Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 118634 1105561 1038994 2026-06-27T08:56:54Z Bocardodarapti 2041 1105561 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} und {{ Relationskette | W | \subseteq | V || || || |SZ= }} eine Teilmenge der Knotenmenge. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= W |SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Knotenüberdeckung| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=}} ist, wenn {{ Relationskette | E | \not \subseteq | {{op:Potenzmengezwei| V \setminus W |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mg88aj8whqvcloxi1gc2voauvipthiv 1105565 1105561 2026-06-27T09:30:43Z Bocardodarapti 2041 1105565 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} und {{ Relationskette | W | \subseteq | V || || || |SZ= }} eine Teilmenge der Knotenmenge. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= W |SZ=}} genau dann eine {{ Definitionslink |Knotenüberdeckung| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=}} ist, wenn {{ Relationskette | E \cap {{op:Potenzmengezwei| V \setminus W |}} || \emptyset || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b6ocs39dsb9f6kcnhay2abltrs91n5w 106 152475 1105532 1105521 2026-06-26T11:59:46Z Bert Niehaus 20843 /* Semantik der Funktionen */ 1105532 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen. Die Funktion <math>g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die '''''g'''''enerierte, verfügbare elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>g(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>g(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bew3e56dzbygwl9saq01m2hu93gz0qr 1105583 1105532 2026-06-27T09:59:35Z Bert Niehaus 20843 /* Semantik der Funktionen */ 1105583 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet. ==== Verfügbarkeit von regenerativer Energie - g ==== Die Funktion <math>g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die '''''g'''''enerierte, verfügbare elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>g(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>g(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Anteil der notwendigen Energie - f ==== == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pfykoph22w0r8di6ouvp52t7tfnh4tc 1105584 1105583 2026-06-27T10:00:05Z Bert Niehaus 20843 /* Anteil der notwendigen Energie - f */ 1105584 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet. ==== Verfügbarkeit von regenerativer Energie - g ==== Die Funktion <math>g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die '''''g'''''enerierte, verfügbare elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>g(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>g(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Anteil der notwendigen Energie - f ==== ==== Singularitäten bei Versorgungsnullstellen ==== == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fmeyw9qgx1bgziepo8jzz32vctq25p7 1105607 1105584 2026-06-27T11:17:57Z Bert Niehaus 20843 /* Semantik der Funktionen */ 1105607 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''g(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''f(t)''' Versorgungsbilanz als Bezug auf die verfügbare Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> ==== Verfügbarkeit von regenerativer Energie ==== Die Funktion <math>g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die '''''g'''''enerierte, verfügbare elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>g(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>g(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Anteil - notwendiger Energieversorgung ==== Die Funktion <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: * '''f(t)=0:''' Wenn <math>f(t)=0</math> deckt die Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> die notwendige Leitstung ab. * '''f(t)> 0:''' Die Funktion <math>f</math> (z.B. <math>f(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) * '''f(t)< 0:''' Die Funktion <math>f</math> (z.B. <math>f(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>f(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). ==== Singularitäten bei Versorgungsnullstellen ==== == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kew5g7n2agu8mksrl8ih8pvznoj6vep 1105608 1105607 2026-06-27T11:19:44Z Bert Niehaus 20843 /* Verfügbarkeit von regenerativer Energie */ 1105608 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''g(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''f(t)''' Versorgungsbilanz als Bezug auf die verfügbare Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die '''''g'''''enerierte, verfügbare elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>g(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>g(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Anteil - notwendiger Energieversorgung ==== Die Funktion <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: * '''f(t)=0:''' Wenn <math>f(t)=0</math> deckt die Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> die notwendige Leitstung ab. * '''f(t)> 0:''' Die Funktion <math>f</math> (z.B. <math>f(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) * '''f(t)< 0:''' Die Funktion <math>f</math> (z.B. <math>f(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>f(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). ==== Singularitäten bei Versorgungsnullstellen ==== == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nn4dra536i9ze0z9xwb5w3o1b2q5hpi 1105609 1105608 2026-06-27T11:19:56Z Bert Niehaus 20843 /* Anteil - notwendiger Energieversorgung */ 1105609 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''g(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''f(t)''' Versorgungsbilanz als Bezug auf die verfügbare Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die '''''g'''''enerierte, verfügbare elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>g(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>g(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: * '''f(t)=0:''' Wenn <math>f(t)=0</math> deckt die Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> die notwendige Leitstung ab. * '''f(t)> 0:''' Die Funktion <math>f</math> (z.B. <math>f(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) * '''f(t)< 0:''' Die Funktion <math>f</math> (z.B. <math>f(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>f(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). ==== Singularitäten bei Versorgungsnullstellen ==== == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jorr609dgdw3ncfn995hutsuhc4pbh6 1105610 1105609 2026-06-27T11:31:06Z Bert Niehaus 20843 /* Anteil - notwendiger Energieversorgung */ 1105610 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''g(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''f(t)''' Versorgungsbilanz als Bezug auf die verfügbare Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die '''''g'''''enerierte, verfügbare elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>g(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>g(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''f(t)=0:''' Wenn <math>f(t)=0</math> deckt die Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> die notwendige Leitstung ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''f(t)> 0:''' Die Funktion <math>f</math> (z.B. <math>f(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''f(t)< 0:''' Die Funktion <math>f</math> (z.B. <math>f(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>f(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nysjmp8v5m36os42n1klbr5ovtierrr 1105611 1105610 2026-06-27T11:36:47Z Bert Niehaus 20843 /* Versorgungsdefizit */ 1105611 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''g(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''f(t)''' Versorgungsbilanz als Bezug auf die verfügbare Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die '''''g'''''enerierte, verfügbare elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>g(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>g(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''f(t)=0:''' Wenn <math>f(t)=0</math> deckt die Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> die notwendige Leitstung ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''f(t)> 0:''' Die Funktion <math>f</math> (z.B. <math>f(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie <und notwendiger Energie bei === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 97pv7hip2ajac83cujb510vungv0kg1 1105612 1105611 2026-06-27T11:38:03Z Bert Niehaus 20843 /* Semantik der Funktionen */ 1105612 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die '''''g'''''enerierte, verfügbare elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>g(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>g(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''f(t)=0:''' Wenn <math>f(t)=0</math> deckt die Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> die notwendige Leitstung ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''f(t)> 0:''' Die Funktion <math>f</math> (z.B. <math>f(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie <und notwendiger Energie bei === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ij9536162vq84p8ouuagisx9h0y0p53 1105613 1105612 2026-06-27T11:39:09Z Bert Niehaus 20843 /* Verfügbarkeit von regenerativer Energie */ 1105613 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''f(t)=0:''' Wenn <math>f(t)=0</math> deckt die Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> die notwendige Leitstung ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''f(t)> 0:''' Die Funktion <math>f</math> (z.B. <math>f(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie <und notwendiger Energie bei === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lsasudifroixgzu6cd9stlcl524icci 1105614 1105613 2026-06-27T11:40:25Z Bert Niehaus 20843 /* Anteil - notwendiger Energieversorgung */ 1105614 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie <und notwendiger Energie bei === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9n30u51gztwcgris9kj6o6pa09mj789 1105615 1105614 2026-06-27T11:51:07Z Bert Niehaus 20843 /* Verfügbarkeit von regenerativer Energie */ 1105615 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> liefert die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese z.B. durch Wind und Sonne produziert. Dies kann erfolgen, wenn z.B. Steuerungssystem und Positionslichter für den Flugverkehr von Windkraftanlagen weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie <und notwendiger Energie bei === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9cbqsbriapeioigygzhgtxu0hxczomg 1105616 1105615 2026-06-27T11:51:49Z Bert Niehaus 20843 /* Regenerative Energieversorgung */ 1105616 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese z.B. durch Wind und Sonne produziert. Dies kann erfolgen, wenn z.B. Steuerungssystem und Positionslichter für den Flugverkehr von Windkraftanlagen weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie <und notwendiger Energie bei === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1wvf659bs47lwrao3zj64wui3h736ow 1105617 1105616 2026-06-27T11:53:23Z Bert Niehaus 20843 /* Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur */ 1105617 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie <und notwendiger Energie bei === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] h9eh7hp4jewbds0v99eybeelf5912wq 1105618 1105617 2026-06-27T11:55:38Z Bert Niehaus 20843 /* Produkt der Funktionen */ 1105618 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * 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37610 Paul Sutermeister verschob die Seite [[Benutzer:Paul Sutermeister/Adressatenorientierung]] nach [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung]]: inhaltlich ausgereift/bereinigt 971981 wikitext text/x-wiki '''3D-Oberflächendiagramm: Dreidimensionales Adressatenorientierungs-Modell''' x-Achse: Nähe (Freund) ↔ Distanz (Unbekannt) y-Achse: Unwissend ↔ Wissend z-Achse: Good News ↔ Bad News <quiz display="simple"> { Ordne Synonyme zu: | typ="[]" } | Adressat | Interesse | Stakeholder -+- Anspruch --+ Anspruchsgruppen +-- Empfänger { Ordne Anspruchsgruppen zu: | typ="[]" } | Kapitalgeber | Konkurrenten | Kunden | Lieferanten | Mitarbeitende | Öffentlichkeit | Staat ----+-- Arbeitnehmer erstellen Produkte und Dienstleistungen +------ Bank gewährt Darlehen +------ Eigentümer hat Anteil an Unternehmen ------+ Gemeinde verlangt Steuern --+---- Nachfrager kaufen Produkte und Dienstleistungen -----+- Vereine beobachten Tätigkeiten des Unternehmens -+----- Anbieter buhlen um Kundschaft ---+--- Zulieferer bieten Teile an { Ich kommuniziere mit | typ="[]" } | Laien | Experten +- Ich verwende Alltagssprache. -+ Ich verwende Fachbegriffe. ++ Ich schreibe verständlich. +- Ich rechne mit wenig Vorwissen. -+ Ich rechne mit viel Vorwissen. -- Ich drücke mich kompliziert aus. { Ordne die Absicht zu: | typ="[]" } | Appell | Argumentation | Dokumentation | Information --+- festhalten ++++ kommunizieren ---+ mitteilen +--- motivieren -+-- überzeugen { Ordne zu: | typ="[]" } | Information | Instruktion | Motivation | Prävention | Werbung +---- Bring- und Holschuld ----+ Kundenverhalten beeinflussen --+-- Leistungsbereitschaft fördern -+--- Mitarbeitende anleiten ---+- Unsicherheiten vorbeugen { [[Bild:Stakeholder_in-ex.png|400px| ]] | typ="[]" } | Externe Kommunikation | Interne Kommunikation ++ Anleitung ++ Bericht ++ FAQ -+ Intranet +- Kundenreklamation -+ Management Summary ++ Marketing +- Medienmitteilung -+ Mitarbeiterinformation -+ Protokoll ++ Stellenausschreibung ++ Umfrage { Wenn ich die Adressaten nicht kenne… } - schreibe ich Fachsprache + schreibe ich allgemeinverständlich { Sind die Adressaten sowohl Experten als auch Laien… } - schreibe ich Fachsprache + schreibe ich allgemeinverständlich { Meine dominante Schreibart ist somit… } - Fachsprache + allgemeinverständliche Sprache </quiz> 137wi1mfxm0t28atd34d8ampvuld1hx 1105599 1105595 2026-06-27T10:32:47Z Paul Sutermeister 37610 +[[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 1105599 wikitext text/x-wiki '''3D-Oberflächendiagramm: Dreidimensionales Adressatenorientierungs-Modell''' x-Achse: Nähe (Freund) ↔ Distanz (Unbekannt) y-Achse: Unwissend ↔ Wissend z-Achse: Good News ↔ Bad News <quiz display="simple"> { Ordne Synonyme zu: | typ="[]" } | Adressat | Interesse | Stakeholder -+- Anspruch --+ Anspruchsgruppen +-- Empfänger { Ordne Anspruchsgruppen zu: | typ="[]" } | Kapitalgeber | Konkurrenten | Kunden | Lieferanten | Mitarbeitende | Öffentlichkeit | Staat ----+-- Arbeitnehmer erstellen Produkte und Dienstleistungen +------ Bank gewährt Darlehen +------ Eigentümer hat Anteil an Unternehmen ------+ Gemeinde verlangt Steuern --+---- Nachfrager kaufen Produkte und Dienstleistungen -----+- Vereine beobachten Tätigkeiten des Unternehmens -+----- Anbieter buhlen um Kundschaft ---+--- Zulieferer bieten Teile an { Ich kommuniziere mit | typ="[]" } | Laien | Experten +- Ich verwende Alltagssprache. -+ Ich verwende Fachbegriffe. ++ Ich schreibe verständlich. +- Ich rechne mit wenig Vorwissen. -+ Ich rechne mit viel Vorwissen. -- Ich drücke mich kompliziert aus. { Ordne die Absicht zu: | typ="[]" } | Appell | Argumentation | Dokumentation | Information --+- festhalten ++++ kommunizieren ---+ mitteilen +--- motivieren -+-- überzeugen { Ordne zu: | typ="[]" } | Information | Instruktion | Motivation | Prävention | Werbung +---- Bring- und Holschuld ----+ Kundenverhalten beeinflussen --+-- Leistungsbereitschaft fördern -+--- Mitarbeitende anleiten ---+- Unsicherheiten vorbeugen { [[Bild:Stakeholder_in-ex.png|400px| ]] | typ="[]" } | Externe Kommunikation | Interne Kommunikation ++ Anleitung ++ Bericht ++ FAQ -+ Intranet +- Kundenreklamation -+ Management Summary ++ Marketing +- Medienmitteilung -+ Mitarbeiterinformation -+ Protokoll ++ Stellenausschreibung ++ Umfrage { Wenn ich die Adressaten nicht kenne… } - schreibe ich Fachsprache + schreibe ich allgemeinverständlich { Sind die Adressaten sowohl Experten als auch Laien… } - schreibe ich Fachsprache + schreibe ich allgemeinverständlich { Meine dominante Schreibart ist somit… } - Fachsprache + allgemeinverständliche Sprache </quiz> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] l11dyk5u03rix7fk2bw1vgww1cd5gjr 106 160629 1105571 1056790 2026-06-27T09:35:15Z Paul Sutermeister 37610 Paul Sutermeister verschob die Seite [[Benutzer:Paul Sutermeister/Syntax]] nach [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Syntax]]: inhaltlich ausgereift 1056790 wikitext text/x-wiki Wenn Menschen Ellipsen oder unvollständige Sätze verwenden, verlassen sie sich darauf, dass der Adressat die fehlenden Teile des Satzes selbst ergänzt. Das führt zu Missverständnissen, weil der Adressat vielleicht eine andere Vorstellung davon hat, was gemeint ist. Vollständige Sätze mit Subjekt und Prädikat hingegen liefern alle notwendigen Informationen, um eine Botschaft klar und unmissverständlich zu vermitteln. Warum sind Ellipsen problematisch? # '''Missverständnisse''': Ohne Subjekt und Prädikat ist oft unklar, wer was tut oder worum es geht. Beispiel: «Zu spät.» (Wer ist zu spät? Was bedeutet das genau?) # '''Unhöflichkeit''': Ellipsen wirken oft abgehackt oder unhöflich, weil sie weniger Mühe und Respekt gegenüber dem Leser