Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.1 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1078946 1078878 2026-05-07T17:16:33Z Bert Niehaus 20843 /* Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen */ 1078946 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> t5i3ko2amv00myhdt0qh6ryzk94a9vj 1078947 1078946 2026-05-07T17:16:55Z Bert Niehaus 20843 /* Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen */ 1078947 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 0siyuq4nckpq7fsaji9c4w3uldaklrl 106 71635 1078948 1078783 2026-05-07T17:20:49Z Falko Wilms 8588 /* Selbststudium am 12/13.06.2026 */ 1078948 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||350px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Sommersemester 2026</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''Einführung in das Geschäftsprozessmanagement'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms ''mit Anwesenheitspflicht'' </span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;"><big>'''Umgang mit KI'''</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:blue;">'''zum Einsatz von KI-Tools''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:blue;">'''Dialog mit einem Chatbot''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Chatbot_als_Tutor| <span style="color:blue;">'''Chatbot als pers. Tutor''']] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Tipps</big>'''</div> *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheitspflicht|<span style="color:green;">'''<big>Anwesenheitspflicht</big>''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation]] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading Tipps zum schnellen Lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [http://www.falko-wilms.de/HL/s.pdf <span style="color:green;"><small>'''Studien-Basics''' (geschützt für m''ich'')</small>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''<span style="color:green;">Tipps für's Studieren</span>''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Verständlichkeit|<span style="color:red;">Verständlich formulieren]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] '''|''' [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==Worum geht es bei der Thematik?== Insbesondere in der mittelständischen Wirtschaft sind vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk exzellente Geschäftsprozesse der zentrale Erfolgsfaktor. Geschäftsprozessmanagement (GPM) liefert hierfür das Instrumentarium, um arbeitsteilige Wertschöpfungsketten unter den organisationalen Bedingungen systematisch zu planen, zu steuern und zu optimieren. Ziel ist die Verbindung von Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. Angesichts von Fachkräftemangel und Digitalisierungsdruck ist immer wieder abteilungsübergreifend trotz konkurrierender Ziele (z. B. Kostensenkung und Qualitätserhöhung) gut argumentierbare Lösungen zu finden. Wer bei der methodischen Lösungsfindung alle Stakeholder einbindet und die organisatorischen Rahmenbedingungen passend gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort. ==Lehrender== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV])<br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Prozessmanagement" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">Ausgangspunkte== <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ein eindeutiges Ergebnis''': # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. </span><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ebenso: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [[https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [[https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==<span style="color:grey;">Unterlagen für die asynchrone akademische Lehre== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#D9D9D9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blac;">'''Skripte''' zum asynchronen Lernen</div> * [https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EfA236TxfLpCk_kWc27eoeYBOWYLzfvuh2nE6Nz7NVzR9A?e=rXtbB3 <span style="color:grey;">Das Nugget-Chart] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EVUwGRf1-eNHnyiTkf9IYd0BQbaGdfKX3yG4-HutNCaKMw?e=cpQPdm <span style="color:grey;">St.Galler Management-Modell] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EQOExLN2mgpKi7ui6lhr-mYBNc1CnTHIhRs2SqV4bFrTBw?e=CxKgQx <span style="color:grey;">Geschäftsprozessmanagement] ------------ </div> <span style="color:grey;">Asynchrones Lernen meint, ohne Hilfe anderer (Lehr)Personen verfügbare Informations-Materialien zu nutzten, um sich eigenständig neues Wissen anzueignen. Dieser Kompetenzerwerb ist fester Bestandteil eines akademischen Studiums und bereitet auf das "Lebenslange Lernen" vor.<br><br> '''Bereitgestellte Materialien für die asynchrone Lehre:''' # <span style="color:grey;">ein traditioneller Foliensatz im PDF-Format # <span style="color:grey;">Lehrskripte zu verschiedenen Themen # <span style="color:grey;">ein elektronischer Semesterapparat mit eBooks # <span style="color:grey;">diese Wikiversity-Kursseite mit vielen links<br> <span style="color:grey;">'''Literatur:''' * <span style="color:grey;">Konrad, K. (2003): Wege zum selbstgesteuerten Lernen. Vom Konzept zur Umsetzung. In: Pädagogik 5/2003, S. 14 – 17. * <span style="color:grey;">Landwehr, N./Müller, E. (2006): Begleitetes Selbststudium, Bern. ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. ==<big>Themen</big>== geplante Themenfolge, von der nach Bedarf abgewichen derden kann: * <span style="color:blue;"> Einführung * <span style="color:blue;"> Prozessmanagement im Unternehmen * <span style="color:blue;"> Referenzmodelle | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=rGwM7ECpaFw Referenzmodelle] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozesse | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=3b-j3ZsLGKI Geschäftsprozesse] * <span style="color:blue;"> Business Process Management Life Cycle * <span style="color:blue;"> Gestaltung und Dokumentation von Geschäftsprozessen * <span style="color:blue;"> Prozesslandkarte | podcasts: Prozesslandkarte [https://www.youtube.com/watch?v=NerreGedHvA Prozesslandkarte], [https://www.youtube.com/watch?v=Ikuh4vwermQ Prozesslandkarte erstellen] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozessmodell * <span style="color:blue;"> Prozesscontrolling, Methoden der Prozessoptimierung * <span style="color:blue;"> Prozessführung: Performance Indicators<br><br> ==<span style="color:green;">Selbststudium am 12/13.06.2026== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#29B335;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:green;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:green;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:green;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:green;"> Template zur Verschriftlichung</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">Feedback-Bogen] -------------- </div> <span style="color:green;">Im Selbststudium übernehmen die Studierenden die individuelle Verantwortung für das Erringen von eigenen Lernfortschritte. Dies erfordert Disziplin und Selbstmotivation, die im Berufsalltag beim "lebenslangen Lernen" unbedingt benötigt werden. <span style="color:green;">Das in diesem Kurs erforderliche Selbststudiums durchläuft folgende Arbeitsphasen: * <span style="color:green;">die besprochenen Folien des Folienskriptes durcharbeiten * <span style="color:green;">in 5er-Gruppen ein gemeinsames Verständnis des Fachinhaltes erzielen * <span style="color:green;">in der Gruppe ein dazu passendes [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">'''Nugget-Chart'''</span>] <span style="color:green;"> </span> erstellen * <span style="color:green;">das erstellte Gruppen-Chart zum nächsten Treffen in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=823936 <span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] hochgeladen * <span style="color:green;">von jeder teilnehmenden Person des Kurses sind mindestesn 3 Gruppencharts hochzuladen. <br> <span style="color:green;">Wer darüber hinaus Vorarbeiten für seine eigene Seminararbeit ausführen möchte, tut erfahrungsgemäß gut daran * <span style="color:green;">das Gruppen-Chart in einem Text mit 5-Absätzen zu verschriftlichen * <span style="color:green;">abschließend(!) aus dem erstellten Text einen header zu entwicklen und ihn an den Textanfang zu platzieren * <span style="color:green;">die aktuielle Version des Textes mit dem [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">'''Feedback-Bogen'''] zu überarbeiten * <span style="color:green;">ein Feedback vom überarbeiteten Text einhzuholen ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#FF0000;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Unterlagen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Muster.pdf <span style="color:red;"> guter Text </span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|<span style="color:red;"> '''bessere Texte schreiben''']] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> Benotungskriterien</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">'''Template'''] -------------- </div> <span style="color:red;"> Zunächst üben die Studentinnen und Studenten * <span style="color:red;"> in Kleingruppen mehrmals(!) die Erstellung eines Nugget-Charts über das Thema des letzten Treffens * <span style="color:red;"> alleine mehrmals(!) das Verschriftlichen eines erstellten Nugget-Charts mit der Benutzung mindestens einer Eingabe (promt) in mindestens einem KI-Tool <span style="color:red;"> Dann verschriftlichen Studentinnen und Studenten in dem erforderlichen Template mit der Unterstütztung eines KI-Tools und legen ihre individuelle Prüfungsleistung in den ILIAs-Ordner '''Prüfungsleistungen''' ab * <span style="color:red;"> Spätester Abgabetermin: <big>23.06.2026 um 23:59 Uhr Uhr</big><br> <span style="color:red;">'''Voraussetzungen für die Benotung einer Prüfungsleistung:''' *<span style="color:red;"> Die Autorin/der Autor hat ein persönliches Kurslogbuch abgegebenen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit macht die benutzten KI-Tool und deren Promts in einer Liste kenntlich<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit ist rechtzeitig eingetroffen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit trägt im Kopf den Namen der Autorin bzw. des Autors<br> == Siehe auch == {|style="width:80%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozessmodellierung Geschäftsprozessmodellierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozess Prozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesskostenrechnung Prozesskostenrechnung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesslandkarte Prozesslandkarte] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessoptimierung Prozessoptimierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessstruktur Prozessstruktur] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Referenzmodell Referenzmodell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertsch%C3%B6pfungsprozess Wertschöpfungsprozess] |} == Empfohlene Fachliteratur == * [https://www.amazon.de/End-End-Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement-Organisationselement-Integrationsinstrument-Managementansatz/dp/370910839X Bergsmann, St. (2012): End-to-End-Geschäftsprozessmanagement, Organisationselement, Integrationsinstrument, Managementansatz, Springer: Wien/New York]; ISBN 978-3709108390 * [https://www.amazon.de/-/en/Marlon-Dumas/dp/3662587351/ref=sr_1_1?crid=3BYRBW6TRL7Z6&keywords=Grundlagen+des+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagements&qid=1674822625&s=books&sprefix=grundlagen+des+gesch%C3%A4ftsprozessmanagements%2Cstripbooks%2C101&sr=1-1 Dumas, M./La Rosa, M./Mendling, J./Reijers, H. A. (2021): Grundlagen des Geschäftsprozessmanagementsagel ]; ISBN 978-3662587355 * [https://www.amazon.de/Andreas-Gadatsch/dp/3658278110/ref=pd_rhf_d_se_s_pd_crcd_sccl_1_2/262-2030807-9113000?pd_rd_w=uCoNA&content-id=amzn1.sym.21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_p=21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_r=6HEM33MJ7GWNT1XCE3HX&pd_rd_wg=XKr1h&pd_rd_r=329d1a8b-acf2-4007-be57-ab0f801d3f2a&pd_rd_i=3658278110&psc=1 Gadatsch, A. (2020): Grundkurs Geschäftsprozess-Management. Analyse, Modellierung, Optimierung und Controlling von Prozessen, 9., akt. u. erw. Aufl., SpringerGabler: Wiesbaden]; ISBN 978-3658278113 * [https://www.amazon.de/-/en/Hermann-J-Schmelzer/dp/3446446257/ref=sr_1_1?crid=2X93WCJICAOG7&keywords=Schmelzer%2C+H.+J.%3B+Sesselmann%2C+W.+%282020%29%3A+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+Praxis.&qid=1674822854&s=books&sprefix=schmelzer+h.+j.+sesselmann+w.+2020+gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+praxis.+%2Cstripbooks%2C108&sr=1-1 Schmelzer, H. J.; Sesselmann, W. (2020): Geschäftsprozessmanagement in der Praxis. Kunden zufrieden stellen, Produktivität Steigern, Wert erhöhen, 9. vollst. überarb. Aufl., Hanser: München]; ISBN 978-3446446250 [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] rp12e3s51pw8s24tkf3uh4ucn3gudrb 1078954 1078948 2026-05-07T17:37:08Z Falko Wilms 8588 /* Unterlagen für die asynchrone akademische Lehre */ 1078954 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||350px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Sommersemester 2026</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''Einführung in das Geschäftsprozessmanagement'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms ''mit Anwesenheitspflicht'' </span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;"><big>'''Umgang mit KI'''</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:blue;">'''zum Einsatz von KI-Tools''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:blue;">'''Dialog mit einem Chatbot''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Chatbot_als_Tutor| <span style="color:blue;">'''Chatbot als pers. Tutor''']] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Tipps</big>'''</div> *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheitspflicht|<span style="color:green;">'''<big>Anwesenheitspflicht</big>''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation]] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading Tipps zum schnellen Lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [http://www.falko-wilms.de/HL/s.pdf <span style="color:green;"><small>'''Studien-Basics''' (geschützt für m''ich'')</small>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''<span style="color:green;">Tipps für's Studieren</span>''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Verständlichkeit|<span style="color:red;">Verständlich formulieren]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] '''|''' [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==Worum geht es bei der Thematik?== Insbesondere in der mittelständischen Wirtschaft sind vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk exzellente Geschäftsprozesse der zentrale Erfolgsfaktor. Geschäftsprozessmanagement (GPM) liefert hierfür das Instrumentarium, um arbeitsteilige Wertschöpfungsketten unter den organisationalen Bedingungen systematisch zu planen, zu steuern und zu optimieren. Ziel ist die Verbindung von Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. Angesichts von Fachkräftemangel und Digitalisierungsdruck ist immer wieder abteilungsübergreifend trotz konkurrierender Ziele (z. B. Kostensenkung und Qualitätserhöhung) gut argumentierbare Lösungen zu finden. Wer bei der methodischen Lösungsfindung alle Stakeholder einbindet und die organisatorischen Rahmenbedingungen passend gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort. ==Lehrender== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV])<br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Prozessmanagement" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">Ausgangspunkte== <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ein eindeutiges Ergebnis''': # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. </span><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ebenso: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [[https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [[https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==<span style="color:grey;">Unterlagen für die asynchrone akademische Lehre== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#D9D9D9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blac;">'''Skripte''' zum asynchronen Lernen</div> * [https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EfA236TxfLpCk_kWc27eoeYBOWYLzfvuh2nE6Nz7NVzR9A?e=rXtbB3 <span style="color:grey;">Das Nugget-Chart] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EVUwGRf1-eNHnyiTkf9IYd0BQbaGdfKX3yG4-HutNCaKMw?e=cpQPdm <span style="color:grey;">St.Galler Management-Modell] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EQOExLN2mgpKi7ui6lhr-mYBNc1CnTHIhRs2SqV4bFrTBw?e=CxKgQx <span style="color:grey;">Geschäftsprozessmanagement] ------------ </div> <span style="color:grey;">Asynchrones Lernen meint, ohne Hilfe anderer (Lehr)Personen verfügbare Informations-Materialien zu nutzten, um sich eigenständig neues Wissen anzueignen. Dieser Kompetenzerwerb ist fester Bestandteil eines akademischen Studiums und bereitet auf das "Lebenslange Lernen" vor.<br><br> '''Bereitgestellte Materialien für die asynchrone Lehre:''' # <span style="color:grey;">ein traditioneller Foliensatz im PDF-Format # <span style="color:grey;">ein Lehrskript mit einer groben Übersicht # <span style="color:grey;">ein elektronischer Semesterapparat mit eBooks<br> <span style="color:grey;">'''Literatur:''' * <span style="color:grey;">Konrad, K. (2003): Wege zum selbstgesteuerten Lernen. Vom Konzept zur Umsetzung. In: Pädagogik 5/2003, S. 14 – 17. * <span style="color:grey;">Landwehr, N./Müller, E. (2006): Begleitetes Selbststudium, Bern. ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. ==<big>Themen</big>== geplante Themenfolge, von der nach Bedarf abgewichen derden kann: * <span style="color:blue;"> Einführung * <span style="color:blue;"> Prozessmanagement im Unternehmen * <span style="color:blue;"> Referenzmodelle | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=rGwM7ECpaFw Referenzmodelle] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozesse | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=3b-j3ZsLGKI Geschäftsprozesse] * <span style="color:blue;"> Business Process Management Life Cycle * <span style="color:blue;"> Gestaltung und Dokumentation von Geschäftsprozessen * <span style="color:blue;"> Prozesslandkarte | podcasts: Prozesslandkarte [https://www.youtube.com/watch?v=NerreGedHvA Prozesslandkarte], [https://www.youtube.com/watch?v=Ikuh4vwermQ Prozesslandkarte erstellen] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozessmodell * <span style="color:blue;"> Prozesscontrolling, Methoden der Prozessoptimierung * <span style="color:blue;"> Prozessführung: Performance Indicators<br><br> ==<span style="color:green;">Selbststudium am 12/13.06.2026== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#29B335;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:green;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:green;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:green;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:green;"> Template zur Verschriftlichung</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">Feedback-Bogen] -------------- </div> <span style="color:green;">Im Selbststudium übernehmen die Studierenden die individuelle Verantwortung für das Erringen von eigenen Lernfortschritte. Dies erfordert Disziplin und Selbstmotivation, die im Berufsalltag beim "lebenslangen Lernen" unbedingt benötigt werden. <span style="color:green;">Das in diesem Kurs erforderliche Selbststudiums durchläuft folgende Arbeitsphasen: * <span style="color:green;">die besprochenen Folien des Folienskriptes durcharbeiten * <span style="color:green;">in 5er-Gruppen ein gemeinsames Verständnis des Fachinhaltes erzielen * <span style="color:green;">in der Gruppe ein dazu passendes [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">'''Nugget-Chart'''</span>] <span style="color:green;"> </span> erstellen * <span style="color:green;">das erstellte Gruppen-Chart zum nächsten Treffen in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=823936 <span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] hochgeladen * <span style="color:green;">von jeder teilnehmenden Person des Kurses sind mindestesn 3 Gruppencharts hochzuladen. <br> <span style="color:green;">Wer darüber hinaus Vorarbeiten für seine eigene Seminararbeit ausführen möchte, tut erfahrungsgemäß gut daran * <span style="color:green;">das Gruppen-Chart in einem Text mit 5-Absätzen zu verschriftlichen * <span style="color:green;">abschließend(!) aus dem erstellten Text einen header zu entwicklen und ihn an den Textanfang zu platzieren * <span style="color:green;">die aktuielle Version des Textes mit dem [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">'''Feedback-Bogen'''] zu überarbeiten * <span style="color:green;">ein Feedback vom überarbeiteten Text einhzuholen ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#FF0000;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Unterlagen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Muster.pdf <span style="color:red;"> guter Text </span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|<span style="color:red;"> '''bessere Texte schreiben''']] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> Benotungskriterien</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">'''Template'''] -------------- </div> <span style="color:red;"> Zunächst üben die Studentinnen und Studenten * <span style="color:red;"> in Kleingruppen mehrmals(!) die Erstellung eines Nugget-Charts über das Thema des letzten Treffens * <span style="color:red;"> alleine mehrmals(!) das Verschriftlichen eines erstellten Nugget-Charts mit der Benutzung mindestens einer Eingabe (promt) in mindestens einem KI-Tool <span style="color:red;"> Dann verschriftlichen Studentinnen und Studenten in dem erforderlichen Template mit der Unterstütztung eines KI-Tools und legen ihre individuelle Prüfungsleistung in den ILIAs-Ordner '''Prüfungsleistungen''' ab * <span style="color:red;"> Spätester Abgabetermin: <big>23.06.2026 um 23:59 Uhr Uhr</big><br> <span style="color:red;">'''Voraussetzungen für die Benotung einer Prüfungsleistung:''' *<span style="color:red;"> Die Autorin/der Autor hat ein persönliches Kurslogbuch abgegebenen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit macht die benutzten KI-Tool und deren Promts in einer Liste kenntlich<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit ist rechtzeitig eingetroffen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit trägt im Kopf den Namen der Autorin bzw. des Autors<br> == Siehe auch == {|style="width:80%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozessmodellierung Geschäftsprozessmodellierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozess Prozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesskostenrechnung Prozesskostenrechnung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesslandkarte Prozesslandkarte] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessoptimierung Prozessoptimierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessstruktur Prozessstruktur] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Referenzmodell Referenzmodell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertsch%C3%B6pfungsprozess Wertschöpfungsprozess] |} == Empfohlene Fachliteratur == * [https://www.amazon.de/End-End-Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement-Organisationselement-Integrationsinstrument-Managementansatz/dp/370910839X Bergsmann, St. (2012): End-to-End-Geschäftsprozessmanagement, Organisationselement, Integrationsinstrument, Managementansatz, Springer: Wien/New York]; ISBN 978-3709108390 * [https://www.amazon.de/-/en/Marlon-Dumas/dp/3662587351/ref=sr_1_1?crid=3BYRBW6TRL7Z6&keywords=Grundlagen+des+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagements&qid=1674822625&s=books&sprefix=grundlagen+des+gesch%C3%A4ftsprozessmanagements%2Cstripbooks%2C101&sr=1-1 Dumas, M./La Rosa, M./Mendling, J./Reijers, H. A. (2021): Grundlagen des Geschäftsprozessmanagementsagel ]; ISBN 978-3662587355 * [https://www.amazon.de/Andreas-Gadatsch/dp/3658278110/ref=pd_rhf_d_se_s_pd_crcd_sccl_1_2/262-2030807-9113000?pd_rd_w=uCoNA&content-id=amzn1.sym.21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_p=21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_r=6HEM33MJ7GWNT1XCE3HX&pd_rd_wg=XKr1h&pd_rd_r=329d1a8b-acf2-4007-be57-ab0f801d3f2a&pd_rd_i=3658278110&psc=1 Gadatsch, A. (2020): Grundkurs Geschäftsprozess-Management. Analyse, Modellierung, Optimierung und Controlling von Prozessen, 9., akt. u. erw. Aufl., SpringerGabler: Wiesbaden]; ISBN 978-3658278113 * [https://www.amazon.de/-/en/Hermann-J-Schmelzer/dp/3446446257/ref=sr_1_1?crid=2X93WCJICAOG7&keywords=Schmelzer%2C+H.+J.%3B+Sesselmann%2C+W.+%282020%29%3A+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+Praxis.&qid=1674822854&s=books&sprefix=schmelzer+h.+j.+sesselmann+w.+2020+gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+praxis.+%2Cstripbooks%2C108&sr=1-1 Schmelzer, H. J.; Sesselmann, W. (2020): Geschäftsprozessmanagement in der Praxis. Kunden zufrieden stellen, Produktivität Steigern, Wert erhöhen, 9. vollst. überarb. Aufl., Hanser: München]; ISBN 978-3446446250 [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] nki1ghu7xdp0aemq7bq8rdr7gesb9r4 1078955 1078954 2026-05-07T17:39:22Z Falko Wilms 8588 /* Selbststudium am 12/13.06.2026 */ 1078955 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||350px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Sommersemester 2026</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''Einführung in das Geschäftsprozessmanagement'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms ''mit Anwesenheitspflicht'' </span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;"><big>'''Umgang mit KI'''</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:blue;">'''zum Einsatz von KI-Tools''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:blue;">'''Dialog mit einem Chatbot''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Chatbot_als_Tutor| <span style="color:blue;">'''Chatbot als pers. Tutor''']] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Tipps</big>'''</div> *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheitspflicht|<span style="color:green;">'''<big>Anwesenheitspflicht</big>''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation]] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading Tipps zum schnellen Lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [http://www.falko-wilms.de/HL/s.pdf <span style="color:green;"><small>'''Studien-Basics''' (geschützt für m''ich'')</small>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''<span style="color:green;">Tipps für's Studieren</span>''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Verständlichkeit|<span style="color:red;">Verständlich formulieren]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] '''|''' [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==Worum geht es bei der Thematik?== Insbesondere in der mittelständischen Wirtschaft sind vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk exzellente Geschäftsprozesse der zentrale Erfolgsfaktor. Geschäftsprozessmanagement (GPM) liefert hierfür das Instrumentarium, um arbeitsteilige Wertschöpfungsketten unter den organisationalen Bedingungen systematisch zu planen, zu steuern und zu optimieren. Ziel ist die Verbindung von Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. Angesichts von Fachkräftemangel und Digitalisierungsdruck ist immer wieder abteilungsübergreifend trotz konkurrierender Ziele (z. B. Kostensenkung und Qualitätserhöhung) gut argumentierbare Lösungen zu finden. Wer bei der methodischen Lösungsfindung alle Stakeholder einbindet und die organisatorischen Rahmenbedingungen passend gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort. ==Lehrender== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV])<br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Prozessmanagement" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">Ausgangspunkte== <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ein eindeutiges Ergebnis''': # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. </span><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ebenso: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [[https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [[https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==<span style="color:grey;">Unterlagen für die asynchrone akademische Lehre== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#D9D9D9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blac;">'''Skripte''' zum asynchronen Lernen</div> * [https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EfA236TxfLpCk_kWc27eoeYBOWYLzfvuh2nE6Nz7NVzR9A?e=rXtbB3 <span style="color:grey;">Das Nugget-Chart] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EVUwGRf1-eNHnyiTkf9IYd0BQbaGdfKX3yG4-HutNCaKMw?e=cpQPdm <span style="color:grey;">St.Galler Management-Modell] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EQOExLN2mgpKi7ui6lhr-mYBNc1CnTHIhRs2SqV4bFrTBw?e=CxKgQx <span style="color:grey;">Geschäftsprozessmanagement] ------------ </div> <span style="color:grey;">Asynchrones Lernen meint, ohne Hilfe anderer (Lehr)Personen verfügbare Informations-Materialien zu nutzten, um sich eigenständig neues Wissen anzueignen. Dieser Kompetenzerwerb ist fester Bestandteil eines akademischen Studiums und bereitet auf das "Lebenslange Lernen" vor.<br><br> '''Bereitgestellte Materialien für die asynchrone Lehre:''' # <span style="color:grey;">ein traditioneller Foliensatz im PDF-Format # <span style="color:grey;">ein Lehrskript mit einer groben Übersicht # <span style="color:grey;">ein elektronischer Semesterapparat mit eBooks<br> <span style="color:grey;">'''Literatur:''' * <span style="color:grey;">Konrad, K. (2003): Wege zum selbstgesteuerten Lernen. Vom Konzept zur Umsetzung. In: Pädagogik 5/2003, S. 14 – 17. * <span style="color:grey;">Landwehr, N./Müller, E. (2006): Begleitetes Selbststudium, Bern. ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. ==<big>Themen</big>== geplante Themenfolge, von der nach Bedarf abgewichen derden kann: * <span style="color:blue;"> Einführung * <span style="color:blue;"> Prozessmanagement im Unternehmen * <span style="color:blue;"> Referenzmodelle | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=rGwM7ECpaFw Referenzmodelle] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozesse | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=3b-j3ZsLGKI Geschäftsprozesse] * <span style="color:blue;"> Business Process Management Life Cycle * <span style="color:blue;"> Gestaltung und Dokumentation von Geschäftsprozessen * <span style="color:blue;"> Prozesslandkarte | podcasts: Prozesslandkarte [https://www.youtube.com/watch?v=NerreGedHvA Prozesslandkarte], [https://www.youtube.com/watch?v=Ikuh4vwermQ Prozesslandkarte erstellen] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozessmodell * <span style="color:blue;"> Prozesscontrolling, Methoden der Prozessoptimierung * <span style="color:blue;"> Prozessführung: Performance Indicators<br><br> ==<span style="color:green;">Selbststudium am 12/13.06.2026== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#29B335;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:green;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:green;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:green;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:green;"> Template zur Verschriftlichung</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">Feedback-Bogen] -------------- </div> <span style="color:green;">Im Selbststudium übernehmen die Studierenden die individuelle Verantwortung für das Erringen von eigenen Lernfortschritte. Dies erfordert Disziplin und Selbstmotivation, die im Berufsalltag beim "lebenslangen Lernen" unbedingt benötigt werden. <span style="color:green;">Das in diesem Kurs erforderliche Selbststudiums durchläuft folgende Arbeitsphasen: * <span style="color:green;">die besprochenen Folien des Folienskriptes durcharbeiten * <span style="color:green;">in 5er-Gruppen ein gemeinsames Verständnis des Fachinhaltes erzielen * <span style="color:green;">in der Gruppe ein dazu passendes [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">'''Nugget-Chart'''</span>] <span style="color:green;"> </span> erstellen * <span style="color:green;">das erstellte Gruppen-Chart <small>(nur Chart, KEINE Verschriftlichung!)</small> spätestens am 16.06.2026 in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=823936 <span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] hochgeladen * <span style="color:green;">von jeder teilnehmenden Person des Kurses sind mindestesn 3 Gruppencharts hochzuladen. <br> <span style="color:green;">Wer darüber hinaus Vorarbeiten für seine eigene Seminararbeit ausführen möchte, tut erfahrungsgemäß gut daran * <span style="color:green;">das Gruppen-Chart in einem Text mit 5-Absätzen zu verschriftlichen * <span style="color:green;">abschließend(!) aus dem erstellten Text einen header zu entwicklen und ihn an den Textanfang zu platzieren * <span style="color:green;">die aktuielle Version des Textes mit dem [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">'''Feedback-Bogen'''] zu überarbeiten * <span style="color:green;">ein Feedback vom überarbeiteten Text einhzuholen ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#FF0000;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Unterlagen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Muster.pdf <span style="color:red;"> guter Text </span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|<span style="color:red;"> '''bessere Texte schreiben''']] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> Benotungskriterien</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">'''Template'''] -------------- </div> <span style="color:red;"> Zunächst üben die Studentinnen und Studenten * <span style="color:red;"> in Kleingruppen mehrmals(!) die Erstellung eines Nugget-Charts über das Thema des letzten Treffens * <span style="color:red;"> alleine mehrmals(!) das Verschriftlichen eines erstellten Nugget-Charts mit der Benutzung mindestens einer Eingabe (promt) in mindestens einem KI-Tool <span style="color:red;"> Dann verschriftlichen Studentinnen und Studenten in dem erforderlichen Template mit der Unterstütztung eines KI-Tools und legen ihre individuelle Prüfungsleistung in den ILIAs-Ordner '''Prüfungsleistungen''' ab * <span style="color:red;"> Spätester Abgabetermin: <big>23.06.2026 um 23:59 Uhr Uhr</big><br> <span style="color:red;">'''Voraussetzungen für die Benotung einer Prüfungsleistung:''' *<span style="color:red;"> Die Autorin/der Autor hat ein persönliches Kurslogbuch abgegebenen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit macht die benutzten KI-Tool und deren Promts in einer Liste kenntlich<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit ist rechtzeitig eingetroffen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit trägt im Kopf den Namen der Autorin bzw. des Autors<br> == Siehe auch == {|style="width:80%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozessmodellierung Geschäftsprozessmodellierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozess Prozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesskostenrechnung Prozesskostenrechnung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesslandkarte Prozesslandkarte] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessoptimierung Prozessoptimierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessstruktur Prozessstruktur] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Referenzmodell Referenzmodell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertsch%C3%B6pfungsprozess Wertschöpfungsprozess] |} == Empfohlene Fachliteratur == * [https://www.amazon.de/End-End-Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement-Organisationselement-Integrationsinstrument-Managementansatz/dp/370910839X Bergsmann, St. (2012): End-to-End-Geschäftsprozessmanagement, Organisationselement, Integrationsinstrument, Managementansatz, Springer: Wien/New York]; ISBN 978-3709108390 * [https://www.amazon.de/-/en/Marlon-Dumas/dp/3662587351/ref=sr_1_1?crid=3BYRBW6TRL7Z6&keywords=Grundlagen+des+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagements&qid=1674822625&s=books&sprefix=grundlagen+des+gesch%C3%A4ftsprozessmanagements%2Cstripbooks%2C101&sr=1-1 Dumas, M./La Rosa, M./Mendling, J./Reijers, H. A. (2021): Grundlagen des Geschäftsprozessmanagementsagel ]; ISBN 978-3662587355 * [https://www.amazon.de/Andreas-Gadatsch/dp/3658278110/ref=pd_rhf_d_se_s_pd_crcd_sccl_1_2/262-2030807-9113000?pd_rd_w=uCoNA&content-id=amzn1.sym.21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_p=21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_r=6HEM33MJ7GWNT1XCE3HX&pd_rd_wg=XKr1h&pd_rd_r=329d1a8b-acf2-4007-be57-ab0f801d3f2a&pd_rd_i=3658278110&psc=1 Gadatsch, A. (2020): Grundkurs Geschäftsprozess-Management. Analyse, Modellierung, Optimierung und Controlling von Prozessen, 9., akt. u. erw. Aufl., SpringerGabler: Wiesbaden]; ISBN 978-3658278113 * [https://www.amazon.de/-/en/Hermann-J-Schmelzer/dp/3446446257/ref=sr_1_1?crid=2X93WCJICAOG7&keywords=Schmelzer%2C+H.