Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.9 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 121947 1105824 1105041 2026-07-01T10:00:37Z Bocardodarapti 2041 1105824 wikitext text/x-wiki {{ Klausur18 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe|p||| |Nacheinander reden/Disjunkt/Aufgabe|p||| |Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|p||| |Tripel/Summe ist 5/Berechnung/Aufgabe|p||| |Addition/Multiplikation/Potenz/N/Injektivität/Aufgabe|p||| |Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bernoulli-Zahlen/Summe mit Binomialkoeffizienten/Berechnung/Aufgabe|p||| |Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p||| |Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|p||| |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|p||| |Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Graph/Hamiltonsch/Maximaler Umfang/Aufgabe|p||| |Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 04ssoddrf8dwiparn2gw13gffgp62rh 0 122396 1105823 853808 2026-07-01T09:57:38Z Bocardodarapti 2041 1105823 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} genau dann {{ Definitionslink |hamiltonsch| |Kontext=| |SZ= }} ist, wenn sein {{ Definitionslink |Umfang| |Kontext=Graph| |SZ= }} mit seiner Knotenanzahl übereinstimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hamiltonkreise |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s87ie8mhgqta5yplx0k03hx1ywses3s 106 168181 1105822 1105759 2026-07-01T08:25:06Z Paul Sutermeister 37610 1105822 wikitext text/x-wiki Der Kurs Künstliche Intelligenz umfasst insgesamt 12 Lektionen: * 4 Lektionen Vorbereitung asynchron * 4 Lektionen Präsenzunterricht synchron vor Ort in Aarau (online möglich) am 29. Juni bzw. am 2. Juli. * 4 Lektionen Nachbereitung asynchron mit abschliessender Rückmeldung durch die Lehrperson. = Programm = # Wovon sprechen wir eigentlich grundlegend /technisch gesagt? '''[[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]]''' # Ziel von generativer Sprach-KI (häufigste Anwendung von Kaufleuten neben Multimedia-Generierung): Schriftliche Kommunikation. Die [[Benutzer:Paul Sutermeister/Formalia|'''grundlegenden Regeln''' dazu]] # '''[[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]]''' # '''[[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Prompt|„Prompten“]]''' - Multimedia-KI-Basar: hotpot.ai, lunaai.video, vidful.ai # Nachbereitungsauftrag: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Quelle|Medienkompetenz]] = Bewertung (bestanden ''ja'' oder ''nein'') = #Vorbereitungsauftrag: Sprachmodelle im Büro #Gruppenarbeit "Ethik" (oder Arbeit per Mail einzureichen, nur für Online-Anwesende) #Kurszusammenfassung (nur für Online-Anwesende) #Nachbereitungsauftrag Medienkompetenz <!--= Begriffe = * [[:w:Künstliches neuronales Netz|Künstliches neuronales Netz]] → [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] → '''[[:w:Deep Learning|Deep Learning]]''', [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]/[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]], [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] * Training '''→''' [[:w:Künstliche_Intelligenz#Methoden|Bias]] * [[:w:Prompt|Prompt]] * [[:w:Halluzination (Künstliche Intelligenz)|Halluzination]] <!-- = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen.--> <!--= Alternativprogramm 1= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? [[:w:Der_Postillon#DeppGPT|DeppGPT]], [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]], [[:w:Amazon Alexa|Alexa]], [[:w:Siri (Software)|Siri]], [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] lu0a9u0o3v85y5rnakqpva4jzz2u8nw 106 170330 1105809 1105483 2026-07-01T06:20:40Z Bert Niehaus 20843 /* Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld */ 1105809 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun Punkte in <math>z_0\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirken. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} \Longrightarrow b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1 </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Ansonsten kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1b3e7mxok9fz4ije981zy842i9ev69p 1105810 1105809 2026-07-01T06:36:40Z Bert Niehaus 20843 /* Punkte und Trajektorie */ 1105810 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} \Longrightarrow b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1 </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Ansonsten kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mgvpzv3aog73wk5tc9ny0tokf70l5dr 1105811 1105810 2026-07-01T06:38:29Z Bert Niehaus 20843 /* Vektorfeld - Polynom */ 1105811 wikitext text/x-wiki == Einleitung == In dieser Lerneinheit wird eine [[holomorphe Funktion]] <math> f: G \to \mathbb{C} </math> als ein Vektorfeld in <math>G</math> interpretiert, in dem jedem Punkt <math>z\in G</math> ein Vektor <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> zugeordnet. Für die geometrische Interpretation wird für jedes <math>z\in G</math> in der Gaußschen Zahlenzahlebene der Funktionswert <math>f(z)\in \mathbb{C}</math> als Vektor mit Startpunkt <math> z </math> und Endpunkt <math>z+f(z)</math> eingezeichnet. In diesem Vektorfeld werden nun diskrete Punktmengen <math>D</math> positioniert, die durch die Funktion <math>f</math> in dem Vektorfeld in <math>G</math> bewegt werden. === Orientierte Flächen === [[File:Flaechenintegral Orientierung Flaeche v2.gif|300px|center|Dreieck als orientiert Fläche mit partiellen Ableitungen]] Bereits bei dem Thema [[orientierte Fläche]] wurden zwei partielle Ableitungen <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_1}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> und <math>\tfrac{\partial\gamma_{_\Delta}}{\partial t_2}(t_1,t_2) \in \mathbb{C}</math> von <math>\gamma_{_\Delta}</math> an jedem Punkt <math>z:=\gamma_{_\Delta}(t_1,t_2)</math> für die Fläche abgetragen. === Veranschaulichung von Vektorfelder === Stellt man holomorphe Funktionen als Vektorfeld dar, so gibt es im Gegensatz zu orientierten Flächen mit zwei komplexwertigen partiellen Ableitung in <math>\mathbb{C}</math>, die jeweils zu jedem Punkt <math>z\in G</math> aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert <math>f(z)\in\mathbb{C}</math> für <math>f: G\to \mathbb{C}</math> zuordnet. ==== Vektorfeld - Polynom ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>f(z)= z^2</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>f(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 z hoch 2.png|350px|center|vector field for z square]] ==== Aufgabe für Studierende - Vektorfeld Polynom ==== Betrachten Sie als Startpunkt <math>z_a = 2+3i</math> und versuchen Sie näherungsweise die Bahn von <math>z_a</math> in der Gaußschen Zahlenebene numerisch mit Tabellenkalkulation zu bestimmen. ==== Vektorfeld - meromorphe Funktion ==== Die folgende Abbildung zeigt von einzelnen Punkten <math>z\in \mathbb{C}</math> mit dem zugehörigen Funktionswert für die Funktion <math>g(z)= \tfrac{1}{z}</math>. Dabei wird der Funktionswert <math>g(z)</math> als Vektor mit Anfangspunkt in <math>z</math> jeweils als Vektor dargestellt. [[File:Vektorfeld ft2 1 durch z.png|350px|center|vector field for z square]] == Punkte und Trajektorie == Man betrachtet nun einen Punkte <math>z_a\in G</math> als Startpunkt eines Weges <math>\gamma: [a,b] \to G</math>. Dabei sei <math>\gamma(a)=z_a</math>. Grundlegende Frage ist nun, wie sich der Punkt <math>z_t=\gamma(t)</math> in der komplexen Zahlenebene bewegt, wenn die Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über das Vektorfeld die Kraft <math>f(z_t)</math> beschreibt, die auf <math>z_t\in G</math> wirkt. Die obigen grün markierten Vektoren, die an einem Punkt <math>z_t</math> abgetragen wurden, beschreiben die Richtung und Stärke der Kraft. === Weg als Differentialgleichung === In der komplexen Analysis kann man eine holomorphe Funktion <math> f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} </math> als Vektorfeld interpretieren, wobei <math> f(z) </math> die Kraft (oder Geschwindigkeit) beschreibt, die auf einen Punkt <math> z_t =\gamma(t) \in \mathbb{C} </math> wirkt. Die Trajektorie eines Punktes <math> z_0 </math> unter diesem Vektorfeld ist dann die Lösung <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> der komplexen Differentialgleichung: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)), \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Weg als gesuchte Funktion === Hierbei ist <math> \gamma : [a,b] \to \mathbb{C} </math> als Weg eine komplexwertige Funktion mit einem reellen Definitionsbereich, die zu jedem Zeitpunkt <math> t\in [a,b] </math> durch <math>\gamma(t)</math> den Ort angibt, an dem sich ein Objekt befindet. Die Trajektorie beschreibt die Spur des Weges <math>Spur(\gamma):=\{ \gamma(t) \, : \, t\in [a,b]\}</math>. Der Graph des Weges <math>\gamma</math> ist eine Teilmenge des dreidimensionalen <math>\mathbb{R}</math>-Vektorraumes <math>[a,b]\times \mathbb{C}</math>. :<math> Graph(\gamma) : = \bigg\{ \big(t,\gamma(t)\big) \in \mathbb{R} \times \mathbb{C} \, : \, t\in [a,b]\bigg\} </math> Der Punkt <math> z_t =\gamma(t)</math> bewegt sich dabei unter dem Einfluss des durch <math> f </math> beschriebenen Vektorfeldes. === Darstellung der Trajektorie === Der Weg <math> \gamma </math> ist die Lösung der obigen Differentialgleichung. Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld lokal [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]], und es existiert eine eindeutige Lösung <math> \gamma(t) </math> für kleine <math> t </math> (zumindest lokal in der Nähe von dem Startpunkt des Weges <math> z_a = \gamma(a)</math>). Betrachtet werden nun zunächst sehr einfache Funktionen <math> f</math> ==== Explizite Lösung - konstante Funktion ==== Falls <math> f </math> eine konstante Funktion ist, kann man die Differentialgleichung explizit lösen. Für ein konstantes Vektorfeld erhält man als Trajektorie eine Gerade in komplexen Zahlenebene. Mit Umparametrisierung nach <math>[0,1]</math> ist die Trajektorie eine [[Konvexkombination]] zwischen <math>z_a</math> und <math>z_b</math>. * '''Konstantes Vektorfeld''': <math> f(z) = c </math> (konstant). