Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion Wikiversity:Cafeteria 4 2133 1105460 1105357 2026-06-25T13:31:07Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* Einbindung des Links zu den Rechts- und Sicherheitskontakten in die Fußzeile Ihres Wikis */ 1105460 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) ::::Hallo Ralf, ich fand es auch nicht einfach und nervig, da ich eigentlich kein Handy hab und für solche Sachen dann das alte von X nehme. Jedenfalls hab ich aufs Handy die App 'open authenticator' runtergeladen (meine erste App runterladen, NB: für die empfohlene App war das Handy schon zu alt!). Dann musste man dort aktivieren, dass die App Zugriff auf die Kamera hat (Dank an X), um damit dann diesen QR-Code aus den Einstellungen hier zu fotografieren. Das stellt die Verbindung zwischen der App und Wikiversity her. Wenn man dann sich anmeldet, fragt das Login noch nach dem Code, da muss man auf die App gehen und die zeigt einen sechstelligen Zahlencode an, den man eingeben muss. Das hat jedenfalls geklappt. Aber trivial find ich das Ganze auch nicht, wenn man sonst kein Handy verwendet. An der Uni konnte ich mich dann nicht einloggen, da ich es nicht dabei hatte. Zur anderen 2FA-Möglichkeit kann ich nix sagen. Ich frage mich aber schon, ob das dem inklusiven Gedanken der Wikipedia entspricht, solche technischen Hürden aufzubauen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 09:00, 3. Jun. 2026 (CEST) :::::Ich habe zwar ein Telefon aber ich darf weder da drauf noch auf dem Laptop einfach irgendwelche Software installieren. Ich fahre Ende der Woche mal ins Büro von WMDE, vielleicht bekommen die es hin. Das ist aber dann der letzte Versuch. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 20:24, 8. Jun. 2026 (CEST) ::::::Vielen Dank an [[Benutzer:DerHexer|DerHexer]], alleine hätte ich das nie geschafft. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 16:45, 11. Jun. 2026 (CEST) :::::::Gut! [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 16:05, 12. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|Diskussion]])</bdi> 19:12, 23. Jun. 2026 (CEST) == Einbindung des Links zu den Rechts- und Sicherheitskontakten in die Fußzeile Ihres Wikis == <section begin="Message"/> '''Rechtliche Hinweise und Sicherheitshinweise''' Hallo Community, die Wikimedia Foundation hat eine [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|zentrale Kontaktseite für Rechts- und Sicherheitsfragen]] bereitgestellt, die in der Fußzeile eures Wikis verlinkt werden soll, um den Zugriff auf korrekte rechtliche Informationen zu gewährleisten. Dies ist eine gesetzliche Vorgabe. Wir haben bereits Links zu den englischen, deutschen, italienischen, spanischen und anderen Wikis eingerichtet und werden diese in Kürze auch in eurem Wiki einrichten. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|Bitte lest mehr dazu auf der Projektseite]] und hinterlasst eure Kommentare in diesem Thread oder auf der [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|Diskussionsseite]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 15:31, 25. Jun. 2026 (CEST) 82fyefnn9238z6ndaiqjv09fn1qphqv Kurs:Funktionentheorie 106 12769 1105502 1104987 2026-06-26T06:25:04Z Bert Niehaus 20843 /* Holormorphe Funktionen als Hilbertraum */ 1105502 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="Hilbertraum"></span> == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum als Hilbertraum|Funktionenraum als Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Funktionenraum%20als%20Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionraum%20als%20Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches_Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> nou2ziaz6bkobl6jdedf7aop0iywtvm Quadratischer Zahlbereich/D ist -19/Faktoriell/Nicht euklidisch/Beispiel 0 16644 1105526 1073635 2026-06-26T11:27:58Z Bocardodarapti 2041 1105526 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || A_{-19} || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Relationskette | D ||-19 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | A_{-19} || \Z[\frac{1+ \sqrt{-19} }{2}] || || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | A_{-19} |\cong| \Z[Y]/ {{makl| Y^2-Y+5 |}} || || || || |SZ=. }} Wir wissen aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Zahlbereiche/Normeuklidisch/Numerische Charakterisierung für negatives D/Fakt |SZ=, }} dass {{math|term= R |SZ=}} nicht {{ Definitionslink |euklidisch| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Definition |SZ= }} ist. Dennoch ist {{math|term= R |SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |SZ= }} und nach {{ Faktlink{{{optlink1|}}} |Faktseitenname= Zahlbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt |Faktseitenname2= Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt |Nr= |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Hauptidealbereich| |Kontext=| |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Klassengruppe| |Kontext=| |SZ= }} ist trivial. Hierfür benutzen wir {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |SZ=, }} d.h. wir haben für alle Primzahlen {{ Relationskette |p |\leq|\frac{2 \sqrt{ {{|\triangle|}} } }{\pi} || || || |SZ= }} zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in {{math|term= R |SZ=}} besitzen. Diese Abschätzung wird nur von {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} erfüllt. Für {{ Relationskette | p || 2 || || || |SZ= }} ist der Restklassenring {{ Relationskette/display | R/(2) | \cong | {{op:Zmod|2|}} [Y]/ {{makl| Y^2+Y+1 |}} || || || |SZ= }} ein Körper, sodass {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Definitionslink |träge| |Kontext=Primzahl| |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=}} ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Klassengruppe von quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der quadratische Zahlbereich zu D ist -19 |Stichwort=Klassengruppe |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5iokvywzl09a2umw4fslfx4hay9yyqd Kurs:Interdisziplinäre Integration 2: Modul Umgangsformen 106 72759 1105459 1093705 2026-06-25T12:39:03Z Falko Wilms 8588 1105459 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''<big>''Bildung, Manieren und Karriere''</big>''' <center>''CAREER HACKING''</center></span> <span style="font-size:50%;><span style="color:blue;">mit Dr. Falko Wilms im SS 2026</small></span></span></span></center> -------------- <br> <div id="toc" style="width:35%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Zielgruppe'''</div> Studierende des Kursmoduls „Bildung-Manieren-Karriere“ im Rahmen Abschlussseminares ''Interdisziplinäre Integration 2'' des Stundiengangs WING der FHV. ------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Youtube-Links</big>'''<BR> </div> * [http://www.youtube.com/watch?v=dWVlVxhCatsHochschule Business Behaviour] * [https://www.youtube.com/watch?v=vgY19WJ8QGg zeitgemässe Umgangsformen] -------- * [https://www.youtube.com/watch?v=toJ0VZT8XA0 Die Begrüßung] * [http://www.youtube.com/watch?v=hGK5WMh_B6o Das Geschäftsessen] * [https://www.youtube.com/watch?v=tMv59RgycEs Das Geschäftsessen] * [https://www.youtube.com/watch?v=DPL1xzkHwGc Tischmanieren: Besteck und Gedeck] * [https://www.youtube.com/watch?v=DTbDYdwV1H0Die Macht der Umgangsformen im Verkauf] ------ * [https://www.youtube.com/watch?v=6ui6bYt2-0A Businesskleidung] * [https://www.youtube.com/watch?v=dYHfYxZSbgo Der Anzug I] '''|''' [https://www.youtube.com/watch?v=QVMKLil7N44 Der Anzug II] * [https://www.youtube.com/watch?v=18Bj58S6vF0 Das Einstecktuch] * [https://www.youtube.com/watch?v=pTbDwcrFO9E einfacher Krawattenknoten] -------- * [https://www.tiktok.com/@kniggeakademie Knigge-Akademie auf tik tok] -------- </div> __TOC__ Den Traumjob hat ein anderer bekommen, obwohl die eigene Qualifikation maßgeschneidert war. Solche Enttäuschungen beruhen zu oft auf das Fehlen von guten Umgangsformen. Insbesondere hinsichtlich der Tischsitten, des miteinader Bekanntmachens und der Selbstvorstellung sind gute Umgangsformen nicht nur im Berufsleben oftmals ein hartes Auswahlkriterium. <BR> Beruflicher Erfolg benötigt neben einer profunden Expertise und einer erkennbaren Leistungsbereitschaft immer auch ein an die gegebenen Situation angepasstes Verhalten. Viele im Geschäftsleben erwartete Umgangsformen können auch im Erwachsenealter relativ leicht erlernt werden. Genau hier setzt dieses Lehrmodul an.<br> ==<span style="color:blue;"><big>Wozu dieses Lehrangebot?</big>== <span style="color:blue;">Das selbstverständliche Zeigen guter Umgangsformen ist in jeder Situation von Vorteil, denn mit ihnen findet man sich auch in unerwarteten Situationen zurecht, hält die erwartete Kleiderordnung ein und verhält sich erwartungsgemäß, wodurch Missverständnisse minimiert werden. Für das berufliche Vorankommen sind gute Umgangsformen unabdingbar, denn ohne sie bleibt ein Zugang zu weiteren Karriereschritten oft verschlossen. Wesentlich sind neben dem Dresscode insbesondere erwartete Tischsitten, das miteinader Bekanntmachen und die Selbstvorstellung. Mit dem Beherschen vorteilhafter Umgangsformen sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass ein für die eigene Qualifikation maßgeschneiderter Job ein anderer bekommt. ==Kursleitung== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big> ==Wesentliche Inhalte== Hier einige vorgesehene Themen mit weiterführenden links.<br>Bei Bedarf wird davon abgewichen und den Interessen des Auditoriums gefolgt. * Schlechte Umgangsformen sind ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Karriere Karriere]-Killer * Gute [https://de.wikipedia.org/wiki/Umgangsformen Umgangsformen] sind ein Navigationsmittel * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungserwartung Erwartungen] prägen das Miteinander * Grundlegende [https://de.wikipedia.org/wiki/Sozialverhalten Verhalten]sregeln für gute Umgangsformen * Grundlagen [https://de.wikipedia.org/wiki/Westliche_Welt „westlicher“] Umgangsformen * Der [http://www.ankewillberg.de/download/der-erste-eindruck.pdf erste Eindruck] * Die eigene [http://www.wiwo.de/erfolg/jobsuche/audiogalerie-der-ton-macht-die-person/5451576.html Stimme] * Der [https://de.wikipedia.org/wiki/Kleiderordnung Dresscode] * Das [https://de.wikipedia.org/wiki/Mahlzeit#Soziale_Bdeutung gemeinsame] Geschäftsessen * Das [https://de.wikipedia.org/wiki/Tischgedeck Gedeck] * Die [https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rpersprache Körpersprache] * [https://de.wikipedia.org/wiki/R%C3%BCstungskontrolle#Vertrauensbildende_Ma.C3.9Fnahmen Vertrauensbildende] Umgangsformen * [https://de.wikipedia.org/wiki/Networking Networking] leicht gemacht ==Materialien== '''Zeitungsartikel''' * [http://www.zeit.de/2015/18/etikette-kurs-holger-urmersbach Etikette-Coaching] * [http://diepresse.com/home/bildung/weiterbildung/4662330/Social-Skills_Feinschliff-fur-die-Umgangsformen Manieren trainieren] * [http://www.morgenpost.de/wirtschaft/karriere/article132105534/Allgemeinbildung-und-Manieren-werden-vorausgesetzt.html Allgemeinbildung und Manieren werden vorausgesetzt] * [http://www.karriere.de/karriere/gutes-benehmen-in-jeder-lebenslage-166025/ Gutes Benehmen in jeder Lebenslage] <BR> '''Das Vorstellungsgespräch:''' * [http://www.sueddeutsche.de/karriere/karriere-coach-bewerbungsoutfit-weiblich-1.1291626 Dresscode für Damen] * [http://www.sueddeutsche.de/karriere/karriere-coach-bewerbungsoutfit-maennlich-1.1291638 Dresscode für Herren] <BR> '''Der Krawattenknoten:''' * [http://www.krawatte-binden.com/ Krawattenknoten richtig binden] * [http://www.krawatten--knoten.de/ Formen von Krawattenknoten] * [http://www.borghaus.de/krawattenknoten.html Anleitungen für Krawattenknoten] * [http://www.hirmer-muenchen.de/service/service-ueberblick/krawattenknoten/modische-knoten/merowinger-krawattenknoten/ Der Merowinger-Knoten] * [https://www.youtube.com/embed/XfU_Rfnk2Oc Der Trinity-Knoten] * [http://www.krawattenknoten.info/eldredge-krawattenknoten.html Der Eldredge-Krawattenknoten] <BR> '''Knigge:''' * [http://www.knigge2day.at Knigge kurz + knapp] * [http://knigge-aktuell.de/start/?code=Google_Knigge-Ticker-suche Knigge-Ticker] * [http://www.knigge.de/ Der ständig aktualisierte Knigge] * [http://www.knigge.de/newsletter-1600.htm Knigge Newsletter] * [http://www.zeno.org/nid/20003608883 Das Buch der Etikette] * [http://www.zeitblueten.com/news/umgangsformen-knigge-fehler-nicht-machen/ Dieses Verhalten vermeiden] <BR> ==Umgangsformen sind kontextabhängig== Gute Manieren sind je nach Kontext (= sozialem Umfeld) durchaus unterschiedlich: * In Indien ist das Essen mit den Händen Ausdruck guter Manieren - in Europa nicht * In Indien ist es für Frauen eher normal, den Nabel unbedeckt zu halten - was in Europa als schlechte Manieren gilt * In moslemischen Moscheen sowie in hinduistischen und buddhistischen Tempeln ist es üblich, die Schuhe vor dem Betreten auszuziehen - in christlichen Kirchen gilt dies als Gotteslästerung Es ist immer von Vorteil, sich auf unterschiedliche Kulturen einzustellen und die darin verwobenen unterschiedliche Manieren zu erlernen. Einfühlungsvermögen und Offenheit werden so geschult - Toleranz und Respekt auch. ==kommentierte Bücherliste== * [https://www.amazon.de/Knigge-Kleider-Karriere-auftreten-Etikette/dp/370640804X '''Knigge: Das Buch über Umgangsformen, Stil und Etikette''']: Ein umfassender Leitfaden für gutes Benehmen in allen Lebensbereichen, von Tischmanieren über Kommunikation bis hin zu Dresscodes. * [https://www.amazon.de/Knigge-Erfolgreich-durch-gutes-Benehmen/dp/3895556351 '''Erfolgreich durch gutes Benehmen: Wie man sich im Beruf und im Privatleben souverän und sicher bewegt''']: Ein Leitfaden für zeitgemäßes und erfolgreiches Auftreten in verschiedenen Situationen, angefangen von Geschäftsessen bis hin zu Gesprächen mit Vorgesetzten. * [https://www.humboldt.de/product/9783869100296/knigge-fr-jeden-tag '''Knigge für jeden Tag''']: Ein praktischer Ratgeber, der alltägliche Situationen abdeckt und Ratschläge für gutes Benehmen und angemessenes Verhalten gibt, sei es bei Tisch, in der Kommunikation oder im Umgang mit anderen Menschen. * [https://www.trauner.at/shop/der-benimm-code-ueberzeugend-stilvoll-auftreten '''Der Benimm-Code''']: Ein modernes Nachschlagewerk darüber, wie man sich angemessen verhält, z. B. beim Small Talk, bei (Online‑)Sitzungen, bei öffentlichen Auftritten, bei Bewerbungsgesprächen, bei Einladungen oder im Hotel. * [https://www.amazon.de/Business-Behaviour-Gabriele-Schlegel/dp/3636013033 '''Business Behaviour. Auftreten im Beruf''']: Ein Nachschlagewerk, das ohne belehrend zu wirken beschreibt, wie man sich in eher peinlichen Momenten mit guten Umgangsformen befreiht. * [https://www.amazon.de/Global-Business-Behaviour-Erfolgreiches-internationalen/dp/3492236863 '''Global Business Behaviour: Erfolgreiches Verhalten und Verhandeln im internationalen Geschäft''']: Ein hilfreiches Fachbuch, um erste Schritte in einem neuen Kulturkreis zu machen und dabei grobe Fehltritte zu vermeiden. [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] 8p5o1uyjnrr4ostvt5r90ezhba90tdz Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt/Beweis 0 120891 1105527 1101856 2026-06-26T11:29:03Z Bocardodarapti 2041 1105527 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= {{idealc|}} |SZ=}} die Idealklasse. Die inverse Idealklasse {{math|term= {{idealc|}}^{-1} |SZ=}} sei durch das Ideal {{ Relationskette | {{idealb}} | \subseteq | R || || || |SZ= }} repräsentiert, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Ideal/Element mit beschränkter Norm/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es ein {{ Relationskette | f | \in | {{idealb}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | N(f) | \leq | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\triangle|}} } N( {{idealb}} ) || || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= f \cdot {{idealb}}^{-1} |SZ=}} ein Ideal, da ja {{math|term= {{idealb}}^{-1} |SZ=}} alle Elemente aus {{math|term= {{idealb}} |SZ=}} nach {{math|term= R |SZ=}} multipliziert, und das {{math|term= {{idealc|}} |SZ=}} repräsentiert. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Idealnorm/Multiplikativ/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | N {{makl| f \cdot {{idealb}}^{-1} |}} || N(f) N( {{idealb|}} )^{-1} | \leq | {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\triangle|}} } N( {{idealb}} ) N( {{idealb|}} )^{-1} || {{op:Bruch(| 2 | \pi}}^s \sqrt{ {{op:Betrag|\triangle|}} } || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a9ob0y17vcsvcuzf0lgq56854q4kyxr Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Reelle Einbettungen/Reelle Ganzheitsmatrix/Definition 0 124142 1105529 1091654 2026-06-26T11:31:41Z Bocardodarapti 2041 1105529 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=}} mit {{math|term= r |SZ=}} reellen Einbettungen und {{math|term= s |SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei {{ Abbildung/display |name= {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} | R | \R^r \times {{CC}}^s \cong \R^r \times \R^{2s} || |SZ= }} die reelle Gesamteinbettung. Es sei {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Dann nennt man die reelle {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{makl| {{op:Reelle Gesamteinbettung||}}_j {{makl| b_k |}} |}}_{1 \leq j,k \leq n} |SZ= }} die {{ Definitionswort |reelle Ganzheitsmatrix| |msw=reelle Ganzheitsmatrix |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zu dieser Basis| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Gittertheorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Reelle Ganzheitsmatrix |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b932x5oj50em6k60rtg4hg2ovoxyr8q Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Ideal/Diskriminante und Grundmasche/Fakt 0 124146 1105528 1102618 2026-06-26T11:30:19Z Bocardodarapti 2041 1105528 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{math|term= r |SZ=}} reellen Einbettungen und {{math|term= s |SZ=}} Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei {{ Relationskette | {{ideala|}} | \subseteq | R || || || |SZ= }} ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{math|term= \mathfrak N |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Grundmasche| |Kontext=| |SZ= }} des {{ Definitionslink |vollständigen Gitters| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} ( {{ideala|}} ) |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist das Volumen von {{math|term= \mathfrak N |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der euklidischen Standardmetrik des {{mathlk|term= \R^r \times \R^{2s} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ Relationskette/align | \operatorname{Vol} (\mathfrak N ) || {{op:Bruch| 1 | 2^s}} \sqrt{ {{op:Betrag|\triangle_R||}} } \cdot N( {{ideala|}} ) || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Gittertheorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spcpz96l99rabehe4fxdbamhn80c5hu Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum 106 128303 1105517 1099632 2026-06-26T10:48:06Z Gebhard6700 38583 /* Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme */ 1105517 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * Orthogonalität bzw. * genauer Winkel zwischen Vektoren können definiert werden.- und Längenbegriffen –, bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] (des Längenbegriffs) ist. === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein.Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> das heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. en in ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]5+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L<sup>p</sup>-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''<sup>2</sup>-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] cu5dc2d0j7bfj10406r69y3dye22tg6 1105518 1105517 2026-06-26T10:49:03Z Gebhard6700 38583 /* Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme */ 1105518 wikitext text/x-wiki == Geschichte - Einordnung == Ein '''Hilbertraum''' (auch '''Hilbert-Raum, Hilbertscher Raum'''), benannt nach dem deutschen [[w:de:Mathematiker|Mathematiker]] [[w:de:David Hilbert|David Hilbert]], ist ein Begriff aus dem [[w:de:Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]]. === Bezug zur Banachraum-Definition === Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem Körper der [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] oder [[w:de:Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]], versehen mit einem [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot \rangle </math>. Ein Hilbertraum ist ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]], dessen Norm <math>\| \cdot \|</math> durch ein Skalarprodukt über <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> induziert ist. Damit definiert das Skalarprodukt auch die Länge von Vektoren. === Zusätzlich geometrische Strukturen === Mit einem Skalarprodukt besitzt ein Hilbertraum aber im Vergleich zu einem [[w:de:Banachraum|Banachraum]] weitere zusätzliche Struktur. Die sind u.a. * Orthogonalität bzw. * genauer Winkel zwischen Vektoren können definiert werden.