+J.%3B+Sesselmann%2C+W.+%282020%29%3A+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+Praxis.&qid=1674822854&s=books&sprefix=schmelzer+h.+j.+sesselmann+w.+2020+gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+praxis.+%2Cstripbooks%2C108&sr=1-1 Schmelzer, H. J.; Sesselmann, W. (2020): Geschäftsprozessmanagement in der Praxis. Kunden zufrieden stellen, Produktivität Steigern, Wert erhöhen, 9. vollst. überarb. Aufl., Hanser: München]; ISBN 978-3446446250 [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] ce9f136xktu42gdobw2i9eeeadojvtt 0 99343 1078890 1078879 2026-05-07T12:42:10Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Definition der Abbildung g */ 1078890 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === , definiere <math>g \colon G \to \mathbb C</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> dann ist <math>g</math> [[Holomorphie|holomorph]] und nach der [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|globalen Integralformel für Zyklen]] folgt :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. === Bemerkung - Anwendung auf konvexe Gebiete === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen durch Ergänzung von Wege auf Summe von Integralen auf konvexe Gebiete übertragen. Die Ergänzung von Wegen erfolgt mit Integralsumme 0. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> 3a9cvqbkgizlg1ccka838ws122npnkb 1078891 1078890 2026-05-07T12:43:02Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Definition der Abbildung g */ 1078891 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === , definiere <math>g \colon G \to \mathbb C</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> dann ist <math>g</math> [[Holomorphie|holomorph]] und nach der globalen [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] folgt :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. === Bemerkung - Anwendung auf konvexe Gebiete === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen durch Ergänzung von Wege auf Summe von Integralen auf konvexe Gebiete übertragen. Die Ergänzung von Wegen erfolgt mit Integralsumme 0. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> kesvvbrp1snzdbzv96o1u6lbkfs23ih 1078892 1078891 2026-05-07T12:48:33Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Definition der Abbildung g */ 1078892 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIF für Zyklen auf g === Da <math>g</math> holomorph auf <math>G</math> und <math>\Gamma</math> nullhomolog ist, kann man nach den globalen [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] auf <math>g</math> anwenden und man erhält: :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Anwendung auf konvexe Gebiete === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen durch Ergänzung von Wege auf Summe von Integralen auf konvexe Gebiete übertragen. Die Ergänzung von Wegen erfolgt mit Integralsumme 0. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> gn4s979n9omtp5fc55077l7iu66xg18 1078893 1078892 2026-05-07T13:36:34Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Anwendung auf konvexe Gebiete */ 1078893 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIF für Zyklen auf g === Da <math>g</math> holomorph auf <math>G</math> und <math>\Gamma</math> nullhomolog ist, kann man nach den globalen [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] auf <math>g</math> anwenden und man erhält: :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Anwendung auf konvexe Gebiete === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integral: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> byxqf3xmv7lfy63uwfz8mm63f852qu3 1078894 1078893 2026-05-07T13:37:32Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendung des CIS für konvexe Gebiete */ 1078894 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIF für Zyklen auf g === Da <math>g</math> holomorph auf <math>G</math> und <math>\Gamma</math> nullhomolog ist, kann man nach den globalen [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] auf <math>g</math> anwenden und man erhält: :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. <math>\quad \Box</math> === Bemerkung - Anwendung auf konvexe Gebiete === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. 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Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. 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Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIF für Zyklen auf g === Da <math>g</math> holomorph auf <math>G</math> und <math>\Gamma</math> nullhomolog ist, kann man nach den globalen [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] auf <math>g</math> anwenden und man erhält: :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. <math>\quad \Box</math> == Bemerkung - CIS-Anwendung auf konvexe Gebiete == Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> bb2ybhdp4areaomm9hlbboshgsh9o47 1078897 1078896 2026-05-07T13:38:52Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - CIS-Anwendung auf konvexe Gebiete */ 1078897 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIF für Zyklen auf g === Da <math>g</math> holomorph auf <math>G</math> und <math>\Gamma</math> nullhomolog ist, kann man nach den globalen [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] auf <math>g</math> anwenden und man erhält: :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. <math>\quad \Box</math> == Bemerkung - CIS-Anwendung für konvexe Gebiete == Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> remjqdjh2rpb0o3jdck7kitb7hhb72g 1078898 1078897 2026-05-07T13:43:58Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - CIS-Anwendung für konvexe Gebiete */ 1078898 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIF für Zyklen auf g === Da <math>g</math> holomorph auf <math>G</math> und <math>\Gamma</math> nullhomolog ist, kann man nach den globalen [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] auf <math>g</math> anwenden und man erhält: :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. <math>\quad \Box</math> == Bemerkung - CIS-Anwendung für konvexe Gebiete == Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall zu behandeln. === Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> blgkjy4764hxy65x0ignhn3s5w886aq 1078899 1078898 2026-05-07T13:46:27Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - CIS-Anwendung für konvexe Gebiete */ 1078899 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIF für Zyklen auf g === Da <math>g</math> holomorph auf <math>G</math> und <math>\Gamma</math> nullhomolog ist, kann man nach den globalen [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] auf <math>g</math> anwenden und man erhält: :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. <math>\quad \Box</math> == Bemerkung - CIS-Anwendung für konvexe Gebiete == Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> c3loinognm2qd5rf02c4jmkd4umozjc 1078900 1078899 2026-05-07T13:59:41Z Bert Niehaus 20843 /* Eigenschaften von Wegen */ 1078900 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIF für Zyklen auf g === Da <math>g</math> holomorph auf <math>G</math> und <math>\Gamma</math> nullhomolog ist, kann man nach den globalen [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] auf <math>g</math> anwenden und man erhält: :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. <math>\quad \Box</math> == Bemerkung - CIS-Anwendung für konvexe Gebiete == Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> ts649k2kuadaqun8m3g9p7z9frjejdf 1078914 1078900 2026-05-07T14:41:48Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen */ 1078914 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. 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Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIF für Zyklen auf g === Da <math>g</math> holomorph auf <math>G</math> und <math>\Gamma</math> nullhomolog ist, kann man nach den globalen [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] auf <math>g</math> anwenden und man erhält: :<math> \int_\Gamma f(z)\, dz = \int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\pi i} \cdot\int_{\Gamma} \frac{g(z)}{z-w}\, dz = 2\pi i \cdot n(\Gamma, w) \cdot \underbrace{g(w)}_{=0} = 0. </math> Dabei wurde <math>g(w) = (w-w)\cdot f(w) = 0</math> verwendet. <math>\quad \Box</math> == Bemerkung - CIS-Anwendung für konvexe Gebiete == Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. 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Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === == Bemerkung - CIS-Anwendung für konvexe Gebiete == Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> tal4nron84q066pu1nclurlu0j25ac9 1078924 1078923 2026-05-07T15:15:05Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - CIS-Anwendung für konvexe Gebiete */ 1078924 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> 8bsd63uis7a9h22h8hntxyea633p9d5 1078925 1078924 2026-05-07T15:15:30Z Bert Niehaus 20843 /* Offene Überdeckung mit Kreisschreiben */ 1078925 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> ffnpyicfh3qdvk2by9rc9o55ofigfep 1078926 1078925 2026-05-07T15:15:46Z Bert Niehaus 20843 /* Ergänzung von annulierenden Wegen */ 1078926 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> ci9n2q0odf6nh94hau4p5rxpjo4ul8b 1078927 1078926 2026-05-07T15:16:05Z Bert Niehaus 20843 /* Anwendung des CIS für konvexe Gebiete */ 1078927 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 7 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> q0lhsoztmp6mdjh2iapwmauu5ayzil3 1078928 1078927 2026-05-07T15:16:18Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 7 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete */ 1078928 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Sei <math>w \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math> außerhalb der Spur von <math>\Gamma</math> gewählt, damit man die gegebene [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f</math> über die [[Integralformel von Cauchy#Für Zykel auf beliebigen offenen Mengen|globalen Integralformel]] für nullhomologe Zyklen darstellen kann. === Schritt 1 - Definition der Abbildung g === Man definiert eine Funktion <math>g \colon G \to \mathbb{C}</math> als Produkt von der holomorphen Funktion <math>f</math> und einer [[w:de:ganze Funktion|ganzen Funktion]] <math>g_0(z):=z-w</math> durch <center><math> g(z) := (z-w)\cdot f(z) </math></center> Dann ist <math>g</math> als Produkt von zwei [[Holomorphie|holomorphen]] Funktionen wieder holomorph. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> gj7sfgtfhcxr036o1kvk37mtx15msmb 1078930 1078928 2026-05-07T15:37:41Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen */ 1078930 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Man betrachtet in dem Beweis eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass für alle <math></math> gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> lybo9mhbbvzg5rzefm37uam9871n86b 1078931 1078930 2026-05-07T15:40:42Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete */ 1078931 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Man betrachtet in dem Beweis eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass für alle <math></math> gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Damit gilt die Behauptung. <math> \quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> 98s14q5t1dvsfhedg6gmcclgide52tk 1078932 1078931 2026-05-07T15:41:00Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete */ 1078932 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Man betrachtet in dem Beweis eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass für alle <math></math> gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Damit gilt die Behauptung. <math> \quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> ms543moxtnao30abnur50fy992ao2zi 1078942 1078932 2026-05-07T17:03:07Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078942 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Man betrachtet in dem Beweis eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass für alle <math></math> gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Damit gilt die Behauptung. <math> \quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Stetigkeit]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> 5mzroive4wu59xqsg7sw6tsiiam7yn5 1078943 1078942 2026-05-07T17:04:00Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078943 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Man betrachtet in dem Beweis eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass für alle <math></math> gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Damit gilt die Behauptung. <math> \quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> f63mnke5f0xftjxqj9ex8vb8n6ulu9k 1078944 1078943 2026-05-07T17:11:02Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Innere Punkte */ 1078944 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Man betrachtet in dem Beweis eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass für alle <math></math> gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Damit gilt die Behauptung. <math> \quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> hr86vuc8g923b8wia7vz6wqfhwsj2ml 1078945 1078944 2026-05-07T17:12:18Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 1 - Innere Punkte */ 1078945 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. 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Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Man betrachtet in dem Beweis eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Damit gilt die Behauptung. <math> \quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> h4w7qfpvjwkk6a31541693wv8p3jiod 1078989 1078945 2026-05-08T10:22:40Z Bert Niehaus 20843 /* Eigenschaften von Wegen */ 1078989 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Man betrachtet in dem Beweis eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Damit gilt die Behauptung. <math> \quad q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> 300a80mofnlwgdic1f4f937vsxsu9gx 1078992 1078989 2026-05-08T10:52:48Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen */ 1078992 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == == Bemerkung - Kompakte Mengen == === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> p3c0kct6dr2zji8kpne0s0gttzwqvc3 1078993 1078992 2026-05-08T10:57:51Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen */ 1078993 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == == Bemerkung - Kompakte Mengen == === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> 8n2yg2bi9al8a161aswpdcom2sqzenf 1078996 1078993 2026-05-08T11:13:04Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1078996 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und Der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog == Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == == Bemerkung - Kompakte Mengen == === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> 97tv9v7apqvx35w3a3z3yswkzj9qrn8 1078997 1078996 2026-05-08T11:13:30Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog */ 1078997 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und Der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog === Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == == Bemerkung - Kompakte Mengen == === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> jlo2gcaa1qewjusqv83fsn6r86mehde 1078998 1078997 2026-05-08T11:14:00Z Bert Niehaus 20843 /* Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ */ 1078998 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog === Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == == Bemerkung - Kompakte Mengen == === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> n82glpsocnepf975cca2ogta3kiy3dc 1078999 1078998 2026-05-08T11:20:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen */ 1078999 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog === Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Definition einer holomorphen Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>g(z):=f(z)\cdot (z-z_o)</math> für eine beliebiges <math>z_o\in G</math>. * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] auf die Funktion <math>g</math>. * Man erhält (CIS-NZ) durch <math>g(z_o)=0</math> == Bemerkung - Kompakte Mengen == === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> czp8xlejqv9ak1cvzkykd1p0xxy3ibh 1079002 1078999 2026-05-08T11:23:34Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1079002 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog === Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Definition einer holomorphen Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>g(z):=f(z)\cdot (z-z_o)</math> für eine beliebiges <math>z_o\in G</math>. * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] auf die Funktion <math>g</math>. * Man erhält (CIS-NZ) durch <math>g(z_o)=0</math> == Bemerkung - Kompakte Mengen == === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> m1w1lo3lxqm258lx203gpq9ntmpz1gi 1079004 1079002 2026-05-08T11:45:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen */ 1079004 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog === Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Definition einer holomorphen Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>g(z):=f(z)\cdot (z-z_o)</math> für eine beliebiges <math>z_o\in G</math>. * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] auf die Funktion <math>g</math>. * Man erhält [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen|(CIS-NZ)]] durch <math>g(z_o)=0</math> === Beweisschritt 1 - Definition der Funktion === Die Funktion <math>h(z):= z-z_o</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] und die Verkettung <math>g:=f\cdot h</math> ist zumindest eine [[holomorphe Funktion]] auf <math>G</math>. Ziel ist die Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] auf die Funktion <math>g(z)=f(z)\cdot (z-z_o)</math>. === Beweisschritt 2 - Cauchy-Integralformel CIF-NZ für g === Die [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] lautet angewendet auf <math>g</math>: :<math> n(\Gamma, z)\cdot g(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z} \, dw </math> === Beweisschritt 3 - Einsetzen eines Punktes === Die Darstellung aus Beweisschritt 2 gilt für alle <math>z\in G</math> also insbesondere für <math>z_o</math> und man erhält: :<math> n(\Gamma, z_o)\cdot \underbrace{g(z_o)}_{=0} = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z_o} \, dw = 0 </math> Dabei ist das Integral 0, weil <math>g(z_o) = f(z_o)\cdot (z_o-z_o) = 0</math> gilt. === Beweisschritt 4 - Einsetzen der Defintion von g === Durch Einsetzen der Definition von <math>g</math> erhält man für beliebiege <math>z_o\in G</math> die Darstellung: :<math> 0 = n(\Gamma, z_o)\cdot g(z_o) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)\cdot (w-z_o)}{w-z_o} \, dw </math> == Bemerkung - Kompakte Mengen == === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> t8hmv47qepal6soj4o5drhwddoyp7v4 1079005 1079004 2026-05-08T11:51:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Einsetzen der Defintion von g */ 1079005 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie]]. Es gibt ihn in [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|verschiedenen Versionen]], von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] [[Gebiet (Mathematik)|Gebieten]] und eine relativ allgemeine für [[nullhomolog|nullhomologe Zyklen]] vorstellen wollen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog === Bekannt ist, dass das Integral über <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> bei der Integration über den geschlossenen Weg <math>\gamma(t):=r\cdot e^{it}</math> über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert <math>2\pi i</math> liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet <math>G</math> konvex ist. Dies ist für <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von <math>f</math> gehört. == Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein konvexes Gebiet, <math>\gamma</math> ein in <math>G</math> geschlossener [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbarer]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Weg]]. Dann ist für jede holomorphe Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis == Der '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete#Beweis|Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' verwendet im Wesentlichen das [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat_mit_Ausnahme_eines_Punktes|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]], in dem eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]] zumindest noch [[Stetigkeit|stetig]] ist. <span id="Zyklus"></span> === Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen === Auf beliebigen offenen Mengen <math>U</math> muss man bei den [[Zyklus|Zyklen]] darauf achten, dass keine [[Kurs:Funktionentheorie/Singularitäten|Singularitäten/Polstellen]] im Komplement des Definitionsbereiches <math>U</math> umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math> und <math>\gamma(t):= e^{it}</math> auf einem Gebiet <math>G = \mathbb{C}\setminus \{0\}</math>). Auch wenn <math>f</math> holomorph auf <math>G</math> ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im [[Wegintegral]] liefert <math>2\pi i</math> als Beitrag zum Integral. === Eigenschaften von Wegen === In dem obigen Beispiel ist der bzw. [[Integrationsweg]] <math>\gamma</math> (bzw. in allgemeiner Form der [[Zyklus]]) nicht [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomolog]], da <math>\gamma</math> die <math>0\in G^c= \{0\}</math> umrundet (siehe [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer Zyklus]]). Das Beispiel zeigt, dass man den [[Cauchy-Integralsatz]] zwar nicht auf beliebige Gebiete <math>G</math> erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen. <span id="Zyklen"></span><span id="CIS4Zyklen"></span> == Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>\Gamma</math> ein in <math>G</math> [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus. Dann ist für jede [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion <math>f \colon G \to \mathbb C</math> <center><math> \int_\Gamma f(z)\, dz = 0 </math></center> == Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Definition einer holomorphen Funktion <math>g:G\to \mathbb{C}</math> mit <math>g(z):=f(z)\cdot (z-z_o)</math> für eine beliebiges <math>z_o\in G</math>. * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] auf die Funktion <math>g</math>. * Man erhält [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen|(CIS-NZ)]] durch <math>g(z_o)=0</math> === Beweisschritt 1 - Definition der Funktion === Die Funktion <math>h(z):= z-z_o</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] und die Verkettung <math>g:=f\cdot h</math> ist zumindest eine [[holomorphe Funktion]] auf <math>G</math>. Ziel ist die Anwendung der [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] auf die Funktion <math>g(z)=f(z)\cdot (z-z_o)</math>. === Beweisschritt 2 - Cauchy-Integralformel CIF-NZ für g === Die [[Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] lautet angewendet auf <math>g</math>: :<math> n(\Gamma, z)\cdot g(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z} \, dw </math> === Beweisschritt 3 - Einsetzen eines Punktes === Die Darstellung aus Beweisschritt 2 gilt für alle <math>z\in G</math> also insbesondere für <math>z_o</math> und man erhält: :<math> n(\Gamma, z_o)\cdot \underbrace{g(z_o)}_{=0} = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{g(w)}{w-z_o} \, dw = 0 </math> Dabei ist das Integral 0, weil <math>g(z_o) = f(z_o)\cdot (z_o-z_o) = 0</math> gilt. === Beweisschritt 4 - Einsetzen der Defintion von g === Durch Einsetzen der Definition von <math>g</math> erhält man für beliebiege <math>z_o\in G</math> die Darstellung: :<math> 0 = n(\Gamma, z_o)\cdot g(z_o) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)\cdot (w-z_o)}{w-z_o} \, dw </math> === Beweisschritt 5 - Unabhängigkeit von der Wahl des Punkte === Der rechte Integralterm ist unabhängig von der konkreten Wahl von <math>z_o\in G</math> und <math>g</math> und man erhält die Behauptung (CIS-NZ) mit: :<math> 0 = n(\Gamma, z_o)\cdot g(z_o) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma f(w) \, dw </math> <math>q.e.d</math> == Bemerkung - Kompakte Mengen == === Spur und Inneres eines Zyklus === Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge <math>K\subseteq G </math>, die sich aus der Vereinigung der von <math>\Gamma </math> umlaufenen Punkten <math>Int(\Gamma)</math> und der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern. === Schritt 1 - Innere Punkte === Für einen [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> sind die inneren Punkte für <math>\Gamma</math> wie folgt definiert: :<math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\}</math> Die Menge <math>\operatorname{Int}</math> ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke <math>S > 0 </math>, sodass gilt: :<math> \underset{z\in \operatorname{Int}(\Gamma)}{\forall} \quad |z| \leq S </math> Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert. === Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete === Vereinigt man die umlaufenen Punkte <math>\operatorname{Int}(\Gamma)</math> mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge <math>K:= \operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach dem [[w:de:Satz von Heine-Borel|Satz von Heine-Borel]] ist <math>K</math> kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können. === Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen === Das Innere <math>\operatorname{Int}(\Gamma):=\{z\in\mathbb{C}\setminus\operatorname{Spur}\,\Gamma : n(\Gamma , z) \neq 0\} </math> eines [[nullhomolog|nullhomologen]] [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> (offenen Menge) vereinigt mit der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> ist eine kompakte Menge <math>K=\operatorname{Int}(\Gamma) \cup \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>. Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem [[Normen, Metriken, Topologie|topologischen Raum]] besitzt jede offene Überdeckung <math>\bigcup_{i\in I} U_i \supseteq K </math> auch eine endliche Teilüberdeckung <math>\bigcup_{k=1}^n U_{i_k} \supseteq K </math>. === Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben === Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben <math>D_r(z_o) \subseteq G</math> mit beliebige <math>z_o \in G</math> so erhält man <math>D_1, \ldots , D_n</math> Kreisscheiben mit <math>\bigcup_{k=1}^n D_{k} \supseteq K </math>. === Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen === Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen <math>\Gamma</math> durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege <math>\gamma_1, \ldots, \gamma_n</math> darstellen, wobei die Spuren <math>\mathrm{Spur}(\gamma_k)\subset D_k</math> in den konvexen Gebieten <math>D_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im [[Lemma von Goursat]] verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math> nicht. === Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete === Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über <math>\gamma_k </math> kann man den [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale: :<math> \oint_{\gamma_k} f(z)\, dz = 0 </math> Damit gilt auch das Integral über den Zyklus <math> \Gamma</math>: :<math> \oint_{\Gamma} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^n \underbrace{\oint_{\gamma_k} f(z)\, dz}_{=0} = 0 </math> Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden === Aufgabe für Studierende === Sei <math>\gamma_r : [0,2\pi] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_{(z_o,r)}}(t) = z_o + r e^{it}</math> definiert. Im Folgenden wird der Zyklen <math> \Gamma </math> betrachtet: :<math> \Gamma := \gamma_{_{(1+i,6)}} - \gamma_{_{(i,5)}} - \gamma_{_{(-i,2)}} + 2\cdot \gamma_{_{(0,1)}} </math> ==== Definition der Funktion ==== Das Integral soll über die Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z^2+4}</math> auf <math>G:= \mathbb{C}\setminus \{-2i,+2i\}</math> betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen anwenden darf. ==== Aufgabe 1 ==== Zeichnen Sie die <math>Spur(\Gamma)</math> in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen! ==== Aufgabe 2 ==== Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist. == Siehe auch == * [[Holomorphie]] * [[Holomorphiekriterien]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Cauchy-Integralformel]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette von Wegen]] * [[Stetigkeit]] * [[Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * Nächster Inhalt des Kurses ist der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy Integral Theorem]]</noinclude> bc08ot0geiw1wdh7ktmy4o4l5i3i78p 106 99345 1078976 1000213 2026-05-08T09:15:04Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe */ 1078976 wikitext text/x-wiki == Definition == Es sei <math>\Gamma</math> ein Zyklus in <math>\mathbb C</math>, und <math>z \in \mathbb C</math> ein Punkt, den <math>\Gamma</math> nicht trifft. Dann heißt <center><math>n(\Gamma, z) := \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac 1{w-z} \, dw </math></center> die ''Umlaufzahl'' von <math>\Gamma</math> um <math>z</math>. === Motivation === Betrachten wir zunächst den Fall, dass <math>\Gamma = \gamma</math> nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist <math>\gamma</math> in <math>\mathbb C \setminus \{z\}</math> [[homolog]] zu einem <math>n</math>-fach (für ein <math>n\in \mathbb Z</math>) durchlaufenen Kreis <math>\partial D_r(z)</math> um <math>z</math> mit <math>r>0</math>. Nun ist :<math>\int_{\gamma} \frac 1{w-z}\, dw = \int_{n\cdot \partial B(z)} \frac 1{w-z}\, dw = n \int_{\partial B(z)}\frac 1{w-z}\, dw = 2\pi i \cdot n </math> zählt dieses Integral, wie oft die Kurve <math>\gamma</math> den Punkt <math>z</math> umläuft. === Aufgabe für Studierende === Sei der geschlossene Integrationweg <math>\gamma : [-\pi,+\pi] \to \mathbb{C}</math> wie folgt definiert: : <math> \gamma(t):= \left( 2+cos( t ) \right) \cdot e^{2it} </math> * Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges. <!-- * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,1+i)</math> an. --> * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,0)</math> an. * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,1)</math> an, wenn diese berechenbar ist. Falls die Umlaufzahl nicht berechenbar ist, geben Sie den Grund dafür an. === Veranschaulichung zu Aufgabe === [[File:Kurve cos plus 2.gif|350px|center|GIF animation cos induced radius of a circular path - created with OpenSource Geogebra and exported as GIF animation]] == Additivität des Integrals == Für einen Zyklus <math>\Gamma = \sum_{i=1}^k n_i \cdot \gamma_i</math> mit geschlossenen <math>\gamma_i</math> ist wegen der Additivität des Integrals gerade :<math> n(\Gamma, z) = \sum_{i=1}^k n_i \cdot n(\gamma_i, z)</math> also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt <math>z</math> umlaufen wird. == Länge des Zyklus == Für einen Zyklus <math>\Gamma = \sum_{i=1}^k n_i \gamma_i</math> mit geschlossenen <math>\gamma_i</math> wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert. :<math> \mathcal{L}(\Gamma) := \sum_{i=1}^k n_i \cdot \mathcal{L}(\gamma_i).</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für_Kreisscheiben#Cauchysche_Integralformel_für_Zyklen|Cauchysche Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Winding number]]</noinclude> qngpi2vdugc46ifxjhnx3oeg8eq7gt7 1078977 1078976 2026-05-08T09:16:01Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung zu Aufgabe */ 1078977 wikitext text/x-wiki == Definition == Es sei <math>\Gamma</math> ein Zyklus in <math>\mathbb C</math>, und <math>z \in \mathbb C</math> ein Punkt, den <math>\Gamma</math> nicht trifft. Dann heißt <center><math>n(\Gamma, z) := \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac 1{w-z} \, dw </math></center> die ''Umlaufzahl'' von <math>\Gamma</math> um <math>z</math>. === Motivation === Betrachten wir zunächst den Fall, dass <math>\Gamma = \gamma</math> nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist <math>\gamma</math> in <math>\mathbb C \setminus \{z\}</math> [[homolog]] zu einem <math>n</math>-fach (für ein <math>n\in \mathbb Z</math>) durchlaufenen Kreis <math>\partial D_r(z)</math> um <math>z</math> mit <math>r>0</math>. Nun ist :<math>\int_{\gamma} \frac 1{w-z}\, dw = \int_{n\cdot \partial B(z)} \frac 1{w-z}\, dw = n \int_{\partial B(z)}\frac 1{w-z}\, dw = 2\pi i \cdot n </math> zählt dieses Integral, wie oft die Kurve <math>\gamma</math> den Punkt <math>z</math> umläuft. === Aufgabe für Studierende === Sei der geschlossene Integrationweg <math>\gamma : [-\pi,+\pi] \to \mathbb{C}</math> wie folgt definiert: : <math> \gamma(t):= \left( 2+cos( t ) \right) \cdot e^{2it} </math> * Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges. <!-- * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,1+i)</math> an. --> * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,0)</math> an. * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,1)</math> an, wenn diese berechenbar ist. Falls die Umlaufzahl nicht berechenbar ist, geben Sie den Grund dafür an. === Veranschaulichung zu Aufgabe === Welche Umlaufzahl hat der eingezeichnet Punkt <math>z</math> in der folgenden Animation? [[File:Kurve cos plus 2.gif|350px|center|GIF animation cos induced radius of a circular path - created with OpenSource Geogebra and exported as GIF animation]] == Additivität des Integrals == Für einen Zyklus <math>\Gamma = \sum_{i=1}^k n_i \cdot \gamma_i</math> mit geschlossenen <math>\gamma_i</math> ist wegen der Additivität des Integrals gerade :<math> n(\Gamma, z) = \sum_{i=1}^k n_i \cdot n(\gamma_i, z)</math> also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt <math>z</math> umlaufen wird. == Länge des Zyklus == Für einen Zyklus <math>\Gamma = \sum_{i=1}^k n_i \gamma_i</math> mit geschlossenen <math>\gamma_i</math> wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert. :<math> \mathcal{L}(\Gamma) := \sum_{i=1}^k n_i \cdot \mathcal{L}(\gamma_i).