zeigen. # '''Ineffizienz''': Der Empfänger muss die fehlenden Teile selbst ergänzen, was mehr Zeit und Energie kostet. Warum sind vollständige Sätze besser? # '''Klarheit''': Ein vollständiger Satz wie «Der Lieferant hat die Ware zu spät geliefert» lässt keinen Raum für Interpretation. # '''Struktur''': Mit Subjekt und Prädikat wird die Verantwortung (wer tut was?) deutlich. # '''Professionalität''': Vollständige Sätze wirken seriös und durchdacht. <quiz display="simple"> { Folgende Ellipsen sind in der Geschäftskorrespondenz | typ="[]" } | erlaubt oder | unerlaubt: +- Guten Tag -+ Freut mich +- Danke +- Besten Dank für -+ Gerngeschehen +- Freundliche Grüsse -+ Bitte sofort -+ Entschuldigung -+ Warum das? -+ Kein Problem. </quiz> = Übungen zur Verbesserung der Satzbildung = Mit folgenden Übungen können die Studierenden trainieren, vollständige Sätze zu schreiben, was sowohl ihre schriftliche als auch mündliche Kommunikation verbessern wird. == Fehlende Teile ergänzen == Ergänzen Sie die unvollständigen Sätze: Lieferung angekommen. Die Lieferung ist gestern angekommen. Meeting verschoben. Das Meeting wurde auf morgen verschoben. == Stichworte in Sätze umwandeln == Formulieren Sie mit den Stichworten vollständige Sätze: Bericht, fertig, Freitag → Der Bericht wird bis Freitag fertiggestellt. Kunde, Anfrage, bearbeitet → Die Anfrage des Kunden wurde bearbeitet. == Ellipsen erkennen und korrigieren == Wandeln Sie die Ellipse in einen vollständigen Satz um: Projekt abgeschlossen. Zufrieden. → Das Projekt wurde abgeschlossen, und der Kunde ist zufrieden. == Subjekt-Prädikat-Objekt-Spiel == Bilden Sie Sätze nach dem Muster Subjekt-Prädikat-Objekt: Subjekt: Der Mitarbeiter Prädikat: prüft Objekt: den Bericht → Der Mitarbeiter prüft den Bericht. == Kontext klären == Erraten Sie den Kontext der unvollständigen Aussage: Fehler gefunden. (Welcher Fehler? Wer hat ihn gefunden?) → Der Techniker hat einen Fehler in der Software gefunden. = Weitere Übungen = Mit folgenden Beispielen lernen die Studierenden, präzise, vollständige und professionell klingende Sätze zu formulieren. == Fehlende Teile ergänzen == Kritik geäußert. Verbesserung erforderlich. → Die Projektleitung hat Kritik am Zeitplan geäußert, und es sind dringende Verbesserungen erforderlich. Budget überschritten. Maßnahmen? → Das Projektbudget wurde überschritten. Welche Maßnahmen sollten ergriffen werden, um die Kosten unter Kontrolle zu bringen? Neue Strategie. Kommunikation an Mitarbeiter? → Die neue Strategie wurde verabschiedet. Wie soll die Kommunikation an die Mitarbeiter erfolgen? Lieferverzug. Kunde informiert? → Es gab einen Lieferverzug. Wurde der Kunde darüber bereits informiert? == Stichworte in Sätze umwandeln == Quartalsbericht, Verzögerung, Entscheidungsebene → "Der Quartalsbericht hat sich verzögert und muss dringend auf der Entscheidungsebene freigegeben werden. Mitarbeitergespräch, schlechte Leistung, Zielvereinbarung → Im Mitarbeitergespräch wurde die schlechte Leistung thematisiert, und es wurde eine neue Zielvereinbarung getroffen. Kundenzufriedenheit, Feedback, Maßnahmenplan → Die Auswertung der Kundenzufriedenheit hat ein gemischtes Feedback ergeben. Ein Maßnahmenplan zur Verbesserung der Servicequalität wird erstellt. Marktanalyse, Wettbewerber, strategische Anpassung → Die Marktanalyse zeigt, dass ein Wettbewerber signifikante Marktanteile gewinnt, weshalb eine strategische Anpassung notwendig ist. == Ellipsen erkennen und korrigieren == Präsentation gehalten. Feedback gemischt. Anpassungen? → Die Präsentation wurde vor dem Management-Team gehalten. Das Feedback war gemischt. Welche Anpassungen sind notwendig, um die Inhalte zu verbessern? Anfrage Kunde. Details fehlen. Angebot erstellen? → Der Kunde hat eine Anfrage gestellt, jedoch fehlen noch wichtige Details. Kann das Angebot trotzdem erstellt werden? Kosten explodiert. Ursache? Lösung? → Die Projektkosten sind stark gestiegen. Was ist die Ursache, und welche Lösungsmöglichkeiten gibt es? Lieferant, Verzögerung. Gründe unklar. → Der Lieferant hat erneut eine Verzögerung gemeldet. Die genauen Gründe sind jedoch noch unklar. == Subjekt-Prädikat-Objekt-Spiel == Das Team – analysiert – die Kundenbeschwerden – umfassend → Das Team analysiert die Kundenbeschwerden umfassend, um Verbesserungspotenziale im Kundenservice zu identifizieren. Der Geschäftsführer – kündigt – neue Investitionen – in den asiatischen Markt → Der Geschäftsführer kündigt neue Investitionen in den asiatischen Markt an, um die globale Marktposition des Unternehmens zu stärken. Die Mitarbeiter – fordern – bessere Arbeitsbedingungen – seit Monaten → Die Mitarbeiter fordern seit Monaten bessere Arbeitsbedingungen, um die hohe Fluktuation zu reduzieren. Die Abteilung – plant – eine Umstrukturierung – aufgrund der Effizienzprobleme → Die Abteilung plant aufgrund der Effizienzprobleme eine Umstrukturierung, die im nächsten Quartal umgesetzt werden soll. == Kontext klären == Eskalation im Projekt. Keine Abstimmung erfolgt. → Was genau wurde im Projekt eskaliert, und warum fand keine Abstimmung zwischen den beteiligten Abteilungen statt? Ziele nicht erreicht. Jahresbilanz enttäuschend. → Welche Ziele wurden nicht erreicht, und welche Maßnahmen sind geplant, um die enttäuschende Jahresbilanz zu verbessern? Mitarbeiter beschweren sich. Management reagiert nicht. → Welche Beschwerden äußern die Mitarbeiter, und warum bleibt das Management bisher untätig? Innovation angekündigt. Keine Details. → Welche Innovation wurde angekündigt, und warum wurden bisher keine konkreten Details bekannt gegeben? == Texte umstrukturieren == Schreiben Sie einen Text mit Ellipsen in einen formellen, präzisen Bericht um: Problem erkannt. Keine Lösung gefunden. Chef informiert. Team demotiviert. Fortschritt stockt. → Das Team hat ein Problem erkannt, konnte jedoch bisher keine Lösung finden. Der Chef wurde über die Situation informiert, aber das Team zeigt sich zunehmend demotiviert, was den Fortschritt im Projekt stark beeinträchtigt." jo8v6fl6kll9c656s2gee50e1gqnpwz 1105573 1105571 2026-06-27T09:36:16Z Paul Sutermeister 37610 +[[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 1105573 wikitext text/x-wiki Wenn Menschen Ellipsen oder unvollständige Sätze verwenden, verlassen sie sich darauf, dass der Adressat die fehlenden Teile des Satzes selbst ergänzt. Das führt zu Missverständnissen, weil der Adressat vielleicht eine andere Vorstellung davon hat, was gemeint ist. Vollständige Sätze mit Subjekt und Prädikat hingegen liefern alle notwendigen Informationen, um eine Botschaft klar und unmissverständlich zu vermitteln. Warum sind Ellipsen problematisch? # '''Missverständnisse''': Ohne Subjekt und Prädikat ist oft unklar, wer was tut oder worum es geht. Beispiel: «Zu spät.» (Wer ist zu spät? Was bedeutet das genau?) # '''Unhöflichkeit''': Ellipsen wirken oft abgehackt oder unhöflich, weil sie weniger Mühe und Respekt gegenüber dem Leser zeigen. # '''Ineffizienz''': Der Empfänger muss die fehlenden Teile selbst ergänzen, was mehr Zeit und Energie kostet. Warum sind vollständige Sätze besser? # '''Klarheit''': Ein vollständiger Satz wie «Der Lieferant hat die Ware zu spät geliefert» lässt keinen Raum für Interpretation. # '''Struktur''': Mit Subjekt und Prädikat wird die Verantwortung (wer tut was?) deutlich. # '''Professionalität''': Vollständige Sätze wirken seriös und durchdacht. <quiz display="simple"> { Folgende Ellipsen sind in der Geschäftskorrespondenz | typ="[]" } | erlaubt oder | unerlaubt: +- Guten Tag -+ Freut mich +- Danke +- Besten Dank für -+ Gerngeschehen +- Freundliche Grüsse -+ Bitte sofort -+ Entschuldigung -+ Warum das? -+ Kein Problem. </quiz> = Übungen zur Verbesserung der Satzbildung = Mit folgenden Übungen können die Studierenden trainieren, vollständige Sätze zu schreiben, was sowohl ihre schriftliche als auch mündliche Kommunikation verbessern wird. == Fehlende Teile ergänzen == Ergänzen Sie die unvollständigen Sätze: Lieferung angekommen. Die Lieferung ist gestern angekommen. Meeting verschoben. Das Meeting wurde auf morgen verschoben. == Stichworte in Sätze umwandeln == Formulieren Sie mit den Stichworten vollständige Sätze: Bericht, fertig, Freitag → Der Bericht wird bis Freitag fertiggestellt. Kunde, Anfrage, bearbeitet → Die Anfrage des Kunden wurde bearbeitet. == Ellipsen erkennen und korrigieren == Wandeln Sie die Ellipse in einen vollständigen Satz um: Projekt abgeschlossen. Zufrieden. → Das Projekt wurde abgeschlossen, und der Kunde ist zufrieden. == Subjekt-Prädikat-Objekt-Spiel == Bilden Sie Sätze nach dem Muster Subjekt-Prädikat-Objekt: Subjekt: Der Mitarbeiter Prädikat: prüft Objekt: den Bericht → Der Mitarbeiter prüft den Bericht. == Kontext klären == Erraten Sie den Kontext der unvollständigen Aussage: Fehler gefunden. (Welcher Fehler? Wer hat ihn gefunden?) → Der Techniker hat einen Fehler in der Software gefunden. = Weitere Übungen = Mit folgenden Beispielen lernen die Studierenden, präzise, vollständige und professionell klingende Sätze zu formulieren. == Fehlende Teile ergänzen == Kritik geäußert. Verbesserung erforderlich. → Die Projektleitung hat Kritik am Zeitplan geäußert, und es sind dringende Verbesserungen erforderlich. Budget überschritten. Maßnahmen? → Das Projektbudget wurde überschritten. Welche Maßnahmen sollten ergriffen werden, um die Kosten unter Kontrolle zu bringen? Neue Strategie. Kommunikation an Mitarbeiter? → Die neue Strategie wurde verabschiedet. Wie soll die Kommunikation an die Mitarbeiter erfolgen? Lieferverzug. Kunde informiert? → Es gab einen Lieferverzug. Wurde der Kunde darüber bereits informiert? == Stichworte in Sätze umwandeln == Quartalsbericht, Verzögerung, Entscheidungsebene → "Der Quartalsbericht hat sich verzögert und muss dringend auf der Entscheidungsebene freigegeben werden. Mitarbeitergespräch, schlechte Leistung, Zielvereinbarung → Im Mitarbeitergespräch wurde die schlechte Leistung thematisiert, und es wurde eine neue Zielvereinbarung getroffen. Kundenzufriedenheit, Feedback, Maßnahmenplan → Die Auswertung der Kundenzufriedenheit hat ein gemischtes Feedback ergeben. Ein Maßnahmenplan zur Verbesserung der Servicequalität wird erstellt. Marktanalyse, Wettbewerber, strategische Anpassung → Die Marktanalyse zeigt, dass ein Wettbewerber signifikante Marktanteile gewinnt, weshalb eine strategische Anpassung notwendig ist. == Ellipsen erkennen und korrigieren == Präsentation gehalten. Feedback gemischt. Anpassungen? → Die Präsentation wurde vor dem Management-Team gehalten. Das Feedback war gemischt. Welche Anpassungen sind notwendig, um die Inhalte zu verbessern? Anfrage Kunde. Details fehlen. Angebot erstellen? → Der Kunde hat eine Anfrage gestellt, jedoch fehlen noch wichtige Details. Kann das Angebot trotzdem erstellt werden? Kosten explodiert. Ursache? Lösung? → Die Projektkosten sind stark gestiegen. Was ist die Ursache, und welche Lösungsmöglichkeiten gibt es? Lieferant, Verzögerung. Gründe unklar. → Der Lieferant hat erneut eine Verzögerung gemeldet. Die genauen Gründe sind jedoch noch unklar. == Subjekt-Prädikat-Objekt-Spiel == Das Team – analysiert – die Kundenbeschwerden – umfassend → Das Team analysiert die Kundenbeschwerden umfassend, um Verbesserungspotenziale im Kundenservice zu identifizieren. Der Geschäftsführer – kündigt – neue Investitionen – in den asiatischen Markt → Der Geschäftsführer kündigt neue Investitionen in den asiatischen Markt an, um die globale Marktposition des Unternehmens zu stärken. Die Mitarbeiter – fordern – bessere Arbeitsbedingungen – seit Monaten → Die Mitarbeiter fordern seit Monaten bessere Arbeitsbedingungen, um die hohe Fluktuation zu reduzieren. Die Abteilung – plant – eine Umstrukturierung – aufgrund der Effizienzprobleme → Die Abteilung plant aufgrund der Effizienzprobleme eine Umstrukturierung, die im nächsten Quartal umgesetzt werden soll. == Kontext klären == Eskalation im Projekt. Keine Abstimmung erfolgt. → Was genau wurde im Projekt eskaliert, und warum fand keine Abstimmung zwischen den beteiligten Abteilungen statt? Ziele nicht erreicht. Jahresbilanz enttäuschend. → Welche Ziele wurden nicht erreicht, und welche Maßnahmen sind geplant, um die enttäuschende Jahresbilanz zu verbessern? Mitarbeiter beschweren sich. Management reagiert nicht. → Welche Beschwerden äußern die Mitarbeiter, und warum bleibt das Management bisher untätig? Innovation angekündigt. Keine Details. → Welche Innovation wurde angekündigt, und warum wurden bisher keine konkreten Details bekannt gegeben? == Texte umstrukturieren == Schreiben Sie einen Text mit Ellipsen in einen formellen, präzisen Bericht um: Problem erkannt. Keine Lösung gefunden. Chef informiert. Team demotiviert. Fortschritt stockt. → Das Team hat ein Problem erkannt, konnte jedoch bisher keine Lösung finden. Der Chef wurde über die Situation informiert, aber das Team zeigt sich zunehmend demotiviert, was den Fortschritt im Projekt stark beeinträchtigt." [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 5bd919k3ikoiey6wgaqnn85oub0jew2 1105574 1105573 2026-06-27T09:41:38Z Paul Sutermeister 37610 Paul Sutermeister verschob die Seite [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Syntax]] nach [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse]]: falsches Lemma 1105573 wikitext text/x-wiki Wenn Menschen Ellipsen oder unvollständige Sätze verwenden, verlassen sie sich darauf, dass der Adressat die fehlenden Teile des Satzes selbst ergänzt. Das führt zu Missverständnissen, weil der Adressat vielleicht eine andere Vorstellung davon hat, was gemeint ist. Vollständige Sätze mit Subjekt und Prädikat hingegen liefern alle notwendigen Informationen, um eine Botschaft klar und unmissverständlich zu vermitteln. Warum sind Ellipsen problematisch? # '''Missverständnisse''': Ohne Subjekt und Prädikat ist oft unklar, wer was tut oder worum es geht. Beispiel: «Zu spät.» (Wer ist zu spät? Was bedeutet das genau?) # '''Unhöflichkeit''': Ellipsen wirken oft abgehackt oder unhöflich, weil sie weniger Mühe und Respekt gegenüber dem Leser zeigen. # '''Ineffizienz''': Der Empfänger muss die fehlenden Teile selbst ergänzen, was mehr Zeit und Energie kostet. Warum sind vollständige Sätze besser? # '''Klarheit''': Ein vollständiger Satz wie «Der Lieferant hat die Ware zu spät geliefert» lässt keinen Raum für Interpretation. # '''Struktur''': Mit Subjekt und Prädikat wird die Verantwortung (wer tut was?) deutlich. # '''Professionalität''': Vollständige Sätze wirken seriös und durchdacht. <quiz display="simple"> { Folgende Ellipsen sind in der Geschäftskorrespondenz | typ="[]" } | erlaubt oder | unerlaubt: +- Guten Tag -+ Freut mich +- Danke +- Besten Dank für -+ Gerngeschehen +- Freundliche Grüsse -+ Bitte sofort -+ Entschuldigung -+ Warum das? -+ Kein Problem. </quiz> = Übungen zur Verbesserung der Satzbildung = Mit folgenden Übungen können die Studierenden trainieren, vollständige Sätze zu schreiben, was sowohl ihre schriftliche als auch mündliche Kommunikation verbessern wird. == Fehlende Teile ergänzen == Ergänzen Sie die unvollständigen Sätze: Lieferung angekommen. Die Lieferung ist gestern angekommen. Meeting verschoben. Das Meeting wurde auf morgen verschoben. == Stichworte in Sätze umwandeln == Formulieren Sie mit den Stichworten vollständige Sätze: Bericht, fertig, Freitag → Der Bericht wird bis Freitag fertiggestellt. Kunde, Anfrage, bearbeitet → Die Anfrage des Kunden wurde bearbeitet. == Ellipsen erkennen und korrigieren == Wandeln Sie die Ellipse in einen vollständigen Satz um: Projekt abgeschlossen. Zufrieden. → Das Projekt wurde abgeschlossen, und der Kunde ist zufrieden. == Subjekt-Prädikat-Objekt-Spiel == Bilden Sie Sätze nach dem Muster Subjekt-Prädikat-Objekt: Subjekt: Der Mitarbeiter Prädikat: prüft Objekt: den Bericht → Der Mitarbeiter prüft den Bericht. == Kontext klären == Erraten Sie den Kontext der unvollständigen Aussage: Fehler gefunden. (Welcher Fehler? Wer hat ihn gefunden?) → Der Techniker hat einen Fehler in der Software gefunden. = Weitere Übungen = Mit folgenden Beispielen lernen die Studierenden, präzise, vollständige und professionell klingende Sätze zu formulieren. == Fehlende Teile ergänzen == Kritik geäußert. Verbesserung erforderlich. → Die Projektleitung hat Kritik am Zeitplan geäußert, und es sind dringende Verbesserungen erforderlich. Budget überschritten. Maßnahmen? → Das Projektbudget wurde überschritten. Welche Maßnahmen sollten ergriffen werden, um die Kosten unter Kontrolle zu bringen? Neue Strategie. Kommunikation an Mitarbeiter? → Die neue Strategie wurde verabschiedet. Wie soll die Kommunikation an die Mitarbeiter erfolgen? Lieferverzug. Kunde informiert? → Es gab einen Lieferverzug. Wurde der Kunde darüber bereits informiert? == Stichworte in Sätze umwandeln == Quartalsbericht, Verzögerung, Entscheidungsebene → "Der Quartalsbericht hat sich verzögert und muss dringend auf der Entscheidungsebene freigegeben werden. Mitarbeitergespräch, schlechte Leistung, Zielvereinbarung → Im Mitarbeitergespräch wurde die schlechte Leistung thematisiert, und es wurde eine neue Zielvereinbarung getroffen. Kundenzufriedenheit, Feedback, Maßnahmenplan → Die Auswertung der Kundenzufriedenheit hat ein gemischtes Feedback ergeben. Ein Maßnahmenplan zur Verbesserung der Servicequalität wird erstellt. Marktanalyse, Wettbewerber, strategische Anpassung → Die Marktanalyse zeigt, dass