Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 118561 1105778 1105071 2026-06-29T11:30:20Z Bocardodarapti 2041 1105778 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |bipartiter Graph| |Kontext=| |SZ= }} mit einer bipartiten Zerlegung {{ Relationskette |V || A \uplus B || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung4 |{{math|term= G |SZ=}} enthält eine {{ Definitionslink |Paarung| |Kontext=Teilmenge Graph| |SZ= }} für {{math|term= A |SZ=.}} |Die {{ Definitionslink |Paarungszahl| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=}} ist gleich {{mathl|term= {{op:Anzahl| A |}} |SZ=.}} |Es gilt die {{ Definitionslink |Paarungsbedingung| |Kontext=| |SZ= }} für {{math|term= A |SZ=,}} d.h. zu jeder Teilmenge {{ Relationskette | S | \subseteq | A || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{op:Anzahl| S |}} | \leq | {{op:Anzahl|N(S)|}} || || || |SZ=. }} |Es gibt eine injektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | A | B || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \{ a, \varphi(a) \} | \in | E || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | a | \in | A || || || |SZ=. }} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Paarungen in bipartiten Graphen |Kategorie2=Theorie der injektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über Paarungen in bipartiten Graphen |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kdd0msl8fzizchxfats0jlvy3olzkc8 2 148119 1105704 1071497 2026-06-28T13:31:00Z Paul Sutermeister 37610 /* Analoges */ Rotlinks weg 1105704 wikitext text/x-wiki 👨🏻‍🦱Seit 2023 unterrichte ich ''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)|Communication Skills]]'', ''[[Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)|IT]] / [[Kurs:Office Skills (Handelsdiplom VSH)|Office Skills]]'', ''[[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)|Künstliche Intelligenz]]'' und ''[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)|Personal Skills]]'' für das [[:w:Handelsdiplom|Handelsdiplom]] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|VSH]] an den Minerva Schulen (Teil der [[:w:Kalaidos Bildungsgruppe Schweiz|Kalaidos Bildungsgruppe Schweiz]]) in [[:w:Aarau|Aarau]]. Von 2020 bis 2025 habe ich die gleichen Fächer an der Fachschule TEKO in Olten und von 2022 bis 2025 an der [[:w:HSO Wirtschaftsschule Schweiz|HSO]] unterrichtet. Weiteres Unterrichtsmaterial ist in Arbeit: [[Benutzer:Paul Sutermeister/Kaufleute|Kaufleute]], [[Benutzer:Paul Sutermeister/IKT|IKT]]. Mehr über mich steht [https://orcid.org/0000-0003-2093-1323 hier]. <!--== Kursaufbau == Die folgenden Seiten sind in «Lerninhalt» und «Quiz» unterteilt. Der «Lerninhalt» ist die Information selbst, während das «Quiz» eine Methode ist, um zu überprüfen, wie gut diese Information verstanden wurde. '''Lerninhalt''' Der Lerninhalt bezieht sich auf die Informationen, Konzepte, Fakten und Materialien, die den Lernenden präsentiert werden, um Wissen zu vermitteln. Es kann sich um Texte, Videos, Präsentationen, Grafiken oder andere Formen von Informationen handeln, die dazu dienen, ein bestimmtes Thema zu erklären oder zu lehren. Der Lerninhalt ist in der Regel darauf ausgerichtet, den Lernenden neue Informationen zu vermitteln oder bereits vorhandenes Wissen zu vertiefen. '''Quiz''' Ein Quiz ist eine Art von Aktivität oder Test, bei dem Lernende ihr Wissen überprüfen können. Es besteht aus einer Reihe von Fragen, die darauf abzielen, das Verständnis und die Erinnerung an den zuvor präsentierten Lerninhalt zu überprüfen. Ein Quiz kann verschiedene Formate haben, darunter Multiple-Choice-Fragen, Kurzantworten, wahre oder falsche Aussagen usw. Der Hauptzweck eines Quiz ist es, das Lernen zu fördern, indem es den Lernenden ermöglicht, ihr Wissen zu überprüfen und zu festigen.--> = Analoges = {| class="wikitable sortable" ! Sprache & Grammatik ! Schreiben, Texte & Kommunikation ! Gesellschaft, Beruf & Zukunft |- | | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Formalia|Formalia]]''' | <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Grammatik|Grammatik]]</small> |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Akkusativ|Akkusativ]]/[[Benutzer:Paul Sutermeister/Dativ|Dativ]]/[[Benutzer:Paul Sutermeister/Konnektor|Doppelkonnektoren]] | |- | | | <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Textsorte|Textsorte]]</small> |- | | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Atomsemiotik|Atomsemiotik]] |- | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Team]] <small>([[Benutzer:Paul Sutermeister/Interkulturalität|Interkulturalität]])<small/> |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Kohärenz|Kohärenz]] | | |- | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] | |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Visualisierung|Visualisierung]] | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Infografik|Infografik]] → Präsentation | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Flyer|Flyer]] |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Textverständnis|Textverständnis]] | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Zusammenfassung|Zusammenfassung]] | |- | Verben des Deutens/Interpretierens | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Interpretation|Interpretation]]''' | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Kunst|Kunst]], <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Karikatur|Karikatur]]</small> |- | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Anamnese-Diagnose-Therapie|Anamnese-Diagnose-Therapie]] | |- | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Argumentation|Logik → Argumentation]]''' | | |- | | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Quelle|(Internet)Quellen]]''', [[Benutzer:Paul Sutermeister/Medienkompetenz|Medienkompetenz]] | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Megatrend|Megatrends]] |- | | <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Leserbrief|Leserbrief]]</small> | |- | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Selbstporträt|Selbstporträt]] | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Arbeit|Arbeit/Beruf/Bewerbung]]''' |- | | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Einladung|Einladung]] | |- | | <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Keynote|Keynote]] & [[Benutzer:Paul Sutermeister/Messe|Messe]]<small/> | |- | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Verkaufsgespräch|Verkaufsgespräch]] | '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Marke|Marke]]''' | [[Benutzer:Paul Sutermeister/Wirtschaftsethik|Wirtschaftsethik]] |} = Forschung = # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschung|Forschung]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Prägnanz|Prägnanz]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschungsproblem|Forschungsproblem]] # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschungsfrage|Forschungsfrage]]''' # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Literaturrecherche|Literaturrecherche]] # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschungsziel|Forschungsziel]]''' # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Methode|Methode]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschungsdesign|Forschungsdesign]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Datenerhebung|Datenerhebung]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Datenauswertung|Datenauswertung]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Forschungsdokumentation|Forschungsdokumentation]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Management Summary|Management Summary]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Reflexion|Reflexion]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Laienerklärung|Laienerklärung]] # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Projektarbeit|Projektarbeit]]''' = Digitales = # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Informatik|Informatik]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Taskmanager|Taskmanager]] # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Digitalia|Digitalia]]''' == PowerPoint == # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/PowerPoint|PowerPoint]]''' # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Video|Video]] == Word == # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Word|Word]]''' # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Tabelle|Tabelle]] # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Serienbrief|Serienbrief]]''' (einfach) # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Seriendruck|Seriendruck]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Überprüfen|Überprüfen]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Buch|Buch]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Formular|Formular]] # <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Quiz|Quiz]]</small> == Excel == '''Funktionen üben:''' * [https://zenodo.org/records/15796617/files/Symbole%20und%20Grundrechenarten.xlsx?download=1 '''Grundrechenarten'''] * [https://zenodo.org/records/16750288/files/Zellbezug%20Ausf%C3%BCllen%20Rechnen%20Prozente.xlsx?download=1 '''AutoAusfüllen, Rechnen, Prozente'''] * [https://doi.org/10.5281/zenodo.15033093 '''Summe, Mittelwert'''] * [https://doi.org/10.5281/zenodo.15048039 '''Maximum, Minimum'''] * [https://doi.org/10.5281/zenodo.15298974 '''Summe Anzahl Zählenwenn'''] '''Weiterführendes:''' * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Excel|Excel]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Funktion|Funktion]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Zeit|Zeit]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Diagramm|Diagramm]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Dashboard|Dashboard]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/3D-Karte|3D-Karte]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Zielwert|Zielwertsuche]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Pivot-Tabelle|Pivot-Tabelle]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Finanzmathematik|Finanzmathematik]] == Varia == # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Entwicklertools|Entwicklertools]] # <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/CSV|CSV]]</small> == IKT == # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Informations- und Kommunikationstechnologien|IKT]]''' # '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Office-Anfang|Office-Anfang]]''' # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Computer-Grundlagen|Computer-Grundlagen]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Datei|Dateimanagement]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Textformatierung|Textformatierung]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/E-Mail|E-Mail]] # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Lebenslauf|Lebenslauf]] # <small>[[Benutzer:Paul Sutermeister/Mathematik|Mathematik]]</small> # [[Benutzer:Paul Sutermeister/Excel-Anfang|Excel-Anfang]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Python|Python]] == Alle meine Inhalte == * [[Spezial:Logbuch/Paul Sutermeister|Inhalt]] [[Kategorie:User de-CH]] [[Kategorie:Benutzer aus der Schweiz]] b1vrotfj5j58q8723rk5gfiqct24p24 106 152475 1105750 1105631 2026-06-29T07:00:25Z Bert Niehaus 20843 /* Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur */ 1105750 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden folgende Fälle betrachtet: ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, im Vergleich zur regenerativen Energieversorgung. Bedarfsdeckend ist die Versorgung immer an den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> . === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. === Skalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> === Orthogonale Funktion - Bedarfsdeckung === Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> mit <math>t\in[t_1,t_2]</math>, die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist, d.h. dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. === Aufgabe für Studierende === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. ==== Energiebilanz ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Aufgabe - Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Wie muss man das folgende Integral verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. Wie kann man die Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz ebenfalls über Integrale darstellen? == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 340aek63am592yoosfwegv3jbrr56x2 1105760 1105750 2026-06-29T08:49:18Z Bert Niehaus 20843 /* Anteil - notwendiger Energieversorgung */ 1105760 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet, da für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille istfolgende Fälle betrachtet: ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, im Vergleich zur regenerativen Energieversorgung. Bedarfsdeckend ist die Versorgung immer an den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> . === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. === Skalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> === Orthogonale Funktion - Bedarfsdeckung === Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> mit <math>t\in[t_1,t_2]</math>, die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist, d.h. dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. === Aufgabe für Studierende === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. ==== Energiebilanz ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Aufgabe - Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Wie muss man das folgende Integral verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. Wie kann man die Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz ebenfalls über Integrale darstellen? == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5lfswqq66oeruelz5rb1m3mthjvf7lp 1105761 1105760 2026-06-29T08:51:00Z Bert Niehaus 20843 /* Anteil - notwendiger Energieversorgung */ 1105761 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, im Vergleich zur regenerativen Energieversorgung. Bedarfsdeckend ist die Versorgung immer an den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> . === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. === Skalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> === Orthogonale Funktion - Bedarfsdeckung === Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> mit <math>t\in[t_1,t_2]</math>, die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist, d.h. dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. === Aufgabe für Studierende === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. ==== Energiebilanz ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Aufgabe - Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Wie muss man das folgende Integral verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. Wie kann man die Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz ebenfalls über Integrale darstellen? == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lb8efyjkeyu5fldkcfstmepvy9a0tsg 1105762 1105761 2026-06-29T08:52:58Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zu Wahl der Funktionen */ 1105762 