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a + c \cdot (t-a) </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a + c \cdot (b-a) = z_b</math>. ==== Explizite Lösung - Lineare Vektorfeld ==== Die [[w:de:Exponentialfunktion|Exponentialfunktion]] <math>f(z)=e^{c\cdot z}</math> erfüllt die Eigenschaft, dass <math>f'(z)=c\cdot e^{c\cdot z}</math> gilt. Damit erhält man für ein lineares Vektorfeld folgende Lösung <math>\gamma</math>: * '''Lineares Vektorfeld''': <math> f(z) = c z </math> (mit <math> a \in \mathbb{C} </math>). ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = c\cdot \gamma(t) , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = z_a \cdot e^{c \cdot (t-a)} </math> mit dem Endpunkt ::<math>\gamma(b)=z_a \cdot e^{c\cdot (b-a)} </math>. ==== Explizite Lösung - quadratisches Vektorfeld ==== In einem quadratischen Vektorfeld <math>f</math> enthält die Lösung <math>\gamma</math> Pole. Diese dürfen nicht auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen: * '''Quadratisches Vektorfeld''': <math> f(z) = z^2 </math>. ::<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> * '''Lösung:''' <math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 \cdot (t-a)} </math>. Die Lösung hat eine Pol bei <math> t = \tfrac{1+a}{z_0} </math>. Für eine wohldefinierten Weg <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> muss <math>\tfrac{1+a}{z_0} \notin [a,b]</math> gelten. Für <math>z_0:=1</math> und <math>[a,b]:=[1,3]</math> liegt der Pol <math>\tfrac{1+a}{z_0} =2</math> in dem Intervall <math>[a,b]</math>. ==== Aufgabe - quadratisches Vektorfeld ==== Zeigen Sie, dass die oben genannten Eigenschaften für den Weg <math>\gamma :[a,b]\to \mathbb{C}</math> gelten: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^2 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> === Holomorphe Funktion === Ein holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> lässt sich um jeden Punkt <math>z_0\in G</math> lokal in Potenzreihen entwickeln, wobei die Partialsummen <math>f_n</math> der Potenzreihe bis zum Grad <math>n\in\mathbb{N}</math> dann auf einer Kreischeiben <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gleichmäßig gegen die Potenzreihendarstellung von <math>f</math> konvergiert. Daher gibt es [[lokale Stammfunktionen]], die durch summandenweise Integration der Potenzreihendarstellung von <math>f</math> erhält. ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Die lokale Darstellung als Potenzreihe führt zu lokalen Lösungen von Differentialgleichung, falls <math>f</math> holomorph ist. Für <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subset G</math> gelte: :<math> f(z) := \sum_{k=0}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Wege als Potenzreihen ==== Integrationswege müssen nach Definition die Eigenschaft besitzt, dass diese stetig differenzierbar sind. Ist <math>\gamma^\ast : G \to \mathbb{C}</math> mit <math>[a,b] \subset G </math> eine holomorphe Funktion, dann ist <math>\gamma : [a,b] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma(t):= \gamma^\ast(t)</math> insbesondere stetig differenzierbar und es gibt eine Potenzreihendarstellung von <math>\gamma</math> mit Koeffizienten in <math>\mathbb{C}</math>; :<math> \gamma(z) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (z-z_0)^k </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 1 ==== Das Intervall <math>[a,b] \subset G </math> wird als Teilmenge der komplexen Zahlen aufgefasst. Damit die obige Potenzreihendarstellung für <math>\gamma(t)</math> mit <math>t\in [a,b]</math> verwendet werden kann, muss <math>t \in D_r(a) \subset G </math> liegen, wobei <math> r > 0</math> der Konvergenzradius der Potenzreihe für <math>\gamma</math>. Falls für das Intervall <math> [a,b]\subset D_r(a) </math> gilt, gibt es genau eine darstellende Potenzreihe für <math>\gamma</math> auf <math>[a,b]</math> um <math>a</math> mit: :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-a)^{k} </math> ==== Auswertung der Potenzreihe auf Intervall 2 ==== Wenn <math> [a,b]</math> nicht ganz in <math> D_r(t_0) </math> liegt, kann man für weitere <math>t_0\in [a,b] \subset G</math> <math>\gamma</math> ebenfalls in eine Potenzreihe entwickeln. :<math> \gamma(t) := \sum_{k=0}^\infty b_k \cdot (t-t_0)^{k} </math> ==== Ableitung von Wegen als Potenzreihen ==== Da Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit Entwicklungspunkt <math>t_0 \in [a,b]</math> besitzt <math>\gamma</math> die folgende Ableitung <math>\gamma{\,}'</math>, wobei man wegen der gleichmäßiger Konvergenz von <math>\gamma</math> auf <math> D_r(t_0) </math> summandenweise differenzieren kann: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(z) &=& \displaystyle \sum_{k=1}^\infty k\cdot b_k \cdot (z-z_0)^{k-1} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^\infty (k+1)\cdot b_{k+1} \cdot (z-z_0)^{k} \end{array} </math> Zunächst wird der Entwicklungspunkt <math>t_0 := a</math> für den Startpunkt des Weges betrachtet. ==== Beispiel - Wege als Potenzreihen ==== Die Standardwege, die bereits in dem Kurs zur Funktionentheorie behandelt wurden, waren zumeist holomorphe Wege mit Potenzreihendarstellung: * '''(Kreis)''' <math>\gamma(t) = z_0+re^{it} = (z_0 + r)\cdot t^0 + \sum_{k=1}^\infty \tfrac{r\cdot i^k}{k!} \cdot t^k</math> * '''([[Konvexkombination]])''' Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten <math>z_1,z_2\in \mathbb{C}</math> als Weg ist: ::<math>\gamma(t) = (1-t)\cdot z_1+t\cdot z_2 = (z_2-z_1)\cdot t^1 + z_1\cdot t^0 </math> ==== Monome als Vektorfeld ==== Man betrachtet nun die [[w:de:ganze Funktion|ganze Funktion]] <math>f(z)=z^3 </math>: :<math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t)) = \gamma(t)^3 , \quad \gamma(a) = z_a. </math> Für die Potenzreihendarstellung <math>t_0\in [a,b]</math> erhält man: :<math> \gamma(t)^3 = \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{i_1,i_2,i_3 \in \mathbb{N}}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-t_0)^n </math> ==== Differentialgleichung und Potenzreihen ==== Durch Verwendung der darstellenden Potenzreihen erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \gamma{\,}'(t) & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot b_{n+1} (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \ \bigg(\underset{i_1+i_2+i_3=n}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} \bigg) \cdot (t-a)^n \\ & = & \displaystyle \gamma(t)^3 = f(\gamma(t)) \\ \end{array} </math> ==== Konstante der Potenzreihen ==== Mit der allgemeinen Potenzreihe für <math>\gamma</math> mit dem Entwicklungspunkt <math>a</math> erhält man mit <math>\gamma(a)=z_a</math>, dass: :<math> z_a = \gamma(a) = \sum_{n=0}^\infty b_n (a-a)^n = b_0 </math> Damit hat <math>b_0 = z_a</math> bestimmt. ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 1 ==== Für <math>n=0</math> in der Differentialgleichung <math> \gamma{\,}'(t) = f(\gamma(t))=\gamma(t)^3</math> erhält man: :<math> b_1 = (0+1)\cdot b_{0+1} = \underset{i_1+i_2+i_3=1}{\sum_{(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3}} b_{i_1}\cdot b_{i_2}\cdot b_{i_3} </math> In der rechten Summe gibt es genau Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=1</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (1,0,0), \ (0,1,0), \ (0,0,1) \big\} \Longrightarrow b_1 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_1 </math> ==== Koeffizientenvergleich für Potenzreihen 2 ==== Wenn <math> b_0 = z_a \not= \tfrac{1}{\sqrt{3}}</math> erfüllt ist, muss <math> b_1 = 0</math> gelten. Ansonsten kann <math>b_1 \in \mathbb{C}</math> zunächst einmal beliebig gewählt werden. Seien <math>b_0, b_1 \in \mathbb{C}</math> festgelegt und man bestimmt nun <math>b_2</math>. Für <math>n=2</math> sucht man in der rechten Summe die Tupel <math>(i_1,i_2,i_3) \in \mathbb{N_0}^3</math>, die die Eigenschaft <math>i_1+i_2+i_3=2</math> erfüllen. Dies sind: :<math> (i_1,i_2,i_3) \in \big\{ (2,0,0), \, (0,2,0), \, (0,0,2),\, (0,1,1),\, (1,0,1),\, (1,1,0) \big\} </math> Damit erhält man für <math>b_2</math>: :<math> b_2 = 3\cdot b_0^2 \cdot b_2 + 3\cdot b_1^2 \cdot b_0 \Longrightarrow b_2 = \frac{3\cdot b_1^2 \cdot b_0}{1-3\cdot b_0^2} </math> === Numerische Lösung === Numerische Lösungen werden immer dann verwendet, wenn man keine explizite Lösungen für <math>\gamma</math> angeben kann. Falls also <math> f: G\to \mathbb{C} </math> komplizierter ist, kann man die Trajektorie numerisch berechnen, z. B. mit dem [[w:de:Euler-Verfahren|Euler-Verfahren]] oder mit dem [[w:de:Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta-Verfahren]] berechnent, die in Numerik für die Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden. ==== Euler-Verfahren ==== Die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ergibt sich als Polygonzug und einer Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \widetilde{\gamma\,} := z_a \quad \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t \cdot f\big(\widetilde{\gamma\,}(t_k)\big), \quad z_0 \text{ gegeben}. </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 1 ==== Auch bei Rugge-Kutta ist die numerische Lösung <math>\widetilde{\gamma\,}</math> ein Polygonzug, der sich durch eine Zerlegung von <math>[a,b]</math> in <math>n</math> Teilintervalle der Breite <math>\Delta t:= \tfrac{b-a}{n}</math> und <math>t_k:= a+ k \cdot \Delta t</math> für <math>k\in \{0,1,\ldots n\}</math>. :<math> \begin{array}{rclrcl} c_1 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k), & c_2 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_1\right), \\ c_3 & := & f\left(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \frac{\Delta