Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.1 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1079137 1079021 2026-05-10T15:36:19Z Bert Niehaus 20843 /* Singularität und Residuen - Teil 3 */ 1079137 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma <span id="CIS-CIF"></span> * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> azq2dj1te5vda797fiosoy84y9nvhyt 1079156 1079137 2026-05-11T10:21:33Z Bert Niehaus 20843 /* Funktionentheorie - Teil 2 */ 1079156 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma <span id="CIS-CIF"></span> * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> auu59n7tap247vrk9lcj82a593nw27w 1079158 1079156 2026-05-11T10:22:10Z Bert Niehaus 20843 /* Singularität und Residuen - Teil 3 */ 1079158 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma <span id="CIS-CIF"></span> * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 6mf5unwg3nqico5d9d7xh50v196o7yo 1079160 1079158 2026-05-11T10:26:52Z Bert Niehaus 20843 /* Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen */ 1079160 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 4m0m3aj45wumpah3tv3rlsnc1lptk55 0 23878 1079164 1043868 2026-05-11T10:42:20Z Bocardodarapti 2041 1079164 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} {{ Definitionslink |Ringe| |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi | R | S || |SZ= }} heißt {{Definitionswort|Ringhomomorphismus|SZ=,}} wenn folgende Eigenschaften gelten: {{ Aufzählung3 | {{ Relationskette | \varphi(a+b) || \varphi(a) + \varphi(b) || || || |SZ=. }}| {{ Relationskette |\varphi(1) || 1 || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette | \varphi(a \cdot b) || \varphi(a) \cdot \varphi(b) || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Ringhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ringhomomorphismus |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e6afloqq4g4cm4o60xhvj6c92rsz9n7 0 76504 1079146 1041406 2026-05-11T08:36:27Z Bocardodarapti 2041 1079146 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine Menge und es seien {{ mathbed|term= A_i \subseteq G ||bedterm1= i =1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |endliche Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Endliche Menge/1...n/Definition |SZ=. }} Für eine Teilmenge {{ Relationskette |J | \subseteq | {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} sei {{ Relationskette/display | A_J || \bigcap_{i \in J} A_i || || || |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} die Anzahlformel {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| \bigcup_{i {{=}} 1}^n A_i |}} || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{makl| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots}} n \} ,\, {{op:Anzahl| J |}} {{=}} k } {{op:Anzahl|A_J}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Durchschnitt |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qx2glg8s0jzhaxetnvwl1uvajubi8nt 0 87454 1079165 1037180 2026-05-11T10:43:01Z Bocardodarapti 2041 1079165 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (G,0,+) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |H | \subseteq | G || || || |SZ= }} eine fixierte {{ Definitionslink |Untergruppe| |Kontext=| |SZ=. }} Für Elemente {{ Relationskette |x,y | \in | G || || || |SZ= }} setzen wir {{ Relationskette |x |\sim_H|y || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und sagen, dass {{math|term= x |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} äquivalent bezüglich {{math|term= H |SZ=}} sind |SZ=, }} wenn {{ Relationskette |x-y | \in | H || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Untergruppen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe |Definitionswort2= |Stichwort=Nebenklasse |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m4xkr8cb8txih4cmdyqimpdb1pex48u 0 89260 1079166 1038730 2026-05-11T10:44:07Z Bocardodarapti 2041 1079166 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Untergruppen| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Untergruppe/Definition |SZ= }} der ganzen Zahlen sind nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt |Nr= |SZ= }} von der Form {{ mathkor|term1= \Z n |mit|term2= n \geq 0 |SZ= {{{zusatz1|}}}. }} Die {{ Definitionslink |Restklassengruppen| |Definitionsseitenname= Restklassengruppe/Repräsentant/Definition |SZ= }} werden mit {{ Math/display|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ= }} bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=sprich {{Anführung| {{math|term= \Z |SZ=}} modulo {{math|term= n |SZ=}}|}}| |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | n || 0 || || || |SZ= }} ist das einfach {{math|term= \Z|SZ=}} selbst, bei {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ= }} ist das die {{ Definitionslink |triviale Gruppe| |SZ=. }} Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe {{math|term= \Z n |SZ=}} definierte Äquivalenzrelation auf {{math|term= \Z|SZ=}} dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz {{mathl|term= a-b|SZ=}} zu {{math|term= \Z n |SZ=}} gehört, also ein Vielfaches von {{math|term= n |SZ=}} ist. Daher ist {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= n \geq 1 |SZ=}} | |SZ= }} jede ganze Zahl zu genau einer der {{math|term= n |SZ=}} Zahlen {{ Math/display|term= 0,1,2 {{kommadots|}} n-1 |SZ= }} äquivalent {{ Zusatz/Klammer |text=oder, wie man auch sagt, {{Stichwort|kongruent modulo {{math|term= n |SZ=}} |msw=Kongruent modulo n |SZ=}} | |SZ=, }} nämlich zum Rest, der sich bei Division durch {{math|term= n |SZ=}} ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt {{math|term= n |SZ=}} Elemente. Diese werden im Allgemeinen mit {{mathl|term= \overline{0}, \overline{1}, \overline{2} {{kommadots|}} \overline{n-1} |SZ=}} bezeichnet. Dabei ist {{math|term= \overline{0} |SZ=}} das neutrale Element, das negative Element zu {{math|term= \overline{k} |SZ=}} ist {{mathl|term= \overline{n-k} |SZ=}} und die Summe {{mathl|term= \overline{i} + \overline{k} |SZ=}} ist {{mathl|term= \overline{i+k} |SZ=}} bzw. {{mathl|term= \overline{i+k-n} |SZ=,}} falls {{ Relationskette |i+k | \geq |n || || || |SZ= }} ist. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung {{ Abbildung/display |name= |\Z| {{op:Zmod| n |}} | a | [a] {{=|}} a {{modulo}} n |SZ=, }} ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Dies gilt auch für das Produkt von zwei Zahlen, was bedeutet, dass diese Abbildung ein Ringhomomorphismus ist| |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sxhjzvghr52v7n3ck81jccroo41imwm 1079167 1079166 2026-05-11T10:44:40Z Bocardodarapti 2041 1079167 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Untergruppen| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Untergruppe/Definition |SZ= }} der ganzen Zahlen sind nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt |Nr= |SZ= }} von der Form {{ mathkor|term1= \Z n |mit|term2= n \geq 0 |SZ= {{{zusatz1|}}}. }} Die {{ Definitionslink |Restklassengruppen| |Definitionsseitenname= Restklassengruppe/Repräsentant/Definition |SZ= }} werden mit {{ Math/display|term= {{op:Zmod| n |}} |SZ= }} bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=sprich {{Anführung| {{math|term= \Z |SZ=}} modulo {{math|term= n |SZ=}}|}}| |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | n || 0 || || || |SZ= }} ist das einfach {{math|term= \Z|SZ=}} selbst, bei {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ= }} ist das die {{ Definitionslink |triviale Gruppe| |SZ=. }} Im Allgemeinen ist die durch die Untergruppe {{math|term= \Z n |SZ=}} definierte Äquivalenzrelation auf {{math|term= \Z|SZ=}} dadurch gegeben, dass zwei ganze Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} genau dann äquivalent sind, wenn ihre Differenz {{mathl|term= a-b|SZ=}} zu {{math|term= \Z n |SZ=}} gehört, also ein Vielfaches von {{math|term= n |SZ=}} ist. Daher ist {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= n \geq 1 |SZ=}} | |SZ= }} jede ganze Zahl zu genau einer der {{math|term= n |SZ=}} Zahlen {{ Math/display|term= 0,1,2 {{kommadots|}} n-1 |SZ= }} äquivalent {{ Zusatz/Klammer |text=oder, wie man auch sagt, {{Stichwort|kongruent modulo {{math|term= n |SZ=}} |msw=Kongruent modulo n |SZ=}}| |SZ=, }} nämlich zum Rest, der sich bei Division durch {{math|term= n |SZ=}} ergibt. Diese Reste bilden also ein Repräsentantensystem für die Restklassengruppe, und diese besitzt {{math|term= n |SZ=}} Elemente. Diese werden im Allgemeinen mit {{mathl|term= \overline{0}, \overline{1}, \overline{2} {{kommadots|}} \overline{n-1} |SZ=}} bezeichnet. Dabei ist {{math|term= \overline{0} |SZ=}} das neutrale Element, das negative Element zu {{math|term= \overline{k} |SZ=}} ist {{mathl|term= \overline{n-k} |SZ=}} und die Summe {{mathl|term= \overline{i} + \overline{k} |SZ=}} ist {{mathl|term= \overline{i+k} |SZ=}} bzw. {{mathl|term= \overline{i+k-n} |SZ=,}} falls {{ Relationskette |i+k | \geq |n || || || |SZ= }} ist. Die Tatsache, dass die Restklassenabbildung {{ Abbildung/display |name= |\Z| {{op:Zmod| n |}} | a | [a] {{=|}} a {{modulo}} n |SZ=, }} ein Homomorphismus ist, kann man auch so ausdrücken, dass der Rest einer Summe von zwei ganzen Zahlen nur von den beiden Resten, nicht aber von den Zahlen selbst, abhängt{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Dies gilt auch für das Produkt von zwei Zahlen, was bedeutet, dass diese Abbildung ein Ringhomomorphismus ist| |ISZ=.|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ga4z9gbkkbkt815tezmcyoqjk6yexh 0 98579 1079170 1066695 2026-05-11T11:47:18Z PaFra 14559 /* 1.2.1. Der zugrundegelegte Islam-Begriff */ 1079170 wikitext text/x-wiki {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} — [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02|>>> 2]] {{TOC nonum}} = 1. Grundlegendes, Arabien am Vorabend des Islams = Die erste Sitzung klärt Präliminarien, führt in das Konzept der Vorlesung ein und behandelt dann die religiöse, gesellschaftliche und politische Situation im spätantiken Arabien und ihren Einfluss auf den Islam. Besondere Aufmerksamkeit wird den Spannungen zwischen den verschiedenen religiösen Kulturen gewidmet, die den Hintergrund der Entstehung des Hanīfentums, und damit auch des Islams, bilden. == 1.1. Präliminaria == === 1.1.1. Hinweise zum Arabischen === ==== 1.1.1.1. Das verwendete Umschriftsystem ==== In der deutschsprachigen Wissenschaft wird für die Wiedergabe arabischer Namen und Begriffe üblicherweise die Transliteration der [[w:Deutsche Morgenländische Gesellschaft|Deutschen Morgenländischen Gesellschaft]] verwendet, bei der verschiedene Buchstaben mit [[w:Diakritisches Zeichen|diakritischen Zeichen]] versehen sind. Die genauen Regeln für dieses Transliterationssystem sind in der Broschüre ''Die Transliteration der arabischen Schrift in ihrer Anwendung auf die Hauptliteratursprachen der islamischen Welt. Denkschrift, dem 19. internationalen Orientalistenkongreß in Rom vorgelegt von der Transkriptionskommission der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft'' (Leipzig: F. A. Brockhaus 1935) festgelegt. Der Text ist [http://www.dmg-web.de/pdf/Denkschrift.pdf hier] einsehbar. Zur besseren Lesbarkeit wird in dieser Einführung für die Wiedergabe arabischer Namen und Begriffe jedoch allgemein ein vereinfachtes Umschriftsystem verwendet. Dieses System, das die Mittel der deutschen Orthographie nutzt, um möglichst nahe an die Originalaussprache heranzukommen, wird auch in der deutschsprachigen Wikipedia verwendet und dort unter den sogenannten [[w:Wikipedia:Namenskonventionen/Arabisch|Namenskonventionen/Arabisch]] erklärt. Die DMG-Transliteration wird in dieser Einführung nur in einzelnen Fällen aufgeführt (so bei Buchtiteln, Zitaten und arabischen Fachtermini, die in Klammern einem deutschen Begriff oder Ausdruck nachgestellt werden). Wer bei den anderen arabischen Namen und Begriffen wissen will, wie sie wissenschaftlich transliteriert werden, kann sie in den verlinkten Wikipedia-Artikeln nachschlagen. Dort ist üblicherweise direkt am Anfang auch die DMG-Transliteration aufgeführt. Studierenden, die ein orientalistisches Fach im Hauptfach studieren, ist zu empfehlen, sich bei den betreffenden Worten auch die DMG-Transliteration einzuprägen. Über die Zuordnung der verschiedenen arabischen und lateinischen Buchstaben zueinander gibt die folgende Tabelle Auskunft: {| border="1" style="border-collapse:collapse; text-align:center" cellpadding="2" |- style="background-color:#CAE1FF;" ! Arabischer Buchstabe | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ا</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ب</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ت</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ث</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ج</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ح</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">خ</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">د</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ذ</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ر</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ز</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">س</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ش</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ص</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ض</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ط</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ظ</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ع</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">غ</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ف</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ق</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ك</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ل</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">م</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ن</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ه</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">و</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ي</span> | <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ء</span> || <span lang="ar" dir="rtl" style="font-size:1.5em" class="spanAr">ة</span> |- style="background-color:#FFFFFF;" ! Name | [[w:Alif|Alif]] || [[w:bā'|Bā']] | [[w:tā'|Tā']] || [[w:thā'|Thā']] | [[w:Dschīm|Dschīm]] || [[w:ḥā'|Ḥā']] | [[w:Chā'|Chā']] || [[w:dāl|Dāl]] | [[w:Dhāl|Dhāl]] || [[w:rā'|Rā']] | [[w:Zāy|Zāy]] || [[w:sīn|Sīn]] | [[w:Schīn|Schīn]] || [[w:Sād|Sād]] | [[w:dād|Dād]] || [[w:ṭā'|Ṭā']] | [[w:Zā'|Zā']] || [[w:ʿAin|ʿAin]] | [[w:Ghain|Ghain]] || [[w:fā'|Fā']] | [[w:qāf|Qāf]] || [[w:kāf|Kāf]] | [[w:Lām|Lām]] || [[w:mīm|Mīm]] | [[w:nūn|Nūn]] || [[w:hā'|Hā']] | [[w:wāw|Wāw]] || [[w:yā'|Yā']] | style="border-left:2px solid gray;" | [[w:hamza|Hamza]] || [[w:Tā' marbūta|Tā' marbūta]] |- style="background-color:#FFF; font-weight:bold" ! Wikipedia-Umschrift | a, i, u, ā || b || t || th | dsch<br />ddsch || h || ch || d | dh || r || z || s | sch || s || d || t | z || ʿ || gh || f | q || k || l || m | n || h || ū, w, u || ī, y, i|| style="border-left:2px solid gray;" | ' || a, at |- style="background-color:#CAE1FF;" ! [[w:Deutsche Morgenländische Gesellschaft|DMG]]-Transliteration <br /> ([[w:DIN 31635|DIN&nbsp;31635]]) | a, i, u, ā || b || t || ṯ | ǧ || ḥ || ḫ || d | ḏ || r || z || s | š || ṣ || ḍ || ṭ | ẓ || ʿ || ġ || f | q || k || l || m | n || h || ū, w, u|| ī, y, i|| style="border-left:2px solid gray;" | ʾ || a, at |} Informationen zur Aussprache der einzelnen arabischen Buchstaben bzw. zugehörigen Umschriftzeichen erhalten Sie auf den betreffenden verlinkten Seiten. Vokale mit einem Längungsstrich ''ā/ī/ū'' werden grundsätzlich lang ausgesprochen. ==== 1.1.1.2. Der arabische Artikel ==== Immer wieder wird der Leser in dieser Vorlesung auch auf den arabischen, geschlechtsneutralen Artikel ''al-'' begegnen, wie z.B. in ''al-bait'' „das Haus“. Vor den sogenannten [[w:Sonnenbuchstabe|Sonnenbuchstaben]] t (''t/ṭ''), th (''ṯ''), d (''d/ḍ''), dh (''ḏ''), r, s (''s/ṣ''), sch (''š''), z (''z/ẓ''), n wird das l des Artikels den genannten Lauten [[w:Assimilation (Phonologie)|assimiliert]], wie zum Beispiel in asch-Schams (DMG: ''aš-šams'') „die Sonne“. Nach einem Vokal fällt das ''a'' des Artikels weg. ==== 1.1.1.3. Die Morphologie arabischer Wörter ==== Die Wurzel fast aller arabischen Wörter setzt sich aus drei Konsonanten zusammen. Diese Wurzelkonsonanten werden [[w:Radikal (semitische Sprachen)|Radikale]] genannt. Die Radikale werden zur Wortbildung mit verschiedenen Vokalen, [[w:Präfix|Präfixen]], [[w:Infix_(Linguistik)|Infixen]] und [[w:Suffix|Suffixen]] kombiniert. Begriffe, die dieselben Wurzelkonsonanten haben, sind meist semantisch miteinander verwandt. Beispiel: Die Wurzelkonsonanten des arabischen Wortes Dschihād (''ǧihād'') sind dsch-h-d (''ǧ-h-d''). Derjenige, der den Dschihād ausübt, ist ein Mudschāhid (''muǧāhid''). Auch dieses Wort ist von der Wortwurzel dsch-h-d (''ǧ-h-d'') abgeleitet, hat allerdings das Präfix ''mu-'' erhalten. Die Wortwurzel dsch-h-d (''ǧ-h-d'') hat die Bedeutung von „sich bemühen, sich anstrengen“. Das Wort ''ǧihād'' bedeutet ebenfalls Anstrengung, hat allerdings die Spezialbedeutung von „Kampf gegen die Ungläubigen“ erhalten. Ein weiteres Wort, das von der Wortwurzel ''ǧ-h-d'' abgeleitet ist und ein Infix enthält, ist [[w:Idschtihād|Idschtihād]] (''iǧtihād''). Dieses hat die Spezialbedeutung von „eigene Urteilsbemühung“. Derjenige, der Idschtihād übt, wird [[w:Mudschtahid|Mudschtahid]] genannt. Die Kenntnis dieser Zusammenhänge hilft beim Wiedererkennen miteinander verwandter Wörter. === 1.1.2. Der Koran als Arbeitsmittel === [[File:Franz Horny - Friedrich Rückert 1818.jpg|mini|[[w:Friedrich Rückert|Friedrich Rückert]] 1818, der eine besonders einfühlsame deutsche Koranübersetzung erstellte.]] Die Abkürzung Q verweist in dieser Einführung auf Zitate aus dem [[w:Koran|Koran]], dem heiligen Buch des Islams. Der Koran ist auf Arabisch abgefasst und in [[w:Sure|Suren]] gegliedert, wobei diese wiederum in Verse unterteilt sind. Bei Zitaten aus dem Koran folgt auf das einleitende Q jeweils Suren- und Versangabe. Die Stellenangabe Q 2:42 zum Beispiel bedeutet also, dass das Zitat aus Sure 2, Vers 42 stammt. Koranzitate sind in dieser Einführung üblicherweise mit der digitalen Koranausgabe des [[w:Corpus Coranicum|Corpus Coranicum]] verlinkt, die auch eine Transkription und eine Übersetzung des betreffenden Koranverses enthält. Indem Sie diesen Links folgen, können Sie die betreffenden Textstellen selbst nachlesen und in ihrem Sinnzusammenhang nachvollziehen. Die Übersetzung, die vom Corpus Coranicum verwendet wird, wurde von [[w:Rudi Paret|Rudi Paret]] erstellt. Als weitere deutsche Übersetzungen kann ich diejenigen von [[w:Hartmut Bobzin|Hartmut Bobzin]] im [[w:Verlag C.H.Beck|Verlag C.H. Beck]] sowie von [[w:Max Henning|Max Henning]] im [[w:Reclam-Verlag|Reclam-Verlag]] empfehlen. In Veröffentlichungen von muslimischer Seite wird bei Koranzitaten meist nicht auf die Nummer der Sure verwiesen, sondern auf deren arabischen Namen. Ein Vorteil der Henningschen Übersetzung ist, dass sie im Inhaltsverzeichnis einen vollständigen Überblick über diese Surentitel mit ihren deutschen Übersetzungen liefert. Sehr nützlich ist daneben, dass sie im Text neben der heute am meisten verbreiteten Kairiner Verszählung auch die Verszählung von [[w:Gustav Flügel|Gustav Flügel]] berücksichtigt, die noch in mehreren älteren orientalistischen Werken zugrundegelegt worden ist. Zu den literarischen Merkmalen des Korans gehört seine spezielle poetische Sprachform, die auf Arabisch als [[w:Sadschʿ|Sadschʿ]] bezeichnet wird. Es handelt sich um eine Art Reimprosa. Wer trotz fehlender arabischer Sprachkenntnisse etwas von der sprachlichen Ästhetik des Korans erleben will, nimmt am besten die auszugsweise Koranübersetzung des romantischen Dichters [[w:Friedrich Rückert|Friedrich Rückert]] (1788-1866) zur Hand, denn dieser hat sich mehr als jeder andere Übersetzer darum bemüht, den poetischen Reiz des Korans im Deutschen anschaulich zu machen. Hartmut Bobzin hat diese lang vergessene Koranübersetzung 1995 im Ergon-Verlag neu herausgegeben. == 1.2. Zur Konzeption der Einführung == === 1.2.1. Der zugrundegelegte Islam-Begriff === [[File:Map of the Muslim World.png|mini|links|Übersichtskarte zur muslimischen Weltbevölkerung]] {| class="wikitable floatright" |- ! colspan="4" | Die zehn Länder mit der </br> größten muslimischen Bevölkerung 2025<ref>[https://worldreligiondatabase.org/ World Religion Database, Boston University], abgerufen am 14.10.2025.</ref> |- ! !! Land !! Anzahl in <br /> Millionen !! % an muslimischer </br> Weltbevölkerung |- | 1 || Pakistan || style="text-align:right" | 243 || style="text-align:right" | 11,6 |- | 2 || [[w:Islam in Indonesien|Indonesien]] || style="text-align:right" | 222 || style="text-align:right" | 10,6 |- | 3 || [[w:Islam in Indien|Indien]] || style="text-align:right" | 196 || style="text-align:right" | 9,3 |- | 4 || Bangladesch || style="text-align:right" | 156 || style="text-align:right" | 7,4 |- | 5 || Nigeria || style="text-align:right" | 110 || style="text-align:right" | 5,2 |- | 6 || Ägypten || style="text-align:right" | 107 || style="text-align:right" | 5,1 |- | 7 || Iran || style="text-align:right" | 91 || style="text-align:right" | 4,3 |- | 8 || Türkei || style="text-align:right" | 86 || style="text-align:right" | 4,1 |- | 9 || Sudan || style="text-align:right" | 47 || style="text-align:right" | 2,2 |- | 10 || Algerien || style="text-align:right" | 47 || style="text-align:right" | 2,2 |- ! !! Summe !! style="text-align:right" | 1.305 !! style="text-align:right" | 62,1 |} Thema dieser Vorlesung ist der Islam, eine Religion mit ca. 2,1 Milliarden Anhängern, was einem Viertel der Weltbevölkerung entspricht. Auf einen wichtigen Punkt muss hier gleich am Anfang hingewiesen werden: nur ein Viertel der Muslime lebt heute in der sogenannten [[w:MENA-Region|MENA-Region]] ([[w:Vorderasien|Vorderasien]] und [[w:Nordafrika|Nordafrika]]). Knapp die Hälfte der Muslime (47 %) dagegen lebt in [[w:Südasien|Süd-]] und [[w:Südostasien|Südostasien]]. Der Rest verteilt sich auf das [[w:Subsaharisches Afrika|subsaharische Afrika]] (18 Prozent), [[w:Zentralasien|Zentralasien]] (3,5 %), [[w:Europa|Europa]] mit Russland (2,3 %) und Amerika (0,3 %). Die demographische Verteilung der Muslime in der Welt spiegelt sich auch in der Konzeption dieser Vorlesung wieder: es beschränkt sich keineswegs auf die MENA-Region, sondern widmet auch den anderen Regionen der Islamischen Welt große Aufmerksamkeit. Der Begriff „Islam“ leitet sich von dem arabischen Verb ''aslama'' „übergeben, sich ergeben, sich hingeben“ ab. Dieses Verb kommt an verschiedenen Stellen im Koran vor. So heißt es zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/112 Q 2:112]: „Wer sein Angesicht Gott hingibt (''aslama'') und dabei rechtschaffen ist, dem steht bei seinem Herrn ein Lohn zu“ und in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/34 Q 22:34]: „Euer Gott ist ein einziger Gott. Ihm müsst ihr euch ergeben“. ''Islām'' ist das Verbalnomen (oder der substantivierte Infinitiv) zu ''aslama'': das Sich-Ergeben oder die Hingebung. Schon im Koran selbst wird es als Bezeichnung für eine Religion (''dīn'') verwendet: „Als Religion gilt bei Gott der Islam“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/3/vers/19 Q 3:19]) und „Ich habe für euch den Islam als Religion erwählt“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/5/vers/3 Q 5:3]). Derjenige, der sich ergibt oder hingibt, also den Islam ausübt, ist ein Muslim. Rein grammatisch betrachtet, ist ''muslim'' das Partizip Aktiv zu dem Verb ''aslama''. Schon im Koran selbst wird eine interessante Unterscheidung getroffen, nämlich zwischen der Annahme des Islams (''islām'') und der Annahme des Glaubens ([[w:Īmān|Īmān]]). So werden zum Beispiel in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/14 Q 49:14] die Araber der Wüste aufgefordert, nicht zu sagen, „Wir haben den Glauben angenommen“, sondern „Wir haben den Islam angenommen“, weil der Glaube noch nicht in ihre Herzen eingegangen sei. An derartige Aussagen knüpft sich die Vorstellung, dass derjenige, der den Islam angenommen hat, also ein Muslim ist, nicht unbedingt ein „Gläubiger“, also ein [[w:Mu'min|Mu'min]], sein muss. Die Definition des Islams ist demnach weniger eng als die des Glaubens. Was'' islām'' ursprünglich bedeutete, wenn damit nicht der Glaube gemeint ist, ist nicht eindeutigt geklärt. Meïr Bravmann, der den Sprachgebrauch des Wortes in der altarabischen Literatur untersucht hat, meint, dass er in der frühislamischen Gemeinschaft, die stark auf den [[w:Dschihad|Dschihad]] ausgerichtet war, die Bereitschaft zur Selbstaufopferung im Kampf bezeichnete. [[File:Fünf Säulen des Islam.svg|mini|links|Dass der Islam auf „fünf Säulen“ ruht, ist heute meist das Erste, was Kinder in der Schule über den Islam lernen.]] Seit Ende des 7. Jahrhunderts (vgl. dazu unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 05#5.3.5. ʿAbdallāh ibn ʿUmar und die fünf Säulen des Islams|5.3.5.]]) ist die Vorstellung nachweisbar, dass der Islam insgesamt auf fünf Säulen ruht: 1. dem Glauben an Gott und seinen Gesandten; 2. den fünf [[w:Salāt|Gebeten]], 3. dem [[w:Ramadan|Ramadān]]-Fasten, 4. der Entrichtung der [[w:Zakāt|Zakāt]], und 5. der [[w:Haddsch|Haddsch]]-Wallfahrt. Auf all diese Dinge wird im weiteren Verlauf der Vorlesung noch weiter eingegangen. Das Konzept von den fünf Säulen des Islams wurde später in Form des sogenannten [[w:Gabriel-Hadith|Gabriel-Hadith]] auf den Propheten zurückgeführt. Er hat Eingang in die wichtigsten islamischen Traditionssammlungen gefunden. Der Islam hatte von Anfang an auch eine politische Dimension, und zwar dadurch, dass Muhammad, der Begründer dieser Religion, in [[w:Medina|Medina]] selbst ein eigenes Staatswesen errichtet hat. Muhammads politische Funktion und sein militärischer Erfolg sind auch Punkte, die ihn von den meisten anderen Religionsstiftern unterscheiden. Der von Muhammad begründete Staat wurde nach seinem Tode durch die sogenannten Kalifen fortgeführt. In der islamischen Völkerrechtslehre wird er als [[w:Dār al-Islām|Dār al-Islām]] („Haus des Islams“) bezeichnet (vgl. unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 06#Syrien|6.4.1.3.]]). Die politische Dimension des Islams wurde erst im Laufe des 19. Jahrhunderts im Zuge der Begegnung von reformgesinnten Muslimen mit der westlichen Rechts- und Werteordnung in Frage gestellt und abgeschwächt. Im Zuge des Reislamisierungsprozesses des späten 20. Jahrhundert sind allerdings viele Muslime wieder zu der Auffassung zurückgekehrt, dass der Islam auch in Form eines eigenen Staatswesens gelebt werden müsse. Mehrere heute existierende islamische Staaten sehen sich mehr oder weniger in der Nachfolge des Staates von Medina. Die politische Ideologie, die in Fortsetzung klassischer Lehren nach Wiedererrichtung eines islamischen Staates strebt, wird heute allgemein als „Islamismus“ oder „politischer Islam“ bezeichnet. Allerdings ist mittlerweile auf internationaler Ebene an die Stelle des einen islamischen Staates eine ganze Staatenfamilie getreten, nämlich die [[w:Organisation für Islamische Zusammenarbeit|Organisation für Islamische Zusammenarbeit]] (OIC) mit Sitz in [[w:Dschidda|Dschidda]]. In den europäischen Sprachen wurde dem Begriff „Islam“ ab dem 19. Jahrhundert eine sehr weite Bedeutung gegeben, insofern als man damit die Gesamtheit der muslimischen Völker, Länder und Staaten mit der ihnen eigenen Kultur bezeichnet hat. So kommt es auch, dass bis heute die [[w:Encyclopaedia of Islam|Encyclopaedia of Islam]], das wichtigste Nachschlagewerk der Islamwissenschaft, nicht allein die islamische Religion behandelt, sondern die gesamte Zivilisation der Länder mit muslimischer Bevölkerungsmehrheit, mit Schwerpunkt allerdings auf dem Vorderen Orient. Ähnlich weit fassen den Islam übrigens auch viele Islamisten. So erklärte zum Beispiel im Jahre 1939 [[w:Hasan al-Bannā|Hasan al-Bannā]], der Begründer der [[w:Muslimbrüder|Muslimbruderschaft]], dass der Islam „Bekenntnis und Gottesdienst, Heimatland und Nationalität, Religion (''dīn'') und Staat (''daula''), Spiritualität und Arbeit, Koran und Schwert“ sei (vgl. unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 12#12.1.2. Aufbruch der muslimischen Jugend: die Muslimbruderschaft und die Tablīghī Dschamāʿat|12.1.2.]]). Die Frage, was der Islam ist und was er alles umfasst, wird also zum Teil sehr unterschiedlich beurteilt. In dieser Einführung wird ein Islam-Begriff zugrundelegt, der „Islam“ enger fasst als eine Zivilisation, aber dennoch nicht auf den Bereich der Religion reduziert. Als relevant betrachtet werden zunächst alle Strömungen, Bewegungen, Organisationen und Institutionen, die sich selbst als „islamisch“ bezeichnen, sowie Ideen und Konzepte, die von Muslimen als „islamisch“ deklariert worden sind (explizite Islamizität). Darüber hinaus werden solche Sachverhalte behandelt, die einen erkennbaren direkten oder indirekten Bezug zum Koran, zu Muhammad oder Mekka aufweisen (implizite Islamizität). Dies lässt sich damit begründen, dass der [[w:Koran|Koran]] der zentrale heilige Text, [[w:Mohammed|Muhammad]] die zentrale heilige Person und [[w:Mekka|Mekka]] der zentrale heilige Ort des Islams ist. Schließlich werden auch Ereignisse, Entwicklungen, Gruppen und Personen berücksichtigt, die für die Verbreitungsgeschichte des Islams von großer Bedeutung sind. === 1.2.2. Der historische Zugang === Grundsätzlich bieten sich bei der Darstellung einer Religion zwei verschiedene Herangehensweisen an. Bei der systematischen Herangehensweise werden nacheinander die verschiedenen Teilbereiche und Dimensionen der betreffenden Religion betrachtet, zum Beispiel die Gottesvorstellungen, die Mythologie, die Heiligen Schriften, die Schöpfungsvorstellungen, die Rituale, die Ethik, die rechtlichen und gesellschaftlichen Dimensionen, die politischen Konzepte usw. Eine solche Darstellungsweise hat den Vorteil, dass inhaltlich zusammengehörige Phänomene im Zusammenhang betrachtet werden können und dadurch manchmal größere Anschaulichkeit erhalten. Eine Gefahr bei dieser Darstellungsweise besteht allerdings darin, dass in den Köpfen der Zuhörer und Leser schnell ein [[w:Essentialismus|essentialistisches]] Bild von der betreffenden Religion entsteht, weil sie als unveränderlich und statisch wahrgenommen wird. Als Alternative bietet sich die historisierende Darstellungsweise an, die bei der Beschreibung der einzelnen Sachverhalte jeweils den historischen Zusammenhang berücksichtigt und somit [[w:Anachronismus|anachronistischen]] Vorstellungen entgegenwirkt. Es kann zum Beispiel auf diese Weise gezeigt werden, dass Phänomene, die heute mit der betreffenden Religion untrennbar verbunden scheinen, erst zu einem bestimmten Zeitpunkt in einer speziellen politischen und kulturellen Situation aufgekommen sind. Das Gleiche gilt auch für die verschiedenen islamischen Strömungen, deren Lehren häufig nur vor dem Hintergrund ihres Entstehungszusammenhangs verständlich werden. Die historische Darstellungsweise leitet allgemein zum kritischen Denken an, weil sie die Möglichkeit gibt, Vorstellungen und Normen in ihrer historischen Gewordenheit zu verstehen und damit auch kritisch hinsichtlich ihrer Allgemeingültigkeit zu hinterfragen. Sie zeigt auch auf, wie stark die Diskurse von den jeweils herrschenden Machtverhältnissen bestimmt werden. Ich habe mich deswegen in dieser Einführung in den Islam für die historische Herangehensweise entschieden. Dies hat auch Auswirkungen darauf, wie in ihren ersten Kapiteln der Koran behandelt wird: nicht als überzeitlicher heiliger Text, sondern als historisches Dokument, das die Entwicklung der Vorstellungen des islamischen Religionsstifters und seiner Umgebung widerspiegelt. Bei der Darstellung der Entwicklungen, Ereignisse, Persönlichkeiten und Strömungen früherer Epochen kann schnell der Eindruck aufkommen, dass all diese Dinge nichts mit der Gegenwart zu tun haben. Dieser Eindruck täuscht jedoch, denn zum einen spielt die Erinnerung an die religiös-politischen Geschehnisse der islamischen Vergangenheit eine enorm wichtige Rolle im [[w:Kollektives Gedächtnis|kollektiven Gedächtnis]] der heutigen Muslime, zum anderen wird auch in allen religiös gefärbten Diskussionen, die in der Gegenwart unter Muslimen über Gesellschaft und Politik geführt werden, auf diese vergangenen Geschehnisse Bezug genommen. Die Beschäftigung mit vergangenen Entwicklungen ist also unabdinglich für das Verständnis heutiger islamischer Diskurse. Auch die Rituale, die den religiösen Alltag der heutigen Muslime prägen wie das rituelle Gebet, der [[w:Freitagsgebet|Freitagsgottesdienst]], das Ramadān-Fasten und die Wallfahrt nach Mekka, sind zu einer bestimmten Zeit eingeführt worden und haben im Laufe der Zeit Veränderungen erfahren. Indem in dieser Vorlesung die historischen Umstände, unter denen diese Rituale eingeführt und verändert wurden, in den Blick genommen werden, soll das Bewusstsein für ihre gesellschaftliche und politische Bedeutung, die sich jeweils in einer bestimmten historischen Situation konkretisiert, geweckt werden. Ein Leitgedanke in meiner Darstellung ist, dass sich die Geschichte des Islams in Synthesen vollzieht. Dieser Gedanke knüpft in gewisser Weise an die [[w:Dialektik|dialektische]] Philosophie [[w:Georg Wilhelm Friedrich Hegel|Hegels]] an. Meine These ist, dass sich in jeder Epoche des Islams neue [[w:Widerspruch (Dialektik)|Antagonismen]] ergeben, die dann in Form einer [[w:Dialektische Aufhebung|Dialektischen Aufhebung]] überbrückt werden. Hierbei schreitet die Geschichte voran, und es wird eine höhere Entwicklungsstufe erreicht, in der die einzelnen Vorstellungen und Normen zum Teil auch neue Funktionen erhalten. Auch die Entstehung des Islams selbst lässt sich in dieser Weise als dialektische Aufhebung eines Gegensatzes deuten, desjenigen nämlich zwischen dem einheimischen [[w:Polytheismus|Polytheismus]] und den von außen eindringenden monotheistischen Religionen im spätantiken Arabien. === 1.2.3. Die zeitliche Gliederung === Nicht alle Zeiträume der islamischen Geschichte erhalten in dieser Vorlesung die gleiche Aufmerksamkeit. Schwerpunktmäßig werden die formative Phase sowie die gegenwartsnahe Geschichte des Islams behandelt. Die formative Phase des Islams, die Periode vom frühen 7. Jahrhundert bis zum frühen 10. Jahrhundert verdient deswegen besondere Aufmerksamkeit, weil in ihr fast das gesamte Normen-, Werte- und Ideensystem, das bis heute für den Islam kennzeichnend ist, sowie viele islamische Strömungen, die bis heute existieren, entstanden sind. Die gegenwartsnahe Geschichte des Islams wird aus dem einfachen Grunde eingehender betrachtet, weil sie uns zeitlich näher steht und uns deswegen auch stärker betrifft. Die dazwischen liegenden Perioden, der Zeitraum zwischen 930 und 1813, sollen aber mit ihren wichtigen religionsgeschichtlichen Entwicklungen keineswegs vernachlässigt werden. Ihnen sind in dieser Einführung insgesamt drei Sitzungen gewidmet, was in einer Einführung zum Islam keineswegs selbstverständlich ist. Bei den einzelnen betrachteten Zeiträumen geht es nicht nur darum, das jeweils Neue herauszustellen, sondern auch die Elemente der Kontinuität aufzuzeigen. Wichtig ist mir in dieser Vorlesung, die Autonomie der Geschichte des Islams herauszustellen. Bei der Periodisierung orientiere ich mich nicht an westlichen Epocheneinteilungen, sondern an den die ganze islamische Welt betreffenden Verschiebungen im religiös-politischen Bereich. Wie aber lassen sich solche Verschiebungen erkennen? Mekka ist nicht nur die Stadt, an dem Muhammad seine neue Religion begründete, sondern sie gilt bis heute auch als die wichtigste Heilige Stätte des Islams und bildet das religiöse Zentrum der islamischen Welt. Im Laufe der Zeit hat die Oberherrschaft über diese Stadt immer wieder gewechselt. Da diese Herrschaftswechsel Auswirkungen auf die gesamte islamische Welt hatten und auch die religiös-politische Großwetterlage beeinflussten, habe ich sie in meiner Vorlesung als Mittel für die Epocheneinteilung verwendet. Nur bei der Periodisierung der letzten Jahrzehnte bin ich von diesem Ordnungsprinzip abgewichen, weil die Machtverhältnisse in Mekka während dieses Zeitraums relativ stabil blieben, andere globale Verschiebungen jedoch stark auf das islamische Feld einwirkten. == 1.3. Die Situation im spätantiken Arabien und ihr Einfluss auf den Islam == Mekka, die Stadt, in der Muhammad seine neue Religion begründete, liegt im Westen der arabischen Halbinsel. Im Koran, dem Buch, das gewissermaßen den Gründungstext dieser neuen Religion darstellt, wird an verschiedenen Stellen (vgl. z.B. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/33/vers/33 Q 33:33]) der Bruch mit den arabischen Bräuchen der vorislamischen Zeit, der sogenannten [[w:Dschāhilīya|Dschāhilīya]], betont. Allerdings weist der Islam auch viele Elemente der Kontinuität gegenüber der vorislamischen arabischen Kultur auf. Das Wichtigste davon ist die [[w:arabische Sprache|arabische Sprache]]. Sie hat eine lange Geschichte, die in das erste Jahrtausend vor Christus zurückreicht und in ihrer dialektalen Vielfalt durch Inschriften recht gut dokumentiert ist. Dadurch, dass auch der Koran in arabischer Sprache gehalten ist, hat diese Sprache in der islamischen Kultur eine geradezu heilige Stellung erhalten. In den folgenden Abschnitten werden noch verschiedene andere Vorstellungen und Institutionen des spätantiken Arabiens vorgestellt, an die der Islam angeknüpft hat. === 1.3.1. Die altarabische Stammesgesellschaft === [[File:Map of Arabia 600 AD.svg|mini|Tribale Gruppen auf der arabischen Halbinsel zur Zeit Muhammads]] Die altarabische Gesellschaft war stammesmäßig organisiert, und das Individuum definierte sich primär durch seine tribale Zugehörigkeit. Der Koran erkennt diese gesellschaftliche Realität an, in dem er in [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/49/vers/13 Sure 49:13] an die Menschen gerichtet sagt: „Wir haben euch zu Verbänden und Stämmen gemacht, damit ihr euch untereinander kennt.“ Der einzelne Mensch war also nur durch seine Einordnung in dieses System von Verbänden und Stämmen, die nach innen wiederum in verschiedene Clane und Familien aufgegliedert waren, identifizierbar. Die große Bedeutung, die die alten Araber dieser Form der Identifizierung beimaßen, lässt sich daran erkennen, dass sie bei Nennung von Personen jeweils auch deren verbandsmäßige Zugehörigkeit angaben, und zwar durch die ''nisba'', ein Adjektiv, das mit dem Suffix -ī gebildet wird. So ist zum Beispiel al-Kindī die Nisba zum Stamm [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]], at-Tanūchī die Nisba zum Stamm Tanūch und al-Machzūmī die Nisba zum Clan [[w:Machzūm|Machzūm]]. Eine noch genauere Verortung des Individuums in diesem System erfolgte durch den sogenannten ''nasab'', die Abstammungslinie. Sie setzt den Menschen über eine Filiation zu mythischen Vorfahren in Beziehung, die einer oder mehreren tribalen Gruppen gemeinsam sind. Die einzelnen Glieder auf dieser Kette von Vorfahren werden üblicherweise durch das Wort ''ibn'' „Sohn (des)...“ (abgekürzt b.) aneinandergereiht. Wenn es sich um Frauen handelt, steht ''bint'' „Tochter von“. Der Prophet zum Beispiel hatte den Nasab: Muhammad ibn ʿAbdallāh ibn ʿAbd al-Muttalib ibn Hāschim ibn ʿAbdmanāf ibn Qusaiy ibn Kilāb ibn Murra ibn Kaʿb ibn Lu'aiy ibn Ghālib ibn Fihr ibn Mālik ibn an-Nadr ibn Kināna. Auch die tribalen Verbände selbst wurden in dieser Weise über einen Nasab definiert. Bei ihnen wurde die Abstammung von einem gemeinsamen Vorfahren oder einer gemeinsamen Vorfahrin nicht durch ''ibn'' oder ''bint'', sondern das Wort ''banū'' (Söhne von…) angezeigt. Die meisten arabischen Stämme lebten nomadisch in den wüsten- und steppenartigen Regionen der arabischen Halbinsel und betrieben Kamelzucht. Zur Erzielung von Beute unternahmen sie überfallartige Raubzüge auf andere Stämme und Siedlungen an der Grenze zum Fruchtland. Wichtigstes Ziel bei dieser Raubzugsaktivität, die [[w:Ghazw|Ghazw]] genannt wurde, war der Erwerb von Kamelen und Vieh. Bei vielen Raubzügen wurden aber auch Gefangene gemacht, die dann eine ganze Zeit als Sklaven Dienst leisten mussten. Bei weiblichen Sklaven war es üblich, dass diese ihren Herren auch sexuell zur Verfügung stehen mussten. Sklaverei war im ganzen vorislamischen Arabien weit verbreitet. Dieses Rechtsinstitut ist in den Islam übernommen worden. Auch im Haushalt Muhammads lebte anfangs ein Sklave, [[w:Zaid ibn Hāritha|Zaid ibn Hāritha]], der mit einer freigelassenen Abessinierin verheiratet war und mit dieser ein Kind hatte. Wenn Sklaven freigelassen wurden, verblieben sie weiter in einem Schutzverhältnis (''walāʾ'') zum Stamm oder Clan ihres früheren Besitzers. Als [[w:Mawālī|Mawālī]], also Schutzbefohlene, bildeten sie einen wichtigen Bestandteil der vorislamischen arabischen Gesellschaft. Neben den nomadisch lebenden Stämmen, den sogenannten Beduinen, gab es sesshafte Stämme, die Landwirtschaft oder Handel trieben. So war zum Beispiel die Stadt Yathrib einige hundert Kilometer nördlich von Mekka als eine Agglomeration von Oasen stark landwirtschaftlich ausgerichtet. Landwirtschaft wurde auch im südlichen Mesopotamien getrieben, dem Gebiet, das die Araber ''al-ʿIrāq'' („die fruchtbare Uferzone [von Euphrat und Tigris]“) nannten, woher auch der moderne Ländername Irak stammt. Mekka, die Heimatstadt Muhammads, zeichnete sich dadurch aus, dass sie stark auf den Handel ausgerichtet war. [[File:Yemen Himyarite 330 AD.jpg|mini|Der Staat von [[w:Himyar|Himyar]] im Süden der arabischen Halbinsel]] Unter den arabischen Stämmen gab es ein großes Machtgefälle. Einige waren eher schwach, andere hatten schon lange vor dem Islam eigene Staatswesen gegründet, wie etwa die [[w:Himyar|Himyar]] und Kinda in Südarabien, die [[w:Ghassaniden|Banū Ghassān]] in Südsyrien und die [[w:Lachmiden|Banū Lachm]] im Irak. An dieses Machtgefälle knüpfte sich das Konzept der Ehre (''šaraf''). Angeführt wurde der Stamm durch einen [[w:Sayyid|Saiyid]] („Herr“) oder [[w:Scheich|Scheich]]; einige Stammesoberhäupter führten sogar den Titel eines Königs (''malik''). Diesen Oberhäuptern gegenüber hatten die Angehörigen des Stammes einen Treueid ([[w:baiʿa|Baiʿa]]) zu leisten. Innerhalb des Stammes nahm außerdem der Dichter (''šāʿir'') eine äußerst wichtige Rolle ein. Indem er die Ruhmestaten des eigenen Stammes besang, konnte er das Zusammengehörigkeitsgefühl innerhalb dieses Verbandes stärken. Außerdem konnte er den Stamm beim Kampf durch dichterische Schmähung (''hiǧāʾ'') des Gegners unterstützen. Innerhalb der Stämme kannte man bestimmte Normen des Zusammenlebens. Der Wert dieser Normen wurde auf die Tatsache zurückgeführt, dass sie auf „alter Rechtssetzung“ ([[w:Sunna|Sunna]]) beruhten. Da es keine gesonderten Institutionen gab, die im Falle einer Verletzung der Normen eingeschaltet werden konnten, wachte die Gruppe als ganze bzw. die Gruppen untereinander über deren Einhaltung. Es gab also durchaus auch Sanktionen. Gelang es in einem Streitfall den betroffenen Parteien nicht, eine Einigung zu erzielen, konnten sie einen Schiedsrichter (''ḥakam'') einschalten, der ihrer beiden Vertrauen genoss. Das wichtigste strafrechtliche Prinzip war der [[w:Qisās|Qisās]], nach dem jede Schädigung eine „Wiedervergeltung“ zur Folge haben musste. Bei Mord oder Totschlag implizierte das die [[w:Blutrache|Blutrache]]. Die durch die Rache bedrohte Gruppe konnte allerdings versuchen, diese durch das Angebot einer Wergeldzahlung ([[w:Diya (Islam)|Diya]]) abzuwenden. Der Qisās galt als ein lebenssicherndes Prinzip (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/179 Sure 2:179]), weil er abschreckend wirkte und dadurch von fortgesetztem Blutvergießen abhielt. Neben der gewöhnlichen Blutsverwandtschaft gab es im alten Arabien noch die Institution der [[w:Milchverwandtschaft|Milchverwandtschaft]]. Hintergrund war der damals sehr verbreitete und später auch durch den Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/2/vers/233 Q 2:233]) sanktionierte Brauch, das Stillen der Kinder einer anderen Frau als der Mutter zu überlassen. Dieser Brauch kam offensichtlich auch bei Muhammad zur Anwendung, denn es wird berichtet, dass er als kleines Kind einer Amme namens [[w:Halīma bint Abī Dhuʾaib|Halīma]] aus dem nomadischen Stamm der Saʿd ibn Bakr anvertraut wurde, bei der er etwa zwei Jahre blieb. Das durch die Stillbeziehung hergestellte verwandtschaftliche Verhältnis bezog neben der [[w:Amme|Amme]] selbst deren Kinder sowie die Kinder, die von ihrer Brust getrunken hatten, ein und stand in seiner sozialen Bedeutung der Blutsverwandtschaft in nichts nach. Muhammad selbst fühlte sich zum Beispiel zeitlebens dem Stamm Saʿd ibn Bakr verbunden, obwohl dieser zeitweise mit seinen Gegnern paktiert hatte. Milchverwandtschaft schloss auch die Möglichkeit zur Heirat aus, eine Norm, die Eingang in den Koran ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/4/vers/23 Q 4:23]) gefunden hat und somit auch für das islamische Normensystem bestimmend geworden ist. === 1.3.2. Geschlechterverhältnisse === Eine Besonderheit der spätantiken arabischen Gesellschaft war die Existenz uxorilokaler [[w:Besuchsehe|Besuchsehen]]. Es handelt sich um solche Ehen, bei denen das verheiratete Paar nicht zusammenlebte, sondern nur eine Besuchsbeziehung unterhielt. Über derartige Ehen sind wir durch aus vorislamischer Zeit stammende arabische Gedichte von Liebesaffären informiert. In vielen dieser Gedichte ist davon die Rede, dass der Mann die Frau in der Nacht im Zeltlager ihres Stammes besucht. In einigen Fällen tat er dies heimlich, in anderen ging er bei ihr für längere Zeit ohne Heimlichkeit ein und aus. Frauen, die solche Beziehungen eingingen, hatten auch die Möglichkeit, diese selbst zu beenden. In vielen Fällen unterhielten Frauen derartige Besuchsbeziehungen auch zu mehreren Männern. Berichte über uxorilokale Besuchsehen finden sich auch in den Überlieferungen über Muhammads Vorväter. So wird zum Beispiel über seinen Großvater [[w:ʿAbd al-Muttalib ibn Hāschim|ʿAbd al-Muttalib]] berichtet, dass er das Erzeugnis einer Besuchsehe war, die sein Vater [[w:Hāschim ibn ʿAbd Manāf|Hāschim]] mit einer vornehmen Dame in Yathrib abgeschlossen hatte, als er sich auf einer Geschäftsreise nach Palästina befand. Auch die Verbindung von Muhammads Eltern könnte diesem Ehetyp entsprochen haben. Es wird nämlich berichtet, dass seine Mutter [[w:Āmina bint Wahb|Āmina]] während der Ehe bei ihrem Clan Zuhra wohnen blieb, während ihr Mann [[w:ʿAbdallāh ibn ʿAbd al-Muttalib|ʿAbdallāh]] sie dort lediglich besuchte. In vielen Fällen war das System der Besuchsehen mit einem [[w:Matrilinearität|matrilinearen]] Verwandtschaftssystem verbunden. Das bedeutet, dass hier die Abstammung von der Mutter die verwandtschaftlichen Verhältnisse definiert, und auch das Erbe in der Mutterlinie weitergegeben wurde. Die arabische Gesellschaft befand sich zur Zeit Muhammads allerdings in einem Umbruchsprozess weg von der matrilinearen und uxorilokalen Heiratsstruktur hin zu einem System, das patrilinear und virilokal ausgerichtet war. Bei diesen neuen Ehen zog die Braut bei der Heirat in das Haus des Mannes um und war dort seiner Autorität unterstellt. Der Ehemann, der mehrere solcher Ehen unterhalten konnte, war in diesem Fall auch der „Herr“ (''baʿl'') seiner Frauen und hatte das alleinige Recht zur Auflösung der Ehen. Wenn der Ehemann starb, ging das Verfügungsrecht über die Frau an dessen Erben über. Die neue islamische Geschlechterordnung entstand in Auseinandersetzung mit diesen beiden unterschiedlichen Eheformen. === 1.3.3. Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka === Unsere Informationen über die religiöse Situation im vorislamischen Arabien stammen im Wesentlichen aus den Werken der arabischen Traditionsliteratur; eines der bekanntesten monographischen Werke zu diesem Thema ist das sogenannte „Götzenbuch“ (''Kitāb al-Aṣnām'') von [[w:Ibn al-Kalbī|Ibn al-Kalbī]] (gest. 821). Diesen Quellen zufolge gab es zur Zeit des Propheten an zahlreichen Orten Arabiens Kultstätten, an denen lokale Gottheiten verehrt wurden. Einige von ihnen waren Astralgottheiten wie etwa Yaghūth, der als „Herr des [[w:Sirius|Hundssterns]]“ galt. Andere wurden als weiblich betrachtet wie zum Beispiel die Göttinnen [[w:al-Lāt|al-Lāt]], [[w:Manāt|Manāt]] und [[w:al-ʿUzzā|al-ʿUzzā]]. Die Gottheiten wurden an den verschiedenen Heiligtümern in Form von Idolen, d.h. heiligen Steinen (''anṣāb'', sg. ''nuṣb'') bzw. Standbildern verehrt. An diesen Heiligtümern wurden bestimmte Kulthandlungen wie die Opferung von Tieren oder Umläufe vollzogen. [[File:Masjid al-Haram 1.jpg|thumb|Die Kaaba im Jahre 1907]] Ein arabisches Heiligtum von überragender Bedeutung war die [[w:Kaaba|Kaaba]] in Mekka, ein würfelförmiges Gebäude (daher der Name ''al-Kaʿba'' = „Kubus“), in dessen Innerem sich ein Standbild des Gottes [[w:Hubal|Hubal]] befand. Dieses hatte divinatorische Funktion: man warf vor ihm Lospfeile, wenn man ein [[w:Orakel|Orakel]] begehrte. Ursprünglicher Gegenstand der Verehrung war ein [[w:Schwarzer Stein (Mekka)|Schwarzer Stein]], der in die östliche Ecke der Kaaba eingelassen war. Am hellen Morgen (''ḍuḥā'') wurde an dem Gebäude ein gemeinsames Gebet (''ṣalāt'') abgehalten, bei dem man eine Prosternation ([[w:Sudschūd|Sudschūd]]) vollzog. Eine Besonderheit dieses Heiligtums war, dass es von einem geheiligten Bezirk umgeben war. In diesem Bezirk, der [[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]] genannte wurde, galten bestimmte Tabus (Tötungs-, Kampf- und Jagdverbot, auch wilde Pflanzen durften nicht abgeschnitten werden). Die Kaaba war auch Zielpunkt einer Wallfahrt, die [[w:ʿUmra|ʿUmra]] genannt wurde und aus einem siebenmaligen Umlauf ([[w:Tawāf|Tawāf]]) um das Gebäude bestand. Zu bestimmten feierlichen Anlässen wurde die Kaaba mit kostbaren Stoffen bedeckt und parfümiert. Um das Innere des Gebäudes vor den in Mekka häufigen [[w:Sturzfluten in Mekka|Sturzfluten]] zu schützen, wurde sein Boden Anfang des 7. Jahrhunderts auf Kopfhöhe angehoben. Ein Heiligtum von ähnlich großer Bedeutung befand sich in dem südwestarabischen Ort Tabāla zwischen Mekka und dem Jemen. Hier verehrten die Stämme der Daus, [[w:Chathʿam|Chathʿam]] und Badschīla die Gottheit [[w:Dhū l-Chalasa|Dhū l-Chalasa]] in Gestalt eines Kultsteins. Aufgrund seiner Beliebtheit als Wallfahrtsziel wurde das Heiligtum auch als die „südliche Kaaba“ (''al-Kaʿba al-yamānīya'') bezeichnet, im Gegensatz zur „nördlichen Kaaba“ (''al-Kaʿba aš-šāmīya'') in Mekka. {| class="wikitable floatleft" |- ! colspan="2" | Die altarabischen Monate |- ! Nr !! Name |- | 1 | [[w:Safar|Safar I]] |- | 2 | Safar II |- | 3 | [[w:Rabīʿ al-awwal|Rabīʿ I]] |- | 4 | [[w:Rabīʿ ath-thānī|Rabīʿ II]] |- | 5 | [[w:Dschumādā l-ūlā|Dschumādā I]] |- | 6 | [[w:Dschumādā th-thāniya|Dschumādā II]] |- | 7 | [[w:Radschab|Radschab]] |- | 8 | [[w:Schaʿbān|Schaʿbān]] |- | 9 | [[w:Ramadan|Ramadān]] |- | 10 | [[w:Schawwāl|Schauwāl]] |- | 11 | [[w:Dhu l-qaʿda|Dhū l-Qaʿda]] |- | 12 | [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]] |} {{Anker|Haddsch}} Die Wallfahrten zu den verschiedenen Heiligtümern wurden nach einem [[w:Lunisolarkalender|Lunisolarkalender]] berechnet: Das Jahr begann im Herbst und bestand aus zwölf Mondmonaten, die von [[w:Neumond|Neumond]] zu Neumond gerechnet wurden; alle zwei oder drei Jahre wurde ein dreizehnter Monat angehängt, damit der Anfang des Jahres im Herbst beibehalten werden konnte. Dieses arabische Interkalationssystem wurde ''nasīʾ'', „Verschiebung“, genannt, weil es den ersten Monat des neuen Jahres verschob. Ein besonders wichtiger Termin im altarabischen Kalender war die als [[w:Haddsch|Haddsch]] bezeichnete Wallfahrt in dem nach ihr benannten Monat [[w:Dhū l-Hiddscha|Dhū l-Hiddscha]], der in vorislamischer Zeit im Herbst lag. Höhepunkt