- und Längenbegriffen –, bezüglich der vom Skalarprodukt induzierten [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]] (des Längenbegriffs) ist. === Topologie === Hilberträume tragen durch die induziert Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> eine [[w:de:Topologischer Raum|topologische Struktur]]. Dadurch sind hier im Gegensatz zu allgemeinen Vektorräumen Grenzwertprozesse möglich. Hilberträume sind abgeschlossen unter abzählbaren Summen von orthogonalen Elementen mit einer quadratsummablen Folge von [[w:de:Norm (Mathematik)|Normen]] bzw. von parallelen Elementen mit einer absolutsummablen Folge von Normen. === Vollständigkeit === Da jeder Hilbertraum ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] ist, muss dieser bzgl. der induzierten Norm <math>\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle} </math> vollständig sein.Lässt man die Bedingung der Vollständigkeit fallen, spricht man von einem [[w:de:Prähilbertraum|Prähilbertraum]]. ===Dimension von Hilberträumen === Die Struktur eines Hilbertraums ist eindeutig festgelegt durch seine [[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]. Diese kann eine beliebige [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] sein oder unendlichdimensional. === Hilbertraum über den reellen bzw. komplexen Zahlen === Bei der Bezeichnung unterscheidet man Hilberträume bzgl. des zugrunde liegendem Körper: * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' über dem Körper die reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' über dem Körper die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> bezeichnet man den Hilbertraum als [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]. === Anwendungen === In vielen Gebieten, etwa in der mathematischen Beschreibung der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], ist „der“ Hilbertraum mit [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbarer]] Dimension, d.&nbsp;h. mit der kleinstmöglichen unendlichen Dimension, von besonderer Bedeutung. === Hamel-Basis === Ein Element eines Hilbertraums kann als eine [[w:de:Familie (Mathematik)|Familie]] einer der Dimension entsprechenden Anzahl reeller bzw. komplexer Werte (im Endlichdimensionalen [[w:de:kartesische Koordinaten|kartesische Koordinaten]] genannt) aufgefasst werden. Analog zu Vektorräumen, deren Elemente stets nur in endlich vielen Koordinaten einer [[w:de:Basis (Vektorraum)|Hamelbasis]] ungleich null sind, ist jedes Element eines Hilbertraums nur in ''abzählbar'' vielen Koordinaten einer [[w:de:Orthonormalbasis|Orthonormalbasis]] ungleich null und die Koordinatenfamilie ist ''quadratsummabel'' (endliche Norm des Elementes). <span id="Skalarprodukt"></span> == Definition: Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Skalarprodukt''<ref>Prähilbertraum (2020) In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 22. März 2020, 11:38 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pr%C3%A4hilbertraum&oldid=197994751 (Abgerufen: 22. März 2020, 11:38 UTC</ref> oder ''inneres Produkt'' ist allgemein eine positiv definite [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Bemerkung === Die Axiome, die ein Skalarprodukt für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> zu einer positiv definiten [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]] machen, bzw. im Fall <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> zu einer symmetrischen Bilinearform werden im Folgenden im Detail genannt. === Skalarproduktes: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körper <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> das heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle \colon V \times V \to {\mathbb K} </math>, die für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|axiomatischen Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Skalarproduktes 1,2 - Definitheit === Das Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist in der ersten Komponente linear, d.h. * (1)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle\geq 0</math> &nbsp; (nicht negativ) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; * (2)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{x}\rangle = 0 \Leftrightarrow {x} = {0} </math> &nbsp; ([[w:de:Definitheit|definit]]) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math>; <span id="hermitesch"></span> <span id="Symmetrie"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \langle{y},{x}\rangle</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle = \overline{\langle{y},{x}\rangle}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). <span id="Semilinearität"></span> === Eigenschaften des Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle = \langle {x},{z} \rangle + \langle {y},{z} \rangle </math> === Eigenschaften des Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Skalarprodukt [[Lineare Abbildung|linear]] * (5.1)&nbsp; <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle = \lambda\langle {x},{y} \rangle </math> &nbsp; und * (5.2)&nbsp; <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle = \langle {x},{y} \rangle + \langle {x},{z} \rangle </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. en in ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: <span id="Prähilbertraum"></span> == Definition: Prähilbertraum == Ein ''Prähilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem Skalarprodukt. * '''(<math>\mathbb{R}</math> [[w:de:Euklidischer Raum|euklidischen Raum]]):''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> ist das Skalarprodukt eine ''symmetrische'' Bilinearform und * '''(<math>\mathbb{C}</math> [[w:de:Prähilbertraum|unitären Raum]]):''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> ist das Skalarprodukt eine ''hermitesche'' Sesquilinearform. == Definition: Hilbertraum == Ein Hilbertraum ist eine Prähilbertraum <math>(V,\langle\cdot ,\cdot \rangle) </math> mit einem Skalarprodukt : <math> \langle\cdot ,\cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}, </math> der bezüglich der induzierten Norm <math>\|v\|:= \sqrt{\langle v ,v \rangle} </math> vollständig ist. === Bemerkung: Vollständigkeit === Im Vergleich zu der folgenden Definition des Hilbertraums verlangt ein Prähilbertraum nur die Gültigkeit der Eigenschaft für das Skalarprodukt, ohne eine Aussage über die Vollständigkeit des Grundraumes bzgl. der durch das Skalarprodukt induzierten Norm <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> zu machen. Es wird zunächst als Beispiel ein Funktionenraum als Prähilbertraum betrachtet, der nicht vollständig ist. === Beispiel - Polynomraum und Vollständigkeit === Sei <math>\mathbb{C}</math> ein Körper und <math>(\mathbb{C},\langle \cdot , \cdot \rangle</math> der Prähilbertraum der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. :<math> \mathbb{C}[x]:= \left\{ p \, \left| \, (p_n)_{ n\in\mathbb{N} } \in c_{oo}(\mathbb{C}) \wedge p(x):= \sum_{n=0}^{\infty} p_n \cdot x^n \right. \right\} </math> die Menge der Polynome mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>. ==== Beispielpolynom mit komplexwertigen Koeffizienten ==== Für das Polynom mit <math> p_3 := 1+i </math>, <math> p_2 := 2+2i </math>, <math> p_1 := 0 </math> und <math> p_0 := -2i</math> erhält man das folgende Polynom aus <math>\mathbb{C}</math>. :<math>p(x):= (1+i)\cdot x^3 + (2+2i)\cdot x^2 - 2i\cdot x^0 </math> Die Folge <math> (p_k)_{k\in \mathbb{N}_o} = (-2i, 0, 2+2i,1+i, 0,0, ....) </math> liegt in dem Raum der endlichen komplexwertigen Folgen <math>c_{oo}(\mathbb{C})</math> (siehe [[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Folgenräume]]). ==== Folgen von Polynomen ==== Man definiert == Beispiel für einen Prähilbertraum == Sei <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> und <math>V_1:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>[a,b]</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst eine Abbildung von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_1 = \int_a^b f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Skalarprodukt nach! === Norm auf dem Prähilbertraum === Die Norm ergibt sich unimittelbar aus der Definition des Skalarproduktes :<math>\|f\|_1 := \sqrt{\langle f , f \rangle_1 } = \sqrt{\int_{a}^{b} f(x)^2 \, dx} </math> === Augabe - Norm einer Funktion === Berechnen Sie für <math>[a,b]:=[-1,10]</math> und <math>f\in V_1</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Norm <math>\|f\|_1 </math> der Funktion <math>f</math>! === Konvergenz von Funktionenfolgen === Betrachten Sie zunächst die Unterschiede in den Definitionen von * [[w:de:Punktweise_Konvergenz|punktweiser Konvergenz]] und * [[w:de:Gleichmäßige_Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]] ([https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ Geogebra-Applet von Andreas Lindner]<ref>Andreas Lindner (2016) Interaktives Arbeitsblatt zur gleichmäßigen Konvergenz - URL: https://www.geogebra.org/m/vUUAmbTQ (Abgerufen am 14. Januar 2022, 13:38) </ref>) von Funktionenfolgen. === Definitionen - punktweise und gleichmäßige Konvergenz === Sei <math> f_n: [a,b] \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion in <math>V_1</math>. {| |- | punktweise Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_{\varepsilon,x} \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_{\varepsilon,x} } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon, </math> und |- | gleichmäßige Konvergenz: || <math> \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle \varepsilon > 0} \ \stackrel{\displaystyle \exists}{\scriptstyle N_\varepsilon \in \mathbb{N} } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle n \geq N_\varepsilon } \ \stackrel{\displaystyle \forall}{\scriptstyle x \in [a,b] } \ : \quad \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon </math> |} === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Sei <math>[a,b]=[4,7]</math> und als erste Funktion <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. === Visualisierung von Konvexkomobinationen der Funktionen === Die folgende Animation zeigt mehrere Konvexkombinationen von zwei gegebenen Funktionen<ref>Bert Niehaus (2022) Konvexkombination von zwei Funktionen in einem Vektorraum von Funktionen - URL: https://www.geogebra.org/m/kkuufrck (Aufgerufen 14.01.2022 - 15:20 )</ref>. Der Parameter <math>t \in [0,1]</math> wird verwendet, um die Funktionenfolge für <math>t:= \frac{1}{n}</math> zu erzeugen. [[Datei:Convex combination 1 ord functions with geogebra.gif|450px|[https://www.geogebra.org/m/kkuufrck Konvexkombination von zwei Funktionen] in Geogebra]] === Aufgabe === Zeigen Sie, dass <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f \in V_1 </math> konvergiert. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Nun wird eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_20</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: <math> P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \, P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0)</math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math>bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm ist. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math>\|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Prähilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>[a,b]\subset \mathbb{R}</math> diese obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_2 = \int_a^b \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Hermitesche Sesquilinearform === Definieren Sie nun über dem komplexwertigen Funktionenraum ebenfalls das Skalarprodukt als: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_3 = \int_a^b f(x) \cdot g(x) \,{\rm d}x</math> Damit wäre die Abbildung von <math>V_2 \times V_2</math> nach <math>\mathbb{C}</math> eine symmetrische Bilinearform. Welche wesentliche Eigenschaft eines Skalarproduktes ist damit auf <math>V_2:=\mathcal{C}([a,b],\mathbb{C})</math> mit der Abbildung <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_3</math> nicht mehr gültig? Geben Sie ein Gegenbeispiel an! == Definition: Hilbertraum == Ein ''Hilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>H</math> mit einem Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>, der [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] bezüglich der durch das Skalarprodukt [[w:de:Skalarproduktnorm|induzierten Norm]] <math>\|x\| := \sqrt{\langle x , x \rangle }</math> ist, d.h., dass also jede [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]] bzgl. der Norm <math>\|\cdot \| </math> [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. === Zusammenhang - Hilbertraum Prähilbertraum === Ein Hilbertraum ist also ein vollständiger Prähilbertraum. === Konvention Seminlinearität - 1. Komponente === Im Folgenden sei das Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im zweiten und [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]] im ersten Argument, d.&nbsp;h. ist <math>H</math> ein komplexer Vektorraum und sind <math>u,v\in H</math> Vektoren und <math>\lambda \in \mathbb{C} </math> ein Skalar (komplexe Zahl), so ist :<math>\langle u,\lambda v \rangle = \lambda\langle u,v \rangle</math> und <math>\langle\lambda u,v \rangle=\bar{\lambda}\langle u,v \rangle</math>. In welchem Argument das Skalarprodukt semilinear ist, ist Konvention und wird auch oft andersherum gehandhabt. == Bedeutung == Hilberträume spielen in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]], speziell in der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]], und damit auch in der [[w:de:Physik|Physik]] eine große Rolle. Ein Beispiel ist die [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]], wo [[w:de:Reiner Zustand|reine Zustände]] eines quantenmechanischen Systems durch einen Vektor im Hilbertraum beschrieben werden können. Aus Sicht der Funktionalanalysis bilden die Hilberträume eine Klasse von Räumen mit besonders spezieller und einfacher Struktur. == Beispiele für Hilberträume == Im Folgenden werden endlichdimensional und unendlichdimensionale Hilberträume genannt. === Beispiele 1 - Endlichdimensionale Hilberträume === * Der [[w:de:Koordinatenraum|Koordinatenraum]] <math>\R^n</math> mit dem reellen [[w:de:Standardskalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \dotsb + u_n v_n</math>. * Der Koordinatenraum <math>\Complex^n</math> mit dem komplexen Standardskalarprodukt <math>\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \dotsb + \bar u_n v_n</math>. * Der [[w:de:Matrizenraum|Matrizenraum]] <math>{\mathbb K}^{m \times n}</math> der reellen oder komplexen [[w:de:Matrix (Mathematik)|Matrizen]] mit dem [[w:de:Frobenius-Skalarprodukt|Frobenius-Skalarprodukt]]. === Beispiele 2 - Folgenräume als Hilberträume === Der [[w:de:Folgenraum|Folgenraum]] <math>\ell^2</math> aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle [[w:de:Separabler Raum|separablen]] [[w:de:Dimension (Mathematik)|unendlichdimensionalen]] Hilberträume [[w:de:isometrisch isomorph|isometrisch isomorph]] zu <math>\ell^2</math> sind. === Beispiele 3 - quadratintegrierbaren Funktionen Hilberträume === Der Raum der [[w:de:Quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>\displaystyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x</math>. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über [[w:de:Lp-Raum|L<sup>p</sup>-Räume]]. === Beispiele 4 - fast-periodischen Funktionsräume als Hilberträume === Der Raum <math>\mathrm{AP}^2</math> der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu <math>\lambda\in\R</math> betrachte man die Funktionen <math>f_\lambda\colon\R\to\Complex</math> mit <math>f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}</math>. Durch das Skalarprodukt <math>\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t</math> wird der Raum <math>\operatorname{lin}\left\{f_\lambda\colon \lambda\in\R \right\}</math> (der von den Funktionen <math>f_\lambda</math> aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] <math>\mathrm{AP}^2</math> dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Im Gegensatz zu den obigen Beispielen ist dieser Raum nicht separabel. === Beispiele 5 - Sobolev-Raum === Der [[w:de:Sobolev-Raum|Sobolev-Raum]] <math>H^p</math> für alle <math>p \geq 0</math> und die entsprechenden Unterräume. Diese bilden eine Grundlage der Lösungstheorie [[w:de:Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. === Beispiele 6 - Operatorenräume - Hilbert-Schmidt === Der Raum <math>HS</math> der [[w:de:Hilbert-Schmidt-Operator|Hilbert-Schmidt-Operatoren]]. === Beispiele 7 - Hardyräume === Für <math>p = 2</math> sind der [[w:de:Hardy-Raum|Hardy-Raum]] <math>H^2(\mathbb{D})</math> und der [[w:de:Reeller Hardy-Raum|reelle Hardy-Raum]] <math>\mathcal{H}^2(\R^n)</math> Hilberträume. == Orthogonalität und Orthogonalsysteme == Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen ''orthogonal'' zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. === Orthogonalbasen === Unter den Orthogonalsystemen spielen die [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. === Lineare Hülle - Dichtheit im Hilbertraum === Äquivalent zur Maximalität von [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasen]] ist, dass die [[w:de:lineare Hülle|lineare Hülle]] im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen ''keine Basis'' im üblichen Sinn der linearen Algebra eine([[w:de:Hamelbasis|Hamelbasis]]). === Orthonormalbasis === Sind in einer [[w:de:Orthogonalbasis|Orthogonalbasis]] die Basisvektoren <math>v</math> darüber hinaus normiert, dass also das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt (<math>\|v\|^2 = \langle v,v\langle = 1</math>, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. ===Orthonormalbasis und Kronecker-Delta === Die Vektoren <math> v_i </math> bilden also genau dann ein [[w:de:Orthonormalsystem|Orthonormalsystem]], wenn <math> \langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij} </math> für alle <math>i, j</math>. Dabei ist <math> \delta_{ij} </math> das [[w:de:Kronecker-Delta|Kronecker-Delta]]. Mittels des [[w:de:Lemma von Zorn|Lemmas von Zorn]] lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden). == Unterräume == Ein ''Unterhilbertraum'' oder ''Teilhilbertraum'' eines Hilbertraums ist eine [[w:de:Teilmenge|Teilmenge]], die mit der [[w:de:Skalarmultiplikation|Skalarmultiplikation]], Addition und Skalarprodukt eingeschränkt auf diese Teilmenge wiederum einen Hilbertraum bildet. Konkret heißt das, dass die Teilmenge die Null enthält und abgeschlossen unter Skalarmultiplikation und Addition ist, das heißt ein [[w:de:Untervektorraum|Untervektorraum]] ist, und bezüglich des Skalarprodukts immer noch vollständig ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die Teilmenge im topologischen Sinne [[w:de:Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist. Daher bezeichnet man Unterhilberträume auch als ''abgeschlossene Unterräume'' bzw. ''abgeschlossene Teilräume'' und bezeichnet im Gegensatz dazu beliebige Untervektorräume einfach nur als ''Unterräume'' bzw. ''Teilräume''. === Unterräume von Hilberträume - Prähilberträume === Ein Solcher ist im Allgemeinen nur ein Prähilbertraum. Jeder Prähilbertraum ist in einem Hilbertraum als [[w:de:Dichte Teilmenge|dichter]] Untervektorraum enthalten, nämlich in seiner [[w:de:Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]]. Auch ist es möglich einen [[w:de:Quotientenvektorraum|Quotientenraum]] bezüglich eines Unterhilbertraums zu bilden, der wiederum ein Hilbertraum ist. === Analogie zu Banachräumen === Dies alles gilt im Wesentlichen analog für beliebige [[w:de:Banachraum|Banachräume]], wobei deren Untervektorräume dann nicht unbedingt Prähilberträume, wohl aber [[w:de:Normierter Raum|normierte Räume]] sind. === Projektionssatz === Eine Besonderheit dagegen ist die Gültigkeit des [[w:de:Projektionssatz|Projektionssatzes]]: Für jeden Unterhilbertraum und jedes beliebige Element des Hilbertraums gibt es ein Element des Unterhilbertraums mit minimalem Abstand. Dies gilt für Banachräume dagegen schon im Endlichdimensionalen im Allgemeinen nicht. === Orthogonalprojektion === Dies erlaubt eine kanonische Identifikation des Quotientenraums bezüglich eines Unterhilbertraums mit einem Unterhilbertraum, das [[w:de:Orthogonales Komplement|orthogonale Komplement]], und das Konzept der [[w:de:Orthogonalprojektion|Orthogonalprojektion]]. Das orthogonale Komplement eines Unterhilbertraums ist ein [[w:de:Komplementärraum|komplementärer]] Unterhilbertraum, für Banachräume dagegen existiert zu einem Unterbanachraum im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum. == Konjugierter Hilbertraum == Im Falle eines komplexen Hilbertraums besteht eine gewisse Asymmetrie zwischen den beiden Komponenten des Skalarproduktes; das Skalarprodukt ist linear in der zweiten Komponente und [[w:de:konjugiert linear|konjugiert linear]] in der ersten. Man kann daher zu einem komplexen Hilbertraum <math>H</math> wie folgt einen weiteren Hilbertraum <math>\overline{H}</math> definieren. Als Menge ist <math>\overline{H} = H</math>, auch die Addition auf <math>\overline{H}</math> wird von <math>H</math> übernommen. Die skalare Multiplikation und das Skalarprodukt für <math>\overline{H}</math> werden wie folgt erklärt: :skalare Multiplikation: <math>\lambda \cdot_{\overline{H}}u := \overline{\lambda}u</math> :Skalarprodukt: <math>\langle u,v \rangle_{\overline{H}}:= \overline {\langle u, v\rangle} = \langle v,u \rangle</math>. Man prüft nach, dass <math>\overline{H}</math> mit diesen Definitionen wieder ein Hilbertraum ist, man nennt ihn den ''konjugierten Hilbertraum''. Der zu <math>\overline{H}</math> konjugierte Hilbertraum ist offenbar wieder <math>H</math>. == Operatoren zwischen Hilberträumen == {{Hauptartikel|Linearer Operator}} Reichhaltiger Untersuchungsgegenstand in der Funktionalanalysis sind auch gewisse strukturerhaltende Abbildungen zwischen Hilberträumen. Hauptsächlich betrachtet man dabei Abbildungen, die die Vektorraumstruktur erhalten, das heißt [[w:de:lineare Abbildung|lineare Abbildung]]en, im Folgenden ''lineare Operatoren'' genannt. === Stetige lineare Operatoren === Eine bedeutende Klasse von linearen Operatoren zwischen Hilberträumen ist die der ''[[w:de:stetig|stetigen Operatoren]]'', die zusätzlich die topologische Struktur, und damit etwa Grenzwerte, erhalten. Weitere wichtige Klassen linearer Operatoren ergeben sich dadurch, dass man von ihnen bestimmte Beschränktheitseigenschaften fordert. === Stetigkeit eines Operators === Die Stetigkeit ist, wie allgemein bei normierten Räumen, äquivalent zur Beschränktheit des Operators (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). * (3c) Die [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Operatornorm|Operatornorm]] <math> \| T \|_{\mathcal{L}} :=\sup_{\|v\|_V = 1} \|T(v)\|_W < \infty </math> === Kompakte Operatoren === Eine stärkere Einschränkung ist die der [[w:de:Kompakter Operator|Kompaktheit]]. Dabei heißt eine [[w:de:Linearer Operator|lineare Abbildung]] <math>T\colon V\to W</math> von einem Banachraum <math>(V,\|\cdot \|_V)</math> in einen Banachraum <math>(W,\|\cdot \|_W)</math> kompakter Operator, wenn eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt ist: * (K1) Der Operator <math>T:V\to W</math> bildet jede [[w:de:beschränkt|beschränkte]] Teilmenge von <math>V</math> auf eine [[w:de:relativ kompakt|relativ kompakte]] Teilmenge von <math>W</math> ab. * (K2) Das Bild der offenen (oder der abgeschlossenen) [[w:de:Einheitskugel|Einheitskugel]] in <math>V</math> ist relativ kompakt in <math>W</math>. * (K3) Jede beschränkte Folge <math>(x_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> in <math>V</math> besitzt eine Teilfolge <math>(x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}</math>, für die die Bildfolge <math>(T(x_{n_k}))_{k \in \mathbb{N}}</math> konvergiert. Die Menge der linearen, kompakten Operatoren <math>T \colon V \to W</math> wird hier mit <math>\mathcal{K}(V,W)</math> bezeichnet. === Schattenklassen === Die [[w:de:Schattenklasse|Schattenklasse]]n sind echte Teilklassen der Klasse der kompakten Operatoren. Auf den jeweiligen Klassen von Operatoren werden verschiedene Normen und [[w:de:Operatortopologie|Operatortopologien]] definiert. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphismenbegriff]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. === Satz von Fréchet-Riesz === Aus dem Satz von Fréchet-Riesz folgt auch, dass der [[w:de:Adjungierter Operator|adjungierte Operator]] zu einem linearen Operator von <math>V</math> nach <math>W</math> als linearer Operator von <math>W</math> nach <math>V</math> verstanden werden kann. Dies erlaubt es, dass ein Operator mit seinem adjungierten Operator [[w:de:Kommutator (Mathematik)|kommutiert]], solche Operatoren bilden die Klasse der ''[[w:de:Normaler Operator|normalen Operatoren]]''. Bei Operatoren innerhalb eines Hilbertraums ergibt sich die Möglichkeit, dass der adjungierte Operator wiederum der Operator selbst ist, man spricht dann von einem ''[[w:de:Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]]''. === Operatoralgebren === Viele der oben aufgeführten Klassen von Operatoren bilden als Endomorphismen von <math>V</math> nach <math>V</math>[[w:de:Operatoralgebra|Operatoralgebren]], wobei die Verkettung <math>T_2 \circ T_1</math> zwei Operatoren <math>T_1:V \to V</math> und <math>T_2:V \to V</math> der multiplikativen Verknüpfung in dem Vektorraum der Operatoren entspricht. === Involutive Operatoralgebren === Mit der Adjungierung als [[w:de:Involution (Mathematik)|Involution]], unter der alle oben aufgeführten Klassen abgeschlossen sind, und einer passenden Norm ergeben sich sogar [[w:de:Involutive Banachalgebra|involutive Banachalgebren]]. Die stetigen linearen Operatoren auf einem Hilbertraum mit der Adjungierung und der [[w:de:Operatornorm|Operatornorm]] bilden eine [[w:de:C*-Algebra|C*-Algebra]]. === Unitäre Operatoren === [[w:de:Unitärer Operator|Unitäre Operatoren]] liefern einen natürlichen [[w:de:Isomorph|Isomorphv]] für Hilberträume, sie sind gerade die Isomorphismen in der [[w:de:Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit den linearen Abbildungen, die das Skalarprodukt erhalten, als [[w:de:Morphismus|Morphismen]]. Konkret: die linearen, surjektiven Isometrien. Sie erhalten alle Längen und Winkel. == Klassifikation von Hilberträumen== Unter Verwendung von Orthonormalbasen lassen sich die Hilberträume vollständig klassifizieren. Die Klassifikation erfolgt über Orthonormalbasen (siehe auch [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]) . === Mächtigkeit der Orthonormalbasen === Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis und je zwei Orthonormalbasen eines Hilbertraums sind [[w:de:gleichmächtig|gleichmächtig]]. Die [[w:de:Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] einer jeden Orthonormalbasis ist also eine wohldefinierte Eigenschaft eines Hilbertraums, welche ''[[w:de:Hilbertraumdimension|Hilbertraumdimension]]'' oder kurz ''Dimension'' genannt wird. === Isomorphie zwischen Hilberträumen === Je zwei Hilberträume <math>H_1</math> und <math>H_2</math> mit derselben Dimension sind [[w:de:isomorph|isomorph]]. Die Gleichmächtigkeit der beiden Orthonormalbasen von <math>H_1</math> und <math>H_2</math> (gleiche Dimension) liefert eine bijektive Abbildung zwischen den beiden Orthononormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math>. Man erhält einen Isomorphismus, indem man diese Bijektion zwischen den beiden Orthonormalbasen <math>B_1</math> und <math>B_2</math> lässt sich eindeutig zu einem stetigen linearen Operator <math>\phi : H_1 \to H_2</math> zwischen den Räumen fortsetzen. Jeder stetige lineare Operator zwischen zwei Hilberträumen ist eindeutig durch seine Werte auf einer Orthonormalbasis des Raumes festgelegt, auf dem er definiert ist. === Kardinalität von Hilberträumen === Tatsächlich gibt es zu jeder [[w:de:Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] einen Hilbertraum mit dieser Dimension, konstruierbar etwa als Raum [[w:de:ℓ2-Raum|<math>\ell^2(I)</math>]] (wobei <math>I</math> eine Menge mit der Dimension als Kardinalität sei, etwa die Kardinalzahl selbst): :<math>\ell^2(I):=\left\{u\colon I\to K \mid \sum_{i\in I} \left|u(i)\right|^2 < \infty\right\}</math>, wobei <math>K=\R</math> oder <math>K=\Complex</math> und die Konvergenz der Summe so zu lesen ist, dass nur [[w:de:Abzählbare Menge|abzählbar]] viele Summanden ungleich <math>0</math> sind (vgl. [[w:de:unbedingte Konvergenz|unbedingte Konvergenz]]). === Skalarprodukt für die Kardinalität von Hilberträumen === Dieser Raum <math>\ell^2(I)</math> wird nun mit dem folgenden Skalarprodukt versehen: :<math>\langle u, v\rangle:=\sum_{i\in I} \overline{u(i)} v(i)</math>, welches wohldefiniert ist. Die Vektoren <math>u_i</math> mit <math>u_i(j)=\delta_{ij}</math> bilden dann eine Orthonormalbasis des Raumes <math>\ell^2(I)</math>. Die Isomorphie eines jeden Hilbertraums mit einem solchen Raum <math>\ell^2(I)</math> für passendes <math>I</math> ist der ''[[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]]''. == Dualraum == Der [[w:de:Topologischer Dualraum|topologische Dualraum]] <math>H^\prime</math> der stetigen, linearen [[w:de:Funktional|Funktional]]e auf einem Hilbertraum <math>H</math> ist wie bei jedem Banachraum selbst wieder ein Banachraum. Eine Besonderheit bei Hilberträumen ist der [[w:de:Satz von Fréchet-Riesz|Satz von Fréchet-Riesz]]: Jeder reelle Hilbertraum <math>H</math> ist mittels des [[w:de:Isometrie|isometrischen]] [[w:de:Isomorphismus|Vektorraumisomorphismus]] <math>H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle v,\cdot\rangle</math> isomorph zu seinem Dualraum. Die Norm auf dem Dualraum ist daher ebenfalls von einem Skalarprodukt induziert, er ist somit ebenfalls ein Hilbertraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums gilt der Satz analog, allerdings ist jene Abbildung nur [[w:de:semilinear|semilinear]], das heißt ein [[w:de:antiunitärer Operator|antiunitärer Operator]]. In beiden Fällen ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum (ein antiunitärer Operator <math>H\to H^\prime</math> lässt sich nämlich in einen unitären Operator <math>H\to H^\prime</math> und einen antiunitären Operator <math>H^\prime\to H^\prime</math> zerlegen), und somit erst recht zu seinem [[w:de:Bidualraum|Bidualraum]], jeder Hilbertraum ist also [[w:de:Reflexiver Raum|reflexiv]]. == Hilbertraum der ''L''<sup>2</sup>-integrierbaren Funktionen == Sei <math>\mathcal{F}</math> eine [[w:de:Σ-Algebra|Sigma-Algebra]] auf einer Menge <math>\Omega</math> und <math>\mu\text{: } \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]</math> ein [[w:de:vollständiges Maß|vollständiges Maß]]. Es kann leicht gezeigt werden, dass für [[w:de:Messbare Funktion|messbare Funktionen]] <math> f_1, f_2 : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math> die Abbildung : <math>\langle f_1 , f_2 \rangle := \int\limits_\Omega f_1\cdot f_2 \text{ d}\mu</math> eine positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] darstellt, falls : <math>f_1,f_2 \in \mathcal{L}^2 := \{f : \Omega \rightarrow \mathbb{R} : \int\limits_\Omega f^2\text{ d}\mu < \infty \}</math> gilt. === Positiv Definitheit - Nullmengen === Die oben definierte Abbildung ist nur positiv semidefinite [[w:de:Bilinearform|Bilinearform]] und nicht positiv definit. Der Grund dafür ist, dass im Allgemeinen keine strikte [[w:de:positive Definitheit|positive Definitheit]] gilt, liegt darin, dass für ein <math>f\in\mathcal{L}^2(\Omega)</math> auch <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gelten kann, ohne <math>f</math> selbst die [[w:de:Nullfunktion|Nullfunktion]] ist. Eine integrable Funktion <math>f</math> kann man nämlich auf [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]] verändert, ohne dass sich das Integral über <math>f</math>, <math>|f|</math> oder <math>|f|^2</math> verändert. Die Bedingung <math>\langle f , f \rangle = 0</math> gilt daher genau dann, wenn <math>\mu(\{x\in\Omega : f(x) \neq 0\})=0</math> erfüllt ist (d.&nbsp;h. <math>f</math> unterscheidet sich nur bezüglich einer <math>\mu</math>-[[w:de:Nullmenge|Nullmenge]] von der Nullfunktione). === Äquivalenzklassen bzgl. Nullmengen === Abhilfe verschafft das Einführen einer Äquivalenzrelation: Man definiert, dass <math>f_1 \sim f_2 :\Leftrightarrow \langle f_1 - f_2 , f_1 - f_2 \rangle = 0</math> und gibt der Menge der Äquivalenzklassen die Bezeichnung <math>L^2</math>. === Positiv-Definitheit === Dann ist <math>\langle \cdot | \cdot \rangle</math> zusätzlich zu den oben genannten Eigenschaften auch noch positiv definit, also ein [[w:de:Skalarprodukt|Skalarprodukt]] und <math>\| \cdot \| := \sqrt{\langle \cdot | \cdot \rangle}</math> damit eine [[w:de:Norm (Mathematik)|Norm]]. Somit handelt es sich bei <math>(L^2,\|\cdot\|)</math> um einen normierten Raum. Schließlich folgt aus dem [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]], dass dieser Raum [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] ist, sodass er ein [[w:de:Banachraum|Banachraum]] und insbesondere (da die Norm von einem Skalarprodukt [[w:de:Induzierte Norm|induziert]] wird) ein [[w:de:Hilbertraum|Hilbertraum]] ist. Dieser findet seine Anwendung z.&nbsp;B. in der [[w:de:Mathematische Struktur der Quantenmechanik|Quantenmechanik]], aber auch beim [[w:de:Erwartungswert|Erwartungswert]]. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei einem Element aus <math>L^2</math> nicht um eine Funktion handelt, sondern um eine Äquivalenzklasse von Funktionen bezüglich der obigen Äquivalenzrelation. Da sich die Repräsentanten dieser Klasse jedoch nur auf einer <math>\mu</math>-Nullmenge unterscheiden, ist dies für praktische Verwendungen unerheblich. == Fourierkoeffizient == Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über <math>\mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math> und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei <math> B = (b_1, b_2, \dots) </math> eine Orthonormalbasis und <math> v </math> ein Vektor aus dem Hilbertraum. Da <math> B </math> eine [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten <math> \alpha_k\in \mathbb R</math> bzw. <math>\mathbb C</math>, so dass :<math>v=\sum_k\alpha_k b_k</math> ist. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis als :<math> \langle b_n, v \rangle = \left\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\right\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle = \alpha_n</math>, da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist. Der <math>n</math>-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden. Diese Koeffizienten werden auch ''Fourierkoeffizienten'' genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der [[w:de:Fourieranalyse|Fourieranalyse]] darstellen. == RKHS == Wenn man einen Hilbertraum mit einem [[w:de:Kern (Algebra)|Kern]] assoziiert, der innerhalb des Raums jede Funktion reproduziert, spricht man von einem ''Reproducing Kernel Hilbert Space'' (RKHS, deutsch: Hilbertraum mit reproduzierendem Kern). Dieser Ansatz wurde 1907 von dem Mathematiker [[w:de:Stanisław Zaremba|Stanisław Zaremba]] erstmals formuliert und begann ein halbes Jahrhundert später in der [[w:de:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] eine wichtige Rolle zu spielen. Heute sind Hilberträume mit reproduzierendem Kern ein gängiges Werkzeug in der statistischen Lerntheorie, insbesondere beim [[w:de:Maschinelles Lernen|Maschinenlernen]]. == Hilberträume in der Quantenmechanik == Die Axiome der [[w:de:Quantenmechanik|Quantenmechanik]] besagen, dass die Menge der möglichen [[w:de:Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] eines quantenmechanischen Systems die Struktur eines Hilbertraumes besitzt. Insbesondere heißt das, dass quantenmechanische Zustände eine lineare Struktur besitzen, dass also eine [[w:de:Linearkombination|Linearkombination]] von Zuständen wieder einen physikalisch möglichen Zustand ergibt. Außerdem ist ein Skalarprodukt <math>\langle\psi|\phi\rangle</math> zwischen zwei Zuständen <math>|\psi\rangle</math> und <math>|\phi\rangle</math> definiert, dessen Betragsquadrat nach der [[w:de:Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornschen Wahrscheinlichkeitsinterpretation]] angibt, wie wahrscheinlich es ist, ein System das sich im Zustand <math>|\phi\rangle</math> befindet, bei einer [[w:de:Quantenmechanische Messung|Messung]] im Zustand <math>|\psi\rangle</math> vorzufinden. (Die Schreibweise entspricht der [[w:de:Dirac-Notation|Dirac-Notation]].) Ist in der Physik also die Rede von ''dem'' Hilbertraum, so ist damit der Zustandsraum des gegebenen quantenmechanischen Systems gemeint. Beispiele sind * die möglichen [[w:de:Wellenfunktion|Wellenfunktion]]en eines freien Teilchens sind der Hilbertraum <math>L^2</math> aller quadratintegrablen Funktionen <math>\psi \colon \R^3 \rightarrow \Complex</math> mit dem üblichen <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>\textstyle \langle \psi \,|\, \phi \rangle = \int_{\R^3} \psi^*(\vec{x})\, \phi(\vec{x}) \,{\rm d}\vec{x}</math>. * die möglichen [[w:de:Spin|Spin]]zustände eines Elektrons spannen den Hilbertraum <math>\Complex^2</math> mit dem euklidischen Skalarprodukt auf. == Literatur == * [[w:de:Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, lSBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII. * [[w:de:Richard Kadison|Richard V. Kadison]], [[w:de:John R. Ringrose|John R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras.'' Band 1: ''Elementary Theory.'' Academic Press, New York NY 1983, lSBN 0-12-393301-3 (''Pure and Applied Mathematics'' 100, 1), Kapitel 2: ''Basics of Hilbert Space and Linear Operators''. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz_für_Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukten in normierten Räumen]] * [[w:de:Besselsche Ungleichung|Besselsche Ungleichung]] * [[w:de:Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] * [[w:de:Hilbertraumbasis|Hilbertraumbasis]] * [[w:de:Hilbertraum-Tensorprodukt|Hilbertraum-Tensorprodukt]] * [[w:de:Parallelogrammgleichung|Parallelogrammgleichung]] * [[w:de:Parsevalsche Gleichung|Parsevalsche Gleichung]] * [[w:de:Peetre-Ungleichung|Peetre-Ungleichung]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[w:de:Satz von Fischer-Riesz|Satz von Fischer-Riesz]] * [[Semihilbertraum]] und [[Semiskalarprodukt]] == Einzelnachweise == <references /> [[Kategorie:Skalarproduktraum]] [[Kategorie:Funktionalanalysis]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum Hilbertraum] https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum * Datum: 21.1.2021 - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?action=history&title=Hilbertraum Versionsgeschichte Wikipedia] * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity?lang=de&domain=wikipedia&title=Hilbertraum Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 74cobbiw0ujndx6uiiag7d99lur1tlp Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen 106 147032 1105495 1064508 2026-06-26T06:17:01Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 3 */ 1105495 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[File:SDGs in Mathematik.svg|thumb|Einbindung der SDGs in die Mathematik]] [[File:NURBSSurface.png|thumb|Aus diskretem Gitter glatte Oberflächen erzeugen - NURBS]] == Inhalte == * '''[[/Einführung/]]''' behandelt einen Kurzüberblick, wie die mathematischen Themen aus der Abbildung im Zusammenhang mit Nachhaltigkeitsproblemen [[w:de:Ziele für nachhaltige Entwicklung|(SDG)]] genutzt werden können. === Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion]]''' * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Konvergenz|Konvergenz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Konvergenz&author=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologische%20Räumen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz&coursetitle=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologische%20Räumen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Topologische Algebra/Konvergenz gegen Unendlich|Konvergenz gegen Unendlich]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Topologische%20Algebra/Konvergenz%20gegen%20Unendlich&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20gegen%20Unendlich&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden. * '''[[Transformationssatz|Transformationssatz für Integrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Transformationssatz&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Transformationssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Polynomalgebra/]] ** [[p-adische Zahlsysteme]] ** [[Taylorreihe]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1 - Topologie - Stetigkeit - Wege === Ziel des Kapitels ist es, einen Funktionenraum topologisieren zu können und Stetigkeit von Funktionen für topologische Räume zu behandeln. * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Grenzen des Folgenbegriffs|Grenzen des Folgenbegriffs]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Grenzen%20des%20Folgenbegriffs&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Grenzen%20des%20Folgenbegriffs&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] ==== Kapitel 1.1 - Wege in Funktionen ==== Ausgehend von Wegen in Euklidischen Vektorräume <math>\gamma : [a.b] \to \mathbb{R}^n </math> werden Wege in Funktionenräume behandelt. Einfache Wege in Funktionenräumen sind [[Konvexkombination]]en von Funktionen <math>\gamma : [0.1] \to \mathcal{C} ([a,b],\mathbb{R}) </math> mit <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot f + t\cdot g </math> als stetige Deformation einer Funktion <math>f</math> in eine Funktion <math>g</math>. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege und Nachhaltigkeit|Wege und Nachhaltigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Wege%20und%20Nachhaltigkeit&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege%20und%20Nachhaltigkeit&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wege|Wege in der komplexen Zahlenebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wege&author=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologischen%20Räumen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege&coursetitle=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologischen%20Räumen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen als Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvexkombination&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen|Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege in topologischen Räumen|Wege in topologischen Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Wege%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Stetig oder diskret]] ==== Kapitel 1.2 - Diskrete Daten und Interpolation von Funktionen ==== * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Interpolation von Gittern - NURBS|Interpolation von Gittern - NURBS]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Interpolation%20von%20Gittern%20-%20NURBS&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Interpolation%20von%20Gittern%20-%20NURBS&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Distanzdiskrete Vektorräume|Distanzdiskrete Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Distanzdiskrete%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Distanzdiskrete%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Glockenkurve|Glockenkurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Glockenkurve&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Glockenkurve&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===== Kapitel 1.3 - Topologische Vektorräume und topologieerzeugende Gaugefunktionale ===== Auf topologischen Vektorräumen <math>(V,\mathcal{T})</math> ist der Umgang mit einem System von offenen Mengen aufwendig. [[Normen, Metriken, Topologie|Metriken, Normen Halbnormen]] helfen dabei, topologische Eigenschaften (wie z.B. Konvergenz, Stetigkeit, ...) über diese topologieerzeugende Funktionale (siehe [[Gaugefunktional]]) auszudrücken. Das [[Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma]] für topologische Algebren verallgemeinert (Halb-)Normen und stellt den Zusammenhang zwischen der Topologie und den topologieererzeugenden Gaugefunktionalen her. [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige]] Nullumgebung liefern z.B. über [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowskifunktionale]] die absolute Homogenität <math>|\lambda | \cdot \|v\|_\alpha=\|\lambda \cdot v\|_\alpha</math>, die bereits von [[Normen, Metriken, Topologie|Normen]] bekannt sind und die Konvexität der Nullumgebung die Gültigkeit der Dreiecksungleichung <math>\|v+w\|_\alpha \leq \|v\|_\alpha + \|w\|_\alpha</math> von [[Halbnorm]]en. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra#Definition:_Topologische_Algebra|Topologische Vektorräume und topologische Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Vektorraum-Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung|Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[p-konvexe Subadditivität|p-konvexe Subadditivität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra#Definition:_Topologische_Algebra|Topologische Vektorräume und topologische Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Vektorraum-Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.5 - Stetigkeit von linearen Abbildungen ==== Auf <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale <math>\varphi</math> auf Funktionenräumen auffassen. :<math> \varphi(f) := \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> Der Vektorraum der stetigen Funktion <math>\mathcal{C}( [a,b], \mathbb{K} )</math> mit der Norm :<math> \|f\| := \int_{a}^{b} | f(x) |\, dx</math> ist allerdings bzgl. der Norm [[Vollständigkeit|nicht vollständig]]. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu <math>L_p(\mathbb{K})</math>-Räumen mit <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C} </math>. * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen - SLA]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Normierte Räume|SLA auf normierten Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/Normierte%20R%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/topologische Vektorräume|SLA auf topologischen Vektorräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/topologische%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetig oder diskret|Stetig oder diskret]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetig%20oder%20diskret&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetig%20oder%20diskret&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - stetig|Lineare Abbildungen - stetig]]''' * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - nicht stetig|Lineare Abbildungen - nicht stetig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/Beispiele%20-%20nicht%20stetig&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiele%20-%20nicht%20stetig&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.6 - Differenzierbarkeit auf topologische Algebren ==== Im Kontext von Nachhaltigkeit liefert das Änderungsverhalten Informationen darüber, ob die [[systemisches Denken|systemischen Veränderung]] bzgl. der Kenngrößen der Nachhhaltigkeit verbessert oder verschlechtert haben. Dazu betrachtet man Differenzierbarkeit auf topologischen Vektorräumen. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Differenzierbarkeit in Analysis und Funktiontheorie|Differenzierbarkeit in Analysis und Funktiontheorie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Differenzierbarkeit%20in%20Analysis%20und%20Funktiontheorie&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Differenzierbarkeit%20in%20Analysis%20und%20Funktiontheorie&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Ableitungen in topologischen Vektorräumen|Ableitungen in topologischen Vektorräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Ableitungen%20in%20topologischen%20Vektorr%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ableitungen%20in%20topologischen%20Vektorr%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.7 - Nachhaltigkeitsaspekte ==== * '''[[Kurs:Mathematik und Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Mathematik]]''' * '''[[Kurs:Mathematik und Nachhaltigkeit/Kreislaufwirtschaft|Kreislaufwirtschaft]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematik%20und%20Nachhaltigkeit/Kreislaufwirtschaft&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kreislaufwirtschaft&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Nachhaltigkeit und Mathematik in der Schule/]]''' * '''[[/Nachhaltigkeitsaspekte und funktionale Darstellungen/]]''' * '''[[Objektorientierte Mathematische Modellbildung|Objektorientierte Mathematische Modellbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Digitaler Zwilling|Digitaler Zwilling]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Digitaler%20Zwilling&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Digitaler%20Zwilling&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 === * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Geometrische Aspekte der Skalarproduktnorm]]''' [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz] [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hölderungleichung|Hölderungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/H%C3%B6lderungleichung&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in (Prä-)Hilberträumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales in (Prä-)Hilberträumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz für Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Satz von Jordan und von Neumann === Kapitel 3 === Dies Kapitel befasst sich mit der Verallgemeinerung des Integrationsbegriffes auf topologische Gruppen. Im Vergleich zu einem topologischen Vektorraum gibt es hier nur eine stetige Gruppenoperation <math>\circ</math> mit stetiger Inversenbildung. Dies ist eine Verallgemeinerung des klassischen Integrationsbegriffes einer additiven Gruppe <math>(\mathbb{R},+)</math>. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/topologische Gruppen|topologische Gruppen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/topologische%20Gruppen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Gruppen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kongruenzabbildungen der Ebene]] als topologische Gruppen * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Prozesse und Nachhaltigkeit|Prozesse und Nachhaltigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Prozesse%20und%20Nachhaltigkeit&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Prozesse%20und%20Nachhaltigkeit&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume|Zufallsvariablen für Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&shorttitle=Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=no&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stochastischer%20Prozess&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastischer%20Prozess&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume|Funktionenräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Funktionenr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionenr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Fuzzylogik|Fuzzylogik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Beispiel für Teilmengen von Funktionenräumen * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Konvergenz%20in%20Funktionenr%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20in%20Funktionenr%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen als Funktionenfolgen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Maschinelles%20Lernen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Maße als stetige lineare Funktionen|Maße als stetige lineare Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Ma%C3%9Fe%20als%20stetige%20lineare%20Funktionen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ma%C3%9Fe%20als%20stetige%20lineare%20Funktionen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Dualraum|Topologischer Dualraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Dualraum&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Dualraum&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- *'''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Gaugefunktionale und Topologisierungslemma]]''' --> * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig |unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz |Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] * [[Risikomanagement]] == Software == * [https://www.openlca.org/ OpenLCA - Open Life Cycle Assessment] - Open Source Software für Nachhaltigkeitmaße * Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und * für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. * [[Maxima CAS]] oder [[CAS4Wiki]] als [[w:de:Computeralgebrasystem|Computeralgebrasystem]] * [[Octave]] für numerische Berechnung * [[w:de:R (Programmiersprache)|Maßtheoretische Analysen von Data mit R]], sowie Dokumentengenerierung mit [[KnitR]] == Handschriftliche Annotationen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. == Siehe auch == Weitere Hinweise zu Lerninhalten gliedern sich in * fachmathematische inhaltliche Bezüge und * fächerübergreifende Bezüge === Siehe auch - Fachmathematische Inhalte === * [[w:de:Harmonische Analyse|Harmonische Analyse]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Deterministisches Kontaktmodell|Kurs:Räumliche Modellbildung - deterministische Kontaktmodelle]] * [[Metrik/Metrischer Raum/Definition|Definition: Metrik]] === Siehe auch - Fächerübergreifende Inhalte === * [[Grenzen des Wachstums]] * [[Geplante Obsoleszenz]] * [[v:en:Sustainable Development Goals|Nachhaltigkeitsziele der Vereinten Nationen]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] * [[v:en:Risk_Management/Tailored_Wikibooks|Tailored WikiBook]] * [[3D-Modellierung]] <noinclude>[[en:Measure Theory on topological Spaces]]</noinclude> == Quellennachweise == <references/> r2smblfkpfadhbrzidc22am6z7hb825 1105496 1105495 2026-06-26T06:18:29Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 3 */ 1105496 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[File:SDGs in Mathematik.svg|thumb|Einbindung der SDGs in die Mathematik]] [[File:NURBSSurface.png|thumb|Aus diskretem Gitter glatte Oberflächen erzeugen - NURBS]] == Inhalte == * '''[[/Einführung/]]''' behandelt einen Kurzüberblick, wie die mathematischen Themen aus der Abbildung im Zusammenhang mit Nachhaltigkeitsproblemen [[w:de:Ziele für nachhaltige Entwicklung|(SDG)]] genutzt werden können. === Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion]]''' * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Konvergenz|Konvergenz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Konvergenz&author=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologische%20Räumen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz&coursetitle=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologische%20Räumen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Topologische Algebra/Konvergenz gegen Unendlich|Konvergenz gegen Unendlich]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Topologische%20Algebra/Konvergenz%20gegen%20Unendlich&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20gegen%20Unendlich&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden. * '''[[Transformationssatz|Transformationssatz für Integrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Transformationssatz&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Transformationssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Polynomalgebra/]] ** [[p-adische Zahlsysteme]] ** [[Taylorreihe]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1 - Topologie - Stetigkeit - Wege === Ziel des Kapitels ist es, einen Funktionenraum topologisieren zu können und Stetigkeit von Funktionen für topologische Räume zu behandeln. * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Grenzen des Folgenbegriffs|Grenzen des Folgenbegriffs]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Grenzen%20des%20Folgenbegriffs&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Grenzen%20des%20Folgenbegriffs&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] ==== Kapitel 1.1 - Wege in Funktionen ==== Ausgehend von Wegen in Euklidischen Vektorräume <math>\gamma : [a.b] \to \mathbb{R}^n </math> werden Wege in Funktionenräume behandelt. Einfache Wege in Funktionenräumen sind [[Konvexkombination]]en von Funktionen <math>\gamma : [0.1] \to \mathcal{C} ([a,b],\mathbb{R}) </math> mit <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot f + t\cdot g </math> als stetige Deformation einer Funktion <math>f</math> in eine Funktion <math>g</math>. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege und Nachhaltigkeit|Wege und Nachhaltigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Wege%20und%20Nachhaltigkeit&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege%20und%20Nachhaltigkeit&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wege|Wege in der komplexen Zahlenebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wege&author=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologischen%20Räumen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege&coursetitle=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologischen%20Räumen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen als Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvexkombination&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen|Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege in topologischen Räumen|Wege in topologischen Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Wege%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Stetig oder diskret]] ==== Kapitel 1.2 - Diskrete Daten und Interpolation von Funktionen ==== * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Interpolation von Gittern - NURBS|Interpolation von Gittern - NURBS]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Interpolation%20von%20Gittern%20-%20NURBS&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Interpolation%20von%20Gittern%20-%20NURBS&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Distanzdiskrete Vektorräume|Distanzdiskrete Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Distanzdiskrete%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Distanzdiskrete%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Glockenkurve|Glockenkurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Glockenkurve&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Glockenkurve&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===== Kapitel 1.3 - Topologische Vektorräume und topologieerzeugende Gaugefunktionale ===== Auf topologischen Vektorräumen <math>(V,\mathcal{T})</math> ist der Umgang mit einem System von offenen Mengen aufwendig. [[Normen, Metriken, Topologie|Metriken, Normen Halbnormen]] helfen dabei, topologische Eigenschaften (wie z.B. Konvergenz, Stetigkeit, ...) über diese topologieerzeugende Funktionale (siehe [[Gaugefunktional]]) auszudrücken. Das [[Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma]] für topologische Algebren verallgemeinert (Halb-)Normen und stellt den Zusammenhang zwischen der Topologie und den topologieererzeugenden Gaugefunktionalen her. [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige]] Nullumgebung liefern z.B. über [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowskifunktionale]] die absolute Homogenität <math>|\lambda | \cdot \|v\|_\alpha=\|\lambda \cdot v\|_\alpha</math>, die bereits von [[Normen, Metriken, Topologie|Normen]] bekannt sind und die Konvexität der Nullumgebung die Gültigkeit der Dreiecksungleichung <math>\|v+w\|_\alpha \leq \|v\|_\alpha + \|w\|_\alpha</math> von [[Halbnorm]]en. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra#Definition:_Topologische_Algebra|Topologische Vektorräume und topologische Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Vektorraum-Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung|Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[p-konvexe Subadditivität|p-konvexe Subadditivität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra#Definition:_Topologische_Algebra|Topologische Vektorräume und topologische Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Vektorraum-Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.5 - Stetigkeit von linearen Abbildungen ==== Auf <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale <math>\varphi</math> auf Funktionenräumen auffassen. :<math> \varphi(f) := \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> Der Vektorraum der stetigen Funktion <math>\mathcal{C}( [a,b], \mathbb{K} )</math> mit der Norm :<math> \|f\| := \int_{a}^{b} | f(x) |\, dx</math> ist allerdings bzgl. der Norm [[Vollständigkeit|nicht vollständig]]. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu <math>L_p(\mathbb{K})</math>-Räumen mit <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C} </math>. * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen - SLA]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Normierte Räume|SLA auf normierten Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/Normierte%20R%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/topologische Vektorräume|SLA auf topologischen Vektorräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/topologische%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetig oder diskret|Stetig oder diskret]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetig%20oder%20diskret&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetig%20oder%20diskret&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - stetig|Lineare Abbildungen - stetig]]''' * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - nicht stetig|Lineare Abbildungen - nicht stetig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/Beispiele%20-%20nicht%20stetig&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiele%20-%20nicht%20stetig&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.6 - Differenzierbarkeit auf topologische Algebren ==== Im Kontext von Nachhaltigkeit liefert das Änderungsverhalten Informationen darüber, ob die [[systemisches Denken|systemischen Veränderung]] bzgl. der Kenngrößen der Nachhhaltigkeit verbessert oder verschlechtert haben. Dazu betrachtet man Differenzierbarkeit auf topologischen Vektorräumen. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Differenzierbarkeit in Analysis und Funktiontheorie|Differenzierbarkeit in Analysis und Funktiontheorie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Differenzierbarkeit%20in%20Analysis%20und%20Funktiontheorie&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Differenzierbarkeit%20in%20Analysis%20und%20Funktiontheorie&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Ableitungen in topologischen Vektorräumen|Ableitungen in topologischen Vektorräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Ableitungen%20in%20topologischen%20Vektorr%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ableitungen%20in%20topologischen%20Vektorr%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.7 - Nachhaltigkeitsaspekte ==== * '''[[Kurs:Mathematik und Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Mathematik]]''' * '''[[Kurs:Mathematik und Nachhaltigkeit/Kreislaufwirtschaft|Kreislaufwirtschaft]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematik%20und%20Nachhaltigkeit/Kreislaufwirtschaft&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kreislaufwirtschaft&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Nachhaltigkeit und Mathematik in der Schule/]]''' * '''[[/Nachhaltigkeitsaspekte und funktionale Darstellungen/]]''' * '''[[Objektorientierte Mathematische Modellbildung|Objektorientierte Mathematische Modellbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Digitaler Zwilling|Digitaler Zwilling]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Digitaler%20Zwilling&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Digitaler%20Zwilling&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 === * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Geometrische Aspekte der Skalarproduktnorm]]''' [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz] [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hölderungleichung|Hölderungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/H%C3%B6lderungleichung&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in (Prä-)Hilberträumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales in (Prä-)Hilberträumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz für Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Satz von Jordan und von Neumann === Kapitel 3 === Dies Kapitel befasst sich mit der Verallgemeinerung des Integrationsbegriffes auf topologische Gruppen. Im Vergleich zu einem topologischen Vektorraum gibt es hier nur eine stetige Gruppenoperation <math>\circ</math> mit stetiger Inversenbildung. Dies ist eine Verallgemeinerung des klassischen Integrationsbegriffes einer additiven Gruppe <math>(\mathbb{R},+)</math>. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/topologische Gruppen|topologische Gruppen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/topologische%20Gruppen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Gruppen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kongruenzabbildungen der Ebene]] als topologische Gruppen * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Prozesse und Nachhaltigkeit|Prozesse und Nachhaltigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Prozesse%20und%20Nachhaltigkeit&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Prozesse%20und%20Nachhaltigkeit&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume|Zufallsvariablen für Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&shorttitle=Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=no&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stochastischer%20Prozess&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastischer%20Prozess&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume|Funktionenräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Funktionenr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionenr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Fuzzylogik|Fuzzylogik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Beispiel für Teilmengen von Funktionenräumen * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Konvergenz%20in%20Funktionenr%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20in%20Funktionenr%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen als Funktionenfolgen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Maschinelles%20Lernen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Maße als stetige lineare Funktionen|Maße als stetige lineare Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Ma%C3%9Fe%20als%20stetige%20lineare%20Funktionen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ma%C3%9Fe%20als%20stetige%20lineare%20Funktionen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Dualraum|Topologischer Dualraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Dualraum&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Dualraum&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- *'''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Gaugefunktionale und Topologisierungslemma]]''' --> * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz |Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] * [[Risikomanagement]] == Software == * [https://www.openlca.org/ OpenLCA - Open Life Cycle Assessment] - Open Source Software für Nachhaltigkeitmaße * Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und * für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. * [[Maxima CAS]] oder [[CAS4Wiki]] als [[w:de:Computeralgebrasystem|Computeralgebrasystem]] * [[Octave]] für numerische Berechnung * [[w:de:R (Programmiersprache)|Maßtheoretische Analysen von Data mit R]], sowie Dokumentengenerierung mit [[KnitR]] == Handschriftliche Annotationen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. == Siehe auch == Weitere Hinweise zu Lerninhalten gliedern sich in * fachmathematische inhaltliche Bezüge und * fächerübergreifende Bezüge === Siehe auch - Fachmathematische Inhalte === * [[w:de:Harmonische Analyse|Harmonische Analyse]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Deterministisches Kontaktmodell|Kurs:Räumliche Modellbildung - deterministische Kontaktmodelle]] * [[Metrik/Metrischer Raum/Definition|Definition: Metrik]] === Siehe auch - Fächerübergreifende Inhalte === * [[Grenzen des Wachstums]] * [[Geplante Obsoleszenz]] * [[v:en:Sustainable Development Goals|Nachhaltigkeitsziele der Vereinten Nationen]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] * [[v:en:Risk_Management/Tailored_Wikibooks|Tailored WikiBook]] * [[3D-Modellierung]] <noinclude>[[en:Measure Theory on topological Spaces]]</noinclude> == Quellennachweise == <references/> sjmwlac4umf5e50v29c6p5rhnp2yacw 1105498 1105496 2026-06-26T06:20:09Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 3 */ 1105498 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[File:SDGs in Mathematik.svg|thumb|Einbindung der SDGs in die Mathematik]] [[File:NURBSSurface.png|thumb|Aus diskretem Gitter glatte Oberflächen erzeugen - NURBS]] == Inhalte == * '''[[/Einführung/]]''' behandelt einen Kurzüberblick, wie die mathematischen Themen aus der Abbildung im Zusammenhang mit Nachhaltigkeitsproblemen [[w:de:Ziele für nachhaltige Entwicklung|(SDG)]] genutzt werden können. === Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion]]''' * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Konvergenz|Konvergenz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Konvergenz&author=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologische%20Räumen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz&coursetitle=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologische%20Räumen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Topologische Algebra/Konvergenz gegen Unendlich|Konvergenz gegen Unendlich]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Topologische%20Algebra/Konvergenz%20gegen%20Unendlich&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20gegen%20Unendlich&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden. * '''[[Transformationssatz|Transformationssatz für Integrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Transformationssatz&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Transformationssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Polynomalgebra/]] ** [[p-adische Zahlsysteme]] ** [[Taylorreihe]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1 - Topologie - Stetigkeit - Wege === Ziel des Kapitels ist es, einen Funktionenraum topologisieren zu können und Stetigkeit von Funktionen für topologische Räume zu behandeln. * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Grenzen des Folgenbegriffs|Grenzen des Folgenbegriffs]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Grenzen%20des%20Folgenbegriffs&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Grenzen%20des%20Folgenbegriffs&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] ==== Kapitel 1.1 - Wege in Funktionen ==== Ausgehend von Wegen in Euklidischen Vektorräume <math>\gamma : [a.b] \to \mathbb{R}^n </math> werden Wege in Funktionenräume behandelt. Einfache Wege in Funktionenräumen sind [[Konvexkombination]]en von Funktionen <math>\gamma : [0.1] \to \mathcal{C} ([a,b],\mathbb{R}) </math> mit <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot f + t\cdot g </math> als stetige Deformation einer Funktion <math>f</math> in eine Funktion <math>g</math>. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege und Nachhaltigkeit|Wege und Nachhaltigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Wege%20und%20Nachhaltigkeit&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege%20und%20Nachhaltigkeit&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wege|Wege in der komplexen Zahlenebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wege&author=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologischen%20Räumen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege&coursetitle=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologischen%20Räumen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen als Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvexkombination&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen|Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege in topologischen Räumen|Wege in topologischen Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Wege%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Stetig oder diskret]] ==== Kapitel 1.2 - Diskrete Daten und Interpolation von Funktionen ==== * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Interpolation von Gittern - NURBS|Interpolation von Gittern - NURBS]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Interpolation%20von%20Gittern%20-%20NURBS&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Interpolation%20von%20Gittern%20-%20NURBS&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Distanzdiskrete Vektorräume|Distanzdiskrete Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Distanzdiskrete%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Distanzdiskrete%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Glockenkurve|Glockenkurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Glockenkurve&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Glockenkurve&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===== Kapitel 1.3 - Topologische Vektorräume und topologieerzeugende Gaugefunktionale ===== Auf topologischen Vektorräumen <math>(V,\mathcal{T})</math> ist der Umgang mit einem System von offenen Mengen aufwendig. [[Normen, Metriken, Topologie|Metriken, Normen Halbnormen]] helfen dabei, topologische Eigenschaften (wie z.B. Konvergenz, Stetigkeit, ...) über diese topologieerzeugende Funktionale (siehe [[Gaugefunktional]]) auszudrücken. Das [[Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma]] für topologische Algebren verallgemeinert (Halb-)Normen und stellt den Zusammenhang zwischen der Topologie und den topologieererzeugenden Gaugefunktionalen her. [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige]] Nullumgebung liefern z.B. über [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowskifunktionale]] die absolute Homogenität <math>|\lambda | \cdot \|v\|_\alpha=\|\lambda \cdot v\|_\alpha</math>, die bereits von [[Normen, Metriken, Topologie|Normen]] bekannt sind und die Konvexität der Nullumgebung die Gültigkeit der Dreiecksungleichung <math>\|v+w\|_\alpha \leq \|v\|_\alpha + \|w\|_\alpha</math> von [[Halbnorm]]en. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra#Definition:_Topologische_Algebra|Topologische Vektorräume und topologische Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Vektorraum-Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung|Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[p-konvexe Subadditivität|p-konvexe Subadditivität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra#Definition:_Topologische_Algebra|Topologische Vektorräume und topologische Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Vektorraum-Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.5 - Stetigkeit von linearen Abbildungen ==== Auf <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale <math>\varphi</math> auf Funktionenräumen auffassen. :<math> \varphi(f) := \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> Der Vektorraum der stetigen Funktion <math>\mathcal{C}( [a,b], \mathbb{K} )</math> mit der Norm :<math> \|f\| := \int_{a}^{b} | f(x) |\, dx</math> ist allerdings bzgl. der Norm [[Vollständigkeit|nicht vollständig]]. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu <math>L_p(\mathbb{K})</math>-Räumen mit <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C} </math>. * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen - SLA]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Normierte Räume|SLA auf normierten Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/Normierte%20R%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/topologische Vektorräume|SLA auf topologischen Vektorräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/topologische%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetig oder diskret|Stetig oder diskret]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetig%20oder%20diskret&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetig%20oder%20diskret&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - stetig|Lineare Abbildungen - stetig]]''' * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - nicht stetig|Lineare Abbildungen - nicht stetig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/Beispiele%20-%20nicht%20stetig&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiele%20-%20nicht%20stetig&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.6 - Differenzierbarkeit auf topologische Algebren ==== Im Kontext von Nachhaltigkeit liefert das Änderungsverhalten Informationen darüber, ob die [[systemisches Denken|systemischen Veränderung]] bzgl. der Kenngrößen der Nachhhaltigkeit verbessert oder verschlechtert haben. Dazu betrachtet man Differenzierbarkeit auf topologischen Vektorräumen. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Differenzierbarkeit in Analysis und Funktiontheorie|Differenzierbarkeit in Analysis und Funktiontheorie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Differenzierbarkeit%20in%20Analysis%20und%20Funktiontheorie&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Differenzierbarkeit%20in%20Analysis%20und%20Funktiontheorie&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Ableitungen in topologischen Vektorräumen|Ableitungen in topologischen Vektorräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Ableitungen%20in%20topologischen%20Vektorr%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ableitungen%20in%20topologischen%20Vektorr%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.7 - Nachhaltigkeitsaspekte ==== * '''[[Kurs:Mathematik und Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Mathematik]]''' * '''[[Kurs:Mathematik und Nachhaltigkeit/Kreislaufwirtschaft|Kreislaufwirtschaft]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematik%20und%20Nachhaltigkeit/Kreislaufwirtschaft&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kreislaufwirtschaft&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Nachhaltigkeit und Mathematik in der Schule/]]''' * '''[[/Nachhaltigkeitsaspekte und funktionale Darstellungen/]]''' * '''[[Objektorientierte Mathematische Modellbildung|Objektorientierte Mathematische Modellbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Digitaler Zwilling|Digitaler Zwilling]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Digitaler%20Zwilling&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Digitaler%20Zwilling&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 === * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Geometrische Aspekte der Skalarproduktnorm]]''' [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz] [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hölderungleichung|Hölderungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/H%C3%B6lderungleichung&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in (Prä-)Hilberträumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales in (Prä-)Hilberträumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz für Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Satz von Jordan und von Neumann === Kapitel 3 === Dies Kapitel befasst sich mit der Verallgemeinerung des Integrationsbegriffes auf topologische Gruppen. Im Vergleich zu einem topologischen Vektorraum gibt es hier nur eine stetige Gruppenoperation <math>\circ</math> mit stetiger Inversenbildung. Dies ist eine Verallgemeinerung des klassischen Integrationsbegriffes einer additiven Gruppe <math>(\mathbb{R},+)</math>. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/topologische Gruppen|topologische Gruppen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/topologische%20Gruppen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Gruppen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kongruenzabbildungen der Ebene]] als topologische Gruppen * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Prozesse und Nachhaltigkeit|Prozesse und Nachhaltigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Prozesse%20und%20Nachhaltigkeit&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Prozesse%20und%20Nachhaltigkeit&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume|Zufallsvariablen für Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&shorttitle=Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=no&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stochastischer%20Prozess&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastischer%20Prozess&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume|Funktionenräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Funktionenr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionenr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Fuzzylogik|Fuzzylogik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Beispiel für Teilmengen von Funktionenräumen * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Konvergenz%20in%20Funktionenr%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20in%20Funktionenr%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen als Funktionenfolgen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Maschinelles%20Lernen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Maße als stetige lineare Funktionen|Maße als stetige lineare Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Ma%C3%9Fe%20als%20stetige%20lineare%20Funktionen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ma%C3%9Fe%20als%20stetige%20lineare%20Funktionen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Dualraum|Topologischer Dualraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Dualraum&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Dualraum&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- *'''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Gaugefunktionale und Topologisierungslemma]]''' --> * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] * [[Risikomanagement]] == Software == * [https://www.openlca.org/ OpenLCA - Open Life Cycle Assessment] - Open Source Software für Nachhaltigkeitmaße * Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und * für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. * [[Maxima CAS]] oder [[CAS4Wiki]] als [[w:de:Computeralgebrasystem|Computeralgebrasystem]] * [[Octave]] für numerische Berechnung * [[w:de:R (Programmiersprache)|Maßtheoretische Analysen von Data mit R]], sowie Dokumentengenerierung mit [[KnitR]] == Handschriftliche Annotationen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. == Siehe auch == Weitere Hinweise zu Lerninhalten gliedern sich in * fachmathematische inhaltliche Bezüge und * fächerübergreifende Bezüge === Siehe auch - Fachmathematische Inhalte === * [[w:de:Harmonische Analyse|Harmonische Analyse]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Deterministisches Kontaktmodell|Kurs:Räumliche Modellbildung - deterministische Kontaktmodelle]] * [[Metrik/Metrischer Raum/Definition|Definition: Metrik]] === Siehe auch - Fächerübergreifende Inhalte === * [[Grenzen des Wachstums]] * [[Geplante Obsoleszenz]] * [[v:en:Sustainable Development Goals|Nachhaltigkeitsziele der Vereinten Nationen]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] * [[v:en:Risk_Management/Tailored_Wikibooks|Tailored WikiBook]] * [[3D-Modellierung]] <noinclude>[[en:Measure Theory on topological Spaces]]</noinclude> == Quellennachweise == <references/> oz6nsze7owx6isv2v81vwxh2lbkionb 1105500 1105498 2026-06-26T06:22:24Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 3 */ 1105500 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[File:SDGs in Mathematik.svg|thumb|Einbindung der SDGs in die Mathematik]] [[File:NURBSSurface.png|thumb|Aus diskretem Gitter glatte Oberflächen erzeugen - NURBS]] == Inhalte == * '''[[/Einführung/]]''' behandelt einen Kurzüberblick, wie die mathematischen Themen aus der Abbildung im Zusammenhang mit Nachhaltigkeitsproblemen [[w:de:Ziele für nachhaltige Entwicklung|(SDG)]] genutzt werden können. === Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion]]''' * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Konvergenz|Konvergenz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Konvergenz&author=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologische%20Räumen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz&coursetitle=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologische%20Räumen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Topologische Algebra/Konvergenz gegen Unendlich|Konvergenz gegen Unendlich]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Topologische%20Algebra/Konvergenz%20gegen%20Unendlich&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20gegen%20Unendlich&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden. * '''[[Transformationssatz|Transformationssatz für Integrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Transformationssatz&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Transformationssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Polynomalgebra/]] ** [[p-adische Zahlsysteme]] ** [[Taylorreihe]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1 - Topologie - Stetigkeit - Wege === Ziel des Kapitels ist es, einen Funktionenraum topologisieren zu können und Stetigkeit von Funktionen für topologische Räume zu behandeln. * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Grenzen des Folgenbegriffs|Grenzen des Folgenbegriffs]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Grenzen%20des%20Folgenbegriffs&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Grenzen%20des%20Folgenbegriffs&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] ==== Kapitel 1.1 - Wege in Funktionen ==== Ausgehend von Wegen in Euklidischen Vektorräume <math>\gamma : [a.b] \to \mathbb{R}^n </math> werden Wege in Funktionenräume behandelt. Einfache Wege in Funktionenräumen sind [[Konvexkombination]]en von Funktionen <math>\gamma : [0.1] \to \mathcal{C} ([a,b],\mathbb{R}) </math> mit <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot f + t\cdot g </math> als stetige Deformation einer Funktion <math>f</math> in eine Funktion <math>g</math>. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege und Nachhaltigkeit|Wege und Nachhaltigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Wege%20und%20Nachhaltigkeit&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege%20und%20Nachhaltigkeit&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wege|Wege in der komplexen Zahlenebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wege&author=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologischen%20Räumen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege&coursetitle=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologischen%20Räumen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen als Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvexkombination&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen|Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege in topologischen Räumen|Wege in topologischen Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Wege%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Stetig oder diskret]] ==== Kapitel 1.2 - Diskrete Daten und Interpolation von Funktionen ==== * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Interpolation von Gittern - NURBS|Interpolation von Gittern - NURBS]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Interpolation%20von%20Gittern%20-%20NURBS&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Interpolation%20von%20Gittern%20-%20NURBS&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Distanzdiskrete Vektorräume|Distanzdiskrete Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Distanzdiskrete%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Distanzdiskrete%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Glockenkurve|Glockenkurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Glockenkurve&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Glockenkurve&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===== Kapitel 1.3 - Topologische Vektorräume und topologieerzeugende Gaugefunktionale ===== Auf topologischen Vektorräumen <math>(V,\mathcal{T})</math> ist der Umgang mit einem System von offenen Mengen aufwendig. [[Normen, Metriken, Topologie|Metriken, Normen Halbnormen]] helfen dabei, topologische Eigenschaften (wie z.B. Konvergenz, Stetigkeit, ...) über diese topologieerzeugende Funktionale (siehe [[Gaugefunktional]]) auszudrücken. Das [[Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma]] für topologische Algebren verallgemeinert (Halb-)Normen und stellt den Zusammenhang zwischen der Topologie und den topologieererzeugenden Gaugefunktionalen her. [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige]] Nullumgebung liefern z.B. über [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowskifunktionale]] die absolute Homogenität <math>|\lambda | \cdot \|v\|_\alpha=\|\lambda \cdot v\|_\alpha</math>, die bereits von [[Normen, Metriken, Topologie|Normen]] bekannt sind und die Konvexität der Nullumgebung die Gültigkeit der Dreiecksungleichung <math>\|v+w\|_\alpha \leq \|v\|_\alpha + \|w\|_\alpha</math> von [[Halbnorm]]en. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra#Definition:_Topologische_Algebra|Topologische Vektorräume und topologische Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Vektorraum-Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung|Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[p-konvexe Subadditivität|p-konvexe Subadditivität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra#Definition:_Topologische_Algebra|Topologische Vektorräume und topologische Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Vektorraum-Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.5 - Stetigkeit von linearen Abbildungen ==== Auf <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale <math>\varphi</math> auf Funktionenräumen auffassen. :<math> \varphi(f) := \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> Der Vektorraum der stetigen Funktion <math>\mathcal{C}( [a,b], \mathbb{K} )</math> mit der Norm :<math> \|f\| := \int_{a}^{b} | f(x) |\, dx</math> ist allerdings bzgl. der Norm [[Vollständigkeit|nicht vollständig]]. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu <math>L_p(\mathbb{K})</math>-Räumen mit <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C} </math>. * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen - SLA]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Normierte Räume|SLA auf normierten Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/Normierte%20R%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/topologische Vektorräume|SLA auf topologischen Vektorräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/topologische%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetig oder diskret|Stetig oder diskret]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetig%20oder%20diskret&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetig%20oder%20diskret&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - stetig|Lineare Abbildungen - stetig]]''' * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - nicht stetig|Lineare Abbildungen - nicht stetig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/Beispiele%20-%20nicht%20stetig&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiele%20-%20nicht%20stetig&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.6 - Differenzierbarkeit auf topologische Algebren ==== Im Kontext von Nachhaltigkeit liefert das Änderungsverhalten Informationen darüber, ob die [[systemisches Denken|systemischen Veränderung]] bzgl. der Kenngrößen der Nachhhaltigkeit verbessert oder verschlechtert haben. Dazu betrachtet man Differenzierbarkeit auf topologischen Vektorräumen. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Differenzierbarkeit in Analysis und Funktiontheorie|Differenzierbarkeit in Analysis und Funktiontheorie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Differenzierbarkeit%20in%20Analysis%20und%20Funktiontheorie&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Differenzierbarkeit%20in%20Analysis%20und%20Funktiontheorie&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Ableitungen in topologischen Vektorräumen|Ableitungen in topologischen Vektorräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Ableitungen%20in%20topologischen%20Vektorr%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ableitungen%20in%20topologischen%20Vektorr%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.7 - Nachhaltigkeitsaspekte ==== * '''[[Kurs:Mathematik und Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Mathematik]]''' * '''[[Kurs:Mathematik und Nachhaltigkeit/Kreislaufwirtschaft|Kreislaufwirtschaft]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematik%20und%20Nachhaltigkeit/Kreislaufwirtschaft&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kreislaufwirtschaft&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Nachhaltigkeit und Mathematik in der Schule/]]''' * '''[[/Nachhaltigkeitsaspekte und funktionale Darstellungen/]]''' * '''[[Objektorientierte Mathematische Modellbildung|Objektorientierte Mathematische Modellbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Digitaler Zwilling|Digitaler Zwilling]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Digitaler%20Zwilling&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Digitaler%20Zwilling&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 === * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Geometrische Aspekte der Skalarproduktnorm]]''' [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz] [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hölderungleichung|Hölderungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/H%C3%B6lderungleichung&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in (Prä-)Hilberträumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales in (Prä-)Hilberträumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz für Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Satz von Jordan und von Neumann === Kapitel 3 === Dies Kapitel befasst sich mit der Verallgemeinerung des Integrationsbegriffes auf topologische Gruppen. Im Vergleich zu einem topologischen Vektorraum gibt es hier nur eine stetige Gruppenoperation <math>\circ</math> mit stetiger Inversenbildung. Dies ist eine Verallgemeinerung des klassischen Integrationsbegriffes einer additiven Gruppe <math>(\mathbb{R},+)</math>. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/topologische Gruppen|topologische Gruppen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/topologische%20Gruppen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Gruppen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kongruenzabbildungen der Ebene]] als topologische Gruppen * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Prozesse und Nachhaltigkeit|Prozesse und Nachhaltigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Prozesse%20und%20Nachhaltigkeit&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Prozesse%20und%20Nachhaltigkeit&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume|Zufallsvariablen für Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&shorttitle=Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=no&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stochastischer%20Prozess&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastischer%20Prozess&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume|Funktionenräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Funktionenr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionenr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Fuzzylogik|Fuzzylogik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Beispiel für Teilmengen von Funktionenräumen * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Konvergenz%20in%20Funktionenr%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20in%20Funktionenr%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen als Funktionenfolgen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Maschinelles%20Lernen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Maße als stetige lineare Funktionen|Maße als stetige lineare Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Ma%C3%9Fe%20als%20stetige%20lineare%20Funktionen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ma%C3%9Fe%20als%20stetige%20lineare%20Funktionen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Dualraum|Topologischer Dualraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Dualraum&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Dualraum&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- *'''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Gaugefunktionale und Topologisierungslemma]]''' --> * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] * [[Risikomanagement]] == Software == * [https://www.openlca.org/ OpenLCA - Open Life Cycle Assessment] - Open Source Software für Nachhaltigkeitmaße * Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und * für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. * [[Maxima CAS]] oder [[CAS4Wiki]] als [[w:de:Computeralgebrasystem|Computeralgebrasystem]] * [[Octave]] für numerische Berechnung * [[w:de:R (Programmiersprache)|Maßtheoretische Analysen von Data mit R]], sowie Dokumentengenerierung mit [[KnitR]] == Handschriftliche Annotationen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. == Siehe auch == Weitere Hinweise zu Lerninhalten gliedern sich in * fachmathematische inhaltliche Bezüge und * fächerübergreifende Bezüge === Siehe auch - Fachmathematische Inhalte === * [[w:de:Harmonische Analyse|Harmonische Analyse]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Deterministisches Kontaktmodell|Kurs:Räumliche Modellbildung - deterministische Kontaktmodelle]] * [[Metrik/Metrischer Raum/Definition|Definition: Metrik]] === Siehe auch - Fächerübergreifende Inhalte === * [[Grenzen des Wachstums]] * [[Geplante Obsoleszenz]] * [[v:en:Sustainable Development Goals|Nachhaltigkeitsziele der Vereinten Nationen]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] * [[v:en:Risk_Management/Tailored_Wikibooks|Tailored WikiBook]] * [[3D-Modellierung]] <noinclude>[[en:Measure Theory on topological Spaces]]</noinclude> == Quellennachweise == <references/> p6ieg5rfwmm99lrblk3ylpo1sij0di5 1105501 1105500 2026-06-26T06:24:01Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 3 */ 1105501 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[File:SDGs in Mathematik.svg|thumb|Einbindung der SDGs in die Mathematik]] [[File:NURBSSurface.png|thumb|Aus diskretem Gitter glatte Oberflächen erzeugen - NURBS]] == Inhalte == * '''[[/Einführung/]]''' behandelt einen Kurzüberblick, wie die mathematischen Themen aus der Abbildung im Zusammenhang mit Nachhaltigkeitsproblemen [[w:de:Ziele für nachhaltige Entwicklung|(SDG)]] genutzt werden können. === Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion]]''' * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Konvergenz|Konvergenz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Konvergenz&author=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologische%20Räumen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz&coursetitle=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologische%20Räumen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Topologische Algebra/Konvergenz gegen Unendlich|Konvergenz gegen Unendlich]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Topologische%20Algebra/Konvergenz%20gegen%20Unendlich&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20gegen%20Unendlich&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden. * '''[[Transformationssatz|Transformationssatz für Integrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Transformationssatz&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Transformationssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Polynomalgebra/]] ** [[p-adische Zahlsysteme]] ** [[Taylorreihe]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1 - Topologie - Stetigkeit - Wege === Ziel des Kapitels ist es, einen Funktionenraum topologisieren zu können und Stetigkeit von Funktionen für topologische Räume zu behandeln. * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Grenzen des Folgenbegriffs|Grenzen des Folgenbegriffs]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Grenzen%20des%20Folgenbegriffs&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Grenzen%20des%20Folgenbegriffs&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] ==== Kapitel 1.1 - Wege in Funktionen ==== Ausgehend von Wegen in Euklidischen Vektorräume <math>\gamma : [a.b] \to \mathbb{R}^n </math> werden Wege in Funktionenräume behandelt. Einfache Wege in Funktionenräumen sind [[Konvexkombination]]en von Funktionen <math>\gamma : [0.1] \to \mathcal{C} ([a,b],\mathbb{R}) </math> mit <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot f + t\cdot g </math> als stetige Deformation einer Funktion <math>f</math> in eine Funktion <math>g</math>. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege und Nachhaltigkeit|Wege und Nachhaltigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Wege%20und%20Nachhaltigkeit&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege%20und%20Nachhaltigkeit&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wege|Wege in der komplexen Zahlenebene]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wege&author=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologischen%20Räumen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege&coursetitle=Kurs:Maßtheorie%20auf%20topologischen%20Räumen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Konvexkombination|Konvexkombinationen als Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Konvexkombination&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvexkombination&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen|Stetigkeit von Abbildungen in topologischen Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Stetigkeit%20von%20Abbildungen%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Wege in topologischen Räumen|Wege in topologischen Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Wege%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wege%20in%20topologischen%20R%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Stetig oder diskret]] ==== Kapitel 1.2 - Diskrete Daten und Interpolation von Funktionen ==== * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Interpolation von Gittern - NURBS|Interpolation von Gittern - NURBS]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Interpolation%20von%20Gittern%20-%20NURBS&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Interpolation%20von%20Gittern%20-%20NURBS&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Distanzdiskrete Vektorräume|Distanzdiskrete Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Distanzdiskrete%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Distanzdiskrete%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Funktionalanalysis Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Glockenkurve|Glockenkurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Glockenkurve&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Glockenkurve&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ===== Kapitel 1.3 - Topologische Vektorräume und topologieerzeugende Gaugefunktionale ===== Auf topologischen Vektorräumen <math>(V,\mathcal{T})</math> ist der Umgang mit einem System von offenen Mengen aufwendig. [[Normen, Metriken, Topologie|Metriken, Normen Halbnormen]] helfen dabei, topologische Eigenschaften (wie z.B. Konvergenz, Stetigkeit, ...) über diese topologieerzeugende Funktionale (siehe [[Gaugefunktional]]) auszudrücken. Das [[Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma]] für topologische Algebren verallgemeinert (Halb-)Normen und stellt den Zusammenhang zwischen der Topologie und den topologieererzeugenden Gaugefunktionalen her. [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige]] Nullumgebung liefern z.B. über [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Minkowskifunktionale]] die absolute Homogenität <math>|\lambda | \cdot \|v\|_\alpha=\|\lambda \cdot v\|_\alpha</math>, die bereits von [[Normen, Metriken, Topologie|Normen]] bekannt sind und die Konvexität der Nullumgebung die Gültigkeit der Dreiecksungleichung <math>\|v+w\|_\alpha \leq \|v\|_\alpha + \|w\|_\alpha</math> von [[Halbnorm]]en. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra#Definition:_Topologische_Algebra|Topologische Vektorräume und topologische Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Vektorraum-Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung|Konvexe Mengen und Dreiecksungleichung]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[p-konvexe Subadditivität|p-konvexe Subadditivität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-konvexe%20Subadditivit%C3%A4t&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra#Definition:_Topologische_Algebra|Topologische Vektorräume und topologische Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Vektorraum-Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.5 - Stetigkeit von linearen Abbildungen ==== Auf <math>\mathbb{K}</math>-Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale <math>\varphi</math> auf Funktionenräumen auffassen. :<math> \varphi(f) := \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> Der Vektorraum der stetigen Funktion <math>\mathcal{C}( [a,b], \mathbb{K} )</math> mit der Norm :<math> \|f\| := \int_{a}^{b} | f(x) |\, dx</math> ist allerdings bzgl. der Norm [[Vollständigkeit|nicht vollständig]]. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu <math>L_p(\mathbb{K})</math>-Räumen mit <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C} </math>. * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen - SLA]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Normierte Räume|SLA auf normierten Räumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/Normierte%20R%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/topologische Vektorräume|SLA auf topologischen Vektorräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/topologische%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Vektorr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetig oder diskret|Stetig oder diskret]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetig%20oder%20diskret&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stetig%20oder%20diskret&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - stetig|Lineare Abbildungen - stetig]]''' * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - nicht stetig|Lineare Abbildungen - nicht stetig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz%20f%C3%BCr%20lineare%20Abbildungen/Beispiele%20-%20nicht%20stetig&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispiele%20-%20nicht%20stetig&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.6 - Differenzierbarkeit auf topologische Algebren ==== Im Kontext von Nachhaltigkeit liefert das Änderungsverhalten Informationen darüber, ob die [[systemisches Denken|systemischen Veränderung]] bzgl. der Kenngrößen der Nachhhaltigkeit verbessert oder verschlechtert haben. Dazu betrachtet man Differenzierbarkeit auf topologischen Vektorräumen. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Differenzierbarkeit in Analysis und Funktiontheorie|Differenzierbarkeit in Analysis und Funktiontheorie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Differenzierbarkeit%20in%20Analysis%20und%20Funktiontheorie&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Differenzierbarkeit%20in%20Analysis%20und%20Funktiontheorie&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Ableitungen in topologischen Vektorräumen|Ableitungen in topologischen Vektorräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Ableitungen%20in%20topologischen%20Vektorr%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ableitungen%20in%20topologischen%20Vektorr%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ==== Kapitel 1.7 - Nachhaltigkeitsaspekte ==== * '''[[Kurs:Mathematik und Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Mathematik]]''' * '''[[Kurs:Mathematik und Nachhaltigkeit/Kreislaufwirtschaft|Kreislaufwirtschaft]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematik%20und%20Nachhaltigkeit/Kreislaufwirtschaft&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kreislaufwirtschaft&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Nachhaltigkeit und Mathematik in der Schule/]]''' * '''[[/Nachhaltigkeitsaspekte und funktionale Darstellungen/]]''' * '''[[Objektorientierte Mathematische Modellbildung|Objektorientierte Mathematische Modellbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Objektorientierte%20Mathematische%20Modellbildung&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Digitaler Zwilling|Digitaler Zwilling]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Digitaler%20Zwilling&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Digitaler%20Zwilling&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2 === * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm|Geometrische Aspekte der Skalarproduktnorm]]''' [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Skalarproduktnorm&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz] [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hölderungleichung|Hölderungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/H%C3%B6lderungleichung&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung|Cauchy-Schwarz-Ungleichung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Schwarz-Ungleichung&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras in (Prä-)Hilberträumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales in (Prä-)Hilberträumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches%20Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz für Skalarprodukte|Existenzsatz für Skalarprodukte]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Existenzsatz%20f%C3%BCr%20Skalarprodukte&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Satz von Jordan und von Neumann === Kapitel 3 === Dies Kapitel befasst sich mit der Verallgemeinerung des Integrationsbegriffes auf topologische Gruppen. Im Vergleich zu einem topologischen Vektorraum gibt es hier nur eine stetige Gruppenoperation <math>\circ</math> mit stetiger Inversenbildung. Dies ist eine Verallgemeinerung des klassischen Integrationsbegriffes einer additiven Gruppe <math>(\mathbb{R},+)</math>. * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/topologische Gruppen|topologische Gruppen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/topologische%20Gruppen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=topologische%20Gruppen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kongruenzabbildungen der Ebene]] als topologische Gruppen * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Prozesse