</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für_Kreisscheiben#Cauchysche_Integralformel_für_Zyklen|Cauchysche Integralformel für Zyklen]] <noinclude>[[en:Winding number]]</noinclude> obh3elgg6rexeahxzdtrgs61fab3d79 1078978 1078977 2026-05-08T09:17:24Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078978 wikitext text/x-wiki == Definition == Es sei <math>\Gamma</math> ein Zyklus in <math>\mathbb C</math>, und <math>z \in \mathbb C</math> ein Punkt, den <math>\Gamma</math> nicht trifft. Dann heißt <center><math>n(\Gamma, z) := \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac 1{w-z} \, dw </math></center> die ''Umlaufzahl'' von <math>\Gamma</math> um <math>z</math>. === Motivation === Betrachten wir zunächst den Fall, dass <math>\Gamma = \gamma</math> nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist <math>\gamma</math> in <math>\mathbb C \setminus \{z\}</math> [[homolog]] zu einem <math>n</math>-fach (für ein <math>n\in \mathbb Z</math>) durchlaufenen Kreis <math>\partial D_r(z)</math> um <math>z</math> mit <math>r>0</math>. Nun ist :<math>\int_{\gamma} \frac 1{w-z}\, dw = \int_{n\cdot \partial B(z)} \frac 1{w-z}\, dw = n \int_{\partial B(z)}\frac 1{w-z}\, dw = 2\pi i \cdot n </math> zählt dieses Integral, wie oft die Kurve <math>\gamma</math> den Punkt <math>z</math> umläuft. === Aufgabe für Studierende === Sei der geschlossene Integrationweg <math>\gamma : [-\pi,+\pi] \to \mathbb{C}</math> wie folgt definiert: : <math> \gamma(t):= \left( 2+cos( t ) \right) \cdot e^{2it} </math> * Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges. <!-- * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,1+i)</math> an. --> * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,0)</math> an. * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,1)</math> an, wenn diese berechenbar ist. Falls die Umlaufzahl nicht berechenbar ist, geben Sie den Grund dafür an. === Veranschaulichung zu Aufgabe === Welche Umlaufzahl hat der eingezeichnet Punkt <math>z</math> in der folgenden Animation? [[File:Kurve cos plus 2.gif|350px|center|GIF animation cos induced radius of a circular path - created with OpenSource Geogebra and exported as GIF animation]] == Additivität des Integrals == Für einen Zyklus <math>\Gamma = \sum_{i=1}^k n_i \cdot \gamma_i</math> mit geschlossenen <math>\gamma_i</math> ist wegen der Additivität des Integrals gerade :<math> n(\Gamma, z) = \sum_{i=1}^k n_i \cdot n(\gamma_i, z)</math> also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt <math>z</math> umlaufen wird. == Länge des Zyklus == Für einen Zyklus <math>\Gamma = \sum_{i=1}^k n_i \gamma_i</math> mit geschlossenen <math>\gamma_i</math> wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert. :<math> \mathcal{L}(\Gamma) := \sum_{i=1}^k n_i \cdot \mathcal{L}(\gamma_i).</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für_Kreisscheiben#Cauchysche_Integralformel_für_Zyklen|Cauchysche Integralformel für Zyklen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Winding number]]</noinclude> 1t42lje85wxj19ek0n31ntad8pi199m 1078986 1078978 2026-05-08T10:19:19Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078986 wikitext text/x-wiki == Definition == Es sei <math>\Gamma</math> ein Zyklus in <math>\mathbb C</math>, und <math>z \in \mathbb C</math> ein Punkt, den <math>\Gamma</math> nicht trifft. Dann heißt <center><math>n(\Gamma, z) := \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac 1{w-z} \, dw </math></center> die ''Umlaufzahl'' von <math>\Gamma</math> um <math>z</math>. === Motivation === Betrachten wir zunächst den Fall, dass <math>\Gamma = \gamma</math> nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist <math>\gamma</math> in <math>\mathbb C \setminus \{z\}</math> [[homolog]] zu einem <math>n</math>-fach (für ein <math>n\in \mathbb Z</math>) durchlaufenen Kreis <math>\partial D_r(z)</math> um <math>z</math> mit <math>r>0</math>. Nun ist :<math>\int_{\gamma} \frac 1{w-z}\, dw = \int_{n\cdot \partial B(z)} \frac 1{w-z}\, dw = n \int_{\partial B(z)}\frac 1{w-z}\, dw = 2\pi i \cdot n </math> zählt dieses Integral, wie oft die Kurve <math>\gamma</math> den Punkt <math>z</math> umläuft. === Aufgabe für Studierende === Sei der geschlossene Integrationweg <math>\gamma : [-\pi,+\pi] \to \mathbb{C}</math> wie folgt definiert: : <math> \gamma(t):= \left( 2+cos( t ) \right) \cdot e^{2it} </math> * Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges. <!-- * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,1+i)</math> an. --> * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,0)</math> an. * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,1)</math> an, wenn diese berechenbar ist. Falls die Umlaufzahl nicht berechenbar ist, geben Sie den Grund dafür an. === Veranschaulichung zu Aufgabe === Welche Umlaufzahl hat der eingezeichnet Punkt <math>z</math> in der folgenden Animation? [[File:Kurve cos plus 2.gif|350px|center|GIF animation cos induced radius of a circular path - created with OpenSource Geogebra and exported as GIF animation]] == Additivität des Integrals == Für einen Zyklus <math>\Gamma = \sum_{i=1}^k n_i \cdot \gamma_i</math> mit geschlossenen <math>\gamma_i</math> ist wegen der Additivität des Integrals gerade :<math> n(\Gamma, z) = \sum_{i=1}^k n_i \cdot n(\gamma_i, z)</math> also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt <math>z</math> umlaufen wird. == Länge des Zyklus == Für einen Zyklus <math>\Gamma = \sum_{i=1}^k n_i \gamma_i</math> mit geschlossenen <math>\gamma_i</math> wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert. :<math> \mathcal{L}(\Gamma) := \sum_{i=1}^k n_i \cdot \mathcal{L}(\gamma_i).</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für_Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Cauchysche Integralformel für nullhomologe Zyklen]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Winding number]]</noinclude> ixv3masxlrneodu9ip48yt7d7ujlejl 1078991 1078986 2026-05-08T10:24:49Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078991 wikitext text/x-wiki == Definition == Es sei <math>\Gamma</math> ein Zyklus in <math>\mathbb C</math>, und <math>z \in \mathbb C</math> ein Punkt, den <math>\Gamma</math> nicht trifft. Dann heißt <center><math>n(\Gamma, z) := \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac 1{w-z} \, dw </math></center> die ''Umlaufzahl'' von <math>\Gamma</math> um <math>z</math>. === Motivation === Betrachten wir zunächst den Fall, dass <math>\Gamma = \gamma</math> nur aus einer einzelnen geschlossenen Kurve besteht, dann ist <math>\gamma</math> in <math>\mathbb C \setminus \{z\}</math> [[homolog]] zu einem <math>n</math>-fach (für ein <math>n\in \mathbb Z</math>) durchlaufenen Kreis <math>\partial D_r(z)</math> um <math>z</math> mit <math>r>0</math>. Nun ist :<math>\int_{\gamma} \frac 1{w-z}\, dw = \int_{n\cdot \partial B(z)} \frac 1{w-z}\, dw = n \int_{\partial B(z)}\frac 1{w-z}\, dw = 2\pi i \cdot n </math> zählt dieses Integral, wie oft die Kurve <math>\gamma</math> den Punkt <math>z</math> umläuft. === Aufgabe für Studierende === Sei der geschlossene Integrationweg <math>\gamma : [-\pi,+\pi] \to \mathbb{C}</math> wie folgt definiert: : <math> \gamma(t):= \left( 2+cos( t ) \right) \cdot e^{2it} </math> * Zeichnen/plotten Sie die Spur des Integrationsweges. <!-- * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,1+i)</math> an. --> * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,0)</math> an. * Geben Sie die Umlaufzahl für <math>n(\gamma,1)</math> an, wenn diese berechenbar ist. Falls die Umlaufzahl nicht berechenbar ist, geben Sie den Grund dafür an. === Veranschaulichung zu Aufgabe === Welche Umlaufzahl hat der eingezeichnet Punkt <math>z</math> in der folgenden Animation? [[File:Kurve cos plus 2.gif|350px|center|GIF animation cos induced radius of a circular path - created with OpenSource Geogebra and exported as GIF animation]] == Additivität des Integrals == Für einen Zyklus <math>\Gamma = \sum_{i=1}^k n_i \cdot \gamma_i</math> mit geschlossenen <math>\gamma_i</math> ist wegen der Additivität des Integrals gerade :<math> n(\Gamma, z) = \sum_{i=1}^k n_i \cdot n(\gamma_i, z)</math> also zählt die Umlaufzahl auch hier, wie oft der Punkt <math>z</math> umlaufen wird. == Länge des Zyklus == Für einen Zyklus <math>\Gamma = \sum_{i=1}^k n_i \gamma_i</math> mit geschlossenen <math>\gamma_i</math> wird die Länge des Zyklus additiv über die Länge der einzelnen Integrationswege definiert. :<math> \mathcal{L}(\Gamma) := \sum_{i=1}^k n_i \cdot \mathcal{L}(\gamma_i).</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz_für_Kreisscheiben|Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] * [[nullhomolog]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Winding number]]</noinclude> 2jc7fzt6qwybph57c75aryix5n8u92c 106 99561 1078966 1068636 2026-05-08T05:48:28Z Bert Niehaus 20843 /* Weglänge bei Differenzierbarkeit des Weges */ 1078966 wikitext text/x-wiki Rektifizierbare Kurven sind ein wichtiger Begriff aus der Theorie der [[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Kurvenintegrale]]. Sie sind diejenigen Kurven, die als Integrationsbereich auftreten können. ==Definition - rektifizierbar == Sei <math>\gamma\colon [a,b]\to \mathbb C</math> eine stetige [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurve]]. Sie heißt ''rektifizierbar'', wenn ihre Länge <center><math>\mathcal{L}(\gamma) := \sup\left\{ \sum_{i=1}^n |\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})| \ \bigg|\ n \in \mathbb N, a \le t_0 < \ldots < t_n \le b \right\} </math></center> endlich ist, <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> heißt ''Länge'' von <math>\gamma</math>. === Approximation der Weglänge durch Polygonzug === Die folgende Abbildung zeigt, wie eine Polygonzug <math>P</math> zur Approximation der Länge einer Kurve <math>\gamma </math> verwendet werden kann. [[File:Laenge kurve rektifizierbarkeit.png|350px|rectifiable curve - approximation of length by polygonal chain - created with Geogebra on Linux]] === Abschätzung der Länge === Die Länge des Polygonzuges <math>P_n</math> (blau in obiger Abbildung) unterschätzt die tatsächlich Länge einer rektifizierbaren Kurve <math>\gamma</math>, d.h. <math>\mathcal{L}(P_n) \leq \mathcal{L}(\gamma)</math>. In der Regel gilt <math>\mathcal{L}(P_n) < \mathcal{L}(\gamma) </math>. Durch Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man die <math> < </math>, wenn die Spur des Weges keine Gerade ist. === Beispiel - Koch-Kurve === Die [[Koch-Kurve]] oder [[Koch-Kurve|Kochsche Schneeflocke]] ist eine Weg, der [[Koch-Kurve#Unendliche_Länge_der_Kurve|keine endliche Länge]] besitzt und zugleich eine Flächen einschließt mit endlichem Flächeninhalt. == Weglänge bei Differenzierbarkeit des Weges == Ist <math>\gamma</math> stetig differenzierbar, so ist <math>\gamma</math> rektifizierbar. Seien nämlich <math>a \le t_0 < \ldots < t_n \le b</math>, dann gibt es nach dem [[w:de:Mittelwertsatz|Mittelwertsatz]] <math>\tau_i \in (t_{i-1}, t_i)</math> so, dass <center><math> \sum_{i=1}^n |\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})| = \sum_{i=1}^n |{\gamma{\,}'(\tau_i)}| \cdot (t_{i} - t_{i-1}) </math></center> === Mittelwertsatz === Sei <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> und <math> \tau \in (a,b)</math>, dann gilt mit dem Mittelwertsatz: :<math> g'(\tau) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a} \,\, \Longrightarrow \,\, g'(\tau)\cdot (b-a) = g(b)-g(a) </math> === Riemannsumme als Längen des Polygonzuges === Die rechte Seite der obigen Gleichung für den Polygonzug ist eine Riemannsche Summe für das Integral <math>\int_a^b |\gamma{\,}'(t)|\,dt</math>. Geht man das Maximum der Intervallbreiten <math> \max_{i\in\{1, \ldots , n\} } (t_{i}-t_{t-1}) </math> für <math>n</math> gegen <math>\infty</math> gegen 0, konvergiert bei stetig differenzierbaren Wege die Länge der Polygonzüge <math>\mathcal{L}(P_n)</math> gegen die Länge des Weges <math> \mathcal{L}(\gamma) </math> === Länge bei stetig differenzierbaren Wegen === Sei <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> ein stetig differenzierbarer Weg, dann liefert <center><math> \mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)|\, dt </math></center> die Länge des Weges <math>\gamma</math>. === Bemerkung - Länge bei stetig differenzierbaren Wegen === Da <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist, ist <math>\gamma{\,}'</math> als stetige Funktion. Da <math>[a,b]</math> auf dem kompakten Intervall ist, nimmt die stetige Funktion ein Minimum bzw. Maximum an. Damit ist beschränkt <math>\gamma{\,}'</math> und <math>|\gamma{\,}'|</math> beschränkt und es gilt: <center><math> \mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)|\, dt < \infty </math></center> === Stückweise stetig differenzierbare Kurven === Allgemeiner sind stückweise <math>C^1</math>-Kurven stets rektifizierbar, weil man die obigen Überlegung auf die einzelnen Teile der Kurve an, die dann additive die Länge der gesamten Kurve liefert. Im weiteren Verlauf der Funktionentheorie werden Weg (z.B. über den Dreiecksrand) betrachtet, die nur stückweise die Eigenschaft der stetigen Differenzierbarkeit besitzen, für die man dann trotzdem wie bei einem Dreiecksrand über stückweise den Umfang als Summe der Streckenlängen berechnet. == Nicht rektifizierbare Kurve == Als Beispiel für eine nicht rektifizierbare Kurve betrachte <math>\gamma\colon[0,1]\to \mathbb C</math>, <center><math> t \mapsto \left\{\begin{array}{ll} 0 & t= 0 \\ t +it\cos ( t^{-1}) & t > 0\end{array}\right. </math></center> === Stetigkeit - stetige Differenzierbarkeit === Zunächst ist <math>\gamma</math> stetig und auf jedem Intervall <math>[\epsilon,1]</math> sogar stetig differenzierbar. Auf diesen Intervallen ergibt sich die Länge <center><math> \mathcal{L}(\gamma|_{[\epsilon,1]}) = \int_\epsilon^1 \left| 1 - \frac i{t}\sin (t^{-1})\right|\,dt . </math></center> === Berechnung des uneigentlichen Integrals === Für <math>\epsilon > 0</math> konvergiert dies gegen <center><math> \int_0^1 \left(1 + \frac 1{t^2}\sin^2 t^{-1}\right)^{1/2}\,dt = \infty </math></center>also ist <math>\gamma</math> nicht rektifizierbar. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma_von_Goursat|Lemma von Goursat]] * [[Koch-Kurve]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/rectifiable curve]]</noinclude> kvlnsd7q6k05432njeomofzrp5imeiu 1078972 1078966 2026-05-08T08:30:24Z Bert Niehaus 20843 1078972 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Rektifizierbare Kurven sind ein wichtiger Begriff aus der Theorie der [[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Kurvenintegrale]]. Sie sind diejenigen Kurven, die durch einen Polygonzug approximiert werden können und eine endliche Länge besitzen. Wenn der Weg <math>\gamma</math> nicht nur stetig, sondern auch stetig differenzierbar ist, werden diese Wege als [[Integrationsweg]] verwendet und deren Länge <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> kann mit einem Integral über die <math>|\gamma{\,}'|</math> berechnet werden. ==Definition - rektifizierbar == Sei <math>\gamma\colon [a,b]\to \mathbb C</math> eine stetige [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurve]]. Sie heißt ''rektifizierbar'', wenn ihre Länge <center><math>\mathcal{L}(\gamma) := \sup\left\{ \sum_{i=1}^n |\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})| \ \bigg|\ n \in \mathbb N, a \le t_0 < \ldots < t_n \le b \right\} </math></center> endlich ist, <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> heißt ''Länge'' von <math>\gamma</math>. === Approximation der Weglänge durch Polygonzug === Die folgende Abbildung zeigt, wie eine Polygonzug <math>P</math> zur Approximation der Länge einer Kurve <math>\gamma </math> verwendet werden kann. [[File:Laenge kurve rektifizierbarkeit.png|350px|rectifiable curve - approximation of length by polygonal chain - created with Geogebra on Linux]] === Abschätzung der Länge === Die Länge des Polygonzuges <math>P_n</math> (blau in obiger Abbildung) unterschätzt die tatsächlich Länge einer rektifizierbaren Kurve <math>\gamma</math>, d.h. <math>\mathcal{L}(P_n) \leq \mathcal{L}(\gamma)</math>. In der Regel gilt <math>\mathcal{L}(P_n) < \mathcal{L}(\gamma) </math>. Durch Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man die <math> < </math>, wenn die Spur des Weges keine Gerade ist. === Beispiel - Koch-Kurve === Die [[Koch-Kurve]] oder [[Koch-Kurve|Kochsche Schneeflocke]] ist eine Weg, der [[Koch-Kurve#Unendliche_Länge_der_Kurve|keine endliche Länge]] besitzt und zugleich eine Flächen einschließt mit endlichem Flächeninhalt. == Weglänge bei Differenzierbarkeit des Weges == Ist <math>\gamma</math> stetig differenzierbar, so ist <math>\gamma</math> rektifizierbar. Seien nämlich <math>a \le t_0 < \ldots < t_n \le b</math>, dann gibt es nach dem [[w:de:Mittelwertsatz|Mittelwertsatz]] <math>\tau_i \in (t_{i-1}, t_i)</math> so, dass <center><math> \sum_{i=1}^n |\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})| = \sum_{i=1}^n |{\gamma{\,}'(\tau_i)}| \cdot (t_{i} - t_{i-1}) </math></center> === Mittelwertsatz === Sei <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> und <math> \tau \in (a,b)</math>, dann gilt mit dem Mittelwertsatz: :<math> g'(\tau) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a} \,\, \Longrightarrow \,\, g'(\tau)\cdot (b-a) = g(b)-g(a) </math> === Riemannsumme als Längen des Polygonzuges === Die rechte Seite der obigen Gleichung für den Polygonzug ist eine Riemannsche Summe für das Integral <math>\int_a^b |\gamma{\,}'(t)|\,dt</math>. Geht man das Maximum der Intervallbreiten <math> \max_{i\in\{1, \ldots , n\} } (t_{i}-t_{t-1}) </math> für <math>n</math> gegen <math>\infty</math> gegen 0, konvergiert bei stetig differenzierbaren Wege die Länge der Polygonzüge <math>\mathcal{L}(P_n)</math> gegen die Länge des Weges <math> \mathcal{L}(\gamma) </math> === Länge bei stetig differenzierbaren Wegen === Sei <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> ein stetig differenzierbarer Weg, dann liefert <center><math> \mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)|\, dt </math></center> die Länge des Weges <math>\gamma</math>. === Bemerkung - Länge bei stetig differenzierbaren Wegen === Da <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist, ist <math>\gamma{\,}'</math> als stetige Funktion. Da <math>[a,b]</math> auf dem kompakten Intervall ist, nimmt die stetige Funktion ein Minimum bzw. Maximum an. Damit ist beschränkt <math>\gamma{\,}'</math> und <math>|\gamma{\,}'|</math> beschränkt und es gilt: <center><math> \mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)|\, dt < \infty </math></center> === Stückweise stetig differenzierbare Kurven === Allgemeiner sind stückweise <math>C^1</math>-Kurven stets rektifizierbar, weil man die obigen Überlegung auf die einzelnen Teile der Kurve an, die dann additive die Länge der gesamten Kurve liefert. Im weiteren Verlauf der Funktionentheorie werden Weg (z.B. über den Dreiecksrand) betrachtet, die nur stückweise die Eigenschaft der stetigen Differenzierbarkeit besitzen, für die man dann trotzdem wie bei einem Dreiecksrand über stückweise den Umfang als Summe der Streckenlängen berechnet. == Nicht rektifizierbare Kurve == Als Beispiel für eine nicht rektifizierbare Kurve betrachte <math>\gamma\colon[0,1]\to \mathbb C</math>, <center><math> t \mapsto \left\{\begin{array}{ll} 0 & t= 0 \\ t +it\cos ( t^{-1}) & t > 0\end{array}\right. </math></center> === Stetigkeit - stetige Differenzierbarkeit === Zunächst ist <math>\gamma</math> stetig und auf jedem Intervall <math>[\epsilon,1]</math> sogar stetig differenzierbar. Auf diesen Intervallen ergibt sich die Länge <center><math> \mathcal{L}(\gamma|_{[\epsilon,1]}) = \int_\epsilon^1 \left| 1 - \frac i{t}\sin (t^{-1})\right|\,dt . </math></center> === Berechnung des uneigentlichen Integrals === Für <math>\epsilon > 0</math> konvergiert dies gegen <center><math> \int_0^1 \left(1 + \frac 1{t^2}\sin^2 t^{-1}\right)^{1/2}\,dt = \infty </math></center>also ist <math>\gamma</math> nicht rektifizierbar. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma_von_Goursat|Lemma von Goursat]] * [[Koch-Kurve]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/rectifiable curve]]</noinclude> dv3ignz75f19bthomzzxh2ce9tqgbs0 1078973 1078972 2026-05-08T08:30:44Z Bert Niehaus 20843 /* Approximation der Weglänge durch Polygonzug */ 1078973 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Rektifizierbare Kurven sind ein wichtiger Begriff aus der Theorie der [[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Kurvenintegrale]]. Sie sind diejenigen Kurven, die durch einen Polygonzug approximiert werden können und eine endliche Länge besitzen. Wenn der Weg <math>\gamma</math> nicht nur stetig, sondern auch stetig differenzierbar ist, werden diese Wege als [[Integrationsweg]] verwendet und deren Länge <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> kann mit einem Integral über die <math>|\gamma{\,}'|</math> berechnet werden. ==Definition - rektifizierbar == Sei <math>\gamma\colon [a,b]\to \mathbb C</math> eine stetige [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurve]]. Sie heißt ''rektifizierbar'', wenn ihre Länge <center><math>\mathcal{L}(\gamma) := \sup\left\{ \sum_{i=1}^n |\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})| \ \bigg|\ n \in \mathbb N, a \le t_0 < \ldots < t_n \le b \right\} </math></center> endlich ist, <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> heißt ''Länge'' von <math>\gamma</math>. === Approximation der Weglänge durch Polygonzug === Die folgende Abbildung zeigt, wie eine Polygonzug <math>P</math> zur Approximation der Länge einer Kurve <math>\gamma </math> verwendet werden kann. [[File:Laenge kurve rektifizierbarkeit.png|350px|center|rectifiable curve - approximation of length by polygonal chain - created with Geogebra on Linux]] === Abschätzung der Länge === Die Länge des Polygonzuges <math>P_n</math> (blau in obiger Abbildung) unterschätzt die tatsächlich Länge einer rektifizierbaren Kurve <math>\gamma</math>, d.h. <math>\mathcal{L}(P_n) \leq \mathcal{L}(\gamma)</math>. In der Regel gilt <math>\mathcal{L}(P_n) < \mathcal{L}(\gamma) </math>. Durch Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man die <math> < </math>, wenn die Spur des Weges keine Gerade ist. === Beispiel - Koch-Kurve === Die [[Koch-Kurve]] oder [[Koch-Kurve|Kochsche Schneeflocke]] ist eine Weg, der [[Koch-Kurve#Unendliche_Länge_der_Kurve|keine endliche Länge]] besitzt und zugleich eine Flächen einschließt mit endlichem Flächeninhalt. == Weglänge bei Differenzierbarkeit des Weges == Ist <math>\gamma</math> stetig differenzierbar, so ist <math>\gamma</math> rektifizierbar. Seien nämlich <math>a \le t_0 < \ldots < t_n \le b</math>, dann gibt es nach dem [[w:de:Mittelwertsatz|Mittelwertsatz]] <math>\tau_i \in (t_{i-1}, t_i)</math> so, dass <center><math> \sum_{i=1}^n |\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})| = \sum_{i=1}^n |{\gamma{\,}'(\tau_i)}| \cdot (t_{i} - t_{i-1}) </math></center> === Mittelwertsatz === Sei <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> und <math> \tau \in (a,b)</math>, dann gilt mit dem Mittelwertsatz: :<math> g'(\tau) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a} \,\, \Longrightarrow \,\, g'(\tau)\cdot (b-a) = g(b)-g(a) </math> === Riemannsumme als Längen des Polygonzuges === Die rechte Seite der obigen Gleichung für den Polygonzug ist eine Riemannsche Summe für das Integral <math>\int_a^b |\gamma{\,}'(t)|\,dt</math>. Geht man das Maximum der Intervallbreiten <math> \max_{i\in\{1, \ldots , n\} } (t_{i}-t_{t-1}) </math> für <math>n</math> gegen <math>\infty</math> gegen 0, konvergiert bei stetig differenzierbaren Wege die Länge der Polygonzüge <math>\mathcal{L}(P_n)</math> gegen die Länge des Weges <math> \mathcal{L}(\gamma) </math> === Länge bei stetig differenzierbaren Wegen === Sei <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> ein stetig differenzierbarer Weg, dann liefert <center><math> \mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)|\, dt </math></center> die Länge des Weges <math>\gamma</math>. === Bemerkung - Länge bei stetig differenzierbaren Wegen === Da <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist, ist <math>\gamma{\,}'</math> als stetige Funktion. Da <math>[a,b]</math> auf dem kompakten Intervall ist, nimmt die stetige Funktion ein Minimum bzw. Maximum an. Damit ist beschränkt <math>\gamma{\,}'</math> und <math>|\gamma{\,}'|</math> beschränkt und es gilt: <center><math> \mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)|\, dt < \infty </math></center> === Stückweise stetig differenzierbare Kurven === Allgemeiner sind stückweise <math>C^1</math>-Kurven stets rektifizierbar, weil man die obigen Überlegung auf die einzelnen Teile der Kurve an, die dann additive die Länge der gesamten Kurve liefert. Im weiteren Verlauf der Funktionentheorie werden Weg (z.B. über den Dreiecksrand) betrachtet, die nur stückweise die Eigenschaft der stetigen Differenzierbarkeit besitzen, für die man dann trotzdem wie bei einem Dreiecksrand über stückweise den Umfang als Summe der Streckenlängen berechnet. == Nicht rektifizierbare Kurve == Als Beispiel für eine nicht rektifizierbare Kurve betrachte <math>\gamma\colon[0,1]\to \mathbb C</math>, <center><math> t \mapsto \left\{\begin{array}{ll} 0 & t= 0 \\ t +it\cos ( t^{-1}) & t > 0\end{array}\right. </math></center> === Stetigkeit - stetige Differenzierbarkeit === Zunächst ist <math>\gamma</math> stetig und auf jedem Intervall <math>[\epsilon,1]</math> sogar stetig differenzierbar. Auf diesen Intervallen ergibt sich die Länge <center><math> \mathcal{L}(\gamma|_{[\epsilon,1]}) = \int_\epsilon^1 \left| 1 - \frac i{t}\sin (t^{-1})\right|\,dt . </math></center> === Berechnung des uneigentlichen Integrals === Für <math>\epsilon > 0</math> konvergiert dies gegen <center><math> \int_0^1 \left(1 + \frac 1{t^2}\sin^2 t^{-1}\right)^{1/2}\,dt = \infty </math></center>also ist <math>\gamma</math> nicht rektifizierbar. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma_von_Goursat|Lemma von Goursat]] * [[Koch-Kurve]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/rectifiable curve]]</noinclude> 2m4ab0udw905luihb0t2ubser7y2rvw 1078974 1078973 2026-05-08T08:34:07Z Bert Niehaus 20843 /* Länge bei stetig differenzierbaren Wegen */ 1078974 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Rektifizierbare Kurven sind ein wichtiger Begriff aus der Theorie der [[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Kurvenintegrale]]. Sie sind diejenigen Kurven, die durch einen Polygonzug approximiert werden können und eine endliche Länge besitzen. Wenn der Weg <math>\gamma</math> nicht nur stetig, sondern auch stetig differenzierbar ist, werden diese Wege als [[Integrationsweg]] verwendet und deren Länge <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> kann mit einem Integral über die <math>|\gamma{\,}'|</math> berechnet werden. ==Definition - rektifizierbar == Sei <math>\gamma\colon [a,b]\to \mathbb C</math> eine stetige [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurve]]. Sie heißt ''rektifizierbar'', wenn ihre Länge <center><math>\mathcal{L}(\gamma) := \sup\left\{ \sum_{i=1}^n |\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})| \ \bigg|\ n \in \mathbb N, a \le t_0 < \ldots < t_n \le b \right\} </math></center> endlich ist, <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> heißt ''Länge'' von <math>\gamma</math>. === Approximation der Weglänge durch Polygonzug === Die folgende Abbildung zeigt, wie eine Polygonzug <math>P</math> zur Approximation der Länge einer Kurve <math>\gamma </math> verwendet werden kann. [[File:Laenge kurve rektifizierbarkeit.png|350px|center|rectifiable curve - approximation of length by polygonal chain - created with Geogebra on Linux]] === Abschätzung der Länge === Die Länge des Polygonzuges <math>P_n</math> (blau in obiger Abbildung) unterschätzt die tatsächlich Länge einer rektifizierbaren Kurve <math>\gamma</math>, d.h. <math>\mathcal{L}(P_n) \leq \mathcal{L}(\gamma)</math>. In der Regel gilt <math>\mathcal{L}(P_n) < \mathcal{L}(\gamma) </math>. Durch Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man die <math> < </math>, wenn die Spur des Weges keine Gerade ist. === Beispiel - Koch-Kurve === Die [[Koch-Kurve]] oder [[Koch-Kurve|Kochsche Schneeflocke]] ist eine Weg, der [[Koch-Kurve#Unendliche_Länge_der_Kurve|keine endliche Länge]] besitzt und zugleich eine Flächen einschließt mit endlichem Flächeninhalt. == Weglänge bei Differenzierbarkeit des Weges == Ist <math>\gamma</math> stetig differenzierbar, so ist <math>\gamma</math> rektifizierbar. Seien nämlich <math>a \le t_0 < \ldots < t_n \le b</math>, dann gibt es nach dem [[w:de:Mittelwertsatz|Mittelwertsatz]] <math>\tau_i \in (t_{i-1}, t_i)</math> so, dass <center><math> \sum_{i=1}^n |\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})| = \sum_{i=1}^n |{\gamma{\,}'(\tau_i)}| \cdot (t_{i} - t_{i-1}) </math></center> === Mittelwertsatz === Sei <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> und <math> \tau \in (a,b)</math>, dann gilt mit dem Mittelwertsatz: :<math> g'(\tau) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a} \,\, \Longrightarrow \,\, g'(\tau)\cdot (b-a) = g(b)-g(a) </math> === Riemannsumme als Längen des Polygonzuges === Die rechte Seite der obigen Gleichung für den Polygonzug ist eine Riemannsche Summe für das Integral <math>\int_a^b |\gamma{\,}'(t)|\,dt</math>. Geht man das Maximum der Intervallbreiten <math> \max_{i\in\{1, \ldots , n\} } (t_{i}-t_{t-1}) </math> für <math>n</math> gegen <math>\infty</math> gegen 0, konvergiert bei stetig differenzierbaren Wege die Länge der Polygonzüge <math>\mathcal{L}(P_n)</math> gegen die Länge des Weges <math> \mathcal{L}(\gamma) </math> === Länge bei stetig differenzierbaren Wegen === Sei <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> ein stetig differenzierbarer Weg, dann liefert <center><math> \mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b |\gamma{\,}'(t)|\, dt </math></center> die Länge des Weges <math>\gamma</math>, wobei die Länge <math> \mathcal{L}(\gamma)</math> ein rein reelles Integral über <math>g: [a,b] \to \mathbb{R}_0^+ </math> mit <math>g(t) := |\gamma{\,}'(t)|</math> ist. === Bemerkung - Länge bei stetig differenzierbaren Wegen === Da <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist, ist <math>\gamma{\,}'</math> als stetige Funktion. Da <math>[a,b]</math> auf dem kompakten Intervall ist, nimmt die stetige Funktion ein Minimum bzw. Maximum an. Damit ist beschränkt <math>\gamma{\,}'</math> und <math>|\gamma{\,}'|</math> beschränkt und es gilt: <center><math> \mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)|\, dt < \infty </math></center> === Stückweise stetig differenzierbare Kurven === Allgemeiner sind stückweise <math>C^1</math>-Kurven stets rektifizierbar, weil man die obigen Überlegung auf die einzelnen Teile der Kurve an, die dann additive die Länge der gesamten Kurve liefert. Im weiteren Verlauf der Funktionentheorie werden Weg (z.B. über den Dreiecksrand) betrachtet, die nur stückweise die Eigenschaft der stetigen Differenzierbarkeit besitzen, für die man dann trotzdem wie bei einem Dreiecksrand über stückweise den Umfang als Summe der Streckenlängen berechnet. == Nicht rektifizierbare Kurve == Als Beispiel für eine nicht rektifizierbare Kurve betrachte <math>\gamma\colon[0,1]\to \mathbb C</math>, <center><math> t \mapsto \left\{\begin{array}{ll} 0 & t= 0 \\ t +it\cos ( t^{-1}) & t > 0\end{array}\right. </math></center> === Stetigkeit - stetige Differenzierbarkeit === Zunächst ist <math>\gamma</math> stetig und auf jedem Intervall <math>[\epsilon,1]</math> sogar stetig differenzierbar. Auf diesen Intervallen ergibt sich die Länge <center><math> \mathcal{L}(\gamma|_{[\epsilon,1]}) = \int_\epsilon^1 \left| 1 - \frac i{t}\sin (t^{-1})\right|\,dt . </math></center> === Berechnung des uneigentlichen Integrals === Für <math>\epsilon > 0</math> konvergiert dies gegen <center><math> \int_0^1 \left(1 + \frac 1{t^2}\sin^2 t^{-1}\right)^{1/2}\,dt = \infty </math></center>also ist <math>\gamma</math> nicht rektifizierbar. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma_von_Goursat|Lemma von Goursat]] * [[Koch-Kurve]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/rectifiable curve]]</noinclude> gi0bl3xdalukiwekxq05k7yerrqwji1 1078975 1078974 2026-05-08T08:38:09Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Länge bei stetig differenzierbaren Wegen */ 1078975 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Rektifizierbare Kurven sind ein wichtiger Begriff aus der Theorie der [[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Kurvenintegrale]]. Sie sind diejenigen Kurven, die durch einen Polygonzug approximiert werden können und eine endliche Länge besitzen. Wenn der Weg <math>\gamma</math> nicht nur stetig, sondern auch stetig differenzierbar ist, werden diese Wege als [[Integrationsweg]] verwendet und deren Länge <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> kann mit einem Integral über die <math>|\gamma{\,}'|</math> berechnet werden. ==Definition - rektifizierbar == Sei <math>\gamma\colon [a,b]\to \mathbb C</math> eine stetige [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurve]]. Sie heißt ''rektifizierbar'', wenn ihre Länge <center><math>\mathcal{L}(\gamma) := \sup\left\{ \sum_{i=1}^n |\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})| \ \bigg|\ n \in \mathbb N, a \le t_0 < \ldots < t_n \le b \right\} </math></center> endlich ist, <math>\mathcal{L}(\gamma)</math> heißt ''Länge'' von <math>\gamma</math>. === Approximation der Weglänge durch Polygonzug === Die folgende Abbildung zeigt, wie eine Polygonzug <math>P</math> zur Approximation der Länge einer Kurve <math>\gamma </math> verwendet werden kann. [[File:Laenge kurve rektifizierbarkeit.png|350px|center|rectifiable curve - approximation of length by polygonal chain - created with Geogebra on Linux]] === Abschätzung der Länge === Die Länge des Polygonzuges <math>P_n</math> (blau in obiger Abbildung) unterschätzt die tatsächlich Länge einer rektifizierbaren Kurve <math>\gamma</math>, d.h. <math>\mathcal{L}(P_n) \leq \mathcal{L}(\gamma)</math>. In der Regel gilt <math>\mathcal{L}(P_n) < \mathcal{L}(\gamma) </math>. Durch Anwendung der Dreiecksungleichung erhält man die <math> < </math>, wenn die Spur des Weges keine Gerade ist. === Beispiel - Koch-Kurve === Die [[Koch-Kurve]] oder [[Koch-Kurve|Kochsche Schneeflocke]] ist eine Weg, der [[Koch-Kurve#Unendliche_Länge_der_Kurve|keine endliche Länge]] besitzt und zugleich eine Flächen einschließt mit endlichem Flächeninhalt. == Weglänge bei Differenzierbarkeit des Weges == Ist <math>\gamma</math> stetig differenzierbar, so ist <math>\gamma</math> rektifizierbar. Seien nämlich <math>a \le t_0 < \ldots < t_n \le b</math>, dann gibt es nach dem [[w:de:Mittelwertsatz|Mittelwertsatz]] <math>\tau_i \in (t_{i-1}, t_i)</math> so, dass <center><math> \sum_{i=1}^n |\gamma(t_{i})-\gamma(t_{i-1})| = \sum_{i=1}^n |{\gamma{\,}'(\tau_i)}| \cdot (t_{i} - t_{i-1}) </math></center> === Mittelwertsatz === Sei <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> und <math> \tau \in (a,b)</math>, dann gilt mit dem Mittelwertsatz: :<math> g'(\tau) = \frac{g(b)-g(a)}{b-a} \,\, \Longrightarrow \,\, g'(\tau)\cdot (b-a) = g(b)-g(a) </math> === Riemannsumme als Längen des Polygonzuges === Die rechte Seite der obigen Gleichung für den Polygonzug ist eine Riemannsche Summe für das Integral <math>\int_a^b |\gamma{\,}'(t)|\,dt</math>. Geht man das Maximum der Intervallbreiten <math> \max_{i\in\{1, \ldots , n\} } (t_{i}-t_{t-1}) </math> für <math>n</math> gegen <math>\infty</math> gegen 0, konvergiert bei stetig differenzierbaren Wege die Länge der Polygonzüge <math>\mathcal{L}(P_n)</math> gegen die Länge des Weges <math> \mathcal{L}(\gamma) </math> === Länge bei stetig differenzierbaren Wegen === Sei <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> ein stetig differenzierbarer Weg, dann liefert <center><math> \mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b |\gamma{\,}'(t)|\, dt </math></center> die Länge des Weges <math>\gamma</math>, wobei die Länge <math> \mathcal{L}(\gamma)</math> ein rein reelles Integral über <math>g: [a,b] \to \mathbb{R}_0^+ </math> mit <math>g(t) := |\gamma{\,}'(t)|</math> ist. === Bemerkung - Länge bei stetig differenzierbaren Wegen === Da <math>\gamma</math> stetig differenzierbar ist, sind <math>\gamma{\,}'</math> und auch <math>|\gamma{\,}'|</math> jeweils stetige Funktionen. Da <math>[a,b]</math> auf dem kompakten Intervall ist, nimmt die stetige Funktion ein Minimum bzw. Maximum an. Damit ist beschränkt <math>\gamma{\,}'</math> bzw. <math>|\gamma{\,}'|</math> beschränkt durch ein <math> S > 0 </math> und es gilt: <center><math> \mathcal{L}(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)|\, dt \,\,\, \leq \,\,\, (b-a)\cdot S \,\,\, < \,\,\, \infty </math></center> === Stückweise stetig differenzierbare Kurven === Allgemeiner sind stückweise <math>C^1</math>-Kurven stets rektifizierbar, weil man die obigen Überlegung auf die einzelnen Teile der Kurve an, die dann additive die Länge der gesamten Kurve liefert. Im weiteren Verlauf der Funktionentheorie werden Weg (z.B. über den Dreiecksrand) betrachtet, die nur stückweise die Eigenschaft der stetigen Differenzierbarkeit besitzen, für die man dann trotzdem wie bei einem Dreiecksrand über stückweise den Umfang als Summe der Streckenlängen berechnet. == Nicht rektifizierbare Kurve == Als Beispiel für eine nicht rektifizierbare Kurve betrachte <math>\gamma\colon[0,1]\to \mathbb C</math>, <center><math> t \mapsto \left\{\begin{array}{ll} 0 & t= 0 \\ t +it\cos ( t^{-1}) & t > 0\end{array}\right. </math></center> === Stetigkeit - stetige Differenzierbarkeit === Zunächst ist <math>\gamma</math> stetig und auf jedem Intervall <math>[\epsilon,1]</math> sogar stetig differenzierbar. Auf diesen Intervallen ergibt sich die Länge <center><math> \mathcal{L}(\gamma|_{[\epsilon,1]}) = \int_\epsilon^1 \left| 1 - \frac i{t}\sin (t^{-1})\right|\,dt . </math></center> === Berechnung des uneigentlichen Integrals === Für <math>\epsilon > 0</math> konvergiert dies gegen <center><math> \int_0^1 \left(1 + \frac 1{t^2}\sin^2 t^{-1}\right)^{1/2}\,dt = \infty </math></center>also ist <math>\gamma</math> nicht rektifizierbar. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma_von_Goursat|Lemma von Goursat]] * [[Koch-Kurve]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/rectifiable curve]]</noinclude> 924mkabp14p71o0lee8gj6zugqq0q80 106 99565 1078965 1061349 2026-05-08T05:44:25Z Bert Niehaus 20843 /* Aussage */ 1078965 wikitext text/x-wiki Das Lemma von Goursat ist eine wichtige Teilaussage im Beweis für den [[Integralsatz von Cauchy]]. Es beschränkt die Integrationswege auf Dreiecke, ist dadurch durch ein [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma_von_Goursat_(Details)|geometrisches Unterteilungsargument]] zu beweisen. ==Aussage== Es sei <math>D \subseteq \mathbb{C}</math> ein abgeschlossenes konvexes Dreieck, <math>G \supseteq D</math> offen und <math>f \colon U \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt <math>\int_{\partial D} f(z)\, dz = 0.</math> ===Beweis=== Setze <math>\Delta_0 := D</math>, wir werden induktiv eine Folge <math>(\Delta_n)_{n \ge 0}</math> mit den Eigenschaften # <math>\Delta_n \subseteq \Delta_{n-1}</math> # <math>\mathcal{L}(\partial \Delta_n) = 2^{-n}\mathcal{L}(\partial D)</math> (<math>L</math> bezeichnet die [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Länge einer Kurve]]) # <math>\left|\int_{\partial D} f(z)\, dz\right| \le 4^n\left|\int_{\partial \Delta_n} f(z)\, dz\right|</math> Sei also <math>n\ge 0</math> und <math>\Delta_n</math> bereits konstruiert. Wir unterteilen <math>\Delta_n</math>, in dem wir die Seitenmittelpunkte verbinden, in vier Teildreiecke <math>\Delta_{n+1}^i</math>, <math>1 \le i \le 4</math>. Da die Verbindungen der Seitenmitten sich bei der Integration gegenseitig aufheben, haben wir <center><math>\begin{array}{rl} \displaystyle\left|\int_{\partial \Delta_n} f(z)\, dz\right| &= \displaystyle\left|\sum_{i=1}^4 \int_{\partial \Delta_{n+1}^i} f(z)\, dz\right|\\ &\le \displaystyle\sum_{i=1}^4 \left|\int_{\partial \Delta_{n+1}^i} f(z)\, dz\right|\\ &\le \displaystyle\max_i \left|\int_{\partial \Delta_{n+1}^i} f(z)\, dz\right| \end{array}</math></center> Wähle nun <math>1 \le i \le 4</math> mit <math>\left|\int_{\partial \Delta_{n+1}^i} f(z)\, dz\right| = \max_i\left|\int_{\partial \Delta_{n+1}^i} f(z)\, dz\right|</math> und setze <math>\Delta_{n+1} := \Delta_{n+1}^i</math>. Dann ist <math>\Delta_{n+1}\subseteq \Delta_n</math> nach Konstruktion, weiterhin haben wir <center><math> \mathcal{L}(\partial \Delta_{n+1}) = \frac 12 \mathcal{L}(\partial \Delta_n) = 2^{-(n+1)} \mathcal{L}(\partial D) </math></center> und <center><math> \left|\int_{\partial D} f(z)\, dz\right| \le 4^n\left|\int_{\partial \Delta_{n}} f(z)\, dz\right| \le 4^{n+1} \left|\int_{\partial \Delta_{n+1}} f(z)\, dz\right| </math></center> also hat <math>\Delta_{n+1}</math> genau die geforderten Eigenschaften. Da alle <math>\Delta_n</math> kompakt sind, ist <math>\bigcap_{n\ge 0} \Delta_n \ne \emptyset</math>, sei <math>z_0 \in \bigcap_{n\ge 0} \Delta_n</math>. Da <math>f</math> in <math>z_0</math> holomorph ist, gibt es in einer Umgebung <math>V</math> von <math>z_0</math> eine stetige Funktion <math>A \colon V\to\mathbb C</math> mit <math>A(z_0) = 0</math> und <center><math> f(z) = f(z_0) + (z-z_0)f'(z_0) + A(z)(z-z_0), \qquad z \in V</math></center> Da <math>z \mapsto f(z_0) + (z-z_0)f'(z_0)</math> eine Stammfunktion hat, folgt für die <math>n \ge 0</math> mit <math>\Delta_n \subseteq V</math>, dass <center><math> \int_{\partial \Delta_{n}} f(z)\, dz = \int_{\partial \Delta_n} f(z_0) + (z-z_0)f'(z_0) + A(z)(z-z_0) \, dz = \int_{\partial \Delta_n} A(z)(z-z_0) \, dz. </math></center> Damit erhalten wir wegen der Stetigkeit von <math>A</math> und <math>A(z_0) = 0</math>, dass <center><math> \begin{array}{rl} \displaystyle\left|\int_{\partial D} f(z)\, dz\right| &\le \displaystyle 4^n\left|\int_{\partial \Delta_{n}} f(z)\, dz\right|\\ &= \displaystyle 4^n\left|\int_{\partial \Delta_{n}} A(z)(z-z_0)\, dz\right|\\ &\le\displaystyle 4^n \cdot \mathcal{L}(\partial \Delta_n) \max_{z\in \partial \Delta_n} |z-z_0||A(z)|\\ &\le\displaystyle 4^n \cdot \mathcal{L}(\partial \Delta_n)^2 \max_{z\in \partial \Delta_n} |A(z)|\\ &=\displaystyle \mathcal{L}(\partial D) \max_{z\in \partial \Delta_n} |A(z)|\\ &\to\displaystyle \mathcal{L}(\partial D) |A(z_0)| = 0, \qquad n \to \infty. \end{array}</math></center> == Notation im Beweis == * <math>\Delta_n</math> ist das <math>n</math>-te ähnliche Teildreieck zum Ausgangsdreieck mit den um den Faktor <math>\frac{1}{2^n}</math> verkürzten Seitenlänge. * <math>\partial\Delta_n</math> ist der Integrationsweg über den Rand <math>n</math>-te ähnlichen Teildreiecks mit einem Umfang <math>\mathcal{L}(\partial\Delta_n) = \frac{1}{2^n}\cdot \mathcal{L}(\partial\Delta_0) </math>. == Siehe auch == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve bzw. Länge einer Kurve]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Goursat's Lemma]]</noinclude> s1szrj1a9gkyum8vidnyyeyrd4kcrwx 0 99575 1078885 1078883 2026-05-07T11:59:15Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 4 - Satz von Morera */ 1078885 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIS für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ist eine auf ganz <math>G</math> ebenfalls eine stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> t3xc15c08s9h7svf23imcgu2uj9qeut 1078886 1078885 2026-05-07T12:04:36Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 4 - Satz von Morera */ 1078886 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIS für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ist ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 33xuwpxb5os8wyzqoym43xq7t5yr40n 1078887 1078886 2026-05-07T12:06:04Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 4 - Satz von Morera */ 1078887 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIS für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> ol54uqtq2z9o5nm1c3qt7tkzr0cd1w5 1078889 1078887 2026-05-07T12:40:49Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen */ 1078889 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIS für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> eoo473m0fy8bm9s6j246ibaowjy2ueq 1078901 1078889 2026-05-07T14:01:59Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen */ 1078901 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum [[Cauchy-Integralformel#Zyklus|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]] erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> oxmgonq5u425us35uwlgoyha2ef5rtd 1078903 1078901 2026-05-07T14:03:50Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen */ 1078903 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum [[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]] erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> f8myh1e1ebgcihuuo61vaev31ityzmq 1078904 1078903 2026-05-07T14:05:54Z Bert Niehaus 20843 /* Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen */ 1078904 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[/Kreisscheiben/|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum [[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]] erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 1dt0xyr46qmxvvsu356mj42kp1ofhdr 1078906 1078904 2026-05-07T14:08:14Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIF für Kreisscheiben */ 1078906 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum [[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]] erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 0yec7wvppeba8mho4skniykff3odfjp 1078907 1078906 2026-05-07T14:08:46Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen */ 1078907 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> t6jzqt1mdyeer8evr9mhhi1e7rb794x 1078908 1078907 2026-05-07T14:09:41Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 5 */ 1078908 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 === Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 99cciqaz404cbti0y3w75j1ai3cqdhr 1078909 1078908 2026-05-07T14:10:34Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 6 */ 1078909 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralformel für konvexe Gebiete=== Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> Bisher haben wir die Voraussetzungen über <math>\Gamma</math> noch nicht ausgenutzt. Das tun wir jetzt. Sei :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> pbqnrcvq2yu5kzj9202bt18c2cf60v9 1078910 1078909 2026-05-07T14:16:00Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 6 - Cauchy-Integralformel für konvexe Gebiete */ 1078910 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralformel für konvexe Gebiete=== Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> gaob0y22tcbtn6h36d1j04jwqns7u57 1078911 1078910 2026-05-07T14:30:43Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus */ 1078911 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralformel für konvexe Gebiete=== Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. <math>G_0</math> wird definiert, um <math>h_0</math> zu einer ganzen Funktion <math> auf <math>\mathbb{C}</math> zu erweitern. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> i6xsdlqbfscz2dzo2r8ok9nfluah994 1078912 1078911 2026-05-07T14:31:33Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus */ 1078912 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralformel für konvexe Gebiete=== Nach dem Satz von Goursat folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z) dz\, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. <math>G_0</math> wird definiert, um <math>h_0</math> zu einer ganzen Funktion <math>h</math> auf <math>\mathbb{C}</math> zu erweitern. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> s14t2xyvfd4btz3vs7xqd2a7oy2sjff 1078913 1078912 2026-05-07T14:37:40Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 6 - Cauchy-Integralformel für konvexe Gebiete */ 1078913 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. <math>G_0</math> wird definiert, um <math>h_0</math> zu einer ganzen Funktion <math>h</math> auf <math>\mathbb{C}</math> zu erweitern. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> e1ilyzf45lt293ge69jnzviyacel9a5 1078916 1078913 2026-05-07T14:48:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete */ 1078916 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb C: n (\Gamma, z) = 0\}</math>. <math>G_0</math> wird definiert, um <math>h_0</math> zu einer ganzen Funktion <math>h</math> auf <math>\mathbb{C}</math> zu erweitern. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 96ws5115vv3lhp9gvhf4e549w9tjzjn 1078917 1078916 2026-05-07T14:54:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus */ 1078917 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) \not= 0\}.</math> <math>G_0\subseteq G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte auf dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 1y94m322y5c9jcy7w3mcmljtl7852wp 1078918 1078917 2026-05-07T14:54:54Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus */ 1078918 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) \not= 0\}.</math> <math>G_0\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte auf dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 7 === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> lgkmyu79dq5b4cdjr9sfi035yn9a216 1078919 1078918 2026-05-07T14:56:07Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 7 */ 1078919 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) \not= 0\}.</math> <math>G_0\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte auf dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> hopy1by0awtcu90ls30orz0zrskkrb4 1078920 1078919 2026-05-07T14:57:46Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus */ 1078920 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte auf dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> psegj4np8ght908bzlyl740rwrmwn7x 1078921 1078920 2026-05-07T15:03:46Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus */ 1078921 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. ==Analytizität== Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> cdt3f0bl7rfeddq01ceqy0eezfaq5ai 1078922 1078921 2026-05-07T15:09:33Z Bert Niehaus 20843 /* Analytizität */ 1078922 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math>h_0(z) = \int_{\Gamma}\frac {f(w)}{w- z} dw = h_1(z),</math> da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> holomorph ist, können wir <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. Nun ist <math>\Gamma</math> nullhomolog in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb C,</math> d.h. <math>h</math> ist eine ganze Funktion. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> elvfc8alzlzc49fafulesr2fbew39hv 1078934 1078922 2026-05-07T16:00:26Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 8 - */ 1078934 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z) = 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 8 === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 447k6u38c6p8uopy6o2pxcbteeo30g1 1078935 1078934 2026-05-07T16:01:09Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 8 */ 1078935 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z) = 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit - Anwendung Liouville === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> kbhaqr7oclts5457hxfmeiiid8ulqm4 1078936 1078935 2026-05-07T16:01:33Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 11 - Beschränktheit - Anwendung Liouville */ 1078936 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z) = 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 9 === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 3d2ppr9bp2533xzxbflat3zd3pfx9zf 1078937 1078936 2026-05-07T16:02:32Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 9 */ 1078937 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z) = 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>, was in der Aussage des Satzes zu zeigen war. <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> in7hpuwaij8jggy03mc9n36fqq11ffz 1078938 1078937 2026-05-07T16:22:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville */ 1078938 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z) = 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Aussage des Satzes: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 1977j7855xmnzd4x5vfupfuwnm82adu 1078939 1078938 2026-05-07T16:26:14Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie */ 1078939 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Aussage des Satzes: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> <math>\quad \Box</math> ==Folgerungen== Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 0tudqindetqfymyc5pdt9otulerxk9t 1078940 1078939 2026-05-07T16:28:08Z Bert Niehaus 20843 /* Folgerungen */ 1078940 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} L(\Gamma) \max_{\Gamma}|f|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>L(\Gamma) = \sum |n_k| L(\gamma_k)</math>, wenn <math>\Gamma = n_k \cdot \gamma_k</math> ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Aussage des Satzes: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> <math>\quad \Box</math> == Folgerungen für Ableitungen == Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 7yhhiw05atyjyfdiu7lfx9v82kkk4r3 1078979 1078940 2026-05-08T09:34:35Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 11 - Beschränktheit von h */ 1078979 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Wählt man eien Folge <math>z_{\nu} \in G_0</math> mit <math>|z_{\nu}| \geq \nu</math>, so ergibt sich wieder aus der Ungleichung (*) :<math>\lim\limits_{\nu \to \infty}(z_{\nu}) = 0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Aussage des Satzes: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> <math>\quad \Box</math> == Folgerungen für Ableitungen == Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 08iek7wpg2gbtfqqo3i7kuiolpgda8m 1078980 1078979 2026-05-08T09:52:47Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville */ 1078980 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Aussage des Satzes: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> <math>\quad \Box</math> == Folgerungen für Ableitungen == Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 9x1y2y4vkwriqf2g3uucuzdikk8mjk8 1078981 1078980 2026-05-08T09:57:49Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis 14 - Aussage des Satzes */ 1078981 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen für Ableitungen == Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 3n664v0cprm66jszoovt3snf5y3phzg 1078982 1078981 2026-05-08T10:01:00Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen */ 1078982 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen für Ableitungen == Aus dem Integralformel von Cauchy folgt, dass jede holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Wir erhalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 0tliq13xuyyriiiec65v6txnaj198rf 1078983 1078982 2026-05-08T10:16:46Z Bert Niehaus 20843 /* Folgerungen für Ableitungen */ 1078983 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen == Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der [[Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung <math>f^{(n)}</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus <math>\Gamma</math> auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die [[Cauchy-Integralformel]] auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten ===Folgerungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> pbtscdpercuis58nyaergrbafho6me0 1078984 1078983 2026-05-08T10:17:27Z Bert Niehaus 20843 /* Folgerungen für Kreisscheiben */ 1078984 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen == Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der [[Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung <math>f^{(n)}</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus <math>\Gamma</math> auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die [[Cauchy-Integralformel]] auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten ===Korollar 1 - Ableitungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. ===Für Zyklen=== Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> dnlymctt2imw61j81a89dmvpsszw4su 1078985 1078984 2026-05-08T10:17:59Z Bert Niehaus 20843 /* Für Zyklen */ 1078985 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen == Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der [[Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung <math>f^{(n)}</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus <math>\Gamma</math> auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die [[Cauchy-Integralformel]] auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten ===Korollar 1 - Ableitungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. === Korollar 2 - Ableitungen für nullhomologe Zyklen === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> egfrzw1n8bx5r0bmhh0l94oyki0ogkb 1078987 1078985 2026-05-08T10:20:55Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIF für Kreisscheiben */ 1078987 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man wendet das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen == Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der [[Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung <math>f^{(n)}</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus <math>\Gamma</math> auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die [[Cauchy-Integralformel]] auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten ===Korollar 1 - Ableitungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. === Korollar 2 - Ableitungen für nullhomologe Zyklen === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> o3ne2puucl6y45972de0sa53zdowhgi 1078994 1078987 2026-05-08T11:06:44Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1078994 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und Der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man wendet das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen == Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der [[Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung <math>f^{(n)}</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus <math>\Gamma</math> auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die [[Cauchy-Integralformel]] auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten ===Korollar 1 - Ableitungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. === Korollar 2 - Ableitungen für nullhomologe Zyklen === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma \in C(G)</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> a4f9tvcd3rq5x9zr2j89svbx8krz19g 1078995 1078994 2026-05-08T11:11:07Z Bert Niehaus 20843 /* Korollar 2 - Ableitungen für nullhomologe Zyklen */ 1078995 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und Der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man wendet das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen == Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der [[Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung <math>f^{(n)}</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus <math>\Gamma</math> auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die [[Cauchy-Integralformel]] auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten ===Korollar 1 - Ableitungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. === Korollar 2 - Ableitungen für nullhomologe Zyklen === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. === Korollar 3 - CIS-NZ === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]], dann gilt auch der [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. ==== Beweis ==== Für den Beweis und weitere Anmerkungen siehe [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> 8m6dx4x585odo5i5oj2gbwl7tvoowcw 1079001 1078995 2026-05-08T11:22:38Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1079001 wikitext text/x-wiki ==Einführung== Die Cauchysche Integralformel ist neben dem [[Integralsatz von Cauchy]] eine der zentralen Aussagen der [[Funktionentheorie|Funktionentheorie]]. Wir werden hier zwei Varianten vorstellen, einmal die 'klassiche' Formel für Kreisscheiben und einmal eine relativ allgemeine Variante für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklen]]. Beim Beweis ist zu beachten, dass wir die Kreisscheiben-Variante aus dem Integralsatz von Cauchy folgern werden, bei der allgemeinen Variante jedoch umgekehrt vorgehen. === Bezeichnung - CIF - CIS === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die [[holomorphe Funktion|Holomorphie]] von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die Integraldarstellung <math>f(z) = ... \int_{\gamma} \ldots dz</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der [[Stammfunktionen als Wegintegrale|Existenz von Stammfunktionen]] mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ === Die [[Cauchy-Integralformel]] (CIF) und Der [[Cauchy-Integralsatz]] (CIS) kann man dann auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] erweitern: :<math> \begin{array}{crcl} \mathbf{(CIF-NZ)} & f(z) \cdot n(\Gamma,z)& = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\Gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS-NZ)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der '''[[Integralformel von Cauchy/Kreisscheiben#Beweis4CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man wendet das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. <span id="CIF4Zyklen"></span> == Cauchyintegralformel für nullhomologe Zyklen == Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus in <math>G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z)\cdot f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma)</math>, dabei bezeichnet <math>n(\Gamma, \cdot)</math> die [[Umlaufzahl]]. <span id="BeweisCIF4Zyklus"></span> == Beweis - CIF für nullhomologe Zyklen == Analog zum '''[[Cauchy-Integralformel#CIF|Beweis für den CIF für Kreisscheiben]]''' erfolgt das Vorgehen für [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem [[w:de:Differenzenquotient|Differenzenquotient]] von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der [[w:de:Differenzierbarkeit|Differenzierbarkeit]] von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Man erzeugt eine ganze Funktion <math>h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> aus <math>g</math> und zeigt, dass diese beschränkt ist (Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satzes von Liouville]]). ===Beweis 1 - Definition von g === Definiere eine Funktion <math>g\colon G \times G \to \mathbb C</math> durch :<math> g(z,w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> definiert. ===Beweis 2 - g stetig === Man muss nun die [[Stetigkeit]] in beiden Variablen zeigen, wobei <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> gilt. Es erfolgt eine Fallunterscheidung <math>(w_0, z_0)</math>. ==== Beweis 2.1 - g stetig - Fall 1 ==== '''Fall 1 <math>\mathbf{z_0 \ne w_0}</math>:''' Ist <math>(w_0, z_0) \in U \times U</math> mit <math>z_0 \ne w_0</math>, so gibt es eine Umgebung <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>, sodass für alle <math>(w,z) \in D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> gilt, dass <math>w\not= z</math> erfüllt. Damit <math>g(w,z)</math> durch den Differenzenquotient dargestellt und <math>g</math> ist damit in damit an der Stelle <math>(w_0, z_0)</math> trivialerweise stetig, da der Differenzenquotient eine stetige Abbildung auf <math>D_{\delta}(w_0) \times D_{\delta}(z_0)</math> ist. Es sei <math>z_0 = w_0</math>. ==== Beweis 2.2 - g stetig - Fall 2 ==== '''Fall 2 <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math>:''' Man wählt nun wieder eine <math>\delta</math>-Umgebung <math>D_{\delta}(z_0) \subset G</math> und untersucht die Differenz <math>g(w,z) - g(z_0,z_0)</math> auf <math>D_{\delta}(z_0) \times D_{\delta}(z_0)</math>. Für die [[Stetigkeit]] in <math>(z_0,z_0)</math> muss man die Konvergenz der Differenz gegen <math>0</math> nachweisen, wenn <math>(w,z)\to (z_0,z_0)</math> konvergiert. ==== Beweis 2.3 - g stetig - Fall 2a - w und z gleich ==== '''Fall 2a <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w = z</math>:''' Im ersten Fall betrachtet man die Stetigkeit von <math> g</math> für <math>w = z</math>: :<math>g(z,z) - g(z_0,z_0) = f'(z) - f'(z_0)</math> Da <math>f'</math> stetig ist, konvergiert <math>f'(z)</math> gegen <math>f'(z_0)</math> für <math> z \to z_0 </math>. ==== Beweis 2.4 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== '''Fall 2b <math>\mathbf{z_0 = w_0}</math> und <math>w \not= z</math>:''' Durch Einsetzen im Fall <math>w \ne z</math> erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \displaystyle \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \displaystyle \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \end{array} </math> Nun werden die Funktionen im Zähler als Stammfunktion interpretiert und [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] dargestellt. ==== Beweis 2.5 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Sei <math>\widehat{f}:\widehat{G} \to \mathbb{C}</math> eine eine holomorphe Funktion auf einem konvexen Gebiet <math>\widehat{G}</math>. Dann besitzt <math>\widehat{f}</math> eine Stammfunktion <math>\widehat{F}: \widehat{G} \to \mathbb{C}</math> auf <math>\widehat{G}</math>, die als Wegintegral von einem festen Punkt <math>\widehat{z_0} \in \widehat{G}</math> nach <math>z</math> definiert ist. :<math> \widehat{F}(z) := \int_{\gamma_z} \widehat{f}(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} \widehat{f}(\xi)\, d\xi </math> Dabei ist <math>\gamma_z</math> die [[Konvexkombination]] mit <math> \gamma_z(t) = (1-t)\cdot z_o + t\cdot z</math> ==== Beweis 2.6 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Man wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}:= f</math> und <math>\widehat{f}:=f'</math>. Als konvexes Teilgebiet <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man die Kreisscheibe in <math>G</math>. Man erhält damit die Integraldarstellung: :<math> f(z) := \int_{\gamma_z} f'(\xi)\, d\xi = \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi </math> Die Stammfunktion als Integral wird auf das geschlossene Wegintegral über eine Dreiecksrand angewendet. ==== Beweis 2.7 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Mit dem [[Lemma von Goursat]] gilt für das Integral über den Dreiecksrand <math>\langle z_0,z, w\rangle </math> folgende Gleichung: :<math> 0 = \int_{\langle z_0,z, w\rangle} f'(\xi)\, d\xi = \underbrace{ \int_{[ z_o,z ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=f(z)} + \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi + \underbrace{ \int_{[ w, z_o ]} f'(\xi)\, d\xi }_{=-f(w)} </math> Damit kann man die Differenz <math>f(w)-f(z) = \int_{[ z, w ]} f'(\xi)\, d\xi</math> als Wegintegral darstellen. ==== Beweis 2.8 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Analog wendet nun die Aussage von 2.5 auf <math>\widehat{F}(z):= f'(z_o)\cdot z</math> und <math>\widehat{f}(z):=f'(z_o)</math> als konstante Funktion an. Als konvexes Teilgebiet wird wieder <math>\widehat{G} := D_\delta(z_0)</math> verwendet man. Man erhält damit die Integraldarstellung für <math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z </math> mit: :<math> f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z = \int_{[z,w]}f'(z_0) \, d\xi </math> Insgesamt lässt sich der Zähler aus Beweisschritt 2.4 damit als folgendes Integral darstellen: :<math> \big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big) = \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi </math> ==== Beweis 2.9 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Durch Einsetzen in den berechneten Ausdruck aus 2.2 :<math> \begin{array}{rcl} g(w,z) - g(z_0,z_0) & = & \underbrace{ \frac{f(w) - f(z)}{w-z} }_{= g(w,z)} - \underbrace{ f'(z_0) }_{= g(z_0,z_0)} \\ & = & \frac{\big( f(w) - f(z)\big) - \big( f'(z_0)\cdot w - f'(z_0)\cdot z \big)}{w-z} \\ & = & \displaystyle \frac 1 {w - z} \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \end{array} </math> Durch die Darstellung von Funktionen als Wegintegrale kann man nun die [[Stetigkeit]] der Ableitung <math>f'</math> in <math>z_0</math> nutzen. ==== Beweis 2.10 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Die [[Stetigkeit]] einer holomorphen Funktion <math>f'</math> wird nun über das <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>[[Epsilon-Delta-Kriterium|-Kriterium]] wird auf die Stelle <math>z_o</math> genutzt. Damit gibt es zu jedem gegebenem <math>\epsilon > 0</math> also <math>\delta_o > 0</math> so wählen, dass :<math>|f'(\xi) - f'(z_0)| < \epsilon </math> für alle <math>\xi \in U_{\delta_o} (z_0)</math> erfüllt ist. Ohne Einschränkung sei <math>\delta_o \leq \delta</math>. ==== Beweis 2.11 - g stetig - Fall 2b - w und z verschieden ==== Wendet man den Betrag auf die Gleichung in 2.9 an, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} |g(w,z) - g(z_0,z_0)| & = & \displaystyle \left| \frac{1}{w - z} \cdot \int_{[z,w]}(f'(\xi) - f'(z_0)) \, d\xi \,\,\right| \\ & \leq & \underbrace{ \frac{1}{|w - z|} \cdot |w - z|}_{=1} \cdot \sup\limits_{w \in [w,z]} |f'(v)-f'(z_0)| < \epsilon \end{array} </math> Dabei wurden [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]] und <math>|w-z|</math> entsteht als Länge des Integration <math>[w,z]</math> als [[Konvexkombination]]. === Beweis 3 - Integral über Zyklus === Man definiert nun eine Funktion <math>h_0</math>, die das Wegintegral über die Funktion <math>g</math> definiert, wobei man <math>z</math> fest lässt und die Integrationsvariable in der 1. Komponente von <math>g </math> verwendet. :<math>h_0 (z) = \int_{\Gamma} g(w,z) dw.</math> === Beweis 4 - Satz von Morera === In Beweisschritt 2 wurde gezeigt, dass <math>g</math> eine stetige Funktion ist. Damit ist <math>h_0</math> als Integral über den Zyklus <math>\Gamma</math> bzgl. <math>g</math> ebenfalls eine auf ganz <math>G</math> stetige Funktion. Nun wird gezeigt, dass <math>h_0</math> sogar holomorph ist. Dazu wird der [[Satz von Morera]] verwendet, der die folgende Richtung des [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriteriums]] liefert: :<math display="block"> \oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \quad \Longrightarrow \quad f\, \mbox{ holomorph} </math> === Beweis 5 - Integral über geschlossene Wege === Es sei also <math>\gamma</math> der positiv orientierte Rand eines Dreiecks, das ganz in <math>G</math> liegt, wir müssen :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = 0</math> nachweisen. Es ist :<math>\int_{\gamma} h_0(z) dz = \int_{\gamma} \int_{\Gamma} g(w,z)dw \, dz = \int_{\Gamma} \int_{\gamma} g(w,z)dz\, dw</math> da wegen der Stetigkeit des Integranden auf <math>G \times G</math> die Integrationen vertauschbar sind. Für festes <math>w</math> ist die Funktion <math>g(w,z)</math> in der Variable <math>z</math> stetig und holomorph für <math>w \ne z</math>, also überhaupt holomorph. === Beweis 6 - Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete=== Nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für konvexe Gebiete folgt :<math>\int_{\gamma} g(w,z) \, dz = 0.