ein Wettbewerber signifikante Marktanteile gewinnt, weshalb eine strategische Anpassung notwendig ist. == Ellipsen erkennen und korrigieren == Präsentation gehalten. Feedback gemischt. Anpassungen? → Die Präsentation wurde vor dem Management-Team gehalten. Das Feedback war gemischt. Welche Anpassungen sind notwendig, um die Inhalte zu verbessern? Anfrage Kunde. Details fehlen. Angebot erstellen? → Der Kunde hat eine Anfrage gestellt, jedoch fehlen noch wichtige Details. Kann das Angebot trotzdem erstellt werden? Kosten explodiert. Ursache? Lösung? → Die Projektkosten sind stark gestiegen. Was ist die Ursache, und welche Lösungsmöglichkeiten gibt es? Lieferant, Verzögerung. Gründe unklar. → Der Lieferant hat erneut eine Verzögerung gemeldet. Die genauen Gründe sind jedoch noch unklar. == Subjekt-Prädikat-Objekt-Spiel == Das Team – analysiert – die Kundenbeschwerden – umfassend → Das Team analysiert die Kundenbeschwerden umfassend, um Verbesserungspotenziale im Kundenservice zu identifizieren. Der Geschäftsführer – kündigt – neue Investitionen – in den asiatischen Markt → Der Geschäftsführer kündigt neue Investitionen in den asiatischen Markt an, um die globale Marktposition des Unternehmens zu stärken. Die Mitarbeiter – fordern – bessere Arbeitsbedingungen – seit Monaten → Die Mitarbeiter fordern seit Monaten bessere Arbeitsbedingungen, um die hohe Fluktuation zu reduzieren. Die Abteilung – plant – eine Umstrukturierung – aufgrund der Effizienzprobleme → Die Abteilung plant aufgrund der Effizienzprobleme eine Umstrukturierung, die im nächsten Quartal umgesetzt werden soll. == Kontext klären == Eskalation im Projekt. Keine Abstimmung erfolgt. → Was genau wurde im Projekt eskaliert, und warum fand keine Abstimmung zwischen den beteiligten Abteilungen statt? Ziele nicht erreicht. Jahresbilanz enttäuschend. → Welche Ziele wurden nicht erreicht, und welche Maßnahmen sind geplant, um die enttäuschende Jahresbilanz zu verbessern? Mitarbeiter beschweren sich. Management reagiert nicht. → Welche Beschwerden äußern die Mitarbeiter, und warum bleibt das Management bisher untätig? Innovation angekündigt. Keine Details. → Welche Innovation wurde angekündigt, und warum wurden bisher keine konkreten Details bekannt gegeben? == Texte umstrukturieren == Schreiben Sie einen Text mit Ellipsen in einen formellen, präzisen Bericht um: Problem erkannt. Keine Lösung gefunden. Chef informiert. Team demotiviert. Fortschritt stockt. → Das Team hat ein Problem erkannt, konnte jedoch bisher keine Lösung finden. Der Chef wurde über die Situation informiert, aber das Team zeigt sich zunehmend demotiviert, was den Fortschritt im Projekt stark beeinträchtigt." [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 5bd919k3ikoiey6wgaqnn85oub0jew2 1105580 1105574 2026-06-27T09:43:41Z Paul Sutermeister 37610 1105580 wikitext text/x-wiki Wenn Menschen '''[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipsen]]''' oder unvollständige Sätze verwenden, verlassen sie sich darauf, dass der Adressat die fehlenden Teile des Satzes selbst ergänzt. Das führt zu Missverständnissen, weil der Adressat vielleicht eine andere Vorstellung davon hat, was gemeint ist. Vollständige Sätze mit Subjekt und Prädikat hingegen liefern alle notwendigen Informationen, um eine Botschaft klar und unmissverständlich zu vermitteln. Warum sind Ellipsen problematisch? # '''Missverständnisse''': Ohne Subjekt und Prädikat ist oft unklar, wer was tut oder worum es geht. Beispiel: «Zu spät.» (Wer ist zu spät? Was bedeutet das genau?) # '''Unhöflichkeit''': Ellipsen wirken oft abgehackt oder unhöflich, weil sie weniger Mühe und Respekt gegenüber dem Leser zeigen. # '''Ineffizienz''': Der Empfänger muss die fehlenden Teile selbst ergänzen, was mehr Zeit und Energie kostet. Warum sind vollständige Sätze besser? # '''Klarheit''': Ein vollständiger Satz wie «Der Lieferant hat die Ware zu spät geliefert» lässt keinen Raum für Interpretation. # '''Struktur''': Mit Subjekt und Prädikat wird die Verantwortung (wer tut was?) deutlich. # '''Professionalität''': Vollständige Sätze wirken seriös und durchdacht. <quiz display="simple"> { Folgende Ellipsen sind in der Geschäftskorrespondenz | typ="[]" } | erlaubt oder | unerlaubt: +- Guten Tag -+ Freut mich +- Danke +- Besten Dank für -+ Gerngeschehen +- Freundliche Grüsse -+ Bitte sofort -+ Entschuldigung -+ Warum das? -+ Kein Problem. </quiz> = Übungen zur Verbesserung der Satzbildung = Mit folgenden Übungen können die Studierenden trainieren, vollständige Sätze zu schreiben, was sowohl ihre schriftliche als auch mündliche Kommunikation verbessern wird. == Fehlende Teile ergänzen == Ergänzen Sie die unvollständigen Sätze: Lieferung angekommen. Die Lieferung ist gestern angekommen. Meeting verschoben. Das Meeting wurde auf morgen verschoben. == Stichworte in Sätze umwandeln == Formulieren Sie mit den Stichworten vollständige Sätze: Bericht, fertig, Freitag → Der Bericht wird bis Freitag fertiggestellt. Kunde, Anfrage, bearbeitet → Die Anfrage des Kunden wurde bearbeitet. == Ellipsen erkennen und korrigieren == Wandeln Sie die Ellipse in einen vollständigen Satz um: Projekt abgeschlossen. Zufrieden. → Das Projekt wurde abgeschlossen, und der Kunde ist zufrieden. == Subjekt-Prädikat-Objekt-Spiel == Bilden Sie Sätze nach dem Muster Subjekt-Prädikat-Objekt: Subjekt: Der Mitarbeiter Prädikat: prüft Objekt: den Bericht → Der Mitarbeiter prüft den Bericht. == Kontext klären == Erraten Sie den Kontext der unvollständigen Aussage: Fehler gefunden. (Welcher Fehler? Wer hat ihn gefunden?) → Der Techniker hat einen Fehler in der Software gefunden. = Weitere Übungen = Mit folgenden Beispielen lernen die Studierenden, präzise, vollständige und professionell klingende Sätze zu formulieren. == Fehlende Teile ergänzen == Kritik geäußert. Verbesserung erforderlich. → Die Projektleitung hat Kritik am Zeitplan geäußert, und es sind dringende Verbesserungen erforderlich. Budget überschritten. Maßnahmen? → Das Projektbudget wurde überschritten. Welche Maßnahmen sollten ergriffen werden, um die Kosten unter Kontrolle zu bringen? Neue Strategie. Kommunikation an Mitarbeiter? → Die neue Strategie wurde verabschiedet. Wie soll die Kommunikation an die Mitarbeiter erfolgen? Lieferverzug. Kunde informiert? → Es gab einen Lieferverzug. Wurde der Kunde darüber bereits informiert? == Stichworte in Sätze umwandeln == Quartalsbericht, Verzögerung, Entscheidungsebene → "Der Quartalsbericht hat sich verzögert und muss dringend auf der Entscheidungsebene freigegeben werden. Mitarbeitergespräch, schlechte Leistung, Zielvereinbarung → Im Mitarbeitergespräch wurde die schlechte Leistung thematisiert, und es wurde eine neue Zielvereinbarung getroffen. Kundenzufriedenheit, Feedback, Maßnahmenplan → Die Auswertung der Kundenzufriedenheit hat ein gemischtes Feedback ergeben. Ein Maßnahmenplan zur Verbesserung der Servicequalität wird erstellt. Marktanalyse, Wettbewerber, strategische Anpassung → Die Marktanalyse zeigt, dass ein Wettbewerber signifikante Marktanteile gewinnt, weshalb eine strategische Anpassung notwendig ist. == Ellipsen erkennen und korrigieren == Präsentation gehalten. Feedback gemischt. Anpassungen? → Die Präsentation wurde vor dem Management-Team gehalten. Das Feedback war gemischt. Welche Anpassungen sind notwendig, um die Inhalte zu verbessern? Anfrage Kunde. Details fehlen. Angebot erstellen? → Der Kunde hat eine Anfrage gestellt, jedoch fehlen noch wichtige Details. Kann das Angebot trotzdem erstellt werden? Kosten explodiert. Ursache? Lösung? → Die Projektkosten sind stark gestiegen. Was ist die Ursache, und welche Lösungsmöglichkeiten gibt es? Lieferant, Verzögerung. Gründe unklar. → Der Lieferant hat erneut eine Verzögerung gemeldet. Die genauen Gründe sind jedoch noch unklar. == Subjekt-Prädikat-Objekt-Spiel == Das Team – analysiert – die Kundenbeschwerden – umfassend → Das Team analysiert die Kundenbeschwerden umfassend, um Verbesserungspotenziale im Kundenservice zu identifizieren. Der Geschäftsführer – kündigt – neue Investitionen – in den asiatischen Markt → Der Geschäftsführer kündigt neue Investitionen in den asiatischen Markt an, um die globale Marktposition des Unternehmens zu stärken. Die Mitarbeiter – fordern – bessere Arbeitsbedingungen – seit Monaten → Die Mitarbeiter fordern seit Monaten bessere Arbeitsbedingungen, um die hohe Fluktuation zu reduzieren. Die Abteilung – plant – eine Umstrukturierung – aufgrund der Effizienzprobleme → Die Abteilung plant aufgrund der Effizienzprobleme eine Umstrukturierung, die im nächsten Quartal umgesetzt werden soll. == Kontext klären == Eskalation im Projekt. Keine Abstimmung erfolgt. → Was genau wurde im Projekt eskaliert, und warum fand keine Abstimmung zwischen den beteiligten Abteilungen statt? Ziele nicht erreicht. Jahresbilanz enttäuschend. → Welche Ziele wurden nicht erreicht, und welche Maßnahmen sind geplant, um die enttäuschende Jahresbilanz zu verbessern? Mitarbeiter beschweren sich. Management reagiert nicht. → Welche Beschwerden äußern die Mitarbeiter, und warum bleibt das Management bisher untätig? Innovation angekündigt. Keine Details. → Welche Innovation wurde angekündigt, und warum wurden bisher keine konkreten Details bekannt gegeben? == Texte umstrukturieren == Schreiben Sie einen Text mit Ellipsen in einen formellen, präzisen Bericht um: Problem erkannt. Keine Lösung gefunden. Chef informiert. Team demotiviert. Fortschritt stockt. → Das Team hat ein Problem erkannt, konnte jedoch bisher keine Lösung finden. Der Chef wurde über die Situation informiert, aber das Team zeigt sich zunehmend demotiviert, was den Fortschritt im Projekt stark beeinträchtigt." [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] fw7t09x923lm87tv83lfdpu9y4ts9sv 1105581 1105580 2026-06-27T09:44:20Z Paul Sutermeister 37610 1105581 wikitext text/x-wiki Wenn Menschen '''[[:w:Ellipse (Sprache)|Ellipsen]]''' oder unvollständige Sätze verwenden, verlassen sie sich darauf, dass der Adressat die fehlenden Teile des Satzes selbst ergänzt. Das führt zu Missverständnissen, weil der Adressat vielleicht eine andere Vorstellung davon hat, was gemeint ist. Vollständige Sätze mit Subjekt und Prädikat hingegen liefern alle notwendigen Informationen, um eine Botschaft klar und unmissverständlich zu vermitteln. Warum sind Ellipsen problematisch? # '''Missverständnisse''': Ohne Subjekt und Prädikat ist oft unklar, wer was tut oder worum es geht. Beispiel: «Zu spät.» (Wer ist zu spät? Was bedeutet das genau?) # '''Unhöflichkeit''': Ellipsen wirken oft abgehackt oder unhöflich, weil sie weniger Mühe und Respekt gegenüber dem Leser zeigen. # '''Ineffizienz''': Der Empfänger muss die fehlenden Teile selbst ergänzen, was mehr Zeit und Energie kostet. Warum sind vollständige Sätze besser? # '''Klarheit''': Ein vollständiger Satz wie «Der Lieferant hat die Ware zu spät geliefert» lässt keinen Raum für Interpretation. # '''Struktur''': Mit Subjekt und Prädikat wird die Verantwortung (wer tut was?) deutlich. # '''Professionalität''': Vollständige Sätze wirken seriös und durchdacht. <quiz display="simple"> { Folgende Ellipsen sind in der Geschäftskorrespondenz | typ="[]" } | erlaubt oder | unerlaubt: +- Guten Tag -+ Freut mich +- Danke +- Besten Dank für -+ Gerngeschehen +- Freundliche Grüsse -+ Bitte sofort -+ Entschuldigung -+ Warum das? -+ Kein Problem. </quiz> = Übungen zur Verbesserung der Satzbildung = Mit folgenden Übungen können die Studierenden trainieren, vollständige Sätze zu schreiben, was sowohl ihre schriftliche als auch mündliche Kommunikation verbessern wird. == Fehlende Teile ergänzen == Ergänzen Sie die unvollständigen Sätze: Lieferung angekommen. Die Lieferung ist gestern angekommen. Meeting verschoben. Das Meeting wurde auf morgen verschoben. == Stichworte in Sätze umwandeln == Formulieren Sie mit den Stichworten vollständige Sätze: Bericht, fertig, Freitag → Der Bericht wird bis Freitag fertiggestellt. Kunde, Anfrage, bearbeitet → Die Anfrage des Kunden wurde bearbeitet. == Ellipsen erkennen und korrigieren == Wandeln Sie die Ellipse in einen vollständigen Satz um: Projekt abgeschlossen. Zufrieden. → Das Projekt wurde abgeschlossen, und der Kunde ist zufrieden. == Subjekt-Prädikat-Objekt-Spiel == Bilden Sie Sätze nach dem Muster Subjekt-Prädikat-Objekt: Subjekt: Der Mitarbeiter Prädikat: prüft Objekt: den Bericht → Der Mitarbeiter prüft den Bericht. == Kontext klären == Erraten Sie den Kontext der unvollständigen Aussage: Fehler gefunden. (Welcher Fehler? Wer hat ihn gefunden?) → Der Techniker hat einen Fehler in der Software gefunden. = Weitere Übungen = Mit folgenden Beispielen lernen die Studierenden, präzise, vollständige und professionell klingende Sätze zu formulieren. == Fehlende Teile ergänzen == Kritik geäußert. Verbesserung erforderlich. → Die Projektleitung hat Kritik am Zeitplan geäußert, und es sind dringende Verbesserungen erforderlich. Budget überschritten. Maßnahmen? → Das Projektbudget wurde überschritten. Welche Maßnahmen sollten ergriffen werden, um die Kosten unter Kontrolle zu bringen? Neue Strategie. Kommunikation an Mitarbeiter? → Die neue Strategie wurde verabschiedet. Wie soll die Kommunikation an die Mitarbeiter erfolgen? Lieferverzug. Kunde informiert? → Es gab einen Lieferverzug. Wurde der Kunde darüber bereits informiert? == Stichworte in Sätze umwandeln == Quartalsbericht, Verzögerung, Entscheidungsebene → "Der Quartalsbericht hat sich verzögert und muss dringend auf der Entscheidungsebene freigegeben werden. Mitarbeitergespräch, schlechte Leistung, Zielvereinbarung → Im Mitarbeitergespräch wurde die schlechte Leistung thematisiert, und es wurde eine neue Zielvereinbarung getroffen. Kundenzufriedenheit, Feedback, Maßnahmenplan → Die Auswertung der Kundenzufriedenheit hat ein gemischtes Feedback ergeben. Ein Maßnahmenplan zur Verbesserung der Servicequalität wird erstellt. Marktanalyse, Wettbewerber, strategische Anpassung → Die Marktanalyse zeigt, dass ein Wettbewerber signifikante Marktanteile gewinnt, weshalb eine strategische Anpassung notwendig ist. == Ellipsen erkennen und korrigieren == Präsentation gehalten. Feedback gemischt. Anpassungen? → Die Präsentation wurde vor dem Management-Team gehalten. Das Feedback war gemischt. Welche Anpassungen sind notwendig, um die Inhalte zu verbessern? Anfrage Kunde. Details fehlen. Angebot erstellen? → Der Kunde hat eine Anfrage gestellt, jedoch fehlen noch wichtige Details. Kann das Angebot trotzdem erstellt werden? Kosten explodiert. Ursache? Lösung? → Die Projektkosten sind stark gestiegen. Was ist die Ursache, und welche Lösungsmöglichkeiten gibt es? Lieferant, Verzögerung. Gründe unklar. → Der Lieferant hat erneut eine Verzögerung gemeldet. Die genauen Gründe sind jedoch noch unklar. == Subjekt-Prädikat-Objekt-Spiel == Das Team – analysiert – die Kundenbeschwerden – umfassend → Das Team analysiert die Kundenbeschwerden umfassend, um Verbesserungspotenziale im Kundenservice zu identifizieren. Der Geschäftsführer – kündigt – neue Investitionen – in den asiatischen Markt → Der Geschäftsführer kündigt neue Investitionen in den asiatischen Markt an, um die globale Marktposition des Unternehmens zu stärken. Die Mitarbeiter – fordern – bessere Arbeitsbedingungen – seit Monaten → Die Mitarbeiter fordern seit Monaten bessere Arbeitsbedingungen, um die hohe Fluktuation zu reduzieren. Die Abteilung – plant – eine Umstrukturierung – aufgrund der Effizienzprobleme → Die Abteilung plant aufgrund der Effizienzprobleme eine Umstrukturierung, die im nächsten Quartal umgesetzt werden soll. == Kontext klären == Eskalation im Projekt. Keine Abstimmung erfolgt. → Was genau wurde im Projekt eskaliert, und warum fand keine Abstimmung zwischen den beteiligten Abteilungen statt? Ziele nicht erreicht. Jahresbilanz enttäuschend. → Welche Ziele wurden nicht erreicht, und welche Maßnahmen sind geplant, um die enttäuschende Jahresbilanz zu verbessern? Mitarbeiter beschweren sich. Management reagiert nicht. → Welche Beschwerden äußern die Mitarbeiter, und warum bleibt das Management bisher untätig? Innovation angekündigt. Keine Details. → Welche Innovation wurde angekündigt, und warum wurden bisher keine konkreten Details bekannt gegeben? == Texte umstrukturieren == Schreiben Sie einen Text mit Ellipsen in einen formellen, präzisen Bericht um: Problem erkannt. Keine Lösung gefunden. Chef informiert. Team demotiviert. Fortschritt stockt. → Das Team hat ein Problem erkannt, konnte jedoch bisher keine Lösung finden. Der Chef wurde über die Situation informiert, aber das Team zeigt sich zunehmend demotiviert, was den Fortschritt im Projekt stark beeinträchtigt." [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] d0q4nkn7dt0ri6k6gbfebvfrjl1v5yl 106 167013 1105579 1105409 2026-06-27T09:43:11Z Paul Sutermeister 37610 +[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]] 1105579 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (Dozent: [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 14.02.2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]][[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 21.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 28.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' || Seiten 10-14 |- | 07.03. || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 14.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 21.03. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 28.03. || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:</br>Fünf gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten/Wortschatz, 2) Rechtschreibung, 3) Satzglieder, 4) Satzbau, 5) Satzzeichen.</small> || |- | 04.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]] || |- | 25.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 02.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 09.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] || Seiten 66-69 |- | 16.05. || Indirekte Rede → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 23.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 30.05. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 06.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''INDIREKTE REDE''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 13.06. || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | 20.06. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | 27.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 228m0dmnkmwjpe5idcv4y3oiu3coh68 1105590 1105579 2026-06-27T10:20:35Z Paul Sutermeister 37610 +[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt]] 1105590 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (Dozent: [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 14.02.2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]][[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 21.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 28.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''': <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 07.03. || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 14.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 21.03. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 28.03. || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:</br>Fünf gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten/Wortschatz, 2) Rechtschreibung, 3) Satzglieder, 4) Satzbau, 5) Satzzeichen.</small> || |- | 04.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]] || |- | 25.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 02.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 09.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] || Seiten 66-69 |- | 16.05. || Indirekte Rede → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 23.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 30.05. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 06.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''INDIREKTE REDE''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 13.06. || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | 20.06. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | 27.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] thwjx8dbxf0qmjz9654nyp6r5lsy2dt 1105598 1105590 2026-06-27T10:31:51Z Paul Sutermeister 37610 1105598 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (Dozent: [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 14.02.2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]][[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 21.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 28.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''': <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 07.03. || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 14.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 21.03. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 28.03. || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:</br>Fünf gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten/Wortschatz, 2) Rechtschreibung, 3) Satzglieder, 4) Satzbau, 5) Satzzeichen.</small> || |- | 04.04. || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressat]]</small>, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]] || |- | 25.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 02.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 09.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] || Seiten 66-69 |- | 16.05. || Indirekte Rede → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 23.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 30.05. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 06.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''INDIREKTE REDE''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 13.06. || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | 20.06. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | 27.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 7qpkdekoo7et72mli6l7zahbi2a40p6 1105600 1105598 2026-06-27T10:33:15Z Paul Sutermeister 37610 1105600 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (Dozent: [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 14.02.2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]][[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 21.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 28.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''': <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 07.03. || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 14.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 21.03. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 28.03. || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:</br>Fünf gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten/Wortschatz, 2) Rechtschreibung, 3) Satzglieder, 4) Satzbau, 5) Satzzeichen.</small> || |- | 04.04. || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressat]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | 25.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 02.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 09.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] || Seiten 66-69 |- | 16.05. || Indirekte Rede → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 23.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 30.05. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 06.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''INDIREKTE REDE''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 13.06. || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | 20.06. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | 27.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] edj8flgdede9f57ruucbokwrvswuyb8 1105601 1105600 2026-06-27T10:33:35Z Paul Sutermeister 37610 1105601 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (Dozent: [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 14.02.2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]][[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 21.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 28.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''': <small>Prädikat, Subjekt, Adverbial, [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt|Objekt]]</small> || Seiten 10-14 |- | 07.03. || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Ellipse|Ellipse]]</small> → '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 14.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 21.03. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 28.03. || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:</br>Fünf gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten/Wortschatz, 2) Rechtschreibung, 3) Satzglieder, 4) Satzbau, 5) Satzzeichen.</small> || |- | 04.04. || <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Adressatenorientierung|Adressatenorientierung]]</small>, '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]]''' || |- | 25.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 02.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 09.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] || Seiten 66-69 |- | 16.05. || Indirekte Rede → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 23.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 30.05. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 06.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''INDIREKTE REDE''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 13.06. || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | 20.06. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | 27.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 6mr6xh3b6if1pcbygb9j25d8oy422ko 106 167053 1105586 1055513 2026-06-27T10:18:30Z Paul Sutermeister 37610 Paul Sutermeister verschob die Seite [[Benutzer:Paul Sutermeister/Objekt]] nach [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Objekt]]: inhaltlich ausgereift 1055513 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Welches [[:w:Satzglied|Satzglied]] beantwortet welche Frage? | typ="[]" } | Wer | Wen | Wem | Wessen | Wann | Wo | Wie | Warum | Worauf | Auf wen | Wofür | Für wen +----------- [[:w:Subjekt (Grammatik)|Subjekt]] -+---------- [[:w:Akkusativobjekt|Akkusativobjekt]] --+--------- [[:w:Dativobjekt|Dativobjekt]] ---+-------- [[:w:Genitivobjekt|Genitivobjekt]] ----+------- [[:w:Temporaladverbial|Adverbial der Zeit]] -----+------ Adverbial des Ortes ------+----- [[:w:Adverbiale_Bestimmung#Adverbiale_der_Art_und_Weise|Adverbial der Art und Weise]] -------+---- Adverbial des Grundes --------+--- [[:w:Objekt_(Grammatik)#Präpositionalobjekt|Präpositionalobjekt]] ---------+-- Präpositionalobjekt ----------+- Präpositionalobjekt -----------+ Präpositionalobjekt </quiz> == Genitivobjekt == 1. bedürfen – „Er bedarf deiner Hilfe.“ 2. gedenken – „Wir gedenken der Opfer.“ 3. sich annehmen – „Er nimmt sich der Sache an.“ 4. sich bedienen – „Sie bediente sich eines Tricks.“ 5. sich enthalten – „Er enthielt sich der Stimme.“ 6. sich entledigen – „Sie entledigte sich ihrer Verantwortung.“ 7. sich erbarmen – „Er erbarmte sich des Bettlers.“ 8. sich erfreuen – „Sie erfreut sich bester Gesundheit.“ 9. sich rühmen – „Er rühmt sich grosser Erfolge.“ 10. sich schämen – „Sie schämt sich ihres Fehlers.“ 11. sich versichern – „Er versicherte sich ihrer Unterstützung.“ 12. anklagen – „Er wurde des Mordes angeklagt.“ 13. beschuldigen – „Man beschuldigte ihn des Betrugs.“ 14. überführen – „Sie wurde der Lüge überführt.“ 15. bezichtigen – „Er wurde der Untreue bezichtigt.“ 16. würdigen – „Er würdigte ihn keines Blickes.“ == Präpositionalobjekt == {| class="wikitable" |+ Häufige Präpositionalobjekte im Deutschen |- ! Verb || Präposition || Frage || Beispiel |- | warten || auf || Auf wen? / Worauf? || Ich warte auf den Bus. |- | denken || an || An wen? / Woran? || Sie denkt an ihren Freund. |- | sich freuen || auf || Auf wen? / Worauf? || Wir freuen uns auf den Urlaub. |- | sich interessieren || für || Für wen? / Wofür? || Er interessiert sich für Kunst. |- | sprechen || mit || Mit wem? / Womit? || Sie spricht mit dem Lehrer. |- | sich kümmern || um || Um wen? Worum? || Er kümmert sich um die Kinder. |- | träumen || von || Von wem? Wovon? || Sie träumt von einer Reise. |- | sich bedanken || bei || Bei wem? || Ich bedanke mich bei dir. |- | sich verlieben || in || In wen? / Worin? || Er hat sich in seine Kollegin verliebt. |- | sich erinnern || an || An wen? / Woran? || Wir erinnern uns an die Schulzeit. |} == Präpositionalobjekt versus Adverbial == Hier sind verschiedene Übungen, um den Unterschied zwischen Präpositionalobjekten und Adverbialen zu üben. === Übung 1: Theorie === '''1. Was ist ein Präpositionalobjekt?''' * a) Eine Ergänzung, die eine bestimmte Präposition erfordert und nicht weggelassen werden kann. * b) Eine Angabe, die beschreibt, wann, wo oder wie etwas passiert. * c) Eine Ergänzung, die im Dativ oder Akkusativ steht. '''2. Was ist ein Adverbial?''' * a) Eine Ergänzung, die nach bestimmten Verben notwendig ist. * b) Eine Angabe, die einen Umstand wie Zeit, Ort oder Art und Weise beschreibt. * c) Eine Ergänzung, die immer im Genitiv steht. '''3. Welcher Satz enthält ein Präpositionalobjekt?''' * a) Sie wartet '''auf den Bus'''. * b) Sie wartet '''an der Haltestelle'''. * c) Sie wartet '''geduldig'''. === Übung 2: Präpositionalobjekt oder Adverbial? === Bestimme, ob es sich um ein '''Präpositionalobjekt (PO)''' oder ein '''Adverbial (A)''' handelt. # Er denkt '''an seine Familie'''. (___) # Sie spricht '''über das neue Projekt'''. (___) # Wir treffen uns '''im Park'''. (___) # Ich arbeite '''mit meinem Kollegen'''. (___) # Das Kind spielt '''unter dem Tisch'''. (___) # Ich interessiere mich '''für Geschichte'''. (___) # Sie lernt '''seit drei Jahren Deutsch'''. (___) # Der Hund bellt '''vor Freude'''. (___) # Wir warten '''auf die Antwort'''. (___) # Er geht '''mit grosser Begeisterung''' ins Kino. (___) === Übung 3: Ergänze die Sätze mit einem Präpositionalobjekt oder einem Adverbial === Vervollständige die Sätze mit einem passenden Ausdruck. # Ich freue mich ________________. (Präpositionalobjekt) # Er fährt ________________. (Adverbial der Zeit) # Sie bedankt sich ________________. (Präpositionalobjekt) # Sie wohnt ________________. (Adverbial des Ortes) # Wir warten ________________. (Präpositionalobjekt) === Übung 4: Präpositionalobjekt oder Adverbial? === Bestimme, ob es sich um ein '''Präpositionalobjekt (PO)''' oder ein '''Adverbial (A)''' handelt. # Ich warte '''auf den Brief'''. (___) # Sie wohnt '''in Berlin'''. (___) # Wir denken oft '''an unsere Kindheit'''. (___) # Sie spricht '''über ihre Zukunftspläne'''. (___) # Der Hund schläft '''unter dem Tisch'''. (___) # Er entschied sich '''für das teurere Auto'''. (___) # Sie geht '''jeden Morgen um sieben Uhr''' zur Arbeit. (___) # Wir lachen '''über den lustigen Witz'''. (___) # Das Konzert findet '''im Stadtpark''' statt. (___) # Sie erinnert sich '''an ihre Schulzeit'''. (___) === Übung 5: Lücken füllen – Präpositionalobjekt oder Adverbial? === Vervollständige die Sätze mit einem passenden Ausdruck. # Ich denke oft ________________. (Präpositionalobjekt) # Wir treffen uns ________________. (Adverbial des Ortes) # Sie spricht ________________. (Präpositionalobjekt) # Das Treffen beginnt ________________. (Adverbial der Zeit) # Er interessiert sich ________________. (Präpositionalobjekt) # Die Kinder spielen ________________. (Adverbial des Ortes) # Wir warten ________________. (Präpositionalobjekt) # Sie fährt ________________. (Adverbial der Art und Weise) # Er verabschiedet sich ________________. (Präpositionalobjekt) # Das Auto fährt ________________. (Adverbial des Ortes) === Übung 6: Falsches Wort? === In jedem Satz ist ein Fehler: Das Präpositionalobjekt oder das Adverbial ist nicht korrekt. Korrigiere die Sätze! # Ich warte '''bei meine Freunde'''. (Fehler!) → Ich warte ________. # Sie denkt '''über ihre Prüfung'''. (Fehler!) → Sie denkt ________. # Sie lebt '''auf der Schweiz'''. (Fehler!) → Sie lebt ________. # Wir freuen uns '''mit die Ferien'''. (Fehler!) → Wir freuen uns ________. # Ich interessiere mich '''an Geschichte'''. (Fehler!) → Ich interessiere mich ________. # Er wohnt '''bei einem kleinen Dorf'''. (Fehler!) → Er wohnt ________. # Wir sprechen '''von den neuen Kollegen'''. (Fehler!) → Wir sprechen ________. # Sie geht '''nach das Büro'''. (Fehler!) → Sie geht ________. # Wir erinnern uns '''über den Urlaub'''. (Fehler!) → Wir erinnern uns ________. # Das Kind spielt '''über dem Tisch'''. (Fehler!) → Das Kind spielt ________. === Übung 7: Präpositionalobjekte oder Adverbiale umformulieren === Formuliere die Sätze so um, dass ein Präpositionalobjekt durch ein Adverbial ersetzt wird oder umgekehrt. # Er wartet '''auf den Bus'''. → Er wartet '''_____________'''. # Sie lebt '''in einer kleinen Stadt'''. → Sie lebt '''_____________'''. # Wir sprechen '''über den Film'''. → Wir sprechen '''_____________'''. # Ich freue mich '''auf das Wochenende'''. → Ich freue mich '''_____________'''. # Er fährt '''mit dem Auto'''. → Er fährt '''_____________'''. 9noxmx7gjrcpphiuq7kccp0ieetlikx 1105591 1105586 2026-06-27T10:21:27Z Paul Sutermeister 37610 +[[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] 1105591 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Welches [[:w:Satzglied|Satzglied]] beantwortet welche Frage? | typ="[]" } | Wer | Wen | Wem | Wessen | Wann | Wo | Wie | Warum | Worauf | Auf wen | Wofür | Für wen +----------- [[:w:Subjekt (Grammatik)|Subjekt]] -+---------- [[:w:Akkusativobjekt|Akkusativobjekt]] --+--------- [[:w:Dativobjekt|Dativobjekt]] ---+-------- [[:w:Genitivobjekt|Genitivobjekt]] ----+------- [[:w:Temporaladverbial|Adverbial der Zeit]] -----+------ Adverbial des Ortes ------+----- [[:w:Adverbiale_Bestimmung#Adverbiale_der_Art_und_Weise|Adverbial der Art und Weise]] -------+---- Adverbial des Grundes --------+--- [[:w:Objekt_(Grammatik)#Präpositionalobjekt|Präpositionalobjekt]] ---------+-- Präpositionalobjekt ----------+- Präpositionalobjekt -----------+ Präpositionalobjekt </quiz> == Genitivobjekt == 1. bedürfen – „Er bedarf deiner Hilfe.“ 2. gedenken – „Wir gedenken der Opfer.“ 3. sich annehmen – „Er nimmt sich der Sache an.“ 4. sich bedienen – „Sie bediente sich eines Tricks.“ 5. sich enthalten – „Er enthielt sich der Stimme.“ 6. sich entledigen – „Sie entledigte sich ihrer Verantwortung.“ 7. sich erbarmen – „Er erbarmte sich des Bettlers.“ 8. sich erfreuen – „Sie erfreut sich bester Gesundheit.“ 9. sich rühmen – „Er rühmt sich grosser Erfolge.“ 10. sich schämen – „Sie schämt sich ihres Fehlers.“ 11. sich versichern – „Er versicherte sich ihrer Unterstützung.“ 12. anklagen – „Er wurde des Mordes angeklagt.“ 13. beschuldigen – „Man beschuldigte ihn des Betrugs.