t}{2} c_2\right), & c_4 & := & f(\widetilde{\gamma\,}(t_k) + \Delta t c_3), \\ \end{array} </math> ==== Runge-Kutta 4. Ordnung - Schritt 2 ==== Induktiv erhält man den folgenden Wegpunkt <math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) </math> zum Zeitpunkt <math>t_{k+1} \in [a,b] </math> wie folgt: :<math> \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) = \widetilde{\gamma\,}(t_{k+1}) + \frac{\Delta t}{6} (c_1 + 2\cdot c_2 + 2\cdot c_3 + c_4). </math> === Geometrische Interpretation === * Der Wegpunkte <math> \gamma(t) </math> bilden eine Kurve in der komplexen Ebene mit der Spur <math>Spur(\gamma)</math>. Der Tangentenvektor an jedem Punkt <math> \gamma(t) </math> ist durch <math> f(\gamma(t)) </math> gegeben. * Da <math> f </math> holomorph ist, ist das Vektorfeld '''wirbelfrei''' (d. h., es hat keine Rotation) und '''quellenfrei''' (d. h., es hat keine Divergenz) außerhalb der Singularitäten von <math> f </math>. Dies folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen. * Die Trajektorien können '''Fixpunkte''' enthalten, wenn z.B. auf der Spur von <math>\gamma</math> Punkte existieren <math> z_t:=\gamma(t) </math> mit <math> f(z_t) = 0 </math> existieren. * Auf der Spur von <math>\gamma</math> darf eine meromorphe Funktion keine '''Singularitäten''' besitzen, denn in diesen Punkten ist dann <math>\gamma{\,}'(t)= f(\gamma(t))</math> nicht definiert und man erhält keinen stetig differenzierbaren Integrationsweg. == Beispiel == Für die oben angebenen expliziten Lösungen werden nun Beispiele genannt: === Beispiel 1 - Rotation === Für die lineare Funktion <math> f(z) = -i z </math> erhält man als Lösung eine Rotation mit <math>[a,b]:=[0,2\pi]</math>: * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = -i \cdot \gamma(t), \quad z(0) = z_0. </math> * Lösung: :<math> \gamma(t) = z_0 \cdot e^{-i \cdot t}. </math> * Interpretation: Die Trajektorie ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius <math> r:=|z_0| </math>, der wegen <math>-i</math> im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. === Beispiel 2 - Polynomiale Funktion === Mit <math> f(z) = z^2 </math> bewegt sich der Punkt mit wachender Geschwindigkeit gegen <math>\infty</math>. * Die Differentialgleichung lautet: :<math> \gamma{\,}'(t) = \gamma(t)^2, \quad z(0) = z_0 \neq 0. </math> * '''Lösung:''' :<math> \gamma(t) = \frac{z_0}{1 - z_0 t}. </math> * '''Interpretation:''' Die Trajektorie läuft mit dem Definitionsbereich <math>[0,+\infty)</math> für <math>t \to +\infty</math> gegen 0. Wenn <math>\tfrac{1}{z_0}\in [a,b]</math> im Definitionsbereich des Weges <math>\gamma</math> liegt, so ist der Weg nicht auf ganz <math>[a,b]</math> definiert und es gilt: ::<math> \lim_{t \to \tfrac{1}{z_0}} \gamma(t) = \infty </math> : Ist <math>z_0 = 0</math> dann ist <math> \gamma(t) = 0 </math> für alle <math>t \in[a,b]</math> und <math> z_0 = 0 </math> ist ein Fixpunkt von <math>\gamma</math>. === Zusammenhang mit Potentialtheorie === Da <math> f </math> holomorph ist, existiert [[lokale Stammfunktionen|lokal eine Stammfunktion]] <math> F </math> (als komplexes Potential) mit <math> F' = f </math>. Die Trajektorien sind dann die '''Niveaulinien des Imaginärteils von <math> F </math>''' (da <math> \text{Im}(F) </math> [[w:de:harmonische Funktion|harmonisch]] ist und die Trajektorien senkrecht zu den Gradientenlinien von <math> \text{Im}(F) </math> verlaufen). == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Lipschitz-Stetigkeit|Lipschitz-stetig]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie Kurs: Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bh85pcozqc9n46mt8o4j50v0rr3bjqf 106 171907 1105814 1105807 2026-07-01T07:22:13Z Paul Sutermeister 37610 1105814 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Lernziel: Kaufleute sollten:'''</big> * die Funktionsweise von KI-Systemen in Grundzügen verstehen, * Ergebnisse kritisch hinterfragen, * mögliche Fehler, Verzerrungen (Bias) und Risiken erkennen, * Datenschutz sowie ethische Aspekte berücksichtigen, * KI als Entscheidungshilfe nutzen, nicht als unfehlbare Entscheidungsinstanz. Für Kaufleute ist nicht entscheidend, wie die Algorithmen programmiert sind, sondern zu verstehen, * '''woher''' die KI ihr Wissen bezieht, * '''wie''' sie zu ihren Ergebnissen gelangt, * '''welche Grenzen''' sie hat und * '''wann menschliche Kontrolle notwendig ist'''. </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge ein: Daten, Entscheidungsregeln, Maschinelles Lernen, Programme, Programmieren. | type="{}" } { Maschinelles Lernen } ist keine Alternative zum { Programmieren }, sondern eine besondere Art, { Programme } zu entwickeln: Die { Entscheidungsregeln } werden nicht vollständig von Hand geschrieben, sondern aus { Daten } gelernt. </quiz> = Maschinelles Lernen ≠ Programmieren = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Übung: Zeichnen und von KI erkennen lassen'''</big> '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen mit '''[[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]]''' ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- [[:w:Ampel|Ampel]] -+ [[:w:Bilderkennung|Bilderkennung]] +- [[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]] -+ [[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''[[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias (Verzerrungen)]]''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''[[:w:AI-Alignment|Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)]]''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' ([[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]) </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]] | [[:w:AI-Alignment|Reward Hacking]] | [[:w:Clickworker|Daten-Labeling]] +-- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' -+- Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' --+ Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' </quiz> = Rolle des Menschen beim maschinellen Lernen = Maschinelles Lernen unterscheidet sich nicht in erster Linie durch seine Anwendungen, sondern dadurch, '''wie''' ein KI-System lernt und '''welche Rolle Menschen''' dabei spielen. {| class="wikitable" ! Lernart ! Wie lernt die KI? ! Rolle des Menschen ! Typische Anwendungen ! Typische Herausforderung |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen (Supervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Beispiele '''mit der richtigen Lösung''' (Labels) und lernt daraus Muster. | Menschen sind die '''Lehrpersonen'''. Sie kennzeichnen Daten, z. B. als „Spam“ oder „kein Spam“, „Katze“ oder „Hund“, „Krebs“ oder „kein Krebs“. | Spamfilter, Gesichtserkennung, medizinische Bilddiagnostik, Kreditwürdigkeitsprüfung | Das Kennzeichnen großer Datenmengen (Data Labeling) ist aufwendig und wird teilweise von schlecht bezahlten Clickworkerinnen und Clickworkern ausgeführt. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen (Unsupervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Daten '''ohne richtige Lösung''' und sucht selbst nach Mustern, Gruppen oder Auffälligkeiten. | Menschen liefern die Daten und interpretieren anschließend die gefundenen Muster. Die KI entdeckt z. B. ähnliche Kundengruppen; erst Menschen geben diesen Gruppen Namen wie „Familien“ oder „Gelegenheitskäufer“. | Kundensegmentierung, Anomalie- und Betrugserkennung, wissenschaftliche Datenanalyse | Die KI kann Verzerrungen (Bias) oder zufällige Muster übernehmen, die von Menschen kritisch überprüft werden müssen. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und lernt durch '''Belohnungen''' und '''Strafen''', welche Strategie langfristig zum besten Ergebnis führt. | Menschen legen die '''Spielregeln''' fest. Sie definieren, wofür die KI Punkte erhält und wofür nicht. | Robotik, autonome Fahrzeuge, Spiel-KI (z. B. Schach oder Go), Verkehrssteuerung | Ist die Belohnungsfunktion schlecht gewählt, optimiert die KI möglicherweise das Punktesystem statt das eigentliche Ziel (Reward Hacking). |} <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen --+ '''Ein Roboter soll laufen lernen:''' Niemand zeigt ihm die richtige Bewegung. Stattdessen erhält er Rückmeldungen über den Erfolg seines Handelns, z. B.: Umgefallen → −100 Punkte; einen Schritt geschafft → +10 Punkte; zehn Schritte geschafft → +100 Punkte. Durch viele Wiederholungen entwickelt der Roboter schrittweise eine erfolgreiche Laufstrategie. +-- '''Eine KI soll Spam-E-Mails erkennen:''' Menschen haben zuvor Millionen E-Mails als '''„Spam“''' oder '''„kein Spam“''' gekennzeichnet. Aus diesen Beispielen lernt die KI, typische Merkmale von Spam zu erkennen. -+- '''Ein Supermarkt besitzt Millionen Einkaufsdaten:''' Die KI weiss nicht, wer Familien, Studierende oder Seniorinnen und Senioren sind. Sie erkennt lediglich, dass bestimmte Kundinnen und Kunden ein ähnliches Kaufverhalten haben, und bildet daraus Gruppen. Erst anschließend interpretieren Menschen diese Gruppen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Der Mensch ist die '''Lehrperson'''. Er kennt die richtige Lösung und stellt sie der KI zur Verfügung. -+- Der Mensch ist '''Beobachter und Interpret'''. Er bewertet die von der KI gefundenen Muster. --+ Der Mensch ist '''Trainer oder Spieldesigner'''. Er legt Ziele sowie Belohnungen und Strafen fest. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen -+- Die KI entdeckt selbst Muster in den Daten. +-- Die KI lernt aus Beispielen mit bekannten Lösungen. --+ Die KI entwickelt durch Versuch und Irrtum eine erfolgreiche Strategie. </quiz> <quiz display="simple"> { Kaufleute entwickeln in der Regel keine KI-Systeme. Sie nutzen, beschaffen, beurteilen oder überwachen sie. Deshalb sollten sie verstehen, '''wie''' eine KI zu ihren Ergebnissen gelangt und '''welche Grenzen''' sie hat. Warum ist die Unterscheidung der drei Lernarten für Kaufleute wichtig? Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes Lernen | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Kaufleute arbeiten häufig mit KI-Systemen, die Entscheidungen auf der Grundlage früherer Beispiele treffen, z. B. bei Spamfiltern, Bonitätsprüfungen oder der Dokumentenklassifikation. Sie sollten wissen, dass die Qualität solcher Systeme von den Trainingsdaten abhängt. -+- Unternehmen nutzen diese Lernart, um Kundengruppen zu erkennen, Verkaufsdaten auszuwerten oder ungewöhnliche Geschäftsvorfälle zu entdecken. Kaufleute müssen die Ergebnisse kritisch interpretieren und dürfen erkannte Muster nicht automatisch als Tatsachen ansehen. --+ Diese Lernart wird eingesetzt, um Prozesse zu optimieren, z. B. in der Lagerlogistik, Produktionsplanung oder Verkehrssteuerung. Kaufleute sollten verstehen, dass das Verhalten einer KI von den vorgegebenen Zielen und Anreizsystemen abhängt. </quiz> == Bekannte KI-Produkte und Lernarten == {| class="wikitable" ! Produkt / Marke ! Typische Nutzung im Alltag ! Am ehesten verbunden mit ! Warum? |- | '''[[:w:ChatGPT|ChatGPT]]''' | Texte schreiben, Fragen beantworten, zusammenfassen | '''Überwachtes Lernen''' + '''bestärkendes Lernen''' | Sprachmodelle lernen zunächst aus sehr vielen Textbeispielen. Danach werden sie oft durch menschliches Feedback verbessert, z. B. indem Menschen Antworten bewerten. OpenAI nennt dafür RLHF, also Reinforcement Learning from Human Feedback. |- | '''[[:w:Microsoft Copilot|Microsoft Copilot]]''' | KI-Hilfe in Word, Excel, Outlook, Teams, PowerPoint | '''Überwachtes Lernen''' + große Sprachmodelle | Copilot hilft beim Schreiben, Zusammenfassen und Analysieren von Arbeitsdaten. Es nutzt Sprachmodelle und wird in Microsoft-365-Arbeitsabläufe eingebettet. |- | '''[[:w:Siri (Software)|Siri]]''' | Sprachassistent auf iPhone, iPad, Mac | '''Überwachtes Lernen''' | Siri muss Sprache erkennen: Welche Geräusche entsprechen welchen Wörtern? Dafür werden Modelle mit Beispielen trainiert. Apple beschreibt etwa „Hey Siri“ als Spracherkennung mit neuronalen Netzen. |- | '''[[:w:Amazon Alexa|Alexa]]''' | Sprachassistent von Amazon | '''Überwachtes Lernen''' | Auch Alexa muss Sprache erkennen und Befehle zuordnen: Musik spielen, Timer stellen, Licht steuern. Dafür braucht es viele Beispiele von Sprache und passenden Absichten. |- | '''[[:w:Google Assistant|Google Assistant]] / [[:w:Gemini (Sprachmodell)|Gemini]]''' | Suchen, Antworten, Schreiben, Smartphone-Hilfe | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Wie ChatGPT arbeitet Gemini mit großen Sprachmodellen. Solche Systeme werden mit Textdaten trainiert und häufig durch menschliche Bewertungen verbessert. |- | '''[[:w:DeepL|DeepL]]''' | Übersetzung von Texten | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus vielen Textpaaren: Satz auf Deutsch – passender Satz auf Englisch, Französisch usw. |- | '''[[:w:Grammarly|Grammarly]]''' | Rechtschreibung, Stil, Grammatik verbessern | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus Beispielen, welche Formulierung wahrscheinlich korrekt, klarer oder stilistisch besser ist. |- | '''[[:w:Netflix|Netflix]] / [[:w:Spotify|Spotify]] / YouTube-Empfehlungen''' | Vorschläge für Filme, Musik oder Videos | '''Unüberwachtes Lernen''' | Systeme erkennen Muster: Wer hört oder schaut Ähnliches? Welche Inhalte passen zusammen? Die Gruppen entstehen oft aus Nutzungsverhalten. |- | '''Amazon-Produktempfehlungen''' | „Kunden kauften auch …“ | '''Unüberwachtes Lernen''' | Das System sucht Ähnlichkeiten zwischen Produkten, Käufen und Kundengruppen. |- | '''[[:w:Google Maps|Google Maps]] / Navigationsoptimierung''' | Routen, Verkehr, Ankunftszeit | '''Überwachtes Lernen''' + Optimierung | Aus historischen Verkehrsdaten werden Fahrzeiten vorhergesagt. Für Routenentscheidungen kommen zusätzlich Optimierungsverfahren dazu. |- | '''[[:w:Staubsaugerroboter|Staubsaugerroboter]]''' | Wohnung reinigen, Hindernisse vermeiden | teils '''bestärkendes Lernen''' | In der Entwicklung kann ein Roboter durch Versuch und Irrtum lernen, welche Bewegungen oder Strategien gut funktionieren. Im fertigen Gerät laufen aber oft fest eingebaute Regeln und Sensorverfahren. |- | '''[[:w:Selbstfahrendes Kraftfahrzeug|Autonome Fahrzeuge]] / Fahrassistenzsysteme''' | Spur halten, Abstand halten, Hindernisse erkennen | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Bilderkennung, Schildererkennung und Objekterkennung sind oft überwacht trainiert. Fahrstrategien können zusätzlich in Simulationen durch Belohnungssysteme optimiert werden. |} [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] t47y4ilza6sc82i6foihlk59a3ft04l 1105815 1105814 2026-07-01T07:40:50Z Paul Sutermeister 37610 1105815 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Lernziel: Kaufleute sollten:'''</big> * die Funktionsweise von KI-Systemen in Grundzügen verstehen, * Ergebnisse kritisch hinterfragen, * mögliche Fehler, Verzerrungen (Bias) und Risiken erkennen, * Datenschutz sowie ethische Aspekte berücksichtigen, * KI als Entscheidungshilfe nutzen, nicht als unfehlbare Entscheidungsinstanz. Für Kaufleute ist nicht entscheidend, wie die Algorithmen programmiert sind, sondern zu verstehen, * '''woher''' die KI ihr Wissen bezieht, * '''wie''' sie zu ihren Ergebnissen gelangt, * '''welche Grenzen''' sie hat und * '''wann menschliche Kontrolle notwendig ist'''. </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge '''Programmieren''' und '''Maschinelles Lernen''' ein: | type="{}" } { Programmieren } bedeutet: Ein Mensch sagt dem Computer ganz genau, was er tun soll. Beispiel: „Wenn jemand sein Passwort falsch eingibt, zeige: Passwort falsch.“ Der Mensch schreibt also die Regeln selbst. { Maschinelles Lernen } bedeutet: Der Mensch zeigt dem Computer viele Beispiele, und der Computer versucht, die Regeln selbst zu erkennen. Beispiel: Man zeigt dem Computer tausende Bilder von Katzen und Hunden. Mit der Zeit lernt er: „Das hier sieht eher nach einer Katze aus.“ Ganz einfach gesagt: { Maschinelles Lernen } heisst, Computer lernt Regeln aus vielen Beispielen. { Programmieren } heisst, Mensch schreibt die Regeln. Ein Vergleich mit einem Kind: Beim { Programmieren } sagst du dem Kind: „Wenn die Ampel rot ist, bleib stehen.“ Beim { Maschinellen Lernen|Maschinelles Lernen } zeigst du dem Kind sehr viele Ampeln und Situationen, bis es selbst versteht, wann man stehen bleiben sollte. { Maschinelles Lernen } ist also eine besondere Art von { Programmieren }: Statt jede Regel einzeln aufzuschreiben, bringt man dem Computer mit Beispielen etwas bei. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Übung: Zeichnen und von KI erkennen lassen'''</big> '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen mit '''[[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]]''' ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- [[:w:Ampel|Ampel]] -+ [[:w:Bilderkennung|Bilderkennung]] +- [[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]] -+ [[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''[[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias (Verzerrungen)]]''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''[[:w:AI-Alignment|Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)]]''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' ([[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]) </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]] | [[:w:AI-Alignment|Reward Hacking]] | [[:w:Clickworker|Daten-Labeling]] +-- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' -+- Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' --+ Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' </quiz> = Rolle des Menschen beim maschinellen Lernen = Maschinelles Lernen unterscheidet sich nicht in erster Linie durch seine Anwendungen, sondern dadurch, '''wie''' ein KI-System lernt und '''welche Rolle Menschen''' dabei spielen. {| class="wikitable" ! Lernart ! Wie lernt die KI? ! Rolle des Menschen ! Typische Anwendungen ! Typische Herausforderung |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen (Supervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Beispiele '''mit der richtigen Lösung''' (Labels) und lernt daraus Muster. | Menschen sind die '''Lehrpersonen'''. Sie kennzeichnen Daten, z. B. als „Spam“ oder „kein Spam“, „Katze“ oder „Hund“, „Krebs“ oder „kein Krebs“. | Spamfilter, Gesichtserkennung, medizinische Bilddiagnostik, Kreditwürdigkeitsprüfung | Das Kennzeichnen großer Datenmengen (Data Labeling) ist aufwendig und wird teilweise von schlecht bezahlten Clickworkerinnen und Clickworkern ausgeführt. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen (Unsupervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Daten '''ohne richtige Lösung''' und sucht selbst nach Mustern, Gruppen oder Auffälligkeiten. | Menschen liefern die Daten und interpretieren anschließend die gefundenen Muster. Die KI entdeckt z. B. ähnliche Kundengruppen; erst Menschen geben diesen Gruppen Namen wie „Familien“ oder „Gelegenheitskäufer“. | Kundensegmentierung, Anomalie- und Betrugserkennung, wissenschaftliche Datenanalyse | Die KI kann Verzerrungen (Bias) oder zufällige Muster übernehmen, die von Menschen kritisch überprüft werden müssen. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und lernt durch '''Belohnungen''' und '''Strafen''', welche Strategie langfristig zum besten Ergebnis führt. | Menschen legen die '''Spielregeln''' fest. Sie definieren, wofür die KI Punkte erhält und wofür nicht. | Robotik, autonome Fahrzeuge, Spiel-KI (z. B. Schach oder Go), Verkehrssteuerung | Ist die Belohnungsfunktion schlecht gewählt, optimiert die KI möglicherweise das Punktesystem statt das eigentliche Ziel (Reward Hacking). |} <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen --+ '''Ein Roboter soll laufen lernen:''' Niemand zeigt ihm die richtige Bewegung. Stattdessen erhält er Rückmeldungen über den Erfolg seines Handelns, z. B.: Umgefallen → −100 Punkte; einen Schritt geschafft → +10 Punkte; zehn Schritte geschafft → +100 Punkte. Durch viele Wiederholungen entwickelt der Roboter schrittweise eine erfolgreiche Laufstrategie. +-- '''Eine KI soll Spam-E-Mails erkennen:''' Menschen haben zuvor Millionen E-Mails als '''„Spam“''' oder '''„kein Spam“''' gekennzeichnet. Aus diesen Beispielen lernt die KI, typische Merkmale von Spam zu erkennen. -+- '''Ein Supermarkt besitzt Millionen Einkaufsdaten:''' Die KI weiss nicht, wer Familien, Studierende oder Seniorinnen und Senioren sind. Sie erkennt lediglich, dass bestimmte Kundinnen und Kunden ein ähnliches Kaufverhalten haben, und bildet daraus Gruppen. Erst anschließend interpretieren Menschen diese Gruppen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Der Mensch ist die '''Lehrperson'''. Er kennt die richtige Lösung und stellt sie der KI zur Verfügung. -+- Der Mensch ist '''Beobachter und Interpret'''. Er bewertet die von der KI gefundenen Muster. --+ Der Mensch ist '''Trainer oder Spieldesigner'''. Er legt Ziele sowie Belohnungen und Strafen fest. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen -+- Die KI entdeckt selbst Muster in den Daten. +-- Die KI lernt aus Beispielen mit bekannten Lösungen. --+ Die KI entwickelt durch Versuch und Irrtum eine erfolgreiche Strategie. </quiz> <quiz display="simple"> { Kaufleute entwickeln in der Regel keine KI-Systeme. Sie nutzen, beschaffen, beurteilen oder überwachen sie. Deshalb sollten sie verstehen, '''wie''' eine KI zu ihren Ergebnissen gelangt und '''welche Grenzen''' sie hat. Warum ist die Unterscheidung der drei Lernarten für Kaufleute wichtig? Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes Lernen | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Kaufleute arbeiten häufig mit KI-Systemen, die Entscheidungen auf der Grundlage früherer Beispiele treffen, z. B. bei Spamfiltern, Bonitätsprüfungen oder der Dokumentenklassifikation. Sie sollten wissen, dass die Qualität solcher Systeme von den Trainingsdaten abhängt. -+- Unternehmen nutzen diese Lernart, um Kundengruppen zu erkennen, Verkaufsdaten auszuwerten oder ungewöhnliche Geschäftsvorfälle zu entdecken. Kaufleute müssen die Ergebnisse kritisch interpretieren und dürfen erkannte Muster nicht automatisch als Tatsachen ansehen. --+ Diese Lernart wird eingesetzt, um Prozesse zu optimieren, z. B. in der Lagerlogistik, Produktionsplanung oder Verkehrssteuerung. Kaufleute sollten verstehen, dass das Verhalten einer KI von den vorgegebenen Zielen und Anreizsystemen abhängt. </quiz> == Bekannte KI-Produkte und Lernarten == {| class="wikitable" ! Produkt / Marke ! Typische Nutzung im Alltag ! Am ehesten verbunden mit ! Warum? |- | '''[[:w:ChatGPT|ChatGPT]]''' | Texte schreiben, Fragen beantworten, zusammenfassen | '''Überwachtes Lernen''' + '''bestärkendes Lernen''' | Sprachmodelle lernen zunächst aus sehr vielen Textbeispielen. Danach werden sie oft durch menschliches Feedback verbessert, z. B. indem Menschen Antworten bewerten. OpenAI nennt dafür RLHF, also Reinforcement Learning from Human Feedback. |- | '''[[:w:Microsoft Copilot|Microsoft Copilot]]''' | KI-Hilfe in Word, Excel, Outlook, Teams, PowerPoint | '''Überwachtes Lernen''' + große Sprachmodelle | Copilot hilft beim Schreiben, Zusammenfassen und Analysieren von Arbeitsdaten. Es nutzt Sprachmodelle und wird in Microsoft-365-Arbeitsabläufe eingebettet. |- | '''[[:w:Siri (Software)|Siri]]''' | Sprachassistent auf iPhone, iPad, Mac | '''Überwachtes Lernen''' | Siri muss Sprache erkennen: Welche Geräusche entsprechen welchen Wörtern? Dafür werden Modelle mit Beispielen trainiert. Apple beschreibt etwa „Hey Siri“ als Spracherkennung mit neuronalen Netzen. |- | '''[[:w:Amazon Alexa|Alexa]]''' | Sprachassistent von Amazon | '''Überwachtes Lernen''' | Auch Alexa muss Sprache erkennen und Befehle zuordnen: Musik spielen, Timer stellen, Licht steuern. Dafür braucht es viele Beispiele von Sprache und passenden Absichten. |- | '''[[:w:Google Assistant|Google Assistant]] / [[:w:Gemini (Sprachmodell)|Gemini]]''' | Suchen, Antworten, Schreiben, Smartphone-Hilfe | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Wie ChatGPT arbeitet Gemini mit großen Sprachmodellen. Solche Systeme werden mit Textdaten trainiert und häufig durch menschliche Bewertungen verbessert. |- | '''[[:w:DeepL|DeepL]]''' | Übersetzung von Texten | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus vielen Textpaaren: Satz auf Deutsch – passender Satz auf Englisch, Französisch usw. |- | '''[[:w:Grammarly|Grammarly]]''' | Rechtschreibung, Stil, Grammatik verbessern | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus Beispielen, welche Formulierung wahrscheinlich korrekt, klarer oder stilistisch besser ist. |- | '''[[:w:Netflix|Netflix]] / [[:w:Spotify|Spotify]] / YouTube-Empfehlungen''' | Vorschläge für Filme, Musik oder Videos | '''Unüberwachtes Lernen''' | Systeme erkennen Muster: Wer hört oder schaut Ähnliches? Welche Inhalte passen zusammen? Die Gruppen entstehen oft aus Nutzungsverhalten. |- | '''Amazon-Produktempfehlungen''' | „Kunden kauften auch …“ | '''Unüberwachtes Lernen''' | Das System sucht Ähnlichkeiten zwischen Produkten, Käufen und Kundengruppen. |- | '''[[:w:Google Maps|Google Maps]] / Navigationsoptimierung''' | Routen, Verkehr, Ankunftszeit | '''Überwachtes Lernen''' + Optimierung | Aus historischen Verkehrsdaten werden Fahrzeiten vorhergesagt. Für Routenentscheidungen kommen zusätzlich Optimierungsverfahren dazu. |- | '''[[:w:Staubsaugerroboter|Staubsaugerroboter]]''' | Wohnung reinigen, Hindernisse vermeiden | teils '''bestärkendes Lernen''' | In der Entwicklung kann ein Roboter durch Versuch und Irrtum lernen, welche Bewegungen oder Strategien gut funktionieren. Im fertigen Gerät laufen aber oft fest eingebaute Regeln und Sensorverfahren. |- | '''[[:w:Selbstfahrendes Kraftfahrzeug|Autonome Fahrzeuge]] / Fahrassistenzsysteme''' | Spur halten, Abstand halten, Hindernisse erkennen | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Bilderkennung, Schildererkennung und Objekterkennung sind oft überwacht trainiert. Fahrstrategien können zusätzlich in Simulationen durch Belohnungssysteme optimiert werden. |} [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] nb5ww2k6ipsnj7zoqof08bl387p5vdy 1105816 1105815 2026-07-01T07:43:07Z Paul Sutermeister 37610 1105816 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Lernziel: Kaufleute sollten:'''</big> * die Funktionsweise von KI-Systemen in Grundzügen verstehen, * Ergebnisse kritisch hinterfragen, * mögliche Fehler, Verzerrungen (Bias) und Risiken erkennen, * Datenschutz sowie ethische Aspekte berücksichtigen, * KI als Entscheidungshilfe nutzen, nicht als unfehlbare Entscheidungsinstanz. Für Kaufleute ist nicht entscheidend, wie die Algorithmen programmiert sind, sondern zu verstehen, * '''woher''' die KI ihr Wissen bezieht, * '''wie''' sie zu ihren Ergebnissen gelangt, * '''welche Grenzen''' sie hat und * '''wann menschliche Kontrolle notwendig ist'''. </div> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge '''Programmieren''' und '''Maschinelles Lernen''' ein: | type="{}" } { Programmieren } bedeutet: Ein Mensch sagt dem Computer ganz genau, was er tun soll. Beispiel: „Wenn jemand sein Passwort falsch eingibt, zeige: Passwort falsch.“ Der Mensch schreibt also die Regeln selbst. { Maschinelles Lernen } bedeutet: Der Mensch zeigt dem Computer viele Beispiele, und der Computer versucht, die Regeln selbst zu erkennen. Beispiel: Man zeigt dem Computer tausende Bilder von Katzen und Hunden. Mit der Zeit lernt er: „Das hier sieht eher nach einer Katze aus.“ Ganz einfach gesagt: { Maschinelles Lernen } heisst, Computer lernt Regeln aus vielen Beispielen. { Programmieren } heisst, Mensch schreibt die Regeln. Ein Vergleich mit einem Kind: Beim { Programmieren } sagst du dem Kind: „Wenn die Ampel rot ist, bleib stehen.“ Beim { Maschinellen Lernen|Maschinelles Lernen } zeigst du dem Kind sehr viele Ampeln und Situationen, bis es selbst versteht, wann man stehen bleiben sollte. { Maschinelles Lernen } ist also eine besondere Art von { Programmieren }: Statt jede Regel einzeln aufzuschreiben, bringt man dem Computer mit Beispielen etwas bei. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Übung: Zeichnen und von KI erkennen lassen'''</big> '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen mit '''[[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]]''' ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- [[:w:Ampel|Ampel]] -+ [[:w:Bilderkennung|Bilderkennung]] +- [[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]] -+ [[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''[[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias (Verzerrungen)]]''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''[[:w:AI-Alignment|Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)]]''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' ([[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]) </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]] | [[:w:AI-Alignment|Reward Hacking]] | [[:w:Clickworker|Daten-Labeling]] +-- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' -+- Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' --+ Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' </quiz> = Rolle des Menschen beim maschinellen Lernen = Maschinelles Lernen unterscheidet sich nicht in erster Linie durch seine Anwendungen, sondern dadurch, '''wie''' ein KI-System lernt und '''welche Rolle Menschen''' dabei spielen. {| class="wikitable" ! Lernart ! Wie lernt die KI? ! Rolle des Menschen ! Typische Anwendungen ! Typische Herausforderung |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen (Supervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Beispiele '''mit der richtigen Lösung''' (Labels) und lernt daraus Muster. | Menschen sind die '''Lehrpersonen'''. Sie kennzeichnen Daten, z. B. als „Spam“ oder „kein Spam“, „Katze“ oder „Hund“, „Krebs“ oder „kein Krebs“. | Spamfilter, Gesichtserkennung, medizinische Bilddiagnostik, Kreditwürdigkeitsprüfung | Das Kennzeichnen großer Datenmengen (Data Labeling) ist aufwendig und wird teilweise von schlecht bezahlten Clickworkerinnen und Clickworkern ausgeführt. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen (Unsupervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Daten '''ohne richtige Lösung''' und sucht selbst nach Mustern, Gruppen oder Auffälligkeiten. | Menschen liefern die Daten und interpretieren anschließend die gefundenen Muster. Die KI entdeckt z. B. ähnliche Kundengruppen; erst Menschen geben diesen Gruppen Namen wie „Familien“ oder „Gelegenheitskäufer“. | Kundensegmentierung, Anomalie- und Betrugserkennung, wissenschaftliche Datenanalyse | Die KI kann Verzerrungen (Bias) oder zufällige Muster übernehmen, die von Menschen kritisch überprüft werden müssen. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und lernt durch '''Belohnungen''' und '''Strafen''', welche Strategie langfristig zum besten Ergebnis führt. | Menschen legen die '''Spielregeln''' fest. Sie definieren, wofür die KI Punkte erhält und wofür nicht. | Robotik, autonome Fahrzeuge, Spiel-KI (z. B. Schach oder Go), Verkehrssteuerung | Ist die Belohnungsfunktion schlecht gewählt, optimiert die KI möglicherweise das Punktesystem statt das eigentliche Ziel (Reward Hacking). |} <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen --+ '''Ein Roboter soll laufen lernen:''' Niemand zeigt ihm die richtige Bewegung. Stattdessen erhält er Rückmeldungen über den Erfolg seines Handelns, z. B.: Umgefallen → −100 Punkte; einen Schritt geschafft → +10 Punkte; zehn Schritte geschafft → +100 Punkte. Durch viele Wiederholungen entwickelt der Roboter schrittweise eine erfolgreiche Laufstrategie. +-- '''Eine KI soll Spam-E-Mails erkennen:''' Menschen haben zuvor Millionen E-Mails als '''„Spam“''' oder '''„kein Spam“''' gekennzeichnet. Aus diesen Beispielen lernt die KI, typische Merkmale von Spam zu erkennen. -+- '''Ein Supermarkt besitzt Millionen Einkaufsdaten:''' Die KI weiss nicht, wer Familien, Studierende oder Seniorinnen und Senioren sind. Sie erkennt lediglich, dass bestimmte Kundinnen und Kunden ein ähnliches Kaufverhalten haben, und bildet daraus Gruppen. Erst anschließend interpretieren Menschen diese Gruppen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Der Mensch ist die '''Lehrperson'''. Er kennt die richtige Lösung und stellt sie der KI zur Verfügung. -+- Der Mensch ist '''Beobachter und Interpret'''. Er bewertet die von der KI gefundenen Muster. --+ Der Mensch ist '''Trainer oder Spieldesigner'''. Er legt Ziele sowie Belohnungen und Strafen fest. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen -+- Die KI entdeckt selbst Muster in den Daten. +-- Die KI lernt aus Beispielen mit bekannten Lösungen. --+ Die KI entwickelt durch Versuch und Irrtum eine erfolgreiche Strategie. </quiz> <quiz display="simple"> { Kaufleute entwickeln in der Regel keine KI-Systeme. Sie nutzen, beschaffen, beurteilen oder überwachen sie. Deshalb sollten sie verstehen, '''wie''' eine KI zu ihren Ergebnissen gelangt und '''welche Grenzen''' sie hat. Warum ist die Unterscheidung der drei Lernarten für Kaufleute wichtig? Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes Lernen | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Kaufleute arbeiten häufig mit KI-Systemen, die Entscheidungen auf der Grundlage früherer Beispiele treffen, z. B. bei Spamfiltern, Bonitätsprüfungen oder der Dokumentenklassifikation. Sie sollten wissen, dass die Qualität solcher Systeme von den Trainingsdaten abhängt. -+- Unternehmen nutzen diese Lernart, um Kundengruppen zu erkennen, Verkaufsdaten auszuwerten oder ungewöhnliche Geschäftsvorfälle zu entdecken. Kaufleute müssen die Ergebnisse kritisch interpretieren und dürfen erkannte Muster nicht automatisch als Tatsachen ansehen. --+ Diese Lernart wird eingesetzt, um Prozesse zu optimieren, z. B. in der Lagerlogistik, Produktionsplanung oder Verkehrssteuerung. Kaufleute sollten verstehen, dass das Verhalten einer KI von den vorgegebenen Zielen und Anreizsystemen abhängt. </quiz> == Bekannte KI-Produkte und Lernarten == {| class="wikitable" ! Produkt / Marke ! Typische Nutzung im Alltag ! Am ehesten verbunden mit ! Warum? |- | '''[[:w:ChatGPT|ChatGPT]]''' | Texte schreiben, Fragen beantworten, zusammenfassen | '''Überwachtes Lernen''' + '''bestärkendes Lernen''' | Sprachmodelle lernen zunächst aus sehr vielen Textbeispielen. Danach werden sie oft durch menschliches Feedback verbessert, z. B. indem Menschen Antworten bewerten. OpenAI nennt dafür RLHF, also Reinforcement Learning from Human Feedback. |- | '''[[:w:Microsoft Copilot|Microsoft Copilot]]''' | KI-Hilfe in Word, Excel, Outlook, Teams, PowerPoint | '''Überwachtes Lernen''' + große Sprachmodelle | Copilot hilft beim Schreiben, Zusammenfassen und Analysieren von Arbeitsdaten. Es nutzt Sprachmodelle und wird in Microsoft-365-Arbeitsabläufe eingebettet. |- | '''[[:w:Siri (Software)|Siri]]''' | Sprachassistent auf iPhone, iPad, Mac | '''Überwachtes Lernen''' | Siri muss Sprache erkennen: Welche Geräusche entsprechen welchen Wörtern? Dafür werden Modelle mit Beispielen trainiert. Apple beschreibt etwa „Hey Siri“ als Spracherkennung mit neuronalen Netzen. |- | '''[[:w:Amazon Alexa|Alexa]]''' | Sprachassistent von Amazon | '''Überwachtes Lernen''' | Auch Alexa muss Sprache erkennen und Befehle zuordnen: Musik spielen, Timer stellen, Licht steuern. Dafür braucht es viele Beispiele von Sprache und passenden Absichten. |- | '''[[:w:Google Assistant|Google Assistant]] / [[:w:Gemini (Sprachmodell)|Gemini]]''' | Suchen, Antworten, Schreiben, Smartphone-Hilfe | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Wie ChatGPT arbeitet Gemini mit großen Sprachmodellen. Solche Systeme werden mit Textdaten trainiert und häufig durch menschliche Bewertungen verbessert. |- | '''[[:w:DeepL|DeepL]]''' | Übersetzung von Texten | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus vielen Textpaaren: Satz auf Deutsch – passender Satz auf Englisch, Französisch usw. |- | '''[[:w:Grammarly|Grammarly]]''' | Rechtschreibung, Stil, Grammatik verbessern | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus Beispielen, welche Formulierung wahrscheinlich korrekt, klarer oder stilistisch besser ist. |- | '''[[:w:Netflix|Netflix]] / [[:w:Spotify|Spotify]] / YouTube-Empfehlungen''' | Vorschläge für Filme, Musik oder Videos | '''Unüberwachtes Lernen''' | Systeme erkennen Muster: Wer hört oder schaut Ähnliches? Welche Inhalte passen zusammen? Die Gruppen entstehen oft aus Nutzungsverhalten. |- | '''Amazon-Produktempfehlungen''' | „Kunden kauften auch …“ | '''Unüberwachtes Lernen''' | Das System sucht Ähnlichkeiten zwischen Produkten, Käufen und Kundengruppen. |- | '''[[:w:Google Maps|Google Maps]] / Navigationsoptimierung''' | Routen, Verkehr, Ankunftszeit | '''Überwachtes Lernen''' + Optimierung | Aus historischen Verkehrsdaten werden Fahrzeiten vorhergesagt. Für Routenentscheidungen kommen zusätzlich Optimierungsverfahren dazu. |- | '''[[:w:Staubsaugerroboter|Staubsaugerroboter]]''' | Wohnung reinigen, Hindernisse vermeiden | teils '''bestärkendes Lernen''' | In der Entwicklung kann ein Roboter durch Versuch und Irrtum lernen, welche Bewegungen oder Strategien gut funktionieren. Im fertigen Gerät laufen aber oft fest eingebaute Regeln und Sensorverfahren. |- | '''[[:w:Selbstfahrendes Kraftfahrzeug|Autonome Fahrzeuge]] / Fahrassistenzsysteme''' | Spur halten, Abstand halten, Hindernisse erkennen | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Bilderkennung, Schildererkennung und Objekterkennung sind oft überwacht trainiert. Fahrstrategien können zusätzlich in Simulationen durch Belohnungssysteme optimiert werden. |} [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] mhhlls25bjsrd108brh660o3wmonesc 1105817 1105816 2026-07-01T07:46:23Z Paul Sutermeister 37610 1105817 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Lernziel: Kaufleute sollten:'''</big> * die Funktionsweise von KI-Systemen in Grundzügen verstehen, * Ergebnisse kritisch hinterfragen, * mögliche Fehler, Verzerrungen (Bias) und Risiken erkennen, * Datenschutz sowie ethische Aspekte berücksichtigen, * KI als Entscheidungshilfe nutzen, nicht als unfehlbare Entscheidungsinstanz. Für Kaufleute ist nicht entscheidend, wie die Algorithmen programmiert sind, sondern zu verstehen, * '''woher''' die KI ihr Wissen bezieht, * '''wie''' sie zu ihren Ergebnissen gelangt, * '''welche Grenzen''' sie hat und * '''wann menschliche Kontrolle notwendig ist'''. </div> <quiz display="simple"> { '''WAS HEISST «LERNEN»?''' Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { '''WAS HEISST «MASCHINELLES LERNEN»?''' Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { '''«MASCHINELLES LERNEN» IST ETWAS ANDERES ALS «PROGRAMMIEREN».''' Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge '''Programmieren''' und '''Maschinelles Lernen''' ein: | type="{}" } { Programmieren } bedeutet: Ein Mensch sagt dem Computer ganz genau, was er tun soll. Beispiel: „Wenn jemand sein Passwort falsch eingibt, zeige: Passwort falsch.“ Der Mensch schreibt also die Regeln selbst. { Maschinelles Lernen } bedeutet: Der Mensch zeigt dem Computer viele Beispiele, und der Computer versucht, die Regeln selbst zu erkennen. Beispiel: Man zeigt dem Computer tausende Bilder von Katzen und Hunden. Mit der Zeit lernt er: „Das hier sieht eher nach einer Katze aus.“ Ganz einfach gesagt: { Maschinelles Lernen } heisst, Computer lernt Regeln aus vielen Beispielen. { Programmieren } heisst, Mensch schreibt die Regeln. Ein Vergleich mit einem Kind: Beim { Programmieren } sagst du dem Kind: „Wenn die Ampel rot ist, bleib stehen.