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. === Skalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> === Orthogonale Funktion - Bedarfsdeckung === Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> mit <math>t\in[t_1,t_2]</math>, die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist, d.h. dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. === Aufgabe für Studierende === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. ==== Energiebilanz ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Aufgabe - Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Wie muss man das folgende Integral verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. Wie kann man die Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz ebenfalls über Integrale darstellen? == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 742qmj721jadkb27ftsq3e3du9ukfj7 1105764 1105762 2026-06-29T09:59:41Z Bert Niehaus 20843 /* Orthogonale Funktion - Speicherung */ 1105764 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. === Skalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> === Orthogonale Funktion - Bedarfsdeckung === Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> mit <math>t\in[t_1,t_2]</math>, die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist, d.h. dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Aufgabe für Studierende === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. ==== Energiebilanz ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Aufgabe - Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Wie muss man das folgende Integral verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. Wie kann man die Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz ebenfalls über Integrale darstellen? == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ovzzczhntjkfxlcclxf8djcupjksoty 1105765 1105764 2026-06-29T10:00:23Z Bert Niehaus 20843 /* Skalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster */ 1105765 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>g(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, hat die Funktion <math>f(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität. === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> === Orthogonale Funktion - Bedarfsdeckung === Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> mit <math>t\in[t_1,t_2]</math>, die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist, d.h. dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Aufgabe für Studierende === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. ==== Energiebilanz ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Aufgabe - Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Wie muss man das folgende Integral verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. Wie kann man die Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz ebenfalls über Integrale darstellen? == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kuho70tig6c98s5f79taem4gnl55vt3 1105766 1105765 2026-06-29T10:02:11Z Bert Niehaus 20843 /* Singularitäten bei Versorgungsnullstellen */ 1105766 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> === Orthogonale Funktion - Bedarfsdeckung === Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> mit <math>t\in[t_1,t_2]</math>, die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist, d.h. dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Aufgabe für Studierende === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. ==== Energiebilanz ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Aufgabe - Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Wie muss man das folgende Integral verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. Wie kann man die Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz ebenfalls über Integrale darstellen? == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 64unfo3mrp5f6a02tf86m4zko0257hh 1105767 1105766 2026-06-29T10:02:33Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1105767 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> === Orthogonale Funktion - Bedarfsdeckung === Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> mit <math>t\in[t_1,t_2]</math>, die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist, d.h. dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Aufgabe für Studierende === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. ==== Energiebilanz ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Aufgabe - Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Wie muss man das folgende Integral verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. Wie kann man die Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz ebenfalls über Integrale darstellen? == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8mg8bblikoif0l9cd3tdm352xgwoz0p 1105768 1105767 2026-06-29T10:04:51Z Bert Niehaus 20843 /* Orthogonale Funktion - Bedarfsdeckung */ 1105768 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> mit <math>t\in[t_1,t_2]</math>, die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist, d.h. dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Aufgabe für Studierende === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. ==== Energiebilanz ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Aufgabe - Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Wie muss man das folgende Integral verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. Wie kann man die Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz ebenfalls über Integrale darstellen? == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n7kl3t717xxdiyii5wpmwtc2n000dot 1105769 1105768 2026-06-29T10:20:18Z Bert Niehaus 20843 /* Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung */ 1105769 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Aufgabe - Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Wie muss man das folgende Integral verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. Wie kann man die Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz ebenfalls über Integrale darstellen? == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] m3m86karn63oxanb9psrz5byzoaljeo 1105770 1105769 2026-06-29T10:23:07Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Speichereffizienz */ 1105770 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ttdx83sjcrcb3uvuduwcqkhltgb525z 1105771 1105770 2026-06-29T10:30:13Z Bert Niehaus 20843 /* Zerlegung in zwei Funktion */ 1105771 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gx7ul2lcwxxg69bzkriuyyoh6m1m9yg 1105772 1105771 2026-06-29T10:34:33Z Bert Niehaus 20843 /* Zerlegung in zwei Funktion */ 1105772 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ttps68o16n0z2pl4wlsgffo7txoc192 1105773 1105772 2026-06-29T10:37:25Z Bert Niehaus 20843 /* Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen */ 1105773 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gphdm6g8cejwvvnkwfz23s3v32m93e7 1105774 1105773 2026-06-29T10:38:52Z Bert Niehaus 20843 /* Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen */ 1105774 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fer75azyamq0efmaev7vy6a28dphc96 1105775 1105774 2026-06-29T10:40:26Z Bert Niehaus 20843 /* Speichereffizienz und Semiskalarprodukt */ 1105775 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} -\left\langlea^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qb0wr4crtgcdquewb79s53c7f8q9ew1 1105776 1105775 2026-06-29T10:43:45Z Bert Niehaus 20843 /* Speichereffizienz und Semiskalarprodukt */ 1105776 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40%-Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] la76rxvy3m5rzzbj4jokuyvxoz6syn8 1105777 1105776 2026-06-29T10:50:41Z Bert Niehaus 20843 /* Speichereffizienz und Semiskalarprodukt */ 1105777 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe für Studierende === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bmvvhvvwin8fuuy3aafaaxkhn3j1m9q 2 157107 1105757 1066788 2026-06-29T08:18:17Z Paul Sutermeister 37610 1105757 wikitext text/x-wiki Wenn man '''Künstliche Intelligenz''' lernt, gibt es grundsätzlich '''zwei völlig verschiedene Schwerpunkte''': <big>Fokus „Selber machen“ (Kreation)</big> Man lernt, wie man mit KI * Texte schreibt * Bilder erzeugt * Videos generiert * Stimmen oder Musik erstellt Das ist kreativ, spannend und macht Spass. <big>Fokus „Beurteilen“ (Urteilskompetenz)</big> Man lernt, '''Produkte der KI kritisch zu prüfen''': * Stimmt der Inhalt überhaupt? * Ist das logisch? * Ist das manipuliert oder gefälscht? * Ist das qualitativ gut oder schlecht? * Kann man dem vertrauen? '''→ In diesem zweiten Teil des Kurses liegt der Fokus bewusst auf Punkt 2.''' == Warum ist Beurteilen wichtiger als Selber-Kreieren? == === KI produziert überzeugenden Unsinn === KI kann Texte erzeugen, die '''sehr professionell klingen''', aber '''inhaltlich falsch''' sind. Wer nur kreieren kann, merkt das oft nicht. === Im Alltag konsumieren wir mehr KI, als wir selbst produzieren === Wir * lesen Texte, * sehen Bilder, * hören Stimmen, * schauen Videos, die mit KI erstellt wurden. '''Beurteilen ist deshalb eine zentrale Alltagskompetenz.''' === Ohne Urteilskompetenz wird man leicht manipuliert === Fake News, Deepfakes, erfundene Quellen oder manipulierte Bilder wirken oft glaubwürdig. Wer sie nicht erkennt, glaubt schnell etwas Falsches. === Technik bedienen ist leicht – Denken nicht === Einen Prompt einzugeben kann man schnell lernen. '''Kritisches Denken, Zweifeln und Einordnen''' brauchen Übung. === Schule bedeutet nicht nur „Tools lernen“, sondern Denken lernen === KI-Tools ändern sich ständig. Die Fähigkeit, Inhalte zu beurteilen, bleibt '''ein Leben lang''' wichtig. == Merksätze == '''„Wer KI nicht beurteilen kann, wird von KI beurteilt – und gelenkt.“''' Oder einfacher: '''„Bevor ich KI nutze, muss ich ihr misstrauen können.“''' = Bewertung von KI-generierten Bildern = {| class="wikitable" style="width:100%;" ! Nr. ! Bewertungskriterium ! Erklärung (was genau bewerten?) ! 1<br>sehr schlecht ! 2<br>schlecht ! 3<br>mittel ! 4<br>gut ! 5<br>sehr gut ! Kurzbegründung |- | 1 | Zielerreichung / Verständlichkeit | Ist sofort erkennbar, was das Bild zeigen soll? Versteht man die Aussage ohne zusätzliche Erklärung? Passt das Bild klar zum Thema oder Auftrag? | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | |- | 2 | Übereinstimmung mit dem Prompt | Wurden alle wichtigen Elemente aus dem Prompt korrekt umgesetzt? Fehlen Inhalte oder wurden Dinge hinzugefügt, die nicht verlangt waren? | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | |- | 3 | Bildqualität (technisch) | Ist das Bild sauber generiert? Gibt es Fehler wie verzerrte Gesichter, zu viele Finger, unscharfe Bereiche oder unlesbaren Text? | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | |- | 4 | Stil / Realismus / Konsistenz | Passt der Stil zur Aufgabe (z. B. realistisch, Comic, Illustration)? Ist der Stil im ganzen Bild einheitlich oder wirkt er widersprüchlich? | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | |- | 5 | Kreativität & Bildidee | Ist die Bildidee originell oder nur Standard? Gibt es einen interessanten Blickwinkel, eine besondere Darstellung oder eine eigene Interpretation? | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | |- | 6 | Berufliche Verwendbarkeit | Könnte man dieses Bild in einem beruflichen Kontext einsetzen (z. B. Präsentation, Werbung, Webseite)? Wirkt es professionell und passend? | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | |- | 7 | Ethik & Seriosität | Enthält das Bild problematische Inhalte (Diskriminierung, Täuschung, unrealistische Versprechen)? Wirkt es verantwortungsvoll und seriös? | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | |- | 8 | Transparenz (KI-Einsatz) | Ist klar, dass das Bild mit KI erstellt wurde? Könnte das Bild ohne Hinweis als echtes Foto missverstanden werden? | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | ⬜ | |} = Fake oder wahr? = <div style="border: 5px solid red;"><big>'''🌱🎵 Wissenschaftler speichern Kinderlied in Pflanze – klingt absurd, ist aber Realität'''</big> Forscher haben es tatsächlich geschafft, '''ein bekanntes Kinderlied direkt in den genetischen Code einer Pflanze einzubauen.''' Nicht als Tonaufnahme. Nicht als Textdatei. Sondern '''buchstäblich als DNA-Sequenz''', die von der Pflanze beim Wachsen und Vermehren mitkopiert wird. Dabei wurde der Liedtext zunächst in einen digitalen Code umgerechnet, dieser anschließend in genetische Bausteine übersetzt – und schließlich '''in das Erbgut einer lebenden Pflanze integriert'''. Das Lied existiert nun nicht mehr auf Papier oder einem Datenträger, sondern '''als Teil der biologischen Information der Pflanze selbst'''. Noch erstaunlicher: Die Pflanze „speichert“ diese Information stabil über viele Zellgenerationen hinweg. Selbst nach längerem Wachstum kann das Lied wieder '''vollständig aus dem Erbgut ausgelesen und rekonstruiert''' werden – Zeichen für ein extrem robustes biologisches Speichersystem. Die Wissenschaftler sprechen von einem möglichen '''Datenspeicher der Zukunft''', der Milliarden von Informationen auf kleinstem Raum sichern könnte – geschützt vor Wasser, Hitze, Alterung und sogar Strahlung. Kritiker halten das Ganze für eine Mischung aus Science-Fiction und PR-Gag. Befürworter sagen: '''Das Kinderlied ist real – nur das Medium hat sich geändert.'''</div> Die Frage bleibt: '''🔍 Ist das geniale Hochtechnologie – oder einfach zu absurd, um wahr zu sein?''' <!--Auflösung: [[:w:Deinococcus_radiodurans#Informationstechnik|Deinococcus_radiodurans#Informationstechnik]]--> = Warum Quellen nutzen? = Wenn du auf Social Media etwas postest oder eine Diplomarbeit schreibst, musst du Quellen nennen. Denn du zeigst mit Quellen: * dass du '''nicht einfach irgendwas behauptest''' * sondern deine Aussagen '''belegst''' * und '''fair''' bist gegenüber denen, von denen du Ideen oder Inhalte übernimmst. '''Grundregel:''' ''Alles, was du nicht selbst wusstest, gedacht oder erfunden hast, muss eine Quelle haben.'' '''Was sind Quellen?''': Bücher, Artikel, Webseiten, Studien, Vorträge, Interviews usw. = ChatGPT = {| class="wikitable" ! Kategorie ! Beschreibung ! Typische Verwendungen ! Vergleichbare Praxis-Beispiele ! Zitierpflicht? |- | '''1. Werkzeug''' | ChatGPT wird als '''technisches Hilfsmittel''' verwendet – zur sprachlichen Verbesserung, Strukturierung oder Datenverarbeitung. Keine inhaltliche Quelle. | * Rechtschreibung oder Grammatik prüfen * Wissenschaftlich formulieren * Gliederung vorschlagen * Offene Antworten sortieren oder codieren * Tabellen strukturieren oder formatieren | * Wie der Duden bei Rechtschreibung: keine Quellenangabe * Wie ein Lektorat: erlaubt, aber nicht zitierwürdig * Wie Excel/SPSS: eventuell in der Methodik erwähnbar | '''Nein''' – optional in der Methodik erwähnbar |- | '''2. Denkpartner / Reflexionshilfe''' | ChatGPT wird genutzt wie ein '''intellektueller Gesprächspartner''', zur Ideenfindung, Perspektivenerweiterung oder Kontrastbildung. | * Thesen formulieren oder prüfen * Argumente gegenlesen oder entwickeln * Gegenteilige Positionen simulieren * Inspiration für Beispiele oder Gliederung | * Wie ein Gespräch mit Kommiliton:innen: keine Quellenangabe * Wie ein Coachinggespräch: Reflexion möglich, aber kein Zitat | '''Nein''' – optionale Erwähnung im Fließtext („Im Dialog mit ChatGPT kam ich auf ...