des Haddsch-Rituals war die große Pilgerversammlung am 9. Tag des Monats in [[w:ʿArafāt|ʿArafāt]], einer trockenen Gebirgsebene, die etwa 20 Kilometer östlich der Stadt Mekka liegt, bei der man vom Mittag bis zum Sonnenuntergang in der Ebene verweilte. Nach dieser Verweilzeremonie, die ''wuqūf'' genannt wurde, fand bei Sonnenuntergang die sogenannte ''ifāḍa'', das „Ausströmen“ zu dem etwa zwei Stunden entfernten Heiligtum von [[w:Muzdalifa|Muzdalifa]] statt. Hier wurde die Nacht wachend zugebracht. Bei Sonnenaufgang des 10. Tages wurden schließlich im näher an Mekka gelegenen Tal [[w:Minā|Minā]] Opfer dargebracht. Mit bestimmten Abwandlungen, auf die wir noch näher eingehen werden, ist dieses Ritual in den Islam übernommen worden. [[File:Wuquf.JPG|mini|Heutige muslimische Pilger beim Wuqūf in der Ebene ʿArafāt]] Aufgrund der Zeiten, zu denen der Lauf aus der ʿArafāt-Ebene nach Muzdalifa (Sonnenuntergang) und der Lauf von Muzdalifa nach Minā (Sonnenaufgang) in vorislamischer Zeit stattfanden, wird vermutet, dass dieser vorislamische Haddsch ein Ritual der [[w:Sonnenkult|Sonnenverehrung]] war. Der Haddsch hatte auch große wirtschaftliche Bedeutung, denn ihm gingen drei mehrtägige Märkte an verschiedenen Orten der Umgebung voraus, die gewissermaßen als Teil des Haddsch galten. Der letzte dieser Märkte fand vom 1. bis 8. Dhū l-Hiddscha in [[w:Dhū l-Madschāz|Dhū l-Madschāz]] statt, einem Ort mit kleinem Wasserlauf in der Nähe der Ebene ʿArafāt. Da es in ʿArafāt und in Muzdalifa kein Wasser gibt, nutzten die Pilger den letzten Markttag in Dhū l-Madschāz, um ihre Tiere dort zu tränken und sich selbst mit Wasser einzudecken. Deswegen wird bis heute der 8. Tag des Monat Dhū l-Hiddscha als „Tag der Tränkung“ (''yaum at-tarwiya'') bezeichnet. Vier Monate des altarabischen Kalenders galten aufgrund der beiden genannten Wallfahrten als heilig: der Frühlingsmonat [[w:Radschab|Radschab]] wegen der ʿUmra, die vor allem in diesem Monat stattfand, und der Monat Dhū l-Hiddscha und die beiden Monate davor und danach wegen des Haddsch. Je nachdem, ob an das Jahr ein Schaltmonat angehängt wurde oder nicht, wurde der auf den Haddsch folgende erste Safar geheiligt oder nicht. Die ʿUmra bestand übrigens nicht nur aus der Umkreisung der Kaaba, sondern umfasste noch verschiedene andere Rituale wie den siebenmaligen Lauf (''saʿy'') zwischen den beiden Hügeln Safā und Marwa in der Nähe der Kaaba. In den heiligen Monaten galt eine allgemeine Friedenspflicht. Menschen, die sich auf eine der beiden Wallfahrten begeben wollten, mussten dafür in einen Weihezustand ([[w:Ihrām|Ihrām]]) eintreten, in dem sie ihre Haare nicht schneiden durften und auch das Leben wild lebender Tiere nicht antasten durften. Die Beendigung dieses Weihezustandes wurde zum Abschluss der Wallfahrt durch das Scheren des Haares und das Schlachten von Tieren symbolisiert. Beim Haddsch geschah dies in Minā, bei der ʿUmra im Bereich der Kaaba. === 1.3.4. Magische Bräuche; Opfer- und Reinigungsrituale === Darüber hinaus gibt es eine ganze Anzahl von magischen Bräuchen aus dem spätantiken Arabien, die Eingang in den Islam gefunden haben. Hierzu gehört zum Beispiel der Brauch, dass Personen nicht direkt mit ihrem Namen (''ism''), sondern nur indirekt als „Vater“ (''Abū'') bzw. „Mutter“ (''Umm'') ihres erstgeborenen Sohnes angesprochen wurden. Hintergrund ist wahrscheinlich das bei vielen frühen Völkern verbreitete Namenstabu. An die Stelle des Sohnesnamens konnte auch ein Nomen treten, das ein besonderes Attribut des Namensträgers hervorhob. Diese [[w:Kunya|Kunya]]-Namen sind ein fester Bestandteil islamischer Namensgebung geworden. Ein weiteres markantes Beispiel ist der ''istisqāʾ'', die Regenbitte. Die Zeremonie, die in einer öffentlichen Versammlung stattfand, wurde üblicherweise von einem Stammesführer in Anwesenheit eines heiligen Mannes verrichtet. Die Anwesenden wendeten dabei ihr Obergewand um. Der Brauch wurde auch in den Islam übernommen und ist bis heute als Gebetsritus allgemein akzeptiert. Grundlegend sowohl im paganen als auch im islamischen Ritus ist die Vorstellung, dass das Gebet der Gemeinde durch die Gottesnähe des heiligen Mannes die Kraft besitzt, auf den Willen Gottes einzuwirken. In der islamischen Hagiographie finden sich viele Berichte über heilige Männer, die durch ihr Bittgebet die Regennot beendeten, eine Kraft, die manchmal auch ihren Gräbern zugeschrieben wurde. Ein weiterer Brauch, der aus dem vorislamischen Arabien übernommen wurde, ist die sogenannte [[w:ʿAqīqa|ʿAqīqa]]-Zeremonie wenige Tage nach der Geburt eines Knaben. Hierbei brachte man ein Opfertier dar und spendete dessen Fleisch als Almosen. Der Kopf des Knaben wurde anschließend mit dem Opferblut des Tieres benetzt. Diese Zeremonie hat sich mit dem Islam verbreitet und wird noch heute in vielen islamischen Ländern ausgeführt. Heute ist sie zumeist mit der Namengebung für das Kind verbunden. Darüber hinaus war in der Gedankenwelt der vorislamischen Araber auch der Glaube an geisterhafte Wesen, die [[w:Dschinn|Dschinn]] genannt wurden, tief verwurzelt. Verbreitet war die Vorstellung, dass sich die Dschinn an den Rändern der Himmelssphären aufhalten, um dort Wissen über das Verborgene zu erlauschen, das sie erwählten irdischen Empfängern, vor allem Dichtern weitergeben. Über den Koran, der den Dschinn eine eigene Sure ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/72/vers/1 Q 72]) widmet und sie noch an vielen anderen Stellen erwähnt, hat der Glaube an diese Wesen auch Eingang in den Islam gefunden. Vor allem im Volksglauben spielen die Dschinn bis heute eine bedeutende Rolle. Da sie als Verursacher von Krankheiten und Besessenheit gelten, versuchen viele Muslime, sich mit Amuletten und speziellen Gebets- und Zauberformeln vor ihrer negativen Wirkung zu schützen. Daneben werden in vielen islamischen Ländern exorzistische Praktiken angewandt, um von Dschinn besessene Menschen zu heilen. [[Datei:Miswak2.jpg|mini|[[w:Miswāk|Miswāk]]-Hölzer vom [[w:Zahnbürstenbaum|Arakbaum]]]] In ganz Arabien war schon in vorislamischer Zeit die Beschneidung (''ḫitān'') üblich. Unbeschnitten zu sein galt als große Schmach. Diese Vorstellung wurde im Islam stillschweigend übernommen. Neben der Knabenbeschneidung war auch die Mädchenbeschneidung verbreitet. Nach einer Überlieferung, die in verschiedenen Hadith-Sammlungen überliefert ist, soll Muhammad einer der „Klitorisbeschneiderinnen“ (''muqaṭṭiʿāt al-buẓūr'') sogar ausdrücklich erlaubt haben, ihr Handwerk weiter auszuüben, wenn sie nicht zu tief schneide. Unter Berufung auf diese [[w:Sunna|Sunna]] wird bis heute in einigen islamischen Ländern wie Ägypten, Jemen und Indonesien bei Mädchen eine „leichte Beschneidung“ durchgeführt. Zur Zahnreinigung benutzte man wie in Ostafrika und Indien die Wurzelhölzer vom [[w:Zahnbürstenbaum|Arakbaum]] (''Salvadora persica''), die auf Arabisch als [[w:Miswāk|Miswāk]] bzw. ''siwāk'' bezeichnet werden. Es handelt sich um fluorhaltige Hölzchen, die bei der Benutzung zerfasern und sich insofern sehr gut als Zahnbürsten eignen. Da von Muhammad überliefert ist, dass er diese Hölzer gerne benutzte, halten bis heute auch viele Muslime ihre Benutzung für empfehlenswert. === 1.3.5. Die spätantiken Großreiche und der Stamm der Quraisch === [[File:Justinian Byzanz.png|mini|links|Das Oströmische Reich und das Sassanidenreich im 6. Jahrhundert n.Chr.]] Arabien lag um 600 am Rande bedeutender Reiche. Im Norden stritten das [[w:Byzantinisches Reich|Oströmische Reich]] und das persische [[w:Sassanidenreich|Sassanidenreich]] um Einfluss und Kontrolle. Das Oströmische Reich, auch Byzanz genannt, umfasste die Länder des Östlichen Mittelmeergebiets (Kleinasien, Syrien) einschließlich eines Teils von Nordafrika (v.a. Ägypten), das persische Sasanidenreich dehnte sich von Mesopotamien über Persien bis nach Nordwest-Indien und Zentralasien aus. Die sasanidische Hauptstadt [[w:Seleukia-Ktesiphon|Ktesiphon]] lag allerdings im Irak und war somit nicht weit entfernt. Mehrere arabische Stammesstaaten standen Ende des 6. Jahrhunderts in einem Vasallenverhältnis zu diesen Reichen. Die [[w:Ghassaniden|Banū Ghassān]] in Syrien waren Vasallen von Byzanz. Ihre Residenz war die Zeltstadt [[w:al-Dschābiya|al-Dschābiya]] im [[w:Golanhöhen|Golan]]. Die Sasaniden hatten eine ganze Reihe von arabischen Vasallen, denen jeweils vor Ort ein sassanidischer Gouverneur zur Seite stand: im Grenzgebiet zwischen Irak und arabischer Wüste herrschten die [[w:Lachmiden|Lachmiden]] mit Residenz in [[w:al-Hīra|al-Hīra]], in Bahrain (damals Bezeichnung für die gesamte arabische Golfküste) der tamīmitische Stammesfürst al-Mundhir ibn Sāwā, in [[w:Oman|Oman]] König Dschulandā ibn al-Mustakbir aus dem arabischen Stamm [[w:Azd (Stamm)|Azd]], und im Jemen der Marionettenherrscher Saif ibn Dhī Yazan aus dem Stamm der Himyar. Eines der wenigen Gebiete auf der arabischen Halbinsel, die in dieser Zeit ihre politische Eigenständigkeit behaupten konnten, war der westarabische [[w:Hedschas|Hidschāz]] mit den Städten [[w:Mekka|Mekka]], [[w:Medina|Yathrib]] und [[w:Taif|at-Tā'if]]. Über Mekka herrschte der Stamm [[w:Quraisch|Quraisch]], der sich als Zweig des nordarabischen Stammes der [[w:Kināna|Kināna]] betrachtete. Die nordarabischen Stämme führten im Gegensatz zu den südarabischen Stämmen ihren Stammbau auf [[w:Abraham|Abraham]] zurück. Das steht nicht im Gegensatz zu damals verbreiteten Vorstellungen. Schon frühe christliche Kirchenhistoriker nahmen die Abstammung der Araber von Abraham über seinen von der Magd [[w:Hagar|Hagar]] geborenen Sohn [[w:Ismael|Ismael]] als sicher an. Zusammen mit den Kināna und den [[w:Chuzāʿa|Chuzāʿa]] bildeten die Quraisch eine auf den Heiligen Bezirk ([[w:Haram (heiliger Bezirk)|Haram]]) von Mekka bezogene [[w:Amphiktyonie|Amphiktyonie]]. Ihre Mitglieder wurden als „Geheiligte“ (''ḥums'') bezeichnet und mussten während des Weihezustands bestimmte Tabus einhalten. Ihnen standen die übrigen Araber, die „Profane“ (''ḥilla''), gegenüber, die zwar diese Tabus nicht einzuhalten brauchten, dafür den Umlauf um die Kaaba aber nur nackt vollziehen durften, oder in Kleidern, die sie von den Geheiligten geliehen hatten. [[File:Stammbaum Quraisch.png|mini|350px]] Die Quraisch gliederten sich in verschiedene Clane. Sechs davon, die ʿAbd ad-Dār, die [[w:ʿAbd Schams ibn ʿAbd Manāf|ʿAbd Schams]], die Banū Naufal, die [[w:Banū Hāschim|Banū Hāschim]], die Banū al-Muttalib und die Banū Asad genossen als Nachfahren von [[w:Qusaiy ibn Kilāb|Qusaiy ibn Kilāb]] besonderes Ansehen. Qusaiy gilt als der eigentliche Gründer von Mekka. Er hatte nach der arabischen Überlieferung fünf Generationen vor Muhammad die Herrschaft über den Ort dem südarabischen Stamm der Chuzāʿa entwunden und den Kult um die Kaaba neu geordnet. So soll er zum Beispiel die Grenzen des Haram genau bestimmt und durch Steinmale markiert haben. Zu den kultischen, politischen und militärischen Ämtern, die Qusaiy nach der Überlieferung in Mekka eingeführt hatte, gehörten das 1. Pförternamt der Kaaba, 2. die Tränkung der Pilger, 3. die Bewirtung der Pilger, 4. der Vorsitz in der Ratsversammlung, 5. das Führen der Standarte, das mit dem Recht, Krieg zu erklären, verbunden war, und 6. der Oberbefehl im Krieg. Für die Ratsversammlung, in der die verschiedenen Clane der Quraisch vertreten waren, soll Qusaiy selbst in Mekka ein Versammlungshaus errichtet haben, das [[w:Dār an-Nadwa|Dār an-Nadwa]] genannt und auch für die Abhaltung von Zeremonien (Eheschließungen, Beschneidungsfeiern usw.) verwendet wurde. Im frühen 7. Jahrhundert befanden sich diese Ämter in der Hand von Qusaiys Nachkommen: Während die ʿAbd ad-Dār das Pförtneramt der Kaaba innehatten und das Dār an-Nadwa erbten, besorgten die Banū Hāschim die Tränkung und Bewirtung der Mekka-Pilger; die ʿAbd Schams schließlich führten die Kriegsstandarte. Nach außen hin verfügten die Quraisch über ein Netzwerk von Bündnissen mit anderen Stämmen auf der arabischen Halbinsel. Mit ihnen zusammen versuchten sie die Handelswege auf der arabischen Halbinsel unter ihre Kontrolle zu bringen. Hierbei gelangten sie manchmal auch in Konflikt mit anderen Stammesbündnissen wie zum Beispiel bei dem sogenannten Fidschār-Krieg (ca. 590). Er wurde deswegen so genannt weil die Kriegshandlungen während der Heiligen Monate (vgl. oben [[#1.3.3._Das altarabische Heidentum und die Heiligtümer von Mekka|1.3.3.]]) stattfanden, was ein Sakrileg (''fiǧār'') darstellte. Die wichtigsten Handelspartner von Mekka waren Südarabien, das in Mekka als „das Land zur Rechten“ (''Yaman'', daher unser Wort Jemen) bezeichnet wurde, und Syrien, „das Land zur Linken“ (''Šaʾm''). Die islamische Tradition überliefert im Zusammenhang mit der im Koran erwähnten „Reise des Sommers und des Winters“ ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/106/vers/2 Q 106:2]), dass die Quraisch jeweils im Sommer eine Karawanenreise in den Jemen und im Winter eine nach Syrien durchführten. Die Einführung dieser beiden jährlichen Karawanenreisen wird [[w:Hāschim ibn ʿAbd Manāf|Hāschim]], dem Vater der Banū Hāschim zugeschrieben. Gegen Ende des 6. Jahrhunderts waren die Banū Hāschim allerdings durch einen anderen quraischitischen Clan, die [[w:Machzūm|Machzūm]], im Handel überrundet worden. Die Machzūm, die sich nicht auf Qusaiy zurückführten, erlangten zu dieser Zeit auch die politische Führung (''siyāda'') der Quraisch. === 1.3.6. Der religiöse Wandel und die Hanīfen === Die Kultur der beiden spätantiken Großreiche hat auf verschiedenen Ebenenen auf das arabische Entstehungsmilieu des Islams eingewirkt. Besonders wichtig war hierbei der Bereich der Religion. Das Byzantinische Reich war eindeutig christlich ausgerichtet und betrieb eine aktive Politik zur Ausbreitung dieser Religion. Das Sassanidenreich war dagegen ein multireligiöser Staat. Der [[w:Zoroastrismus|Zoroastrismus]] spielte zwar eine staatstragende Rolle, daneben gab es aber bedeutende andere religiöse Minderheiten, insbesondere Juden, Christen, [[w:Mandäer|Mandäer]] und [[w:Manichäismus|Manichäer]]. Ähnlich groß war wohl auch die religiöse Vielfalt, die im Entstehungsmilieu des Islams herrschte. Dies geht aus einem Koranvers ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/22/vers/17 Q 22:17]) hervor, der die verschiedenen religiösen Gruppen auflistet, denen die Anhänger der von Muhammad neu begründeten Religion gegenüberstanden: neben den Anhängern des Heidentums werden Juden, [[w:Sabier|Sabier]], Christen und Zoroastrier ([[w:Madschūs|Madschūs]]) erwähnt. Auch das Konzept der Religion ([[w:dīn|Dīn]]) hat der Islam wahrscheinlich aus dem Sassanidenreich entlehnt. Es geht auf das mittelpersische Wort ''dēn'' zurück, mit dem im Sasanidenreich die verschiedenen Religionsgemeinschaften bezeichnet wurden. Was die einzelnen Religionen anlangt, so waren Zoroastrier vor allem in den arabischen Vasallenstaaten des Sasanidenreiches im Irak, Bahrain, Oman und Jemen als Verwalter, Grundherren und Soldaten tätig. Das Judentum war besonders bei den [[w:Kinda (Arabien)|Kinda]] in Südarabien sowie in den Oasen von Yathrib und [[w:Chaibar|Chaibar]] in Westarabien verbreitet. Ehe die beiden nichtjüdischen Stämme der [[w:Aus (Stamm)|Aus]] und [[w:Chazradsch|Chazradsch]] aus Südarabien nach Yathrib einwanderten, sollen die Juden in dieser Stadt, in die später Muhammad mit seinen Anhängern auswanderte, sogar die Bevölkerungsmehrheit gebildet haben. Das Christentum war bei mehreren Stämmen Zentralarabiens wie den Taiyi' und Hanīfa verbreitet, vor allem aber in Südarabien präsent. [[w:Nadschran|Nadschrān]] im nördlichen Jemen entwickelte sich unter dem Einfluss des christlichen [[w:Aksumitisches Reich|Königreichs von Aksum]] zur heiligen Stadt der christlichen Araber. Etwa um 525 hatte ein aksumitisches Heer im heutigen Äthiopien den Jemen erobert. Der seit ca. 535 im Jemen herrschende aksumitische Vizekönig [[w:Abraha|Abraha]] ließ an mehreren Orten Kirchen errichten, in seiner Hauptstadt [[w:Sanaa|Sanʿā]] erbaute er eine Kathedrale. Offensichtlich empfand er das heidnische Heiligtum von Mekka als Konkurrenz. Das lässt sich daran erkennen, dass er um die Mitte des 6. Jahrhunderts einen Feldzug unternahm, um dieses unter seine Kontrolle zu bekommen. Bei diesem Feldzug, der letztendlich scheiterte, soll er Elefanten mitgeführt haben. Das Ereignis war so bedeutend, dass die Araber nach diesem [[w:Jahr des Elefanten|Jahr des Elefanten]] die Zeit datierten. Auch im Koran wird dieses Geschehen gespiegelt (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/105/vers/1 Sure 105]). [[Datei:Kaaba-plan.svg|mini|links|Technische Zeichnung der Kaaba mit dem nach Nordosten, also nach Jerusalem zeigenden Hatīm]] Juden und Christen verbreiteten in dieser Zeit die Kenntnis der jüdisch-christlichen Überlieferung. Der Koran setzt bei seinem Publikum eine solche Kenntnis bereits voraus. So tauchen in ihm zahlreiche Gestalten des Alten Testaments auf wie [[w:Mose|Mose]] (Mūsā), [[w:Noach|Noach]] (Nūh), [[w:David|David]] (Dāwūd), [[w:Salomo|Salomon]] (Sulaimān) und [[w:Jona|Jonas]] (Yūnus). Ihre Geschichten werden oft nur andeutungsweise wiedergegeben, so als ob den Hörern die Einzelheiten bereits bekannt wären. In der Kaaba von Mekka befanden sich nach dem Bericht der arabischen Historiker in vorislamischer Zeit Bilder von Abraham sowie von Jesus und Maria. Möglicherweise