sie vielleicht (noch) Fragen an mich? Wenn Sie keine Fragen mehr haben, sind wir fertig. Untersuchungen Legen Sie sich bitte hier auf die Liege. Zuerst/ Zunächst untersuche ich Sie körperlich, danach nehmen wir Ihnen Blut ab, ... (jdn untersuchen + Akk.) Eventuell schreiben wir noch ein EKG. Danach werden wir einen Ulltraschal machen, ich würde gerne mal ihre Bauchorgane, die Nieren und das Herz anschauen, weil ihre Symptome auch für andere Erkrankungen sprechen könnten. Ich möchte nur sicher gehen. Sollten wir die Ursache nicht finden, würde ich Sie gern zum X überweisen. Bitte nehmen Sie Platz, so dass wir | weitermachen können. | mit der Untersuchung beginnen können. [B1] Zuerst müssen wir Sie untersuchen und dann wissen wir, welche Krankheit Sie haben und wir können die richtige Behandlung bestimmen. Wir nehmen Ihnen auch Blut ab und dann wissen wir mehr. [C1 Med] | Zuerst untersuche ich Sie und nehme Ihnen Blut ab, um es im Labor untersuchen zu lassen. | Sobald wir die Ergebnisse haben, | Sobald die Befunde vorliegen, | können wir Ihnen sagen, | wissen wir, | was Sie haben und wie es weitergeht. | welche Diagnose es ist und welche Behandlung Sie bekommen. | besprechen wir die mögliche Behandlung. | bespreche ich mit Ihnen die mögliche Behandlung. Privat mit Pat sprechen Ich würde gern mit meinem Patienten/ meiner Patientin allein sprechen. Dürfte ich Sie einmal vor die Tür bitten? (= ugs. Gehen Sie bitte mal raus?) =/= Könnten wir es bei Ihrer Frau/ Ihrem Mann/ Ihrer Begleitperson nachfragen? Könnten wir Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal reinbitten? Holen Sie Ihre Frau/ Ihren Mann/ Ihre Begleitperson bitte mal rein? | Dann | Das | Dazu würde ich in Ihrem Altenheim nachfragen. | Mit wem soll ich da sprechen? [PS] | Wer ist der Ansprechpartner? === Kann ich nach Hause? === - Nein, Sie müssen noch ein paar Stunden bei uns bleiben, damit wir eine Blutabnahme zur Labordiagnostik und einige Untersuchungen durchführen können. <br /> - Es tut mir leid, aber Sie können noch nicht nach Hause. Wir müssen Sie für einige Stunden hier behalten, um sicherzustellen, dass keine weiteren Probleme auftreten. Während dieser Zeit werden wir eine Blutabnahme zur weiteren Untersuchung und einige Tests durchführen, um die Ursache Ihrer Beschwerden abzuklären und sicherzustellen, dass es Ihnen gut geht. <br /> 7w3jnyqhqhzhyb44jdi1ynk0dxx4ch6