“) |- | '''3. Quelle oder Analyseobjekt''' | ChatGPT wird '''inhaltlich verwendet oder analysiert'''. Es geht um Inhalte, die von ChatGPT stammen oder untersucht werden. | * Definitionen von ChatGPT zitieren * Antworten vergleichen mit Fachliteratur * Sprachliche, ethische oder argumentative Analyse | * Wie bei einem Zitat aus Wikipedia oder einer TV-Sendung: zitierbar, aber kritisch einzuordnen * Wie bei Diskursanalysen: KI als Untersuchungsgegenstand | '''Ja''' – mit Fussnote oder Vermerk inkl. Prompt und Datum |} {{Zitat|If you used ChatGPT or another AI tool to help brainstorm or to edit your text, no citation or acknowledgment is needed.|[https://apastyle.apa.org/blog/how-to-cite-chatgpt ''How to cite ChatGPT.'']}} {{Zitat|If you used ChatGPT only to generate ideas, check grammar, or outline structure, you don’t need to cite it.|[https://www.chicagomanualofstyle.org/qanda/data/faq/topics/Documentation/faq0422.html ''Citing ChatGPT.''] Chicago Manual of Style – Q&A Section.}} {{Zitat|If you only used the tool to brainstorm or refine your ideas and did not reproduce its text, no citation is necessary.|[https://style.mla.org/how-do-i-cite-generative-ai/ ''How do I cite generative AI like ChatGPT?''] MLA Style Center – Modern Language Association}} = Wie zitiere ich? = === Wörtliches Zitat (direkt) === Du übernimmst den Text '''genau so''' wie er ist. <blockquote>„Wissenschaftliches Arbeiten ist die Kunst des Belegens“ (Muster, 2020, S. 15).</blockquote> ✓ In Anführungszeichen ✓ Mit Quellenangabe (Autor, Jahr, Seite) === Sinngemässes Zitat (indirekt) === Du sagst es '''mit eigenen Worten''', aber die Idee ist von jemand anderem. <blockquote>Laut Muster (2020) besteht Wissenschaftlichkeit darin, Aussagen immer zu belegen.</blockquote> ✓ Ohne Anführungszeichen ✓ Trotzdem mit Quelle = Wie sieht eine Quelle aus? = === In der Literaturliste am Ende: === '''Buch:''' Muster, M. (2020). ''Einführung ins wissenschaftliche Arbeiten''. Berlin: Beispiel Verlag. '''Internetquelle:''' Schmidt, A. (2021). ''Wie man richtig zitiert''. Abgerufen am 24.04.2025 von [https://www.beispiel.de/zitieren https://www.beispiel.de/zitieren] '''Wichtig:''' * Keine Quellen '''erfinden''' * Keine Inhalte '''kopieren ohne Quelle''' * Lieber '''zu viel zitieren''' als zu wenig = Wahrheit oder Fiktion = [[Datei:Fake News Erkennen (How To Spot Fake News).jpg|thumb|Wie erkennst du [[:w:Fake News|Fake News]]?]] <quiz display="simple"> { Fülle die zehn Lücken mit den zehn Wörtern: '''Absichten''', '''Artikel''', '''Meinungsartikel''', '''mit''', '''Nachrichten''', '''ohne''', '''Romane''', '''Sachbücher''', '''Wahrheit''', '''Werbung'''. | type="{}" } Texte kann man danach unterscheiden, ob sie auf { Wahrheit } basieren oder nicht. '''Texte { mit } Wahrheitsanspruch''' wollen Fakten vermitteln: Wissenschaftliche { Artikel } basieren auf Beweisen. { Nachrichten } berichten über echte, überprüfbare Ereignisse. { Sachbücher } erklären Themen mit Fakten. '''Texte { ohne } Wahrheitsanspruch''' wollen zum Beispiel unterhalten, Meinungen ausdrücken oder Geschichten erzählen: { Romane } und Gedichte erfinden Geschichten. { Meinungsartikel } zeigen persönliche Ansichten. { Werbung } macht Produkte attraktiv, oft durch Gefühle. So kann man Texte und ihre { Absichten } besser verstehen. { Fülle die zehn Lücken mit den zehn Wörtern: '''Geschäftsberichte''', '''Meinungsartikel''', '''mit''', '''ohne''', '''Produktbeschreibungen''', '''Rechnungen''', '''Verträge''', '''Werbung'''. | type="{}" } '''Texte { mit } Wahrheitsanspruch:''' { Geschäftsberichte } zeigen den Gewinn oder die Ausgaben eines Unternehmens. Kaufleute verlassen sich auf diese Fakten, um Entscheidungen zu treffen. { Verträge } enthalten Abmachungen, wie Zahlungsfristen oder Lieferbedingungen. Diese Informationen müssen korrekt und verlässlich sein. { Rechnungen } enthalten Preise und Mengen. Kaufleute müssen sicherstellen, dass die Angaben stimmen, um richtig zu zahlen oder Geld zu fordern. '''Texte { ohne } Wahrheitsanspruch:''' { Werbung } – In einem Schaufenster steht gross und farbig: „Diese Schuhe machen dich schneller!“ Das ist keine Tatsache, sondern soll das Produkt attraktiver machen. { Produktbeschreibungen } – In einem Katalog steht zwischen technischen Angaben: „Das beste Handy auf dem Markt!“ Diese Aussage soll überzeugen, ist aber nicht objektiv. { Meinungsartikel } – Ein Experte schreibt seine Meinung zu einem neuen Geschäftstrend. Kaufleute sollten diese Meinung kritisch hinterfragen, da es keine Fakten sind. </quiz> == Teste deine Fake-News-Kompetenz == * [https://www.srf.ch/sendungen/school/medien-und-informatik/falschmeldungen-erkennen-fake-news-quiz ''Fake News Quiz.''] [[:w:Schweizer Radio und Fernsehen|Schweizer Radio und Fernsehen]], 23. September 2024. * [https://newstest.ch/ ''Newstest Schweiz.''] Verein Politools (Projektleitung), SRG Public Value, das Medieninstitut des [[:w:Verband Schweizer Medien|Verlegerverbandes Schweizer Medien]] (VSM) und die [[:w:Stiftung Mercator|Stiftung Mercator]] Schweiz. * [https://der-newstest.de/ ''Der Newstest.''] [[:w:Interface – Tech analysis and policy ideas for Europe|Stiftung Neue Verantwortung]] & nach morgen (Studio für digitale Produkt- und Marken­entwicklung) (Entwicklung); [[:w:Medienanstalt Berlin-Brandenburg|Medienanstalt Berlin-Brandenburg]], [[:w:Bundeszentrale für politische Bildung|Bundeszentrale für politische Bildung]], [[:w:Landesanstalt für Medien Nordrhein-Westfalen|Landesanstalt für Medien NRW]] * [https://swrfakefinder.de/ ''Fake Finder.''] [[:w:Südwestrundfunk|Südwestrundfunk]] ([https://www.fhnw.ch/plattformen/fightfakenews/fact-sheet-fakefinder/ Beurteilung] durch [[:w:Fachhochschule Nordwestschweiz|Fachhochschule Nordwestschweiz]]) * [https://was-lese-ich.ch/fake-news-quiz/ ''Quiz zum Einstieg.''] [[:w:Verband Schweizer Medien|Verlegerverbandes Schweizer Medien]] (VSM) * [https://www.bpb.de/kurz-knapp/taegliche-dosis-politik/308472/das-quiz-zu-fake-news/ ''Das Quiz zu Fake-News.''] [[:w:Bundeszentrale für politische Bildung|Bundeszentrale für politische Bildung]] {| class="wikitable sortable" style="width:100%;" ! Nr. ! Kriterium ! Leitfrage für Lernende ! 0 Punkte<br />(schwach) ! 1 Punkt<br />(ok) ! 2 Punkte<br />(stark) ! Punkte<br />(0–2) ! Kommentar / Beispiel |- | 1 | Realitätsnähe der Beispiele | Wirken Beispiele wie echte Posts/Artikel aus dem Internet? | sehr künstlich / offensichtlich erfunden | teils realistisch, teils zu einfach | sehr realistisch, nahe an echten Fällen | | |- | 2 | Kritisches Denken statt Raten | Muss man begründen/analyseieren oder nur klicken? | nur Raten, kaum Analyse möglich | teils Analyse, teils Ratefragen | klare Analyse-Aufgaben, Begründung gefordert | | |- | 3 | Umgang mit Grauzonen | Gibt es „irreführend“, „Kontext fehlt“, „teilweise“? | nur wahr/falsch | seltene Grauzonen | Grauzonen klar und sinnvoll integriert | | |- | 4 | Erklärqualität (Warum?) | Erklärt das Quiz, warum etwas problematisch ist? | keine/kaum Erklärungen | kurze Erklärungen | gute Erklärungen mit Lernwert | | |- | 5 | Quellen & Nachvollziehbarkeit | Gibt es Links/Quellen/Wege zum Überprüfen? | keine Quellen | wenige oder unklare Quellen | solide Quellen + zeigt Prüfschritte | | |- | 6 | Didaktik & Zielgruppe | Passt Sprache, Niveau, Struktur zur Klasse? | zu schwer / zu leicht / unklar | teilweise passend | sehr passend, klar strukturiert | | |- | 7 | Selbstreflexion & Lerntransfer | Zeigt es, warum man sich täuschen lässt? | nur richtig/falsch ohne Reflexion | teilweise Reflexion | starke Reflexion (Bias, Denkfehler, Tipps) | | |- | 8 | Aktualität (moderne Desinformation) | Kommen KI-Bilder, Deepfakes, Social Media etc. vor? | veraltet, kaum relevant für heute | teils aktuell | sehr aktuell und realitätsnah | | |- | 9 | Motivation & Engagement | Ist es fair, spannend, aktivierend (nicht moralisierend)? | langweilig/belehrend | okay, aber wenig motivierend | motivierend, aktivierend, fair | | |- | 10 | Übertragbarkeit in den Alltag | Kann man daraus eine Checkliste/Strategie ableiten? | kein Transfer | etwas Transfer | klarer Transfer (konkrete Prüfschritte) | | |- ! colspan="6" style="text-align:right;" | '''Total''' ! style="width:6em;" | ! style="width:25%;" | |} === Weiteres === * Info-Video für Kinder: [https://www.ndr.de/ratgeber/medienkompetenz/Fake-News-erkennen-lernen-Unterrichtsmaterial-fuer-die-Schule,fakenews218.html ''Wie auf Fake News reagieren?''] [[:w:Norddeutscher Rundfunk|Norddeutscher Rundfunk]] * [https://www.iqesonline.net/bildung-digital/checknews/alles-fake/fake-news-erkennen/ ''Fake-News-Quiz''.] Instrumente für die Qualitätsentwicklung und Selbstevaluation an Schulen. KI wird generiert, weil Klicks Geld bringen: * [https://www.feel-ok.ch/de_CH/jugendliche/themen/medienkompetenz/ressourcen/onlinesucht/info/onlinesucht-test.cfm ''Der Onlinekonsum-Test.''] Beispiele: Relaxing AI Journeys / Landscape usw., Living paintings usw. = Glaubwürdigkeit durch Nachweise = <quiz display="simple"> { Fülle die zehn Lücken mit den zehn Wörtern: '''Tertiärquellen''', '''Sekundärquellen''', '''Primärquellen'''. | type="{}" } { Primärquellen } sind die Originale oder Ersthandinformationen. Sie stammen direkt aus der Quelle des Geschehens oder der Aussage. Beispiele sind ein Tagebuch, ein Interview oder ein wissenschaftliches Experiment. { Sekundärquellen } bieten eine Zusammenfassung oder Analyse von Primärquellen. Sie erklären oder interpretieren die Originalinformationen. Beispiele sind ein Lehrbuch, ein Artikel über eine Studie oder ein Geschichtsbuch. { Tertiärquellen } fassen viele Informationen aus Primär- und Sekundärquellen zusammen. Sie bieten einen Überblick oder eine schnelle Zusammenstellung von Wissen. Beispiele sind Enzyklopädien, Bibliographien oder Verzeichnisse. { Wie ist der Text? Ordne je eine Eigenschaft zu: | typ="[]" } | Primärquellen | Sekundärquellen | Tertiärquellen --+ Zusammenfassungen und Überblick -+- Analysen und Erklärungen +-- Originale { Wie ist der Text? Ordne je eine Eigenschaft zu: | typ="[]" } | Primärquelle | Sekundärquelle | Tertiärquelle +-- Ein '''Originaldokument''': Ein historisches Dokument, wie ein Vertrag oder ein Gesetzestext. -+- Ein '''Artikel über ein Tagebuch''': Eine Analyse oder Beschreibung des Tagebuchs. -+- Eine '''wissenschaftliche Studie''': Die Auswertung und Interpretation von Daten aus verschiedenen Experimenten. --+ Ein '''Lexikon''': Bietet allgemeine Informationen über ein Thema, basierend auf vielen Quellen. -+- '''News-Artikel''': Berichte über Ereignisse, die auf Social Media oder in Videos dokumentiert sind. --+ Ein '''Bibliografie-Verzeichnis''': Eine Liste von Büchern und Artikeln zu einem Thema. +-- Ein '''Tagebuch''': Was jemand direkt aufgeschrieben hat. --+ '''Zusammenfassungs-Websites''': Plattformen, die die wichtigsten Punkte aus vielen Artikeln und Videos zusammenfassen, z. B. für Prüfungen oder Lernhilfe. --+ Ein '''Handbuch''': Eine Zusammenfassung von Wissen über ein Fachgebiet, oft in einer leicht verständlichen Form. +-- '''Social Media-Beiträge''': Original-Posts, Tweets oder Instagram-Stories. +-- '''Online-Videos''': Vlogs, Livestreams oder Video-Tutorials von YouTubern. -+- Ein '''Geschichtsbuch''': Ein Buch, das die Ereignisse aus verschiedenen Primärquellen zusammenfasst. +-- '''E-Mails''' oder Direktnachrichten: Original-Kommunikation zwischen Personen. -+- '''Blogartikel''': Beiträge, die Informationen aus verschiedenen Social Media Posts oder Videos zusammenfassen und kommentieren. -+- '''Podcasts''': Gespräche und Analysen zu aktuellen Themen, die auf Primärquellen basieren. --+ '''Wikipedia''': Eine Online-Enzyklopädie, die viele Informationen aus verschiedenen Quellen zusammenfasst. +-- Ein '''Interview''': Ein Gespräch, das direkt aufgenommen wurde. --+ '''Online-Enzyklopädien''': Websites, die umfassende Übersichten zu Themen bieten. </quiz> = [[:w:Quellenangabe|Quellenangabe]] = <quiz display="simple"> { Fülle die drei Lücken mit den drei Wörtern: '''fair''', '''nachprüfbar''', '''neu'''. | type="{}" } Mit Quellen ist alles { nachprüfbar }. Andere sollen die Infos nachvollziehen können. Mit Quellen wird { fair } gearbeitet. Man zeigt, dass man Ideen oder Forschung von anderen benutzt hat, ohne sie als eigene auszugeben. Mit Quellen wird Wissen weitergegeben. Erkenntnisse sind { neu }, wenn sie auf alten bauen. { Warum sind Quellenangaben wichtig? Ordne zu: | typ="[]" } | Ehrlichkeit | Klarheit | Respekt | Überprüfbarkeit +--- Sie zeigen, woher die Infos kommen, damit niemand denkt, man hat sie erfunden. ---+ Andere können nachlesen, ob die Infos stimmen. --+- Man zeigt, dass man die Arbeit von anderen Menschen schätzt. -+-- Es wird deutlich, was man selbst sagt und was man aus anderen Texten hat. { [[Bild:Chef-cuisinier-ninja.png|thumb|Stell dir vor, jemand klaut dein Rezept und verdient Geld damit.]] | typ="[]" } | Ehrlichkeit | Klarheit | Respekt | Überprüfbarkeit --+- Wenn jemand dir das Rezept gegeben hat, willst du ihm dafür danken. Das zeigt, dass du seine Arbeit schätzt – genauso wie du durch Quellenangaben anderen Leuten Anerkennung gibst, deren Ideen du nutzt. +--- Wenn du ein Rezept verwendest, willst du sagen, woher du es hast. Dann weiß jeder, dass du es nicht erfunden hast, sondern jemand anderes dir den Weg zum leckeren Kuchen gezeigt hat. -+-- Vielleicht änderst du das Rezept und schreibst deine eigene Note dazu, wie „mehr Zucker nehmen“. Mit einer Quellenangabe zeigst du, was vom Originalrezept ist und was von dir stammt. ---+ Wenn jemand denselben Kuchen nachbacken will, braucht er die genauen Zutaten. Genauso hilft eine Quellenangabe, damit andere die Informationen in deinem Text nachschlagen und überprüfen können. { Ordne Quellenangabe zu: | typ="[]" } | Wer | Was | Wo | Wann -+-- Titel des Werkes ---+ Veröffentlichungsjahr --+- Verlag oder Website +--- Autor oder Herausgeber { Bringe in die richtige Reihenfolge (1−6): | type="{}" } { 1 _3} Autor: Nachname, Vorname (bei mehreren Autoren werden sie durch ein Komma getrennt). { 2|5 _3} Erscheinungsjahr: Jahr der Veröffentlichung. { 3|4 _3} Erscheinungsort: Stadt des Verlags. { 6 _3} Seitenzahl: Nur bei spezifischen Abschnitten oder Zitaten relevant, ansonsten weglassen. { 2|3 _3} Titel des Werkes: kursiv oder fett, je nach Formatierung. { 4|5 _3} Verlag: Name des Verlags. </quiz> = Offene Fragen = === In welchen Quellen steht die Wahrheit? === <small>(Antwort der Lehrperson: Wikipedia)</small> {| class="wikitable" ! Kriterium ! Fragestellung ! Sehr gut (4) ! Gut (3) ! Teilweise (2) ! Schwach (1) |- | Art der Quelle | Um welche Quelle handelt es sich? | Wissenschaftliche Publikation, offizielle Statistik, seriöse Fachinstitution | Qualitätsmedium oder anerkannte Organisation | Blog, Influencer, nicht klar einzuordnen | Anonyme oder unseriöse Plattform |- | Autor / Herausgeber | Wer steht hinter der Information? | Autor klar genannt, fachlich qualifiziert, überprüfbar | Autor genannt, aber Fachkompetenz nur teilweise klar | Autor unklar oder wenig Informationen vorhanden | Kein Autor genannt |- | Belege und Quellenangaben | Werden Aussagen belegt? | Mehrere überprüfbare, hochwertige Quellen | Einige