</math> Damit ist natürlich auch :<math>\int_{\gamma} h_0(z) \, dz = \int_{\Gamma} \bigg( \underbrace{\int_{\gamma} g(w,z) \, dz}_{=0} \bigg) \, dw = 0.</math> === Beweis 7 - Nullhomologer Zyklus === Bisher wurde die Voraussetzung über den [[Zyklus]] <math>\Gamma</math>, nullhomolog zu sein, noch nicht ausgenutzt. Dies wird verwendet durch die Definition einer Menge erfolgen. Man definiert nun die Menge <math>G_0</math> der Punkte, die von <math>\Gamma</math> nicht umlaufen werden. :<math>G_0 = \{z \in \mathbb{C}: n (\Gamma, z) = 0\}.</math> Das Komplement <math>G_0^c\subset G</math> liegt ganz in <math>G</math>, da kein Punkte aus dem Komplement von <math>G</math> umlaufen werden. === Beweis 8 - Nutzung Nullhomologie === Da auf <math>G \cap G_0</math> die Funktion <math>h_0</math> sich einfacher schreibt, nämlich :<math> \begin{array}{rcl} h_0(z) & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle \underbrace{-f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=\,n(\Gamma,z) \cdot 2\pi i \,=\, 0}}_{=0} + \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw}_{=:h_1(z)} \\ \end{array} </math> === Beweis 9 - Ganze Funktion erzeugen === Da die Funktion <math>h_1</math> aber offenbar auf ganz <math>G_0</math> und damit auch <math>\mathbb{C}\setminus G</math> [[holomorphe Funktion|holomorph]] ist, kann man <math>h_0</math> durch :<math> h(z) = \left\{ \begin{array}{ll} h_0(z) & z \in G\\ h_1(z) & z \in G_0 \end{array} \right. </math> zu einer auf ganz <math>G \cup G_0</math> erklärten holomorphen Funktion <math>h</math> fortsetzen. === Beweis 10 - Ganze Funktion - Nullhomologie === Nun ist <math>\Gamma</math> [[nullhomolog]] in <math>G</math> und damit :<math>G \cup G_0 = \mathbb{C},</math> d.h. <math>h</math> ist eine [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]]. === Beweis 11 - Beschränktheit von h === Für <math>h</math> haben wir auf <math>G_0</math> die Bezeichnung :<math>|h(z)| = |h_1(z)| \leq \frac 1 {dist(z, \Gamma)} \cdot \mathcal{L}(\Gamma) \cdot \max_{z\in Spur(\Gamma)}|f(z)|\;\;\;(*);</math> dabei ist <math>\mathcal{L}(\Gamma) = \sum_{k=1}^n |n_k| \cdot \mathcal{L}(\gamma_k)</math>, wenn der Zyklus als <math>\Gamma = \sum_{k=1}^n n_k \cdot \gamma_k</math> definiert worden ist. === Beweis 12 - Anwendung - Satz von Liouville === <math>G_0</math> enthält das Komplement eines hinreichend großen Kreises um <math>0</math>. Dort gilt also die obige Ungleichung für alle <math>z</math>: es folgt, dass <math>h</math> beschränkt, also nach dem [[Satz von Liouville]] konstant ist. Man wählt nun eine Folge <math>(z_{m})_{m\in \mathbb{N}} \in G_0^{\mathbb{N}}</math> mit <math>|z_{m}| \geq m</math>. Durch Anwendung der Ungleichung (*) erhält man: :<math>\lim\limits_{m \to \infty} h(z_{m}) \leq \lim\limits_{m \to \infty} \overbrace{ \frac{1}{\,\,\underbrace{dist(z_m, \Gamma)}_{\to +\infty}\,\,}}^{\to 0} \cdot C =0,</math> insgesamt also <math> h \equiv 0</math>, insbesondere <math>h_0 \equiv 0</math>. === Beweis 13 - Anwendung auf das Gebiet G === Da <math>h(z)=0</math> gilt, erhält man für alle <math>z\in G</math> die Gleichung: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle - \int_{\Gamma} \frac {f(z)}{w- z} dw \quad + \quad \frac {f(w)}{w- z} dw \\ &=& \displaystyle -f(z)\cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i} + \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw \\ \end{array} </math> Auf <math>f(z)</math> kann man mit der Lineariät des Integrals anwenden, da <math>f(z)</math> unabhängig von der Integrationsvariable <math>w</math> ist. === Beweis 14 - Aussage des Satzes === Durch Umformung erhält man die Definition der Umlaufzahl für den Zyklus <math>\Gamma</math>: :<math> f(z)\cdot \underbrace{\frac{1}{2\pi i} \cdot \underbrace{\int_{\Gamma} \frac {1}{w- z} dw}_{=n(\Gamma,z)\cdot 2\pi i}}_{=n(\Gamma,z)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot \int_{\Gamma} \frac {f(w)}{w- z} dw </math> Insgesamt gilt damit die Aussage des Satzes. <math>\quad \Box</math> == Folgerungen == Aus der Cauchy-Integralformel für nullhomolge Zyklen (CIF-NZ) folgt u.a. auch der [[Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]] (CIS-NZ). Ferner erhält man auch, dass jede Ableitung <math>f^{(n)}</math> einer holomorphen Funktion <math>f</math> unendlich oft differenzierbar ist und bei einem beliebigen nullhomologen Zyklus <math>\Gamma</math> auch die Ableitung unter Berücksichtigung der Umlaufzahl als Integral darstellen. Unendlich oft differenzierbar zu sein, wurde bereits durch die [[Cauchy-Integralformel]] auf konvexen Gebieten gezeigt, da der Integrand in <math>z</math> unendlich oft differenzierbar ist. Die Darstellung der CIF-NZ für die Abbildung wir durch das folgende Korrollar festgehalten ===Korollar 1 - Ableitungen für Kreisscheiben=== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>D</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann ist <math>f</math> unendlich oft differenzierbar und für jedes <math>n\in \mathbb N</math> gilt <center><math> f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}}\, dw </math></center> für jedes <math>z \in D</math>. === Korollar 2 - Ableitungen für nullhomologe Zyklen === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Dann gilt :<math> n(\Gamma, z) \cdot f^{(n)}(z) = \frac {n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} \, dw </math> für jedes <math>z \in G \setminus \mathrm{spur}(\Gamma)</math> und jedes <math>n \in \mathbb N</math>. === Korollar 3 - CIS-NZ === Es sei <math>G\subseteq \mathbb C</math> eine offene Menge, <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/nullhomolog|nullhomologer]] Zyklus und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]], dann gilt auch der [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. ==== Beweis ==== Für den Beweis und weitere Anmerkungen siehe [[Cauchy-Integralsatz#CIS4Zyklen|Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen]]. == Analytizität - Entwicklung in Potenzreihen == Allgemeiner ergibt sich noch, dass jede holomorphe Funktion an jeder Stelle analytisch, d.h. in eine Potenzreihe entwickelbar ist: ===Aussage - Analytizität=== Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Sei <math>z_0 \in G</math> und <math>r > 0</math> so, dass <math>\bar B_r(z_0) \subseteq G</math> gilt. Dann ist <math>f</math> auf <math>B_r(z_0)</math> durch eine konvergente Potenzreihe :<math> f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n </math> darstellbar und die Koeffizienten sind durch :<math> a_n = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw </math> gegeben. ===Beweis 1 - Analytizität=== Für <math>z \in B_r(z_0)</math>, <math>w \in \partial B_r(z_0)</math> kann man <math>\frac{1}{w-z}</math> mit dem Cauchy-Kern als Potenzreihe darstellen: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac 1{w-z} &= \displaystyle\frac 1{(w- z_0) - (z-z_0)}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \cdot \frac 1{1 - \frac{z-z_0}{w-z_0}}\\ &= \displaystyle \frac 1{w-z_0} \sum_{n=0}^\infty \frac{(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}. \end{array} </math> ===Beweis 2 - Analytizität=== Die Reihe konvergiert wegen <math>|z-z_0| < r = |w-z_0|</math> absolut und wir erhalten :<math> \begin{array}{rl} f(z) &= \displaystyle\frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac{f(w)}{w-z} \, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \int_{\partial B_r(z_0)} \frac 1{w-z_0} \frac{f(w)(z-z_0)^n}{(w-z_0)^n}\, dw\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n\\ &= \displaystyle \frac 1{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty \int_{\partial B_r(z_0)} \frac {f(w)}{(w-z_0)^{n+1}}\, dw \cdot (z-z_0)^n \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie|Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]] * [[Stammfunktionen als Wegintegrale]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]] == Seiten-Information == Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Wikiversity+Authors&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe https://de.wikipedia.org/wiki/Laurent-Reihe] * Diese Seite ist eine [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe * vorausgehender Inhalt des Kurses ist der [[Integralsatz von Cauchy|Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] <noinclude>[[en:Cauchy's integral formula]]</noinclude> t31hqn25fl8dc496qelt74ysj7urvcd 106 103350 1078902 1077259 2026-05-07T14:03:17Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellung von Funktionswerten in Kreisscheiben durch Wegintegrale */ 1078902 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die '''Cauchy-Integralformel''' (nach [[w:de:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]) ist eine der fundamentalen Aussagen der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], eines Teilgebietes der [[w:de:Mathematik|Mathematik]]. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. === Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die in die Integraldarstellung von <math>f(z)</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Schritte === Die folgenden Ausführungen tragen dazu bei, die lokale Entwicklung in Potenzreihen zu zeigen. Dieses ist ein Holomorphiekriterium. * der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert eine Integraldarstellung für <math>f(z)</math>. * die Darstellung wird dazu verwendet, um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist. * Damit kann man die Taylorreihe der Funktion lokal erzeugen, weil nun alle Ableitung existieren (Cauchy-Kern). === Darstellung von Funktionswerten in Kreisscheiben durch Wegintegrale === Mit der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel]] kann man beliebige Punkte <math>z</math> im Inneren einer abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)} \subset G</math> durch ein geschlossenes Wegintegral über Rand der Kreisscheibe darstellen. Dies erscheint auf den ersten Blick ein sehr ungewöhnliches Resultat zu sein, da die Integrationsvariable <math>\zeta \in \partial U</math> im Integranden per Definition auf dem Rand der Kreisscheibe liegt und daher immer verschieden zu <math>z</math> als Argument von <math>f(z)</math> ist, wobei <math>z</math> im Inneren der Kreisscheibe liegt, also <math> z \in D_r(z_o)</math>. <span id="CIF"></span> == Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben == Ist <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> offen, <math>f\colon G\to\mathbb{C}</math> holomorph, <math>z_o \in G</math> ein Punkt in <math>z_o \in G</math> und <math>U:=D_r(z_o)\subset G</math> eine beschränkte Kreisscheibe mit <math>\overline{U} \subset G</math>, dann gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> (also für alle <math>z</math> mit <math>|z-z_o|<r</math>: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math> Dabei ist <math>\partial U</math> die positiv orientierte Kurve <math>t\mapsto z_{0}+re^{\mathrm{i}t}</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> über den Rand der Kreisscheibe <math>U</math>. ==== Bemerkung - Rand der Kreisscheibe ==== Die Bedingung <math>\overline{U} \subset G</math> bezeichnet, dass der Abschluss der Kreisscheibe auch in <math>U</math> liegen muss. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Spur des Integrationsweges über den Kreisrand auch in <math>G</math> liegt und die Funktion <math>f</math> auf dem Rand definiert ist. === Beweis 1 - Definition der Funktion g === Für festes <math>z\in U</math> sei die Funktion <math>g\colon U\to\mathbb{C}</math> definiert durch: :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z)}{\xi - z} & , & \xi \not= z \\ f'(z) & , & \xi = z \\ \end{cases} \end{array} </math> <math>g</math> ist stetig auf <math>U</math> und holomorph auf <math>U\setminus\{z\}</math>. Ziel ist die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemmas von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]. === Beweis 2 - Differenzenquotient und Linearität === Mit der Definition <math>g</math> und <math>w\not= z</math> kann man mit der Linearität des Integrals folgende Darstellung erzielen: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle \oint_{\partial U} g(\zeta) d\zeta = \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - \oint_{\partial U}\frac{f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - f(z)\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z} \end{array} </math>. === Beweis 3 - Holomorphie des Integrationsterms === Die Funktion <math>h\colon U\to\mathbb{C}</math>, <math>\textstyle w\mapsto\oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-w}</math> ist holomorph mit der Ableitung <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2}</math>. === Beweis 4 - Wegintegral mit Stammfunktion === Der Integrand <math>\widehat{h}:\zeta\mapsto \tfrac{1}{(\zeta-w)^2}</math> hat als [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widehat{H}:\zeta\mapsto -\tfrac{1}{\zeta-w}</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]]. Daher ergibt sich ein [[Wegintegral]] über Weg <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb{C}</math> über <math>\widehat{H}(\gamma(b))-\widehat{H}(\gamma(a))</math> und das [[Wegintegral]] über geschlossene Wege ist 0, da <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung === Die Funktion <math>h'</math> hat die Stammfunktion <math>h</math> und für das geschlossene Wegintegral gilt <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2} = 0 </math>. Damit <math>h'</math> die Nullfunktion und damit muss <math>h</math> konstant sein. === Beweis 6 - Wegintegral das Zentrum der Kreisscheibe berechnen === Für das Zentrum der Kreisschreibe lässt sich der Wert des Integrals für <math>h(z_o)</math> wie folgt berechnen: :<math> h(z_o) = \oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z_o} = \int_{0}^{2\pi} \frac{i\cdot r\cdot e^{it} }{ r\cdot e^{it} } \mathrm{d} t = \int_{0}^{2\pi} i \, \mathrm{d} t = 2\pi i </math> === Beweis 7 - Konstanz von h === Wegen der Konstanz der Funktion <math>h</math> muss <math>h</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>z \in D_r(z_o)</math> konstant sein: :<math> h(z)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-z\right)} = 2\pi i </math> . &nbsp; <math>\Box</math> == Folgerungen CIF == Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIF) ergeben sich folgende Korrolare: * '''(CIF1)''' Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe, * '''(CIF2)''' Integraldarstellung von Ableitungen, * '''(CIF3)''' Betragsmäßige Abschätzung der Koeffizienten der [[Taylorreihe]], * '''(CIF4)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]], === CIF1 - Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe === Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei <math>\zeta (t)=z_o +re^{\mathrm{i}t}\,,\ \mathrm{d}\zeta=\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>. Test :<math> \begin{align} f|_{U}(z_o) &= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})\,\mathrm{d}t \end{align} </math> === CIF2 - Ableitungen der Cauchy-Integralformel === Jede holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für <math>|z-z_o|<r</math>, <math>U:=D_r(z_o)</math>, <math>\overline{U} \subset G</math> und <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left( \zeta-z \right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.</math> ==== Beweis - CIF2 ==== In dem folgenden Beweis wurde verwendet, dass die Differentiation und Integration vertauscht werden dürfen. :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe === Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)</math> gilt: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> ==== Beweis CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten ==== Für die Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein <math>M>0</math> mit <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-z_o|=r</math>. Dann gilt für <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>\begin{align} |a_{n}|&=\left|\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\right|\\ &\leq\frac{1}{2\pi r^n} \underbrace{\int_0^{2\pi} \underbrace{|f(z_o+re^{\mathrm{i} t})|}_{\leq M} \,\mathrm{d}t }_{\leq M\cdot 2\pi} \leq \frac{M}{r^{n}} \end{align}</math> === CIF4 - Satz von Liouville === Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] (jede [[w:de:Ganze Funktion|auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe]] beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. ==== Beweis CIF4 - Satz von Liouville ==== Ist <math>f</math> auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorph und beschränkt, also <math>|f(z)|=|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}|\leq M</math> für alle <math>z\in\mathbb C</math>, dann gilt wie vorher für alle <math>r>0</math>: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> Da <math>r</math> beliebig war, gilt dann <math>a_n=0</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>. Somit folgt aus der Beschränktheit von <math>f</math>: : <math>f(z)=a_0</math> Das heißt jede beschränkte auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville). === CIF5 - Fundamentalsatz der Algebra === Mit [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] kann man wiederum leicht den [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] beweisen, und damit jedes Polynom <math>p</math> vom Grad <math>n</math> in in <math>\mathbb{C}</math> in <math>n</math> Linearfaktoren mit <math>z_k\in \mathbb{C}</math> zerfällt. :<math> p(z) = \prod_{k=1}^n (z-z_k) </math> Siehe Beweis [[Fundamentalsatz der Algebra]]. === Beispiel === Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden: :<math>\oint_{\partial U_2(0)}\frac{e^{2\zeta}}{\left(\zeta+1\right)^4}\mathrm{d}\zeta = \frac{2\pi\mathrm{i}}{3!} \cdot \frac{\partial^3}{\partial z^3}e^{2z}|_{z=-1} = \frac{8\pi\mathrm{i}}{3e^2}</math> == Cauchysche Integralformel für Polyzylinder == Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum <math>\Complex^n</math> verallgemeinert. Seien <math>U_1, \ldots , U_n</math> Kreisscheiben in <math>\Complex</math>, dann ist <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ein [[w:de:Polyzylinder|Polyzylinder]] in <math>\Complex^n</math>. Sei <math>f \colon U \to \Complex</math> eine holomorphe Funktion und <math>\xi \in U.</math> Dann ist die cauchysche Integralformel durch :<math>f(z_1,\ldots,z_n)=\frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)\cdots (\xi_n-z_n)} \mathrm{d} \xi_1\cdots \mathrm{d} \xi_n</math> erklärt. === Einschränkungen mehrdimensionaler Raum === Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der [[w:de:Multiindex|Multiindex]]schreibweise kann die Formel wieder zu :<math>f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)} \, \mathrm{d} \xi</math>, mit <math>\partial U = \partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n</math> verkürzt werden. === Polyzylinder === Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei <math>\textstyle M := \max_{\xi \in U} |f(\xi)|</math> und <math>r = (r_1, \ldots , r_n)</math> der Radius des Polyzylinders <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ist.<ref>[[w:de:Lars Hörmander|Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.</ref> Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === Vorgehen im mehrdimensionalen Fall === Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel :<math>D^{k} f(z_1,\ldots,z_n) = \frac{k!}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math> für die Ableitungen der holomorphen Funktion <math>f</math> als auch die cauchysche Ungleichung :<math>\left|D^k f(z)\right |\le \frac{M \cdot k!}{r^k},</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Zyklus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Wegintegral über Funktionen mit Stammfunktion]] * [[Integralformel von Cauchy|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[nullhomolog]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * Kurt Endl, [[w:de:Wolfgang Luh|Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1. * Wolfgang Fischer, [[w:de:Ingo Lieb|Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47). [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Cauchysche Integralformel]] == Seiten-Information == Die folgenden Informationen geben an, wie diese Seiten entstanden ist und mit warum die Quelle aus Wikipedia mit dem [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter] zur [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Nutzung als Online-Präsentation] mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] modifziert wurde, damit die Inhalte der Abschnitte jeweils auf eine einzelne Folie passen. === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Cauchysche_Integralformel] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel * Datum: 21.12.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Cauchy's Integral Theorem for Disks]]</noinclude> klugafmtcpaz2w1qnptrsg3164xwvcs 1078988 1078902 2026-05-08T10:21:32Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078988 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die '''Cauchy-Integralformel''' (nach [[w:de:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]) ist eine der fundamentalen Aussagen der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], eines Teilgebietes der [[w:de:Mathematik|Mathematik]]. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. === Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die in die Integraldarstellung von <math>f(z)</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Schritte === Die folgenden Ausführungen tragen dazu bei, die lokale Entwicklung in Potenzreihen zu zeigen. Dieses ist ein Holomorphiekriterium. * der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert eine Integraldarstellung für <math>f(z)</math>. * die Darstellung wird dazu verwendet, um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist. * Damit kann man die Taylorreihe der Funktion lokal erzeugen, weil nun alle Ableitung existieren (Cauchy-Kern). === Darstellung von Funktionswerten in Kreisscheiben durch Wegintegrale === Mit der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel]] kann man beliebige Punkte <math>z</math> im Inneren einer abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)} \subset G</math> durch ein geschlossenes Wegintegral über Rand der Kreisscheibe darstellen. Dies erscheint auf den ersten Blick ein sehr ungewöhnliches Resultat zu sein, da die Integrationsvariable <math>\zeta \in \partial U</math> im Integranden per Definition auf dem Rand der Kreisscheibe liegt und daher immer verschieden zu <math>z</math> als Argument von <math>f(z)</math> ist, wobei <math>z</math> im Inneren der Kreisscheibe liegt, also <math> z \in D_r(z_o)</math>. <span id="CIF"></span> == Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben == Ist <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> offen, <math>f\colon G\to\mathbb{C}</math> holomorph, <math>z_o \in G</math> ein Punkt in <math>z_o \in G</math> und <math>U:=D_r(z_o)\subset G</math> eine beschränkte Kreisscheibe mit <math>\overline{U} \subset G</math>, dann gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> (also für alle <math>z</math> mit <math>|z-z_o|<r</math>: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math> Dabei ist <math>\partial U</math> die positiv orientierte Kurve <math>t\mapsto z_{0}+re^{\mathrm{i}t}</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> über den Rand der Kreisscheibe <math>U</math>. ==== Bemerkung - Rand der Kreisscheibe ==== Die Bedingung <math>\overline{U} \subset G</math> bezeichnet, dass der Abschluss der Kreisscheibe auch in <math>U</math> liegen muss. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Spur des Integrationsweges über den Kreisrand auch in <math>G</math> liegt und die Funktion <math>f</math> auf dem Rand definiert ist. === Beweis 1 - Definition der Funktion g === Für festes <math>z\in U</math> sei die Funktion <math>g\colon U\to\mathbb{C}</math> definiert durch: :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z)}{\xi - z} & , & \xi \not= z \\ f'(z) & , & \xi = z \\ \end{cases} \end{array} </math> <math>g</math> ist stetig auf <math>U</math> und holomorph auf <math>U\setminus\{z\}</math>. Ziel ist die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemmas von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]. === Beweis 2 - Differenzenquotient und Linearität === Mit der Definition <math>g</math> und <math>w\not= z</math> kann man mit der Linearität des Integrals folgende Darstellung erzielen: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle \oint_{\partial U} g(\zeta) d\zeta = \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - \oint_{\partial U}\frac{f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - f(z)\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z} \end{array} </math>. === Beweis 3 - Holomorphie des Integrationsterms === Die Funktion <math>h\colon U\to\mathbb{C}</math>, <math>\textstyle w\mapsto\oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-w}</math> ist holomorph mit der Ableitung <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2}</math>. === Beweis 4 - Wegintegral mit Stammfunktion === Der Integrand <math>\widehat{h}:\zeta\mapsto \tfrac{1}{(\zeta-w)^2}</math> hat als [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widehat{H}:\zeta\mapsto -\tfrac{1}{\zeta-w}</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]]. Daher ergibt sich ein [[Wegintegral]] über Weg <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb{C}</math> über <math>\widehat{H}(\gamma(b))-\widehat{H}(\gamma(a))</math> und das [[Wegintegral]] über geschlossene Wege ist 0, da <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung === Die Funktion <math>h'</math> hat die Stammfunktion <math>h</math> und für das geschlossene Wegintegral gilt <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2} = 0 </math>. Damit <math>h'</math> die Nullfunktion und damit muss <math>h</math> konstant sein. === Beweis 6 - Wegintegral das Zentrum der Kreisscheibe berechnen === Für das Zentrum der Kreisschreibe lässt sich der Wert des Integrals für <math>h(z_o)</math> wie folgt berechnen: :<math> h(z_o) = \oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z_o} = \int_{0}^{2\pi} \frac{i\cdot r\cdot e^{it} }{ r\cdot e^{it} } \mathrm{d} t = \int_{0}^{2\pi} i \, \mathrm{d} t = 2\pi i </math> === Beweis 7 - Konstanz von h === Wegen der Konstanz der Funktion <math>h</math> muss <math>h</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>z \in D_r(z_o)</math> konstant sein: :<math> h(z)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-z\right)} = 2\pi i </math> . &nbsp; <math>\Box</math> == Folgerungen CIF == Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIF) ergeben sich folgende Korrolare: * '''(CIF1)''' Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe, * '''(CIF2)''' Integraldarstellung von Ableitungen, * '''(CIF3)''' Betragsmäßige Abschätzung der Koeffizienten der [[Taylorreihe]], * '''(CIF4)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]], === CIF1 - Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe === Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei <math>\zeta (t)=z_o +re^{\mathrm{i}t}\,,\ \mathrm{d}\zeta=\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>. Test :<math> \begin{align} f|_{U}(z_o) &= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})\,\mathrm{d}t \end{align} </math> === CIF2 - Ableitungen der Cauchy-Integralformel === Jede holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für <math>|z-z_o|<r</math>, <math>U:=D_r(z_o)</math>, <math>\overline{U} \subset G</math> und <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left( \zeta-z \right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.</math> ==== Beweis - CIF2 ==== In dem folgenden Beweis wurde verwendet, dass die Differentiation und Integration vertauscht werden dürfen. :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe === Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)</math> gilt: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> ==== Beweis CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten ==== Für die Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein <math>M>0</math> mit <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-z_o|=r</math>. Dann gilt für <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>\begin{align} |a_{n}|&=\left|\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\right|\\ &\leq\frac{1}{2\pi r^n} \underbrace{\int_0^{2\pi} \underbrace{|f(z_o+re^{\mathrm{i} t})|}_{\leq M} \,\mathrm{d}t }_{\leq M\cdot 2\pi} \leq \frac{M}{r^{n}} \end{align}</math> === CIF4 - Satz von Liouville === Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] (jede [[w:de:Ganze Funktion|auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe]] beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. ==== Beweis CIF4 - Satz von Liouville ==== Ist <math>f</math> auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorph und beschränkt, also <math>|f(z)|=|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}|\leq M</math> für alle <math>z\in\mathbb C</math>, dann gilt wie vorher für alle <math>r>0</math>: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> Da <math>r</math> beliebig war, gilt dann <math>a_n=0</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>. Somit folgt aus der Beschränktheit von <math>f</math>: : <math>f(z)=a_0</math> Das heißt jede beschränkte auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville). === CIF5 - Fundamentalsatz der Algebra === Mit [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] kann man wiederum leicht den [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] beweisen, und damit jedes Polynom <math>p</math> vom Grad <math>n</math> in in <math>\mathbb{C}</math> in <math>n</math> Linearfaktoren mit <math>z_k\in \mathbb{C}</math> zerfällt. :<math> p(z) = \prod_{k=1}^n (z-z_k) </math> Siehe Beweis [[Fundamentalsatz der Algebra]]. === Beispiel === Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden: :<math>\oint_{\partial U_2(0)}\frac{e^{2\zeta}}{\left(\zeta+1\right)^4}\mathrm{d}\zeta = \frac{2\pi\mathrm{i}}{3!} \cdot \frac{\partial^3}{\partial z^3}e^{2z}|_{z=-1} = \frac{8\pi\mathrm{i}}{3e^2}</math> == Cauchysche Integralformel für Polyzylinder == Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum <math>\Complex^n</math> verallgemeinert. Seien <math>U_1, \ldots , U_n</math> Kreisscheiben in <math>\Complex</math>, dann ist <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ein [[w:de:Polyzylinder|Polyzylinder]] in <math>\Complex^n</math>. Sei <math>f \colon U \to \Complex</math> eine holomorphe Funktion und <math>\xi \in U.</math> Dann ist die cauchysche Integralformel durch :<math>f(z_1,\ldots,z_n)=\frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)\cdots (\xi_n-z_n)} \mathrm{d} \xi_1\cdots \mathrm{d} \xi_n</math> erklärt. === Einschränkungen mehrdimensionaler Raum === Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der [[w:de:Multiindex|Multiindex]]schreibweise kann die Formel wieder zu :<math>f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)} \, \mathrm{d} \xi</math>, mit <math>\partial U = \partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n</math> verkürzt werden. === Polyzylinder === Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei <math>\textstyle M := \max_{\xi \in U} |f(\xi)|</math> und <math>r = (r_1, \ldots , r_n)</math> der Radius des Polyzylinders <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ist.<ref>[[w:de:Lars Hörmander|Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.</ref> Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === Vorgehen im mehrdimensionalen Fall === Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel :<math>D^{k} f(z_1,\ldots,z_n) = \frac{k!}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math> für die Ableitungen der holomorphen Funktion <math>f</math> als auch die cauchysche Ungleichung :<math>\left|D^k f(z)\right |\le \frac{M \cdot k!}{r^k},</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Zyklus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Wegintegral über Funktionen mit Stammfunktion]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[nullhomolog]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * Kurt Endl, [[w:de:Wolfgang Luh|Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1. * Wolfgang Fischer, [[w:de:Ingo Lieb|Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47). [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Cauchysche Integralformel]] == Seiten-Information == Die folgenden Informationen geben an, wie diese Seiten entstanden ist und mit warum die Quelle aus Wikipedia mit dem [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter] zur [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Nutzung als Online-Präsentation] mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] modifziert wurde, damit die Inhalte der Abschnitte jeweils auf eine einzelne Folie passen. === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Cauchysche_Integralformel] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel * Datum: 21.12.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Cauchy's Integral Theorem for Disks]]</noinclude> kkko7oasgfbqqa5z56sks4hy5thpn1e 1078990 1078988 2026-05-08T10:23:41Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078990 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die '''Cauchy-Integralformel''' (nach [[w:de:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy]]) ist eine der fundamentalen Aussagen der [[w:de:Funktionentheorie|Funktionentheorie]], eines Teilgebietes der [[w:de:Mathematik|Mathematik]]. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer [[w:de:Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] <math>f</math> im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der [[w:de:Residuensatz|Residuensatz]]. === Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von <math>f:G\to \mathbb{C}</math> mit dem [[Lemma von Goursat]] in die in die Integraldarstellung von <math>f(z)</math> eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein [[Holomorphiekriterien|Holomorphiekriterium]] darstellt: :<math> \begin{array}{cccl} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma f(\xi) \, d\xi \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\gamma f(z) \, dz \\ \end{array} </math> === Schritte === Die folgenden Ausführungen tragen dazu bei, die lokale Entwicklung in Potenzreihen zu zeigen. Dieses ist ein Holomorphiekriterium. * der Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben liefert eine Integraldarstellung für <math>f(z)</math>. * die Darstellung wird dazu verwendet, um zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion unendlich oft differenzierbar ist. * Damit kann man die Taylorreihe der Funktion lokal erzeugen, weil nun alle Ableitung existieren (Cauchy-Kern). === Darstellung von Funktionswerten in Kreisscheiben durch Wegintegrale === Mit der [[Integralformel von Cauchy|Cauchy-Integralformel]] kann man beliebige Punkte <math>z</math> im Inneren einer abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)} \subset G</math> durch ein geschlossenes Wegintegral über Rand der Kreisscheibe darstellen. Dies erscheint auf den ersten Blick ein sehr ungewöhnliches Resultat zu sein, da die Integrationsvariable <math>\zeta \in \partial U</math> im Integranden per Definition auf dem Rand der Kreisscheibe liegt und daher immer verschieden zu <math>z</math> als Argument von <math>f(z)</math> ist, wobei <math>z</math> im Inneren der Kreisscheibe liegt, also <math> z \in D_r(z_o)</math>. <span id="CIF"></span> == Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben == Ist <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> offen, <math>f\colon G\to\mathbb{C}</math> holomorph, <math>z_o \in G</math> ein Punkt in <math>z_o \in G</math> und <math>U:=D_r(z_o)\subset G</math> eine beschränkte Kreisscheibe mit <math>\overline{U} \subset G</math>, dann gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> (also für alle <math>z</math> mit <math>|z-z_o|<r</math>: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math> Dabei ist <math>\partial U</math> die positiv orientierte Kurve <math>t\mapsto z_{0}+re^{\mathrm{i}t}</math> für <math>t\in[0,2\pi]</math> über den Rand der Kreisscheibe <math>U</math>. ==== Bemerkung - Rand der Kreisscheibe ==== Die Bedingung <math>\overline{U} \subset G</math> bezeichnet, dass der Abschluss der Kreisscheibe auch in <math>U</math> liegen muss. Diese Bedingung ist notwendig, damit die Spur des Integrationsweges über den Kreisrand auch in <math>G</math> liegt und die Funktion <math>f</math> auf dem Rand definiert ist. === Beweis 1 - Definition der Funktion g === Für festes <math>z\in U</math> sei die Funktion <math>g\colon U\to\mathbb{C}</math> definiert durch: :<math> \begin{array}{rrcl} g : & U & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & \xi & \mapsto & g(\xi) = \begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z)}{\xi - z} & , & \xi \not= z \\ f'(z) & , & \xi = z \\ \end{cases} \end{array} </math> <math>g</math> ist stetig auf <math>U</math> und holomorph auf <math>U\setminus\{z\}</math>. Ziel ist die Anwendung des [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemmas von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]. === Beweis 2 - Differenzenquotient und Linearität === Mit der Definition <math>g</math> und <math>w\not= z</math> kann man mit der Linearität des Integrals folgende Darstellung erzielen: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle \oint_{\partial U} g(\zeta) d\zeta = \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - \oint_{\partial U}\frac{f(z)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & = & \displaystyle \oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta - f(z)\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z} \end{array} </math>. === Beweis 3 - Holomorphie des Integrationsterms === Die Funktion <math>h\colon U\to\mathbb{C}</math>, <math>\textstyle w\mapsto\oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-w}</math> ist holomorph mit der Ableitung <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2}</math>. === Beweis 4 - Wegintegral mit Stammfunktion === Der Integrand <math>\widehat{h}:\zeta\mapsto \tfrac{1}{(\zeta-w)^2}</math> hat als [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]] <math>\widehat{H}:\zeta\mapsto -\tfrac{1}{\zeta-w}</math> eine [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Stammfunktion]]. Daher ergibt sich ein [[Wegintegral]] über Weg <math>\gamma: [a,b]\to \mathbb{C}</math> über <math>\widehat{H}(\gamma(b))-\widehat{H}(\gamma(a))</math> und das [[Wegintegral]] über geschlossene Wege ist 0, da <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> gilt. === Beweis 5 - Wegintegral über Ableitung === Die Funktion <math>h'</math> hat die Stammfunktion <math>h</math> und für das geschlossene Wegintegral gilt <math>\textstyle h'(w)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-w\right)^2} = 0 </math>. Damit <math>h'</math> die Nullfunktion und damit muss <math>h</math> konstant sein. === Beweis 6 - Wegintegral das Zentrum der Kreisscheibe berechnen === Für das Zentrum der Kreisschreibe lässt sich der Wert des Integrals für <math>h(z_o)</math> wie folgt berechnen: :<math> h(z_o) = \oint_{\partial U}\tfrac{\mathrm{d}\zeta}{\zeta-z_o} = \int_{0}^{2\pi} \frac{i\cdot r\cdot e^{it} }{ r\cdot e^{it} } \mathrm{d} t = \int_{0}^{2\pi} i \, \mathrm{d} t = 2\pi i </math> === Beweis 7 - Konstanz von h === Wegen der Konstanz der Funktion <math>h</math> muss <math>h</math> auf dem gesamten Definitionsbereich <math>z \in D_r(z_o)</math> konstant sein: :<math> h(z)=\oint_{\partial U}\frac{\mathrm{d}\zeta}{\left(\zeta-z\right)} = 2\pi i </math> . &nbsp; <math>\Box</math> == Folgerungen CIF == Aus dem Cauchy-Integralsatz (CIF) ergeben sich folgende Korrolare: * '''(CIF1)''' Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe, * '''(CIF2)''' Integraldarstellung von Ableitungen, * '''(CIF3)''' Betragsmäßige Abschätzung der Koeffizienten der [[Taylorreihe]], * '''(CIF4)''' [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]], === CIF1 - Darstellung der Funktion im Mittelpunkt der Kreisscheibe === Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei <math>\zeta (t)=z_o +re^{\mathrm{i}t}\,,\ \mathrm{d}\zeta=\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\mathrm{d}t</math>. Test :<math> \begin{align} f|_{U}(z_o) &= \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z_o}\mathrm{d}\zeta=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_{0}^{2\pi}\frac{f(z_o+re^{\mathrm{i}t})}{re^{\mathrm{i}t}}\mathrm{i}re^{\mathrm{i}t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})\,\mathrm{d}t \end{align} </math> === CIF2 - Ableitungen der Cauchy-Integralformel === Jede holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> auf einem [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiet]] ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für <math>|z-z_o|<r</math>, <math>U:=D_r(z_o)</math>, <math>\overline{U} \subset G</math> und <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\left( \zeta-z \right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.</math> ==== Beweis - CIF2 ==== In dem folgenden Beweis wurde verwendet, dass die Differentiation und Integration vertauscht werden dürfen. :<math> \begin{align} f^{(n)}|_{U}(z) & = \frac{\partial^{n}f}{\partial z^{n}}|_{U}(z) = \frac{1}{2\pi\mathrm{i}} \cdot \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}f(\zeta)\underbrace{\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\frac{1}{\zeta-z}}_{n!/(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta \\ & =\frac{n!}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{1+n}}\mathrm{d}\zeta\end{align} </math> === CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten der Taylorreihe === Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-a|<r\ \Leftrightarrow z\in U_{r}(a)</math> gilt: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> ==== Beweis CIF3 - Abschätzung der Koeffizienten ==== Für die Koeffizienten <math>a_n \in \mathbb{C}</math> gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein <math>M>0</math> mit <math>|f(z)|\leq M</math> für <math>|z-z_o|=r</math>. Dann gilt für <math>n\in\mathbb{N}_{0}</math>: :<math>\begin{align} |a_{n}|&=\left|\frac{1}{2\pi r^{n}}\int_{0}^{2\pi}f(z_o+re^{\mathrm{i}t})e^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t\right|\\ &\leq\frac{1}{2\pi r^n} \underbrace{\int_0^{2\pi} \underbrace{|f(z_o+re^{\mathrm{i} t})|}_{\leq M} \,\mathrm{d}t }_{\leq M\cdot 2\pi} \leq \frac{M}{r^{n}} \end{align}</math> === CIF4 - Satz von Liouville === Der [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] (jede [[w:de:Ganze Funktion|auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe]] beschränkte Funktion ist konstant) lässt sich sehr schnell mit der Integralformel zeigen. ==== Beweis CIF4 - Satz von Liouville ==== Ist <math>f</math> auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorph und beschränkt, also <math>|f(z)|=|\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}|\leq M</math> für alle <math>z\in\mathbb C</math>, dann gilt wie vorher für alle <math>r>0</math>: :<math>|a_{n}|\leq\frac{M}{r^{n}}</math> Da <math>r</math> beliebig war, gilt dann <math>a_n=0</math> für alle <math>n\in\mathbb{N}</math>. Somit folgt aus der Beschränktheit von <math>f</math>: : <math>f(z)=a_0</math> Das heißt jede beschränkte auf ganz <math>\mathbb C</math> holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville). === CIF5 - Fundamentalsatz der Algebra === Mit [[w:de:Satz von Liouville (Funktionentheorie)|Satz von Liouville]] kann man wiederum leicht den [[w:de:Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]] beweisen, und damit jedes Polynom <math>p</math> vom Grad <math>n</math> in in <math>\mathbb{C}</math> in <math>n</math> Linearfaktoren mit <math>z_k\in \mathbb{C}</math> zerfällt. :<math> p(z) = \prod_{k=1}^n (z-z_k) </math> Siehe Beweis [[Fundamentalsatz der Algebra]]. === Beispiel === Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden: :<math>\oint_{\partial U_2(0)}\frac{e^{2\zeta}}{\left(\zeta+1\right)^4}\mathrm{d}\zeta = \frac{2\pi\mathrm{i}}{3!} \cdot \frac{\partial^3}{\partial z^3}e^{2z}|_{z=-1} = \frac{8\pi\mathrm{i}}{3e^2}</math> == Cauchysche Integralformel für Polyzylinder == Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum <math>\Complex^n</math> verallgemeinert. Seien <math>U_1, \ldots , U_n</math> Kreisscheiben in <math>\Complex</math>, dann ist <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ein [[w:de:Polyzylinder|Polyzylinder]] in <math>\Complex^n</math>. Sei <math>f \colon U \to \Complex</math> eine holomorphe Funktion und <math>\xi \in U.</math> Dann ist die cauchysche Integralformel durch :<math>f(z_1,\ldots,z_n)=\frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)\cdots (\xi_n-z_n)} \mathrm{d} \xi_1\cdots \mathrm{d} \xi_n</math> erklärt. === Einschränkungen mehrdimensionaler Raum === Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von [[w:de:Induktion (Mathematik)|Induktion]] aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der [[w:de:Multiindex|Multiindex]]schreibweise kann die Formel wieder zu :<math>f(z) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)} \, \mathrm{d} \xi</math>, mit <math>\partial U = \partial U_1 \times \cdots \times \partial U_n</math> verkürzt werden. === Polyzylinder === Polyzylinder werden über einen Vektor von Radien definiert, wobei <math>\textstyle M := \max_{\xi \in U} |f(\xi)|</math> und <math>r = (r_1, \ldots , r_n)</math> der Radius des Polyzylinders <math>\textstyle U := \prod_{i=1}^n U_i</math> ist.<ref>[[w:de:Lars Hörmander|Lars Hörmander]]: ''An Introduction to Complex Analysis in Several Variables.'' North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, lSBN 0-444-10523-9, S. 25–27.</ref> Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die [[w:de:Bochner-Martinelli-Formel|Bochner-Martinelli-Formel]]. === Vorgehen im mehrdimensionalen Fall === Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel :<math>D^{k} f(z_1,\ldots,z_n) = \frac{k!}{(2\pi i)^n} \oint_{\partial U_n} \cdots \oint_{\partial U_1} \frac{f(\xi_1,\ldots,\xi_n)}{(\xi_1-z_1)^{k_1+1}\cdots (\xi_n-z_n)^{k_n+1}} d\xi_1\cdots d\xi_n</math> für die Ableitungen der holomorphen Funktion <math>f</math> als auch die cauchysche Ungleichung :<math>\left|D^k f(z)\right |\le \frac{M \cdot k!}{r^k},</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] * [[Zyklus]] * [[Kurs:Funktionentheorie/stetige_Funktion_mit_Stammfunktion|Wegintegral über Funktionen mit Stammfunktion]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[nullhomolog]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben|Flächenintegrale über Kreisscheiben]] * [[Umlaufzahl]] == Einzelnachweise == <references /> == Literatur == * Kurt Endl, [[w:de:Wolfgang Luh|Wolfgang Luh]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Funktionentheorie, Differentialgleichungen.'' 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, lSBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1. * Wolfgang Fischer, [[w:de:Ingo Lieb|Ingo Lieb]]: ''Funktionentheorie.'' 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, lSBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (''Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik'' 47). [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Satz (Mathematik)|Cauchysche Integralformel]] == Seiten-Information == Die folgenden Informationen geben an, wie diese Seiten entstanden ist und mit warum die Quelle aus Wikipedia mit dem [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter] zur [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Nutzung als Online-Präsentation] mit [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] modifziert wurde, damit die Inhalte der Abschnitte jeweils auf eine einzelne Folie passen. === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel Cauchysche_Integralformel] https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysche_Integralformel * Datum: 21.12.2018 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy_Integralsatz_f%C3%BCr_Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Cauchy's Integral Theorem for Disks]]</noinclude> 61uq7rxbba4nr7x1yqvvusf2zycq9h0 106 119974 1078949 1001726 2026-05-07T17:26:23Z Bert Niehaus 20843 /* Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe */ 1078949 wikitext text/x-wiki In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können. == Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe == Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>f: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>f(z):=\frac{1}{3(z-z_o)\cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-a</math> * <math>c:=b-z_o=-a-z_o</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b-z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_0}{c}</math> === Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe === Sei <math>z_o \not = -a </math>, dann gilt: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{a+z} &= \displaystyle -\frac{1}{b-z} \ \ (b:=-a)\\ &= \displaystyle -\frac{1}{b\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}-z} = -\frac{1}{(b-z_o)-(z-z_o)} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{(\underbrace{b-z_o}_{=c})-(z-z_o)} = -\frac{1}{c-(z-z_o)}\\ &= \displaystyle -\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{c}} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung als [[Potenzreihe]] und <math>f(z) = </math> erhält die Laurent-Reihe: === Ablesen des Residuums === Das Residuum <math>res_{z_0}(f)= -3 </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur die Koeffizienten 0 auftreten (d.h. der Hauptteil verschwindet). === Aufgaben === * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m} \cdot (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(g)= c_{-1+m}= \frac{1}{(b-z_o)^{-1+m+1}}= \frac{1}{(b-z_o)^{m}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{m}}</math>. == Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil== Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>h: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math> * <math>h(z):=\frac{(z-z_0)^m}{z+a}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-z_0-a</math> * <math>c_n:=b^n</math> * <math>q:=\frac{b}{z-z_o} = -\frac{z_0+a}{z-z_o}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{z-z_0}{z+a} = \frac{z-z_0}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{z-z_0}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{z-z_0}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{1}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{1}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(h)= c_{1} = b^1 = -z_o-a</math>. === Umformung in eine Laurent-Reihe mit <math>m>1</math> === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{z+a} = \frac{(z-z_0)^m}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^{n+m-1} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{m-1} c_{m-1-n} \cdot (z-z_o)^{n} \end{array} </math> Als Residuum für <math>n=-1</math> erhält man <math>res_{z_0}(h)= c_{m-1-(-1)}= c_{m} = b^{m} = (-z_o-a)^{m}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Satz über die Entwicklung in Laurentreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series]]</noinclude> 67e7gu4g8flmgvagquh4sjfbj1hmed5 1078950 1078949 2026-05-07T17:27:00Z Bert Niehaus 20843 /* Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe */ 1078950 wikitext text/x-wiki In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können. == Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe == Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>f: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>f(z):=\frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-a</math> * <math>c:=b-z_o=-a-z_o</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b-z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_0}{c}</math> === Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe === Sei <math>z_o \not = -a </math>, dann gilt: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{a+z} &= \displaystyle -\frac{1}{b-z} \ \ (b:=-a)\\ &= \displaystyle -\frac{1}{b\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}-z} = -\frac{1}{(b-z_o)-(z-z_o)} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{(\underbrace{b-z_o}_{=c})-(z-z_o)} = -\frac{1}{c-(z-z_o)}\\ &= \displaystyle -\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{c}} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung als [[Potenzreihe]] und <math>f(z) = </math> erhält die Laurent-Reihe: === Ablesen des Residuums === Das Residuum <math>res_{z_0}(f)= -3 </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur die Koeffizienten 0 auftreten (d.h. der Hauptteil verschwindet). === Aufgaben === * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - 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\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung als [[Potenzreihe]] und <math>f(z) = \frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> erhält die [[Laurent-Reihe]]: :<math> f(z) = \frac{1}{3\cdot (z-z_o)}\cdot </math> === Ablesen des Residuums === Das Residuum <math>res_{z_0}(f)= -3 </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur die Koeffizienten 0 auftreten (d.h. der Hauptteil verschwindet). === Aufgaben === * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m} \cdot (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(g)= c_{-1+m}= \frac{1}{(b-z_o)^{-1+m+1}}= \frac{1}{(b-z_o)^{m}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{m}}</math>. == Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil== Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>h: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math> * <math>h(z):=\frac{(z-z_0)^m}{z+a}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-z_0-a</math> * <math>c_n:=b^n</math> * <math>q:=\frac{b}{z-z_o} = -\frac{z_0+a}{z-z_o}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{z-z_0}{z+a} = \frac{z-z_0}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{z-z_0}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{z-z_0}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{1}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{1}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(h)= c_{1} = b^1 = -z_o-a</math>. === Umformung in eine Laurent-Reihe mit <math>m>1</math> === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{z+a} = \frac{(z-z_0)^m}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^{n+m-1} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{m-1} c_{m-1-n} \cdot (z-z_o)^{n} \end{array} </math> Als Residuum für <math>n=-1</math> erhält man <math>res_{z_0}(h)= c_{m-1-(-1)}= c_{m} = b^{m} = (-z_o-a)^{m}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Satz über die Entwicklung in Laurentreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series]]</noinclude> ghak189lcn1bg9vb392bglmh4t0q169 1078952 1078951 2026-05-07T17:30:07Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellung als Laurent-Reihe */ 1078952 wikitext text/x-wiki In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können. == Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe == Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>f: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>f(z):=\frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-a</math> * <math>c:=b-z_o=-a-z_o</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b-z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_0}{c}</math> === Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe === Sei <math>z_o \not = -a </math>, dann gilt: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{a+z} &= \displaystyle -\frac{1}{b-z} \ \ (b:=-a)\\ &= \displaystyle -\frac{1}{b\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}-z} = -\frac{1}{(b-z_o)-(z-z_o)} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{(\underbrace{b-z_o}_{=c})-(z-z_o)} = -\frac{1}{c-(z-z_o)}\\ &= \displaystyle -\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{c}} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung als [[Potenzreihe]] und <math>f(z) = \frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> erhält die [[Laurent-Reihe]]: :<math> f(z) = - \frac{1}{3\cdot (z-z_o)}\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n = \sum_{n=-1}^{+\infty} -\frac{c_n}{3} \cdot (z-z_o)^n </math> === Ablesen des Residuums === Das Residuum <math>res_{z_0}(f)= -3 </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur die Koeffizienten 0 auftreten (d.h. der Hauptteil verschwindet). === Aufgaben === * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m} \cdot (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(g)= c_{-1+m}= \frac{1}{(b-z_o)^{-1+m+1}}= \frac{1}{(b-z_o)^{m}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{m}}</math>. == Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil== Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>h: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math> * <math>h(z):=\frac{(z-z_0)^m}{z+a}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-z_0-a</math> * <math>c_n:=b^n</math> * <math>q:=\frac{b}{z-z_o} = -\frac{z_0+a}{z-z_o}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{z-z_0}{z+a} = \frac{z-z_0}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{z-z_0}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{z-z_0}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{1}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{1}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(h)= c_{1} = b^1 = -z_o-a</math>. === Umformung in eine Laurent-Reihe mit <math>m>1</math> === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{z+a} = \frac{(z-z_0)^m}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^{n+m-1} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{m-1} c_{m-1-n} \cdot (z-z_o)^{n} \end{array} </math> Als Residuum für <math>n=-1</math> erhält man <math>res_{z_0}(h)= c_{m-1-(-1)}= c_{m} = b^{m} = (-z_o-a)^{m}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Satz über die Entwicklung in Laurentreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series]]</noinclude> 4gpxk3241okikoq08kqvwez7fw8xx77 1078953 1078952 2026-05-07T17:30:35Z Bert Niehaus 20843 /* Ablesen des Residuums */ 1078953 wikitext text/x-wiki In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können. == Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe == Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>f: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>f(z):=\frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-a</math> * <math>c:=b-z_o=-a-z_o</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b-z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_0}{c}</math> === Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe === Sei <math>z_o \not = -a </math>, dann gilt: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{a+z} &= \displaystyle -\frac{1}{b-z} \ \ (b:=-a)\\ &= \displaystyle -\frac{1}{b\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}-z} = -\frac{1}{(b-z_o)-(z-z_o)} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{(\underbrace{b-z_o}_{=c})-(z-z_o)} = -\frac{1}{c-(z-z_o)}\\ &= \displaystyle -\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{c}} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung als [[Potenzreihe]] und <math>f(z) = \frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> erhält die [[Laurent-Reihe]]: :<math> f(z) = - \frac{1}{3\cdot (z-z_o)}\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n = \sum_{n=-1}^{+\infty} -\frac{c_n}{3} \cdot (z-z_o)^n </math> === Ablesen des Residuums === Das Residuum <math>res_{z_0}(f)= -\frac{c_o}{3} </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur die Koeffizienten 0 auftreten (d.h. der Hauptteil verschwindet). === Aufgaben === * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m} \cdot (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(g)= c_{-1+m}= \frac{1}{(b-z_o)^{-1+m+1}}= \frac{1}{(b-z_o)^{m}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{m}}</math>. == Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil== Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>h: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math> * <math>h(z):=\frac{(z-z_0)^m}{z+a}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-z_0-a</math> * <math>c_n:=b^n</math> * <math>q:=\frac{b}{z-z_o} = -\frac{z_0+a}{z-z_o}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{z-z_0}{z+a} = \frac{z-z_0}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{z-z_0}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{z-z_0}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{1}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{1}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(h)= c_{1} = b^1 = -z_o-a</math>. === Umformung in eine Laurent-Reihe mit <math>m>1</math> === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{z+a} = \frac{(z-z_0)^m}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^{n+m-1} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{m-1} c_{m-1-n} \cdot (z-z_o)^{n} \end{array} </math> Als Residuum für <math>n=-1</math> erhält man <math>res_{z_0}(h)= c_{m-1-(-1)}= c_{m} = b^{m} = (-z_o-a)^{m}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Satz über die Entwicklung in Laurentreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series]]</noinclude> 2rk77lyipeobeasp5m2b8fvx97iugl5 1078958 1078953 2026-05-08T04:56:50Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellung als Laurent-Reihe */ 1078958 wikitext text/x-wiki In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können. == Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe == Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>f: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>f(z):=\frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-a</math> * <math>c:=b-z_o=-a-z_o</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b-z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_0}{c}</math> === Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe === Sei <math>z_o \not = -a </math>, dann gilt: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{a+z} &= \displaystyle -\frac{1}{b-z} \ \ (b:=-a)\\ &= \displaystyle -\frac{1}{b\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}-z} = -\frac{1}{(b-z_o)-(z-z_o)} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{(\underbrace{b-z_o}_{=c})-(z-z_o)} = -\frac{1}{c-(z-z_o)}\\ &= \displaystyle -\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{c}} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung als [[Potenzreihe]] und <math>f(z) = \frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> erhält die [[Laurent-Reihe]]: :<math> f(z) = - \frac{1}{3\cdot (z-z_o)}\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n = \sum_{n=-1}^{+\infty} -\frac{c_{n+1}}{3} \cdot (z-z_o)^n </math> === Ablesen des Residuums === Das Residuum <math>res_{z_0}(f)= -\frac{c_o}{3} </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur die Koeffizienten 0 auftreten (d.h. der Hauptteil verschwindet). === Aufgaben === * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m} \cdot (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(g)= c_{-1+m}= \frac{1}{(b-z_o)^{-1+m+1}}= \frac{1}{(b-z_o)^{m}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{m}}</math>. == Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil== Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>h: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math> * <math>h(z):=\frac{(z-z_0)^m}{z+a}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-z_0-a</math> * <math>c_n:=b^n</math> * <math>q:=\frac{b}{z-z_o} = -\frac{z_0+a}{z-z_o}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{z-z_0}{z+a} = \frac{z-z_0}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{z-z_0}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{z-z_0}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{1}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{1}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(h)= c_{1} = b^1 = -z_o-a</math>. === Umformung in eine Laurent-Reihe mit <math>m>1</math> === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{z+a} = \frac{(z-z_0)^m}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^{n+m-1} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{m-1} c_{m-1-n} \cdot (z-z_o)^{n} \end{array} </math> Als Residuum für <math>n=-1</math> erhält man <math>res_{z_0}(h)= c_{m-1-(-1)}= c_{m} = b^{m} = (-z_o-a)^{m}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Satz über die Entwicklung in Laurentreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series]]</noinclude> qd23fsx6xfwvxcf6djs7v4rg3r899qa 1078959 1078958 2026-05-08T04:57:37Z Bert Niehaus 20843 /* Darstellung als Laurent-Reihe */ 1078959 wikitext text/x-wiki In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können. == Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe == Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>f: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>f(z):=\frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-a</math> * <math>c:=b-z_o=-a-z_o</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b-z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_0}{c}</math> === Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe === Sei <math>z_o \not = -a </math>, dann gilt: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{a+z} &= \displaystyle -\frac{1}{b-z} \ \ (b:=-a)\\ &= \displaystyle -\frac{1}{b\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}-z} = -\frac{1}{(b-z_o)-(z-z_o)} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{(\underbrace{b-z_o}_{=c})-(z-z_o)} = -\frac{1}{c-(z-z_o)}\\ &= \displaystyle -\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{c}} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung der [[Potenzreihe]] und mit <math>f(z) = \frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> erhält man die [[Laurent-Reihe]]: :<math> f(z) = - \frac{1}{3\cdot (z-z_o)}\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n = \sum_{n=-1}^{+\infty} -\frac{c_{n+1}}{3} \cdot (z-z_o)^n </math> === Ablesen des Residuums === Das Residuum <math>res_{z_0}(f)= -\frac{c_o}{3} </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur die Koeffizienten 0 auftreten (d.h. der Hauptteil verschwindet). === Aufgaben === * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m} \cdot (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(g)= c_{-1+m}= \frac{1}{(b-z_o)^{-1+m+1}}= \frac{1}{(b-z_o)^{m}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{m}}</math>. == Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil== Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>h: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math> * <math>h(z):=\frac{(z-z_0)^m}{z+a}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-z_0-a</math> * <math>c_n:=b^n</math> * <math>q:=\frac{b}{z-z_o} = -\frac{z_0+a}{z-z_o}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{z-z_0}{z+a} = \frac{z-z_0}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{z-z_0}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{z-z_0}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{1}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{1}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(h)= c_{1} = b^1 = -z_o-a</math>. === Umformung in eine Laurent-Reihe mit <math>m>1</math> === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{z+a} = \frac{(z-z_0)^m}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^{n+m-1} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{m-1} c_{m-1-n} \cdot (z-z_o)^{n} \end{array} </math> Als Residuum für <math>n=-1</math> erhält man <math>res_{z_0}(h)= c_{m-1-(-1)}= c_{m} = b^{m} = (-z_o-a)^{m}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Satz über die Entwicklung in Laurentreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series]]</noinclude> clx9kv3h6h02evr361mdqthxf7w2u4l 1078960 1078959 2026-05-08T05:02:04Z Bert Niehaus 20843 /* Ablesen des Residuums */ 1078960 wikitext text/x-wiki In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können. == Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe == Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>f: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>f(z):=\frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-a</math> * <math>c:=b-z_o=-a-z_o</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b-z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_0}{c}</math> === Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe === Sei <math>z_o \not = -a </math>, dann gilt: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{a+z} &= \displaystyle -\frac{1}{b-z} \ \ (b:=-a)\\ &= \displaystyle -\frac{1}{b\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}-z} = -\frac{1}{(b-z_o)-(z-z_o)} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{(\underbrace{b-z_o}_{=c})-(z-z_o)} = -\frac{1}{c-(z-z_o)}\\ &= \displaystyle -\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{c}} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung der [[Potenzreihe]] und mit <math>f(z) = \frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> erhält man die [[Laurent-Reihe]]: :<math> f(z) = - \frac{1}{3\cdot (z-z_o)}\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n = \sum_{n=-1}^{+\infty} -\frac{c_{n+1}}{3} \cdot (z-z_o)^n </math> === Ablesen des Residuums === Das Residuum ist <math>res_{z_0}(f)= -\frac{c_o}{3} </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur aus dem einen gesuchten Summanden <math> -\frac{c_o}{3} \cdot (z-z_o)^{-1}</math> besteht. === Verschwindender Hauptteil === Wenn alle Koeffizienten im Hauptteil 0 sind (d.h. der Hauptteil verschwindet), lässt sich die Funktion holomorph in <math>z_o</math> fortsetzen (siehe auch [[Riemannscher Hebbarkeitssatz]]. === Aufgaben === * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m} \cdot (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(g)= c_{-1+m}= \frac{1}{(b-z_o)^{-1+m+1}}= \frac{1}{(b-z_o)^{m}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{m}}</math>. == Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil== Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>h: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math> * <math>h(z):=\frac{(z-z_0)^m}{z+a}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-z_0-a</math> * <math>c_n:=b^n</math> * <math>q:=\frac{b}{z-z_o} = -\frac{z_0+a}{z-z_o}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{z-z_0}{z+a} = \frac{z-z_0}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{z-z_0}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{z-z_0}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{1}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{1}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(h)= c_{1} = b^1 = -z_o-a</math>. === Umformung in eine Laurent-Reihe mit <math>m>1</math> === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{z+a} = \frac{(z-z_0)^m}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^{n+m-1} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{m-1} c_{m-1-n} \cdot (z-z_o)^{n} \end{array} </math> Als Residuum für <math>n=-1</math> erhält man <math>res_{z_0}(h)= c_{m-1-(-1)}= c_{m} = b^{m} = (-z_o-a)^{m}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Satz über die Entwicklung in Laurentreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series]]</noinclude> 7cm8lkq9axiq0ipi0icg7bwgic8ycg8 1078961 1078960 2026-05-08T05:06:31Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben */ 1078961 wikitext text/x-wiki In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können. == Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe == Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>f: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>f(z):=\frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-a</math> * <math>c:=b-z_o=-a-z_o</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b-z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_0}{c}</math> === Umformung in eine Laurent-/Potenzreihe === Sei <math>z_o \not = -a </math>, dann gilt: :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{a+z} &= \displaystyle -\frac{1}{b-z} \ \ (b:=-a)\\ &= \displaystyle -\frac{1}{b\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}-z} = -\frac{1}{(b-z_o)-(z-z_o)} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{(\underbrace{b-z_o}_{=c})-(z-z_o)} = -\frac{1}{c-(z-z_o)}\\ &= \displaystyle -\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{c}} = - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-\underbrace{\frac{z-z_o}{c}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle - \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} = - \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{(n+1)}} \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} = - \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(-z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> === Darstellung als Laurent-Reihe === Mit der obigen Darstellung der [[Potenzreihe]] und mit <math>f(z) = \frac{1}{3\cdot (z-z_o)\cdot (a+z)}</math> erhält man die [[Laurent-Reihe]]: :<math> f(z) = - \frac{1}{3\cdot (z-z_o)}\cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n = \sum_{n=-1}^{+\infty} -\frac{c_{n+1}}{3} \cdot (z-z_o)^n </math> === Ablesen des Residuums === Das Residuum ist <math>res_{z_0}(f)= -\frac{c_o}{3} </math>, da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur aus dem einen gesuchten Summanden <math> -\frac{c_o}{3} \cdot (z-z_o)^{-1}</math> besteht. === Verschwindender Hauptteil === Wenn alle Koeffizienten im Hauptteil 0 sind (d.h. der Hauptteil verschwindet), lässt sich die Funktion holomorph in <math>z_o</math> fortsetzen (siehe auch [[Riemannscher Hebbarkeitssatz]]. === Aufgaben === * Entwickeln Sie die Funktion <math>g(z):=\frac{1}{a+z}</math> mit <math> z_o \not= - a </math> in eine [[Laurent-Reihe]]! Warum sind alle Koeffizienten im Hauptteil 0? * Warum benötigt man für die obige Berechnungen der [[Laurent-Reihe|Larent-Reihe]] (bzw. [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]) die Voraussetzung <math> z_o \not= - a </math>? * Berechnen Sie die Laurentreihe für <math>z_o = -a </math> und geben Sie das [[Residuum]] der Laurententwicklung für <math>f(z):=\frac{1}{a+z}</math> in <math>z_o = -a </math> an! == Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner == In der folgenden Berechnung findet man bereits eine Faktor <math> \frac{1}{ (z-z_o)^m} </math> mit <math>z_o</math> als Entwicklungspunkt. Ziel ist es nun, den restlichen Faktor <math>a+z</math> analog in eine geometrische Reihe zu entwicklen. === Definition der Funktion g === Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>g: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}</math> * <math>g(z):=\frac{1}{ (z-z_o)^m \cdot (a+z)}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>c:=z_o-a</math> * <math>c_n:=\frac{1}{(b+z_o)^{n+1}}=\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}</math> * <math>q:=\frac{z-z_o}{c}= \frac{z-z_o}{z_o-a}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle g(z) &= \displaystyle \frac{1}{(z-z_o)^m\cdot (a+z)} = \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{a+z}\ \ (c:=z_o-a)\\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{z_o-a} \cdot \frac{1}{1-\frac{z-z_o}{z_o-a}} = - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot \frac{1}{1-q} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \frac{1}{c} \cdot\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = - \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{c^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(z-z_o)^n}{(z_o-a)^{n+1}} \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \underbrace{\frac{1}{(z_o-a)^{n+1}}}_{c_n:=} \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \frac{1}{(z-z_o)^m} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} c_n \cdot (z-z_o)^n \\ &= \displaystyle - \sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m} \cdot (z-z_o)^n \\ \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(g)= c_{-1+m}= \frac{1}{(b-z_o)^{-1+m+1}}= \frac{1}{(b-z_o)^{m}}=\frac{1}{(-z_o-a)^{m}}</math>. == Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil== Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form: * <math>h: G \to \mathbb{C}</math> mit * <math>G:=\mathbb{C}\setminus \{-a\}, a\in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math> * <math>h(z):=\frac{(z-z_0)^m}{z+a}</math> Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}\setminus \{-a\}</math>. === Definition von Konstanten === Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden. * <math>b:=-z_0-a</math> * <math>c_n:=b^n</math> * <math>q:=\frac{b}{z-z_o} = -\frac{z_0+a}{z-z_o}</math> === Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{z-z_0}{z+a} = \frac{z-z_0}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{z-z_0}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{z-z_0}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{1}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{1}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n \end{array} </math> Das Residuum <math>res_{z_0}(h)= c_{1} = b^1 = -z_o-a</math>. === Umformung in eine Laurent-Reihe mit <math>m>1</math> === :<math>\begin{array}{rl} \displaystyle h(z) &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{z+a} = \frac{(z-z_0)^m}{z\underbrace{-z_o+z_o}_{=0}+a} \\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-\underbrace{(-z_o-a)}_{=b}} = \frac{(z-z_0)^m}{(z-z_o)-b}\\ &= \displaystyle \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\frac{b}{z-z_0}} = \frac{(z-z_0)^{m-1}}{1-\underbrace{\frac{b}{z-z_o}}_{:=q}}\\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b^n}{(z-z_o)^{n}} \\ &= (z-z_0)^{m-1} \cdot \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} b^n \cdot (z-z_o)^{-n} = (z-z_0)^{m-1} \cdot \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^n\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} c_{-n} \cdot (z-z_o)^{n+m-1} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{m-1} c_{m-1-n} \cdot (z-z_o)^{n} \end{array} </math> Als Residuum für <math>n=-1</math> erhält man <math>res_{z_0}(h)= c_{m-1-(-1)}= c_{m} = b^{m} = (-z_o-a)^{m}</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Satz über die Entwicklung in Laurentreihen]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example Computation with Laurent Series]]</noinclude> mnb35fel0lp0njefsatdikylpze6fb6 106 167870 1078915 1062252 2026-05-07T14:45:52Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1078915 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Eine Verallgemeinerung der [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben|Integralformel für Kreisscheiben]] stellt die Version für [[Zyklus|Zyklen]] dar. Ziel ist eine Integraldarstellung der holomorphen Funktion <math>f</math> über einen [[nullhomolog|nullhomologen Zyklus]]. === Bezeichnung - CI-Formel - CI-Satz === Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei im Vergleich zu [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für Kreisscheiben|CIF für Kreisscheiben]] bei einer Verwendung von [[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklen]] die [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]] zusätzlich zu <math>f(z)</math> in die Integraldarstellung eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS)für [[Zyklus|Zyklen]] besagt dagegen, dass das Integral über [[nullhomolog|nullhomologen Zyklen]] immer 0 gilt: :<math> \begin{array}{cccll} \mathbf{(CIF)} & f(z) & = & \displaystyle \frac{1}{2\pi i\cdot n(\Gamma,z)} \oint_\Gamma f(z) \, dz & \mbox{ mit } n(\Gamma,z)\not= 0 \\ \mathbf{(CIS)} & 0 & = & \displaystyle \oint_\Gamma f(z) \, dz & \mbox{ mit } \Gamma \mbox{ nullhomolog} \\ \end{array} </math> == Cauchy-Integralformel für Zyklen == Ist <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> ein Gebiet, <math>f\colon G\to\mathbb{C}</math> holomorph und <math>\Gamma</math> ein [[nullhomolog|nullhomologer]] [[Zyklus]] in <math>D</math>, dann gilt für alle <math>z\in D</math>, die nicht auf <math>\Gamma</math> liegen, folgende Integralformel: :<math>n(\Gamma,z)\cdot f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\int_\Gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta</math> Dabei bezeichnet <math>n(\Gamma ,z)</math> die [[w:de:Windungszahl|Windungszahl]] oder [[Umlaufzahl]] von <math>\Gamma</math> um <math>z</math>. == Beweis == Der '''[[Integralformel von Cauchy#BeweisCIF4Zyklus|Beweis für Zyklen]]''' wird analog zum Beweis für die Cauchy-Integralformel für konvexe Gebiete geführt. dtnihdjnq4cugoxbi3uyjb0ttj1w7j2 106 167876 1079003 1065099 2026-05-08T11:24:17Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1079003 wikitext text/x-wiki == Cauchyscher Integralsatz für konvexe Gebiete == Sei <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> ein [[w:de:konvexe Menge|konvexes]] Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion, dann gilt : <math> \oint\limits_\gamma f(z)\, \mathrm dz = 0</math> für jeden [[w:de:Kurve (Mathematik)#Geschlossene Kurven|geschlossene Weg]] <math>\gamma \colon [a,b]\to G</math> (wobei <math>a, b \in \mathbb{R}</math> und <math>a < b</math>). == Beweis - Cauchyscher Integralsatz für konvexe Gebiete == Sei <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> ein [[w:de:konvexe Menge|konvexes]] Gebiet und <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[Holomorphie|holomorphe]] Funktion, dann besitzt <math>f</math> auf <math>G</math> Stammfunktionen. === Beweisschritt 1 - Definition der Stammfunktion === Der Satz über die [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Existenz von Stammfunktionen]] auf konvexen Gebieten liefert die Eigenschaft <math>F' = f</math>. Für die Stammfunktion wählt man einen festen Punkt in <math>z_o \in G</math>. :<math> F(z) := \int_{[z_o,z]} f(\zeta) \, d\zeta </math> Die Funktion <math>F</math> ist dann eine Stammfunktion auf dem [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] Gebiet <math>G</math>. === Beweisschritt 2 - Existenz von Stammfunktion === Sei <math>\gamma \colon [a,b]\to G</math> ein geschlossener Weg mit <math>\gamma(a) = \gamma(b)</math> und es gilt: :<math> \oint\limits_\gamma f(z)\, \mathrm dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\underbrace{\gamma(b)}_{=\gamma(a)}) - F(\gamma(a)) = 0 </math> Damit ist das Integral über geschlossene Wege in <math>G</math> 0. <math>\,\,\,\, \Box</math> == Notation == Für das Integralzeichen mit Kreis siehe [[w:de:Kurvenintegral#Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven|Notation für Kurvenintegrale von geschlossenen Kurven]]. == 1/z auf Gebiet mit Loch == Die Bedingung, dass <math>G</math> ein Elementargebiet ist, ist eine notwendige Bedingung für die Gültigkeit des Satzes. Für <math>G=\mathbb{C}\setminus \{0\}</math> hat <math>G</math> in 0 ein Loch und ist damit kein Elementargebiet. Für diesen Fall ist die Aussage falsch, denn für <math> f(z) = \frac{1}{z}</math> ist <math>f</math> auf dem Gebiet <math>G=\mathbb{C}\setminus\{0\}</math> holomorph, dennoch verschwindet <math>\textstyle \oint_\gamma f(z)\, dz</math> nicht über jeden geschlossene [[Integrationsweg]]: : <math>\;\oint\limits_{\partial U_r(0)}\frac{1}{z} \, \mathrm dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\gamma(t)} \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = 2\pi\mathrm i\neq 0</math> für <math>\gamma(t)=r\cdot e^{it}</math> und <math>\gamma{\,}'(t)=i\cdot r \cdot e^{it}</math> die einfach durchlaufene Randkurve einer Kreisscheibe um <math>0</math> mit positivem Radius <math>r</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete|Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete]] * [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen|CIF - Cauchy-Integralformel für Zyklen]] * [[Integralsatz von Cauchy#CIS4Zyklen|CIS - Cauchy-Integralsatz für Zyklen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Existenz von Stammfunktionen]] * [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] * [[Konvexkombination]] 4c306t30x5rocavzfo3to7b4q77pxmd 0 168223 1078905 1065710 2026-05-07T14:07:19Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - CIF für Kreisscheiben */ 1078905 wikitext text/x-wiki == Cauchy-Integralformel für Kreisschreiben == Es sei <math>G \subseteq \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math>D:= D_r(z_o)\subset G</math> eine Kreisscheibe mit <math>\bar D \subseteq G</math> und <math>f \colon G \to \mathbb C</math> holomorph. Dann gilt :<math> f(z) = \frac 1{2\pi i}\int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> für jedes <math>z \in D</math>. <span id="Beweis4CIF"></span> == Beweis - CIF für Kreisscheiben == Der Beweis für den CIF für Kreisscheiben erfolgt in den folgenden Schritten: * Es wird für eine beliebigen (aber festen) Punkt <math>z\in U</math> eine Funktion <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> definiert, die in <math>z</math> der Ableitung von <math>f</math> entspricht <math>g(z)=f'(z)</math> und sonst dem Differenzenquotient von <math>f</math>. * Damit ist <math>g</math> als Quotient von holomorphen Funktionen selbst holomorph und mit der Differenzierbarkeit von <math>f</math> zumindest noch stetig. * Nun wendet man das Lemma von [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]] an. ===Beweis 1=== Durch leichte Vergrößerung des Radius der Kreisscheibe finden wir eine offene Kreisscheibe <math>U</math> mit <math>\bar D \subseteq U \subseteq G</math>. Definiere <math>g \colon U \to \mathbb{C}</math> durch :<math> g(w) := \left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(w) - f(z)}{w-z} & w \ne z\\ f'(z) & w = z \end{array} \right. </math> ===Beweis 2=== Dann ist <math>g</math> stetig auf <math>U</math> und auf <math>U -\{z\}</math> holomorph. Also dürfen wir den [[Integralsatz von Cauchy#Für konvexe Gebiete|Integralsatz von Cauchy auf <math>U</math>]] anwenden und erhalten :<math> 0 = \int_{\partial D} g(w)\, dw = \int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\,dw - f(z)\int_{\partial D} \frac{dw}{w-z} </math> Für <math>z \in D</math> setze <math>h(z) := \int_{\partial D} \frac{dw}{w-z}</math>. Dann ist <math>h</math> [[Holomorphie|holomorph]] mit :<math> h'(z) = -\int_{\partial D} \frac{dw}{(w-z)^2} </math> ===Beweis 3=== Da der Integrand <math>\frac{dw}{(w-z)^2}</math> eine Stammfunktion in <math>D</math> hat, gilt :<math> h'(z) = -\int_{\partial D} \frac{dw}{(w-z)^2} = 0 </math> ===Beweis 4=== Da <math>h'(z) =0</math> auf ganz so <math>D</math> gilt, muss <math>h</math> konstant sein. Damit folgt, dass <math>h(z)</math> stets den gleichen Wert besitzt, wie im am Mittelpunkt <math>h(z_0)</math> der Kreisscheibe <math>D</math>, d.h. gleich <math>h(z_o) = 2\pi i</math> ist. Damit ist :<math> 0 = \int_{\partial D} \frac{f(w)}{w-z}\,dw - f(z)\int_{\partial D} \frac{dw}{w-z} \iff f(z) = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}\, dw </math> Das war die Behauptung. <math> \quad \Box</math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie]] shjccwn0fc8zjc0wp3pz1tp44u0kte0 0 170299 1078929 1078772 2026-05-07T15:27:40Z Bocardodarapti 2041 1078929 wikitext text/x-wiki {{ Relationskette/display | x^4-4x^2- y^3 -6 y^2 -9 y || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| y+1 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 y || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. Bei {{ Relationskette | v || 0 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette/display | x || 0, \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} sein. Da ist die zweite Gleichung automatisch erfüllt. Die dritte Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +3 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || 3 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | w || \pm \sqrt{3} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || \pm \sqrt{2} w + 1 || || || |SZ=, }} mit zwei Lösungen. Betrachten wir die Sache auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=.}} Dort ist unter Verwendung der dritten Gleichung {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} + {{op:Bruch|xw| {{makl| x^2-1 |}} }} || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || || |SZ=. }} Die glatte Gleichung schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x (y+1) || || || |SZ=. }} Einsetzen ergibt {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -{{op:Bruch| -w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| {{op:Bruch|-w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}+1 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 w + w^3 -xw^2 {{makl| x^2-1 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| -w^2 + xw{{makl| x^2-1 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^3 + {{makl| {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 |}} w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Dies wird bestätigt durch Division mit {{mathl|term= {{makl| x^2-1 |}}^3 |SZ=}} und der Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x |\neq| \pm 1 || || || |SZ= }} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{mathl|term= x,w |SZ=-}}Kurve glatt und {{math|term= y |SZ=}} durch die Gleichungen eindeutig beschrieben. Bei {{ Relationskette | x || 0,1 || || || |SZ= }} wird III direkt zu {{ Relationskette/display | w^2 || 0 || || || |SZ= }} und II ist erfüllt. Die erste Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | -3 || y^3 + 6y^2 + 9 y || || || |SZ=, }} was den drei Urbildpunkten entspricht. Mit {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || w {{op:Bruch|- w + x {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w^3 || 3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w + x {{makl| x^2-1 |}}^3 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2 - {{op:Bruch| w^3 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^3 +6 w^2 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 +9 w {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}} {{makl| x^2-1 |}}^4 | {{makl| x^2-1 |}}^6 }} || || || |SZ=. }} Oder Schreibe {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} || || || |SZ=. }} Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt {{ Relationskette/align | w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch(| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1) | x^2-y-3 }}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch| x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1)^2 - x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 (y+1)^2 - x^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 y^2 +2x^2y +x^2 -x^4y+x^2y^2 +4x^2y-x^4 +3x^2 + x^4y +y^3 + 9y -2x^2y^2 -6 x^2y + 6y^2|}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| 4x^2 -x^4 +y^3 + 6y^2+ 9y |}} |SZ=. }} {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 III || {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| - x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^4 - 4x^2 -y^3 - 6y^2- 9y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 I |SZ=. }} Man erhält eine Matrixgleichung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| II | I }} || {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Spaltenvektor| II | III }} || || || |SZ=. }} Die Matrix kann man als {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} || {{op:Matrix22| 1|0| 0| {{op:Bruch|1| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Matrix22| 1|0| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2|}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | - v^2 }} || || || |SZ= }} schreiben. {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1 |0| 0| - v^2 }} {{op:Matrix22| 1 |0| - {{op:Bruch|vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv|v^2|}} | 1 }} {{op:Matrix22| 1 |0| 0| {{op:Bruch|1| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} || || || || |SZ= }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch|1|X^iY^j}} | 0 | 1 }} || {{op:Matrix22| 0 | {{op:Bruch|1|X^i}} | - X^i | Y^j }} {{op:Matrix22|Y^j | 0 | X^i| {{op:Bruch|1|Y^j}} |}} || {{op:Matrix22| 0 | {{op:Bruch|1|Y^j}} | - Y^j | X^i }} {{op:Matrix22| X^i | 0 | Y^j | {{op:Bruch|1|X^i}} |}} || || |SZ=. }} Eine zweite Relation von dieser Bauart {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}} w I + {{makl|-wx(y+1) - {{makl| x^2-1 |}} y {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II + x(y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} III || 0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/align | x^2 {{makl| y+1 |}}^2- x^2{{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} -{{makl| x^2-y-3 |}}^2 y || || || || |SZ= }} 5ucobkilm92kkekc31t7ho8cw8qd2zz 1078933 1078929 2026-05-07T15:44:14Z Bocardodarapti 2041 1078933 wikitext text/x-wiki {{ Relationskette/display | x^4-4x^2- y^3 -6 y^2 -9 y || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 y || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. Bei {{ Relationskette | v || 0 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette/display | x || 0, \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} sein. Da ist die zweite Gleichung automatisch erfüllt. Die dritte Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +3 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || 3 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | w || \pm \sqrt{3} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || \pm \sqrt{2} w + 1 || || || |SZ=, }} mit zwei Lösungen. Betrachten wir die Sache auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=.}} Dort ist unter Verwendung der dritten Gleichung {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} + {{op:Bruch|xw| {{makl| x^2-1 |}} }} || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || || |SZ=. }} Die glatte Gleichung schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x (y+1) || || || |SZ=. }} Einsetzen ergibt {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -{{op:Bruch| -w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| {{op:Bruch|-w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}+1 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 w + w^3 -xw^2 {{makl| x^2-1 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| -w^2 + xw{{makl| x^2-1 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^3 + {{makl| {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 |}} w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Dies wird bestätigt durch Division mit {{mathl|term= {{makl| x^2-1 |}}^3 |SZ=}} und der Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x |\neq| \pm 1 || || || |SZ= }} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{mathl|term= x,w |SZ=-}}Kurve glatt und {{math|term= y |SZ=}} durch die Gleichungen eindeutig beschrieben. Bei {{ Relationskette | x || 0,1 || || || |SZ= }} wird III direkt zu {{ Relationskette/display | w^2 || 0 || || || |SZ= }} und II ist erfüllt. Die erste Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | -3 || y^3 + 6y^2 + 9 y || || || |SZ=, }} was den drei Urbildpunkten entspricht. Mit {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || w {{op:Bruch|- w + x {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w^3 || 3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w + x {{makl| x^2-1 |}}^3 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2 - {{op:Bruch| w^3 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^3 +6 w^2 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 +9 w {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}} {{makl| x^2-1 |}}^4 | {{makl| x^2-1 |}}^6 }} || || || |SZ=. }} Oder Schreibe {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} || || || |SZ=. }} Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt {{ Relationskette/align | w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch(| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1) | x^2-y-3 }}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch| x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1)^2 - x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 (y+1)^2 - x^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 y^2 +2x^2y +x^2 -x^4y+x^2y^2 +4x^2y-x^4 +3x^2 + x^4y +y^3 + 9y -2x^2y^2 -6 x^2y + 6y^2|}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| 4x^2 -x^4 +y^3 + 6y^2+ 9y |}} |SZ=. }} {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 III || {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| - x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^4 - 4x^2 -y^3 - 6y^2- 9y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 I |SZ=. }} Man hat also eine Relation {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Eine zweite Relation von dieser Bauart {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}} w I + {{makl|-wx(y+1) - {{makl| x^2-1 |}} y {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II + x(y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} III || 0 || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix32| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-1 |}} w | -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv | - wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3|}} |v^2 | x v {{makl| x^2-v-2 |}} }} |SZ=. }} Die äußere Determinante ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 x v {{makl| x^2-v-2 |}} -v^2 {{makl| x^2-1 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - vw |}} || || || |SZ=. }} Man erhält eine Matrixgleichung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| II | I }} || {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Spaltenvektor| II | III }} || || || |SZ=. }} Die Matrix kann man als {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} || {{op:Matrix22| 1|0| 0| {{op:Bruch|1| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Matrix22| 1|0| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2|}} - 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{{makl| x^2-1 |}}^2 y || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. Bei {{ Relationskette | v || 0 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette/display | x || 0, \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} sein. Da ist die zweite Gleichung automatisch erfüllt. Die dritte Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +3 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || 3 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | w || \pm \sqrt{3} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || \pm \sqrt{2} w + 1 || || || |SZ=, }} mit zwei Lösungen. Betrachten wir die Sache auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=.}} Dort ist unter Verwendung der dritten Gleichung {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} + {{op:Bruch|xw| {{makl| x^2-1 |}} }} || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || || |SZ=. }} Die glatte Gleichung schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x (y+1) || || || |SZ=. }} Einsetzen ergibt {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -{{op:Bruch| -w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| {{op:Bruch|-w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}+1 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 w + w^3 -xw^2 {{makl| x^2-1 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| -w^2 + xw{{makl| x^2-1 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^3 + {{makl| {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 |}} w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Dies wird bestätigt durch Division mit {{mathl|term= {{makl| x^2-1 |}}^3 |SZ=}} und der Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x |\neq| \pm 1 || || || |SZ= }} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{mathl|term= x,w |SZ=-}}Kurve glatt und {{math|term= y |SZ=}} durch die Gleichungen eindeutig beschrieben. Bei {{ Relationskette | x || 0,1 || || || |SZ= }} wird III direkt zu {{ Relationskette/display | w^2 || 0 || || || |SZ= }} und II ist erfüllt. Die erste Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | -3 || y^3 + 6y^2 + 9 y || || || |SZ=, }} was den drei Urbildpunkten entspricht. Mit {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || w {{op:Bruch|- w + x {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w^3 || 3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w + x {{makl| x^2-1 |}}^3 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2 - {{op:Bruch| w^3 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^3 +6 w^2 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 +9 w {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}} {{makl| x^2-1 |}}^4 | {{makl| x^2-1 |}}^6 }} || || || |SZ=. }} Oder Schreibe {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} || || || |SZ=. }} Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt {{ Relationskette/align | w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch(| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1) | x^2-y-3 }}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch| x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1)^2 - x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 (y+1)^2 - x^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 y^2 +2x^2y +x^2 -x^4y+x^2y^2 +4x^2y-x^4 +3x^2 + x^4y +y^3 + 9y -2x^2y^2 -6 x^2y + 6y^2|}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| 4x^2 -x^4 +y^3 + 6y^2+ 9y |}} |SZ=. }} {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 III || {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| - x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^4 - 4x^2 -y^3 - 6y^2- 9y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 I |SZ=. }} Man hat also eine Relation {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Eine zweite Relation von dieser Bauart {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}} w I + {{makl|-wx(y+1) - {{makl| x^2-1 |}} y {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II + x(y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} III || 0 || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix32| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-1 |}} w | -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv | - wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3|}} |v^2 | x v {{makl| x^2-v-2 |}} }} |SZ=. }} Die äußere Determinante ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 x v {{makl| x^2-v-2 |}} -v^2 {{makl| x^2-1 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - vw |}} || || || |SZ=. }} Die obere Determinante ist {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| - wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3|}} |}} -w {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}} {{makl| - wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3|}} |}} -w {{makl| -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv |}} |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| - {{makl| x^2-1 |}} wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 v {{makl| x^2-v-3|}} + vw^2 +wx {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2-v-2 |}} -w {{makl| x^2-1 |}} xv |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}}^2 v {{makl| x^2-v-3|}} + vw^2 -w {{makl| x^2-1 |}} xv |}} || {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| w^2 - w {{makl| x^2-1 |}} x + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^2-v-3|}} |}} |SZ=. }} Man erhält eine Matrixgleichung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| II | I }} || {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Spaltenvektor| II | III }} || || || |SZ=. }} Die Matrix kann man als {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} || {{op:Matrix22| 1|0| 0| {{op:Bruch|1| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Matrix22| 1|0| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2|}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | - v^2 }} || || || |SZ= }} schreiben. {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1 |0| 0| - v^2 }} {{op:Matrix22| 1 |0| - {{op:Bruch|vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv|v^2|}} | 1 }} {{op:Matrix22| 1 |0| 0| {{op:Bruch|1| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} || || || || |SZ= }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch|1|X^iY^j}} | 0 | 1 }} || {{op:Matrix22| 0 | {{op:Bruch|1|X^i}} | - X^i | Y^j }} {{op:Matrix22|Y^j | 0 | X^i| {{op:Bruch|1|Y^j}} |}} || {{op:Matrix22| 0 | {{op:Bruch|1|Y^j}} | - Y^j | X^i }} {{op:Matrix22| X^i | 0 | Y^j | {{op:Bruch|1|X^i}} |}} || || |SZ=. }} ekgg13e1p95blhmn4cjxj9cpllcd509 1078957 1078956 2026-05-07T18:45:32Z Bocardodarapti 2041 1078957 wikitext text/x-wiki {{ Relationskette/display | x^4-4x^2- y^3 -6 y^2 -9 y || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 y || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. Bei {{ Relationskette | v || 0 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette/display | x || 0, \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} sein. Da ist die zweite Gleichung automatisch erfüllt. Die dritte Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +3 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || 3 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | w || \pm \sqrt{3} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || \pm \sqrt{2} w + 1 || || || |SZ=, }} mit zwei Lösungen. Betrachten wir die Sache auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=.