Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 117134 1105784 1093157 2026-06-29T18:21:28Z Λυκας 38324 1105784 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2) ist klar, da bei einen geschlossenen Eulerzug jeder Knotenpunkt genau so oft besucht wie verlassen wird. {{parskip|}} Von (2) nach (3). Wir führen Induktion über die Anzahl der Kanten. Da der Graph zusammenhängend ist, handelt es sich um einen isolierten Punkt oder aber jeder Knoten besitzt einen Grad von zumindest {{math|term= 2 |SZ=.}} Deshalb muss es in {{math|term= G |SZ=}} einen {{ Definitionslink |Kreis| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} geben. Man kann ja in einem beliebigen Punkt starten und von diesem Punkt ausgehend nach und nach einen Kantenzug konstruieren. Wenn der Kantenzug in einen Punkt hineingeht, so kann man den Kantenzug fortsetzen, da zumindest zwei Kanten in dem Punkt zusammenlaufen. Wenn erstmal ein schon erreichter Punkt erneut auftaucht, ist der Kreis fertig, die {{Anführung|Vorperiode}} kann man außer Acht lassen. Es seien {{math|term= F |SZ=}} die Kanten des Kreises und wir betrachten den neuen Graphen {{ Relationskette |G' || (V, E \setminus F) || || || |SZ=. }} Wenn ein Punkt aus {{math|term= V |SZ=}} zu einer Kante aus {{math|term= F |SZ=}} inzident ist, so reduziert sich der Grad in diesem Knoten um {{math|term= 2 |SZ=,}} da ja jeder Punkt in einem Kreis inzident zu zwei Kanten ist. Wenn ein Punkt im Kreis nicht aufgerufen wird, so ändert sich der Grad nicht. In jedem Fall besitzt in {{math|term= G'|SZ=}} jeder Punkt wieder einen geraden Grad. Der neue Graph muss nicht mehr zusammenhängend sein, allerdings erfüllen die einzelnen {{ Definitionslink |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= G'|SZ=}} wieder die Voraussetzung, dass sämtliche Grade gerade sind. Nach Induktionsvoraussetzung besitzen die Zusammenhangskomponenten jeweils eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen. Also besitzt {{math|term= G'|SZ=}} eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen und zusammen mit {{math|term= K |SZ=}} ergibt sich eine Darstellung von {{math|term= G |SZ=}} als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen. {{parskip|}} Von (3) nach (1). Es seien {{ Relationskette |K_j || (V_j,E_j) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |j | \in | J || || || |SZ=, }} die beteiligten kantendisjunkten Kreise, die {{math|term= G |SZ=}} überdecken. Wir konstruieren induktiv Kantenzüge, die für zunehmend größere Vereinigungen dieser Kreise einen Eulerzug darstellen. Einen einzelnen Kreis kann man unmittelbar als einen Eulerzug für diesen Kreis auffassen. Es sei nun vorausgesetzt, dass man {{math|term= s |SZ=}} Kreise, die wir als {{math|term= K_1 {{kommadots|}} K_s |SZ=}} durchnummerieren, derart gefunden hat, dass es einen Eulerzug für {{ Relationskette/display | G_s || \bigcup_{j {{=}} 1}^s K_j || || || |SZ= }} gibt. Bei {{ Relationskette | s | < | r || || || |SZ= }} gibt es aufgrund des Zusammenhangs des Graphen einen weiteren Kreis, den wir {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} nennen, der einen gemeinsamen Knotenpunkt mit {{math|term= G_s |SZ=}} hat, sagen wir {{math|term= u |SZ=.}} Dann erhält man aus dem Eulerzug für {{math|term= G_s|SZ=}} einen Eulerzug für {{ Relationskette | G_{s+1} || G_{s} \cup K_{s+1} || || || |SZ=, }} indem man, wenn der Eulerzug den Punkt {{math|term= u |SZ=}} erreicht, in den Kreis {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} abbiegt, diesen einmal durchläuft und danach an der Stelle {{math|term= u |SZ=}} den alten Eulerzug fortsetzt. Da {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} kantendisjunkt zu {{math|term= G_s |SZ=}} ist, entsteht dabei wieder ein Eulerzug. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} noib8i3wq0ig8cxye06hkn0m9ydz2kt 0 117207 1105783 1100717 2026-06-29T18:21:02Z Λυκας 38324 1105783 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text={{bildskip|}} {{ inputbild |Butterfly graph|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Butterfly_graph |Text= |Autor= |Benutzer=KoKo90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Das im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebene Verfahren, um, falls die Gradbedingung erfüllt ist, einen geschlossenen eulerschen Kantenzug über die kantendisjunkten Kreise zu finden, ist grundsätzlich konstruktiv. Man nennt das Verfahren den {{Stichwort|Algorithmus von Hierholzer|SZ=.}} Bei einem Knotenpunkt vom Grad {{math|term= 2 |SZ=}} ist der Kantendurchlauf für einen Eulerzug bis auf die Orientierung vorgegeben. Man kann aber im Allgemeinen bei einem Knotenpunkt mit einem Grad {{math|term= >2 |SZ=}} nicht frei vorgeben, in welcher Reihenfolge die in dem Punkt zusammenlaufenden Kanten hintereinander gelegt werden. Im {{Stichwort|Schmetterlingsgraphen|msw=Schmetterlingsgraph|SZ=}} können in einem Eulerzug die beiden rechten Kanten, die am Kreuzungspunkt anliegen, nicht direkt aufeinander folgen, da sonst der rechten Kreis geschlossen wird. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der eulerschen Kantenzüge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qhv3chkvwoy1l7pd01y0yj99l2tkx3u 0 122429 1105787 1096888 2026-06-29T20:02:17Z Λυκας 38324 1105787 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{ Faktlink |Präwort=im|Satz von Ore|Faktseitenname= Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt |Nr= |SZ= }} die Bedingung {{ Relationskette | {{op:Anzahl| V |}} | \geq | 3 || || || |SZ= }} notwendig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hamiltonkreise |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kyz13h419bn8u5882h0570utm4uh212 0 122901 1105785 647040 2026-06-29T20:00:07Z Λυκας 38324 1105785 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wenn ein Graph {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} auf {{math|term= n |SZ=}} Knoten hamiltonsch ist, besitzt er einen Kreis der Länge {{math|term= n |SZ=}}. Einen längeren Kreis kann es nicht geben, da sonst gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche_Menge/Schubfachprinzip/Fakt |Nr= |SZ= }} Knoten mehrfach getroffen werden würden. Also ist der Umfang des Graphen {{math|term= n |SZ=}}. Wenn umgekehrt der Umfang des Graphen {{math|term= n |SZ=}} beträgt, gibt es einen Kreis der Länge {{math|term= n |SZ=}} in {{math|term= G |SZ=.}} Da die Knoten in ihm paarweise verschieden sind, muss der Kreis bereits alle Knoten aus {{math|term= V |SZ=}} abdecken. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ooxrw50lrni5ung3frfonqotyeengs9 1105786 1105785 2026-06-29T20:01:00Z Λυκας 38324 1105786 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wenn ein Graph {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} auf {{math|term= n |SZ=}} Knoten hamiltonsch ist, besitzt er einen Kreis der Länge {{math|term= n |SZ=}}. Einen längeren Kreis kann es nicht geben, da sonst gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche_Menge/Schubfachprinzip/Fakt |Nr= |SZ= }} Knoten mehrfach getroffen werden würden. Also ist der Umfang des Graphen {{math|term= n |SZ=}}. Wenn umgekehrt der Umfang des Graphen {{math|term= n |SZ=}} beträgt, gibt es einen Kreis der Länge {{math|term= n |SZ=}} in {{math|term= G |SZ=.}} Da die Knoten in ihm paarweise verschieden sind, muss der Kreis bereits alle Knoten aus {{math|term= V |SZ=}} abdecken, also ein Hamiltonkreis sein. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7iact4lluvhh9z3dra160nu4fhx3a8x 106 152475 1105789 1105777 2026-06-30T06:22:03Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1105789 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe für Studierende === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: <math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sseei == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5ktluwef2rt2x5dxbgudcm2fe6f4llz 1105790 1105789 2026-06-30T06:23:35Z Bert Niehaus 20843 /* Nutzung des Energiespeichers */ 1105790 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe für Studierende === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: <math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher bedardsdeckend. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2oqjy9ozfnmperial6ovu39fsx3s5hp 1105791 1105790 2026-06-30T06:24:24Z Bert Niehaus 20843 /* Nutzung des Energiespeichers */ 1105791 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe für Studierende === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: <math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher bedardsdeckend. Die Speichernutzung wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] m8db33k2t1v5feuvtd25ad4wx768yjw 1105792 1105791 2026-06-30T06:33:44Z Bert Niehaus 20843 /* Nutzung des Energiespeichers */ 1105792 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe für Studierende === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: <math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Aufgabe 1 - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Was Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math> :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] buyre70bbxiq6xwisqk4d69iyq9zmn6 1105793 1105792 2026-06-30T06:34:50Z Bert Niehaus 20843 /* Beschränkte Speicherkapazität */ 1105793 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe für Studierende === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: <math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Aufgabe 1 - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qakp9xab213r19sk38t04o63bpxafl6 1105794 1105793 2026-06-30T06:36:17Z Bert Niehaus 20843 /* Beschränkte Speicherkapazität */ 1105794 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser einfacher Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe für Studierende === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: <math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Aufgabe 1 - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 2 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3fb5hzpg0em9vkx9tvuxi2sh2gybgx2 1105795 1105794 2026-06-30T06:37:31Z Bert Niehaus 20843 /* Orthogonale Funktion - Speicherung */ 1105795 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe für Studierende === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: <math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Aufgabe 1 - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 2 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 33x6jb7rn7da7ltd2qus9cjdyy0chpn 1105796 1105795 2026-06-30T06:40:51Z Bert Niehaus 20843 /* Beschreibung der Akkuladung */ 1105796 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe für Studierende === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> === Aufgabe 1 - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 2 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] toferxry586dbd0gs78su9q6nns55ed 1105797 1105796 2026-06-30T06:41:16Z Bert Niehaus 20843 /* Nutzung des Energiespeichers */ 1105797 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe für Studierende === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 1 - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 2 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2venf4zh4ubc4glvkn08s2hjw86pdg8 1105798 1105797 2026-06-30T06:42:14Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 - Beschränkte Speicherkapazität */ 1105798 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe für Studierende === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 1 - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 2 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] lothpbr5hfoqlmq69bscb4pdxfs7ni1 1105799 1105798 2026-06-30T06:43:23Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1105799 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 1 - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 2 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sned5kt772b2cmh2xelzicfey5ybf53 1105800 1105799 2026-06-30T06:43:44Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 1 - Kritische Versorgung */ 1105800 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 2 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mz9rl06qd6ink13vwm11fmh5bv59ste 1105801 1105800 2026-06-30T06:43:56Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 2 - Beschränkte Speicherkapazität */ 1105801 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, 7 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 394b37863gnnnlbimpk9ah727dzfx0e 1105802 1105801 2026-06-30T08:04:26Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme */ 1105802 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1</math> und <math>g_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] e3v23jdv5efpu1k07128qbbae5ban01 1105803 1105802 2026-06-30T08:05:55Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme */ 1105803 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme <math>g_1</math> und <math>g_2</math> in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1(x)=m_1x+b_1</math> und <math>g_2=m_2x+b_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jn0aibaqlemutt08g6lam8fvnn6328e 1105804 1105803 2026-06-30T08:06:09Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme */ 1105804 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme <math>g_1</math> und <math>g_2</math> in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1(x)=m_1x+b_1</math> und <math>g_2(x)=m_2x+b_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4m2818gtm6lcf2wyiuwfu5gm42dsd1l 1105805 1105804 2026-06-30T08:32:35Z Bert Niehaus 20843 /* Beschreibung der Akkuladung */ 1105805 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_\alpha := \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha } = \sqrt{\int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_\alpha </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math>f_0</math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! Zeigen Sie diese Eigenschaft über die durch <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> definierten [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit ::<math>\| f \|_\alpha = \sqrt{\langle f , f \rangle_\alpha}</math> <span id="unvollstaendig"></span> == Funktionenraum - nicht vollständig == Jede [[Konvergenz (Mathematik)|konvergente Folge]] in einem [[topologischer Vektorraum|topologischen Vektorraum]] ist auch eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]]. In dem folgenden Beispiel wird der Funktionenraum <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der stetigen Funktionen auf <math>\mathbb{R}</math>. Dabei wird eine Funktionefolge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}\in V_1^\mathbb{N}</math> betrachtet, die keinen Grenzwert in <math>V_1</math>, weil die die Grenzfunktion <math>f_0</math> nicht mehr stetig ist. === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Funktionsterme <math>g_1</math> und <math>g_2</math> in der folgenden abschnittsweise definierten Funktion <math>f_n</math>! Dabei ist in diesem Fall <math>[a,b]:=[-4,7]</math> gewählt worden. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ g_1(x) & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ g_2(x) & \mbox{ für } & x \in \left]4,4+\frac{3}{n} \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von <math>g_1(x)=m_1x+b_1</math> und <math>g_2(x)=m_2x+b_2</math>! === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_\alpha </math> für alle <math> \alpha \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal bzw. semiorthogornal bzgl. <math>\langle\cdot , \cdot \rangle_\alpha</math> in <math>V</math> (Bezeichnung: <math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * orthogonal (<math>x \bot y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel - Orthogonalität === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>\alpha\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x.