Quellen vorhanden | Kaum Belege oder nur interne Verweise | Keine Belege |- | Transparenz | Ist die Entstehung der Information nachvollziehbar? | Methode, Ziel und Finanzierung offen gelegt | Teilweise transparent | Nur wenig Hintergrundinformationen | Keine Transparenz |- | Aktualität | Wie aktuell ist die Information? | Sehr aktuell oder zeitlos gültig | Noch aktuell | Veraltet, aber teilweise relevant | Klar veraltet oder falsch |- | Interessen und Absichten | Gibt es Eigeninteressen? | Neutral, keine erkennbaren Interessen | Leichte Interessen erkennbar | Deutliche wirtschaftliche oder politische Absicht | Propaganda oder Manipulation |- | Sprachstil | Wie wird formuliert? | Sachlich, nüchtern, differenziert | Überwiegend sachlich | Emotional oder wertend | Reisserisch, polarisierend |- | Vergleich mit anderen Quellen | Wird die Information bestätigt? | Mehrere unabhängige Quellen bestätigen | Mehrheit bestätigt | Widersprüchliche Informationen | Von seriösen Quellen widerlegt |- | Gesamteinschätzung | Wie glaubwürdig ist die Quelle? | Sehr glaubwürdig | Überwiegend glaubwürdig | Zweifelhaft | Unglaubwürdig |} === Welche sind eure Lieblings-Influencer? === <small>(Antwort der Lehrperson: [[:w:MaiThink X|MaiThink X]])</small> {| class="wikitable" ! Kriterium ! Leitfrage ! Sehr gut (4) ! Gut (3) ! Teilweise (2) ! Schwach (1) |- | Begründung der Wahl | Warum ist dieser Influencer dein Favorit? | Klare, reflektierte und nachvollziehbare Begründung | Begründung vorhanden, aber wenig vertieft | Oberflächliche Begründung | Keine oder unklare Begründung |- | Themen & Inhalte | Welche Inhalte bietet der Influencer? | Klare Themen, informativer oder kreativer Mehrwert | Meist sinnvolle Inhalte | Inhalte eher Unterhaltung ohne Mehrwert | Problematische oder rein oberflächliche Inhalte |- | Glaubwürdigkeit | Wirkt der Influencer glaubwürdig? | Transparent, konsistent, nachvollziehbar | Meist glaubwürdig | Teilweise widersprüchlich | Unglaubwürdig oder stark inszeniert |- | Werbung & Sponsoring | Wie wird mit Werbung umgegangen? | Werbung klar gekennzeichnet und reflektiert | Werbung meist erkennbar | Werbung kaum erkennbar | Schleichwerbung |- | Einfluss auf die Zielgruppe | Welchen Einfluss hat der Influencer? | Positiver Einfluss (Werte, Wissen, Motivation) | Überwiegend positiver Einfluss | Neutral oder unklar | Negativer oder problematischer Einfluss |- | Vorbildfunktion | Ist der Influencer ein gutes Vorbild? | Fördert Verantwortung, Respekt, Reflexion | Meist positives Verhalten | Ambivalentes Verhalten | Problematisches Verhalten |- | Umgang mit Kritik | Wie reagiert der Influencer auf Kritik? | Offen, sachlich, lernbereit | Meist konstruktiv | Ausweichend oder defensiv | Aggressiv oder abwertend |- | Vielfalt & Perspektiven | Werden unterschiedliche Sichtweisen gezeigt? | Fördert Vielfalt und unterschiedliche Perspektiven | Teilweise vielfältig | Eher einseitig | Stark einseitig oder stereotyp |- | Eigene Reflexion | Wie kritisch gehst du mit dem Influencer um? | Sehr reflektiert, kritisch und bewusst | Teilweise reflektiert | Kaum reflektiert | Unkritisch |- | Gesamteinschätzung | Wie bewertest du deinen Lieblings-Influencer insgesamt? | Sehr positiv & reflektiert | Überwiegend positiv | Gemischt | Kritisch |} === Welche Wahrheits-Kanäle habt ihr? === <small>(Die Lehrperson wird hinterfragen: Gibt es über euren Kanal einen Wikipedia-Artikel?)</small> {| class="wikitable" ! Kriterium ! Leitfrage ! Sehr gut (4) ! Gut (3) ! Teilweise (2) ! Schwach (1) |- | Definition des Begriffs | Was versteht ihr unter einem „Wahrheits-Kanal“? | Klare, reflektierte und eigene Definition | Verständliche Definition | Unklare oder sehr allgemeine Definition | Keine Definition |- | Benennung der Kanäle | Welche Kanäle nutzt ihr? | Mehrere unterschiedliche Kanäle klar benannt | Einige Kanäle genannt | Nur ein Kanal genannt | Keine klaren Kanäle |- | Vielfalt der Quellen | Wie breit ist das Spektrum? | Mischung aus Medien, Fachquellen und Primärquellen | Mehrere unterschiedliche Medientypen | Wenig Vielfalt | Einseitige Informationsquelle |- | Vertrauen & Begründung | Warum vertraut ihr diesen Kanälen? | Vertrauen gut begründet und reflektiert | Begründung vorhanden | Begründung oberflächlich | Keine Begründung |- | Überprüfung der Inhalte | Wie prüft ihr Informationen? | Systematische Überprüfung (Vergleich, Faktencheck) | Gelegentliche Überprüfung | Seltene Überprüfung | Keine Überprüfung |- | Umgang mit Widersprüchen | Was macht ihr bei widersprüchlichen Infos? | Bewusster Vergleich und Abwägen | Teilweise Vergleich | Verunsicherung ohne Strategie | Ignorieren von Widersprüchen |- | Rolle von Algorithmen | Ist euch algorithmische Auswahl bewusst? | Sehr bewusst, aktiv reflektiert | Teilweise bewusst | Kaum bewusst | Kein Bewusstsein |- | Emotion vs. Information | Welche Rolle spielen Gefühle? | Klare Trennung und bewusste Reflexion | Teilweise reflektiert | Gefühle stark prägend | Rein emotional gesteuert |- | Eigenverantwortung | Wie aktiv seid ihr im Informationsprozess? | Sehr aktiv und selbstständig | Überwiegend aktiv | Passiv | Stark abhängig von einem Kanal |- | Gesamteinschätzung | Wie stabil sind eure Wahrheits-Kanäle? | Sehr stabil & reflektiert | Überwiegend stabil | Fragil | Unzuverlässig |} = Mögliche Wettbewerbe = * '''Wer erstellt die glaubwürdigsten Fake-News?''' * '''Wer findet einen Fehler auf Wikipedia?''' (Diejenige/Derjenige erhält 10 Franken, sagt die Lehrperson.) * Bastion der Verlässlichkeit: '''Wikipedia als Quelle für KI''' (Quelle, dass Wikipedia Quelle für KI ist: Jenny Ebermann: ''Mensch statt KI: Wikipedia brauchte es nie dringender als in Zeiten der künstlichen Intelligenz.'' In: ''Neue Zürcher Zeitung'', 14.01.2026.) j6ggzbva74x5y3kp7ivodzidatn5k3b 2 168025 1105703 1064257 2026-06-28T13:23:48Z Paul Sutermeister 37610 Weiterleitung auf [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Protokoll]] entfernt 1105703 wikitext text/x-wiki {{löschen}} 4cupriffjr3dvnm9mleg1812j33st7a 106 168181 1105736 1105627 2026-06-29T05:31:12Z Paul Sutermeister 37610 1105736 wikitext text/x-wiki Der Kurs Künstliche Intelligenz umfasst insgesamt 12 Lektionen: * 4 Lektionen Vorbereitung asynchron * 4 Lektionen Präsenzunterricht synchron vor Ort in Aarau (online möglich) am 29. Juni bzw. am 2. Juli. * 4 Lektionen Nachbereitung asynchron mit abschliessender Rückmeldung durch die Lehrperson. = Programm = # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] # "Prompten" # Ethik # Nachbereitungsauftrag = Begriffe = * [[:w:Künstliches neuronales Netz|Künstliches neuronales Netz]] → [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] → '''[[:w:Deep Learning|Deep Learning]]''', [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]/[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]], [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] * Training '''→''' [[:w:Künstliche_Intelligenz#Methoden|Bias]] * [[:w:Prompt|Prompt]] * [[:w:Halluzination (Künstliche Intelligenz)|Halluzination]] * [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] <!-- = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen.--> = Praktisches = KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' == Präsentationen zu Ethik und KI == [[Benutzer:Paul Sutermeister/Ethik der künstlichen Intelligenz|Sechs Themen werden zur Auswahl stehen.]] = Alternativprogramm 1= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? [[:w:Der_Postillon#DeppGPT|DeppGPT]], [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]], [[:w:Amazon Alexa|Alexa]], [[:w:Siri (Software)|Siri]], [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] 06mv2xxi63m6ztqle4y8xnm0vtkldnq 1105738 1105736 2026-06-29T05:59:40Z Paul Sutermeister 37610 1105738 wikitext text/x-wiki Der Kurs Künstliche Intelligenz umfasst insgesamt 12 Lektionen: * 4 Lektionen Vorbereitung asynchron * 4 Lektionen Präsenzunterricht synchron vor Ort in Aarau (online möglich) am 29. Juni bzw. am 2. Juli. * 4 Lektionen Nachbereitung asynchron mit abschliessender Rückmeldung durch die Lehrperson. = Programm = # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Prompt|„Prompten“]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] # Nachbereitungsauftrag <!--= Begriffe = * [[:w:Künstliches neuronales Netz|Künstliches neuronales Netz]] → [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] → '''[[:w:Deep Learning|Deep Learning]]''', [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]/[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]], [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] * Training '''→''' [[:w:Künstliche_Intelligenz#Methoden|Bias]] * [[:w:Prompt|Prompt]] * [[:w:Halluzination (Künstliche Intelligenz)|Halluzination]] <!-- = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen.--> = Praktisches = KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' == Präsentationen zu Ethik und KI == [[Benutzer:Paul Sutermeister/Ethik der künstlichen Intelligenz|Sechs Themen werden zur Auswahl stehen.]] = Alternativprogramm 1= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? [[:w:Der_Postillon#DeppGPT|DeppGPT]], [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]], [[:w:Amazon Alexa|Alexa]], [[:w:Siri (Software)|Siri]], [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] bmwgbh1dok6gigylzn0fhpukbxpf59r 1105740 1105738 2026-06-29T06:09:24Z Paul Sutermeister 37610 1105740 wikitext text/x-wiki Der Kurs Künstliche Intelligenz umfasst insgesamt 12 Lektionen: * 4 Lektionen Vorbereitung asynchron * 4 Lektionen Präsenzunterricht synchron vor Ort in Aarau (online möglich) am 29. Juni bzw. am 2. Juli. * 4 Lektionen Nachbereitung asynchron mit abschliessender Rückmeldung durch die Lehrperson. = Programm = # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Prompt|„Prompten“]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] # Nachbereitungsauftrag <!--= Begriffe = * [[:w:Künstliches neuronales Netz|Künstliches neuronales Netz]] → [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] → '''[[:w:Deep Learning|Deep Learning]]''', [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]/[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]], [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] * Training '''→''' [[:w:Künstliche_Intelligenz#Methoden|Bias]] * [[:w:Prompt|Prompt]] * [[:w:Halluzination (Künstliche Intelligenz)|Halluzination]] <!-- = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen.--> = Alternativprogramm 1= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? [[:w:Der_Postillon#DeppGPT|DeppGPT]], [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]], [[:w:Amazon Alexa|Alexa]], [[:w:Siri (Software)|Siri]], [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] qllzd8h9swqokm7gv5ylznwoldkx490 1105741 1105740 2026-06-29T06:10:10Z Paul Sutermeister 37610 1105741 wikitext text/x-wiki Der Kurs Künstliche Intelligenz umfasst insgesamt 12 Lektionen: * 4 Lektionen Vorbereitung asynchron * 4 Lektionen Präsenzunterricht synchron vor Ort in Aarau (online möglich) am 29. Juni bzw. am 2. Juli. * 4 Lektionen Nachbereitung asynchron mit abschliessender Rückmeldung durch die Lehrperson. = Programm = # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Prompt|„Prompten“]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] # Nachbereitungsauftrag <!--= Begriffe = * [[:w:Künstliches neuronales Netz|Künstliches neuronales Netz]] → [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] → '''[[:w:Deep Learning|Deep Learning]]''', [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]/[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]], [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] * Training '''→''' [[:w:Künstliche_Intelligenz#Methoden|Bias]] * [[:w:Prompt|Prompt]] * [[:w:Halluzination (Künstliche Intelligenz)|Halluzination]] <!-- = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen.--> <!--= Alternativprogramm 1= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? [[:w:Der_Postillon#DeppGPT|DeppGPT]], [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]], [[:w:Amazon Alexa|Alexa]], [[:w:Siri (Software)|Siri]], [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] r8arhijwx6qd1104qycw66moz75lw36 1105753 1105741 2026-06-29T07:52:24Z Paul Sutermeister 37610 /* Programm */ 1105753 wikitext text/x-wiki Der Kurs Künstliche Intelligenz umfasst insgesamt 12 Lektionen: * 4 Lektionen Vorbereitung asynchron * 4 Lektionen Präsenzunterricht synchron vor Ort in Aarau (online möglich) am 29. Juni bzw. am 2. Juli. * 4 Lektionen Nachbereitung asynchron mit abschliessender Rückmeldung durch die Lehrperson. = Programm = # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Prompt|„Prompten“]] - Multimedia-KI-Basar: hotpot.ai, lunaai.video, vidful.ai # Nachbereitungsauftrag <!--= Begriffe = * [[:w:Künstliches neuronales Netz|Künstliches neuronales Netz]] → [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] → '''[[:w:Deep Learning|Deep Learning]]''', [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]/[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]], [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] * Training '''→''' [[:w:Künstliche_Intelligenz#Methoden|Bias]] * [[:w:Prompt|Prompt]] * [[:w:Halluzination (Künstliche Intelligenz)|Halluzination]] <!-- = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen.--> <!--= Alternativprogramm 1= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? [[:w:Der_Postillon#DeppGPT|DeppGPT]], [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]], [[:w:Amazon Alexa|Alexa]], [[:w:Siri (Software)|Siri]], [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] dkp5m2ih4pbhu08dwx97me0ui8ynqc7 1105756 1105753 2026-06-29T08:07:00Z Paul Sutermeister 37610 /* Programm */ 1105756 wikitext text/x-wiki Der Kurs Künstliche Intelligenz umfasst insgesamt 12 Lektionen: * 4 Lektionen Vorbereitung asynchron * 4 Lektionen Präsenzunterricht synchron vor Ort in Aarau (online möglich) am 29. Juni bzw. am 2. Juli. * 4 Lektionen Nachbereitung asynchron mit abschliessender Rückmeldung durch die Lehrperson. = Programm = # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Prompt|„Prompten“]] - Multimedia-KI-Basar: hotpot.ai, lunaai.video, vidful.ai # Nachbereitungsauftrag: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Quelle|Medienkompetenz]] <!--= Begriffe = * [[:w:Künstliches neuronales Netz|Künstliches neuronales Netz]] → [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] → '''[[:w:Deep Learning|Deep Learning]]''', [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]/[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]], [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] * Training '''→''' [[:w:Künstliche_Intelligenz#Methoden|Bias]] * [[:w:Prompt|Prompt]] * [[:w:Halluzination (Künstliche Intelligenz)|Halluzination]] <!-- = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen.--> <!