gab es an der Kaaba sogar einen christlichen Kult. Hierfür spricht, dass das Gebäude ursprünglich mit einer [[w:Apsis|Apsis]] versehen war, die nach [[w:Jerusalem|Jerusalem]] zeigte. Sie hat sich als ein Mauervorsprung, der als Hatīm bezeichnet wird, bis in die heutige Zeit erhalten. Durch Juden- und Christentum fand in dieser Zeit auch der Monotheismus Eingang in die religiöse Vorstellungswelt der Araber. Der monotheistische Gott wurde in Südarabien unter den Namen ''ilahan'' sowie ''rḥmnan'' (von [[w:Aramäische Sprachen|jüdisch-aramäisch]] ''raḥmānā'') angerufen und in offiziellen Inschriften des Staates Himyar unter beiden Namen genannt. Beide Namen haben als Bezeichnung für den Einen Gott in etwas veränderter Form, ''Allāh'' (von ''al-ilāh'' „der Gott“) und ''ar-Rahmān'', auch Eingang in den Islam gefunden (vgl. unten [[Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI) 02#2.2.2. Aussagen über Gott|2.2.2.]]). Hier besteht erkennbare Kontinuität zur Staatsreligion Altsüdarabiens. Allāh wurde in vorislamischer Zeit auch schon in Mekka verehrt, allerdings vorwiegend nicht als monotheistischer, sondern als [[w:Henotheismus|henotheistischer]] Gott. Koranverse berichten davon, dass die Menschen in der Umgebung Muhammads die Dschinn auf eine Stufe mit ihm stellten und sie als seine Verwandten ansahen (Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/6/vers/100 6:100]; [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/37/vers/158 37:158]). Dem Koran ist außerdem zu entnehmen, dass die Gottheiten al-Lāt, Manāt und al-ʿUzzā von den Mekkanern als „Töchter Allāhs“ betrachtet wurden (vgl. Q [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/53/vers/19 53:19f]). ''Allāh'' hatte allerdings schon die Bedeutung eines Hochgottes, der die anderen Gottheiten überragt. Wenn die Beduinen nach Mekka zum Gebet kamen, riefen sie drei Mal ''Allāhu akbar'' („Allāh ist größer“) aus und machten damit deutlich, dass sie ihm die größte Macht unter den Gottheiten zumaßen. Diese Prädikationsformel ist in den Islam übernommen worden und wird [[w:Takbīr|Takbīr]] genannt. [[Datei:The four supporters (angels) of the celestial throne Wellcome L0030654.jpg|mini|hochkant|Bildliche Umsetzung von [[w:Umaiya ibn Abī s-Salt|Umaiyas]] Beschreibung der vier Thronträger in einer persischen Handschrift der Kosmographie von [[w:al-Qazwīnī|al-Qazwīnī]] (gest. 1283)]] Im Koran wird gesagt, dass die religiöse Verkündung, dass Gott die Toten wiederauferwecke, bei den Zeitgenossen Erstaunen hervorrief (vgl. [https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/56/vers/47 Q 56:47]). Sie hielten ein jenseitiges Leben für unvorstellbar und sahen den Tod als etwas Endgültiges an ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/45/vers/24 Q 45:24]). Einzelne Personen verkündeten in dieser Zeit allerdings schon die Botschaft von der Auferstehung. So wird berichtet, dass der Prediger Quss ibn Sāʿida einst auf dem Markt von [[w:ʿUkāz|ʿUkāz]] in Anwesenheit des jungen Muhammad folgende Worte an die Menge gerichtet habe: „Ihr Leute, hört und behaltet im Gedächtnis! [...] Gott hat eine Religion, die ihm besser gefällt als diejenige, die ihr pflegt. Wieso sollten die Menschen sterben und nicht wiederkehren?“ Die religiöse Kultur Arabiens befand sich also schon am Vorabend des Islams im Umbruch. Auch in den Städten des Hidschāz gab es vor dem Auftreten Muhammads einzelne Menschen, die, obwohl keine Christen oder Juden, monotheistische Auffassungen vertraten. Sie werden in den arabischen Quellen als [[w:Hanīf|Hanīfen]] bezeichnet. Beispiele für diese Personengruppe sind der Dichter [[w:Umaiya ibn Abī s-Salt|Umaiya ibn Abī s-Salt]] in at-Tā'if und Zaid ibn ʿAmr in Mekka. Von Umaiya wird überliefert, dass er in den Schriften von Juden und Christen las, alkoholische Getränke verbot, und das Auftreten eines Propheten unter den Arabern erwartete. Christlich-jüdischer Einfluss zeigt sich darin, dass er in seiner Dichtung auch [[w:Engel|Engel]] erwähnt. In einem seiner Gedichte beschreibt er vier Träger des Gottesthrons in Form der vier [[w:Evangelistensymbole|Evangelistensymbole]]. Da Muhammad diese Verse für wahr erklärt hat, sind sie Teil der islamischen Kosmologie geworden. Aus den von Zaid überlieferten Gedichten spricht starke Ablehnung gegenüber dem altarabischen Polytheismus. Er betrachtete sich als Anhänger der Religion Abrahams (''dīn Ibrāhīm'') und betete zur Kaaba als der Gebetsrichtung von Abraham und Ismael. An solche Vorstellungen wird auch im Koran angeknüpft, wo es heißt, dass Abraham auf Befehl Gottes das mekkanische Heiligtum für alle, die es umkreisen und dort zum Gebete stehen und niederknien, gereinigt habe ([https://corpuscoranicum.de/index/index/sure/56/vers/47 Q 22:26]). == 1.4. Weiterführende Literatur == * Aziz Al-Azmeh: ''The Emergence of Islam in Late Antiquity: Allah and His People.'' Cambridge: Cambridge University Press 2014. * Meir Bravmann: ''The spiritual background of early Islam. Studies in Ancient Arab concepts.'' Leiden 1972. * Patricia Crone: ''Meccan trade and the rise of Islam.'' Princeton 1987. * Toufic Fahd: ''Le Panthéon de l’Arabie centrale à la veille de l’Hégire.'' Paris 1968. * Iwona Gajda: ''Le royaume de Himyar à l’époque monotheiste.'' Paris 2009. * Agnes Imhof: ''Religiöser Wandel und die Genese des Islam. Das Menschenbild altarabischer Panegyriker im 7. Jahrhundert.'' Würzburg: Ergon 2004. * M.J. Kister: „Labbayka, Allāhumma, Labbayka…' On a Monotheistic Aspect of a Jāhiliyya Practice” in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 2 (1980): 33-57. * Tobias Nünlist: ''Dämonenglaube im Islam: eine Untersuchung unter besonderer Berücksichtigung schriftlicher Quellen aus der vormodernen Zeit (600–1500)''. Berlin: De Gruyter 2015. * Otto Procksch: ''Über die Blutrache bei den vorislamischen Arabern und Mohammeds Stellung zu ihr.'' Leipzig: Teubner 1899. [https://archive.org/details/bub_gb_YmItAAAAYAAJ/page/n3/mode/2up Digitalisat] * Uri Rubin: „The Kaʿba: Aspects of its Ritual Functions and Position in Pre-Islamic and Early Islamic Times” in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 13 (1986) 97-131. [https://www.academia.edu/6119022/_The_Kaba_Aspects_of_its_Ritual_Functions_ Digitalisat] * Uri Rubin: „Ḥanīfiyya and Kaʿba: An Inquiry into the Arabian Pre-Islamic Background of dīn Ibrāhīm“ in ''Jerusalem Studies in Arabic and Islam'' 13 (1990) 85–112. [https://www.academia.edu/6065751/_Hanifiyya_and_Kaba_An_Inquiry_into_the_Arabian_Pre-Islamic_Background_of_Din_Ibrahim_ Digitalisat] * [[w:Julius Wellhausen|Julius Wellhausen]]: ''Reste arabischen Heidentums.'' 2. Aufl. Berlin: Reimer 1897. [https://archive.org/details/restearabischen00wellgoog/page/n7 Digitalisat] == 1.5. Fragen und Aufgaben == 1. Erklären Sie, wie arabische Wörter aufgebaut sind. 2. Geben Sie einen Überblick über die Geschichte des Begriffs „Islam“. 3. Beschreiben Sie, wie die vorislamische arabische Gesellschaft organisiert war. 4. Aus welchen Elementen bestand der Haddsch in vorislamischer Zeit und wann fand er statt? 5. Beschreiben Sie die politische Situation der Stadt Mekka um das Jahr 600. 6. In welcher Weise waren Judentum und Christentum in vorislamischer Zeit auf der Arabischen Halbinsel präsent? 7. Welche Rituale und Vorstellungen waren in vorislamischer Zeit mit der Kaaba von Mekka verbunden? == Einzelnachweise == <references/> {{Bamberger Einführung in die Geschichte des Islams (BEGI)/Navigation}} 6b0vnyhyppmo8b3rv1u1jndglr8oo1g 106 120584 1079136 1079025 2026-05-10T15:34:57Z Bert Niehaus 20843 Bert Niehaus verschob die Seite [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)]] nach [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen: Slash im Titel von 1/z entfernt - da als Unterseite interpretiert 1079025 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Wir untersuchen hier Folgen gegen <math>0 \in \mathbb{C}</math> und das Verhalten von <math>f(z)= e^{\frac{1}{z}}</math> für diese Folgen, die gegen die wesentliche Singularität 0 konvergieren. Dieses konstruktive Vorgehen zeigt, dass es für jeden Bildpunkt in <math>w \in \mathbb{C}</math> und in jeder punktierten <math>\varepsilon</math>-Umgebung um 0 eine Folge <math>\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> existiert, deren Bildfolge <math>\left(f(z^{(n)})\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>w \in \mathbb{C}</math> konvergiert. == Laurant-Reihe für exp(1/z) == Zunächst notieren wir die Laurent-Reihe für <math>f(z)= e^{\frac{1}{z}}</math> mit <math>z=z_1+iz_2 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> über die Definition der Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o=0</math>. :<math>f(z)= e^{\frac{1}{z}} = e^{z^{-1}} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{-n}}{n!} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} \frac{z^{n}}{(-n)!} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} \frac{1}{(-n)!}\cdot z^{n}</math>. Berechnen Sie nun die Laurent-Entwicklung <math>f(z)= e^{\frac{1}{z}}</math> mit einem Entwicklungspunkt <math>z_o\not=0</math>! == Bildpunkte von punktierten <math>\varepsilon</math>-Umgebungen == Als Spezialfall des Satzes von Casorati-Weierstrass zeigen wir konstruktiv für <math>f(x):=e^{\frac{1}{z}}</math>: :<math>\forall_{w \in \mathbb{C}} \exists{\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb{N}}}</math> mit :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} z^{(n)}= 0 </math> :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(z^{(n)})= w = w_1 + i w_2</math> == Beweis (konstruktiv) == Für die Bildpunkte <math>w=w_1+iw_2 \in \mathbb{C}</math> wird eine Fallunterscheidung * '''Fall 1:''' <math>w\not= 0</math> * '''Fall 2:''' <math>w= 0</math> vorgenommen. === Fall 1: === Sei <math>w=w_1+iw_2 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> beliebig gewählt. Sei <math> w\not= 0</math>. Definieren Sie eine Folge <math>\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> in <math>z^{(n)} = z^{(n)}_1 + i z^{(n)}_2 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> mit :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} z^{(n)}= 0 </math> :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(z^{(n)})= w = w_1 + i w_2</math> === Folgendefinition (Fall 1) === Wir verwenden die Polarkoordinatendarstellung von <math>w=w_1+iw_2 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> mit :<math>w=w_1+iw_2= |w| \cdot (\cos(\alpha)+ i \cdot \sin(\alpha)) = |w| \cdot e^{i\alpha}</math> :<math>z^{(n)} = z^{(n)}_1 + i z^{(n)}_2 = \frac{1}{log(|w|) + i \cdot (\alpha + 2 \pi n)}\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> === Konvergenzeigenschaft (Fall 1) === Wir zeigen die obige Konvergenzeigenschaft: :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left(z^{(n)}\right) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left( \frac{1}{log(|w|) + i \cdot (\alpha + 2 \pi n)} \right) </math> ::<math> = \displaystyle \lim_{n \to \infty} e^{log(|w|) + i \cdot (\alpha + 2 \pi n)} = \displaystyle \lim_{n \to \infty} |w| \cdot e^{i\alpha + 2 \pi i n} </math> ::<math> = |w| \cdot e^{i\alpha} = w = w_1 + i w_2</math> === Bemerkung zur Folgendefinition (Fall 1) === Die Folgenglieder <math>z^{(n)} = \frac{1}{log(|w|) + i \cdot (\alpha + 2 \pi n)}\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> werden Quotient definiert, um die durch doppelte Reziprokanwendung den Exponent von <math> e </math> im Nenner von <math>z^{(n)} </math> angeben zu können. In die Gleichungskette oben wird die Periodizität von <math> e^{it} </math> mit <math>2\pi</math> ausgenutzt. Der Term <math>2\pi n</math> im Nenner ändern nicht den Funktionswert von <math>f(z^{(n)}) </math>. Dieser Term ist aber notwendig, damit <math>(z^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} </math> gegen 0 konvergiert. === Fall 2: === Sei <math>w= 0</math>. Definieren Sie eine Folge <math>\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> in <math>z^{(n)} = z^{(n)}_1 + i z^{(n)}_2 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> mit :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} z^{(n)}= 0 </math> :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(z^{(n)})= 0</math> === Folgendefinition (Fall 2) === Wir verwenden die Eigenschaft der Exponentialfunktional aus <math>\mathbb{R}</math> mit <math>w=0</math> mit :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} e^{-n} = 0</math> :<math>z^{(n)} = z^{(n)}_1 + i z^{(n)}_2 = -\frac{1}{n} + i \cdot 0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> === Konvergenzeigenschaft (Fall 2) === Wir zeigen nun die obigen Konvergenzeigenschaften! :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} z^{(n)}= \displaystyle \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0 </math> :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left(z^{(n)}\right) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left(-\frac{1}{n}\right)= \displaystyle \lim_{n \to \infty} e^{-n} = 0</math> == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z) https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z) Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z) * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example - exp(1/z)]]</noinclude> g61mpxxwcjjez22a7ucqa5wka6eun7d 1079138 1079136 2026-05-10T15:37:56Z Bert Niehaus 20843 /* Seiteninformation */ 1079138 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Wir untersuchen hier Folgen gegen <math>0 \in \mathbb{C}</math> und das Verhalten von <math>f(z)= e^{\frac{1}{z}}</math> für diese Folgen, die gegen die wesentliche Singularität 0 konvergieren. Dieses konstruktive Vorgehen zeigt, dass es für jeden Bildpunkt in <math>w \in \mathbb{C}</math> und in jeder punktierten <math>\varepsilon</math>-Umgebung um 0 eine Folge <math>\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> existiert, deren Bildfolge <math>\left(f(z^{(n)})\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> gegen <math>w \in \mathbb{C}</math> konvergiert. == Laurant-Reihe für exp(1/z) == Zunächst notieren wir die Laurent-Reihe für <math>f(z)= e^{\frac{1}{z}}</math> mit <math>z=z_1+iz_2 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> über die Definition der Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>z_o=0</math>. :<math>f(z)= e^{\frac{1}{z}} = e^{z^{-1}} = \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{-n}}{n!} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} \frac{z^{n}}{(-n)!} = \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{0} \frac{1}{(-n)!}\cdot z^{n}</math>. Berechnen Sie nun die Laurent-Entwicklung <math>f(z)= e^{\frac{1}{z}}</math> mit einem Entwicklungspunkt <math>z_o\not=0</math>! == Bildpunkte von punktierten <math>\varepsilon</math>-Umgebungen == Als Spezialfall des Satzes von Casorati-Weierstrass zeigen wir konstruktiv für <math>f(x):=e^{\frac{1}{z}}</math>: :<math>\forall_{w \in \mathbb{C}} \exists{\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb{N}}}</math> mit :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} z^{(n)}= 0 </math> :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(z^{(n)})= w = w_1 + i w_2</math> == Beweis (konstruktiv) == Für die Bildpunkte <math>w=w_1+iw_2 \in \mathbb{C}</math> wird eine Fallunterscheidung * '''Fall 1:''' <math>w\not= 0</math> * '''Fall 2:''' <math>w= 0</math> vorgenommen. === Fall 1: === Sei <math>w=w_1+iw_2 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> beliebig gewählt. Sei <math> w\not= 0</math>. Definieren Sie eine Folge <math>\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> in <math>z^{(n)} = z^{(n)}_1 + i z^{(n)}_2 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> mit :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} z^{(n)}= 0 </math> :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(z^{(n)})= w = w_1 + i w_2</math> === Folgendefinition (Fall 1) === Wir verwenden die Polarkoordinatendarstellung von <math>w=w_1+iw_2 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> mit :<math>w=w_1+iw_2= |w| \cdot (\cos(\alpha)+ i \cdot \sin(\alpha)) = |w| \cdot e^{i\alpha}</math> :<math>z^{(n)} = z^{(n)}_1 + i z^{(n)}_2 = \frac{1}{log(|w|) + i \cdot (\alpha + 2 \pi n)}\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> === Konvergenzeigenschaft (Fall 1) === Wir zeigen die obige Konvergenzeigenschaft: :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left(z^{(n)}\right) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left( \frac{1}{log(|w|) + i \cdot (\alpha + 2 \pi n)} \right) </math> ::<math> = \displaystyle \lim_{n \to \infty} e^{log(|w|) + i \cdot (\alpha + 2 \pi n)} = \displaystyle \lim_{n \to \infty} |w| \cdot e^{i\alpha + 2 \pi i n} </math> ::<math> = |w| \cdot e^{i\alpha} = w = w_1 + i w_2</math> === Bemerkung zur Folgendefinition (Fall 1) === Die Folgenglieder <math>z^{(n)} = \frac{1}{log(|w|) + i \cdot (\alpha + 2 \pi n)}\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> werden Quotient definiert, um die durch doppelte Reziprokanwendung den Exponent von <math> e </math> im Nenner von <math>z^{(n)} </math> angeben zu können. In die Gleichungskette oben wird die Periodizität von <math> e^{it} </math> mit <math>2\pi</math> ausgenutzt. Der Term <math>2\pi n</math> im Nenner ändern nicht den Funktionswert von <math>f(z^{(n)}) </math>. Dieser Term ist aber notwendig, damit <math>(z^{(n)})_{n \in \mathbb{N}} </math> gegen 0 konvergiert. === Fall 2: === Sei <math>w= 0</math>. Definieren Sie eine Folge <math>\left(z^{(n)}\right)_{n\in \mathbb{N}}</math> in <math>z^{(n)} = z^{(n)}_1 + i z^{(n)}_2 \in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> mit :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} z^{(n)}= 0 </math> :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(z^{(n)})= 0</math> === Folgendefinition (Fall 2) === Wir verwenden die Eigenschaft der Exponentialfunktional aus <math>\mathbb{R}</math> mit <math>w=0</math> mit :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} e^{-n} = 0</math> :<math>z^{(n)} = z^{(n)}_1 + i z^{(n)}_2 = -\frac{1}{n} + i \cdot 0\in \mathbb{C}\setminus \{0\}</math> === Konvergenzeigenschaft (Fall 2) === Wir zeigen nun die obigen Konvergenzeigenschaften! :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} z^{(n)}= \displaystyle \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0 </math> :<math>\displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left(z^{(n)}\right) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left(-\frac{1}{n}\right)= \displaystyle \lim_{n \to \infty} e^{-n} = 0</math> == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z) https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Example - exp(1/z)]]</noinclude> adgm5abjuzj0d8pughdbwx91l5xuppu 0 151254 1079147 1021628 2026-05-11T08:51:05Z Bocardodarapti 2041 1079147 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei zuerst {{ Relationskette/display | m | < | {{op:Minimumpaar|\ell|n}} || || || |SZ=. }} Wir nennen das Minimum rechts {{math|term= k |SZ=.