</math> Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 1 - Orthogonalität ==== Zeigen Sie, dass die beiden Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> bzgl. des Systems von Semiskalarprodukten <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> orthogonal zueinander sind. Wählen Sie dazu ein beliebiges [[Semiskalarprodukt]] <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha</math> mit <math>\alpha\in\mathbb{N}</math> und weisen Sie die folgende Gleichung nach: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x = 0</math> <span id="Semihilbert-Stetigkeitssatz"></span> == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! <span id="Buchstabenerkennung"></span> === Aufgabe 5 - Buchstabenerkennung === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] <span id="Nachhaltigkeit"></span> == Nachhaltigkeit und Semi-Skalarprodukte == In diesem Beispiel wird ein Teilaspekt von Nachhaltigkeit im Kontext von Semiskalarprodukten betrachtet. Man betrachtet wieder den Funktionenraum der stetigen Funktionen von <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math>, wobei der Definitionsbereich der Funktion die Zeitachse darstellt. === Semantik der Funktionen === Um den Bezug zu den [https://unric.org/de/17ziele/ 17 Nachhaltigkeitszielen] herzustellen, wird nun die Semantik von zwei Funktionen <math>g</math> und <math>f</math> zunächst betrachtet, die unterschiedlich sind: * '''r(t)''' Verfügbarkeit von regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> * '''a(t)''' Anteil der Versorgungsbilanz in Bezug zur verfügbaren Leistung <math>r(t)</math> an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> === Verfügbarkeit von regenerativer Energie === Die Funktion <math>r:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, die verfügbare regenerativer Energie (z.B. aus elektrischer Energie durch Windkraft und Solarenergie). Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist der Zeitpunkt und <math>r(t)</math> liefert den zugehörige Leistung zum Zeitpunkt <math>t</math>. Die Funktion <math>r(t)</math> verändert den Wert über die Zeit (z.B. Dunkelheit, Wolken, Flaute,...) ==== Keine regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)=0}</math>:''' Wenn <math>r(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Regenerative Energieversorgung ==== '''<math>\mathbf{r(t)>0}</math>:''' Die Funktion <math>r(t)</math> gibt die Leistung an regenerativer Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> an. ==== Energiebedarf der regenerativen Infrastruktur ==== '''<math>\mathbf{r(t)<0}</math>:''' Ist die Funktion <math>r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> negativ, dann braucht die Infrastruktur der regenerative Energieversorgung mehr Strom als diese (z.B. durch Wind und Sonne) produziert. Dies kann der Fall sein, wenn z.B. Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter für den Flugverkehr weiter mit Strom versorgt werden müssen, obwohl totale Windstille ist. In solchen Fällen kann <math>r(t) < 0</math> sein. Für die weitere Berechnung werden diese Verbraucher zum allgemeinen Energiebedarf gerechnet und es wird <math>r(t)\geq 0</math> angenommen: === Anteil - notwendiger Energieversorgung === Die Funktion <math>a:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> beschreibt anteilig die Versorgungsbilanz im Vergleich zur verfügbaren elektrische Energie durch Windkraft und Solarenergie. Das Argument <math>t\in \mathbb{R}</math> der Funktionen ist wieder der Zeitpunkt <math>t</math>. Dabei werden z.B. auch die Steuerungssystem für Windkraftanalagen und deren Positionslichter mit in diesen Anteil eingerechnet und verändert so den notwendig Anteil der Energieversorgung. Daber betrachtet man die folgenden Fälle. ==== Ausgeglichene Energiebilanz ==== '''a(t)=0:''' Wenn <math>a(t)=0</math> deckt die notwendige Leistung über regenerative Energie zum Zeitpunkt <math>t</math> exakt ab. ==== Versorgungsüberschuss ==== '''a(t)> 0:''' Die Funktion <math>a</math> (z.B. <math>a(t)=0,50 > 0</math>) besagt, dass mehr regenerative Energie erzeugt wurde, als benötigt wurde (z.B. 50% mehr Leistung als erforderlich) ==== Versorgungsdefizit ==== '''a(t)< 0:''' Die Funktion <math>a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> (z.B. <math>a(t)=-2 < 0</math>) besagt, dass bezogen auf die verfügbare regenerative Energie ein Versorgungsdefizit vorhanden ist (z.B. mit <math>a(t)=-2</math> wird doppelt so viel Energie benötigt wie verfügbar ist). === Produkt der Funktionen === Das Produkt <math>a\cdot r</math> zeigt mit <math>a(t)\cdot r(t)</math> zum Zeitpunkt <math>t</math> die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Leistung für eine bedarfsdeckende Energieversorgung an (z.B. zum Betrieb von elektrischen Endgeräten). ==== Veranschaulichung der Funktionsgraphen ==== Der folgende Graph zeigt den Plot der Graphen von 3 Beispielfunktionen (keine echte Daten als Grundlage): * <math>\mathbf{r(t)}</math> (blau) Leistung der der regenerativen Energieversorgung (<math>y</math>-Achse) zum Zeitpunkt <math>t</math> auf der <math>x</math>-Achse. * <math>\mathbf{a(t)}</math> (rot) Anteil der der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz zwischen verfügbarer regenerativer Energie und notwendiger Energie zum Zeitpunkt <math>t</math>. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün) die Energiebilanz zwischen verfügbaren regenerativer Leistung und notwendiger bedarfsdeckender Leistung. ==== 2D-Plot der Graphen ==== Der folgende Plot wurde mit [[Maxima CAS]] erstellt: [[File:Semi scalar product sustainability example 2026.png|350px|center|Semi scalar product application on sustainability - created with Open Source CAS - wxMaxima and exported to PNG]] ==== Bemerkung zu Wahl der Funktionen ==== Da die Funktionen keine echte Daten als Grundlage haben, würden diese algebraisch definiert: * <math>\mathbf{r(t)}=\tfrac{t^3}{10}+t^2-t</math> (blau) ist als Polynom gewählt worden, damit die Funktion im Plotbereich i.d.R. positiv ist und bei Flaute und Dunkelheit zwischen für <math>t\in [10,12]</math> mehr Strom verbraucht als geliefert wird. * <math>\mathbf{a(t)}=cos(t)+\tfrac{1}{3}</math> (rot) wurde als Anteil der regenerativen Energieversorgung in Bezug auf die Energiebilanz so gewählt, dass diese sowohl positiv als auch negativ wird und zum Zeitpunkt <math>t</math> so Phasen vorliegen, in denen mehr Energie zur Verfügung steht als gebraucht wird und auch Phasen mit Versorgungslücken entstehen. * <math>\mathbf{b(t)}=r(t)\cdot a(t)</math> (grün). Wenn die Energiebilanz negativ ist, gibt dies an, wie viel Leistung mehr benötigt wird, um zusätzlich zur regenerativen Energieversorgung eine bedarfsdeckend ist die Versorgung zu haben. An den Nullstellen von <math>r(t)\cdot a(t)</math> ist die regenerative Energieversorgung bedarfsdeckend. === Singularitäten bei Versorgungsnullstellen === Wenn man davon ausgeht, dass es einen Zeitpunkt <math>t_0</math> geben kann, an dem in Dunkelheit und Windstille weder Sonnenenergie noch Windenergie zur Verfügung steht <math>r(t_0)=0</math> und immer ein Energiebedarf <math>\not= 0</math> vorliegt, dann hat die Funktion <math>a(t_0)=+\infty</math> zu dem Zeitpunkt <math>t_0</math> eine Singularität (siehe [[meromorphe Funktion]]). === Semiskalarprodukt als Versorgungsbilanz im Zeitfenster === In den obigen abstrakten Beispielen wurde das Skalarprodukt wie folgt definiert. :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_\alpha = \int_{-\alpha}^{+\alpha} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x </math> Für die Anpassung an das Beispiel Nachhaltigkeit passt man nun die Semiskalarprodukt von der Notation wie folgt an: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t </math> == Orthogonale Funktionen - Bedarfsdeckung == Mit der obigen Semantik für die Funktionen erhält man mit <math>r(t)\geq 0</math> und <math>t\in[t_1,t_2]</math> für :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} r(t)\cdot a(t) \,{\rm d}t = 0\, ,</math> dass in den Zeitfenster <math>[t_1,t_2]</math> , die Energiebilanz insgesamt ausgeglichen ist. D.h., dass in Zeiten einer Überversorgung mit <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) > 