--= Alternativprogramm 1= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? [[:w:Der_Postillon#DeppGPT|DeppGPT]], [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]], [[:w:Amazon Alexa|Alexa]], [[:w:Siri (Software)|Siri]], [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] qlw7hanv2cprh24nld29ogccpzf17rh 1105758 1105756 2026-06-29T08:21:07Z Paul Sutermeister 37610 1105758 wikitext text/x-wiki Der Kurs Künstliche Intelligenz umfasst insgesamt 12 Lektionen: * 4 Lektionen Vorbereitung asynchron * 4 Lektionen Präsenzunterricht synchron vor Ort in Aarau (online möglich) am 29. Juni bzw. am 2. Juli. * 4 Lektionen Nachbereitung asynchron mit abschliessender Rückmeldung durch die Lehrperson. = Programm = # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Prompt|„Prompten“]] - Multimedia-KI-Basar: hotpot.ai, lunaai.video, vidful.ai # Nachbereitungsauftrag: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Quelle|Medienkompetenz]] = Bewertung (bestanden ''ja'' oder ''nein'') = #Vorbereitungsauftrag: Sprachmodelle im Büro #Gruppenarbeit "Ethik" (oder Arbeit per Mail einzureichen) #Kurszusammenfassung (nur für Online-Anwesende) #Nachbereitungsauftrag Medienkompetenz <!--= Begriffe = * [[:w:Künstliches neuronales Netz|Künstliches neuronales Netz]] → [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] → '''[[:w:Deep Learning|Deep Learning]]''', [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]/[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]], [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] * Training '''→''' [[:w:Künstliche_Intelligenz#Methoden|Bias]] * [[:w:Prompt|Prompt]] * [[:w:Halluzination (Künstliche Intelligenz)|Halluzination]] <!-- = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen.--> <!--= Alternativprogramm 1= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? [[:w:Der_Postillon#DeppGPT|DeppGPT]], [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]], [[:w:Amazon Alexa|Alexa]], [[:w:Siri (Software)|Siri]], [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] 3krznn61p25ot21d9usjxsbx4m3rv96 1105759 1105758 2026-06-29T08:22:13Z Paul Sutermeister 37610 /* Bewertung (bestanden ja oder nein) */ 1105759 wikitext text/x-wiki Der Kurs Künstliche Intelligenz umfasst insgesamt 12 Lektionen: * 4 Lektionen Vorbereitung asynchron * 4 Lektionen Präsenzunterricht synchron vor Ort in Aarau (online möglich) am 29. Juni bzw. am 2. Juli. * 4 Lektionen Nachbereitung asynchron mit abschliessender Rückmeldung durch die Lehrperson. = Programm = # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] # [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Prompt|„Prompten“]] - Multimedia-KI-Basar: hotpot.ai, lunaai.video, vidful.ai # Nachbereitungsauftrag: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Quelle|Medienkompetenz]] = Bewertung (bestanden ''ja'' oder ''nein'') = #Vorbereitungsauftrag: Sprachmodelle im Büro #Gruppenarbeit "Ethik" (oder Arbeit per Mail einzureichen, nur für Online-Anwesende) #Kurszusammenfassung (nur für Online-Anwesende) #Nachbereitungsauftrag Medienkompetenz <!--= Begriffe = * [[:w:Künstliches neuronales Netz|Künstliches neuronales Netz]] → [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] → '''[[:w:Deep Learning|Deep Learning]]''', [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]/[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]], [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] * Training '''→''' [[:w:Künstliche_Intelligenz#Methoden|Bias]] * [[:w:Prompt|Prompt]] * [[:w:Halluzination (Künstliche Intelligenz)|Halluzination]] <!-- = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen.--> <!--= Alternativprogramm 1= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? [[:w:Der_Postillon#DeppGPT|DeppGPT]], [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]], [[:w:Amazon Alexa|Alexa]], [[:w:Siri (Software)|Siri]], [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] jxz4v0qq1y1uc148b9vp3ghfcct2sfw 0 170171 1105752 1104960 2026-06-29T07:45:59Z C.Koltzenburg 13981 /* darauffolgende Abschnitte */ 1105752 wikitext text/x-wiki Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle für den 1. Satz einer Patientenvorstellung]] = Berichtsstruktur mit Beispielformulierungen = Siehe auch: [[Anamneseberichte/1._Satz|Reihenfolge der Symptome im 1. Satz]] == nur Stichworte (Blatt 1) == [VN NN] <br /> Sina Gowitz <br /> [A + GD] <br /> 22 J., 18.04.2002 <br /> [Gewicht] <br /> 80 kg <br /> [Größe] <br /> 184 cm <br /> [DE ist ein "Kommaland", also: 1,84 m (Dezimaltrennzeichen)] [All/Unv] <br /> Amoxicillin - Dyspnoe <br /> Apfel, Kiwi, Ananas - Pruritus, Hauterythem [Noxen] <br /> Nikotin: <br /> Nichtraucherin C2: <br /> | trinke 1 Bier geleg., alle 3 Wochen im Sommer, alle 6 Wochen im Winter <br /> | trinke 2-3 Fl. Bier alle 3-6 Wochen, teils alkoholfrei(es Bier) <br /> [+ Verb im Konjunktiv I, denn zu Alkoholsucht gehört, dass die Menge geleugnet wird, also sind Sie anamnestisch bei diesen Angaben vorsichtig, also auch bei Stichworten mit Konjunktiv I] Drogenkonsum: <br /> | wurde verneint [Passiv] <br /> | habe vor 1 Jahr einmal Cannabis probiert <br /> [+ Verb im Konjunktiv I] [SozA] <br /> Physikstudentin, wohnt in einer Wohngemeinschaft/ WG <br /> [FA] <br /> Mutter: Herzinsuffizienz <br /> Vater: M. Bechterew, Pyelonephritis (?) <br /> Bruder: Pyelonephritis (?) <br /> <-- Ende des Abschnitts im Stichwortstil <br /> ab hier --> == Aktuelle Anamnese (in ganzen Sätzen) == === Reihenfolge der Symptome im 1. Satz === - mit dem schlimmsten Symptom starten bzw. mit dem Symptom starten, weswegen jemand kommt (das zur Vorstellung geführt hat), <br /> - falls uneindeutig / viele Symptome / alle ähnlich "schlimm": dann mit dem starten, was die Patientin zuerst nannte, <br /> - die Leitsymptome sollten zur Diagnose passen <br /> - bei Polytrauma: lebensbedrohliche Symptome/Verletzungen zuerst. <br /> '''''C. ist am besten, weil es am schnellsten geht (wenn man die Syntax verstanden hat).''''' === 1. Satz (oder 1-3 Sätze) === ==== A. [Beginn: Variante 1 (mit + Dativ)] ==== [in 3 Sätzen] Die Patientin stellte sich mit akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts vor, die gestern Abend plötzlich aufgetreten seien. Ursprünglich waren die Schmerzen im Epigastrium lokalisiert, aber innerhalb von 2 Stunden seien sie in den rechten Unterbauch gewandert. Die Patientin gab die Schmerzen mit 7 von 10 NRS an. ==== B. [1. Satz: Variante 2 (wegen + Dativ)] ==== [im Relativsatz mit Konjunktiv I] Frau Gowitz kam heute zu uns wegen seit dem Vorabend bestehenden, akuten, progredienten, dumpfen Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), die zuerst um den Nabel herum gewesen seien. ==== C. [1. Satz: Variante 3 (aufgrund + Genitiv)] ==== [mit verkürztem Relativsatz und mehr FS] Die Patientin stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vorabend bestehender, akuter, progredienter, dumpfer Unterbauchschmerzen rechts (NRS 7-8/10), aus der Regio umbilicalis in die Regio inguinalis dextra gewandert. === darauffolgende Abschnitte === [BS] <br /> | Begleitend fand/en sich: [+ Nominativ] <br /> | Begleitend nannte sie: [+ Akkusativ] <br /> | Begleitend besteht: [+ Nominativ] <br /> | Die Patientin gab an, Fieber zu haben (bis 39,0 °C, axillar gemessen). Außerdem klagte sie über Nausea. <br /> | Die Frage nach ... wurde verneint. [wiss. Sing., auch mehrere Fragen werden hier als Paket gesehen] <br /> [VA] <br /> | Vegetativ bestehen ... <br /> | Die vegetative Anamnese ergab ... <br /> | In der VA bestehen ... <br /> | In der vegetativen Anamnese nannte sie/ er: ... <br /> | In der vegetativen Anamnese zeigten sich Insomnie sowie Inappetenz. Die sonstige vegetative Anamnese ist/ war unauffällig. <br /> | Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Insomnie und Inappetenz. <br /> [VE/VO] <br /> | An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: <br /> | Bei der Patientin sind folgende Vorerkrankungen bekannt: <br /> (| In der Vorgeschichte der Patientin finden sich:) <br /> | In der Vorgeschichte der Patientin fanden sich: <br /> Asthma bronchiale seit der Kindheit, Colon irritable seit 2 Jahren. | Keine Operationen sind bekannt. <br /> | Z.n Tibiafraktur 2021, Z.n Tonsillektomie mit 10 Jahren. <br /> | Bei der Patientin sind folgende Operationen durchgeführt worden: ..., ..., ... <br /> | Sie hat sich mit 10 Jahren einer Tonsillektomie '''unter'''zogen. <br /> | Sie hat sich 2021 eine Tibiafraktur '''zu'''gezogen, die operativ behandelt worden ist (Osteosynthese). <br /> [eine Kombination aus VE/VO + Med] <br /> An Vorerkrankungen und Operationen sind folgende zu nennen: [VE], behandelt mit [Name, Dosis, Frequenz], [VE], behandelt mit [Name, Dosis, Frequenz], Tibiafraktur vor 4 Jahren, mit Osteosynthese behandelt (komplikationslos). [Med] <br /> | Die Anamnese der Medikation ergab: <br /> | Die Medikation ergab: <br /> | Die Medikation besteht aus <br /> Atrovent, Duspatolin bB, Paracetamol vor 2 Wochen während 3 Tagen. [RA] <br /> | Eine Reise nach Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | In der Reiseanamnese ist ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche bekannt. <br /> | Ein Aufenthalt in Südafrika bis vor einer Woche ist bekannt. <br /> | Er sei vor einer Woche aus Südafrika zurückgekommen. <br /> [VD] <br /> | Meine VD lautet: akute Appendizitis. <br /> | Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine akute Appendizitis hin. <br /> | Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf [Artikel][VD] aus. <br /> [DD] <br /> | An Differenzialdiagnosen kommt Folgendes in Betracht: [Sing. + Pl.] <br /> | Als Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht: <br /> | Differenzialdiagnostisch kommt Folgendes in Betracht: [Sing. + Pl.] <br /> | Differenzialdiagnostisch kommen in Betracht: <br /> Nephrolithiasis, Adnexitis, Eileiterschwangerschaft [M / diagnostische Maßnahmen] <br /> | Zur weiteren Abklärung werden empfohlen: <br /> | Zur weiteren Abklärung wäre Folgendes anzuraten: <br /> | An weiteren Maßnahmen empfehle ich: <br /> körperliche Untersuchung, Labor: großes, kleines Blutbild, Entzündungsparameter (CRP, BSG, Procalcitonin), Leber- und Nierenparameter, Elektrolyte, Abdomensonographie. [Th] <br /> | Therapeutisch empfehle ich: <br /> | Als Therapie empfehle ich bei Bestätigung der VD: <br /> | An therapeutischen Maßnahmen würde ich empfehlen: <br /> | Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: <br /> laparoskopische Appendektomie, Antibiotikatherapie, Flüssigkeitszufuhr. kw532hww49moq6w4070rhph54ds6o9r 106 171867 1105742 1105540 2026-06-29T06:53:26Z Björn Henrich 41518 /* Mathematisches Modell */ 1105742 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * $(x,y)$: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Die Koeffizienten bestimmen, wie stark der Energieertrag in den jeweiligen Richtungen abnimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Diese werden vereinfacht beschrieben durch: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2 </math> Dabei gilt: * <math>K(x,y)</math>: Standortkosten * größere Entfernung vom Zentrum führt zu höheren Kosten == Aufstellen der Zielfunktion == Da nicht nur der Energieertrag maximiert, sondern gleichzeitig die Kosten minimiert werden sollen, wird eine Nutzenfunktion eingeführt: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: wirtschaftlicher Gesamtnutzen * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Für ein einfaches Modell wird gewählt: <math> a=1,\quad b=1 </math> Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2-0,5x^2-0,5y^2 </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, wird der Gradient betrachtet. Der Gradient ist definiert als: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die Komponenten des Gradienten geben die Richtung der stärksten Änderung des Nutzens an. Da ein Maximum gesucht wird, bewegt man sich in Richtung des größten Anstiegs: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> mit: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>n</math>: Iterationsschritt --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Beispielhafter Ablauf: Startpunkt: <math> (x_0,y_0)=(5,5) </math> Algorithmus: # Gradient am aktuellen Punkt berechnen # neue Position mithilfe des Gradienten bestimmen # Verfahren wiederholen # abbrechen, wenn sich der Standort kaum noch verändert Das Verfahren nähert sich schrittweise dem optimalen Standort. --- == Interpretation der Lösung == Der gefundene Punkt beschreibt den mathematisch optimalen Standort. Optimal bedeutet hierbei: * möglichst hoher Energieertrag * möglichst geringe Kosten Der Algorithmus sucht daher nicht einfach den Ort mit dem stärksten Wind, sondern den wirtschaftlich sinnvollsten Standort. == Erweiterung des mathematischen Modells: Gewichtung verschiedener Kriterien == In der Realität werden Standorte von Windenergieanlagen nicht ausschließlich nach dem maximalen Energieertrag ausgewählt. Häufig müssen verschiedene Ziele miteinander abgewogen werden. Beispielsweise kann ein höherer Energieertrag wichtiger sein als geringe Kosten oder umgekehrt. Um diese unterschiedlichen Prioritäten mathematisch darzustellen, wird die Zielfunktion durch Gewichtungsfaktoren erweitert. Die neue Zielfunktion lautet: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: gewichteter Gesamtnutzen * <math>E(x,y)</math>: Energieertrag * <math>K(x,y)</math>: Kosten * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Dabei gilt: <math> a,b>0 </math> --- === Gewichteter Energieertrag === Der Energieertrag wird weiterhin modelliert durch: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Der Faktor <math>a</math> beschreibt, wie stark der Energieertrag bei der Standortwahl berücksichtigt wird. --- === Gewichtete Kosten === Die Kostenfunktion lautet: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Der Faktor <math>b</math> beschreibt, welchen Einfluss die Kosten auf die Entscheidung haben. --- === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells bgatg91exd7oypa9s4uhnsf22e9r84d 1105743 1105742 2026-06-29T06:55:37Z Björn Henrich 41518 1105743 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * $(x,y)$: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Die Koeffizienten bestimmen, wie stark der Energieertrag in den jeweiligen Richtungen abnimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Diese werden vereinfacht beschrieben durch: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2 </math> Dabei gilt: * <math>K(x,y)</math>: Standortkosten * größere Entfernung vom Zentrum führt zu höheren Kosten == Aufstellen der Zielfunktion == Da nicht nur der Energieertrag maximiert, sondern gleichzeitig die Kosten minimiert werden sollen, wird eine Nutzenfunktion eingeführt: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: wirtschaftlicher Gesamtnutzen * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Für ein einfaches Modell wird gewählt: <math> a=1,\quad b=1 </math> Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2-0,5x^2-0,5y^2 </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-2)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-6(y+1)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+20\\ -7y-6 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * $(x_n,y_n)$: aktueller Standort * $(x_{n+1},y_{n+1})$: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(2,-0,6) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei $D$ die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. === Gewichteter Energieertrag === Der Energieertrag wird weiterhin modelliert durch: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Der Faktor <math>a</math> beschreibt, wie stark der Energieertrag bei der Standortwahl berücksichtigt wird. --- === Gewichtete Kosten === Die Kostenfunktion lautet: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Der Faktor <math>b</math> beschreibt, welchen Einfluss die Kosten auf die Entscheidung haben. --- === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells 6xcwvpdpee4zn47zgfpye74s1q5a6hu 1105744 1105743 2026-06-29T06:56:49Z Björn Henrich 41518 /* Durchführung des Optimierungsverfahrens */ 1105744 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * $(x,y)$: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Die Koeffizienten bestimmen, wie stark der Energieertrag in den jeweiligen Richtungen abnimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Diese werden vereinfacht beschrieben durch: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2 </math> Dabei gilt: * <math>K(x,y)</math>: Standortkosten * größere Entfernung vom Zentrum führt zu höheren Kosten == Aufstellen der Zielfunktion == Da nicht nur der Energieertrag maximiert, sondern gleichzeitig die Kosten minimiert werden sollen, wird eine Nutzenfunktion eingeführt: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: wirtschaftlicher Gesamtnutzen * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Für ein einfaches Modell wird gewählt: <math> a=1,\quad b=1 </math> Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2-0,5x^2-0,5y^2 </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-2)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-6(y+1)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+20\\ -7y-6 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(2,-0,6) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei $D$ die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. === Gewichteter Energieertrag === Der Energieertrag wird weiterhin modelliert durch: <math> E(x,y)=50(8-0,01(x^2+y^2))^3 </math> Der Faktor <math>a</math> beschreibt, wie stark der Energieertrag bei der Standortwahl berücksichtigt wird. --- === Gewichtete Kosten === Die Kostenfunktion lautet: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,8y^2 </math> Der Faktor <math>b</math> beschreibt, welchen Einfluss die Kosten auf die Entscheidung haben. --- === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. 