}} Wir wählen Teilmengen {{ Relationskette | S || L || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | T || N || || || |SZ= }} mit jeweils {{math|term= k |SZ=}} Elementen und eine bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= \tilde{h} | S |T || |SZ=. }} Diese erweitern wir zu einer Abbildung {{ Abbildung/display |name=h | L |N || |SZ=, }} indem wir die Werte zu Elementen aus {{mathl|term= L \setminus S |SZ=}} irgendwie festlegen. Das Bild von {{math|term= h |SZ=}} besitzt zumindest {{math|term= k |SZ=}} Elemente. Diese Abbildung kann nicht durch {{math|term= M |SZ=}} faktorisieren, da {{math|term= M |SZ=}} weniger als {{math|term= k |SZ=}} Elemente besitzt. Die Gesamtabbildung ist also nicht surjektiv. Es sei nun {{ Relationskette/display | m | \geq| {{op:Minimumpaar|\ell|n}} || || || |SZ=. }} Dabei sei zunächst {{ Relationskette/display | \ell || {{op:Minimumpaar|\ell|n}} || || || |SZ=. }} Daher gibt es eine injektive Abbildung von {{math|term= L |SZ=}} nach {{math|term= M |SZ=,}} und wir fixieren eine injektive Abbildung {{ Abbildung/display |name=f | L | M || |SZ=. }} Es sei {{ Abbildung/display |name=h | L |N || |SZ= }} vorgegeben. Wir definieren {{ Abbildung/display |name=g | M | N || |SZ= }} durch {{ Relationskette/display | g(y) || \begin{cases} h( x ), \text{ falls } y {{=}} f(x) \\ \, z \text{ sonst} \, , \end{cases} || || || |SZ= }} wobei {{ Relationskette | z | \in | N || || || |SZ= }} fixiert ist. Dabei ist {{ Relationskette/display | (g \circ f)(x) || g(f(x)) || h(x) || || |SZ= }} nach Konstruktion. Es sei nun {{ Relationskette/display | n || {{op:Minimumpaar|\ell|n}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | n || 0 || || || |SZ= }} ist die Aussage direkt klar, sei also {{ Relationskette | n | \geq | 1 || || || |SZ=. }} Dann gibt es eine surjektive Abbildung von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= L |SZ=,}} und wir fixieren eine surjektive Abbildung {{ Abbildung/display |name=g | M |N || |SZ=. }} Es sei {{ Abbildung/display |name=h | L |N || |SZ= }} vorgegeben. Wir definieren {{ Abbildung/display |name=f | L |M || |SZ= }} durch {{ Relationskette/display | f(x) || y || || || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette | y | \in | M || || || |SZ= }} ein Element mit {{ Relationskette/display | g(y) || h(x) || || || |SZ= }} ist. Dabei ist {{ Relationskette/display | (g \circ f)(x) || g(f(x)) || h(x) || || |SZ= }} nach Konstruktion. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9ami67pwcywohajshaul95x0fmgtrzt 106 157136 1079145 1004022 2026-05-11T08:31:55Z Gerdclimate 39234 /* Beiträge zum Projekt WikiClimatechange von anderen Nutzer*innen */ 1079145 wikitext text/x-wiki ==Beiträge zum Projekt WikiClimatechange von anderen Nutzer*innen== Bereits auf Wikiversity veröffentlichte Beiträge zu unserem Projekt finden sich aktuell unter folgenden Rubriken: {{Kasten|Text= {{Navigation Kursmodule|Fiktionale Texte}} # Gedicht: "Freiburg, unsere Fahrradstadt" # Kurzgeschichte: "Die Reise des Plastikmülls" {{Navigation Kursmodule|Persönliche Texte}} # Klimaplan - "Persönliche Erfahrungen 1" # Klimaplan - "Persönliche Erfahrungen 2" # Klimaplan - "Persönliche Erfahrungen 3" {{Navigation Kursmodule|Sachtexte}} # "Fleisch, das Klima und Wir" # "Die gute Seele vom Bio-Markt in Puebla: Eine Umweltreportage aus México" # "Reportage zur Bell Repos Nachhaltigkeitsinitiative an der Costa Brava" {{Navigation Kursmodule|Visuelle Darstellungen}} # "Ein Klimaplan für Freiburg" # "https://historiasdecarrerasraramuri.my.canva.site/startseite" {{Navigation Kursmodule|Video- und Audio-Beiträge}} }} {{Navigation Kursmodule|Aufgabenarrangements für Unterricht, Berufsausbildung und Studium}} # Aufgabencluster für die Hochschule auf dem Weg zur Klimaneutralität # Schreibarrangement: "Deutsch, Nachhaltigkeit, Comic" # Schreibarrangement: "Sport, Nachhaltigkeit, Comic" # Schreibarrangement: "Lebensmittelverschwendung" # Schreibarrangement: "Unterrichtsidee zum Biomüll" # Schreibwerkstatt der Generationen: "Visionen für eine zukunftsfähige Welt" '''Anleitung für neue Beiträge:''' == Teilnehmen — Wie geht das? == # Lokalen Klimawandel beobachten und mithilfe von Bildern, Text, Ton (u.a.) beschreiben # Die Ursachen dieser lokalen Klimaveränderungen und deren Folgen für das unmittelbare Lebensumfeld erklären (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich) # Wege im lokalen und individuellen Umgang mit den Ursachen und Folgen der Klimaveränderung entwerfen und ggf. bereits vorhandene Aktionen zeigen (ebenfalls mit verschiedenen Medien möglich) ''Um einen Beitrag ohne viel Aufwand beizusteuern, kannst du ihn einfach an folgende Mail schicken: infoSCHREIBZENTRUM@ph-freiburg.de. Das Team kümmert sich dann um die Einbettung auf der Website. Möchtest du selbstständig einen Beitrag auf WikiCLIMATEchange veröffentlichen, hilft dir hoffentlich folgende Anleitung * Einen Wiki-Account anlegen: https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Spezial:Benutzerkonto_anlegen&returnto=Hauptseite * Den eigenen Beitrag in WikiCLIMATEchange einfügen: # Eine Rubrik für den eigenen Beitrag wählen (https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:WikiCLIMATEchange/Beitr%C3%A4ge) # um in den Bearbeitungsmodus der Seite zu kommen: auf "Bearbeiten" klicken (auf der Seite rechts oben)/optional über Tastenkombination "alt"+"shift"+"e" # eigenen Beitrag benennen im Stil "==" (um eine Überschrift zu generieren) + "Name in Anführungszeichen" # anschließend darunter eigene Datei hinzufügen über: Menüband oben -> Bilder und Medien (Grafik eines schwarzen Rechtecks mit zwei hellen Dreiecken) -> entsprechende Datei hochladen (bestätigen, dass es sich um eigenes Werk handelt sowie Namen und Beschreibung hinzufügen) -> Ausrichtung: links; Format: gerahmt -> "Einfügen" und ganz hinten einen Punkt setzen(".", sonst wird folgende Überschrift nicht richtig angezeigt) '' # auf der Beiträge-Übersichtsseite eigenen Beitrag entsprechend ergänzend: wieder über "Bearbeiten"; unter gewählter Rubrik eine "#" + (Raute markiert Nummerierung; bestenfalls Reihenfolge in Rubrik beibehalten zur Orientierung!) + den selbst gewählten Titel des Beitrags '' Vielen Dank für euer Engagement und viel Spaß beim Ausprobieren'' 0fmcb9kk78w2rsa6t75ocy8j3iipp9a 106 168362 1079162 1079061 2026-05-11T10:39:28Z Paul Sutermeister 37610 1079162 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Office Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 20.</ref> und auf dem [[:w:International Certification of Digital Literacy|ECDL]]-Syllabus.<ref>Für Word, Excel, Computer- und Online-Grundlagen: [https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/Downloads/Syllabus_Standard_web.pdf ''ECDL Standard Syllabus'']. Für PowerPoint: [https://www.ecdl.ch/fileadmin/ECDL/CH/Dokumente/ECDL-Syllabus-Base-de.pdf ''ECDL Base Syllabus''].</ref> Die ECDL-Tests '''Textverarbeitung (= Word)''', '''Tabellenkalkulation (= Excel)''' und '''Präsentation (= PowerPoint)''' werden absolviert. Wichtige Lehrmittel (neben [[:Kategorie:Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)|Wikiversity-Seiten]]) sind die Website easy4me.info der [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichischen Computer Gesellschaft]]<ref>[https://www.easy4me.info/ ''Easy4me: Arbeitsblätter, Übungsdateien und Onlineübungen.''] [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichische Computer Gesellschaft]]</ref> und die [[:w:Herdt-Verlag|Herdt]]-Bände 2<ref>''Office Skills Word 2019 – Schriftliche Kommunikation Handelsdiplom VSH 2/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-072-5</ref> und 3<ref>''Office Skills Excel 2019 – PowerPoint 2019 Handelsdiplom VSH 3/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-071-8</ref>. <small>(kleine Programmänderungen vorbehalten)</small> {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 9.-12. Februar 2026</br>[[Datei:Microsoft_Office_Word_(2025–present).svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:Textverarbeitung|A - Textverarbeitung (Programm bedienen)]]''':</br>'''[[Kurs:Textverarbeitung/Text|B - Grundlegende Techniken (Text eingeben)]]'''</br>[[Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)/Textformatierung|Zeichenformatierung]] | easy4me</br>Herdt 2/3, Seiten 14-41 |- | 16.-19. Februar | '''[[Kurs:Textverarbeitung/Formatierung|C - Text übersichtlich machen]]'''</br>Absätze formatieren</br>Tabulatoren</br>Dokumente gestalten | easy4me</br>Herdt 2/3, Seiten 42-70 |- | 23.-26. Februar | '''[[Kurs:Textverarbeitung/Objekt|D - Bilder und Tabellen einfügen]]'''</br>Abbildungen einfügen</br>Mit Tabellen / Objekten arbeiten</br>'''Korrespondenz''': Regelkonforme Dokumentdarstellung</br>Gängiger Geschäftsverkehr – Einleitung, Anfrage, Angebot/Offerte usw. | easy4me</br>Herdt 2/3, Seiten 71-90 und Seiten 122-183 |- | 2.-5. März | '''[[Kurs:Textverarbeitung/Serie|E - Eine Serie machen]]'''</br>'''[[Kurs:Textverarbeitung/Ausgabe|F - Druckfertig machen]]'''</br>Kopf- und Fusszeile</br>Korrekturhilfen</br><!--Korrespondenz: Stilregeln--> | easy4me</br>Herdt 2/3, Seiten 91-108 |- | 9.-12. März | Verweise, Gesamtrepetition, alte Diplomprüfungen Teil Textverarbeitung | easy4me</br>Herdt 2/3, Seiten 109-113 |- | 16.-19. März | <span style="color:red;">'''ECDL Textverarbeitung'''</span> | easy4me</br> |- | 23.-26. März</br>[[Datei:Microsoft_Office_Excel_(2025–present).svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:Tabellenkalkulation|A - Tabellenkalkulation (Programm bedienen)]]'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Zelle|B - Zellen]]''' formatieren, mit Formeln arbeiten</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Arbeitsblatt|C - Arbeitsblatt]]''': ausfüllen, kopieren und verschieben | easy4me</br>Herdt 3/3, Seiten 16-67</br>[https://zenodo.org/records/15796617 Grundrechenarten], [https://zenodo.org/records/16750288 Ausfüllen Rechnen Prozente] |- | 30. März - 2. April | '''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formel und Funktion|D - Funktionen]]''' | [https://zenodo.org/records/15033093 SUMME, MITTELWERT], [https://zenodo.org/records/18051993 MAX, MIN], WENN (easy4me), [https://zenodo.org/records/15298974 ANZAHL, ZÄHLENWENN]</br>Herdt 3/3, Seiten 72-82 |- | 20.-23. April | '''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Formatierung|E - Formatierung]]'''</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Diagramm|F - Diagramme]]''' erstellen und gestalten.</br>'''[[Kurs:Tabellenkalkulation/Ausgabe|G - Veröffentlichen]]'''</br>Bonus: Zeitberechnungen durchführen. | easy4me</br>Herdt 3/3, Seiten 83-100</br>[https://zenodo.org/records/18144586 Diagramm] |- | 27.-30. April | Alte Diplomprüfungen Teil Tabellenkalkulation | easy4me</br> |- | 4.-7. Mai | <span style="color:red;">'''ECDL Tabellenkalkulation'''</span> | easy4me</br> |- | 11. Mai</br>[[Datei:Microsoft_Office_PowerPoint_(2025–present).svg|frameless|50px]] | '''[[Kurs:Präsentationsprogramm|A - Präsentation (Programm bedienen)]]'''</br>'''[[Kurs:Präsentationsprogramm/Folie|B - Folie]]''' (Normalansicht und Folienmaster)</br>'''[[Kurs:Präsentationsprogramm/Text|C - Text]]'''</br>'''[[Kurs:Präsentationsprogramm/Diagramm|D - Diagramm]]''' | easy4me</br>Herdt 3/3, Seiten 129-178</br> |- | 18.-21. Mai | '''[[Kurs:Präsentationsprogramm/Objekt|E - weitere Objekte]]''' (Tabellen, WordArt, Bilder und AV-Medien)</br>'''[[Kurs:Präsentationsprogramm/Ausgabe|F - Präsentieren]]''' (Folienübergänge, Animationen, Kopf- und Fusszeile) | easy4me</br>Herdt 3/3, Seiten 179-185</br> |- | 1.-4. Juni | Alte Diplomprüfungen Teil Präsentation | easy4me</br> |- | 8.-11. Juni | <span style="color:red;">'''ECDL Präsentation'''</span> | easy4me</br> |- | 15.-19. Juni | Alte Diplomprüfungen | easy4me</br> |- | 22.-25. Juni | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> | |- | 29. Juni (Online-Präsenz ist möglich) und Teil Asynchron | [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] insgesamt 12 Lektionen | |} = Lehrmittel = * [https://www.easy4me.info/ ''Easy4me: Arbeitsblätter, Übungsdateien und Onlineübungen.''] [[:w:Österreichische Computer Gesellschaft|Österreichische Computer Gesellschaft]] * ''Office Skills Word 2019 – Schriftliche Kommunikation Handelsdiplom VSH 2/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-072-5 * ''Office Skills Excel 2019 – PowerPoint 2019 Handelsdiplom VSH 3/3.'' [[:w:Herdt-Verlag|Herdt-Verlag]], 2022. ISBN 978-3-98569-071-8 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] t4u44icc05ja9f98pbsafndi7qrv7om 106 168622 1079168 1071824 2026-05-11T10:46:14Z Bocardodarapti 2041 1079168 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|12| In dieser Vorlesung besprechen wir Restklassenbildung. Dies ist ein wichtiger Spezialfall der Bildung einer Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation. Ein zusätzlicher Aspekt ist, dass man auf diesen Quotientenmengen Verknüpfungen hat, die sich von der Startmenge her vererben. Unmittelbare Anwendungen sind ein besseres Verständnis der Division mit Rest der ganzen Zahlen, insbesondere der algebraischen Struktur der Reste. Um die folgenden Aussagen prägnanter formulieren zu können, brauchen wir eigene Begriffe für strukturerhaltende Abbildungen, das sind Abbildungen, die mit den gegebenen Verknüpfungen verträglich sind. {{ inputdefinition |Gruppenhomomorphismus/Definition|| }} Beispielsweise ist eine lineare Abbildung insbesondere ein Gruppenhomomorphismus. {{ inputdefinition |Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|Restklassengruppen}} {{:Restklassengruppen/Kommutativ/Z mod n/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Zwischenüberschrift|Restklassenringe}} {{:Restklassenbildung/Kommutative Ringe/Ideal/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Die Restklassenringe von {{math|term= \Z |SZ=}}}} Für uns sind die Restklassenringe zum Ring {{math|term= \Z |SZ=}} und zu den Idealen {{math|term= \Z n |SZ=}} die wichtigsten Beispiele. Die praktische Bedeutung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt darin, dass man mit Resten nahezu gedankenlos rechnen darf, wenn man sich für das Restergebnis interessiert. Es ist egal, wann und wie oft man Zahlen durch ihre Reste oder durch andere Zahlen mit dem gleichen Rest ersetzt. In {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Division mit Rest/N/qd+s/Rest/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Division mit Rest/N/Addition und Multiplikation/Aufgabe |Nr= |SZ= }} hatten wir dies teilweise schon direkt nachgewiesen. Durch die Konstruktion erhalten wir für jede natürliche Zahl {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} einen kommutativen Ring mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen. Der folgende Satz charakterisiert, wann es sich um einen Körper handelt. {{ inputfaktbeweis2 |Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt|Satz|| || }} Der Beweis zeigt auch, wie man zu einem Element {{math|term= r |SZ=}} zwischen {{math|term= 1 |SZ=}} und der Primzahl {{math|term= p |SZ=}} das Inverse in {{mathl|term= {{op:Zmod|p}} |SZ=}} findet. Man muss mit Hilfe des euklidischen Algorithmus in {{math|term= \Z |SZ=}} eine Darstellung der {{math|term= 1 |SZ=}} finden. Aus {{ Relationskette/display | ar+b p || 1 || || || |SZ= }} lässt sich dann ablesen, dass die Restklasse von {{math|term= a |SZ=}} das inverse Element zu {{math|term= r |SZ=}} ist. {{ inputbeispiel |Körper/7 Elemente/Einführung/2/Beispiel|| }} }} pt4sc7cwgfn7t7w7v6r1oqcxp4pioqk 106 169088 1079169 1071878 2026-05-11T10:48:23Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1079169 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|11|14|Kurs=|}} k87peq5ky743f94tg3iofp0u3zeu564 0 170171 