“ 14. überführen – „Sie wurde der Lüge überführt.“ 15. bezichtigen – „Er wurde der Untreue bezichtigt.“ 16. würdigen – „Er würdigte ihn keines Blickes.“ == Präpositionalobjekt == {| class="wikitable" |+ Häufige Präpositionalobjekte im Deutschen |- ! Verb || Präposition || Frage || Beispiel |- | warten || auf || Auf wen? / Worauf? || Ich warte auf den Bus. |- | denken || an || An wen? / Woran? || Sie denkt an ihren Freund. |- | sich freuen || auf || Auf wen? / Worauf? || Wir freuen uns auf den Urlaub. |- | sich interessieren || für || Für wen? / Wofür? || Er interessiert sich für Kunst. |- | sprechen || mit || Mit wem? / Womit? || Sie spricht mit dem Lehrer. |- | sich kümmern || um || Um wen? Worum? || Er kümmert sich um die Kinder. |- | träumen || von || Von wem? Wovon? || Sie träumt von einer Reise. |- | sich bedanken || bei || Bei wem? || Ich bedanke mich bei dir. |- | sich verlieben || in || In wen? / Worin? || Er hat sich in seine Kollegin verliebt. |- | sich erinnern || an || An wen? / Woran? || Wir erinnern uns an die Schulzeit. |} == Präpositionalobjekt versus Adverbial == Hier sind verschiedene Übungen, um den Unterschied zwischen Präpositionalobjekten und Adverbialen zu üben. === Übung 1: Theorie === '''1. Was ist ein Präpositionalobjekt?''' * a) Eine Ergänzung, die eine bestimmte Präposition erfordert und nicht weggelassen werden kann. * b) Eine Angabe, die beschreibt, wann, wo oder wie etwas passiert. * c) Eine Ergänzung, die im Dativ oder Akkusativ steht. '''2. Was ist ein Adverbial?''' * a) Eine Ergänzung, die nach bestimmten Verben notwendig ist. * b) Eine Angabe, die einen Umstand wie Zeit, Ort oder Art und Weise beschreibt. * c) Eine Ergänzung, die immer im Genitiv steht. '''3. Welcher Satz enthält ein Präpositionalobjekt?''' * a) Sie wartet '''auf den Bus'''. * b) Sie wartet '''an der Haltestelle'''. * c) Sie wartet '''geduldig'''. === Übung 2: Präpositionalobjekt oder Adverbial? === Bestimme, ob es sich um ein '''Präpositionalobjekt (PO)''' oder ein '''Adverbial (A)''' handelt. # Er denkt '''an seine Familie'''. (___) # Sie spricht '''über das neue Projekt'''. (___) # Wir treffen uns '''im Park'''. (___) # Ich arbeite '''mit meinem Kollegen'''. (___) # Das Kind spielt '''unter dem Tisch'''. (___) # Ich interessiere mich '''für Geschichte'''. (___) # Sie lernt '''seit drei Jahren Deutsch'''. (___) # Der Hund bellt '''vor Freude'''. (___) # Wir warten '''auf die Antwort'''. (___) # Er geht '''mit grosser Begeisterung''' ins Kino. (___) === Übung 3: Ergänze die Sätze mit einem Präpositionalobjekt oder einem Adverbial === Vervollständige die Sätze mit einem passenden Ausdruck. # Ich freue mich ________________. (Präpositionalobjekt) # Er fährt ________________. (Adverbial der Zeit) # Sie bedankt sich ________________. (Präpositionalobjekt) # Sie wohnt ________________. (Adverbial des Ortes) # Wir warten ________________. (Präpositionalobjekt) === Übung 4: Präpositionalobjekt oder Adverbial? === Bestimme, ob es sich um ein '''Präpositionalobjekt (PO)''' oder ein '''Adverbial (A)''' handelt. # Ich warte '''auf den Brief'''. (___) # Sie wohnt '''in Berlin'''. (___) # Wir denken oft '''an unsere Kindheit'''. (___) # Sie spricht '''über ihre Zukunftspläne'''. (___) # Der Hund schläft '''unter dem Tisch'''. (___) # Er entschied sich '''für das teurere Auto'''. (___) # Sie geht '''jeden Morgen um sieben Uhr''' zur Arbeit. (___) # Wir lachen '''über den lustigen Witz'''. (___) # Das Konzert findet '''im Stadtpark''' statt. (___) # Sie erinnert sich '''an ihre Schulzeit'''. (___) === Übung 5: Lücken füllen – Präpositionalobjekt oder Adverbial? === Vervollständige die Sätze mit einem passenden Ausdruck. # Ich denke oft ________________. (Präpositionalobjekt) # Wir treffen uns ________________. (Adverbial des Ortes) # Sie spricht ________________. (Präpositionalobjekt) # Das Treffen beginnt ________________. (Adverbial der Zeit) # Er interessiert sich ________________. (Präpositionalobjekt) # Die Kinder spielen ________________. (Adverbial des Ortes) # Wir warten ________________. (Präpositionalobjekt) # Sie fährt ________________. (Adverbial der Art und Weise) # Er verabschiedet sich ________________. (Präpositionalobjekt) # Das Auto fährt ________________. (Adverbial des Ortes) === Übung 6: Falsches Wort? === In jedem Satz ist ein Fehler: Das Präpositionalobjekt oder das Adverbial ist nicht korrekt. Korrigiere die Sätze! # Ich warte '''bei meine Freunde'''. (Fehler!) → Ich warte ________. # Sie denkt '''über ihre Prüfung'''. (Fehler!) → Sie denkt ________. # Sie lebt '''auf der Schweiz'''. (Fehler!) → Sie lebt ________. # Wir freuen uns '''mit die Ferien'''. (Fehler!) → Wir freuen uns ________. # Ich interessiere mich '''an Geschichte'''. (Fehler!) → Ich interessiere mich ________. # Er wohnt '''bei einem kleinen Dorf'''. (Fehler!) → Er wohnt ________. # Wir sprechen '''von den neuen Kollegen'''. (Fehler!) → Wir sprechen ________. # Sie geht '''nach das Büro'''. (Fehler!) → Sie geht ________. # Wir erinnern uns '''über den Urlaub'''. (Fehler!) → Wir erinnern uns ________. # Das Kind spielt '''über dem Tisch'''. (Fehler!) → Das Kind spielt ________. === Übung 7: Präpositionalobjekte oder Adverbiale umformulieren === Formuliere die Sätze so um, dass ein Präpositionalobjekt durch ein Adverbial ersetzt wird oder umgekehrt. # Er wartet '''auf den Bus'''. → Er wartet '''_____________'''. # Sie lebt '''in einer kleinen Stadt'''. → Sie lebt '''_____________'''. # Wir sprechen '''über den Film'''. → Wir sprechen '''_____________'''. # Ich freue mich '''auf das Wochenende'''. → Ich freue mich '''_____________'''. # Er fährt '''mit dem Auto'''. → Er fährt '''_____________'''. [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] hywuk5oxixs17tq190op6uh3nnd9z7t 106 170122 1105562 1105118 2026-06-27T08:59:39Z Bocardodarapti 2041 1105562 wikitext text/x-wiki {{ Klausur13 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Grapheigenschaften/Aufgabe|p||| |WM 26/Gesamtspielgraph/Cliquen/Aufgabe|p||| |Graph/3/Linear/Eigenwerte/Aufgabe|p||| |Schach/Läufer/Bipartit/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Graph/Disjunkte Vereinigung/Paarung/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Strahlgraph/Knotenüberdeckungszahl/Aufgabe|p||| |Knotenüberdeckung/Mengentheoretische Charakterisierung/Aufgabe|p||| |Rundgang/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ei3l5t0fq2f10d06cnb145aegaelics 106 171235 1105550 1105513 2026-06-26T15:30:58Z Jeb 26942 /* Workshop */ Link zur Projektseite: Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914 1105550 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! Pad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Wikisource-Projekte === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914}} === Commons === === Wikidata === Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens... [[d:Q140360682]] == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== https://de.wikisource.org/wiki/Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 8mkrjukrjz15ikkxa2ybolmo0phta1j 1105551 1105550 2026-06-26T16:05:21Z Jeb 26942 1105551 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! Pad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource leaflet (in German)]] * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Wikisource-Projekte === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914}} === Commons === === Wikidata === Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens... [[d:Q140360682]] == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== * [[s:Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien]] == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] dx7y1ryittfsyxxgmzhq7bf5h9quw57 1105552 1105551 2026-06-26T18:50:54Z Ulrike Blumenthal 40045 /* Wikisource-Projekte */ 1105552 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! Pad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource leaflet (in German)]] * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Wikisource-Projekte des Workshops === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914}} === Commons === === Wikidata === Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens... [[d:Q140360682]] == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== * [[s:Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien]] == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] hmth39qynagn1m4xil8kneaavqslnlm 1105553 1105552 2026-06-26T18:51:30Z Ulrike Blumenthal 40045 /* Wikisource-Projekte des Workshops */ 1105553 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! Pad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource leaflet (in German)]] * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Wikisource === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914}} === Commons === === Wikidata === Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens... [[d:Q140360682]] == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== * [[s:Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien]] == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 2kzd82bx4w20w0e7cznsfhzmodf0oa3 1105554 1105553 2026-06-26T18:54:01Z Ulrike Blumenthal 40045 /* Workshop */ 1105554 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! Pad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource leaflet (in German)]] * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Commons === === Wikisource === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914}} === Wikidata === Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens... [[d:Q140360682]] == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== * [[s:Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien]] == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] ix12vnb0a0052iukb9xa7qusr1qcl5c 1105555 1105554 2026-06-26T19:05:41Z Ulrike Blumenthal 40045 1105555 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource leaflet (in German)]] * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Commons === === Wikisource === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914}} === Wikidata === Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens... [[d:Q140360682]] == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== * [[s:Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien]] * Etherpad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] * Kay-Michael Würzner, Kathrin Gläßer, Markus Digwa, Jens Nauber: Wikisource als Teil bibliothekarischer Infrastruktur, https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:0290-opus4-203618 == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 01hwbckvwpel22v95thdnektcmc14qs 1105556 1105555 2026-06-26T19:21:08Z Ulrike Blumenthal 40045 1105556 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource leaflet (in German)]] * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Commons === === Wikisource === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914}} === Wikidata === Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens... [[d:Q140360682]] == Anwendungsfälle und weitere passende Beispielprojekte == === Commons === Beispiele für Institutionsseiten: *https://commons.wikimedia.org/wiki/Institution:British_Library Beispiele für Kategorieseiten: *https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:British_Library *https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Media_contributed_by_ZentralGut.ch == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== * [[s:Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien]] * Etherpad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] * Kay-Michael Würzner, Kathrin Gläßer, Markus Digwa, Jens Nauber: Wikisource als Teil bibliothekarischer Infrastruktur, https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:0290-opus4-203618 == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] e40uxt8ui8j3708vzjrxsx26ez57i0i 1105557 1105556 2026-06-26T19:22:45Z Ulrike Blumenthal 40045 1105557 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} __TOC__ == Vorabtreffen online == [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource leaflet (in German)]] * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Commons === === Wikisource === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914}} === Wikidata === Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens... [[d:Q140360682]] == Anwendungsfälle und weitere passende Beispielprojekte == === Commons === Beispiele für Institutionsseiten: *https://commons.wikimedia.org/wiki/Institution:British_Library Beispiele für Kategorieseiten: *https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:British_Library *https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Media_contributed_by_ZentralGut.ch == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== * [[s:Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien]] * Etherpad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] * Kay-Michael Würzner, Kathrin Gläßer, Markus Digwa, Jens Nauber: Wikisource als Teil bibliothekarischer Infrastruktur, https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:0290-opus4-203618 == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] s3nm8skd3da375iedgd2tr55v2xumu5 1105558 1105557 2026-06-26T19:29:40Z Ulrike Blumenthal 40045 1105558 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} __FORCETOC__ == Vorabtreffen online == [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource leaflet (in German)]] * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Commons === === Wikisource === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914}} === Wikidata === Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens... [[d:Q140360682]] == Anwendungsfälle und weitere passende Beispielprojekte == === Commons === Beispiele für Institutionsseiten: *https://commons.wikimedia.org/wiki/Institution:British_Library Beispiele für Kategorieseiten: *https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:British_Library *https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Media_contributed_by_ZentralGut.ch == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== * [[s:Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien]] * Etherpad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] * Kay-Michael Würzner, Kathrin Gläßer, Markus Digwa, Jens Nauber: Wikisource als Teil bibliothekarischer Infrastruktur, https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:0290-opus4-203618 == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 4esxmv6gcx22pu1frtpgrv2u7qg1wwk 1105559 1105558 2026-06-26T19:30:29Z Ulrike Blumenthal 40045 1105559 wikitext text/x-wiki __TOC__ {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource leaflet (in German)]] * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Commons === === Wikisource === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914}} === Wikidata === Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens... [[d:Q140360682]] == Anwendungsfälle und weitere passende Beispielprojekte == === Commons === Beispiele für Institutionsseiten: *https://commons.wikimedia.org/wiki/Institution:British_Library Beispiele für Kategorieseiten: *https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:British_Library *https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Media_contributed_by_ZentralGut.ch == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== * [[s:Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien]] * Etherpad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] * Kay-Michael Würzner, Kathrin Gläßer, Markus Digwa, Jens Nauber: Wikisource als Teil bibliothekarischer Infrastruktur, https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:0290-opus4-203618 == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] hbfz4b7dho1xj0xifje5rx6iilav89l 1105560 1105559 2026-06-26T19:30:42Z Ulrike Blumenthal 40045 1105560 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource leaflet (in German)]] * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Commons === === Wikisource === {{Wikisource|Index:VS 2407 N 35.pdf}} {{Wikisource|Index:Kirchenchronik Orenburg Am 1053.pdf}} {{Wikisource|Merkblatt Reichsversicherungsanstalt Januar 1914}} === Wikidata === Merkblatt der Reichsversicherungsanstalt für Angestellte für die Einleitung eines Heilverfahrens... [[d:Q140360682]] == Anwendungsfälle und weitere passende Beispielprojekte == === Commons === Beispiele für Institutionsseiten: *https://commons.wikimedia.org/wiki/Institution:British_Library Beispiele für Kategorieseiten: *https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:British_Library *https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Media_contributed_by_ZentralGut.ch == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? ==Nützliche Links== * [[s:Wikisource:Projektaufbau_mit_mehrseitigen_Dateien]] * Etherpad: https://yopad.eu/p/Wikisource_ASpB_2026-365days == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] * Kay-Michael Würzner, Kathrin Gläßer, Markus Digwa, Jens Nauber: Wikisource als Teil bibliothekarischer Infrastruktur, https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:0290-opus4-203618 == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] tlecoh1xda7rg47a00pojum55erl0y5 0 171450 1105578 1093637 2026-06-27T09:42:45Z Bocardodarapti 2041 1105578 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bei der WM 2026 nehmen {{math|term= 48 |SZ=}} Mannschaften teil, zunächst in {{math|term= 12 |SZ=}} Gruppen zu je {{math|term= 4 |SZ=}} Mannschaften, wobei jeder gegen jeden spielt. Danach qualifizieren sich {{math|term= 32 |SZ=}} Mannschaften für die weiterführenden Runden {{ Zusatz/Klammer |text=aus jeder Gruppe mindestens {{math|term= 2 |SZ=}} und höchstens {{math|term= 3 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }}, die im KO-System ausgeführt werden {{ Zusatz/Klammer |text=wir ignorieren das Spiel um Platz {{math|term= 3 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Der zugehörige {{ Zusatz/Klammer |text=Begegnungs| |ISZ=-|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=Relation| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=den man erst vollständig nach dem Turnier beschreiben kann| |ISZ=|ESZ= }} besteht aus der Vertexmenge, deren Elemente die Mannschaften sind, und zwei Mannschaften werden durch eine Kante verbunden, wenn sie gegeneinander gespielt haben. Dabei ziehen wir nur eine Kante, auch wenn zwei Mannschaften zweimal gegeneinander spielen sollten. {{ Aufzählung2 |Kann es außer den Vorrundengruppen einen Untergraphen mit vier Mannschaften geben, der vollständig ist? |Kann man die vollen Untergraphen zu den Vorrundengruppen graphentheoretisch identifizieren? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der binären Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} mmigmmu1knkdsy2htkaw514lzp1uadk 0 171451 1105582 1093638 2026-06-27T09:44:35Z Bocardodarapti 2041 1105582 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Das kann es geben. Es sei {{math|term= U |SZ=}} eine Vorrundengruppe, aus der sich die {{math|term= 3 |SZ=}} Mannschaften {{mathl|term= x,y,z |SZ=}} für die KO-Runde qualifizieren, und es sei {{math|term= w |SZ=}} eine Mannschaft aus einer anderen Vorrrundengruppe, die nacheinander in der KO-Phase auf {{mathl|term= x,y,z |SZ=}} stößt und diese besiegt {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= z |SZ=}} ist es egal| |ISZ=|ESZ=. }} Dann finden innerhalb der Teilmenge {{mathl|term= \{ x,y,z,w \} |SZ=}} {{math|term= 6 |SZ=}} Partien statt. |Man kann die Vorrundengruppen dennoch graphentheoretisch identifizieren. Da sich höchstens drei Mannschaften aus einer Vorrunde qualifizieren, gibt es in einem solchen vollständigen Untergraphen einen Punkt mit dem Grad {{math|term= 3 |SZ=.}} Dies kann bei einem Untergraphen, der ausschließlich aus weiter qualifizierten Mannschaften besteht, nicht sein. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} bkagttoie20bw8zr2g6ilhw0q0sql67 106 171532 1105541 1093907 2026-06-26T14:39:52Z Björn Henrich 41518 1105541 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. hl1tylsm7h6bxkfzi7ygvdsryv82w94 1105542 1105541 2026-06-26T14:43:14Z Björn Henrich 41518 1105542 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Die lineare Funktion lautet dabei: {\displaystyle f(x)=y_{1}+\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\cdot (x-x_{1})} Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. Beide Methoden haben somit unterschiedliche Zielsetzungen: * Lineare Interpolation: exakte Verbindung der Messwerte * Regression: Beschreibung eines allgemeinen Trends === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] j4djjozbsorhus6yqxh5vzwxfhz36k6 1105543 1105542 2026-06-26T14:46:45Z Björn Henrich 41518 /* Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) */ 1105543 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. Beide Methoden haben somit unterschiedliche Zielsetzungen: * Lineare Interpolation: exakte Verbindung der Messwerte * Regression: Beschreibung eines allgemeinen Trends === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. mra652ua3r0i4kj2egp0s1epsmfq2bh 1105544 1105543 2026-06-26T14:48:02Z Björn Henrich 41518 /* Fazit */ 1105544 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. Beide Methoden haben somit unterschiedliche Zielsetzungen: * Lineare Interpolation: exakte Verbindung der Messwerte * Regression: Beschreibung eines allgemeinen Trends === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. 3y0gld79jiuodj10je26xerfsynr7of 1105545 1105544 2026-06-26T14:51:32Z Björn Henrich 41518 /* Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) */ 1105545 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet.# ===Umsetzung=== == Lineare Funktion zwischen zwei Messpunkten == Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch: <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x+15) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. Beide Methoden haben somit unterschiedliche Zielsetzungen: * Lineare Interpolation: exakte Verbindung der Messwerte * Regression: Beschreibung eines allgemeinen Trends === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. ilokgy5f81pt9syl3tvinx8s0h52j4m 1105546 1105545 2026-06-26T14:52:36Z Björn Henrich 41518 /* Lineare Funktion zwischen zwei Messpunkten */ 1105546 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet.# ===Umsetzung=== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x+15) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. Beide Methoden haben somit unterschiedliche Zielsetzungen: * Lineare Interpolation: exakte Verbindung der Messwerte * Regression: Beschreibung eines allgemeinen Trends === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. dl2eb6omjyf04kgslq5izlu7qfvjq8c 1105547 1105546 2026-06-26T14:54:33Z Björn Henrich 41518 /* Umsetzung */ 1105547 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet.# ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x+15) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. Beide Methoden haben somit unterschiedliche Zielsetzungen: * Lineare Interpolation: exakte Verbindung der Messwerte * Regression: Beschreibung eines allgemeinen Trends === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. dl71z5yetgj244s70fl7w82m6n34uik 1105548 1105547 2026-06-26T14:54:44Z Björn Henrich 41518 /* Umsetzung */ 1105548 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet.# ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x+15) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. Beide Methoden haben somit unterschiedliche Zielsetzungen: * Lineare Interpolation: exakte Verbindung der Messwerte * Regression: Beschreibung eines allgemeinen Trends === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. s3de7zg7504a5qdc28nr32u3sypd36o 1105549 1105548 2026-06-26T14:59:09Z Björn Henrich 41518 /* Umsetzung */ 1105549 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ==Umsetzung== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. == Grenzen des Modells == Das verwendete Bewertungsmodell zur Standortwahl von Windenergieanlagen stellt eine starke Vereinfachung der Realität dar. Es basiert auf einem linearen Punktesystem sowie individuell gesetzten Gewichtungen, wodurch mehrere Einschränkungen entstehen. Ein wesentlicher Punkt ist, dass die Bewertungskriterien zwar verschiedene Einflussfaktoren berücksichtigen (z. B. Windstärke, Naturschutz oder Siedlungsnähe), diese jedoch stark vereinfacht in einzelne Punktwerte (1–3) überführt werden. Dadurch gehen viele reale Unterschiede innerhalb eines Kriteriums verloren. So wird beispielsweise die Windstärke unabhängig von zeitlichen Schwankungen oder regionalen Feinunterschieden betrachtet. Zudem ist die Vergabe der Punkte und Gewichtungen subjektiv. Unterschiedliche Schülerinnen und Schüler können denselben Standort unterschiedlich bewerten, was zwar didaktisch gewünscht ist, aber die Objektivität der Ergebnisse einschränkt. Auch die Wahl der Gewichtungen ist nicht standardisiert und kann das Endergebnis stark beeinflussen. Ein weiterer Punkt ist die lineare Verknüpfung der Kriterien. In der Realität wirken viele Faktoren jedoch nicht unabhängig voneinander. Beispielsweise kann eine hohe Windstärke in einem Gebiet mit Naturschutzauflagen dennoch nicht nutzbar sein, unabhängig von der Punktesumme. Außerdem berücksichtigt das Modell keine wirtschaftlichen, rechtlichen oder technischen Rahmenbedingungen, wie etwa Netzanschlusskosten, Genehmigungsverfahren oder Baukosten. == Kritische Reflexion == Das Modell eignet sich gut, um eine erste strukturierte Annäherung an die komplexe Entscheidung der Standortwahl von Windenergieanlagen zu ermöglichen. Besonders positiv ist, dass Schülerinnen und Schüler lernen, verschiedene Einflussfaktoren bewusst zu unterscheiden, zu gewichten und mathematisch zu verarbeiten. Dadurch wird deutlich, dass Entscheidungen in der Realität häufig mehrkriteriell sind und nicht auf einen einzigen Faktor reduziert werden können. Gleichzeitig zeigt das Modell aber auch seine Grenzen: Die scheinbare Genauigkeit durch Zahlenwerte kann leicht darüber hinwegtäuschen, dass die Ergebnisse stark von subjektiven Einschätzungen abhängen. Dadurch entsteht eine gewisse Scheingenauigkeit, die kritisch reflektiert werden muss. Trotz dieser Einschränkungen erfüllt das Modell seinen didaktischen Zweck sehr gut. Es ermöglicht einen niedrigschwelligen Einstieg in das mathematische Modellieren und fördert sowohl mathematisches Denken als auch die Fähigkeit, Entscheidungen begründet zu treffen und zu diskutieren. Besonders wertvoll ist dabei die Erkenntnis, dass unterschiedliche Gewichtungen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können und somit gesellschaftliche Zielkonflikte sichtbar werden. == Erweiterung: Lineare Interpolation (alternative Modellierung in der Sekundarstufe 1) == Neben dem gewählten Bewertungsmodell mit gewichteten Mittelwerten kann die Standortwahl von Windkraftanlagen auch auf eine andere, ebenfalls sehr anschauliche Weise modelliert werden: der linearen Interpolation. Diese Idee wird später im Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2 eingeführt und genauer erklärt. Es handelt sich also um eine Vereinfachung des eigentlichen Modells für Sekundarstufe 2, sodass es auch in Sekundarstufe 1 bearbeitet werden kann. Dabei werden die gegebenen Mess- oder Bewertungswerte nicht durch ein komplexes Modell (z. B. eine Regressionsfunktion) angenähert, sondern direkt durch Strecken verbunden. Zwischen zwei benachbarten Datenpunkten wird jeweils eine lineare Funktion angenommen. Dadurch entsteht ein stückweise linearer Graph, der die vorhandenen Werte direkt miteinander verbindet. === Grundidee === Die Idee der linearen Interpolation besteht darin, dass zwischen zwei bekannten Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) eine Gerade gelegt wird. Diese beschreibt den Verlauf zwischen den beiden Werten ohne zusätzliche Annahmen über den Zwischenverlauf. Diese ergibt sich durch die Gleichung: <math> f(x)=y_1+\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) </math> Damit kann für jeden Bereich zwischen zwei Standorten eine eigene lineare Funktion bestimmt werden. [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] === Anwendung auf die Standortbewertung === Überträgt man dieses Verfahren auf die Standortwahl von Windkraftanlagen, so werden die einzelnen Standorte (z. B. verschiedene Regionen oder Messpunkte) direkt miteinander verbunden. Jeder Datenpunkt entspricht dabei einem gemessenen oder bewerteten Wert, beispielsweise der Windgeschwindigkeit oder einer Gesamteinschätzung. Statt eine glatte Ausgleichskurve (Regression) zu berechnen, entsteht ein stückweise linearer Graph, der die Daten exakt abbildet.# ==Umsetzung== Gegeben sind die beiden Punkte (siehe auch in der Tabelle vom Modellierungszyklus der Sekundarstufe 2): <math>(x_1,y_1)=(-15,11{.}5)</math> <math>(x_2,y_2)=(-14,10)</math> === 1. Berechnung der Steigung === <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\frac{10-11{,}5}{-14-(-15)} =\frac{-1{,}5}{1} =-1{,}5 </math> === 2. Aufstellen der linearen Funktion === Wir verwenden die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt <math>(-15,11{,}5)</math>: <math> f(x)=11{,}5-1{,}5\cdot(x+15) </math> === 3. Vereinfachung === <math> f(x)=11{,}5-1{,}5x-22{,}5 </math> <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> === Ergebnis === Die lineare Funktion zwischen den beiden Punkten lautet: <math> f(x)=-1{,}5x-11 </math> Berechnet man nun die lineare Interpolation zwischen allen Punkten, kann man eine Funktion abschnittsweise zwischen allen Punkten definieren, die die realen Punkte linear verbinden und so eine gute Approximation darstellt. === Vorteile des Verfahrens === Die lineare Interpolation hat mehrere Vorteile: * Sie ist sehr leicht verständlich und gut im Unterricht der Sekundarstufe 1 umsetzbar. * Sie benötigt keine höheren mathematischen Verfahren wie Ableitungen oder Regression. * Die vorhandenen Daten werden exakt beibehalten und nicht verändert. * Der Rechenaufwand für eine Funktion ist gering, da nur lineare Funktionen verwendet werden. === Nachteile des Verfahrens === Gleichzeitig gibt es auch Einschränkungen: * Der Verlauf zwischen den Punkten wird stark vereinfacht (nur geradlinig angenommen). * Natürliche Krümmungen oder Trends der Daten werden nicht berücksichtigt. * Bei vielen Datenpunkten steigt die Anzahl der benötigten Funktionen stark an. * Die Darstellung kann unübersichtlich werden, wenn viele Abschnitte vorhanden sind. * Durch eine lineare Interpolation zwischen je zwei Punkten, wird eine großer Rechenaufwand benötigt. === Vergleich zur Regressionsmethode === Im Vergleich zur polynominalen Regression aus der Sekundarstufe 2 zeigt sich ein grundlegender Unterschied: Während die Regression versucht, einen allgemeinen Trend der Daten zu modellieren, verbindet die lineare Interpolation die Datenpunkte direkt miteinander. === Fazit === Die lineare Interpolation stellt eine sinnvolle Ergänzung für die Sekundarstufe 1 dar, da sie einen einfachen und direkten Zugang zur mathematischen Modellierung ermöglicht. Sie kann gut als Ausgangspunkt dienen, bevor in höheren Klassenstufen komplexere Modelle wie Regressionen oder Funktionalanalysen verwendet werden. Außerdem kann sie auch in einigen Fällen einen geringeren Fehler haben als die Regressionskurve und so als bessere Approximation dienen, die bereits in der Sekundarstufe 1 umgesetzt werden kann. donksa70ga89p9g4r09qvbi4d9welvo 106 171867 1105533 1105516 2026-06-26T13:55:32Z Björn Henrich 41518 /* Modellierungszyklus: Optimale Standortwahl einer Windkraftanlage (Universitätsniveau) */ 1105533 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Planung einer Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit besonders starkem Wind ist nicht automatisch optimal, da weitere Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Baukosten, Entfernung zur Infrastruktur und Geländebedingungen eine Rolle. Ziel dieses Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> auf einer Fläche zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Hierzu wird ein mathematisches Optimierungsmodell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens gelöst. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch modellieren, * eine geeignete Zielfunktion entwickeln, * ein Optimierungsproblem mit mehreren Variablen formulieren, * den Gradienten einer Funktion bestimmen und interpretieren, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Grenzen des Modells erkennen und reflektieren. == Vereinfachung der Realität == Um die reale Situation mathematisch beschreiben zu können, wird das Problem vereinfacht. Annahmen: * Die Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windgeschwindigkeit ab. * Die Kosten steigen mit zunehmender Entfernung von günstigen Infrastrukturpunkten. * Weitere Faktoren wie Naturschutz oder gesetzliche Vorgaben werden zunächst nicht berücksichtigt. == Mathematisches Modell == Der optimale Standort wird nicht nur durch den maximalen Energieertrag bestimmt. Stattdessen wird der wirtschaftliche Nutzen betrachtet. Die Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten --- === Modellierung des Energieertrags === Die Leistung einer Windenergieanlage hängt näherungsweise von der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit ab: <math> P \sim v^3 </math> Daher wird der Energieertrag modelliert als: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Interpretation: * In der Mitte des betrachteten Gebietes ist die Windgeschwindigkeit höher. * Mit zunehmender Entfernung sinkt die Windgeschwindigkeit. * Kleine Änderungen der Windgeschwindigkeit beeinflussen den Energieertrag stark. --- === Modellierung der Kosten === Die Kosten werden vereinfacht durch folgende Funktion beschrieben: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Interpretation: * Weiter entfernte Standorte verursachen höhere Kosten. * Unterschiedliche Faktoren berücksichtigen verschiedene Bedingungen in den Raumrichtungen. --- === Gesamte Zielfunktion === Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3-(0,5x^2+0,8y^2) </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> --- == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, wird der Gradient betrachtet. Der Gradient ist definiert als: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die Komponenten des Gradienten geben die Richtung der stärksten Änderung des Nutzens an. Da ein Maximum gesucht wird, bewegt man sich in Richtung des größten Anstiegs: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> mit: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>n</math>: Iterationsschritt --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Beispielhafter Ablauf: Startpunkt: <math> (x_0,y_0)=(5,5) </math> Algorithmus: # Gradient am aktuellen Punkt berechnen # neue Position mithilfe des Gradienten bestimmen # Verfahren wiederholen # abbrechen, wenn sich der Standort kaum noch verändert Das Verfahren nähert sich schrittweise dem optimalen Standort. --- == Interpretation der Lösung == Der gefundene Punkt beschreibt den mathematisch optimalen Standort. Optimal bedeutet hierbei: * möglichst hoher Energieertrag * möglichst geringe Kosten Der Algorithmus sucht daher nicht einfach den Ort mit dem stärksten Wind, sondern den wirtschaftlich sinnvollsten Standort. == Erweiterung des mathematischen Modells: Gewichtung verschiedener Kriterien == In der Realität werden Standorte von Windenergieanlagen nicht ausschließlich nach dem maximalen Energieertrag ausgewählt. Häufig müssen verschiedene Ziele miteinander abgewogen werden. Beispielsweise kann ein höherer Energieertrag wichtiger sein als geringe Kosten oder umgekehrt. Um diese unterschiedlichen Prioritäten mathematisch darzustellen, wird die Zielfunktion durch Gewichtungsfaktoren erweitert. Die neue Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: gewichteter Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Dabei gilt: <math> a,b>0 </math> --- === Gewichteter Energieertrag === Der Energieertrag wird weiterhin modelliert durch: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Der Faktor <math>a</math> beschreibt, wie stark der Energieertrag bei der Standortwahl berücksichtigt wird. --- === Gewichtete Kosten === Die Kostenfunktion lautet: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Der Faktor <math>b</math> beschreibt, welchen Einfluss die Kosten auf die Entscheidung haben. --- === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells = Mathematische Modellierung = Die physikalische Grundlage bildet weiterhin die Windleistungsfunktion: <math> P=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei beschreibt: * <math>P</math>: theoretisch nutzbare Leistung der Windkraftanlage * <math>\rho</math>: Luftdichte * <math>A</math>: Rotorfläche * <math>v</math>: Windgeschwindigkeit ===Ortsabhängige Geschwindigkeit=== Im erweiterten Modell wird die Windgeschwindigkeit nicht mehr als einzelne Messgröße betrachtet, sondern als Funktion des Standortes: <math> v=v(x,y) </math> x y sind Ortskoordinaten für den Punkt (x,y), die für alle KArten Längen- und Breitengrad entsprechen bzw im kartesischen Koordinatensystem die x und y Koordinate Erklärung x,y Dabei beschreiben <math>x</math> und <math>y</math> die geografische Position eines möglichen Standortes. Damit ergibt sich eine zweidimensionale Leistungsfunktion: <math> P(x,y)=\frac{1}{2}\rho A(v(x,y))^3 </math> Zusätzlich können weitere Faktoren wie Baukosten, Netzanbindung oder Umweltbedingungen berücksichtigt werden. Dadurch entsteht eine Zielfunktion: <math> F(x,y)=P(x,y)-C(x,y) </math> abhängig von Gewichtsfaktoren, wobei <math>F(x,y)</math> den tatsächlichen Nutzen des Standortes beschreibt. Das mathematische Ziel besteht darin, das Maximum dieser Funktion zu bestimmen: <math> \max F(x,y) </math> oef5pteufzf1nhvs44c2aloesqiyhdp 1105534 1105533 2026-06-26T13:56:48Z Björn Henrich 41518 1105534 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Planung einer Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit besonders starkem Wind ist nicht automatisch optimal, da weitere Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Baukosten, Entfernung zur Infrastruktur und Geländebedingungen eine Rolle. Ziel dieses Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> auf einer Fläche zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Hierzu wird ein mathematisches Optimierungsmodell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens gelöst. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch modellieren, * eine geeignete Zielfunktion entwickeln, * ein Optimierungsproblem mit mehreren Variablen formulieren, * den Gradienten einer Funktion bestimmen und interpretieren, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Grenzen des Modells erkennen und reflektieren. == Vereinfachung der Realität == Um die reale Situation mathematisch beschreiben zu können, wird das Problem vereinfacht. Annahmen: * Die Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windgeschwindigkeit ab. * Die Kosten steigen mit zunehmender Entfernung von günstigen Infrastrukturpunkten. * Weitere Faktoren wie Naturschutz oder gesetzliche Vorgaben werden zunächst nicht berücksichtigt. == Mathematisches Modell == Der optimale Standort wird nicht nur durch den maximalen Energieertrag bestimmt. Stattdessen wird der wirtschaftliche Nutzen betrachtet. Die Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten --- === Modellierung des Energieertrags === Die Leistung einer Windenergieanlage hängt näherungsweise von der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit ab: <math> P \sim v^3 </math> Daher wird der Energieertrag modelliert als: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Interpretation: * In der Mitte des betrachteten Gebietes ist die Windgeschwindigkeit höher. * Mit zunehmender Entfernung sinkt die Windgeschwindigkeit. * Kleine Änderungen der Windgeschwindigkeit beeinflussen den Energieertrag stark. --- === Modellierung der Kosten === Die Kosten werden vereinfacht durch folgende Funktion beschrieben: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Interpretation: * Weiter entfernte Standorte verursachen höhere Kosten. * Unterschiedliche Faktoren berücksichtigen verschiedene Bedingungen in den Raumrichtungen. --- === Gesamte Zielfunktion === Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3-(0,5x^2+0,8y^2) </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> --- == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, wird der Gradient betrachtet. Der Gradient ist definiert als: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die Komponenten des Gradienten geben die Richtung der stärksten Änderung des Nutzens an. Da ein Maximum gesucht wird, bewegt man sich in Richtung des größten Anstiegs: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> mit: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>n</math>: Iterationsschritt --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Beispielhafter Ablauf: Startpunkt: <math> (x_0,y_0)=(5,5) </math> Algorithmus: # Gradient am aktuellen Punkt berechnen # neue Position mithilfe des Gradienten bestimmen # Verfahren wiederholen # abbrechen, wenn sich der Standort kaum noch verändert Das Verfahren nähert sich schrittweise dem optimalen Standort. --- == Interpretation der Lösung == Der gefundene Punkt beschreibt den mathematisch optimalen Standort. Optimal bedeutet hierbei: * möglichst hoher Energieertrag * möglichst geringe Kosten Der Algorithmus sucht daher nicht einfach den Ort mit dem stärksten Wind, sondern den wirtschaftlich sinnvollsten Standort. == Erweiterung des mathematischen Modells: Gewichtung verschiedener Kriterien == In der Realität werden Standorte von Windenergieanlagen nicht ausschließlich nach dem maximalen Energieertrag ausgewählt. Häufig müssen verschiedene Ziele miteinander abgewogen werden. Beispielsweise kann ein höherer Energieertrag wichtiger sein als geringe Kosten oder umgekehrt. Um diese unterschiedlichen Prioritäten mathematisch darzustellen, wird die Zielfunktion durch Gewichtungsfaktoren erweitert. Die neue Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: gewichteter Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Dabei gilt: <math> a,b>0 </math> --- === Gewichteter Energieertrag === Der Energieertrag wird weiterhin modelliert durch: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Der Faktor <math>a</math> beschreibt, wie stark der Energieertrag bei der Standortwahl berücksichtigt wird. --- === Gewichtete Kosten === Die Kostenfunktion lautet: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Der Faktor <math>b</math> beschreibt, welchen Einfluss die Kosten auf die Entscheidung haben. --- === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells = Mathematische Modellierung = Die physikalische Grundlage bildet weiterhin die Windleistungsfunktion: <math> P=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei beschreibt: * <math>P</math>: theoretisch nutzbare Leistung der Windkraftanlage * <math>\rho</math>: Luftdichte * <math>A</math>: Rotorfläche * <math>v</math>: Windgeschwindigkeit fnivmnu9xx8op5bdkujors5mwpkiajl 1105535 1105534 2026-06-26T13:57:52Z Björn Henrich 41518 /* Mathematische Modellierung */ 1105535 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Planung einer Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit besonders starkem Wind ist nicht automatisch optimal, da weitere Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Baukosten, Entfernung zur Infrastruktur und Geländebedingungen eine Rolle. Ziel dieses Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> auf einer Fläche zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Hierzu wird ein mathematisches Optimierungsmodell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens gelöst. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch modellieren, * eine geeignete Zielfunktion entwickeln, * ein Optimierungsproblem mit mehreren Variablen formulieren, * den Gradienten einer Funktion bestimmen und interpretieren, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Grenzen des Modells erkennen und reflektieren. == Vereinfachung der Realität == Um die reale Situation mathematisch beschreiben zu können, wird das Problem vereinfacht. Annahmen: * Die Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windgeschwindigkeit ab. * Die Kosten steigen mit zunehmender Entfernung von günstigen Infrastrukturpunkten. * Weitere Faktoren wie Naturschutz oder gesetzliche Vorgaben werden zunächst nicht berücksichtigt. == Mathematisches Modell == Der optimale Standort wird nicht nur durch den maximalen Energieertrag bestimmt. Stattdessen wird der wirtschaftliche Nutzen betrachtet. Die Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten --- === Modellierung des Energieertrags === Die Leistung einer Windenergieanlage hängt näherungsweise von der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit ab: <math> P \sim v^3 </math> Daher wird der Energieertrag modelliert als: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Interpretation: * In der Mitte des betrachteten Gebietes ist die Windgeschwindigkeit höher. * Mit zunehmender Entfernung sinkt die Windgeschwindigkeit. * Kleine Änderungen der Windgeschwindigkeit beeinflussen den Energieertrag stark. --- === Modellierung der Kosten === Die Kosten werden vereinfacht durch folgende Funktion beschrieben: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Interpretation: * Weiter entfernte Standorte verursachen höhere Kosten. * Unterschiedliche Faktoren berücksichtigen verschiedene Bedingungen in den Raumrichtungen. --- === Gesamte Zielfunktion === Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3-(0,5x^2+0,8y^2) </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> --- == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, wird der Gradient betrachtet. Der Gradient ist definiert als: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die Komponenten des Gradienten geben die Richtung der stärksten Änderung des Nutzens an. Da ein Maximum gesucht wird, bewegt man sich in Richtung des größten Anstiegs: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> mit: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>n</math>: Iterationsschritt --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Beispielhafter Ablauf: Startpunkt: <math> (x_0,y_0)=(5,5) </math> Algorithmus: # Gradient am aktuellen Punkt berechnen # neue Position mithilfe des Gradienten bestimmen # Verfahren wiederholen # abbrechen, wenn sich der Standort kaum noch verändert Das Verfahren nähert sich schrittweise dem optimalen Standort. --- == Interpretation der Lösung == Der gefundene Punkt beschreibt den mathematisch optimalen Standort. Optimal bedeutet hierbei: * möglichst hoher Energieertrag * möglichst geringe Kosten Der Algorithmus sucht daher nicht einfach den Ort mit dem stärksten Wind, sondern den wirtschaftlich sinnvollsten Standort. == Erweiterung des mathematischen Modells: Gewichtung verschiedener Kriterien == In der Realität werden Standorte von Windenergieanlagen nicht ausschließlich nach dem maximalen Energieertrag ausgewählt. Häufig müssen verschiedene Ziele miteinander abgewogen werden. Beispielsweise kann ein höherer Energieertrag wichtiger sein als geringe Kosten oder umgekehrt. Um diese unterschiedlichen Prioritäten mathematisch darzustellen, wird die Zielfunktion durch Gewichtungsfaktoren erweitert. Die neue Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: gewichteter Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Dabei gilt: <math> a,b>0 </math> --- === Gewichteter Energieertrag === Der Energieertrag wird weiterhin modelliert durch: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Der Faktor <math>a</math> beschreibt, wie stark der Energieertrag bei der Standortwahl berücksichtigt wird. --- === Gewichtete Kosten === Die Kostenfunktion lautet: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Der Faktor <math>b</math> beschreibt, welchen Einfluss die Kosten auf die Entscheidung haben. --- === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells o5ftm19tg6ikborezr48p50ekk1iwiq 1105536 1105535 2026-06-26T14:00:14Z Björn Henrich 41518 /* Mathematisches Modell */ 1105536 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Planung einer Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit besonders starkem Wind ist nicht automatisch optimal, da weitere Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Baukosten, Entfernung zur Infrastruktur und Geländebedingungen eine Rolle. Ziel dieses Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> auf einer Fläche zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Hierzu wird ein mathematisches Optimierungsmodell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens gelöst. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch modellieren, * eine geeignete Zielfunktion entwickeln, * ein Optimierungsproblem mit mehreren Variablen formulieren, * den Gradienten einer Funktion bestimmen und interpretieren, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Grenzen des Modells erkennen und reflektieren. == Vereinfachung der Realität == Um die reale Situation mathematisch beschreiben zu können, wird das Problem vereinfacht. Annahmen: * Die Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windgeschwindigkeit ab. * Die Kosten steigen mit zunehmender Entfernung von günstigen Infrastrukturpunkten. * Weitere Faktoren wie Naturschutz oder gesetzliche Vorgaben werden zunächst nicht berücksichtigt. == Mathematisches Modell == Der optimale Standort wird nicht nur durch den maximalen Energieertrag bestimmt. Stattdessen wird der wirtschaftliche Nutzen betrachtet. Die Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten === Modellierung des Energieertrags === Die Leistung einer Windenergieanlage hängt näherungsweise von der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit ab: <math> P \sim v^3 </math> Daher wird der Energieertrag modelliert als: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Interpretation: * In der Mitte des betrachteten Gebietes ist die Windgeschwindigkeit höher. * Mit zunehmender Entfernung sinkt die Windgeschwindigkeit. * Kleine Änderungen der Windgeschwindigkeit beeinflussen den Energieertrag stark. --- === Modellierung der Kosten === Die Kosten werden vereinfacht durch folgende Funktion beschrieben: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Interpretation: * Weiter entfernte Standorte verursachen höhere Kosten. * Unterschiedliche Faktoren berücksichtigen verschiedene Bedingungen in den Raumrichtungen. --- === Gesamte Zielfunktion === Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3-(0,5x^2+0,8y^2) </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> --- == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, wird der Gradient betrachtet. Der Gradient ist definiert als: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die Komponenten des Gradienten geben die Richtung der stärksten Änderung des Nutzens an. Da ein Maximum gesucht wird, bewegt man sich in Richtung des größten Anstiegs: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> mit: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>n</math>: Iterationsschritt --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Beispielhafter Ablauf: Startpunkt: <math> (x_0,y_0)=(5,5) </math> Algorithmus: # Gradient am aktuellen Punkt berechnen # neue Position mithilfe des Gradienten bestimmen # Verfahren wiederholen # abbrechen, wenn sich der Standort kaum noch verändert Das Verfahren nähert sich schrittweise dem optimalen Standort. --- == Interpretation der Lösung == Der gefundene Punkt beschreibt den mathematisch optimalen Standort. Optimal bedeutet hierbei: * möglichst hoher Energieertrag * möglichst geringe Kosten Der Algorithmus sucht daher nicht einfach den Ort mit dem stärksten Wind, sondern den wirtschaftlich sinnvollsten Standort. == Erweiterung des mathematischen Modells: Gewichtung verschiedener Kriterien == In der Realität werden Standorte von Windenergieanlagen