0 </math> so viel Energie zur Verfügung stand, wie in den Zeiten der Unterversorgung <math>b(t):=r(t)\cdot a(t) < 0 </math> zusätzlich benötigt wurde. === Orthogonale Funktion - Speicherung === Die obige Energiebilanz setzt in dieser vereinfachten Darstellung voraus, dass eine verlustfreier Speicherung elektrischer Energie möglich ist. Dieses ist in der Praxis nicht der Fall, denn ein Teil der Energie wird bei der Speicherung in Wärme umgewandelt. Daher wird in den folgenden Schritten die Speicherung der Energie mit in die algebraische Darstellung einbezogen. === Zerlegung in zwei Funktion === Zerlegen Sie die Bilanzfunktion <math>b(t)</math> in zwei Funktionen <math>b^{+},b^{-}</math>, die beide nicht negativ sind und für die die Eigenschaft <math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t)</math> erfüllt. Da unter den Voraussetzungen <math>r(t)\geq 0</math> für alle <math>\in[t_1,t_2]</math> gilt, führt diese Zerlegung auch zu einer Zerlegung der Funktion <math>a(t)</math> in zwei Funktionen <math>a^{+},a^{-}</math>, für die dann gilt: :<math>b(t)= b^{+}(t)-b^{-}(t) = r(t) \cdot \big(a^{+}(t)-a^{-}(t)\big)</math> ==== Energiebilanz und Integrale ==== Für das [[Semiskalarprodukt]] gilt: :<math>\displaystyle \langle r,a \rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{r(t)\cdot a(t)}_{=b(t)} \,{\rm d}t = 0\, ,</math> mit: :<math> \int_{t_1}^{t_2} b(t)\,{\rm d}t = \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t - \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t </math> ==== Speichereffizienz ==== Angenommen, dass nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können. Nun wird man das Integral und die Anwendung des Semiskalarproduktes so verändern, damit das Integral genau dann 0 ist, wenn die auch die gespeicherte elektrische Energie in Zeiten der Unterversorgung bedarfsdeckend ist. ==== Speichereffizienz und Skalierung von Funktionen ==== Diese Bedarfsdeckung unter Berücksichtigung der Speichereffizienz wird wie folgt über Integrale darstellen: :<math> 0 = \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\tfrac{40}{100}}_{=\lambda} \cdot \underbrace{b^{+}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,\frac{40}{100} \cdot a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} - \underbrace{\int_{t_1}^{t_2} \underbrace{b^{-}(t)}_{\geq 0} {\rm d}t }_{=\left\langle r,a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}}} </math> Da in dem Beispiel nur 40% der eingesetzten elektrischen Energie gespeichert werden können, wird die Funktion <math>b^{+}</math> mit dem Faktor <math>\lambda = \tfrac{40}{100}</math> zu <math>\lambda\cdot b^{+}</math> skaliert, um die gespeicherte Energie darzustellen. ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 1 ==== Nun kann man die Orthogonalität wieder funktional als Bedarfsdeckung darstellen und man berücksichtigt die Verluste bei der Speicherung von elektrische Energie: :<math>\displaystyle \left\langle r,\tfrac{40}{100} \cdot a^{+} -a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} - \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> ==== Speichereffizienz und Semiskalarprodukt 2 ==== Durch elementare Umformung beschreibt die folgende Gleichung, dass bei 40% Effizienz elektrischer Speicher zwischen dem Zeitpunkt <math>t_1</math> und <math>t_2</math> die Energiebilanz ausgeglichen ist. :<math>\displaystyle \tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} = \ \ \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_1,t_2)}} </math> === Aufgabe 1 - Nachhaltigkeit === Wenn die obige Gleichung zeigt, das eine Energiebilanz zwischen dem Zeitpunkten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> ausgeglichen ist, aber die Energie in dem ersten Teilintervall benötigt wird und in dem zweiten Teilintervall regenerative Energie benötigt wird, kann ein Batteriespeicher in der ersten Phase die benötigte Energie nicht liefern, da der Batteriespeicher noch nicht geladen ist. Integrieren Sie den Ladezustand und die Ladekapazität in Ihre Überlegungen und stellen Sie die Bedarfsdeckung wieder über Funktionen dar! === Beschreibung der Akkuladung === Sei <math>t_0\in \mathbb{R}</math> der Zeitpunkt, an dem ein Energiespeicher leer ist. Zunächst sollte die Speicherkapazität als unbeschränkt gelten. Die folgende Funktion <math>L(t)</math>, die über Semiskalarprodukte definiert ist, beschreibt den Ladezustand zum Zeitpunkt <math>t</math>: :<math>\displaystyle L(t):=\tfrac{40}{100} \cdot \left\langle r, a^{+}\right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \tfrac{40}{100} \cdot \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{+}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Nutzung des Energiespeichers === Wenn die Energieversorgung mit regenerativer Energie den Bedarf nicht abdeckt, wird auf den Energiespeicher zugegriffen. Auch hier sei zunächst formal der Energiespeicher '''''unbeschränkt''''' und damit '''''bedardsdeckend'''''. Die Leistung aus dem Speicher <math>S(t)</math> bis zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> und Startzeitpunkt <math>t_0</math> wird ebenfalls durch ein [[Semiskalarprodukt]] beschrieben. :<math>\displaystyle S(t) = \left\langle r, a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot a^{-}(\zeta) \,{\rm d}\zeta </math> === Aufgabe 2 - Nachhaltigkeit - Kritische Versorgung === Wie kann man durch Funktionen <math>S</math> und <math>L</math> über die Semiskalarprodukte kritische Versorgungssituationen identifizieren? === Aufgabe 3 - Beschränkte Speicherkapazität === Wie kann man eine in Praxis gegebene beschränkte Versorgungskapazität in die Darstellung über Semiskalarprodukte einbauen? Welche Aussagen macht die folgende Funktion <math>F</math>, die zum Zeitpunkt <math>t\in\mathbb{R}</math> wie folgt definert ist: :<math>\displaystyle F(t) = \left\langle r, a^{+} - a^{-} \right\rangle_{_{(t_0,t)}} = \int_{t_0}^{t} r(\zeta)\cdot \big(a^{+}(\zeta)-a^{-}(\zeta)\big) \,{\rm d}\zeta </math> == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. === Aufgabe - Zahlungsempfänger mit 3 Buchstaben === Alle möglichen Zahlungsempfänger sollen durch eine Kürzel über 3 Buchstaben gekennzeichnet werden (z.B. KHW = Kinderhilfswerk). Die handschriftlichen Eintragungen der Nutzer:innen sind dabei unterschiedlich gut lesbar. * Vergeben Sie für jeden Buchstaben und der Berechnung eines Skalarproduktes eine Kennzahl zwischen 0 und 1, wie gut ein bestimmter Buchstabe erkannt wurde. * Vergeben Sie dann eine Gesamtbewertung zwischen 0 und 1 wie gut eine Zahlungsempfänger erkannt wurde. Möglichkeiten als Zahlungsempfänger sind KHW, KKW, AHA, XYZ. Die Bewertung soll für jedes der 4 Buchstabenkürzel für einen Empfänger erfolgen. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[meromorphe Funktion]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 35e3i6j30q7alg7ye76ke7dur56iq9z 106 171533 1105780 1105508 2026-06-29T13:15:13Z Björn Henrich 41518 1105780 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> (\rho,A,v)\mapsto P_\text{Wind}(\rho,A,v)=\frac{1}{2}\rho A v^3 </math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> v\mapsto P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nun hat die Funktion nur noch einen eindimensionalen Definitionsbereich und kann so auch in Sekundarstufe 2 behandelt werden. ===Ziele=== Ziel des Modellierungszyklus ist es, Schülerinnen und Schülern der Sekundarstufe II die Anwendung mathematischer Modelle auf eine realitätsnahe Fragestellung zu ermöglichen. Am Beispiel der optimalen Standortwahl einer Windkraftanlage wird ein außermathematisches Problem schrittweise vereinfacht, mathematisch beschrieben, analysiert und anschließend interpretiert. Dabei lernen die Schülerinnen und Schüler, relevante Größen und Zusammenhänge zu identifizieren, Annahmen zur Vereinfachung eines realen Problems zu treffen und diese kritisch zu bewerten. Durch die Untersuchung von Windgeschwindigkeit und Leistungsfähigkeit einer Windkraftanlage wird insbesondere der Modellierungskreislauf aus