1079144 1079037 2026-05-11T07:27:37Z C.Koltzenburg 13981 1079144 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] = Berichtsstruktur mit Beispielformulierungen = Siehe auch: [[Anamneseberichte/1._Satz|Reihenfolge der Symptome im 1. Satz]] == nur Stichworte (Blatt 1) == [VN NN] <br /> Sina Gowitz <br /> [A + GD] <br /> 22 J., 18.04.2002 <br /> [Gewicht] <br /> 80 kg <br /> [Größe] <br /> 184 cm <br /> [DE ist ein "Kommaland", also: 1,84 m (Dezimaltrennzeichen)] [All/Unv] <br /> Amoxicillin - Dyspnoe <br /> Apfel, Kiwi, Ananas - Pruritus, Hauterythem [Noxen] <br /> Nikotin: <br /> Nichtraucherin C2: <br /> | trinke 1 Bier geleg., alle 3 Wochen im Sommer, alle 6 Wochen im Winter <br /> | trinke 2-3 Fl. Bier alle 3-6 Wochen, teils alkoholfrei(es Bier) <br /> [+ Verb im Konjunktiv I, denn zu Alkoholsucht gehört, dass die Menge geleugnet wird, also sind Sie anamnestisch bei diesen Angaben vorsichtig, also auch bei Stichworten mit Konjunktiv I] Drogenkonsum: <br /> | wurde verneint [Passiv] <br /> | habe vor 1 Jahr einmal Cannabis probiert <br /> [+ Verb im Konjunktiv I] [SozA] <br /> Physikstudentin, wohnt in einer Wohngemeinschaft/ WG <br /> [FA] <br /> Mutter: Herzinsuffizienz <br /> Vater: M. Bechterew, Pyelonephritis (?) <br /> Bruder: Pyelonephritis (?) <br /> <-- Ende des Abschnitts im Stichwortstil <br /> ab hier --> == Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) == === Reihenfolge der Symptome im 1. Satz === - mit dem schlimmsten Symptom starten bzw. mit dem Symptom starten, weswegen jemand kommt (das zur Vorstellung geführt hat), <br /> - falls uneindeutig / viele Symptome / alle ähnlich "schlimm": dann mit dem starten, was die Patientin zuerst nannte, <br /> - die Leitsymptome sollten zur Diagnose passen <br /> - bei Polytrauma: lebensbedrohliche Symptome/Verletzungen zuerst. <br /> '''''C. ist am besten, weil es am schnellsten geht (wenn man die Syntax verstanden hat).''''' === 1. Satz (oder 1-3 Sätze) === ==== A. [Beginn: Variante 1 (mit + Dativ)] ==== [in 3 Sätzen] Die Patientin stellte sich mit akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts vor, die gestern Abend plötzlich aufgetreten seien. Ursprünglich waren die Schmerzen im Epigastrium lokalisiert, aber innerhalb von 2 Stunden seien sie in den rechten Unterbauch gewandert. Die Patientin gab die Schmerzen mit 7 von 10 NRS an. ==== B. [1. Satz: Variante 2 (wegen + Dativ)] ==== [im Relativsatz mit Konjunktiv I] Frau Gowitz kam heute zu uns wegen seit dem Vorabend bestehenden, akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), die zuerst um den Nabel herum gewesen seien. ==== C. [1. Satz: Variante 3 (aufgrund + Genitiv)] ==== [mit verkürztem Relativsatz und mehr FS] Die Patientin stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vorabend bestehender, akuter, progredienter, dumpfer Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), aus der Regio umbilicalis in die Regio inguinalis dextra gewandert. === darauffolgende Abschnitte === [BS] <br /> | Begleitend fand/en sich: [+ Nominativ] <br /> | Begleitend nannte sie: [+ Akkusativ] <br /> | Begleitend besteht: [+ Nominativ] <br /> | Die Patientin gab an, Fieber zu haben (bis 39,0 °C, axillar gemessen). Außerdem klagte sie über Nausea. <br /> | Die Frage nach ... wurde verneint. [wiss. Sing., auch mehrere Fragen werden hier als Paket gesehen] <br /> [VA] <br /> | In der VA bestehen ... <br /> | In der vegetativen Anamnese nannte sie/ er: ... <br /> | In der vegetativen Anamnese zeigten sich Insomnie sowie Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist/ war unauffällig. <br /> | Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Insomnie und Inappetenz. <br /> [VE/VO] <br /> | An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: <br /> | Bei der Patientin sind folgende Vorerkrankungen bekannt: <br /> (| In der Vorgeschichte der Patientin finden sich:) <br /> | In der Vorgeschichte der Patientin fanden sich: <br /> Asthma bronchiale seit der Kindheit, Colon irritable seit 2 Jahren. | Keine Operationen sind bekannt. <br /> | Z.n Tibiafraktur 2021, Z.n Tonsillektomie mit 10 Jahren. <br /> | Bei der Patientin sind folgende Operationen durchgeführt worden: ..., ..., ... <br /> | Sie hat sich mit 10 Jahren einer Tonsillektomie '''unter'''zogen. <br /> | Sie hat sich 2021 eine Tibiafraktur '''zu'''gezogen, die operativ behandelt worden ist (Osteosynthese). <br /> [Med] <br /> | Die Anamnese der Medikation ergab: <br /> | Die Medikation ergab: <br /> | Die Medikation besteht aus <br /> Atrovent, Duspatolin bB, Paracetamol vor 2 Wochen während 3 Tagen. [RA] <br /> | Eine Reise nach Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | In der Reiseanamnese ist ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche bekannt. <br /> | Ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | Er sei vor einer Woche aus Südafrika zurückgekommen. <br /> [VD] <br /> | Meine VD lautet: akute Appendizitis. <br /> | Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine akute Appendizitis hin. <br /> | Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf [Artikel][VD] aus. <br /> [DD] <br /> | An Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht: <br /> | Differenzialdiagnostisch kommen in Betracht: <br /> Nephrolithiasis, Adnexitis, Eileiterschwangerschaft [M / diagnostische Maßnahmen] <br /> | Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: <br /> | Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: <br /> | An weiteren Maßnahmen empfehle ich: <br /> körperliche Untersuchung, Labor: großes, kleines Blutbild, Entzündungsparameter (CRP, BSG, Procalcitonin), Leber- und Nierenparameter, Elektrolyte, Abdomensonographie. [Th] <br /> | Therapeutisch empfehle ich: <br /> | Als Therapie empfehle ich bei Bestätigung der VD: <br /> | An therapeutischen Maßnahmen würde ich empfehlen: <br /> | Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: <br /> laparoskopische Appendektomie, Antibiotikatherapie, Flüssigkeitszufuhr. i160xcjeap18st6w2tm3s1aw42ly7vp 0 170237 1079142 1078876 2026-05-11T07:24:41Z C.Koltzenburg 13981 1079142 wikitext text/x-wiki Hier finden Sie einen Überblick zu Material für die FSP-Vorbereitung, aus Kursen von Dr. Claudia Koltzenburg, überwiegend für das Modell der FSPs in Karlsruhe, München, Reutlingen und Stuttgart. '''Teil 1: Ärztin-Patientin-Gespräch''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamnesegespr%C3%A4che|Beispiel-Anamnesegespräche]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Eröffnung|Beispiele für Eröffnungssätze beim Anamnesegespräch]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/ Redemittel|Redemittel: wie auf Aussagen oder Fragen von Patient*innen reagieren?]] * [[Anamnesegespr%C3%A4che/Diabetesfragen|Anamnesefragen bei Diabetes-Patienten]] * [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] '''Teil 2: Anamnesebericht (kleiner "Arztbrief")''' (20 Minuten Zeit) * [[Anamneseberichte|Beispiel-Anamneseberichte]] * [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Grammatik-Checklisten für die FSP]] * [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren]] Patientensprache =/= Fachsprache, Infos zur richtigen Verwendung von Konjunktiv I (Verben) * [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] * [[Anamneseberichte/1._Satz|Reihenfolge der Symptome im 1. Satz]] * [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] '''Teil 3: Ärztin-Ärztin-Gespräch''' (15-20 Minuten) * [[Patientenvorstellungen|Beispiel-Patient*innenvorstellungen]] * [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patient*innenvorstellung]] '''[[Fachbegriffe_FSP_Freiburg_Karlsruhe_Stuttgart_bis_inkl._Januar_2025|Fachbegriffe]], inklusive ANKI BaWü (fett markiert)''' (5 Minuten) * in Karlsruhe, Reutlingen und Stuttgart: 12 Fachbegriffe in 5 Minuten schriftlich, 10 davon richtig * in München werden Fachbegriffe in Teil 3 fallbezogen mündlich abgefragt qdncqzulte5ud9m1dh9wa0hzw7dz879 0 170282 1079132 1079127 2026-05-10T13:31:36Z Bocardodarapti 2041 1079132 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Variablentransformation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Gleichung für z/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichung für t/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Variablentransformation/Gleichungen/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Einbettung/Affine Gerade/Affiner Raum/Restklassenalgebra/Fakt|Lemma|| }} [[/Gleichungen]] [[/Matrixbeziehungen]] [[/Syzygienmodul]] {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Gleichungen/Ableitungen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Räumliche Knotenkurve/Zwei Gleichungen/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Raumkurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} kc7rcgjhrs6zvko7cxn5jk3ocyde71l 106 170316 1079140 1079120 2026-05-11T05:57:36Z Paul Sutermeister 37610 1079140 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Folie'''</big> </div> = Übung = # Füge am Ende der Präsentation drei neue Folien mit dem Layout ''Zwei Inhalte'' ein. # '''Lösche''' die Folie 3, wähle für Folie 1 das Layout Titelfolie. # '''Verschiebe''' die Folie 4 so, dass sie in dieser Präsentation als 3. Folie enthalten ist. # Füge die Grafik X.gif aus X:\X so ein, dass sie auf allen vorhandenen und jeder neuen Folie in der Ecke links unten angezeigt wird. # Entferne die Grafik, die automatisch auf jeder neuen Folie zu sehen ist. # Füge in der '''Fusszeile''' auf allen Folien ausser der Titelfolie deinen Namen ein. # Entferne in der Fusszeile den Text X. Lass in der Fusszeile auf allen Folien ausser auf Titelfolien die Foliennummer anzeigen. # Ändere das Folienlayout auf ''Nur Titel''. # Kopiere die Folie 2 in die Zwischenablage. Öffne die Präsentation X.pptx aus X:\X . Füge die Folie in X.pptx als letzte Folie ein. # Formatiere nur die eine Folie mit einem einfarbigen hellblauen Hintergrund. # Entferne in der Präsentation X.pptx von allen Folien die '''Hintergrundfarbe'''. # Weise der Präsentation X.pptx ein anderes '''Design''' zu. [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] hol2tl8mod8p2ln2op7nrbpl0ti2nav 1079151 1079140 2026-05-11T10:10:55Z Paul Sutermeister 37610 1079151 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''B - Folie'''</big> </div> = Übung = # Füge am Ende einer neuen leeren Präsentation drei neue Folien mit dem Layout ''Zwei Inhalte'' ein. # '''Lösche''' die Folie 3, wähle für Folie 1 das Layout ''Inhalt mit Überschrift''. # '''Verschiebe''' die Folie 2 so, dass sie in dieser Präsentation als 1. Folie enthalten ist. Weise ihr das Layout ''Titelfolie'' zu. # Füge das Wikiversität-Logo (oben links auf dieser Website) so ein, dass es auf allen vorhandenen und jeder neuen Folie in der Ecke links unten angezeigt wird. # Entferne die Grafik, die automatisch auf jeder neuen Folie zu sehen ist. # Füge in der '''Fusszeile''' auf allen Folien ausser der Titelfolie deinen Namen ein. # Entferne in der Fusszeile den Text. Lass in der Fusszeile auf allen Folien ausser auf Titelfolien die Foliennummer anzeigen. # Ändere das Folienlayout der Folien mit dem Layout ''Zwei Inhalte'' auf ''Nur Titel''. # Kopiere die Folie 2 in die Zwischenablage. Erstelle eine neue Folie. Füge die Folie in der Zwischenablage als letzte Folie ein. # Formatiere nur die erste Folie mit einem einfarbigen hellblauen Hintergrund. # Entferne in der Präsentation von allen Folien die '''Hintergrundfarbe'''. # Weise der Präsentation ein anderes '''Design''' zu. [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] eydtqseztalhnprlewayox6448542sx 106 170317 1079152 1079093 2026-05-11T10:17:30Z Paul Sutermeister 37610 1079152 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Text'''</big> </div> = Übung = # Gib auf der Titelfolie einen Titel unterstrichen ein, und im Untertitel deinen Namen. # Ändere beim Text die Schriftgrösse auf 25 Pt. # Entferne die '''Unterstreichung''' vom Titel. # Richte den Text '''rechtsbündig''' aus. # Kopiere untenstehende Aufzählung in eine neue Folie mit dem Layout ''Titel und Inhalt''. Verschiebe den ersten '''Aufzählung'''spunkt nach unten an das Ende der Aufzählung. # Entferne beim Aufzählungstext die Nummerierung. # Formatiere den Aufzählungstext mit einem Abstand von 13 Pt. nach jedem Absatz. # Formatiere die Aufzählung mit anderen Aufzählungszeichen in einer anderen Farbe. # Lösche im Aufzählungstext die Absätze X und Y. # Gib im Aufzählungstext als letzten Punkt ein: X # Stufe die beiden letzten Absätze um eine '''Ebene höher''', indem du den Einzug verkleinerst. # Stufe die Absätze X und X um eine '''Ebene tiefer''', sodass sie als Unterpunkt von Z angezeigt werden. # Tabelle: Korrigiere den Namen Maria Muster auf Maria Kuster. # Lies die Quizfrage und die möglichen Antworten. Tippe den Buchstaben der richtigen Antwort am Ende der Folie ein. * Zürich * Deutschland * Berlin * Italien * Rom * Schweiz * Bern [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] 8eaw3z9yakptkfuqooyruqg7skpixu2 1079153 1079152 2026-05-11T10:18:02Z Paul Sutermeister 37610 1079153 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Text'''</big> </div> = Übung = # Gib auf der Titelfolie einen Titel unterstrichen ein, und im Untertitel deinen Namen. # Ändere beim Text die Schriftgrösse auf 25 Pt. # Entferne die '''Unterstreichung''' vom Titel. # Richte den Text '''rechtsbündig''' aus. # Kopiere untenstehende Aufzählung in eine neue Folie mit dem Layout ''Titel und Inhalt''. Verschiebe den ersten '''Aufzählung'''spunkt nach unten an das Ende der Aufzählung. # Entferne beim Aufzählungstext die Nummerierung. # Formatiere den Aufzählungstext mit einem Abstand von 13 Pt. nach jedem Absatz. # Formatiere die Aufzählung mit anderen Aufzählungszeichen in einer anderen Farbe. # Lösche im Aufzählungstext die Absätze X und Y. # Gib im Aufzählungstext als letzten Punkt ein: X # Stufe die beiden letzten Absätze um eine '''Ebene höher''', indem du den Einzug verkleinerst. # Stufe die Absätze X und X um eine '''Ebene tiefer''', sodass sie als Unterpunkt von Z angezeigt werden. # Tabelle: Korrigiere den Namen Maria Muster auf Maria Kuster. # Lies die Quizfrage und die möglichen Antworten. Tippe den Buchstaben der richtigen Antwort am Ende der Folie ein. Zürich Deutschland Berlin Italien Rom Schweiz Bern [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] 479xopazxdg8mga4rt0ruz5b1mi38pp 1079154 1079153 2026-05-11T10:19:49Z Paul Sutermeister 37610 1079154 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Text'''</big> </div> = Übung = # Gib auf der Titelfolie einen Titel unterstrichen ein, und im Untertitel deinen Namen. # Ändere beim Text die '''Schriftgrösse''' auf 25 Pt. # Entferne die '''Unterstreichung''' vom Titel. # Richte den Text '''rechtsbündig''' aus. # Kopiere untenstehende Aufzählung in eine neue Folie mit dem Layout ''Titel und Inhalt''. Verschiebe den ersten '''Aufzählung'''spunkt nach unten an das Ende der Aufzählung. # Entferne beim Aufzählungstext die Nummerierung. # Formatiere den Aufzählungstext mit einem Abstand von 13 Pt. nach jedem Absatz. # Formatiere die Aufzählung mit anderen Aufzählungszeichen in einer anderen Farbe. # Lösche im Aufzählungstext die Absätze X und Y. # Gib im Aufzählungstext als letzten Punkt ein: X # Stufe die beiden letzten Absätze um eine '''Ebene höher''', indem du den Einzug verkleinerst. # Stufe die Absätze X und X um eine '''Ebene tiefer''', sodass sie als Unterpunkt von Z angezeigt werden. # Tabelle: Korrigiere den Namen Maria Muster auf Maria Kuster. # Lies die Quizfrage und die möglichen Antworten. Tippe den Buchstaben der richtigen Antwort am Ende der Folie ein. # Zürich # Deutschland # Berlin # Italien # Rom # Schweiz # Bern [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] g1qyrh47bg3r4s3nkteym4lrdo5q8r6 1079155 1079154 2026-05-11T10:20:24Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1079155 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Text'''</big> </div> = Übung = # Gib auf der Titelfolie einen Titel unterstrichen ein, und im Untertitel deinen Namen. # Ändere beim Text die '''Schriftgrösse''' auf 25 Pt. # Entferne die '''Unterstreichung''' vom Titel. # Richte den Text '''rechtsbündig''' aus. # Kopiere untenstehende Aufzählung in eine neue Folie mit dem Layout ''Titel und Inhalt''. Verschiebe den ersten '''Aufzählung'''spunkt nach unten an das Ende der Aufzählung. # Entferne beim Aufzählungstext die Nummerierung. # Formatiere den Aufzählungstext mit einem Abstand von 13 Pt. nach jedem Absatz. # Formatiere die Aufzählung mit anderen Aufzählungszeichen in einer anderen Farbe. # Lösche im Aufzählungstext die Absätze X und Y. # Gib im Aufzählungstext als letzten Punkt ein: X # Stufe die beiden letzten Absätze um eine '''Ebene höher''', indem du den Einzug verkleinerst. # Stufe die Absätze X und X um eine '''Ebene tiefer''', sodass sie als Unterpunkt von Z angezeigt werden. # Tabelle: Korrigiere den Namen Maria Muster auf Maria Kuster. # Lies die Quizfrage und die möglichen Antworten. Tippe den Buchstaben der richtigen Antwort am Ende der Folie ein. 1. Zürich 2. Deutschland 3. Berlin 4. Italien 5. Rom 6. Schweiz 7. Bern [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] 02tix2pl3rqd6cby7myb3zat8xcuogg 1079157 1079155 2026-05-11T10:21:49Z Paul Sutermeister 37610 1079157 