und Nachhaltigkeit|Prozesse und Nachhaltigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Prozesse%20und%20Nachhaltigkeit&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Prozesse%20und%20Nachhaltigkeit&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen für Vektorräume|Zufallsvariablen für Vektorräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Stochastik/Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&shorttitle=Zufallsvariablen%20f%C3%BCr%20Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=no&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stochastischer Prozess|Stochastischer Prozess]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stochastischer%20Prozess&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stochastischer%20Prozess&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume|Funktionenräume]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Funktionenr%C3%A4ume&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Funktionenr%C3%A4ume&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Fuzzylogik|Fuzzylogik]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fuzzylogik&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fuzzylogik&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Beispiel für Teilmengen von Funktionenräumen * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Konvergenz in Funktionenräumen|Konvergenz in Funktionenräumen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Konvergenz%20in%20Funktionenr%C3%A4umen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenz%20in%20Funktionenr%C3%A4umen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen als Funktionenfolgen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Maschinelles%20Lernen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Maschinelles%20Lernen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Maße als stetige lineare Funktionen|Maße als stetige lineare Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Ma%C3%9Fe%20als%20stetige%20lineare%20Funktionen&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ma%C3%9Fe%20als%20stetige%20lineare%20Funktionen&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Dualraum|Topologischer Dualraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Dualraum&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Dualraum&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- *'''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Gaugefunktionale und Topologisierungslemma]]''' --> * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#unvollstaendig|unvollständiger Semihilbertraum als Funktionenraum]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Semihilbert-Stetigkeitssatz|Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Buchstabenerkennung|Buchstabenerkennung mit Semiskalarprodukten]] ** [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt#Nachhaltigkeit|Nachhaltigkeit und Semiskalarprodukte]] * [[Risikomanagement]] == Software == * [https://www.openlca.org/ OpenLCA - Open Life Cycle Assessment] - Open Source Software für Nachhaltigkeitmaße * Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und * für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. * [[Maxima CAS]] oder [[CAS4Wiki]] als [[w:de:Computeralgebrasystem|Computeralgebrasystem]] * [[Octave]] für numerische Berechnung * [[w:de:R (Programmiersprache)|Maßtheoretische Analysen von Data mit R]], sowie Dokumentengenerierung mit [[KnitR]] == Handschriftliche Annotationen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. == Siehe auch == Weitere Hinweise zu Lerninhalten gliedern sich in * fachmathematische inhaltliche Bezüge und * fächerübergreifende Bezüge === Siehe auch - Fachmathematische Inhalte === * [[w:de:Harmonische Analyse|Harmonische Analyse]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] * [[Kurs:Stochastik]] * [[Kurs:Numerik I]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Deterministisches Kontaktmodell|Kurs:Räumliche Modellbildung - deterministische Kontaktmodelle]] * [[Metrik/Metrischer Raum/Definition|Definition: Metrik]] === Siehe auch - Fächerübergreifende Inhalte === * [[Grenzen des Wachstums]] * [[Geplante Obsoleszenz]] * [[v:en:Sustainable Development Goals|Nachhaltigkeitsziele der Vereinten Nationen]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] * [[v:en:Risk_Management/Tailored_Wikibooks|Tailored WikiBook]] * [[3D-Modellierung]] <noinclude>[[en:Measure Theory on topological Spaces]]</noinclude> == Quellennachweise == <references/> 3vvwo3c8b0jqibnmbsj9qqxsxs8czsy Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt 106 152475 1105485 1105390 2026-06-26T05:44:56Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft */ 1105485 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>n\in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_n := \sqrt{\langle f , f \rangle_n } = \sqrt{\int_{-n}^{+n} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_n </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! * Zeigen Sie, dass <math>f_0</math> nicht stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal in <math>V</math> (<math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * semiorthogonal (<math>x \stackrel{{}_{{}_\mathcal{A}}}{\bot} y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math>. Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 3 ==== Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math>, dass bzgl. des Systems mit <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> semiorthogonal zueinander sind. == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cc0f60x0asgi30vu8k91cq9iq3qhfrs 1105486 1105485 2026-06-26T05:49:35Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft */ 1105486 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>n\in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_n := \sqrt{\langle f , f \rangle_n } = \sqrt{\int_{-n}^{+n} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_n </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal in <math>V</math> (<math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * semiorthogonal (<math>x \stackrel{{}_{{}_\mathcal{A}}}{\bot} y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math>. Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 3 ==== Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math>, dass bzgl. des Systems mit <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> semiorthogonal zueinander sind. == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nt03dgmjo3c9kzk11rre9944hv8b0g6 1105487 1105486 2026-06-26T05:50:32Z Bert Niehaus 20843 /* Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum */ 1105487 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_n </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal in <math>V</math> (<math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * semiorthogonal (<math>x \stackrel{{}_{{}_\mathcal{A}}}{\bot} y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math>. Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 3 ==== Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math>, dass bzgl. des Systems mit <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> semiorthogonal zueinander sind. == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] eblyzfgto9pjy9vzzjevtyqxjasblku 1105488 1105487 2026-06-26T05:50:56Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Halbnorm einer Funktion */ 1105488 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal in <math>V</math> (<math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * semiorthogonal (<math>x \stackrel{{}_{{}_\mathcal{A}}}{\bot} y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math>. Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 3 ==== Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math>, dass bzgl. des Systems mit <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> semiorthogonal zueinander sind. == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 23catchtbyc0a6g7bg52up60xy2y62j 1105489 1105488 2026-06-26T05:58:48Z Bert Niehaus 20843 /* Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum */ 1105489 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="Funktionenraum_nicht_vollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal in <math>V</math> (<math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * semiorthogonal (<math>x \stackrel{{}_{{}_\mathcal{A}}}{\bot} y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math>. Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 3 ==== Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math>, dass bzgl. des Systems mit <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> semiorthogonal zueinander sind. == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9p7x5sturcfavydasp0pnbtqzyyof2r 1105490 1105489 2026-06-26T06:02:28Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel */ 1105490 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="Funktionenraum_nicht_vollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal in <math>V</math> (<math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * semiorthogonal (<math>x \stackrel{{}_{{}_\mathcal{A}}}{\bot} y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math>, dass bzgl. des Systems mit <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> semiorthogonal zueinander sind. == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5aaguc09xzidz9mvtigrtdpooki4jjw 1105491 1105490 2026-06-26T06:09:05Z Bert Niehaus 20843 /* Semiorthogonalität in Semihilberträumen */ 1105491 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="Funktionenraum_nicht_vollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3rsq2agi1fq6lfz8jrxlmks46ycseqm 1105492 1105491 2026-06-26T06:12:49Z Bert Niehaus 20843 /* Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen */ 1105492 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="Funktionenraum_nicht_vollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3a7jxu6eju1wv9y5ng29bh02fofei42 1105493 1105492 2026-06-26T06:13:31Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen */ 1105493 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="Funktionenraum_nicht_vollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 09lhr4ayvduo6dz2c1qzcadzyq5vg39 1105494 1105493 2026-06-26T06:14:29Z Bert Niehaus 20843 /* Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen */ 1105494 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="Funktionenraum_nicht_vollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 41epzk9fitituf0v8lvt66ujj1wt0nz 1105497 1105494 2026-06-26T06:19:11Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft */ 1105497 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] s0o4xpmmjpcfikvs13gieg0ljajthjy 1105499 1105497 2026-06-26T06:21:13Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 5 */ 1105499 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n247facjjlnb3sm3a6fyratnpy43fr6 1105503 1105499 2026-06-26T06:28:30Z Bert Niehaus 20843 /* Träger von Semi-Skalarprodukten */ 1105503 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hamxglviwzbupwbam5d67bqf5n7ftxl 1105504 1105503 2026-06-26T08:18:49Z Bert Niehaus 20843 /* Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte */ 1105504 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen. Die Funktion <math>g:\mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}</math>, die die erzeugte Menge == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] baqjpfz5wfo48o6rk2hn19wm7lslsq5 1105519 1105504 2026-06-26T10:53:59Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme */ 1105519 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen. Die Funktion <math>g:\mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}</math>, die die erzeugte Menge == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1xolglzaworolrqb95bvyszsjsz5pwg 1105520 1105519 2026-06-26T10:57:44Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme */ 1105520 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen. Die Funktion <math>g:\mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}</math>, die die erzeugte Menge == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] eh6pifu4wkchgwe4tnvuhjh8egmmbj3 1105521 1105520 2026-06-26T10:59:38Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme */ 1105521 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen. Die Funktion <math>g:\mathbb{R}_0^+ \to \mathbb{R}</math>, die die erzeugte Menge == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] p3qctdc218hn49rvprxxqmdgsb2fkpj Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblatt 21 106 168661 1105530 1105105 2026-06-26T11:33:17Z Bocardodarapti 2041 1105530 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|21| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Graph/Doppelkreis/Aufspannende Bäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Durchmesser/Aufspannender Baum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Vollständiger Graph/Linearer aufspannender Baum/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gitter/3x3/Linearer Spannbaum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Für die folgende Aufgabe schreibe man ein Programm, das die Anzahlen berechnet. {{ inputaufgabe |Schach/Turm/3x3/Spielzuggraph/Aufspannender Baum/Linear/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Matroid/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzmenge/Bis r/Matroid/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Matroid/Basis/Gleiche Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |R^2/Vektorenfamilie/Linear unabhängig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zusammenhängender Graph/Grad/Spannbaum/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Minimal zusammenhängend/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Wald/Ergänzung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rundgang/Spannbäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Blätter/Spannbäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Spannbäume/Rekursiv/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Würfelgraph/Spannbäume/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |U-Bahn/Mailand/Spannbaum/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pfad/Multigraph/Aufspannende Bäume/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vollständiger Graph/5/Spannbäume/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Spannbäume/Rekursiv/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graphen/Ein-Punkt-Vereinigung/Aufspannende Bäume/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} mqm5mabivxcpnfhiu6yjst2wasu0ura Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Graphen/Ein-Punkt-Vereinigung/Aufspannende Bäume/Aufgabe/Aufgabereferenznummer 106 169472 1105531 1099666 2026-06-26T11:38:46Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105531 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|21|21|Kurs=|}} tvmeqw9smh2gd5n969u28s37xbv31ko Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Chromatisches Polynom/Konstruktionen/Fakt/Faktreferenznummer 106 169476 1105525 1072506 2026-06-26T11:06:04Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105525 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|26|13|Kurs=|}} p080qe2g62jwj7ddc4fz3dmui7rzu0y Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Chromatisches Polynom/Erste Eigenschaften/Fakt/Faktreferenznummer 106 169510 1105524 1072542 2026-06-26T11:05:54Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105524 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|26|11|Kurs=|}} 3ubv3w6bmvrd4uww2lucpqa750470kq Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Chromatisches Polynom/Genau k Farben/Fakt/Faktreferenznummer 106 169511 1105523 1072543 2026-06-26T11:05:44Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105523 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|26|10|Kurs=|}} c79ejt5oq5dnj75bfcgrdsa95m2vfb3 Kurs:Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder 106 170330 1105461 1105341 2026-06-25T15:59:10Z Bert Niehaus 20843 /* Differentialgleichung und Potenzreihen */ 1105461 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rn8f6uq69ejtnpiyqz27psnnnye0zri 1105462 1105461 2026-06-25T16:00:58Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Wege als Potenzreihen */ 1105462 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] d14fw8hbvhrp8vulspmefxabvbgg3z4 1105463 1105462 2026-06-25T16:04:58Z Bert Niehaus 20843 /* Monome als Vektorfeld */ 1105463 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] b78f1u0ij2ny8bz3tqnbn7gumsazpvh 1105465 1105463 2026-06-25T16:28:50Z Bert Niehaus 20843 /* Wege als Potenzreihen */ 1105465 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(z_0) \subset G </math> liegen, wober <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> ist. Wegen gleichmäßiger Konvergenz <math>\gamma</math> auf <math> D_r(z_0) </math> kann man summandenweise differenzieren: :<math> \gamma(z) := \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihen ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lgkeoeemmn2ye52p2ouaj6dzfjav31x 1105466 1105465 2026-06-25T16:36:41Z Bert Niehaus 20843 /* Ableitung von Wegen als Potenzreihen */ 1105466 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(z_0) \subset G </math> liegen, wober <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> ist. Wegen gleichmäßiger Konvergenz <math>\gamma</math> auf <math> D_r(z_0) </math> kann man summandenweise differenzieren: :<math> \gamma(z) := \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} = \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> besitzt folgende Ableitung: Wegen gleichmäßiger Konvergenz <math>\gamma</math> auf <math> D_r(z_0) </math> kann man summandenweise differenzieren: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ciq34jrzf5q80d9zhdbtavlvw72fjp3 1105467 1105466 2026-06-25T16:41:53Z Bert Niehaus 20843 /* Auswertung der Potenzreihe auf Intervall */ 1105467 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t,t_0\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(t_0) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> um <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> ist. Falls das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(t_0) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>t_0\in[a,b]</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> besitzt folgende Ableitung: Wegen gleichmäßiger Konvergenz <math>\gamma</math> auf <math> D_r(z_0) </math> kann man summandenweise differenzieren: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 86rkyeaimjmqx7su651s7is62vah0ud 1105468 1105467 2026-06-25T16:43:31Z Bert Niehaus 20843 /* Ableitung von Wegen als Potenzreihen */ 1105468 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t,t_0\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(t_0) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> um <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> ist. Falls das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(t_0) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>t_0\in[a,b]</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> besitzt folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' <math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] momjnkjn9lmyryn8y9h84ks3ehvgc7h 1105469 1105468 2026-06-25T16:46:34Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Wege als Potenzreihen */ 1105469 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t,t_0\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(t_0) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> um <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> ist. Falls das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(t_0) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>t_0\in[a,b]</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> besitzt folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ra28ocuksj1eowm3nij89ct113ouwrq 1105470 1105469 2026-06-25T16:47:32Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Wege als Potenzreihen */ 1105470 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t,t_0\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(t_0) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> um <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> ist. Falls das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(t_0) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>t_0\in[a,b]</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> besitzt folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1mf3zum5s7yfqestztffrh8qza48rao 1105471 1105470 2026-06-25T16:56:12Z Bert Niehaus 20843 /* Monome als Vektorfeld */ 1105471 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t,t_0\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(t_0) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math> um <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> ist. Falls das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(t_0) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>t_0\in[a,b]</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> besitzt folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> Ferner ist === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] em7mh8krcqmbbqwrey926dla8g4ehan 1105472 1105471 2026-06-25T17:04:50Z Bert Niehaus 20843 /* Auswertung der Potenzreihe auf Intervall */ 1105472 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> besitzt folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> Ferner ist === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3wr0vknh07p8884w1gszwnv9jha733g 1105473 1105472 2026-06-25T17:06:47Z Bert Niehaus 20843 /* Ableitung von Wegen als Potenzreihen */ 1105473 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> Ferner ist === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 00oae2ctaqxwkhbnicut55ym7muui2b 1105474 1105473 2026-06-25T17:07:13Z Bert Niehaus 20843 /* Ableitung von Wegen als Potenzreihen */ 1105474 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> Ferner ist === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1b3qb0dd5mwthh5pgn3drr3hxrm2ph8 