Realität – Mathematik – Interpretation – Realität durchlaufen. Außerdem erfolgt am Ende eine kritische Reflexion über die Vorgehensweise und eine mögliche Verbesserung der Modellierung. Der Schwerpunkt liegt auf dem funktionalen Denken, der Anwendung von Analysis zur Bestimmung von Extremwerten sowie der Interpretation mathematischer Ergebnisse im Sachkontext. Damit werden zentrale Kompetenzen des Mathematikunterrichts der Sekundarstufe II in Rheinland-Pfalz aufgegriffen ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek2]). Insbesondere die Leitidee L4 "Funktionaler Zusammenhang", die eine von fünf zentralen Leitideen der Mathematik in der Oberstufe darstellt, wird dabei unterstützend ausgebildet. ===Mathematischer Hintergrund=== Für die Modellierung in der Sekundarstufe II wird das Problem vereinfacht, indem die Luftdichte und die Rotorfläche als konstant angenommen werden. Dadurch entsteht eine Funktion mit eindimensionalen Definitionsbereich, die die Leistung in Abhängigkeit von der Windgeschwindigkeit beschreibt. Die Windgeschwindigkeit selbst wird mithilfe von Messwerten durch eine Funktion modelliert. Da die Daten keinen linearen Zusammenhang zeigen, wird eine polynomiale Regression durchgeführt. Dafür wird die Tabellenkalkulationsfunktion in GeoGebra Classic verwendet, mit der aus den eingegebenen Messpunkten eine approximierende Regressionsfunktion bestimmt und grafisch dargestellt werden kann. Anschließend wird mithilfe der Differentialrechnung das Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion bestimmt. Dazu werden Ableitungen gebildet, kritische Stellen untersucht und die Ergebnisse hinsichtlich Hoch- und Tiefpunkten interpretiert. Die Schülerinnen und Schüler wenden somit zentrale Inhalte der Analysis der Sekundarstufe II an: Funktionsuntersuchung, Ableitungen und Extremwertbestimmung. Die Regression geht teilweise schon über das Niveau von Sekundarstufe II hinaus, kann aber problemlos mit GeoGebra erarbeitet werden. Der Modellierungsprozess verbindet dabei mathematische Methoden mit einer technischen und gesellschaftlich relevanten Fragestellung aus dem Bereich erneuerbarer Energien. ==Umsetzung== ===Werte=== Im Zentrum unserer Analyse stehen nun zwei Variablen, die in untenstehender Tabelle erfasst sind. In der Statistik unterscheiden man dabei zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variable: Die unabhängige Variable (<math>x</math>) "Standorte in Deutschland": Diese Variable steht in der ersten Spalte der Tabelle. Sie repräsentiert die Eingangsgröße und steht für die geografische Breite entlang des Messkorridors. *Negative Werte (z. B. −15): Stehen für den Norden Deutschlands (Küstennähe). *Null (0): Repräsentiert die Mitte Deutschlands. *Positive Werte (z. B. +15): Stehen für den Süden Deutschlands (Alpenregion). Im Diagramm wird sie auf der horizontalen Achse (X-Achse) abgetragen. Die abhängige Variable (<math>y</math>) "Windgeschwindigkeit": Diese Variable steht in der zweiten Spalte. Sie ist die Messgröße, deren Veränderung wir untersuchen wollen. Wir gehen davon aus, dass die Windgeschwindigkeit vom Standort beeinflusst wird. Im Diagramm wird sie auf der vertikalen Achse (Y-Achse) abgetragen. Das Diagramm visualisiert die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen: *Die Datenpunkte (Graue Punkte): Jeder Punkt im Diagramm entspricht einer Zeile in der Tabelle. Er zeigt genau an, welche Windgeschwindigkeit an welchem Standort gemessen wurde. Man erkennt, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen, sondern eine wellenförmige Struktur bilden. *Die Regressionskurve (Rote Linie): Da die Punkte nicht linear angeordnet sind, würde eine einfache Regressionsgerade den Zusammenhang schlecht beschreiben. Stattdessen wurde hier eine polynomiale Regression berechnet. Die rote Linie ist die mathematische Funktion, die den Verlauf der Datenpunkte am besten annähert. Sie glättet die Messschwankungen und zeigt den allgemeinen Trend. Der Term für sie lautet: <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> <div style="display: flex; gap: 20px;"> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |} </div> <div> {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit (m/s) |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} </div> </div> [[File:Regressionskurve.png|thumb|400px|centre|Regresionskurve der Windgeschwindigkeit]] Durch dieses Modell kann nun auch das Maximum der Windgeschwindigkeit berechnet werden. Dies folgt im nächsten Schritt. ==Maximum der Windgeschwindigkeitsfunktion berechnen== Die Funktion <math>f(x) = -0.0013x^3 + 0.0155x^2 + 0.1433x + 6.037</math> beschreibt die Windgeschwindigkeit (in <math>\frac{m}{s}</math>) in Abhängigkeit von der Entfernung von der Küste (in <math>km</math>), wobei die Werte von -15 bis 15 den Regionen Deutschlands von Norden nach Süden zugeordnet werden. === 1. Schritt: Ableitung berechnen === Die Ableitung lautet: <math>f'(x) = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> === 2. Schritt: Nullstellen der Ableitung berechnen === <math> 0 = -0.0039x^2 + 0.031x + 0.1433</math> ==== ABC-Formel anwenden ==== Die ABC-Formel lautet: <math> x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} </math> mit: <math>a = -0.0039</math>, <math>b = 0.031</math>, <math>c = 0.1433</math> Diskriminante: <math> \Delta = b^2 - 4ac = (0.031)^2 - 4 \cdot (-0.0039) \cdot 0.1433 </math> <math> = 0.000961 + 0.002235 = 0.003196 </math> <math> \sqrt{\Delta} \approx \sqrt{0.003196} \approx 0.05653 </math> ==== Lösungen ====: <math> x_1 = \frac{-0.031 + 0.05653}{-0.0078} \approx -3.27 </math>, <math> x_2 = \frac{-0.031 - 0.05653}{-0.0078} \approx 11.22 </math> === 3. Interpretation der kritischen Punkte === Die zweite Ableitung ist: <math>f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = -0.0078x + 0.031</math> ==== Vorzeichen der zweiten Ableitung an den kritischen Stellen untersuchen ==== Wir setzen die beiden kritischen Punkte in <math>f''(x)</math> ein: * Bei <math>x_1 = -3.27</math>: <math> f''(-3.27) = -0.0078 \cdot (-3.27) + 0.031 = 0.0255 + 0.031 = 0.0565 > 0 </math> <math> \rightarrow </math> Positiv <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach oben gekrümmt <math> \rightarrow </math> Tiefpunkt '''(Minimum)''' * Bei <math>x_2 = 11.22</math>: <math> f''(11.22) = -0.0078 \cdot 11.22 + 0.031 = -0.0875 + 0.031 = -0.0565 < 0 </math> <math> \rightarrow </math> Negativ <math> \rightarrow </math> Der Graph ist nach unten gekrümmt <math> \rightarrow </math> Hochpunkt '''(Maximum)''' === 4.Berechnung der maximalen Leistung === Im Inland ist bei <math> x = 11{,}22</math> die Windgeschwindigkeit am höchsten. Setzen wir dieses <math>f(11{,}22) = 7{,}76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion, erhalten wir: <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (7{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 467{,}29 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}</math> Dies entspricht der maximalen zu erwartenden Leistung einer Windkraftanlage auf dem deutschen Festland. Über diese inhaltliche Bedeutung lässt sich das errechnete Ergebnis bzw. dessen Einheit in eine den Schülerinnen und Schülern geläufigere und greifbarere physikalische Einheit umschreiben: <math> 4{,}41 \cdot 10^6 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}}=4{,}41 \cdot 10^6\ W=4{,}41 \cdot 10^3\ kW</math> Wichtig für die Standortwahl der Windkraftanlagen ist allerdings auch die Analyse des Randmaximums, das im nächsten Abschnitt untersucht wird. ===5.Analyse des Randmaximums=== Von <math>x = -15</math> bis <math>x = -3</math> sinkt die Windgeschwindigkeit kontinuierlich. Es gibt also keine Stelle, an der die Funktion wieder ansteigt und dann fällt innerhalb dieses Intervalls. Mathematisch erkennt man das an der negativen Ableitung <math>f'(x)</math> im Intervall <math>[-15; -3]</math> folglich ist die Funktion in diesem Bereich monoton fallend. Da die Funktion im gesamten betrachteten Bereich (von -15 bis -3) keine innere Extremstelle besitzt, muss das