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Text'''</big> </div> = Übung = # Gib auf der Titelfolie einen Titel unterstrichen ein, und im Untertitel deinen Namen. # Ändere beim Text die '''Schriftgrösse''' auf 25 Pt. # Entferne die '''Unterstreichung''' vom Titel. # Richte den Text '''rechtsbündig''' aus. # Kopiere untenstehende Aufzählung in eine neue Folie mit dem Layout ''Titel und Inhalt''. Verschiebe den ersten '''Aufzählung'''spunkt nach unten an das Ende der Aufzählung. # Wandle die Aufzählung in eine Nummerierung um. # Entferne beim Aufzählungstext die Nummerierung. # Formatiere den Aufzählungstext mit einem Abstand von 13 Pt. nach jedem Absatz. # Formatiere die Aufzählung mit anderen Aufzählungszeichen in einer anderen Farbe. # Lösche im Aufzählungstext die Absätze X und Y. # Gib im Aufzählungstext als letzten Punkt ein: X # Stufe die beiden letzten Absätze um eine '''Ebene höher''', indem du den Einzug verkleinerst. # Stufe die Absätze X und X um eine '''Ebene tiefer''', sodass sie als Unterpunkt von Z angezeigt werden. # Tabelle: Korrigiere den Namen Maria Muster auf Maria Kuster. # Lies die Quizfrage und die möglichen Antworten. Tippe den Buchstaben der richtigen Antwort am Ende der Folie ein. Zürich Deutschland Berlin Italien Rom Schweiz Bern [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] k5x3aekkzdpts6q8c0bgcluon6m4sic 1079159 1079157 2026-05-11T10:22:27Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1079159 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Text'''</big> </div> = Übung = # Gib auf der Titelfolie einen Titel unterstrichen ein, und im Untertitel deinen Namen. # Ändere beim Text die '''Schriftgrösse''' auf 25 Pt. # Entferne die '''Unterstreichung''' vom Titel. # Richte den Text '''rechtsbündig''' aus. # Kopiere untenstehende Aufzählung ''Zürich...'' in eine neue Folie mit dem Layout ''Titel und Inhalt''. Verschiebe den ersten '''Aufzählung'''spunkt nach unten an das Ende der Aufzählung. # Wandle die Aufzählung in eine Nummerierung um. # Entferne beim Aufzählungstext die Nummerierung. # Formatiere den Aufzählungstext mit einem Abstand von 13 Pt. nach jedem Absatz. # Formatiere die Aufzählung mit anderen Aufzählungszeichen in einer anderen Farbe. # Lösche im Aufzählungstext die Absätze X und Y. # Gib im Aufzählungstext als letzten Punkt ein: X # Stufe die beiden letzten Absätze um eine '''Ebene höher''', indem du den Einzug verkleinerst. # Stufe die Absätze X und X um eine '''Ebene tiefer''', sodass sie als Unterpunkt von Z angezeigt werden. # Tabelle: Korrigiere den Namen Maria Muster auf Maria Kuster. # Lies die Quizfrage und die möglichen Antworten. Tippe den Buchstaben der richtigen Antwort am Ende der Folie ein. Zürich Deutschland Berlin Italien Rom Schweiz Bern [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] e9dadfh9zsmyna3tr9hr80afck5lltj 1079161 1079159 2026-05-11T10:35:27Z Paul Sutermeister 37610 1079161 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''C - Text'''</big> </div> = Übung = # Gib auf der Titelfolie einen Titel unterstrichen ein, und im Untertitel deinen Namen. # Ändere beim Text die '''Schriftgrösse''' auf 25 Pt. # Entferne die '''Unterstreichung''' vom Titel. # Richte den Text '''rechtsbündig''' aus. # Kopiere untenstehende Aufzählung ''Zürich...'' in eine neue Folie mit dem Layout ''Titel und Inhalt''. Verschiebe den ersten '''Aufzählung'''spunkt nach unten an das Ende der Aufzählung. # Wandle die Aufzählung in eine Nummerierung um. # Entferne beim Aufzählungstext die Nummerierung. # Formatiere den Aufzählungstext mit einem Abstand von 13 Pt. nach jedem Absatz. # Formatiere die Aufzählung mit anderen Aufzählungszeichen in einer anderen Farbe. # Lösche im Aufzählungstext die Absätze London und Paris. # Gib im Aufzählungstext als letzten Punkt ein: Genf # Stufe Absätze sinnvollerweise um eine '''Ebene höher''', indem du den Einzug verkleinerst. # Stufe Absätze um eine '''Ebene tiefer''', sodass sie als sinnvolle Unterpunkte angezeigt werden. <!--# Tabelle: Korrigiere den Namen Maria Muster auf Maria Kuster. # Lies die Quizfrage und die möglichen Antworten. Tippe den Buchstaben der richtigen Antwort am Ende der Folie ein.--> '''Europa''' Zürich Deutschland Berlin '''Asien''' Peking China Indien Mumbai London Paris Italien Rom Schweiz Bern [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] mapadgut2ew32jxm21ra4e8tfco8hw7 106 170318 1079163 1079094 2026-05-11T10:40:37Z Paul Sutermeister 37610 1079163 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''D - Diagramm'''</big> </div> = Übung = # Füge in einer Folie ein Diagramm ein. # Füge im Diagramm als Diagrammtitel folgenden Text ein: X # Ändere im Diagramm den Diagrammtyp in Balken. # Füge auf einer anderen Folie ein '''Organigramm''' ein. # Füge im '''Organigramm''' eine neue vierte Mitarbeiterin hinzu. Die Mitarbeiterin heisst: Maria Muster # Füge im Organigramm als Assistentin von Max Muster die entsprechende Form mit der Beschriftung Maria Musterfrau hinzu. [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] 9gy2yozqo9v7k1cqixe6at1jdit86l0 106 170320 1079148 1079105 2026-05-11T10:02:07Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1079148 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''F - Ausgabe'''</big> </div> = Übung = # Folie X: '''Animiere''' den Aufzählungstext mit einem beliebigen Eingangseffekt. # Entferne den Animationseffekt von der Grafik. # Weise allen Folien einen einheitlichen beliebigen Folien'''übergang'''-Effekt zu. # '''Blende''' die Folie aus der Präsentation '''aus'''. # Füge folgenden Text als Präsentations-'''Notiz''' hinzu: private Anekdote erzählen # Speichere die Präsentation unter dem bisherigen Namen in X:\X mit einem neuen Dateityp: Wähle den Dateityp, durch den die Präsentation nicht in der Normalansicht, sondern gleich in der '''Bildschirmpräsentation'''sansicht geöffnet wird. # Legen Sie 3 Folien pro '''Handzettel'''-Seite fest. # Drucken Sie die '''Notizen'''seiten aus. [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] kgd1pxyg2hrqca3nrjjxytuhxv2nkh2 1079149 1079148 2026-05-11T10:02:20Z Paul Sutermeister 37610 /* Übung */ 1079149 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''F - Ausgabe'''</big> </div> = Übung = # Folie X: '''Animiere''' den Aufzählungstext mit einem beliebigen Eingangseffekt. # Entferne den Animationseffekt von der Grafik. # Weise allen Folien einen einheitlichen beliebigen Folien'''übergang'''-Effekt zu. # '''Blende''' die Folie aus der Präsentation '''aus'''. # Füge folgenden Text als Präsentations-'''Notiz''' hinzu: private Anekdote erzählen # Speichere die Präsentation unter dem bisherigen Namen in X:\X mit einem neuen Dateityp: Wähle den Dateityp, durch den die Präsentation nicht in der Normalansicht, sondern gleich in der '''Bildschirmpräsentation'''sansicht geöffnet wird. # Lege 3 Folien pro '''Handzettel'''-Seite fest. # Drucke die '''Notizen'''seiten aus. [[Kategorie:Kurs:Präsentationsprogramm]] ipm9y0eu00i41gdqfp3bxehzhhoja23 0 170323 1079133 2026-05-10T13:57:27Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079133 wikitext text/x-wiki {{ Math/display|term= {{op:Syz|I, II,III}} |SZ= }} Lokale Beschreibung. Es ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=}} ist daher {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} II - {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} III , II, III}} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| 1 | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}| + {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} }} |SZ= }} und {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor|0| III |-II |}} |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl|v|}} |SZ=}} ist {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| I , II, - {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} I + {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} II }} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} | 1 }} |SZ= }} und {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor|II| -I | 0|}} |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D(I) |SZ=}} besitzt {{mathl|term= {{op:Syz| I, II, III}} |SZ=}} die freien Erzeuger {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch|II|I}} | 1 | 0 }} \text{ und } {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch|III|I}} | 0 | 1 }} |SZ=. }} 2c9b6t14q5xqkobfuxzlneog191dw1c 1079134 1079133 2026-05-10T14:25:39Z Bocardodarapti 2041 1079134 wikitext text/x-wiki {{ Math/display|term= {{op:Syz|I, II,III}} |SZ= }} Lokale Beschreibung. Es ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=}} ist daher {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} II - {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} III , II, III}} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | e_1 || {{op:Zeilenvektor| 1 | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | e_2 || {{op:Zeilenvektor|0| III |-II |}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl|v|}} |SZ=}} ist {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| I , II, - {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} I + {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} II }} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | f_1 || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} | 1 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | f_2 || {{op:Zeilenvektor|II| -I | 0|}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D(I) |SZ=}} besitzt {{mathl|term= {{op:Syz| I, II, III}} |SZ=}} die freien Erzeuger {{ Math/display|term= h_1 = {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch|II|I}} | 1 | 0 }} \text{ und } h_2 = {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch|III|I}} | 0 | 1 }} |SZ=. }} Übergangsmatrix e und f. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | 0 |-II | {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 |v^2| }} }} {{op:Spaltenvektor|f_1|f_2}} || {{op:Spaltenvektor|e_1|e_2}} || || || |SZ=. }} d9q53yjzuoxnm6htxyd9ox2tqtcr0ld 1079135 1079134 2026-05-10T14:50:57Z Bocardodarapti 2041 1079135 wikitext text/x-wiki {{ Math/display|term= {{op:Syz|I, II,III}} |SZ= }} Lokale Beschreibung. Es ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=}} ist daher {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} II - {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} III , II, III}} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | e_1 || {{op:Zeilenvektor| 1 | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | e_2 || {{op:Zeilenvektor|0| III |-II |}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl|v|}} |SZ=}} ist {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| I , II, - {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} I + {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} II }} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | f_1 || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} | 1 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | f_2 || {{op:Zeilenvektor|II| -I | 0|}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D(I) |SZ=}} besitzt {{mathl|term= {{op:Syz| I, II, III}} |SZ=}} die freien Erzeuger {{ Math/display|term= g_1 = {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch|II|I}} | 1 | 0 }} \text{ und } g_2 = {{op:Zeilenvektor| - {{op:Bruch|III|I}} | 0 | 1 }} |SZ=. }} Übergangsmatrix e und f. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | 0 |-II | {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 |v^2| }} }} {{op:Spaltenvektor|f_1|f_2}} || {{op:Spaltenvektor|e_1|e_2}} || || || |SZ=. }} Übergangsmatrix e und g. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | III | -II }} {{op:Spaltenvektor| g_1 | g_2 }} || {{op:Spaltenvektor| e_1 | e_2 }} || || || || |SZ=. }} r68f9zqbk4ma1geoo7g5c2jfi3w90g6 1079139 1079135 2026-05-10T15:44:56Z Bocardodarapti 2041 1079139 wikitext text/x-wiki {{ Math/display|term= {{op:Syz|I, II,III}} |SZ= }} Lokale Beschreibung. Es ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=}} ist daher {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} II - {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} III , II, III}} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | e_1 || {{op:Zeilenvektor| 1 | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | e_2 || {{op:Zeilenvektor|0| III |-II |}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl|v|}} |SZ=}} ist {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| I , II, - {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} I + {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} II }} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | f_1 || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} | 1 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | f_2 || {{op:Zeilenvektor|II| -I | 0|}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D(I) |SZ=}} besitzt {{mathl|term= {{op:Syz| I, II, III}} |SZ=}} die freien Erzeuger {{ Math/display|term= g_1 = f_2 = {{op:Zeilenvektor| II | -I | 0 }} \text{ und } g_2 = {{op:Zeilenvektor| III | 0 | -I }} |SZ=. }} Übergangsmatrix e und f. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | 0 |-II | {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 |v^2| }} }} {{op:Spaltenvektor|f_1|f_2}} || {{op:Spaltenvektor|e_1|e_2}} || || || |SZ=. }} Übergangsmatrix e und g. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch| III | I}} |-{{op:Bruch| II|I}} }} {{op:Spaltenvektor| g_1 | g_2 }} || {{op:Spaltenvektor| e_1 | e_2 }} || || || || |SZ=, }} die Determinante ist wieder {{math|term= 1 |SZ=.}} ibdsongdxhu04b6sljv8rqn0ejw6rpl 1079141 1079139 2026-05-11T06:29:34Z Bocardodarapti 2041 1079141 wikitext text/x-wiki {{ Math/display|term= {{op:Syz|I, II,III}} |SZ= }} Lokale Beschreibung. Es ist {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-1 |}}^2 I - {{makl| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv |}} II +v^2 III || 0 || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=}} ist daher {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} II - {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} III , II, III}} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | e_1 || {{op:Zeilenvektor| 1 | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch| v^2 | {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | e_2 || {{op:Zeilenvektor|0| III |-II |}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D {{makl|v|}} |SZ=}} ist {{ Relationskette/align | {{op:Syz| I, II, III}} || {{op:Syz| I , II, - {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} I + {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} II }} || || || |SZ= }} mit den freien Erzeugern {{ Relationskette/display | f_1 || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2|v^2 }} | - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | v^2 }} | 1 }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | f_2 || {{op:Zeilenvektor|II| -I | 0|}} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= D(I) |SZ=}} besitzt {{mathl|term= {{op:Syz| I, II, III}} |SZ=}} die freien Erzeuger {{ Math/display|term= g_1 = f_2 = {{op:Zeilenvektor| II | -I | 0 }} \text{ und } g_2 = {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch| III |I}} | 0 | -1 }} |SZ=. }} Übergangsmatrix e und f. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | 0 |-II | {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 |v^2| }} }} {{op:Spaltenvektor|f_1|f_2}} || {{op:Spaltenvektor|e_1|e_2}} || || || |SZ=. }} Übergangsmatrix e und g. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | I {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | {{op:Bruch| III |I }} |- II }} {{op:Spaltenvektor| g_1 | g_2 }} || {{op:Spaltenvektor| e_1 | e_2 }} || || || || |SZ=, }} die Determinante ist wieder {{math|term= 1 |SZ=.}} Übergangsmatrix f und g. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| - {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | I v^2 }} | - 1 | 1 | 0 }} {{op:Spaltenvektor| g_1 | g_2 }} || {{op:Spaltenvektor| f_1 | f_2 }} || || || || |SZ=, }} die Determinante ist wieder {{math|term= 1 |SZ=.}} auavzqq8pf8jvobaarilq05pxuleuws 0 170324 1079143 2026-05-11T07:25:46Z C.Koltzenburg 13981 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1079143 wikitext text/x-wiki == Reihenfolge der Symptome im 1. Satz == * mit dem schlimmsten Symptom starten bzw. mit dem Symptom starten, weswegen jemand kommt (das zur Vorstellung geführt hat), * falls uneindeutig / viele Symptome / alle ähnlich "schlimm": dann mit dem starten, was die Patientin zuerst nannte, * Leitsymptome sollten zur Diagnose passen * Ausnahme: bei Polytrauma sollten lebensbedrohliche Symptome/Verletzungen zuerst genannt werden, egal, was Pat. zuerst berichtet ek4mq96p5atgxlgdt41oc9g7y284m89 1079150 1079143 2026-05-11T10:10:41Z C.Koltzenburg 13981 /* Reihenfolge der Symptome im 1. Satz */ 1079150 wikitext text/x-wiki == Reihenfolge der Symptome im 1. Satz == * mit dem schlimmsten Symptom starten bzw. mit dem Symptom starten, weswegen jemand kommt (also: was genau zur Vorstellung geführt hat), * falls uneindeutig / viele Symptome / alle ähnlich "schlimm": dann mit dem starten, was die Patientin zuerst nannte, * Leitsymptome sollten zur Diagnose passen * Ausnahme: bei Polytrauma sollten lebensbedrohliche Symptome/Verletzungen zuerst genannt werden, egal, was Pat. zuerst berichtet o5kdc9ad57v5qiqif196oybhnouwspq