1105475 1105474 2026-06-25T17:23:39Z Bert Niehaus 20843 /* Monome als Vektorfeld */ 1105475 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung erhält man: :<math> b_n = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qqxey1bah6akmpqydovr6rsqzae51qg 1105476 1105475 2026-06-25T17:29:04Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen */ 1105476 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_n = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 461h0hx3ql5csqqojj92biyl3r1154z 1105477 1105476 2026-06-25T17:29:24Z Bert Niehaus 20843 /* Differentialgleichung und Potenzreihen */ 1105477 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_n = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2lkucefddqq5vurzovm9bslrcec5ja6 1105478 1105477 2026-06-25T17:44:27Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen */ 1105478 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} \Longrightarrow b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1 </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fqmbaqirvtd2q3ho73e4sg2lq315ku0 1105479 1105478 2026-06-25T17:59:42Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen */ 1105479 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} \Longrightarrow b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1 </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3l5rt7z6j8m62jg9ixuwzkq5pa2zrok 1105480 1105479 2026-06-25T18:02:41Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 */ 1105480 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} \Longrightarrow b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1 </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Ansonsten kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] b0pzlxhkvuzf7obr9as3mf736xrrh02 1105481 1105480 2026-06-25T18:04:32Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 */ 1105481 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} \Longrightarrow b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1 </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Ansonsten kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} \Longrightarrow b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1 </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] l6h0e6ww0h24lef78nadj186busvcu4 1105482 1105481 2026-06-25T18:10:33Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 */ 1105482 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} \Longrightarrow b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1 </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Ansonsten kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 58c6g6eehdspjppzqpijq1tizk2psb8 1105483 1105482 2026-06-25T18:14:50Z Bert Niehaus 20843 /* Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 */ 1105483 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die EigenschExpliziteaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} \Longrightarrow b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1 </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Ansonsten kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9qkhg0fh2hcnnjbw1dnhwj16lqxnkwd Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen 106 170342 1105510 1093909 2026-06-26T08:50:10Z Björn Henrich 41518 1105510 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== Für die Sekundarstufe 1 haben wir einen Modellierungszyklus entwickelt, bei dem mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms eine Bewertung für den Standort einer Windenergieanlage mit verschiedenen Parametern erstellt wird. *[[/Sekundarstufe 1/]] *[[/Sekundarstufe 2/]] *[[/Uni-Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 62sdvtgsqct5d1i3lfeav1q20jyyyek Kurs:Wikisource ASpB 2026 106 171235 1105457 1105424 2026-06-25T12:09:08Z Jeb 26942 1105457 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! Pad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 873vr8ak0fcewcjdvwpaxo5cjvlntd9 1105484 1105457 2026-06-26T05:02:49Z Jeb 26942 /* Workshop */ Wikisource-Projekte 1105484 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! Pad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Wikisource-Projekte === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Index:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf}} === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 7sik866wwaev3yoq5gbt7bksjk966zx 1105513 1105484 2026-06-26T09:04:36Z Ulrike Blumenthal 40045 1105513 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! Pad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Wikisource-Projekte === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Index:Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914.pdf}} === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== https://de.wikisource.org/wiki/Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] k2fw4pj0n1pczslroczgzazao4i0plp Ganzzahlige Matrizen/Charakteristisches Polynom/Quadratischer Zahlbereich/Aufgabe 0 171305 1105464 1089839 2026-06-25T16:05:28Z Bocardodarapti 2041 1105464 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine ganzzahlige {{ Definitionslink |Prämath= 2 \times 2 |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristischen Polynom| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} | \in | \Z[X] || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für eine solche Matrix, derart, dass {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |SZ=}} irreduzibel über {{math|term= \Z |SZ=}} und dass {{ Relationskette/display | R || \Z[X]/ {{makl| {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} ist. |{{ManSie|Man geb|Geben Sie}} ein Beispiel für eine solche Matrix, derart, dass {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |SZ=}} irreduzibel über {{math|term= \Z |SZ=}} und dass {{ Relationskette/display | R || \Z[X]/ {{makl| {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |}} || || || |SZ= }} kein {{ Definitionslink |Prämath= |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Matrizen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |p1=1 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} sckpr1zrfyuleq4fqwsui6t3sbbe7ed Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen/Sekundarstufe 2 106 171533 1105505 1105114 2026-06-26T08:21:25Z Nils Huck 41520 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1105505 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|Verbindung von punkten]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sek1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Rahmen der Umsetzung in der Sek2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] q8muxc8trhkp2jwruh8xca9qsgbdmkq 1105506 1105505 2026-06-26T08:26:04Z ~2026-36880-69 41676 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1105506 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mit abschnittsweise definierten Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sek1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Rahmen der Umsetzung in der Sek2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] 47ao8nek5nn25l4xjiwkgvk6wf9vg0s 1105507 1105506 2026-06-26T08:29:34Z Jonas Dächert 41519 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1105507 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sek1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Rahmen der Umsetzung in der Sek2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] odbx48guiztoj0uosyqgio3ieyf0sku 1105508 1105507 2026-06-26T08:29:54Z Jonas Dächert 41519 /* Diskussion / Grenzen des Modells */ 1105508 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sek1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Rahmen der Umsetzung in der Sek2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. ==Siehe auch== *[[Gradientenabstiegsverfahren]] 81oqhicsdk9jeaem6dyl2qopmregg1h Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vollständiger Graph/Chromatisches Polynom/Beispiel/Beispielreferenznummer 106 171838 1105522 1105442 2026-06-26T11:05:34Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105522 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|26|9|Kurs=|}} 8q0m9mgzxcjv1n5qokahrlu8yzqy4ni Benutzer Diskussion:Annette Sabine Krause 3 171866 1105458 2026-06-25T12:11:17Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1105458 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Annette Sabine Krause}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 14:11, 25. Jun. 2026 (CEST) nasn0uz16lt45z8hup26ot1z7k6h220 Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen/Uni-Niveau 106 171867 1105509 2026-06-26T08:49:26Z Björn Henrich 41518 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105509 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus: Optimale Standortwahl einer Windkraftanlage (Universitätsniveau) = == Problemstellung == Die Planung von Windkraftanlagen stellt eine komplexe Entscheidungsaufgabe dar, bei der verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem eine Windkraftanlage einen möglichst hohen Energieertrag erzielt. Im Gegensatz zu einfachen Modellen der Sekundarstufe II wird der Standort nicht mehr nur durch eine eindimensionale Variable beschrieben. In einem realitätsnäheren Modell hängt die erwartete Leistung von mehreren Faktoren ab, beispielsweise der geografischen Position, der Windgeschwindigkeit, der Geländestruktur und wirtschaftlichen Rahmenbedingungen. Die zentrale Fragestellung lautet: '''An welchem Standort wird unter Berücksichtigung verschiedener Einflussgrößen die maximale Leistung beziehungsweise der größte Nutzen einer Windkraftanlage erreicht?''' ---- = Mathematische Modellierung = Die physikalische Grundlage bildet die Windleistungsfunktion: <math> P=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei beschreibt: * <math>P</math>: theoretisch nutzbare Leistung der Windkraftanlage * <math>\rho</math>: Luftdichte * <math>A</math>: Rotorfläche * <math>v</math>: Windgeschwindigkeit Im erweiterten Modell wird die Windgeschwindigkeit nicht mehr als einzelne Messgröße betrachtet, sondern als Funktion des Standortes: <math> v=v(x,y) </math> Dabei beschreiben <math>x</math> und <math>y</math> die geografische Position eines möglichen Standortes. Damit ergibt sich eine zweidimensionale Leistungsfunktion: <math> P(x,y)=\frac{1}{2}\rho A(v(x,y))^3 </math> Zusätzlich können weitere Faktoren wie Baukosten, Netzanbindung oder Umweltbedingungen berücksichtigt werden. Dadurch entsteht eine Zielfunktion: <math> F(x,y)=P(x,y)-C(x,y) </math> wobei <math>F(x,y)</math> den tatsächlichen Nutzen des Standortes beschreibt. Das mathematische Ziel besteht darin, das Maximum dieser Funktion zu bestimmen: <math> \max F(x,y) </math> qzg057lerjqrvmlqednnx29w6ogfoyl 1105511 1105509 2026-06-26T08:52:07Z Björn Henrich 41518 /* Modellierungszyklus: Optimale Standortwahl einer Windkraftanlage (Universitätsniveau) */ 1105511 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus: Optimale Standortwahl einer Windkraftanlage (Universitätsniveau) = == Problemstellung == Die Planung von Windkraftanlagen stellt eine komplexe Entscheidungsaufgabe dar, bei der verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem eine Windkraftanlage einen möglichst hohen Energieertrag erzielt. Im Gegensatz zu einfachen Modellen der Sekundarstufe II wird der Standort nicht mehr nur durch eine eindimensionale Variable beschrieben. In einem realitätsnäheren Modell hängt die erwartete Leistung von mehreren Faktoren ab, beispielsweise der geografischen Position, der Windgeschwindigkeit, der Geländestruktur und wirtschaftlichen Rahmenbedingungen. Die zentrale Fragestellung lautet: '''An welchem Standort wird unter Berücksichtigung verschiedener Einflussgrößen die maximale Leistung beziehungsweise der größte Nutzen einer Windkraftanlage erreicht?''' = Mathematische Modellierung = Die physikalische Grundlage bildet die Windleistungsfunktion: <math> P=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei beschreibt: * <math>P</math>: theoretisch nutzbare Leistung der Windkraftanlage * <math>\rho</math>: Luftdichte * <math>A</math>: Rotorfläche * <math>v</math>: Windgeschwindigkeit Im erweiterten Modell wird die Windgeschwindigkeit nicht mehr als einzelne Messgröße betrachtet, sondern als Funktion des Standortes: <math> v=v(x,y) </math> Dabei beschreiben <math>x</math> und <math>y</math> die geografische Position eines möglichen Standortes. Damit ergibt sich eine zweidimensionale Leistungsfunktion: <math> P(x,y)=\frac{1}{2}\rho A(v(x,y))^3 </math> Zusätzlich können weitere Faktoren wie Baukosten, Netzanbindung oder Umweltbedingungen berücksichtigt werden. Dadurch entsteht eine Zielfunktion: <math> F(x,y)=P(x,y)-C(x,y) </math> wobei <math>F(x,y)</math> den tatsächlichen Nutzen des Standortes beschreibt. Das mathematische Ziel besteht darin, das Maximum dieser Funktion zu bestimmen: <math> \max F(x,y) </math> ki4ltb2tr5hmthuilbbrcb2ps891oet 1105512 1105511 2026-06-26T08:52:22Z Björn Henrich 41518 /* Mathematische Modellierung */ 1105512 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus: Optimale Standortwahl einer Windkraftanlage (Universitätsniveau) = == Problemstellung == Die Planung von Windkraftanlagen stellt eine komplexe Entscheidungsaufgabe dar, bei der verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem eine Windkraftanlage einen möglichst hohen Energieertrag erzielt. Im Gegensatz zu einfachen Modellen der Sekundarstufe II wird der Standort nicht mehr nur durch eine eindimensionale Variable beschrieben. In einem realitätsnäheren Modell hängt die erwartete Leistung von mehreren Faktoren ab, beispielsweise der geografischen Position, der Windgeschwindigkeit, der Geländestruktur und wirtschaftlichen Rahmenbedingungen. Die zentrale Fragestellung lautet: '''An welchem Standort wird unter Berücksichtigung verschiedener Einflussgrößen die maximale Leistung beziehungsweise der größte Nutzen einer Windkraftanlage erreicht?''' = Mathematische Modellierung = Die physikalische Grundlage bildet weiterhin die Windleistungsfunktion: <math> P=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei beschreibt: * <math>P</math>: theoretisch nutzbare Leistung der Windkraftanlage * <math>\rho</math>: Luftdichte * <math>A</math>: Rotorfläche * <math>v</math>: Windgeschwindigkeit Im erweiterten Modell wird die Windgeschwindigkeit nicht mehr als einzelne Messgröße betrachtet, sondern als Funktion des Standortes: <math> v=v(x,y) </math> Dabei beschreiben <math>x</math> und <math>y</math> die geografische Position eines möglichen Standortes. Damit ergibt sich eine zweidimensionale Leistungsfunktion: <math> P(x,y)=\frac{1}{2}\rho A(v(x,y))^3 </math> Zusätzlich können weitere Faktoren wie Baukosten, Netzanbindung oder Umweltbedingungen berücksichtigt werden. Dadurch entsteht eine Zielfunktion: <math> F(x,y)=P(x,y)-C(x,y) </math> wobei <math>F(x,y)</math> den tatsächlichen Nutzen des Standortes beschreibt. Das mathematische Ziel besteht darin, das Maximum dieser Funktion zu bestimmen: <math> \max F(x,y) </math> hoexpl49bg635x5vz58obvwuu39bt4d 1105514 1105512 2026-06-26T09:25:33Z Björn Henrich 41518 1105514 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus: Optimale Standortwahl einer Windkraftanlage (Universitätsniveau) = == Problemstellung == Die Planung von Windkraftanlagen stellt eine komplexe Entscheidungsaufgabe dar, bei der verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem eine Windkraftanlage einen möglichst hohen Energieertrag erzielt. Im Gegensatz zu einfachen Modellen der Sekundarstufe II wird der Standort nicht mehr nur durch eine eindimensionale Variable beschrieben. In einem realitätsnäheren Modell hängt die erwartete Leistung von mehreren Faktoren ab, beispielsweise der geografischen Position, der Windgeschwindigkeit, der Geländestruktur und wirtschaftlichen Rahmenbedingungen. Die zentrale Fragestellung lautet: '''An welchem Standort wird unter Berücksichtigung verschiedener Einflussgrößen die maximale Leistung beziehungsweise der größte Nutzen einer Windkraftanlage erreicht?''' = Mathematische Modellierung = Die physikalische Grundlage bildet weiterhin die Windleistungsfunktion: <math> P=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei beschreibt: * <math>P</math>: theoretisch nutzbare Leistung der Windkraftanlage * <math>\rho</math>: Luftdichte * <math>A</math>: Rotorfläche * <math>v</math>: Windgeschwindigkeit ===Ortsabhängige Geschwindigkeit=== Im erweiterten Modell wird die Windgeschwindigkeit nicht mehr als einzelne Messgröße betrachtet, sondern als Funktion des Standortes: <math> v=v(x,y) </math> x y sind Ortskoordinaten für den Punkt (x,y), die für alle KArten Längen- und Breitengrad entsprechen bzw im kartesischen Koordinatensystem die x und y Koordinate Erklärung x,y Dabei beschreiben <math>x</math> und <math>y</math> die geografische Position eines möglichen Standortes. Damit ergibt sich eine zweidimensionale Leistungsfunktion: <math> P(x,y)=\frac{1}{2}\rho A(v(x,y))^3 </math> Zusätzlich können weitere Faktoren wie Baukosten, Netzanbindung oder Umweltbedingungen berücksichtigt werden. Dadurch entsteht eine Zielfunktion: <math> F(x,y)=P(x,y)-C(x,y) </math> wobei <math>F(x,y)</math> den tatsächlichen Nutzen des Standortes beschreibt. Das mathematische Ziel besteht darin, das Maximum dieser Funktion zu bestimmen: <math> \max F(x,y) </math> mrfg4n801wngdkm5anneqeu120o1n36 1105515 1105514 2026-06-26T09:26:26Z Björn Henrich 41518 /* Ortsabhängige Geschwindigkeit */ 1105515 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus: Optimale Standortwahl einer Windkraftanlage (Universitätsniveau) = == Problemstellung == Die Planung von Windkraftanlagen stellt eine komplexe Entscheidungsaufgabe dar, bei der verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem eine Windkraftanlage einen möglichst hohen Energieertrag erzielt. Im Gegensatz zu einfachen Modellen der Sekundarstufe II wird der Standort nicht mehr nur durch eine eindimensionale Variable beschrieben. In einem realitätsnäheren Modell hängt die erwartete Leistung von mehreren Faktoren ab, beispielsweise der geografischen Position, der Windgeschwindigkeit, der Geländestruktur und wirtschaftlichen Rahmenbedingungen. Die zentrale Fragestellung lautet: '''An welchem Standort wird unter Berücksichtigung verschiedener Einflussgrößen die maximale Leistung beziehungsweise der größte Nutzen einer Windkraftanlage erreicht?''' = Mathematische Modellierung = Die physikalische Grundlage bildet weiterhin die Windleistungsfunktion: <math> P=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei beschreibt: * <math>P</math>: theoretisch nutzbare Leistung der Windkraftanlage * <math>\rho</math>: Luftdichte * <math>A</math>: Rotorfläche * <math>v</math>: Windgeschwindigkeit ===Ortsabhängige Geschwindigkeit=== Im erweiterten Modell wird die Windgeschwindigkeit nicht mehr als einzelne Messgröße betrachtet, sondern als Funktion des Standortes: <math> v=v(x,y) </math> x y sind Ortskoordinaten für den Punkt (x,y), die für alle KArten Längen- und Breitengrad entsprechen bzw im kartesischen Koordinatensystem die x und y Koordinate Erklärung x,y Dabei beschreiben <math>x</math> und <math>y</math> die geografische Position eines möglichen Standortes. Damit ergibt sich eine zweidimensionale Leistungsfunktion: <math> P(x,y)=\frac{1}{2}\rho A(v(x,y))^3 </math> Zusätzlich können weitere Faktoren wie Baukosten, Netzanbindung oder Umweltbedingungen berücksichtigt werden. Dadurch entsteht eine Zielfunktion: <math> F(x,y)=P(x,y)-C(x,y) </math> abhängig von Gewichtsfaktoren, wobei <math>F(x,y)</math> den tatsächlichen Nutzen des Standortes beschreibt. Das mathematische Ziel besteht darin, das Maximum dieser Funktion zu bestimmen: <math> \max F(x,y) </math> sf51x9qpkloeszpi82so9b7vci61ibi 1105516 1105515 2026-06-26T09:27:40Z Björn Henrich 41518 /* Problemstellung */ 1105516 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus: Optimale Standortwahl einer Windkraftanlage (Universitätsniveau) = == Problemstellung == Die Planung von Windkraftanlagen stellt eine komplexe Entscheidungsaufgabe dar, bei der verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Ziel ist es, einen Standort zu bestimmen, an dem eine Windkraftanlage einen möglichst hohen Energieertrag erzielt. Im Gegensatz zu einfachen Modellen der Sekundarstufe II wird der Standort nicht mehr nur durch eine eindimensionale Variable beschrieben. In einem realitätsnäheren Modell hängt die erwartete Leistung von mehreren Faktoren ab, beispielsweise der geografischen Position, der Windgeschwindigkeit, der Geländestruktur und wirtschaftlichen Rahmenbedingungen. Die zentrale Fragestellung lautet: '''An welchem Standort wird unter Berücksichtigung verschiedener Einflussgrößen die maximale Leistung beziehungsweise der größte Nutzen einer Windkraftanlage erreicht?''' was soll mehr betrachtet werden als in sek2?? = Mathematische Modellierung = Die physikalische Grundlage bildet weiterhin die Windleistungsfunktion: <math> P=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei beschreibt: * <math>P</math>: theoretisch nutzbare Leistung der Windkraftanlage * <math>\rho</math>: Luftdichte * <math>A</math>: Rotorfläche * <math>v</math>: Windgeschwindigkeit ===Ortsabhängige Geschwindigkeit=== Im erweiterten Modell wird die Windgeschwindigkeit nicht mehr als einzelne Messgröße betrachtet, sondern als Funktion des Standortes: <math> v=v(x,y) </math> x y sind Ortskoordinaten für den Punkt (x,y), die für alle KArten Längen- und Breitengrad entsprechen bzw im kartesischen Koordinatensystem die x und y Koordinate Erklärung x,y Dabei beschreiben <math>x</math> und <math>y</math> die geografische Position eines möglichen Standortes. Damit ergibt sich eine zweidimensionale Leistungsfunktion: <math> P(x,y)=\frac{1}{2}\rho A(v(x,y))^3 </math> Zusätzlich können weitere Faktoren wie Baukosten, Netzanbindung oder Umweltbedingungen berücksichtigt werden. Dadurch entsteht eine Zielfunktion: <math> F(x,y)=P(x,y)-C(x,y) </math> abhängig von Gewichtsfaktoren, wobei <math>F(x,y)</math> den tatsächlichen Nutzen des Standortes beschreibt. Das mathematische Ziel besteht darin, das Maximum dieser Funktion zu bestimmen: <math> \max F(x,y) </math> nwudbnul20l68r7cuanqxfmcy71bv5m