globale Maximum am Rand des Intervalls liegen. Linker Rand: <math>x = -15 </math> → <math>y = 11{,}5 </math> Rechter Rand: <math>x = -3 </math> → <math>y = 5{,}2 </math> Da die Funktion innerhalb des Intervalls monoton fallend ist, liegt das Randmaximum am linken Rand des Intervalls, genauer gesagt bei <math>x = -15</math> === 6.Berechnung der maximalen Leistung=== Wenn man <math>f(-15)=11,76</math> als Variable <math>v</math> in unsere Leistungsfunktion <math> P_\text{Wind}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} </math> <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> einsetzt, erhält man: <math> P_\text{Wind}(v) = 9432{,}5\cdot (11{,}76\ \frac{m}{s})^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}= 9432{,}5\cdot 1626{,}38 \ \frac{\mathrm{kg \cdot m^2}}{\mathrm{s^3}} = 15{,}34 \cdot 10^6 \ W= 15{,}34 \cdot 10^3 \ kW</math> als maximale Leistung für eine Windkraftanlage vor der Küste Deutschlands. Dieser Wert übersteigt den maximalen Wert unseres Inland-Standortes. ===7.Fazit=== Über dem Meer (Offshore, <math>x < 0</math>) gibt es keine Hindernisse und die Luftreibung ist gering, weshalb die Windgeschwindigkeit dort am höchsten ist. Um dieses Maximum der Windgeschwindigkeit zu nutzen, sollten Windkraftanlagen (innerhalb technischer und ökologischer Grenzen), so weit wie möglich Offshore gebaut werden. == Diskussion / Grenzen des Modells == Im Anschluss an die Modellierung des Problems sowie die Auswertung hinsichtlich eines möglichen Anlagen-Standortes, ist es sinnvoll, das gewählte Vorgehen mit den Schülerinnen und Schülern zu reflektieren und kritisch zu Hinterfragen. Insbesondere könnte Unklarheit darüber herrschen, warum genau ein Polynom dritten Grades die Grundlage der Funktion bildet und nicht etwa Eines höheren oder sogar niedrigeren Grades. Das gewählte Regressionspolynom beschreibt schließlich zwar den ungefähren Verlauf der Datenpunkte, unterscheidet sich in einigen Punkten jedoch auch stark von den eingegebenen Daten. Betrachtet man hierzu die einzelnen Datenpunkte und verbindet diese gedanklich miteinander, wird deutlich, dass sich die Krümmung eines solchen gedachten Graphen mehrfach ändert. Manchmal sind diese Änderungen sehr gering, in anderen Fällen sind sie wesentlich deutlicher ausgeprägt. Dabei ist eine Krümmungsänderung von einer Links- in eine Rechtkrümmung in etwa der Mitte der Datenpunkte besonders deutlich. Anhand dieser Eigenschaft kann mit den Schülerinnen und Schülern erarbeitet werden, welche Auswirkungen dies auf die Wahl des Polynoms haben kann. Damit sich die Krümmung der Funktion selbst ändert, darf ihre zweite Ableitung nicht konstant, muss also mindestens ein Polynom ersten Grades sein. Dies wiederum lässt darauf schließen, dass die erste Ableitung mindestens ein Polynom zweiten und die Funktion selbst mindestens ein Polynom dritten Grades sein muss, was eine Erklärung für die gewählte polynominale Regression bietet. Dass eine quadratische Funktion die Datenpunkte nur unzureichend beschreibt, kann dabei schnell mit Hilfe von GeoGebra visualisiert werden: [[File:Regg2.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom zweiten Grades]] In umgekehrter Richtung besteht natürlich die Möglichkeit, den Grad des Polynoms zu erhöhen. Je mehr Nullstellen die zweite Ableitung der Funktion hat, desto öfter wechselt diese das Vorzeichen, das heißt desto mehr Krümmungsänderungen hat die Funktion selbst. Dies führt dazu, dass die polynominale Regression die Datenpunkte bei steigendem Grad immer besser annähert, das heißt ihr Fehler abnimmt, wobei die Unterschiede mit steigendem Polynom immer geringer werden. Der größte Unterschied, der sich auf die Berücksichtigung der deutlichsten Krümmung im Verlauf der Datenpunkte zurückführen lässt, ist dabei zwischen dem Übergang von der quadratischen zur Polynomsfunktion dritten Grades sichtbar. Ein Polynom neunten Grades, das mit Hilfe seiner sieben theoretisch möglichen Wendepunkte eine genauere Regression ermöglicht, ist in der folgenden Abbildung dargestellt: [[File:Regg9.png|thumb|centre|400px|Regressionskurve Polynom neunten Grades]] Die Schülerinnen und Schüler sollten also im Rahmen des Modellierungsprozesses nachvollziehen können, wie sich die Änderung des Grads des gewählten Polynoms auf die Genauigkeit der Regression auswirkt und was der mathematische Hintergrund hierzu ist. Außerdem sollte klar werden, dass die Wahl des Polynoms dritten Grades im Zuge der Genauigkeit einerseits nötig ist, andererseits aber auch dazu führt, dass die Berechnungen der Nullstellen bzw. Extrema mit analogen Methoden der Sek2 möglich bleiben. Ein Polynom neunten Grades liefert zwar eine genauere polynominale Regression, die Berechnung der Extrema ist in diesem Fall jedoch nicht mehr ohne Weiteres möglich und erfordert die Zuhilfenahme von digitalen mathematischen Werkzeugen. Auf Grund der Abweichungen zwischen den Datenpunkten und der polynominalen Regression sind außerdem die errechneten Ergebnisse kritisch zu betrachten. Der errechnete Hochpunkt befindet sich zwar bei <math>x=11,22</math>, aus den Datenpunkten lässt sich jedoch ableiten, dass der Hochpunkt eher bei <math>x=10</math> zu erwarten ist. Mit Hilfe der Regressionsfunktion lassen sich also die ungefähren Lagen charakteristischer Punkte gut einordnen, was jedoch nicht zwangsläufig bedeutet, dass die Ergebnisse mit den realen Werten exakt übereinstimmen. Abschließend besteht neben dem gewählten Vorgehen mit einer polynominalen Regression die Möglichkeit, die Datenpunkte über abschnittsweise definierte lineare Funktionen zu verbinden, wie es in der folgenden Abbildung dargestellt wird. Zugunsten der Übersichtlichkeit sind die meisten Graphen hier jedoch nur als Strecken zwischen den Punkten und nicht als Geraden eingezeichnet. Letzteres wäre jedoch zur Ermittlung der jeweiligen Funktionsvorschrift in der praktischen Umsetzung sinnvoller: [[File:Bildschirmfoto 2026-06-22 um 14.36.52.png|thumb|centre|400px|lineare Interpolation mittels abschnittsweise definierter Funktionen]] Der Vorteil dieses Vorgehens besteht darin, dass bereits Kenntnisse aus der Sek1 ausreichend sind, um die Datenpunkte zu untersuchen, da es sich in jedem Fall lediglich um lineare Funktionen handelt. Die lineare Interpolation scheint bei einer geringen Anzahl von Datenpunkten möglicherweise sinnvoll und beschreibt die Eingabedaten vermutlich in Teilen sogar genauer als eine polynominale Regression. Bei zunehmender Anzahl an Daten steigt jedoch ebenso die Zahl der benötigten abschnittsweise definierten Funktionen linear mit an. In unserem Beispiel mit 31 Datenpunkten wären so bereits 30 verschiedene Funktionen nötig, die jeweils aufgestellt und bei denen der Definitionsbereich festgelegt werden müsste. Der Rechenaufwand wäre also um ein vielfaches größer als bei einer einzigen Polynomfunktion. Im Rahmen der Umsetzung in der Sek2 können die beiden Vorgehen also direkt nebeneinander gestellt und miteinander verglichen sowie auf diese Weise auch Nachteile bzw. Schwierigkeiten der linearen Interpolation diskutiert werden. 