}} Dort ist unter Verwendung der dritten Gleichung {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} + {{op:Bruch|xw| {{makl| x^2-1 |}} }} || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || || |SZ=. }} Die glatte Gleichung schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x (y+1) || || || |SZ=. }} Einsetzen ergibt {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -{{op:Bruch| -w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| {{op:Bruch|-w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}+1 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 w + w^3 -xw^2 {{makl| x^2-1 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| -w^2 + xw{{makl| x^2-1 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^3 + {{makl| {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 |}} w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Dies wird bestätigt durch Division mit {{mathl|term= {{makl| x^2-1 |}}^3 |SZ=}} und der Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x |\neq| \pm 1 || || || |SZ= }} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{mathl|term= x,w |SZ=-}}Kurve glatt und {{math|term= y |SZ=}} durch die Gleichungen eindeutig beschrieben. Bei {{ Relationskette | x || 0,1 || || || |SZ= }} wird III direkt zu {{ Relationskette/display | w^2 || 0 || || || |SZ= }} und II ist erfüllt. Die erste Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | -3 || y^3 + 6y^2 + 9 y || || || |SZ=, }} was den drei Urbildpunkten entspricht. Mit {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || w {{op:Bruch|- w + x {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w^3 || 3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w + x {{makl| x^2-1 |}}^3 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2 - {{op:Bruch| w^3 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^3 +6 w^2 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 +9 w {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}} {{makl| x^2-1 |}}^4 | {{makl| x^2-1 |}}^6 }} || || || |SZ=. }} Oder Schreibe {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} || || || |SZ=. }} Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt {{ Relationskette/align | w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch(| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1) | x^2-y-3 }}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch| x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1)^2 - x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 (y+1)^2 - x^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 y^2 +2x^2y +x^2 -x^4y+x^2y^2 +4x^2y-x^4 +3x^2 + x^4y +y^3 + 9y -2x^2y^2 -6 x^2y + 6y^2|}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| 4x^2 -x^4 +y^3 + 6y^2+ 9y |}} |SZ=. }} {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 III || {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| - x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^4 - 4x^2 -y^3 - 6y^2- 9y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 I |SZ=. }} Man hat also eine Relation {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Eine zweite Relation von dieser Bauart {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}} w I + {{makl|-wx(y+1) - {{makl| x^2-1 |}} y {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II + x(y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} III || 0 || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix32| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-1 |}} w | -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv | - wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3|}} |v^2 | x v {{makl| x^2-v-2 |}} }} |SZ=. }} Die äußere Determinante ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 x v {{makl| x^2-v-2 |}} -v^2 {{makl| x^2-1 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - vw |}} || || || |SZ=. }} Die obere Determinante ist {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| - wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3|}} |}} -w {{makl| x^2-1 |}} {{makl| -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}} {{makl| - wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| x^2-v-3|}} |}} -w {{makl| -vw - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}xv |}} |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| - {{makl| x^2-1 |}} wx {{makl| x^2-v-2 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 v {{makl| x^2-v-3|}} + vw^2 +wx {{makl| x^2-1 |}} {{makl| x^2-v-2 |}} -w {{makl| x^2-1 |}} xv |}} || {{makl| x^2-1 |}} {{makl| {{makl| x^2-1 |}}^2 v {{makl| x^2-v-3|}} + vw^2 -w {{makl| x^2-1 |}} xv |}} || {{makl| x^2-1 |}} v {{makl| w^2 - 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Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit :<math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=(1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_3z_2\bigg) </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] === Viereck als Konvexkombination von Konvexkombinationen === In der obigen Animation ist zu erkennen, dass das Viereck als [[Konvexkombination]] von zwei Konvexkombination auf den Seiten <math>\langle z_1, z_2 \rangle</math> und <math>\langle z_4, z_3 \rangle</math> gebildet wurde. === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Beweis - Lemma für Viereckintegrale == Da <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] besitzt <math>f</math> über die [[Holomorphiekriterien]] lokale Stammfunktionen auf konvexen Gebieten. Für das Viereck mit den Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gilt nach Vorraussetzung, dass die konvexe Hülle <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> in <math>G</math> liegt. So gibt es eine Stammfunktion <math>F</math> (siehe [[Stammfunktion als Wegintegral]]). Ferner gibt es dann [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung]] (siehe [[Stammfunktionen höherer Ordnung|Satz über Stammfunktionen]]). Das Flächenintegral wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. === Beweisschritt 1 - Berechnung des Gradienten === Zunächst wird der Gradient der orientierten Fläche bestimmt: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma_{_V}(t_1,t_2) & = & (1-t_2) \bigg((1-t_1)z_1 + t_1 z_2\bigg) + t_2 \bigg((1-t_1)z_4 + t_2z_3\bigg) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& (z_3-z_4)\cdot t_2 + (z_2-z_1)\cdot (1-t_2) \\ \frac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& z_4 + (z_3-z_4)\cdot t_1 - z_1 - (z_2-z_1)\cdot t_2 \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 2 - Definition Flächenintegral === Für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:G\to \mathbb{C}</math> ist das [[Definition Flächenintegrale|Flächenintegral]] über das Viereck <math>V\subset G</math> allgemein durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_V} : [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> definiert. :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \left( \int_{a_1}^{b_1} f(\gamma_{_V}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Die partiellen Ableitungen von <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2)</math> für die [[orientierte Fläche]] wurden in Beweisschritt 1 berechnet. === Beweisschritt 3 - Berechnung des inneren Wegintegrals === Eine [[holomorphe Funktion]] besitzt auf [[einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängenden]] Gebieten (also inbesondere [[w:de:konvexe Menge|konvexen Mengen]]) eine [[w:de:Stammfunktion|Stammfunktion]]. Sei <math>F</math> nun eine Stammfunktion von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, die das Viereck <math>V\subset U</math> enthält. Wenn <math>f</math> eine Stammfunktion <math>F</math> besitzt, ist das innere Integral ein Wegintegral von <math>[a_1,b_1]:=[0,1]</math> nach <math>U</math> und es gilt: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \int_{a_2}^{b_2} \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 </math> Nun wird für das äußere Integral die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> aus Beweisschritt 1 verwendet. === Beweisschritt 4 - Stammfunktion zweiter Ordnung === Da auch die Stammfunktion <math>F</math> auf der [[w:de:konvexe Menge|konvexen]] offenen Menge <math>U</math> mit <math>V\subset U \subset G</math> eine [[holomorphe Funktion]] ist, existiert auch für <math>F</math> eine Stammfunktion <math>F_\Box</math>. Die holomorphe Funktion <math>F_\Box : U \to \mathbb{C}</math> ist eine [[Flächenstammfunktion]] und damit eine Stammfunktion 2. Ordnung. Es gilt daher alle <math>z\in U</math>: :<math> (F_\Box)''(z) = F'(z) = f(z) </math> Nach dem [[Differenzsatz für Stammfunktionen]] unterscheiden sich zwei beliebige [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] um einen [[affine Abbildung|affinen Term]] <math>p(z)=a_1\cdot z + a_0</math> mit <math>a_0,a_1 \in \mathbb{C}</math>. === Beweisschritt 5 - Berechnung des äußeren Wegintegrals === Mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math> als Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> auf einer konvexen offenen Menge <math> U \subset G </math>, kann man nun auch das äußere Integral für das Rechteck <math>R\subset U</math> für die holomorphe Funktion <math>F</math> berechnen. Das äußere Integral ist wieder ein Wegintegral von <math>[a_2,b_2]:= [0,1]</math> nach <math>U</math>. Wenn man die partielle Ableitung <math>\tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2)</math> in Beweisschritt 2 einsetzt, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z & = & \displaystyle \int_{a_2}^{b_2} \!\! \bigg( F\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) - F\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg) \cdot \tfrac{d\gamma_{_V}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\, dt_2 \\ & = & \displaystyle \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(1,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_R}(0,t_2)\big) \bigg]_{a_2}^{b_2} \\ \end{array} </math> === Beweisschritt 6 - Eckpunkt des Vierecks === Durch die Differenz der [[Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktionen]] <math>F_\Box</math> wertet die Stammfunktion 2. Ordnung von <math>f</math> in den Eckpunkten des Vierecks <math>V</math> aus. Damit erhält man mit <math>[a_2,b_2]= [0,1]</math>: :<math> \begin{array}{lc} \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} - \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,t_2)\big) \bigg]_{0}^{1} & = \\ \displaystyle \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(1,0)\big) \bigg) - \bigg( F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_{_V}(0,0)\big) \bigg) & = \\ F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,1)}_{=:z_{3}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(1,0)}_{=:z_{2}}\big) - F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,1)}_{=:z_{4}}\big) + F_{_\Box}\big(\underbrace{\gamma_{_V}(0,0)}_{=:z_{1}}\big) \end{array} </math> === Beweisschritt 7 - Flächenstammfunktionsumme === Insgesamt erhält man für das Flächenintegral über das [[orientierte Fläche|orientierte Viereck]] <math>\gamma_{_V}</math> die folgende Summe der Auswertungen der Flächenstammfunktion <math>F_\Box</math> in den Eckpunkten <math>z_1, z_2, z_3</math> und <math>z_4</math> von <math>V</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z & = & -F_{_\Box}(z_4)+F_{_\Box}(z_3)-F_{_\Box}(z_2)+F_{_\Box}(z_1) \\ & = & \displaystyle \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_3) \end{array} </math> <math>q.e.d.</math> == Siehe auch == * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Konvexkombination]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] kya0r7onpdcnu0jogqsnhoinz0gszs9 106 170305 1078962 1078758 2026-05-08T05:26:38Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078962 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Integrationsweg kann mit der Eigenschaft der stückweisen stetigen Differenzierbarkeit aus mehreren Wegen zusammengesetzt werden (z.B. [[Lemma von Goursat]] bei der Integration über den Dreiecksrand). Eine solche [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] von Integrationswegen ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Diese Grundidee wir nun auf orientierte Flächen übertragen. === Kette von orientierten Flächen === Man benötigt == Definition - Kette von orientierten Flächen == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \times [c_i, d_i] \to G</math> [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> ist eine Vielfachheit, wie oft über eine orientierte Fläche integriert wird. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> eine Kette von orientierten Flächen in <math>G\subset \mathbb{C}</math>. == Definition - Spurfläche einer Kette == Die ''Spurfläche'' <math>Area(\gamma_i)</math> von einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math> ist das Bild <math>\gamma_i \big( [a_i, b_i] \times [c_i, d_i]\big) \subseteq G</math> in <math>G</math>. Die Spurfläche einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spurflächen der einzelnen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Area}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Area}(\gamma_i) </math></center> === Spurflächen und orientierte Flächen === Die Spurflächen können von zwei orientierten Flächen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> können gleich sein, aber daraus kann man nicht <math>\gamma_1 = \gamma_2</math> folgern. == Flächenintegral über Ketten == Das orientiertes Flächenintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> mit <math>\gamma_k : [a_k,b_k]\times [c_k,d_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der orientierten Flächenintegrale wie folgt definiert. :<math> \iint_\Gamma f(z) \, d^2\!z := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \iint_{\gamma_k} f(z) \, d^2\!z </math> ==Definition - randintegrabel == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i </math> von orientierten Flächen <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i]\times [c_i,d_i] \to G</math> heißt randintegrabel, wenn * Spurfläche <math>Area(\Gamma)</math> zusammenhängend ist und * das Flächenintegral über die Kette <math>\Gamma</math> der orientierte Flächen <math>\gamma_i</math> für beliebige holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> durch ein [[Wegintegral]] über <math>\gamma</math> bzgl. einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>auf <math>G</math> ausgedrückt werden kann. === Bemerkung - Randweg === Der Randweg kann bei Polygonen zu einem [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] reduziert werden (siehe auch [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]]). [[Flächenintegrale über Rechtecke]] lassen sich durch alternierende Wegintegrale über eine Stammfunktion ausdrücken. Wenn sich alle Weg im Inneren der Spurflächen <math>Area(\Gamma)</math> durch Wege auf dem Rand von anderen orientierten Flächen durch umgekehrte Laufrichtung annulieren, lässt sich das Flächenintegral auf ein Randintegral der Flächen über eine Stammfunktion reduzieren. === Bemerkung - orientierte zusammengesetzte Flächen === Seien <math>\gamma_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]]. Man setzt komplexere Flächen i.d.R. aus berechenbaren Flächen (wie z.B. [[Flächenintegrale über Rechtecke|Rechtecken]]) zusammen, um auch für diese komplexeren Flächen eine komplexes Flächenmaß bzgl. einer komplexwertigen Dichte <math>f: G \to \mathbb{C}</math> berechnen zu können. Dazu müssen die Schnittmengen [[Nullmenge|Nullmengen]] sein. Die Schnittmengen bestehen i.d.R. aus Teilmengen vom Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] <math>\gamma_k</math>. Damit die aggregierte Fläche <math>\sum_{k=1}^n \iint_{\gamma_k} f(z)\, d^2\!z </math> konsistent ist, müssen sich die darstellenden Randwege in den Wegen auf dem gemeinsamen Rand von orientierten Flächen jeweils annullieren. == Siehe auch == * [[alternierender Randweg]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain of oriented surfaces]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] 0ijotlcor5fkq968wsunj279dowwnge 1078963 1078962 2026-05-08T05:40:19Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - orientierte zusammengesetzte Flächen */ 1078963 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Integrationsweg kann mit der Eigenschaft der stückweisen stetigen Differenzierbarkeit aus mehreren Wegen zusammengesetzt werden (z.B. [[Lemma von Goursat]] bei der Integration über den Dreiecksrand). Eine solche [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] von Integrationswegen ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Diese Grundidee wir nun auf orientierte Flächen übertragen. === Kette von orientierten Flächen === Man benötigt == Definition - Kette von orientierten Flächen == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \times [c_i, d_i] \to G</math> [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> ist eine Vielfachheit, wie oft über eine orientierte Fläche integriert wird. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> eine Kette von orientierten Flächen in <math>G\subset \mathbb{C}</math>. == Definition - Spurfläche einer Kette == Die ''Spurfläche'' <math>Area(\gamma_i)</math> von einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math> ist das Bild <math>\gamma_i \big( [a_i, b_i] \times [c_i, d_i]\big) \subseteq G</math> in <math>G</math>. Die Spurfläche einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spurflächen der einzelnen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Area}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Area}(\gamma_i) </math></center> === Spurflächen und orientierte Flächen === Die Spurflächen können von zwei orientierten Flächen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> können gleich sein, aber daraus kann man nicht <math>\gamma_1 = \gamma_2</math> folgern. == Flächenintegral über Ketten == Das orientiertes Flächenintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> mit <math>\gamma_k : [a_k,b_k]\times [c_k,d_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der orientierten Flächenintegrale wie folgt definiert. :<math> \iint_\Gamma f(z) \, d^2\!z := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \iint_{\gamma_k} f(z) \, d^2\!z </math> ==Definition - randintegrabel == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i </math> von orientierten Flächen <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i]\times [c_i,d_i] \to G</math> heißt randintegrabel, wenn * Spurfläche <math>Area(\Gamma)</math> zusammenhängend ist und * das Flächenintegral über die Kette <math>\Gamma</math> der orientierte Flächen <math>\gamma_i</math> für beliebige holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> durch ein [[Wegintegral]] über <math>\gamma</math> bzgl. einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>auf <math>G</math> ausgedrückt werden kann. === Bemerkung - Randweg === Der Randweg kann bei Polygonen zu einem [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] reduziert werden (siehe auch [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]]). [[Flächenintegrale über Rechtecke]] lassen sich durch alternierende Wegintegrale über eine Stammfunktion ausdrücken. Wenn sich alle Weg im Inneren der Spurflächen <math>Area(\Gamma)</math> durch Wege auf dem Rand von anderen orientierten Flächen durch umgekehrte Laufrichtung annulieren, lässt sich das Flächenintegral auf ein Randintegral der Flächen über eine Stammfunktion reduzieren. === Bemerkung - orientierte zusammengesetzte Flächen === Seien <math>\gamma_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]]. Man setzt komplexere Flächen i.d.R. aus berechenbaren Flächen (wie z.B. [[Flächenintegrale über Rechtecke|Rechtecken]]) zusammen, um auch für diese komplexeren Flächen eine komplexes Flächenmaß bzgl. einer komplexwertigen Dichte <math>f: G \to \mathbb{C}</math> berechnen zu können. Die Schnittmengen bestehen i.d.R. aus Teilmengen auf dem Rand <math>\partial \mathrm{Area}(\gamma_k)</math> der orientierten Fläche <math>\gamma_k</math>. Teilmengen des Randes <math>\partial \mathrm{Area}(\gamma_k)</math> sind [[Nullmenge|Nullmengen]] für stetige Maße auf der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-]]<math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> sein. Die Schnittmengen bestehen i.d.R. aus Teilmengen vom Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] <math>\gamma_k</math>. ==== Wohldefinierte Aggregation von Teilflächen ==== Damit die aggregierte Fläche <math>\sum_{k=1}^n \iint_{\gamma_k} f(z)\, d^2\!z </math> wohldefiniert ist, müssen sich die darstellenden [[alternierender Randweg|alternierenden Randwege]] auf den gemeinsamen Teilwegen auf dem gemeinsamen Rand von orientierten Flächen jeweils annullieren. ==== Aufgabe - Zerlegung eines Rechtecks in Teilrechtecke ==== Machen Sie sich das Prinzip der Aggregation von Flächen am Beispiel der Zerlegung eines gegebenen Rechtecks <math>R</math> klar, das an den Seitenmitten von zwei gegenüberliegenden Seiten in zwei kongruente Teilrechtecke <math>R_1</math> und <math>R_2</math> zerlegt wurde. Für ein wohldefiniertes Flächenintegral für <math>\gamma_{_{R}}</math> muss sich das Flächenintegral wie folgt als Summe der Flächenintegrale über Teilrechtecke <math>\gamma_{_{R_1}}</math> und <math>\gamma_{_{R_2}}</math> darstellen lassen: :<math> \iint_{\gamma_{_{R}}} f(z) \, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_{R_1}}} f(z) \, d^2\! z + \iint_{\gamma_{_{R_2}}} f(z) \, d^2\! z </math> == Siehe auch == * [[alternierender Randweg]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain of oriented surfaces]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] rpild40k89g2nr7aoyy5c3xiwi5y7t8 1078964 1078963 2026-05-08T05:40:36Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Randweg */ 1078964 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Integrationsweg kann mit der Eigenschaft der stückweisen stetigen Differenzierbarkeit aus mehreren Wegen zusammengesetzt werden (z.B. [[Lemma von Goursat]] bei der Integration über den Dreiecksrand). Eine solche [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] von Integrationswegen ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Diese Grundidee wir nun auf orientierte Flächen übertragen. === Kette von orientierten Flächen === Man benötigt == Definition - Kette von orientierten Flächen == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \times [c_i, d_i] \to G</math> [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> ist eine Vielfachheit, wie oft über eine orientierte Fläche integriert wird. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> eine Kette von orientierten Flächen in <math>G\subset \mathbb{C}</math>. == Definition - Spurfläche einer Kette == Die ''Spurfläche'' <math>Area(\gamma_i)</math> von einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math> ist das Bild <math>\gamma_i \big( [a_i, b_i] \times [c_i, d_i]\big) \subseteq G</math> in <math>G</math>. Die Spurfläche einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spurflächen der einzelnen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Area}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Area}(\gamma_i) </math></center> === Spurflächen und orientierte Flächen === Die Spurflächen können von zwei orientierten Flächen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> können gleich sein, aber daraus kann man nicht <math>\gamma_1 = \gamma_2</math> folgern. == Flächenintegral über Ketten == Das orientiertes Flächenintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> mit <math>\gamma_k : [a_k,b_k]\times [c_k,d_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der orientierten Flächenintegrale wie folgt definiert. :<math> \iint_\Gamma f(z) \, d^2\!z := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \iint_{\gamma_k} f(z) \, d^2\!z </math> ==Definition - randintegrabel == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i </math> von orientierten Flächen <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i]\times [c_i,d_i] \to G</math> heißt randintegrabel, wenn * Spurfläche <math>Area(\Gamma)</math> zusammenhängend ist und * das Flächenintegral über die Kette <math>\Gamma</math> der orientierte Flächen <math>\gamma_i</math> für beliebige holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> durch ein [[Wegintegral]] über <math>\gamma</math> bzgl. einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>auf <math>G</math> ausgedrückt werden kann. === Bemerkung - Randweg === Der Randweg kann bei Polygonen zu einem [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] reduziert werden (siehe auch [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]]). [[Flächenintegrale über Rechtecke]] lassen sich durch alternierende Wegintegrale über eine Stammfunktion ausdrücken. Wenn sich alle Weg im Inneren der Spurflächen <math>Area(\Gamma)</math> durch Wege auf dem Rand von anderen orientierten Flächen durch umgekehrte Laufrichtung annulieren, lässt sich das Flächenintegral auf ein Randintegral der Flächen über eine Stammfunktion reduzieren. === Bemerkung - orientierte zusammengesetzte Flächen === Seien <math>\gamma_k</math> mit <math>k\in \{1,\ldots , n\}</math> [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]]. Man setzt komplexere Flächen i.d.R. aus berechenbaren Flächen (wie z.B. [[Flächenintegrale über Rechtecke|Rechtecken]]) zusammen, um auch für diese komplexeren Flächen eine komplexes Flächenmaß bzgl. einer komplexwertigen Dichte <math>f: G \to \mathbb{C}</math> berechnen zu können. Die Schnittmengen bestehen i.d.R. aus Teilmengen auf dem Rand <math>\partial \mathrm{Area}(\gamma_k)</math> der orientierten Fläche <math>\gamma_k</math>. Teilmengen des Randes <math>\partial \mathrm{Area}(\gamma_k)</math> sind [[Nullmenge|Nullmengen]] für stetige Maße auf der [[Borelsche Sigma-Algebra|Borelschen-]]<math>\sigma</math>[[Borelsche Sigma-Algebra|-Algebra]] <math>\mathcal{B}(G)</math> sein. Die Schnittmengen bestehen i.d.R. aus Teilmengen vom Rand der [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] <math>\gamma_k</math>. ==== Wohldefinierte Aggregation von Teilflächen ==== Damit die aggregierte Fläche <math>\sum_{k=1}^n \iint_{\gamma_k} f(z)\, d^2\!z </math> wohldefiniert ist, müssen sich die darstellenden [[alternierender Randweg|alternierenden Randwege]] auf den gemeinsamen Teilwegen auf dem gemeinsamen Rand von orientierten Flächen jeweils annullieren. ==== Aufgabe - Zerlegung eines Rechtecks in Teilrechtecke ==== Machen Sie sich das Prinzip der Aggregation von Flächen am Beispiel der Zerlegung eines gegebenen Rechtecks <math>R</math> klar, das an den Seitenmitten von zwei gegenüberliegenden Seiten in zwei kongruente Teilrechtecke <math>R_1</math> und <math>R_2</math> zerlegt wurde. Für ein wohldefiniertes Flächenintegral für <math>\gamma_{_{R}}</math> muss sich das Flächenintegral wie folgt als Summe der Flächenintegrale über Teilrechtecke <math>\gamma_{_{R_1}}</math> und <math>\gamma_{_{R_2}}</math> darstellen lassen: :<math> \iint_{\gamma_{_{R}}} f(z) \, d^2\! z = \iint_{\gamma_{_{R_1}}} f(z) \, d^2\! z + \iint_{\gamma_{_{R_2}}} f(z) \, d^2\! z </math> == Siehe auch == * [[alternierender Randweg]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain of oriented surfaces]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] 6roptaoy3w8npq9hz5f3hb38j6nsn1y 0 170311 1078941 2026-05-07T17:02:35Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Integralsatz von Cauchy#Zyklen]] erstellt 1078941 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Integralsatz_von_Cauchy#Zyklen]] 0ww1662s9jdew9j21lu1f50gbisf20z 0 170312 1078967 2026-05-08T07:11:38Z C.Koltzenburg 13981 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078967 wikitext text/x-wiki Guten Tag. [Zeit lassen für Pat.: "Guten Tag, Frau Doktor/ Herr Doktor..."] | Mein Name ist <br /> | Ich heiße <br /> | Ich bin [dann dieses Verb nach dem "und" weglassen] <br /> [Ihr Name, wenn mit "Dr.", dann ohne Ihren Vornamen - langsam und deutlich sprechen] und | (ich) (bin) heute für Sie zuständig. <br /> | (ich) (bin) die diensthabende Ärztin. <br /> | (ich) (bin) auf dieser Station tätig. <br /> | (ich) möchte das Erstgespräch mit Ihnen führen. [per Blick prüfen, ob Sie verstanden wurden] Zunächst <br /> | benötige <br /> | brauche <br /> ich ein paar persönliche Angaben (von Ihnen), <br /> | danach kommen wir zu Ihren aktuellen Beschwerden. <br /> | dann gehen wir gleich zu Ihren Beschwerden über. <br /> | und würde danach direkt zu Ihren Beschwerden übergehen. <br /> [ergänzender Satz, den Sie fließend und richtig sprechen können (die FSP ist eine '''Sprach'''prüfung für Deutsch C1!)] | Wenn etwas unklar ist, zögern Sie bitte nicht, mir Ihre Frage zu stellen. <br /> | Wenn etwas unklar ist, zögern Sie bitte nicht, sofort nachzufragen. <br /> | Falls Sie Fragen haben oder etwas nicht verstehen, zögern Sie bitte nicht, mich zu unterbrechen. <br /> | Sollten Sie etwas nicht verstanden haben, oder mich etwas fragen wollen, unterbrechen Sie mich bitte. <br /> | Sollten Sie Fragen an mich haben oder etwas nicht richtig verstehen, unterbrechen Sie mich bitte. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie es mir bitte, dann unterbreche ich das Gespräch, um Ihre Frage zu beantworten. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie mir bitte Bescheid. Dann warte ich noch mit meiner nächsten Frage. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie es mir bitte, dann unterbreche ich das Gespräch, um Ihre Frage zu beantworten. <br /> Ist das so ok für Sie? [per Blick prüfen, ob Sie verstanden wurden] 4n5o3v1s0x0ijy3q4wqzaklhsl1bzfe 1078968 1078967 2026-05-08T07:13:04Z C.Koltzenburg 13981 1078968 wikitext text/x-wiki Guten Tag. '''''[hier Zeit lassen, damit Pat. Sie auch begrüßen kann: "Guten Tag, Frau Doktor/ Herr Doktor..."]''''' | Mein Name ist <br /> | Ich heiße <br /> | Ich bin [dann dieses Verb nach dem "und" weglassen] <br /> '''''[Ihr Vor- und Name, aber wenn mit "Dr.", dann ohne Ihren Vornamen - auf jeden Fall Ihren Namen langsam und deutlich sprechen]''''' und | (ich) (bin) heute für Sie zuständig. <br /> | (ich) (bin) die diensthabende Ärztin. <br /> | (ich) (bin) auf dieser Station tätig. <br /> | (ich) möchte das Erstgespräch mit Ihnen führen. '''''[per Blick prüfen, ob Sie verstanden wurden]''''' Zunächst <br /> | benötige <br /> | brauche <br /> ich ein paar persönliche Angaben (von Ihnen), <br /> | danach kommen wir zu Ihren aktuellen Beschwerden. <br /> | dann gehen wir gleich zu Ihren Beschwerden über. <br /> | und würde danach direkt zu Ihren Beschwerden übergehen. <br /> '''''[ergänzender Satz, den Sie fließend und richtig sprechen können (die FSP ist eine '''Sprach'''prüfung für Deutsch C1!)]''''' | Wenn etwas unklar ist, zögern Sie bitte nicht, mir Ihre Frage zu stellen. <br /> | Wenn etwas unklar ist, zögern Sie bitte nicht, sofort nachzufragen. <br /> | Falls Sie Fragen haben oder etwas nicht verstehen, zögern Sie bitte nicht, mich zu unterbrechen. <br /> | Sollten Sie etwas nicht verstanden haben, oder mich etwas fragen wollen, unterbrechen Sie mich bitte. <br /> | Sollten Sie Fragen an mich haben oder etwas nicht richtig verstehen, unterbrechen Sie mich bitte. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie es mir bitte, dann unterbreche ich das Gespräch, um Ihre Frage zu beantworten. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie mir bitte Bescheid. Dann warte ich noch mit meiner nächsten Frage. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie es mir bitte, dann unterbreche ich das Gespräch, um Ihre Frage zu beantworten. <br /> Ist das so ok für Sie? '''''[per Blick prüfen, ob Sie verstanden wurden]''''' 936y473huak26ifknbnx2173pza5f4l 1078969 1078968 2026-05-08T07:13:30Z C.Koltzenburg 13981 1078969 wikitext text/x-wiki Guten Tag. '''''[hier Zeit lassen, damit Pat. Sie auch begrüßen kann: "Guten Tag, Frau Doktor/ Herr Doktor..."]''''' | Mein Name ist <br /> | Ich heiße <br /> | Ich bin [dann "bin" nach dem "und" weglassen] <br /> '''''[Ihr Vor- und Name, aber wenn mit "Dr.", dann ohne Ihren Vornamen - auf jeden Fall Ihren Namen langsam und deutlich sprechen]''''' und | (ich) (bin) heute für Sie zuständig. <br /> | (ich) (bin) die diensthabende Ärztin. <br /> | (ich) (bin) auf dieser Station tätig. <br /> | (ich) möchte das Erstgespräch mit Ihnen führen. '''''[per Blick prüfen, ob Sie verstanden wurden]''''' Zunächst <br /> | benötige <br /> | brauche <br /> ich ein paar persönliche Angaben (von Ihnen), <br /> | danach kommen wir zu Ihren aktuellen Beschwerden. <br /> | dann gehen wir gleich zu Ihren Beschwerden über. <br /> | und würde danach direkt zu Ihren Beschwerden übergehen. <br /> '''''[ergänzender Satz, den Sie fließend und richtig sprechen können (die FSP ist eine '''Sprach'''prüfung für Deutsch C1!)]''''' | Wenn etwas unklar ist, zögern Sie bitte nicht, mir Ihre Frage zu stellen. <br /> | Wenn etwas unklar ist, zögern Sie bitte nicht, sofort nachzufragen. <br /> | Falls Sie Fragen haben oder etwas nicht verstehen, zögern Sie bitte nicht, mich zu unterbrechen. <br /> | Sollten Sie etwas nicht verstanden haben, oder mich etwas fragen wollen, unterbrechen Sie mich bitte. <br /> | Sollten Sie Fragen an mich haben oder etwas nicht richtig verstehen, unterbrechen Sie mich bitte. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie es mir bitte, dann unterbreche ich das Gespräch, um Ihre Frage zu beantworten. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie mir bitte Bescheid. Dann warte ich noch mit meiner nächsten Frage. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie es mir bitte, dann unterbreche ich das Gespräch, um Ihre Frage zu beantworten. <br /> Ist das so ok für Sie? '''''[per Blick prüfen, ob Sie verstanden wurden]''''' 77a4b6v0bcex5e5gsww86rdlu3rl05r 1078970 1078969 2026-05-08T08:03:10Z C.Koltzenburg 13981 1078970 wikitext text/x-wiki Guten Tag. '''''[hier Zeit lassen, damit Pat. Sie auch begrüßen kann: "Guten Tag, Frau Doktor/ Herr Doktor..."]''''' | Mein Name ist <br /> | Ich heiße <br /> | Ich bin [dann "bin" nach dem "und" weglassen] <br /> '''''[Ihr Vor- und Name, aber wenn mit "Dr.", dann ohne Ihren Vornamen - auf jeden Fall Ihren Namen langsam und deutlich sprechen]''''' und | (ich) (bin) heute für Sie zuständig. <br /> | (ich) (bin) die diensthabende Ärztin. <br /> | (ich) (bin) auf dieser Station tätig. <br /> | (ich) möchte das Erstgespräch mit Ihnen führen. '''''[per Blick prüfen, ob Sie verstanden wurden]''''' Zunächst <br /> | benötige <br /> | brauche <br /> ich ein paar persönliche Angaben (von Ihnen) |: Wie heißen Sie, bitte? <br /> |, <br /> | danach kommen wir zu Ihren aktuellen Beschwerden. <br /> | dann gehen wir gleich zu Ihren Beschwerden über. <br /> | und würde danach direkt zu Ihren Beschwerden übergehen. <br /> '''''[ergänzender Satz, den Sie fließend und richtig sprechen können (die FSP ist eine '''Sprach'''prüfung für Deutsch C1!)]''''' | Wenn etwas unklar ist, zögern Sie bitte nicht, mir Ihre Frage zu stellen. <br /> | Wenn etwas unklar ist, zögern Sie bitte nicht, sofort nachzufragen. <br /> | Falls Sie Fragen haben oder etwas nicht verstehen, zögern Sie bitte nicht, mich zu unterbrechen. <br /> | Sollten Sie etwas nicht verstanden haben, oder mich etwas fragen wollen, unterbrechen Sie mich bitte. <br /> | Sollten Sie Fragen an mich haben oder etwas nicht richtig verstehen, unterbrechen Sie mich bitte. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie es mir bitte, dann unterbreche ich das Gespräch, um Ihre Frage zu beantworten. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie mir bitte Bescheid. Dann warte ich noch mit meiner nächsten Frage. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie es mir bitte, dann unterbreche ich das Gespräch, um Ihre Frage zu beantworten. <br /> Ist das so ok für Sie? '''''[per Blick prüfen, ob Sie verstanden wurden]''''' 4eu7butqpt3p2tujau02vmgy0ectrqh 1078971 1078970 2026-05-08T08:03:40Z C.Koltzenburg 13981 1078971 wikitext text/x-wiki Guten Tag. '''''[hier Zeit lassen, damit Pat. Sie auch begrüßen kann: "Guten Tag, Frau Doktor/ Herr Doktor..."]''''' | Mein Name ist <br /> | Ich heiße <br /> | Ich bin [dann "bin" nach dem "und" weglassen] <br /> '''''[Ihr Vor- und Name, aber wenn mit "Dr.", dann ohne Ihren Vornamen - auf jeden Fall Ihren Namen langsam und deutlich sprechen]''''' und | (ich) (bin) heute für Sie zuständig. <br /> | (ich) (bin) die diensthabende Ärztin. <br /> | (ich) (bin) auf dieser Station tätig. <br /> | (ich) möchte das Erstgespräch mit Ihnen führen. '''''[per Blick prüfen, ob Sie verstanden wurden]''''' Zunächst <br /> | benötige <br /> | brauche <br /> ich ein paar persönliche Angaben (von Ihnen) <br /> |: Wie heißen Sie, bitte? <br /> |, <br /> | danach kommen wir zu Ihren aktuellen Beschwerden. <br /> | dann gehen wir gleich zu Ihren Beschwerden über. <br /> | und würde danach direkt zu Ihren Beschwerden übergehen. <br /> '''''[ergänzender Satz, den Sie fließend und richtig sprechen können (die FSP ist eine '''Sprach'''prüfung für Deutsch C1!)]''''' | Wenn etwas unklar ist, zögern Sie bitte nicht, mir Ihre Frage zu stellen. <br /> | Wenn etwas unklar ist, zögern Sie bitte nicht, sofort nachzufragen. <br /> | Falls Sie Fragen haben oder etwas nicht verstehen, zögern Sie bitte nicht, mich zu unterbrechen. <br /> | Sollten Sie etwas nicht verstanden haben, oder mich etwas fragen wollen, unterbrechen Sie mich bitte. <br /> | Sollten Sie Fragen an mich haben oder etwas nicht richtig verstehen, unterbrechen Sie mich bitte. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie es mir bitte, dann unterbreche ich das Gespräch, um Ihre Frage zu beantworten. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie mir bitte Bescheid. Dann warte ich noch mit meiner nächsten Frage. <br /> | Wenn Sie etwas nicht verstehen, sagen Sie es mir bitte, dann unterbreche ich das Gespräch, um Ihre Frage zu beantworten. <br /> Ist das so ok für Sie? '''''[per Blick prüfen, ob Sie verstanden wurden]''''' 4xiaz5h8gtsz7dt3u1uly6u15243291 0 170313 1079000 2026-05-08T11:22:10Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen]] erstellt 1079000 wikitext text/x-wiki #REDIRECT[[Integralformel von Cauchy#CIF4Zyklen]] bbnjc9ne2j57kc11fvadwdgho9jp13s