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Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells srzaitrtk9jmu1lh2yhpz0g0qfed4xz 1105745 1105744 2026-06-29T06:58:35Z Björn Henrich 41518 /* Interpretation und Modellkritik */ 1105745 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * $(x,y)$: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Die Koeffizienten bestimmen, wie stark der Energieertrag in den jeweiligen Richtungen abnimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. 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Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-2)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-6(y+1)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+20\\ -7y-6 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(2,-0,6) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. === Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen === '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. --- '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=1,\quad b=2 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. --- == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. 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Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells 1snops6o0tgnudlwo8etrbz202oppru 1105746 1105745 2026-06-29T06:59:01Z Björn Henrich 41518 /* Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen */ 1105746 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. 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Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * $(x,y)$: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Die Koeffizienten bestimmen, wie stark der Energieertrag in den jeweiligen Richtungen abnimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. 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Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells 1fz0wfx0e1c22xb697hef8gas1due1q 1105747 1105746 2026-06-29T06:59:23Z Björn Henrich 41518 /* Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen */ 1105747 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * $(x,y)$: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Die Koeffizienten bestimmen, wie stark der Energieertrag in den jeweiligen Richtungen abnimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Diese werden vereinfacht beschrieben durch: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2 </math> Dabei gilt: * <math>K(x,y)</math>: Standortkosten * größere Entfernung vom Zentrum führt zu höheren Kosten == Aufstellen der Zielfunktion == Da nicht nur der Energieertrag maximiert, sondern gleichzeitig die Kosten minimiert werden sollen, wird eine Nutzenfunktion eingeführt: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: wirtschaftlicher Gesamtnutzen * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Für ein einfaches Modell wird gewählt: <math> a=1,\quad b=1 </math> Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2-0,5x^2-0,5y^2 </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-2)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-6(y+1)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+20\\ -7y-6 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(2,-0,6) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Modellkritik und Erweiterungen == Das Modell stellt eine Vereinfachung der Realität dar. Nicht berücksichtigt wurden beispielsweise: * wechselnde Windverhältnisse * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen zu Wohngebieten * Bodenbeschaffenheit * Netzanbindung * Wartungskosten Eine Erweiterung wäre die Einführung von Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> Dabei beschreibt <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche. --- == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells qgbw5gj144z13gcadu5937zbrolmz76 1105748 1105747 2026-06-29T07:00:07Z Björn Henrich 41518 /* Modellkritik und Erweiterungen */ 1105748 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * $(x,y)$: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Die Koeffizienten bestimmen, wie stark der Energieertrag in den jeweiligen Richtungen abnimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Diese werden vereinfacht beschrieben durch: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2 </math> Dabei gilt: * <math>K(x,y)</math>: Standortkosten * größere Entfernung vom Zentrum führt zu höheren Kosten == Aufstellen der Zielfunktion == Da nicht nur der Energieertrag maximiert, sondern gleichzeitig die Kosten minimiert werden sollen, wird eine Nutzenfunktion eingeführt: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: wirtschaftlicher Gesamtnutzen * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Für ein einfaches Modell wird gewählt: <math> a=1,\quad b=1 </math> Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2-0,5x^2-0,5y^2 </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-2)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-6(y+1)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+20\\ -7y-6 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. --- == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(2,-0,6) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. 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Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Kommando +- Befehl +- Regel +- Vorschrift +- Algorithmus +- Programmcode +- Prozedur +- Rezept +- Plan / Ablauf -+ Regelmäßigkeit -+ Wiederholung -+ Ähnlichkeit -+ Struktur -+ Form -+ Trend -+ Korrelation -+ Symmetrie -+ Sequenz -+ Rhythmus -+ Typ / Kategorie -+ Ausnahme / Abweichung </quiz> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] 9dbot4xeqgqz6zhzndg000nofs52x2l 1105710 1105709 2026-06-28T17:17:54Z Paul Sutermeister 37610 1105710 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] 4fi2yig06s7n9kb5gc5qyul8fpu6bbn 1105711 1105710 2026-06-28T17:21:45Z Paul Sutermeister 37610 1105711 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | 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Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] anasllulfipx1uad6vej4kwsk4ewdc2 1105713 1105712 2026-06-28T17:29:22Z Paul Sutermeister 37610 1105713 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> = Maschinelles Lernen ≠ Programmieren = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- 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zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> = Maschinelles Lernen ≠ Programmieren = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. 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Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- [[:w:Ampel|Ampel]] -+ [[:w:Bilderkennung|Bilderkennung]] +- [[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]] -+ [[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> = Arten von maschinellem Lernen = [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] 6n39iz24avc0tttlmgdzqomtd6mranz 1105715 1105714 2026-06-28T17:43:44Z Paul Sutermeister 37610 1105715 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln 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+- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- [[:w:Ampel|Ampel]] -+ [[:w:Bilderkennung|Bilderkennung]] +- [[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]] -+ [[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> = Arten von maschinellem Lernen = [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] e6596ldov5yoo8ptfb4msx2emo1j24n 1105716 1105715 2026-06-28T17:54:22Z Paul Sutermeister 37610 /* Arten von maschinellem Lernen */ 1105716 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge ein: Daten, Entscheidungsregeln, Maschinelles Lernen, Programme, Programmieren. | type="{}" } { Maschinelles Lernen } ist keine Alternative zum { Programmieren }, sondern eine besondere Art, { Programme } zu entwickeln: Die { Entscheidungsregeln } werden nicht vollständig von Hand geschrieben, sondern aus { Daten } gelernt. </quiz> = Maschinelles Lernen ≠ Programmieren = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein 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Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> == Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme == {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''Überwachtes Lernen''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''Daten-Labeling''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''Unüberwachtes Lernen''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''Bias (Verzerrungen)''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} === Merksatz === * '''Überwachtes Lernen''' → Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' (Daten-Labeling) * '''Unüberwachtes Lernen''' → Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' (Bias) * '''Bestärkendes Lernen''' → Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' (Reward Hacking) [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] j3li5v8ekoswnr1b2k3qv5acupbeh54 1105717 1105716 2026-06-28T18:22:17Z Paul Sutermeister 37610 1105717 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge ein: Daten, Entscheidungsregeln, Maschinelles Lernen, Programme, Programmieren. | type="{}" } { Maschinelles Lernen } ist keine Alternative zum { Programmieren }, sondern eine besondere Art, { Programme } zu entwickeln: Die { Entscheidungsregeln } werden nicht vollständig von Hand geschrieben, sondern aus { Daten } gelernt. </quiz> = Maschinelles Lernen ≠ Programmieren = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- [[:w:Ampel|Ampel]] -+ [[:w:Bilderkennung|Bilderkennung]] +- [[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]] -+ [[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''[[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias (Verzerrungen)]]''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''[[:w:AI-Alignment|Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)]]''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} = Quiz = <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' ([[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]) </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]] | [[:w:AI-Alignment|Reward Hacking]] | [[:w:Clickworker|Daten-Labeling]] +-- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' -+- Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' --+ Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' </quiz> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] byh50u1x3qlvo5ngv6myb5s3v0yfzwd 1105733 1105717 2026-06-28T20:11:20Z Paul Sutermeister 37610 /* Quiz */ 1105733 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge ein: Daten, Entscheidungsregeln, Maschinelles Lernen, Programme, Programmieren. | type="{}" } { Maschinelles Lernen } ist keine Alternative zum { Programmieren }, sondern eine besondere Art, { Programme } zu entwickeln: Die { Entscheidungsregeln } werden nicht vollständig von Hand geschrieben, sondern aus { Daten } gelernt. </quiz> = Maschinelles Lernen ≠ Programmieren = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- [[:w:Ampel|Ampel]] -+ [[:w:Bilderkennung|Bilderkennung]] +- [[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]] -+ [[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''[[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias (Verzerrungen)]]''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''[[:w:AI-Alignment|Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)]]''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' ([[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]) </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]] | [[:w:AI-Alignment|Reward Hacking]] | [[:w:Clickworker|Daten-Labeling]] +-- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' -+- Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' --+ Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' </quiz> = Rolle des Menschen beim maschinellen Lernen = Maschinelles Lernen unterscheidet sich nicht in erster Linie durch seine Anwendungen, sondern dadurch, '''wie''' ein KI-System lernt und '''welche Rolle Menschen''' dabei spielen. {| class="wikitable" ! Lernart ! Wie lernt die KI? ! Rolle des Menschen ! Typische Anwendungen ! Typische Herausforderung |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen (Supervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Beispiele '''mit der richtigen Lösung''' (Labels) und lernt daraus Muster. | Menschen sind die '''Lehrpersonen'''. Sie kennzeichnen Daten, z. B. als „Spam“ oder „kein Spam“, „Katze“ oder „Hund“, „Krebs“ oder „kein Krebs“. | Spamfilter, Gesichtserkennung, medizinische Bilddiagnostik, Kreditwürdigkeitsprüfung | Das Kennzeichnen großer Datenmengen (Data Labeling) ist aufwendig und wird teilweise von schlecht bezahlten Clickworkerinnen und Clickworkern ausgeführt. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen (Unsupervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Daten '''ohne richtige Lösung''' und sucht selbst nach Mustern, Gruppen oder Auffälligkeiten. | Menschen liefern die Daten und interpretieren anschließend die gefundenen Muster. Die KI entdeckt z. B. ähnliche Kundengruppen; erst Menschen geben diesen Gruppen Namen wie „Familien“ oder „Gelegenheitskäufer“. | Kundensegmentierung, Anomalie- und Betrugserkennung, wissenschaftliche Datenanalyse | Die KI kann Verzerrungen (Bias) oder zufällige Muster übernehmen, die von Menschen kritisch überprüft werden müssen. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und lernt durch '''Belohnungen''' und '''Strafen''', welche Strategie langfristig zum besten Ergebnis führt. | Menschen legen die '''Spielregeln''' fest. Sie definieren, wofür die KI Punkte erhält und wofür nicht. | Robotik, autonome Fahrzeuge, Spiel-KI (z. B. Schach oder Go), Verkehrssteuerung | Ist die Belohnungsfunktion schlecht gewählt, optimiert die KI möglicherweise das Punktesystem statt das eigentliche Ziel (Reward Hacking). |} <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen --+ '''Ein Roboter soll laufen lernen:''' Niemand zeigt ihm die richtige Bewegung. Stattdessen erhält er Rückmeldungen über den Erfolg seines Handelns, z. B.: Umgefallen → −100 Punkte; einen Schritt geschafft → +10 Punkte; zehn Schritte geschafft → +100 Punkte. Durch viele Wiederholungen entwickelt der Roboter schrittweise eine erfolgreiche Laufstrategie. +-- '''Eine KI soll Spam-E-Mails erkennen:''' Menschen haben zuvor Millionen E-Mails als '''„Spam“''' oder '''„kein Spam“''' gekennzeichnet. Aus diesen Beispielen lernt die KI, typische Merkmale von Spam zu erkennen. -+- '''Ein Supermarkt besitzt Millionen Einkaufsdaten:''' Die KI weiss nicht, wer Familien, Studierende oder Seniorinnen und Senioren sind. Sie erkennt lediglich, dass bestimmte Kundinnen und Kunden ein ähnliches Kaufverhalten haben, und bildet daraus Gruppen. Erst anschließend interpretieren Menschen diese Gruppen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Der Mensch ist die '''Lehrperson'''. Er kennt die richtige Lösung und stellt sie der KI zur Verfügung. -+- Der Mensch ist '''Beobachter und Interpret'''. Er bewertet die von der KI gefundenen Muster. --+ Der Mensch ist '''Trainer oder Spieldesigner'''. Er legt Ziele sowie Belohnungen und Strafen fest. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen -+- Die KI entdeckt selbst Muster in den Daten. +-- Die KI lernt aus Beispielen mit bekannten Lösungen. --+ Die KI entwickelt durch Versuch und Irrtum eine erfolgreiche Strategie. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] lpt6qdqbenst612z4q9ijkbkzrs5x6o 1105734 1105733 2026-06-28T20:22:05Z Paul Sutermeister 37610 1105734 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Lernziel: Kaufleute sollten:'''</big> * die Funktionsweise von KI-Systemen in Grundzügen verstehen, * Ergebnisse kritisch hinterfragen, * mögliche Fehler, Verzerrungen (Bias) und Risiken erkennen, * Datenschutz sowie ethische Aspekte berücksichtigen, * KI als Entscheidungshilfe nutzen, nicht als unfehlbare Entscheidungsinstanz. Für Kaufleute ist nicht entscheidend, wie die Algorithmen programmiert sind, sondern zu verstehen, * '''woher''' die KI ihr Wissen bezieht, * '''wie''' sie zu ihren Ergebnissen gelangt, * '''welche Grenzen''' sie hat und * '''wann menschliche Kontrolle notwendig ist'''. </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge ein: Daten, Entscheidungsregeln, Maschinelles Lernen, Programme, Programmieren. | type="{}" } { Maschinelles Lernen } ist keine Alternative zum { Programmieren }, sondern eine besondere Art, { Programme } zu entwickeln: Die { Entscheidungsregeln } werden nicht vollständig von Hand geschrieben, sondern aus { Daten } gelernt. </quiz> = Maschinelles Lernen ≠ Programmieren = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- [[:w:Ampel|Ampel]] -+ [[:w:Bilderkennung|Bilderkennung]] +- [[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]] -+ [[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. 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Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' 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Sie kennzeichnen Daten, z. B. als „Spam“ oder „kein Spam“, „Katze“ oder „Hund“, „Krebs“ oder „kein Krebs“. | Spamfilter, Gesichtserkennung, medizinische Bilddiagnostik, Kreditwürdigkeitsprüfung | Das Kennzeichnen großer Datenmengen (Data Labeling) ist aufwendig und wird teilweise von schlecht bezahlten Clickworkerinnen und Clickworkern ausgeführt. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen (Unsupervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Daten '''ohne richtige Lösung''' und sucht selbst nach Mustern, Gruppen oder Auffälligkeiten. | Menschen liefern die Daten und interpretieren anschließend die gefundenen Muster. Die KI entdeckt z. B. ähnliche Kundengruppen; erst Menschen geben diesen Gruppen Namen wie „Familien“ oder „Gelegenheitskäufer“. | Kundensegmentierung, Anomalie- und Betrugserkennung, wissenschaftliche Datenanalyse | Die KI kann Verzerrungen (Bias) oder zufällige Muster übernehmen, die von Menschen kritisch überprüft werden müssen. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und lernt durch '''Belohnungen''' und '''Strafen''', welche Strategie langfristig zum besten Ergebnis führt. | Menschen legen die '''Spielregeln''' fest. Sie definieren, wofür die KI Punkte erhält und wofür nicht. | Robotik, autonome Fahrzeuge, Spiel-KI (z. B. Schach oder Go), Verkehrssteuerung | Ist die Belohnungsfunktion schlecht gewählt, optimiert die KI möglicherweise das Punktesystem statt das eigentliche Ziel (Reward Hacking). |} <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen --+ '''Ein Roboter soll laufen lernen:''' Niemand zeigt ihm die richtige Bewegung. Stattdessen erhält er Rückmeldungen über den Erfolg seines Handelns, z. B.: Umgefallen → −100 Punkte; einen Schritt geschafft → +10 Punkte; zehn Schritte geschafft → +100 Punkte. Durch viele Wiederholungen entwickelt der Roboter schrittweise eine erfolgreiche Laufstrategie. +-- '''Eine KI soll Spam-E-Mails erkennen:''' Menschen haben zuvor Millionen E-Mails als '''„Spam“''' oder '''„kein Spam“''' gekennzeichnet. Aus diesen Beispielen lernt die KI, typische Merkmale von Spam zu erkennen. -+- '''Ein Supermarkt besitzt Millionen Einkaufsdaten:''' Die KI weiss nicht, wer Familien, Studierende oder Seniorinnen und Senioren sind. Sie erkennt lediglich, dass bestimmte Kundinnen und Kunden ein ähnliches Kaufverhalten haben, und bildet daraus Gruppen. Erst anschließend interpretieren Menschen diese Gruppen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Der Mensch ist die '''Lehrperson'''. Er kennt die richtige Lösung und stellt sie der KI zur Verfügung. -+- Der Mensch ist '''Beobachter und Interpret'''. Er bewertet die von der KI gefundenen Muster. --+ Der Mensch ist '''Trainer oder Spieldesigner'''. 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Sie sollten wissen, dass die Qualität solcher Systeme von den Trainingsdaten abhängt. -+- Unternehmen nutzen diese Lernart, um Kundengruppen zu erkennen, Verkaufsdaten auszuwerten oder ungewöhnliche Geschäftsvorfälle zu entdecken. Kaufleute müssen die Ergebnisse kritisch interpretieren und dürfen erkannte Muster nicht automatisch als Tatsachen ansehen. --+ Diese Lernart wird eingesetzt, um Prozesse zu optimieren, z. B. in der Lagerlogistik, Produktionsplanung oder Verkehrssteuerung. Kaufleute sollten verstehen, dass das Verhalten einer KI von den vorgegebenen Zielen und Anreizsystemen abhängt. </quiz> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] nmaisivqphg7srocqpjqro2otwv9o22 1105735 1105734 2026-06-28T20:41:30Z Paul Sutermeister 37610 1105735 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Lernziel: Kaufleute sollten:'''</big> * die Funktionsweise von KI-Systemen in Grundzügen verstehen, * Ergebnisse kritisch hinterfragen, * mögliche Fehler, Verzerrungen (Bias) und Risiken erkennen, * Datenschutz sowie ethische Aspekte berücksichtigen, * KI als Entscheidungshilfe nutzen, nicht als unfehlbare Entscheidungsinstanz. Für Kaufleute ist nicht entscheidend, wie die Algorithmen programmiert sind, sondern zu verstehen, * '''woher''' die KI ihr Wissen bezieht, * '''wie''' sie zu ihren Ergebnissen gelangt, * '''welche Grenzen''' sie hat und * '''wann menschliche Kontrolle notwendig ist'''. </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge ein: Daten, Entscheidungsregeln, Maschinelles Lernen, Programme, Programmieren. | type="{}" } { Maschinelles Lernen } ist keine Alternative zum { Programmieren }, sondern eine besondere Art, { Programme } zu entwickeln: Die { Entscheidungsregeln } werden nicht vollständig von Hand geschrieben, sondern aus { Daten } gelernt. </quiz> = Maschinelles Lernen ≠ Programmieren = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- [[:w:Ampel|Ampel]] -+ [[:w:Bilderkennung|Bilderkennung]] +- [[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]] -+ [[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''[[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias (Verzerrungen)]]''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''[[:w:AI-Alignment|Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)]]''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' ([[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]) </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]] | [[:w:AI-Alignment|Reward Hacking]] | [[:w:Clickworker|Daten-Labeling]] +-- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' -+- Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' --+ Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' </quiz> = Rolle des Menschen beim maschinellen Lernen = Maschinelles Lernen unterscheidet sich nicht in erster Linie durch seine Anwendungen, sondern dadurch, '''wie''' ein KI-System lernt und '''welche Rolle Menschen''' dabei spielen. {| class="wikitable" ! Lernart ! Wie lernt die KI? ! Rolle des Menschen ! Typische Anwendungen ! Typische Herausforderung |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen (Supervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Beispiele '''mit der richtigen Lösung''' (Labels) und lernt daraus Muster. | Menschen sind die '''Lehrpersonen'''. Sie kennzeichnen Daten, z. B. als „Spam“ oder „kein Spam“, „Katze“ oder „Hund“, „Krebs“ oder „kein Krebs“. | Spamfilter, Gesichtserkennung, medizinische Bilddiagnostik, Kreditwürdigkeitsprüfung | Das Kennzeichnen großer Datenmengen (Data Labeling) ist aufwendig und wird teilweise von schlecht bezahlten Clickworkerinnen und Clickworkern ausgeführt. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen (Unsupervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Daten '''ohne richtige Lösung''' und sucht selbst nach Mustern, Gruppen oder Auffälligkeiten. | Menschen liefern die Daten und interpretieren anschließend die gefundenen Muster. Die KI entdeckt z. B. ähnliche Kundengruppen; erst Menschen geben diesen Gruppen Namen wie „Familien“ oder „Gelegenheitskäufer“. | Kundensegmentierung, Anomalie- und Betrugserkennung, wissenschaftliche Datenanalyse | Die KI kann Verzerrungen (Bias) oder zufällige Muster übernehmen, die von Menschen kritisch überprüft werden müssen. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und lernt durch '''Belohnungen''' und '''Strafen''', welche Strategie langfristig zum besten Ergebnis führt. | Menschen legen die '''Spielregeln''' fest. Sie definieren, wofür die KI Punkte erhält und wofür nicht. | Robotik, autonome Fahrzeuge, Spiel-KI (z. B. Schach oder Go), Verkehrssteuerung | Ist die Belohnungsfunktion schlecht gewählt, optimiert die KI möglicherweise das Punktesystem statt das eigentliche Ziel (Reward Hacking). |} <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen --+ '''Ein Roboter soll laufen lernen:''' Niemand zeigt ihm die richtige Bewegung. Stattdessen erhält er Rückmeldungen über den Erfolg seines Handelns, z. B.: Umgefallen → −100 Punkte; einen Schritt geschafft → +10 Punkte; zehn Schritte geschafft → +100 Punkte. Durch viele Wiederholungen entwickelt der Roboter schrittweise eine erfolgreiche Laufstrategie. +-- '''Eine KI soll Spam-E-Mails erkennen:''' Menschen haben zuvor Millionen E-Mails als '''„Spam“''' oder '''„kein Spam“''' gekennzeichnet. Aus diesen Beispielen lernt die KI, typische Merkmale von Spam zu erkennen. -+- '''Ein Supermarkt besitzt Millionen Einkaufsdaten:''' Die KI weiss nicht, wer Familien, Studierende oder Seniorinnen und Senioren sind. Sie erkennt lediglich, dass bestimmte Kundinnen und Kunden ein ähnliches Kaufverhalten haben, und bildet daraus Gruppen. Erst anschließend interpretieren Menschen diese Gruppen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Der Mensch ist die '''Lehrperson'''. Er kennt die richtige Lösung und stellt sie der KI zur Verfügung. -+- Der Mensch ist '''Beobachter und Interpret'''. Er bewertet die von der KI gefundenen Muster. --+ Der Mensch ist '''Trainer oder Spieldesigner'''. Er legt Ziele sowie Belohnungen und Strafen fest. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen -+- Die KI entdeckt selbst Muster in den Daten. +-- Die KI lernt aus Beispielen mit bekannten Lösungen. --+ Die KI entwickelt durch Versuch und Irrtum eine erfolgreiche Strategie. </quiz> <quiz display="simple"> { Kaufleute entwickeln in der Regel keine KI-Systeme. Sie nutzen, beschaffen, beurteilen oder überwachen sie. Deshalb sollten sie verstehen, '''wie''' eine KI zu ihren Ergebnissen gelangt und '''welche Grenzen''' sie hat. Warum ist die Unterscheidung der drei Lernarten für Kaufleute wichtig? Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes Lernen | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Kaufleute arbeiten häufig mit KI-Systemen, die Entscheidungen auf der Grundlage früherer Beispiele treffen, z. B. bei Spamfiltern, Bonitätsprüfungen oder der Dokumentenklassifikation. Sie sollten wissen, dass die Qualität solcher Systeme von den Trainingsdaten abhängt. -+- Unternehmen nutzen diese Lernart, um Kundengruppen zu erkennen, Verkaufsdaten auszuwerten oder ungewöhnliche Geschäftsvorfälle zu entdecken. Kaufleute müssen die Ergebnisse kritisch interpretieren und dürfen erkannte Muster nicht automatisch als Tatsachen ansehen. --+ Diese Lernart wird eingesetzt, um Prozesse zu optimieren, z. B. in der Lagerlogistik, Produktionsplanung oder Verkehrssteuerung. Kaufleute sollten verstehen, dass das Verhalten einer KI von den vorgegebenen Zielen und Anreizsystemen abhängt. </quiz> == Bekannte KI-Produkte und Lernarten == {| class="wikitable" ! Produkt / Marke ! Typische Nutzung im Alltag ! Am ehesten verbunden mit ! Warum? |- | '''[[:w:ChatGPT|ChatGPT]]''' | Texte schreiben, Fragen beantworten, zusammenfassen | '''Überwachtes Lernen''' + '''bestärkendes Lernen''' | Sprachmodelle lernen zunächst aus sehr vielen Textbeispielen. Danach werden sie oft durch menschliches Feedback verbessert, z. B. indem Menschen Antworten bewerten. OpenAI nennt dafür RLHF, also Reinforcement Learning from Human Feedback. |- | '''[[:w:Microsoft Copilot|Microsoft Copilot]]''' | KI-Hilfe in Word, Excel, Outlook, Teams, PowerPoint | '''Überwachtes Lernen''' + große Sprachmodelle | Copilot hilft beim Schreiben, Zusammenfassen und Analysieren von Arbeitsdaten. Es nutzt Sprachmodelle und wird in Microsoft-365-Arbeitsabläufe eingebettet. |- | '''[[:w:Siri (Software)|Siri]]''' | Sprachassistent auf iPhone, iPad, Mac | '''Überwachtes Lernen''' | Siri muss Sprache erkennen: Welche Geräusche entsprechen welchen Wörtern? Dafür werden Modelle mit Beispielen trainiert. Apple beschreibt etwa „Hey Siri“ als Spracherkennung mit neuronalen Netzen. |- | '''[[:w:Amazon Alexa|Alexa]]''' | Sprachassistent von Amazon | '''Überwachtes Lernen''' | Auch Alexa muss Sprache erkennen und Befehle zuordnen: Musik spielen, Timer stellen, Licht steuern. Dafür braucht es viele Beispiele von Sprache und passenden Absichten. |- | '''[[:w:Google Assistant|Google Assistant]] / [[:w:Gemini (Sprachmodell)|Gemini]]''' | Suchen, Antworten, Schreiben, Smartphone-Hilfe | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Wie ChatGPT arbeitet Gemini mit großen Sprachmodellen. Solche Systeme werden mit Textdaten trainiert und häufig durch menschliche Bewertungen verbessert. |- | '''[[:w:DeepL|DeepL]]''' | Übersetzung von Texten | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus vielen Textpaaren: Satz auf Deutsch – passender Satz auf Englisch, Französisch usw. |- | '''[[:w:Grammarly|Grammarly]]''' | Rechtschreibung, Stil, Grammatik verbessern | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus Beispielen, welche Formulierung wahrscheinlich korrekt, klarer oder stilistisch besser ist. |- | '''[[:w:Netflix|Netflix]] / [[:w:Spotify|Spotify]] / YouTube-Empfehlungen''' | Vorschläge für Filme, Musik oder Videos | '''Unüberwachtes Lernen''' | Systeme erkennen Muster: Wer hört oder schaut Ähnliches? Welche Inhalte passen zusammen? Die Gruppen entstehen oft aus Nutzungsverhalten. |- | '''Amazon-Produktempfehlungen''' | „Kunden kauften auch …“ | '''Unüberwachtes Lernen''' | Das System sucht Ähnlichkeiten zwischen Produkten, Käufen und Kundengruppen. |- | '''[[:w:Google Maps|Google Maps]] / Navigationsoptimierung''' | Routen, Verkehr, Ankunftszeit | '''Überwachtes Lernen''' + Optimierung | Aus historischen Verkehrsdaten werden Fahrzeiten vorhergesagt. Für Routenentscheidungen kommen zusätzlich Optimierungsverfahren dazu. |- | '''[[:w:Staubsaugerroboter|Staubsaugerroboter]]''' | Wohnung reinigen, Hindernisse vermeiden | teils '''bestärkendes Lernen''' | In der Entwicklung kann ein Roboter durch Versuch und Irrtum lernen, welche Bewegungen oder Strategien gut funktionieren. Im fertigen Gerät laufen aber oft fest eingebaute Regeln und Sensorverfahren. |- | '''[[:w:Selbstfahrendes Kraftfahrzeug|Autonome Fahrzeuge]] / Fahrassistenzsysteme''' | Spur halten, Abstand halten, Hindernisse erkennen | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Bilderkennung, Schildererkennung und Objekterkennung sind oft überwacht trainiert. Fahrstrategien können zusätzlich in Simulationen durch Belohnungssysteme optimiert werden. |} [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] rnorx6jlny7ct1z9oh7uwngkhlh7ags 106 171908 1105718 2026-06-28T19:59:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105718 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik/31/Klausur|opt2=klausurlösung}} ncdb2iqa45atlf9mendjrjv0avxqrlc 106 171909 1105719 2026-06-28T19:59:42Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105719 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik/32/Klausur|opt2=klausurlösung}} 6tz641wqnv9di4mdso8tjiegqtab7u4 106 171910 1105720 2026-06-28T20:00:05Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105720 wikitext text/x-wiki {{:Kurs:Diskrete Mathematik/33/Klausur|opt2=klausurlösung}} rc3ddiykfahi9yri04sgb6ka0t6dy3l 106 171911 1105721 2026-06-28T20:00:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die 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|Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 67kdy8dddivw2sya3v4ln44w7uc9kr3 0 171917 1105727 2026-06-28T20:03:24Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105727 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe|opt1=Lösung}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cep015eksj2tdvixfftmlv2bki183x1 0 171918 1105728 2026-06-28T20:06:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105728 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe|opt1=Lösung|}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 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Eingabe an eine KI) besteht aus klaren, konkreten und zielgerichteten Informationen. Je besser formuliert wird, ''was'' gewünscht ist und ''wie'', desto besser ist das Ergebnis. == Ziel / Aufgabe klar benennen == Direkt sagen, was verlangt wird. ; Schlecht: : Erklär mir KI ; Gut: : Erkläre mir die wichtigsten Begriffe der KI einfach für Anfänger auf Deutsch == Kontext geben == Erklären, warum etwas gebraucht wird und für wen. ; Beispiel: : Ich bin Lehrer und brauche eine einfache Erklärung für Schüler auf Niveau A2 == Format festlegen == Festlegen, wie die Antwort aussehen soll. * Liste * Tabelle * Fliesstext * Stichpunkte * Beispiel + Erklärung ; Beispiel: : Gib mir 5 Stichpunkte mit je einem Beispiel == Stil definieren == Bestimmen, wie die Antwort klingen soll. * einfach / komplex * sachlich / locker * kurz / ausführlich ; Beispiel: : Schreibe in sehr einfacher Sprache (A1-Niveau) == Einschränkungen setzen == Festlegen, was vermieden werden soll. ; Beispiel: : Keine Fachbegriffe verwenden : Maximal 100 Wörter == 6. Beispiele geben (optional, aber hilfreich) == Zeigen, was erwartet wird. ; Beispiel: : So in etwa: „KI ist wie ein Computer, der lernen kann…“ == Rolle vergeben (sehr effektiv) == Der KI eine Perspektive geben. ; Beispiel: : Du bist ein geduldiger Lehrer für Anfänger == Beispiel für einen sehr guten Prompt == <blockquote> Du bist ein Lehrer für Deutsch als Fremdsprache. Erkläre 5 wichtige KI-Begriffe (z. B. Algorithmus, Daten, Modell) für absolute Anfänger (A1). Verwende sehr einfache Sprache, kurze Sätze und konkrete Beispiele aus dem Alltag. Gib die Antwort als Stichpunktliste. </blockquote> == Kurzformel (Merksatz) == '''Ziel + Kontext + Format + Stil + Einschränkung + (optional: Rolle + Beispiel)''' [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] hrkec2kebyap16nk8yc0s9sj76ofugi 1105739 1105737 2026-06-29T06:04:52Z Paul Sutermeister 37610 1105739 wikitext text/x-wiki = Woraus besteht ein guter [[:w:Prompt-Engineering|Prompt]] = Ein guter Prompt (also eine gute Eingabe an eine KI) besteht aus klaren, konkreten und zielgerichteten Informationen. Je besser formuliert wird, ''was'' gewünscht ist und ''wie'', desto besser ist das Ergebnis. == Ziel / Aufgabe klar benennen == Direkt sagen, was verlangt wird. ; Schlecht: : Erklär mir KI ; Gut: : Erkläre mir die wichtigsten Begriffe der KI einfach für Anfänger auf Deutsch == Kontext geben == Erklären, warum etwas gebraucht wird und für wen. ; Beispiel: : Ich bin Lehrer und brauche eine einfache Erklärung für Schüler auf Niveau A2 == Format festlegen == Festlegen, wie die Antwort aussehen soll. * Liste * Tabelle * Fliesstext * Stichpunkte * Beispiel + Erklärung ; Beispiel: : Gib mir 5 Stichpunkte mit je einem Beispiel == Stil definieren == Bestimmen, wie die Antwort klingen soll. * einfach / komplex * sachlich / locker * kurz / ausführlich ; Beispiel: : Schreibe in sehr einfacher Sprache (A1-Niveau) == Einschränkungen setzen == Festlegen, was vermieden werden soll. ; Beispiel: : Keine Fachbegriffe verwenden : Maximal 100 Wörter == 6. Beispiele geben (optional, aber hilfreich) == Zeigen, was erwartet wird. ; Beispiel: : So in etwa: „KI ist wie ein Computer, der lernen kann…“ == Rolle vergeben (sehr effektiv) == Der KI eine Perspektive geben. ; Beispiel: : Du bist ein geduldiger Lehrer für Anfänger == Beispiel für einen sehr guten Prompt == <blockquote> Du bist ein Lehrer für Deutsch als Fremdsprache. Erkläre 5 wichtige KI-Begriffe (z. B. Algorithmus, Daten, Modell) für absolute Anfänger (A1). Verwende sehr einfache Sprache, kurze Sätze und konkrete Beispiele aus dem Alltag. Gib die Antwort als Stichpunktliste. </blockquote> == Kurzformel (Merksatz) == '''Ziel + Kontext + Format + Stil + Einschränkung + (optional: Rolle + Beispiel)''' = Praktisches = KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] 7lrobcbwwkq6twzi0vc7txxrbmeuayx 1105751 1105739 2026-06-29T07:08:50Z Paul Sutermeister 37610 1105751 wikitext text/x-wiki = Woraus besteht ein guter [[:w:Prompt-Engineering|Prompt]] = Ein guter Prompt (also eine gute Eingabe an eine KI) besteht aus klaren, konkreten und zielgerichteten Informationen. Je besser formuliert wird, ''was'' gewünscht ist und ''wie'', desto besser ist das Ergebnis. == Aufbau== * '''<big>Ziel / Aufgabe klar benennen</big>''': Direkt sagen, was verlangt wird. <small> ; Schlecht: : Erklär mir KI ; Gut: : Erkläre mir die wichtigsten Begriffe der KI einfach für Anfänger auf Deutsch </small> * '''<big>Kontext geben</big>''': Erklären, warum etwas gebraucht wird und für wen. <small> ; Beispiel: : Ich bin Lehrer und brauche eine einfache Erklärung für Schüler auf Niveau A2 </small> * '''<big>Format festlegen</big>''': Festlegen, wie die Antwort aussehen soll. <small> * Liste * Tabelle * Fliesstext * Stichpunkte * Beispiel + Erklärung ; Beispiel: : Gib mir 5 Stichpunkte mit je einem Beispiel </small> * '''<big>Stil definieren</big>''': Bestimmen, wie die Antwort klingen soll. <small> * einfach / komplex * sachlich / locker * kurz / ausführlich ; Beispiel: : Schreibe in sehr einfacher Sprache (A1-Niveau) </small> * '''<big>Einschränkungen setzen</big>''': Festlegen, was vermieden werden soll. <small> ; Beispiel: : Keine Fachbegriffe verwenden : Maximal 100 Wörter </small> * '''<big>Beispiele geben (optional, aber hilfreich)</big>''': Zeigen, was erwartet wird. <small> ; Beispiel: : So in etwa: „KI ist wie ein Computer, der lernen kann…“ </small> * '''<big>Rolle vergeben (sehr effektiv)</big>''': Der KI eine Perspektive geben. <small> ; Beispiel: : Du bist ein geduldiger Lehrer für Anfänger </small> == Beispiel für einen sehr guten Prompt == <blockquote> Du bist ein Lehrer für Deutsch als Fremdsprache. Erkläre 5 wichtige KI-Begriffe (z. B. Algorithmus, Daten, Modell) für absolute Anfänger (A1). Verwende sehr einfache Sprache, kurze Sätze und konkrete Beispiele aus dem Alltag. Gib die Antwort als Stichpunktliste. </blockquote> == Kurzformel (Merksatz) == '''Ziel + Kontext + Format + Stil + Einschränkung + (optional: Rolle + Beispiel)''' = Praktisches = KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] j7rqrv3cg5v9nuxliwjnw40p7wtiy4q 1105754 1105751 2026-06-29T08:01:30Z Paul Sutermeister 37610 1105754 wikitext text/x-wiki = Woraus besteht ein guter [[:w:Prompt-Engineering|Prompt]] = Ein guter Prompt (also eine gute Eingabe an eine KI) besteht aus klaren, konkreten und zielgerichteten Informationen. Je besser formuliert wird, ''was'' gewünscht ist und ''wie'', desto besser ist das Ergebnis: * '''<big>Ziel / Aufgabe klar benennen</big>''': Direkt sagen, was verlangt wird. <small> Schlecht: Erklär mir KI Gut: Erkläre mir die wichtigsten Begriffe der KI einfach für Anfänger auf Deutsch </small> * '''<big>Kontext geben</big>''': Erklären, warum etwas gebraucht wird und für wen. <small> Beispiel: Ich bin Lehrer und brauche eine einfache Erklärung für Schüler auf Niveau A2 </small> * '''<big>Format festlegen</big>''': Festlegen, wie die Antwort aussehen soll. <small> * Liste * Tabelle * Fliesstext * Stichpunkte * Beispiel + Erklärung Beispiel: Gib mir 5 Stichpunkte mit je einem Beispiel </small> * '''<big>Stil definieren</big>''': Bestimmen, wie die Antwort klingen soll. <small> * einfach / komplex * sachlich / locker * kurz / ausführlich Beispiel: Schreibe in sehr einfacher Sprache (A1-Niveau) </small> * '''<big>Einschränkungen setzen</big>''': Festlegen, was vermieden werden soll. <small> Beispiel: Keine Fachbegriffe verwenden, maximal 100 Wörter </small> * '''<big>Beispiele geben (optional, aber hilfreich)</big>''': Zeigen, was erwartet wird. <small> Beispiel: So in etwa: „KI ist wie ein Computer, der lernen kann…“ </small> * '''<big>Rolle vergeben (sehr effektiv)</big>''': Der KI eine Perspektive geben. <small> Beispiel: Du bist ein geduldiger Lehrer für Anfänger </small> = Praktisches = KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] ewjxxnbffkvifsoudlf1wcip1alc41z 1105755 1105754 2026-06-29T08:04:57Z Paul Sutermeister 37610 /* Einstiegs-Übungen */ 1105755 wikitext text/x-wiki = Woraus besteht ein guter [[:w:Prompt-Engineering|Prompt]] = Ein guter Prompt (also eine gute Eingabe an eine KI) besteht aus klaren, konkreten und zielgerichteten Informationen. Je besser formuliert wird, ''was'' gewünscht ist und ''wie'', desto besser ist das Ergebnis: * '''<big>Ziel / Aufgabe klar benennen</big>''': Direkt sagen, was verlangt wird. <small> Schlecht: Erklär mir KI Gut: Erkläre mir die wichtigsten Begriffe der KI einfach für Anfänger auf Deutsch </small> * '''<big>Kontext geben</big>''': Erklären, warum etwas gebraucht wird und für wen. <small> Beispiel: Ich bin Lehrer und brauche eine einfache Erklärung für Schüler auf Niveau A2 </small> * '''<big>Format festlegen</big>''': Festlegen, wie die Antwort aussehen soll. <small> * Liste * Tabelle * Fliesstext * Stichpunkte * Beispiel + Erklärung Beispiel: Gib mir 5 Stichpunkte mit je einem Beispiel </small> * '''<big>Stil definieren</big>''': Bestimmen, wie die Antwort klingen soll. <small> * einfach / komplex * sachlich / locker * kurz / ausführlich Beispiel: Schreibe in sehr einfacher Sprache (A1-Niveau) </small> * '''<big>Einschränkungen setzen</big>''': Festlegen, was vermieden werden soll. <small> Beispiel: Keine Fachbegriffe verwenden, maximal 100 Wörter </small> * '''<big>Beispiele geben (optional, aber hilfreich)</big>''': Zeigen, was erwartet wird. <small> Beispiel: So in etwa: „KI ist wie ein Computer, der lernen kann…“ </small> * '''<big>Rolle vergeben (sehr effektiv)</big>''': Der KI eine Perspektive geben. <small> Beispiel: Du bist ein geduldiger Lehrer für Anfänger </small> = Praktisches = KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 3: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können: lunaai.video, vidful.ai usw.. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] 4qcgai3vtsffn8ym0euy8hto1c18jmo 1 171924 1105763 2026-06-29T09:10:37Z Cookietogo97 35924 Neuer Abschnitt /* Kantenschreibweise */ 1105763 wikitext text/x-wiki == Kantenschreibweise == Hallo, gibt es einen bestimmten Grund, warum die Kante unter Punkt vier als Tupel und nicht als Menge oder der etablierten Kurzschreibweise geschrieben wird? Oder ist das ein Fehler, weil es um ungerichtete Graphen geht? MfG Lars [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 11:10, 29. Jun. 2026 (CEST) ig4y6kt0fr1nte54gt9nve9bd40bhij 1105779 1105763 2026-06-29T11:31:08Z Bocardodarapti 2041 1105779 wikitext text/x-wiki == Kantenschreibweise == Hallo, gibt es einen bestimmten Grund, warum die Kante unter Punkt vier als Tupel und nicht als Menge oder der etablierten Kurzschreibweise geschrieben wird? Oder ist das ein Fehler, weil es um ungerichtete Graphen geht? MfG Lars [[Benutzer:Cookietogo97|Cookietogo97]] ([[Benutzer Diskussion:Cookietogo97|Diskussion]]) 11:10, 29. Jun. 2026 (CEST) geändert, da gibt es eigentlich keinen Grund für.[[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:31, 29. Jun. 2026 (CEST) gsg7eblz3pj6usc7t4t6jzp9kkian54