6masd1vjdun29muchxdhc3kkpxap06f 106 171867 1105781 1105749 2026-06-29T13:16:22Z Björn Henrich 41518 /* Mathematische Bearbeitung: Gradient */ 1105781 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * $(x,y)$: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Die Koeffizienten bestimmen, wie stark der Energieertrag in den jeweiligen Richtungen abnimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Diese werden vereinfacht beschrieben durch: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2 </math> Dabei gilt: * <math>K(x,y)</math>: Standortkosten * größere Entfernung vom Zentrum führt zu höheren Kosten == Aufstellen der Zielfunktion == Da nicht nur der Energieertrag maximiert, sondern gleichzeitig die Kosten minimiert werden sollen, wird eine Nutzenfunktion eingeführt: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: wirtschaftlicher Gesamtnutzen * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Für ein einfaches Modell wird gewählt: <math> a=1,\quad b=1 </math> Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2-0,5x^2-0,5y^2 </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. '''Siehe auch''' [[Gradientenabstiegsverfahren]] Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-2)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-6(y+1)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+20\\ -7y-6 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(2,-0,6) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells qn474ou7jkxmrafcsq76tt4i2hsi8tv 1105782 1105781 2026-06-29T13:25:55Z Björn Henrich 41518 /* Modellierung des Energieertrags */ 1105782 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Die Koeffizienten bestimmen, wie stark der Energieertrag in den jeweiligen Richtungen abnimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Diese werden vereinfacht beschrieben durch: <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2 </math> Dabei gilt: * <math>K(x,y)</math>: Standortkosten * größere Entfernung vom Zentrum führt zu höheren Kosten == Aufstellen der Zielfunktion == Da nicht nur der Energieertrag maximiert, sondern gleichzeitig die Kosten minimiert werden sollen, wird eine Nutzenfunktion eingeführt: <math> G(x,y)=a\cdot E(x,y)-b\cdot K(x,y) </math> mit: * <math>G(x,y)</math>: wirtschaftlicher Gesamtnutzen * <math>a</math>: Gewichtung des Energieertrags * <math>b</math>: Gewichtung der Kosten Für ein einfaches Modell wird gewählt: <math> a=1,\quad b=1 </math> Damit ergibt sich: <math> G(x,y)=100-5(x-2)^2-3(y+1)^2-0,5x^2-0,5y^2 </math> Gesucht ist: <math> \max G(x,y) </math> == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. '''Siehe auch''' [[Gradientenabstiegsverfahren]] Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-2)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-6(y+1)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+20\\ -7y-6 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 20\\ -6 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(2,-0,6) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Bezug zum Modellierungszyklus == '''Reale Situation:''' Standortwahl für eine Windenergieanlage ↓ '''Vereinfachung:''' Wind und Kosten werden durch mathematische Funktionen beschrieben ↓ '''Mathematisches Modell:''' Zielfunktion <math>G(x,y)</math> ↓ '''Mathematische Bearbeitung:''' Optimierung durch ein Gradientenverfahren ↓ '''Interpretation:''' Bestimmung des optimalen Standortes ↓ '''Modellkritik:''' Überprüfung der Grenzen und Erweiterung des Modells 4rfu3xd12ykqhgeol0ljq73n7zvmnj1 106 171907 1105807 1105735 2026-06-30T09:49:37Z Paul Sutermeister 37610 1105807 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Lernziel: Kaufleute sollten:'''</big> * die Funktionsweise von KI-Systemen in Grundzügen verstehen, * Ergebnisse kritisch hinterfragen, * mögliche Fehler, Verzerrungen (Bias) und Risiken erkennen, * Datenschutz sowie ethische Aspekte berücksichtigen, * KI als Entscheidungshilfe nutzen, nicht als unfehlbare Entscheidungsinstanz. Für Kaufleute ist nicht entscheidend, wie die Algorithmen programmiert sind, sondern zu verstehen, * '''woher''' die KI ihr Wissen bezieht, * '''wie''' sie zu ihren Ergebnissen gelangt, * '''welche Grenzen''' sie hat und * '''wann menschliche Kontrolle notwendig ist'''. </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge ein: Daten, Entscheidungsregeln, Maschinelles Lernen, Programme, Programmieren. | type="{}" } { Maschinelles Lernen } ist keine Alternative zum { Programmieren }, sondern eine besondere Art, { Programme } zu entwickeln: Die { Entscheidungsregeln } werden nicht vollständig von Hand geschrieben, sondern aus { Daten } gelernt. </quiz> = Maschinelles Lernen ≠ Programmieren = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> Übung: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- [[:w:Ampel|Ampel]] -+ [[:w:Bilderkennung|Bilderkennung]] +- [[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]] -+ [[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''[[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias (Verzerrungen)]]''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''[[:w:AI-Alignment|Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)]]''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' ([[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]) </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]] | [[:w:AI-Alignment|Reward Hacking]] | [[:w:Clickworker|Daten-Labeling]] +-- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' -+- Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' --+ Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' </quiz> = Rolle des Menschen beim maschinellen Lernen = Maschinelles Lernen unterscheidet sich nicht in erster Linie durch seine Anwendungen, sondern dadurch, '''wie''' ein KI-System lernt und '''welche Rolle Menschen''' dabei spielen. {| class="wikitable" ! Lernart ! Wie lernt die KI? ! Rolle des Menschen ! Typische Anwendungen ! Typische Herausforderung |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen (Supervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Beispiele '''mit der richtigen Lösung''' (Labels) und lernt daraus Muster. | Menschen sind die '''Lehrpersonen'''. Sie kennzeichnen Daten, z. B. als „Spam“ oder „kein Spam“, „Katze“ oder „Hund“, „Krebs“ oder „kein Krebs“. | Spamfilter, Gesichtserkennung, medizinische Bilddiagnostik, Kreditwürdigkeitsprüfung | Das Kennzeichnen großer Datenmengen (Data Labeling) ist aufwendig und wird teilweise von schlecht bezahlten Clickworkerinnen und Clickworkern ausgeführt. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen (Unsupervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Daten '''ohne richtige Lösung''' und sucht selbst nach Mustern, Gruppen oder Auffälligkeiten. | Menschen liefern die Daten und interpretieren anschließend die gefundenen Muster. Die KI entdeckt z. B. ähnliche Kundengruppen; erst Menschen geben diesen Gruppen Namen wie „Familien“ oder „Gelegenheitskäufer“. | Kundensegmentierung, Anomalie- und Betrugserkennung, wissenschaftliche Datenanalyse | Die KI kann Verzerrungen (Bias) oder zufällige Muster übernehmen, die von Menschen kritisch überprüft werden müssen. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und lernt durch '''Belohnungen''' und '''Strafen''', welche Strategie langfristig zum besten Ergebnis führt. | Menschen legen die '''Spielregeln''' fest. Sie definieren, wofür die KI Punkte erhält und wofür nicht. | Robotik, autonome Fahrzeuge, Spiel-KI (z. B. Schach oder Go), Verkehrssteuerung | Ist die Belohnungsfunktion schlecht gewählt, optimiert die KI möglicherweise das Punktesystem statt das eigentliche Ziel (Reward Hacking). |} <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen --+ '''Ein Roboter soll laufen lernen:''' Niemand zeigt ihm die richtige Bewegung. Stattdessen erhält er Rückmeldungen über den Erfolg seines Handelns, z. B.: Umgefallen → −100 Punkte; einen Schritt geschafft → +10 Punkte; zehn Schritte geschafft → +100 Punkte. Durch viele Wiederholungen entwickelt der Roboter schrittweise eine erfolgreiche Laufstrategie. +-- '''Eine KI soll Spam-E-Mails erkennen:''' Menschen haben zuvor Millionen E-Mails als '''„Spam“''' oder '''„kein Spam“''' gekennzeichnet. Aus diesen Beispielen lernt die KI, typische Merkmale von Spam zu erkennen. -+- '''Ein Supermarkt besitzt Millionen Einkaufsdaten:''' Die KI weiss nicht, wer Familien, Studierende oder Seniorinnen und Senioren sind. Sie erkennt lediglich, dass bestimmte Kundinnen und Kunden ein ähnliches Kaufverhalten haben, und bildet daraus Gruppen. Erst anschließend interpretieren Menschen diese Gruppen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Der Mensch ist die '''Lehrperson'''. Er kennt die richtige Lösung und stellt sie der KI zur Verfügung. -+- Der Mensch ist '''Beobachter und Interpret'''. Er bewertet die von der KI gefundenen Muster. --+ Der Mensch ist '''Trainer oder Spieldesigner'''. Er legt Ziele sowie Belohnungen und Strafen fest. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen -+- Die KI entdeckt selbst Muster in den Daten. +-- Die KI lernt aus Beispielen mit bekannten Lösungen. --+ Die KI entwickelt durch Versuch und Irrtum eine erfolgreiche Strategie. </quiz> <quiz display="simple"> { Kaufleute entwickeln in der Regel keine KI-Systeme. Sie nutzen, beschaffen, beurteilen oder überwachen sie. Deshalb sollten sie verstehen, '''wie''' eine KI zu ihren Ergebnissen gelangt und '''welche Grenzen''' sie hat. Warum ist die Unterscheidung der drei Lernarten für Kaufleute wichtig? Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes Lernen | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Kaufleute arbeiten häufig mit KI-Systemen, die Entscheidungen auf der Grundlage früherer Beispiele treffen, z. B. bei Spamfiltern, Bonitätsprüfungen oder der Dokumentenklassifikation. Sie sollten wissen, dass die Qualität solcher Systeme von den Trainingsdaten abhängt. -+- Unternehmen nutzen diese Lernart, um Kundengruppen zu erkennen, Verkaufsdaten auszuwerten oder ungewöhnliche Geschäftsvorfälle zu entdecken. Kaufleute müssen die Ergebnisse kritisch interpretieren und dürfen erkannte Muster nicht automatisch als Tatsachen ansehen. --+ Diese Lernart wird eingesetzt, um Prozesse zu optimieren, z. B. in der Lagerlogistik, Produktionsplanung oder Verkehrssteuerung. Kaufleute sollten verstehen, dass das Verhalten einer KI von den vorgegebenen Zielen und Anreizsystemen abhängt. </quiz> == Bekannte KI-Produkte und Lernarten == {| class="wikitable" ! Produkt / Marke ! Typische Nutzung im Alltag ! Am ehesten verbunden mit ! Warum? |- | '''[[:w:ChatGPT|ChatGPT]]''' | Texte schreiben, Fragen beantworten, zusammenfassen | '''Überwachtes Lernen''' + '''bestärkendes Lernen''' | Sprachmodelle lernen zunächst aus sehr vielen Textbeispielen. Danach werden sie oft durch menschliches Feedback verbessert, z. B. indem Menschen Antworten bewerten. OpenAI nennt dafür RLHF, also Reinforcement Learning from Human Feedback. |- | '''[[:w:Microsoft Copilot|Microsoft Copilot]]''' | KI-Hilfe in Word, Excel, Outlook, Teams, PowerPoint | '''Überwachtes Lernen''' + große Sprachmodelle | Copilot hilft beim Schreiben, Zusammenfassen und Analysieren von Arbeitsdaten. Es nutzt Sprachmodelle und wird in Microsoft-365-Arbeitsabläufe eingebettet. |- | '''[[:w:Siri (Software)|Siri]]''' | Sprachassistent auf iPhone, iPad, Mac | '''Überwachtes Lernen''' | Siri muss Sprache erkennen: Welche Geräusche entsprechen welchen Wörtern? Dafür werden Modelle mit Beispielen trainiert. Apple beschreibt etwa „Hey Siri“ als Spracherkennung mit neuronalen Netzen. |- | '''[[:w:Amazon Alexa|Alexa]]''' | Sprachassistent von Amazon | '''Überwachtes Lernen''' | Auch Alexa muss Sprache erkennen und Befehle zuordnen: Musik spielen, Timer stellen, Licht steuern. Dafür braucht es viele Beispiele von Sprache und passenden Absichten. |- | '''[[:w:Google Assistant|Google Assistant]] / [[:w:Gemini (Sprachmodell)|Gemini]]''' | Suchen, Antworten, Schreiben, Smartphone-Hilfe | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Wie ChatGPT arbeitet Gemini mit großen Sprachmodellen. Solche Systeme werden mit Textdaten trainiert und häufig durch menschliche Bewertungen verbessert. |- | '''[[:w:DeepL|DeepL]]''' | Übersetzung von Texten | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus vielen Textpaaren: Satz auf Deutsch – passender Satz auf Englisch, Französisch usw. |- | '''[[:w:Grammarly|Grammarly]]''' | Rechtschreibung, Stil, Grammatik verbessern | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus Beispielen, welche Formulierung wahrscheinlich korrekt, klarer oder stilistisch besser ist. |- | '''[[:w:Netflix|Netflix]] / [[:w:Spotify|Spotify]] / YouTube-Empfehlungen''' | Vorschläge für Filme, Musik oder Videos | '''Unüberwachtes Lernen''' | Systeme erkennen Muster: Wer hört oder schaut Ähnliches? Welche Inhalte passen zusammen? Die Gruppen entstehen oft aus Nutzungsverhalten. |- | '''Amazon-Produktempfehlungen''' | „Kunden kauften auch …“ | '''Unüberwachtes Lernen''' | Das System sucht Ähnlichkeiten zwischen Produkten, Käufen und Kundengruppen. |- | '''[[:w:Google Maps|Google Maps]] / Navigationsoptimierung''' | Routen, Verkehr, Ankunftszeit | '''Überwachtes Lernen''' + Optimierung | Aus historischen Verkehrsdaten werden Fahrzeiten vorhergesagt. Für Routenentscheidungen kommen zusätzlich Optimierungsverfahren dazu. |- | '''[[:w:Staubsaugerroboter|Staubsaugerroboter]]''' | Wohnung reinigen, Hindernisse vermeiden | teils '''bestärkendes Lernen''' | In der Entwicklung kann ein Roboter durch Versuch und Irrtum lernen, welche Bewegungen oder Strategien gut funktionieren. Im fertigen Gerät laufen aber oft fest eingebaute Regeln und Sensorverfahren. |- | '''[[:w:Selbstfahrendes Kraftfahrzeug|Autonome Fahrzeuge]] / Fahrassistenzsysteme''' | Spur halten, Abstand halten, Hindernisse erkennen | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Bilderkennung, Schildererkennung und Objekterkennung sind oft überwacht trainiert. Fahrstrategien können zusätzlich in Simulationen durch Belohnungssysteme optimiert werden. |} [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] o9pm114qsuykym3aqf6i9amm6mj3nla 106 171923 1105806 1105755 2026-06-30T09:47:15Z Paul Sutermeister 37610 1105806 wikitext text/x-wiki = Woraus besteht ein guter [[:w:Prompt-Engineering|Prompt]] = Ein guter Prompt (also eine gute Eingabe an eine KI) besteht aus klaren, konkreten und zielgerichteten Informationen. Je besser formuliert wird, ''was'' gewünscht ist und ''wie'', desto besser ist das Ergebnis: * '''<big>Ziel / Aufgabe klar benennen</big>''': Direkt sagen, was verlangt wird. <small> Schlecht: Erklär mir KI Gut: Erkläre mir die wichtigsten Begriffe der KI einfach für Anfänger auf Deutsch </small> * '''<big>Kontext geben</big>''': Erklären, warum etwas gebraucht wird und für wen. <small> Beispiel: Ich bin Lehrer und brauche eine einfache Erklärung für Schüler auf Niveau A2 </small> * '''<big>Format festlegen</big>''': Festlegen, wie die Antwort aussehen soll. <small> * Liste * Tabelle * Fliesstext * Stichpunkte * Beispiel + Erklärung Beispiel: Gib mir 5 Stichpunkte mit je einem Beispiel </small> * '''<big>Stil definieren</big>''': Bestimmen, wie die Antwort klingen soll. <small> * einfach / komplex * sachlich / locker * kurz / ausführlich Beispiel: Schreibe in sehr einfacher Sprache (A1-Niveau) </small> * '''<big>Einschränkungen setzen</big>''': Festlegen, was vermieden werden soll. <small> Beispiel: Keine Fachbegriffe verwenden, maximal 100 Wörter </small> * '''<big>Beispiele geben (optional, aber hilfreich)</big>''': Zeigen, was erwartet wird. <small> Beispiel: So in etwa: „KI ist wie ein Computer, der lernen kann…“ </small> * '''<big>Rolle vergeben (sehr effektiv)</big>''': Der KI eine Perspektive geben. <small> Beispiel: Du bist ein geduldiger Lehrer für Anfänger </small> = Praktisches = KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 2: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können: lunaai.video, vidful.ai usw.. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Die Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] kpz0brkzhve4xe4a9rxjwvhgwnaz8pz 2 171925 1105788 2026-06-29T22:12:16Z 配合比全额更好（说说而已） 41681 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105788 wikitext text/x-wiki Hallo!Ich bin 配合比全额更好（说说而已）. 2ylf0rnylrh1z53b8lozhkp07xjcgxf 0 171926 1105808 2026-06-30T11:03:59Z Alexander-Barth 41682 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105808 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Da der Koeffizient von <math>x^2</math> eins ist und die Nullstellen <math>x_1</math> und <math>x_2</math> sind: :<math> \begin{align} x^2 + px + q &= (x - x_1) (x - x_2) \\ &= x^2 - x_1 x - x_2 x + x_1 x_2 \\ &= x^2 - (x_1 + x_2) x + x_1 x_2 \end{align} </math> Diese Gleichung gilt für alle <math>x</math> somit folgt: :<math> \begin{align} p &= - (x_1 + x_2) \\ q &= x_1 x_2 \end{align} </math> |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ih4h1324gvaks29stgck0hfndkcjxe8