nicht ausschließlich nach dem maximalen Energieertrag ausgewählt. Häufig müssen verschiedene Ziele miteinander abgewogen werden. Beispielsweise kann ein höherer Energieertrag wichtiger sein als geringe Kosten oder umgekehrt. Um diese unterschiedlichen Prioritäten mathematisch darzustellen, wird die Zielfunktion durch Gewichtungsfaktoren erweitert. Die neue Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: gewichteter Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Dabei gilt: <math> a,b>0 </math> --- === Gewichteter Energieertrag === Der Energieertrag wird weiterhin modelliert durch: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Der Faktor <math>a</math> beschreibt, wie stark der Energieertrag bei der Standortwahl berücksichtigt wird. --- === Gewichtete Kosten === Die Kostenfunktion lautet: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Der Faktor <math>b</math> beschreibt, welchen Einfluss die Kosten auf die Entscheidung haben. --- === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells 8728r5vl23t8o58gri0zpgr6ifln9xg 1105537 1105536 2026-06-26T14:24:50Z Björn Henrich 41518 /* Grundidee */ 1105537 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch modellieren, * eine geeignete Zielfunktion entwickeln, * ein Optimierungsproblem mit mehreren Variablen formulieren, * den Gradienten einer Funktion bestimmen und interpretieren, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Grenzen des Modells erkennen und reflektieren. == Vereinfachung der Realität == Um die reale Situation mathematisch beschreiben zu können, wird das Problem vereinfacht. Annahmen: * Die Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windgeschwindigkeit ab. * Die Kosten steigen mit zunehmender Entfernung von günstigen Infrastrukturpunkten. * Weitere Faktoren wie Naturschutz oder gesetzliche Vorgaben werden zunächst nicht berücksichtigt. == Mathematisches Modell == Der optimale Standort wird nicht nur durch den maximalen Energieertrag bestimmt. Stattdessen wird der wirtschaftliche Nutzen betrachtet. Die Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten === Modellierung des Energieertrags === Die Leistung einer Windenergieanlage hängt näherungsweise von der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit ab: <math> P \sim v^3 </math> Daher wird der Energieertrag modelliert als: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Interpretation: * In der Mitte des betrachteten Gebietes ist die Windgeschwindigkeit höher. * Mit zunehmender Entfernung sinkt die Windgeschwindigkeit. * Kleine Änderungen der Windgeschwindigkeit beeinflussen den Energieertrag stark. --- === Modellierung der Kosten === Die Kosten werden vereinfacht durch folgende Funktion beschrieben: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Interpretation: * Weiter entfernte Standorte verursachen höhere Kosten. * Unterschiedliche Faktoren berücksichtigen verschiedene Bedingungen in den Raumrichtungen. --- === Gesamte Zielfunktion === Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3-(0,5x^2+0,8y^2) </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> --- == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, wird der Gradient betrachtet. Der Gradient ist definiert als: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die Komponenten des Gradienten geben die Richtung der stärksten Änderung des Nutzens an. Da ein Maximum gesucht wird, bewegt man sich in Richtung des größten Anstiegs: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> mit: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>n</math>: Iterationsschritt --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Beispielhafter Ablauf: Startpunkt: <math> (x_0,y_0)=(5,5) </math> Algorithmus: # Gradient am aktuellen Punkt berechnen # neue Position mithilfe des Gradienten bestimmen # Verfahren wiederholen # abbrechen, wenn sich der Standort kaum noch verändert Das Verfahren nähert sich schrittweise dem optimalen Standort. --- == Interpretation der Lösung == Der gefundene Punkt beschreibt den mathematisch optimalen Standort. Optimal bedeutet hierbei: * möglichst hoher Energieertrag * möglichst geringe Kosten Der Algorithmus sucht daher nicht einfach den Ort mit dem stärksten Wind, sondern den wirtschaftlich sinnvollsten Standort. == Erweiterung des mathematischen Modells: Gewichtung verschiedener Kriterien == In der Realität werden Standorte von Windenergieanlagen nicht ausschließlich nach dem maximalen Energieertrag ausgewählt. Häufig müssen verschiedene Ziele miteinander abgewogen werden. Beispielsweise kann ein höherer Energieertrag wichtiger sein als geringe Kosten oder umgekehrt. Um diese unterschiedlichen Prioritäten mathematisch darzustellen, wird die Zielfunktion durch Gewichtungsfaktoren erweitert. Die neue Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: gewichteter Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Dabei gilt: <math> a,b>0 </math> --- === Gewichteter Energieertrag === Der Energieertrag wird weiterhin modelliert durch: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Der Faktor <math>a</math> beschreibt, wie stark der Energieertrag bei der Standortwahl berücksichtigt wird. --- === Gewichtete Kosten === Die Kostenfunktion lautet: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Der Faktor <math>b</math> beschreibt, welchen Einfluss die Kosten auf die Entscheidung haben. --- === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells ns61jfv2ka8i5k6dezgt7un10x0jo6f 1105538 1105537 2026-06-26T14:25:06Z Björn Henrich 41518 /* Ziele des Modellierungsprozesses */ 1105538 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität == Um die reale Situation mathematisch beschreiben zu können, wird das Problem vereinfacht. Annahmen: * Die Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windgeschwindigkeit ab. * Die Kosten steigen mit zunehmender Entfernung von günstigen Infrastrukturpunkten. * Weitere Faktoren wie Naturschutz oder gesetzliche Vorgaben werden zunächst nicht berücksichtigt. == Mathematisches Modell == Der optimale Standort wird nicht nur durch den maximalen Energieertrag bestimmt. Stattdessen wird der wirtschaftliche Nutzen betrachtet. Die Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten === Modellierung des Energieertrags === Die Leistung einer Windenergieanlage hängt näherungsweise von der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit ab: <math> P \sim v^3 </math> Daher wird der Energieertrag modelliert als: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Interpretation: * In der Mitte des betrachteten Gebietes ist die Windgeschwindigkeit höher. * Mit zunehmender Entfernung sinkt die Windgeschwindigkeit. * Kleine Änderungen der Windgeschwindigkeit beeinflussen den Energieertrag stark. --- === Modellierung der Kosten === Die Kosten werden vereinfacht durch folgende Funktion beschrieben: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Interpretation: * Weiter entfernte Standorte verursachen höhere Kosten. * Unterschiedliche Faktoren berücksichtigen verschiedene Bedingungen in den Raumrichtungen. --- === Gesamte Zielfunktion === Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3-(0,5x^2+0,8y^2) </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> --- == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, wird der Gradient betrachtet. Der Gradient ist definiert als: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die Komponenten des Gradienten geben die Richtung der stärksten Änderung des Nutzens an. Da ein Maximum gesucht wird, bewegt man sich in Richtung des größten Anstiegs: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> mit: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>n</math>: Iterationsschritt --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Beispielhafter Ablauf: Startpunkt: <math> (x_0,y_0)=(5,5) </math> Algorithmus: # Gradient am aktuellen Punkt berechnen # neue Position mithilfe des Gradienten bestimmen # Verfahren wiederholen # abbrechen, wenn sich der Standort kaum noch verändert Das Verfahren nähert sich schrittweise dem optimalen Standort. --- == Interpretation der Lösung == Der gefundene Punkt beschreibt den mathematisch optimalen Standort. Optimal bedeutet hierbei: * möglichst hoher Energieertrag * möglichst geringe Kosten Der Algorithmus sucht daher nicht einfach den Ort mit dem stärksten Wind, sondern den wirtschaftlich sinnvollsten Standort. == Erweiterung des mathematischen Modells: Gewichtung verschiedener Kriterien == In der Realität werden Standorte von Windenergieanlagen nicht ausschließlich nach dem maximalen Energieertrag ausgewählt. Häufig müssen verschiedene Ziele miteinander abgewogen werden. Beispielsweise kann ein höherer Energieertrag wichtiger sein als geringe Kosten oder umgekehrt. Um diese unterschiedlichen Prioritäten mathematisch darzustellen, wird die Zielfunktion durch Gewichtungsfaktoren erweitert. Die neue Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: gewichteter Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Dabei gilt: <math> a,b>0 </math> --- === Gewichteter Energieertrag === Der Energieertrag wird weiterhin modelliert durch: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Der Faktor <math>a</math> beschreibt, wie stark der Energieertrag bei der Standortwahl berücksichtigt wird. --- === Gewichtete Kosten === Die Kostenfunktion lautet: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Der Faktor <math>b</math> beschreibt, welchen Einfluss die Kosten auf die Entscheidung haben. --- === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells rtl8447cnu855xjr8pn56asc63314mp 1105539 1105538 2026-06-26T14:26:11Z Björn Henrich 41518 /* Vereinfachung der Realität */ 1105539 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == Der optimale Standort wird nicht nur durch den maximalen Energieertrag bestimmt. Stattdessen wird der wirtschaftliche Nutzen betrachtet. Die Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten === Modellierung des Energieertrags === Die Leistung einer Windenergieanlage hängt näherungsweise von der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit ab: <math> P \sim v^3 </math> Daher wird der Energieertrag modelliert als: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Interpretation: * In der Mitte des betrachteten Gebietes ist die Windgeschwindigkeit höher. * Mit zunehmender Entfernung sinkt die Windgeschwindigkeit. * Kleine Änderungen der Windgeschwindigkeit beeinflussen den Energieertrag stark. --- === Modellierung der Kosten === Die Kosten werden vereinfacht durch folgende Funktion beschrieben: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Interpretation: * Weiter entfernte Standorte verursachen höhere Kosten. * Unterschiedliche Faktoren berücksichtigen verschiedene Bedingungen in den Raumrichtungen. --- === Gesamte Zielfunktion === Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3-(0,5x^2+0,8y^2) </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> --- == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, wird der Gradient betrachtet. Der Gradient ist definiert als: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die Komponenten des Gradienten geben die Richtung der stärksten Änderung des Nutzens an. Da ein Maximum gesucht wird, bewegt man sich in Richtung des größten Anstiegs: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> mit: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>n</math>: Iterationsschritt --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Beispielhafter Ablauf: Startpunkt: <math> (x_0,y_0)=(5,5) </math> Algorithmus: # Gradient am aktuellen Punkt berechnen # neue Position mithilfe des Gradienten bestimmen # Verfahren wiederholen # abbrechen, wenn sich der Standort kaum noch verändert Das Verfahren nähert sich schrittweise dem optimalen Standort. --- == Interpretation der Lösung == Der gefundene Punkt beschreibt den mathematisch optimalen Standort. Optimal bedeutet hierbei: * möglichst hoher Energieertrag * möglichst geringe Kosten Der Algorithmus sucht daher nicht einfach den Ort mit dem stärksten Wind, sondern den wirtschaftlich sinnvollsten Standort. == Erweiterung des mathematischen Modells: Gewichtung verschiedener Kriterien == In der Realität werden Standorte von Windenergieanlagen nicht ausschließlich nach dem maximalen Energieertrag ausgewählt. Häufig müssen verschiedene Ziele miteinander abgewogen werden. Beispielsweise kann ein höherer Energieertrag wichtiger sein als geringe Kosten oder umgekehrt. Um diese unterschiedlichen Prioritäten mathematisch darzustellen, wird die Zielfunktion durch Gewichtungsfaktoren erweitert. Die neue Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: gewichteter Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Dabei gilt: <math> a,b>0 </math> --- === Gewichteter Energieertrag === Der Energieertrag wird weiterhin modelliert durch: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Der Faktor <math>a</math> beschreibt, wie stark der Energieertrag bei der Standortwahl berücksichtigt wird. --- === Gewichtete Kosten === Die Kostenfunktion lautet: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Der Faktor <math>b</math> beschreibt, welchen Einfluss die Kosten auf die Entscheidung haben. --- === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells 53copi12uicbu4x6mffd3h66j55m30f 1105540 1105539 2026-06-26T14:27:26Z Björn Henrich 41518 /* Mathematisches Modell */ 1105540 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Die Leistung einer Windenergieanlage hängt näherungsweise von der dritten Potenz der Windgeschwindigkeit ab: <math> P\sim v^3 </math> Daher ist der Energieertrag besonders stark von der Windgeschwindigkeit abhängig. Die Windverteilung innerhalb eines Gebietes wird vereinfacht durch eine Gauß-Funktion modelliert: <math> E(x,y)=100\cdot e^{-0,1((x-2)^2+(y+1)^2)} </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * $(x,y)$: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ihr Maximum nahe dem Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt stellt den Bereich mit den günstigsten Windbedingungen dar. === Modellierung der Kosten === Neben dem Energieertrag müssen die entstehenden Kosten berücksichtigt werden. Die Kosten werden vereinfacht durch folgende Funktion beschrieben: <math> K(x,y)=0,5(x^2+y^2) </math> Dabei gilt: * <math>K(x,y)</math>: Standortkosten * größere Entfernung vom Mittelpunkt führt zu höheren Kosten Die Kosten können beispielsweise den Aufwand für Erschließung, Transport oder Netzanbindung darstellen. === Gesamte Zielfunktion === Da sowohl der Energieertrag als auch die Kosten berücksichtigt werden sollen, wird eine Nutzenfunktion eingeführt: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: wirtschaftlicher Gesamtnutzen * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Für ein einfaches Beispiel wird gewählt: <math> a=1,\quad b=1 </math> Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=100\cdot e^{-0,1((x-2)^2+(y+1)^2)}-0,5(x^2+y^2) </math> Gesucht ist somit: <math> \max G(x,y) </math> == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, wird der Gradient betrachtet. Der Gradient ist definiert als: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die Komponenten des Gradienten geben die Richtung der stärksten Änderung des Nutzens an. Da ein Maximum gesucht wird, bewegt man sich in Richtung des größten Anstiegs: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> mit: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>n</math>: Iterationsschritt --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Beispielhafter Ablauf: Startpunkt: <math> (x_0,y_0)=(5,5) </math> Algorithmus: # Gradient am aktuellen Punkt berechnen # neue Position mithilfe des Gradienten bestimmen # Verfahren wiederholen # abbrechen, wenn sich der Standort kaum noch verändert Das Verfahren nähert sich schrittweise dem optimalen Standort. --- == Interpretation der Lösung == Der gefundene Punkt beschreibt den mathematisch optimalen Standort. Optimal bedeutet hierbei: * möglichst hoher Energieertrag * möglichst geringe Kosten Der Algorithmus sucht daher nicht einfach den Ort mit dem stärksten Wind, sondern den wirtschaftlich sinnvollsten Standort. == Erweiterung des mathematischen Modells: Gewichtung verschiedener Kriterien == In der Realität werden Standorte von Windenergieanlagen nicht ausschließlich nach dem maximalen Energieertrag ausgewählt. Häufig müssen verschiedene Ziele miteinander abgewogen werden. Beispielsweise kann ein höherer Energieertrag wichtiger sein als geringe Kosten oder umgekehrt. Um diese unterschiedlichen Prioritäten mathematisch darzustellen, wird die Zielfunktion durch Gewichtungsfaktoren erweitert. Die neue Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: gewichteter Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Dabei gilt: <math> a,b>0 </math> --- === Gewichteter Energieertrag === Der Energieertrag wird weiterhin modelliert durch: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Der Faktor <math>a</math> beschreibt, wie stark der Energieertrag bei der Standortwahl berücksichtigt wird. --- === Gewichtete Kosten === Die Kostenfunktion lautet: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Der Faktor <math>b</math> beschreibt, welchen Einfluss die Kosten auf die Entscheidung haben. --- === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. 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