“ Beim { Maschinellen Lernen|Maschinelles Lernen } zeigst du dem Kind sehr viele Ampeln und Situationen, bis es selbst versteht, wann man stehen bleiben sollte. { Maschinelles Lernen } ist also eine besondere Art von { Programmieren }: Statt jede Regel einzeln aufzuschreiben, bringt man dem Computer mit Beispielen etwas bei. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Übung: Zeichnen und von KI erkennen lassen'''</big> '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen mit '''[[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]]''' ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- [[:w:Ampel|Ampel]] -+ [[:w:Bilderkennung|Bilderkennung]] +- [[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]] -+ [[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]] </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''[[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias (Verzerrungen)]]''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''[[:w:AI-Alignment|Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)]]''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' ([[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]) </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]] | [[:w:AI-Alignment|Reward Hacking]] | [[:w:Clickworker|Daten-Labeling]] +-- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' -+- Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' --+ Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' </quiz> = Rolle des Menschen beim maschinellen Lernen = Maschinelles Lernen unterscheidet sich nicht in erster Linie durch seine Anwendungen, sondern dadurch, '''wie''' ein KI-System lernt und '''welche Rolle Menschen''' dabei spielen. {| class="wikitable" ! Lernart ! Wie lernt die KI? ! Rolle des Menschen ! Typische Anwendungen ! Typische Herausforderung |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen (Supervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Beispiele '''mit der richtigen Lösung''' (Labels) und lernt daraus Muster. | Menschen sind die '''Lehrpersonen'''. Sie kennzeichnen Daten, z. B. als „Spam“ oder „kein Spam“, „Katze“ oder „Hund“, „Krebs“ oder „kein Krebs“. | Spamfilter, Gesichtserkennung, medizinische Bilddiagnostik, Kreditwürdigkeitsprüfung | Das Kennzeichnen großer Datenmengen (Data Labeling) ist aufwendig und wird teilweise von schlecht bezahlten Clickworkerinnen und Clickworkern ausgeführt. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen (Unsupervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Daten '''ohne richtige Lösung''' und sucht selbst nach Mustern, Gruppen oder Auffälligkeiten. | Menschen liefern die Daten und interpretieren anschließend die gefundenen Muster. Die KI entdeckt z. B. ähnliche Kundengruppen; erst Menschen geben diesen Gruppen Namen wie „Familien“ oder „Gelegenheitskäufer“. | Kundensegmentierung, Anomalie- und Betrugserkennung, wissenschaftliche Datenanalyse | Die KI kann Verzerrungen (Bias) oder zufällige Muster übernehmen, die von Menschen kritisch überprüft werden müssen. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und lernt durch '''Belohnungen''' und '''Strafen''', welche Strategie langfristig zum besten Ergebnis führt. | Menschen legen die '''Spielregeln''' fest. Sie definieren, wofür die KI Punkte erhält und wofür nicht. | Robotik, autonome Fahrzeuge, Spiel-KI (z. B. Schach oder Go), Verkehrssteuerung | Ist die Belohnungsfunktion schlecht gewählt, optimiert die KI möglicherweise das Punktesystem statt das eigentliche Ziel (Reward Hacking). |} <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen --+ '''Ein Roboter soll laufen lernen:''' Niemand zeigt ihm die richtige Bewegung. Stattdessen erhält er Rückmeldungen über den Erfolg seines Handelns, z. B.: Umgefallen → −100 Punkte; einen Schritt geschafft → +10 Punkte; zehn Schritte geschafft → +100 Punkte. Durch viele Wiederholungen entwickelt der Roboter schrittweise eine erfolgreiche Laufstrategie. +-- '''Eine KI soll Spam-E-Mails erkennen:''' Menschen haben zuvor Millionen E-Mails als '''„Spam“''' oder '''„kein Spam“''' gekennzeichnet. Aus diesen Beispielen lernt die KI, typische Merkmale von Spam zu erkennen. -+- '''Ein Supermarkt besitzt Millionen Einkaufsdaten:''' Die KI weiss nicht, wer Familien, Studierende oder Seniorinnen und Senioren sind. Sie erkennt lediglich, dass bestimmte Kundinnen und Kunden ein ähnliches Kaufverhalten haben, und bildet daraus Gruppen. Erst anschließend interpretieren Menschen diese Gruppen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Der Mensch ist die '''Lehrperson'''. Er kennt die richtige Lösung und stellt sie der KI zur Verfügung. -+- Der Mensch ist '''Beobachter und Interpret'''. Er bewertet die von der KI gefundenen Muster. --+ Der Mensch ist '''Trainer oder Spieldesigner'''. Er legt Ziele sowie Belohnungen und Strafen fest. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen -+- Die KI entdeckt selbst Muster in den Daten. +-- Die KI lernt aus Beispielen mit bekannten Lösungen. --+ Die KI entwickelt durch Versuch und Irrtum eine erfolgreiche Strategie. </quiz> <quiz display="simple"> { Kaufleute entwickeln in der Regel keine KI-Systeme. Sie nutzen, beschaffen, beurteilen oder überwachen sie. Deshalb sollten sie verstehen, '''wie''' eine KI zu ihren Ergebnissen gelangt und '''welche Grenzen''' sie hat. Warum ist die Unterscheidung der drei Lernarten für Kaufleute wichtig? Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes Lernen | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Kaufleute arbeiten häufig mit KI-Systemen, die Entscheidungen auf der Grundlage früherer Beispiele treffen, z. B. bei Spamfiltern, Bonitätsprüfungen oder der Dokumentenklassifikation. Sie sollten wissen, dass die Qualität solcher Systeme von den Trainingsdaten abhängt. -+- Unternehmen nutzen diese Lernart, um Kundengruppen zu erkennen, Verkaufsdaten auszuwerten oder ungewöhnliche Geschäftsvorfälle zu entdecken. Kaufleute müssen die Ergebnisse kritisch interpretieren und dürfen erkannte Muster nicht automatisch als Tatsachen ansehen. --+ Diese Lernart wird eingesetzt, um Prozesse zu optimieren, z. B. in der Lagerlogistik, Produktionsplanung oder Verkehrssteuerung. Kaufleute sollten verstehen, dass das Verhalten einer KI von den vorgegebenen Zielen und Anreizsystemen abhängt. </quiz> == Bekannte KI-Produkte und Lernarten == {| class="wikitable" ! Produkt / Marke ! Typische Nutzung im Alltag ! Am ehesten verbunden mit ! Warum? |- | '''[[:w:ChatGPT|ChatGPT]]''' | Texte schreiben, Fragen beantworten, zusammenfassen | '''Überwachtes Lernen''' + '''bestärkendes Lernen''' | Sprachmodelle lernen zunächst aus sehr vielen Textbeispielen. Danach werden sie oft durch menschliches Feedback verbessert, z. B. indem Menschen Antworten bewerten. OpenAI nennt dafür RLHF, also Reinforcement Learning from Human Feedback. |- | '''[[:w:Microsoft Copilot|Microsoft Copilot]]''' | KI-Hilfe in Word, Excel, Outlook, Teams, PowerPoint | '''Überwachtes Lernen''' + große Sprachmodelle | Copilot hilft beim Schreiben, Zusammenfassen und Analysieren von Arbeitsdaten. Es nutzt Sprachmodelle und wird in Microsoft-365-Arbeitsabläufe eingebettet. |- | '''[[:w:Siri (Software)|Siri]]''' | Sprachassistent auf iPhone, iPad, Mac | '''Überwachtes Lernen''' | Siri muss Sprache erkennen: Welche Geräusche entsprechen welchen Wörtern? Dafür werden Modelle mit Beispielen trainiert. Apple beschreibt etwa „Hey Siri“ als Spracherkennung mit neuronalen Netzen. |- | '''[[:w:Amazon Alexa|Alexa]]''' | Sprachassistent von Amazon | '''Überwachtes Lernen''' | Auch Alexa muss Sprache erkennen und Befehle zuordnen: Musik spielen, Timer stellen, Licht steuern. Dafür braucht es viele Beispiele von Sprache und passenden Absichten. |- | '''[[:w:Google Assistant|Google Assistant]] / [[:w:Gemini (Sprachmodell)|Gemini]]''' | Suchen, Antworten, Schreiben, Smartphone-Hilfe | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Wie ChatGPT arbeitet Gemini mit großen Sprachmodellen. Solche Systeme werden mit Textdaten trainiert und häufig durch menschliche Bewertungen verbessert. |- | '''[[:w:DeepL|DeepL]]''' | Übersetzung von Texten | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus vielen Textpaaren: Satz auf Deutsch – passender Satz auf Englisch, Französisch usw. |- | '''[[:w:Grammarly|Grammarly]]''' | Rechtschreibung, Stil, Grammatik verbessern | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus Beispielen, welche Formulierung wahrscheinlich korrekt, klarer oder stilistisch besser ist. |- | '''[[:w:Netflix|Netflix]] / [[:w:Spotify|Spotify]] / YouTube-Empfehlungen''' | Vorschläge für Filme, Musik oder Videos | '''Unüberwachtes Lernen''' | Systeme erkennen Muster: Wer hört oder schaut Ähnliches? Welche Inhalte passen zusammen? Die Gruppen entstehen oft aus Nutzungsverhalten. |- | '''Amazon-Produktempfehlungen''' | „Kunden kauften auch …“ | '''Unüberwachtes Lernen''' | Das System sucht Ähnlichkeiten zwischen Produkten, Käufen und Kundengruppen. |- | '''[[:w:Google Maps|Google Maps]] / Navigationsoptimierung''' | Routen, Verkehr, Ankunftszeit | '''Überwachtes Lernen''' + Optimierung | Aus historischen Verkehrsdaten werden Fahrzeiten vorhergesagt. Für Routenentscheidungen kommen zusätzlich Optimierungsverfahren dazu. |- | '''[[:w:Staubsaugerroboter|Staubsaugerroboter]]''' | Wohnung reinigen, Hindernisse vermeiden | teils '''bestärkendes Lernen''' | In der Entwicklung kann ein Roboter durch Versuch und Irrtum lernen, welche Bewegungen oder Strategien gut funktionieren. Im fertigen Gerät laufen aber oft fest eingebaute Regeln und Sensorverfahren. |- | '''[[:w:Selbstfahrendes Kraftfahrzeug|Autonome Fahrzeuge]] / Fahrassistenzsysteme''' | Spur halten, Abstand halten, Hindernisse erkennen | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Bilderkennung, Schildererkennung und Objekterkennung sind oft überwacht trainiert. Fahrstrategien können zusätzlich in Simulationen durch Belohnungssysteme optimiert werden. |} [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] k1t60lxj5t8jc71p9wqrh5yh2t6zsxr 1105818 1105817 2026-07-01T07:54:35Z Paul Sutermeister 37610 1105818 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Lernziel: Kaufleute sollten:'''</big> * die Funktionsweise von KI-Systemen in Grundzügen verstehen, * Ergebnisse kritisch hinterfragen, * mögliche Fehler, Verzerrungen (Bias) und Risiken erkennen, * Datenschutz sowie ethische Aspekte berücksichtigen, * KI als Entscheidungshilfe nutzen, nicht als unfehlbare Entscheidungsinstanz. Für Kaufleute ist nicht entscheidend, wie die Algorithmen programmiert sind, sondern zu verstehen, * '''woher''' die KI ihr Wissen bezieht, * '''wie''' sie zu ihren Ergebnissen gelangt, * '''welche Grenzen''' sie hat und * '''wann menschliche Kontrolle notwendig ist'''. </div> <quiz display="simple"> { '''WAS HEISST «LERNEN»?''' Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { '''WAS HEISST «MASCHINELLES LERNEN»?''' Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { '''«MASCHINELLES LERNEN» IST ETWAS ANDERES ALS «PROGRAMMIEREN».''' Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge '''Programmieren''' und '''Maschinelles Lernen''' ein: | type="{}" } { Programmieren } bedeutet: Ein Mensch sagt dem Computer ganz genau, was er tun soll. Beispiel: „Wenn jemand sein Passwort falsch eingibt, zeige: Passwort falsch.“ Der Mensch schreibt also die Regeln selbst. { Maschinelles Lernen } bedeutet: Der Mensch zeigt dem Computer viele Beispiele, und der Computer versucht, die Regeln selbst zu erkennen. Beispiel: Man zeigt dem Computer tausende Bilder von Katzen und Hunden. Mit der Zeit lernt er: „Das hier sieht eher nach einer Katze aus.“ Ganz einfach gesagt: { Maschinelles Lernen } heisst, Computer lernt Regeln aus vielen Beispielen. { Programmieren } heisst, Mensch schreibt die Regeln. Ein Vergleich mit einem Kind: Beim { Programmieren } sagst du dem Kind: „Wenn die Ampel rot ist, bleib stehen.“ Beim { Maschinellen Lernen|Maschinelles Lernen } zeigst du dem Kind sehr viele Ampeln und Situationen, bis es selbst versteht, wann man stehen bleiben sollte. { Maschinelles Lernen } ist also eine besondere Art von { Programmieren }: Statt jede Regel einzeln aufzuschreiben, bringt man dem Computer mit Beispielen etwas bei. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Übung: Zeichnen und von KI erkennen lassen'''</big> '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen mit '''[[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]]''' ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- '''[[:w:Ampel|Ampel]]''' -+ '''[[:w:Bilderkennung|Komplexe Bilderkennung]]''' +- '''[[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]]''' -+ '''[[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]]''' </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = <quiz display="simple"> { Füge '''Lernen ohne richtige Lösungen''' und '''Lernen durch Versuch und Fehler''' und '''Lernen mit richtigen Lösungen''' ein: | type="{}" } Maschinelles Lernen ist nicht immer gleich. Es gibt mehrere Arten: Beim '''{ Lernen mit richtigen Lösungen }''' bekommt der Computer Beispiele mit Antwort. Beispiel: Viele Bilder mit dem Hinweis „Katze“ oder „Hund“. Dann lernt der Computer, neue Bilder einzuordnen. So ähnlich wie Unterricht mit Lösungen. Beim '''{ Lernen ohne richtige Lösungen }''' bekommt der Computer viele Dinge, aber niemand sagt ihm, was sie bedeuten. Er sucht selbst nach Gruppen oder Mustern. Beispiel: Viele Kundinnen und Kunden mit ihren Einkäufen. Der Computer entdeckt vielleicht: „Diese Gruppe kauft oft Brot, diese Gruppe oft Computerspiele.“ So ähnlich wie Dinge sortieren, ohne vorher zu wissen, welche Gruppen es geben soll. Beim '''{ Lernen durch Versuch und Fehler }''' probiert der Computer etwas aus. Für gute Entscheidungen bekommt er eine Belohnung, für schlechte nicht. Beispiel: Ein Computer lernt ein Spiel. Gewinnt er Punkte, merkt er: „Das war vermutlich gut.“ Verliert er, probiert er beim nächsten Mal etwas anderes. So ähnlich wie ein Hund, der für richtiges Verhalten ein Leckerli bekommt. Ganz grob: '''Mit Lösungen:''' „Hier ist die richtige Antwort. Lerne daraus.“ '''Ohne Lösungen:''' „Schau selbst, was zusammenpasst.“ '''Durch Belohnung:''' „Probiere aus und merke dir, was gut funktioniert.“ </quiz> {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''[[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias (Verzerrungen)]]''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''[[:w:AI-Alignment|Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)]]''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' ([[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]) </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]] | [[:w:AI-Alignment|Reward Hacking]] | [[:w:Clickworker|Daten-Labeling]] +-- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' -+- Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' --+ Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' </quiz> = Rolle des Menschen beim maschinellen Lernen = Maschinelles Lernen unterscheidet sich nicht in erster Linie durch seine Anwendungen, sondern dadurch, '''wie''' ein KI-System lernt und '''welche Rolle Menschen''' dabei spielen. {| class="wikitable" ! Lernart ! Wie lernt die KI? ! Rolle des Menschen ! Typische Anwendungen ! Typische Herausforderung |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen (Supervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Beispiele '''mit der richtigen Lösung''' (Labels) und lernt daraus Muster. | Menschen sind die '''Lehrpersonen'''. Sie kennzeichnen Daten, z. B. als „Spam“ oder „kein Spam“, „Katze“ oder „Hund“, „Krebs“ oder „kein Krebs“. | Spamfilter, Gesichtserkennung, medizinische Bilddiagnostik, Kreditwürdigkeitsprüfung | Das Kennzeichnen großer Datenmengen (Data Labeling) ist aufwendig und wird teilweise von schlecht bezahlten Clickworkerinnen und Clickworkern ausgeführt. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen (Unsupervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Daten '''ohne richtige Lösung''' und sucht selbst nach Mustern, Gruppen oder Auffälligkeiten. | Menschen liefern die Daten und interpretieren anschließend die gefundenen Muster. Die KI entdeckt z. B. ähnliche Kundengruppen; erst Menschen geben diesen Gruppen Namen wie „Familien“ oder „Gelegenheitskäufer“. | Kundensegmentierung, Anomalie- und Betrugserkennung, wissenschaftliche Datenanalyse | Die KI kann Verzerrungen (Bias) oder zufällige Muster übernehmen, die von Menschen kritisch überprüft werden müssen. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und lernt durch '''Belohnungen''' und '''Strafen''', welche Strategie langfristig zum besten Ergebnis führt. | Menschen legen die '''Spielregeln''' fest. Sie definieren, wofür die KI Punkte erhält und wofür nicht. | Robotik, autonome Fahrzeuge, Spiel-KI (z. B. Schach oder Go), Verkehrssteuerung | Ist die Belohnungsfunktion schlecht gewählt, optimiert die KI möglicherweise das Punktesystem statt das eigentliche Ziel (Reward Hacking). |} <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen --+ '''Ein Roboter soll laufen lernen:''' Niemand zeigt ihm die richtige Bewegung. Stattdessen erhält er Rückmeldungen über den Erfolg seines Handelns, z. B.: Umgefallen → −100 Punkte; einen Schritt geschafft → +10 Punkte; zehn Schritte geschafft → +100 Punkte. Durch viele Wiederholungen entwickelt der Roboter schrittweise eine erfolgreiche Laufstrategie. +-- '''Eine KI soll Spam-E-Mails erkennen:''' Menschen haben zuvor Millionen E-Mails als '''„Spam“''' oder '''„kein Spam“''' gekennzeichnet. Aus diesen Beispielen lernt die KI, typische Merkmale von Spam zu erkennen. -+- '''Ein Supermarkt besitzt Millionen Einkaufsdaten:''' Die KI weiss nicht, wer Familien, Studierende oder Seniorinnen und Senioren sind. Sie erkennt lediglich, dass bestimmte Kundinnen und Kunden ein ähnliches Kaufverhalten haben, und bildet daraus Gruppen. Erst anschließend interpretieren Menschen diese Gruppen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Der Mensch ist die '''Lehrperson'''. Er kennt die richtige Lösung und stellt sie der KI zur Verfügung. -+- Der Mensch ist '''Beobachter und Interpret'''. Er bewertet die von der KI gefundenen Muster. --+ Der Mensch ist '''Trainer oder Spieldesigner'''. Er legt Ziele sowie Belohnungen und Strafen fest. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen -+- Die KI entdeckt selbst Muster in den Daten. +-- Die KI lernt aus Beispielen mit bekannten Lösungen. --+ Die KI entwickelt durch Versuch und Irrtum eine erfolgreiche Strategie. </quiz> <quiz display="simple"> { Kaufleute entwickeln in der Regel keine KI-Systeme. Sie nutzen, beschaffen, beurteilen oder überwachen sie. Deshalb sollten sie verstehen, '''wie''' eine KI zu ihren Ergebnissen gelangt und '''welche Grenzen''' sie hat. Warum ist die Unterscheidung der drei Lernarten für Kaufleute wichtig? Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes Lernen | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Kaufleute arbeiten häufig mit KI-Systemen, die Entscheidungen auf der Grundlage früherer Beispiele treffen, z. B. bei Spamfiltern, Bonitätsprüfungen oder der Dokumentenklassifikation. Sie sollten wissen, dass die Qualität solcher Systeme von den Trainingsdaten abhängt. -+- Unternehmen nutzen diese Lernart, um Kundengruppen zu erkennen, Verkaufsdaten auszuwerten oder ungewöhnliche Geschäftsvorfälle zu entdecken. Kaufleute müssen die Ergebnisse kritisch interpretieren und dürfen erkannte Muster nicht automatisch als Tatsachen ansehen. --+ Diese Lernart wird eingesetzt, um Prozesse zu optimieren, z. B. in der Lagerlogistik, Produktionsplanung oder Verkehrssteuerung. Kaufleute sollten verstehen, dass das Verhalten einer KI von den vorgegebenen Zielen und Anreizsystemen abhängt. </quiz> == Bekannte KI-Produkte und Lernarten == {| class="wikitable" ! Produkt / Marke ! Typische Nutzung im Alltag ! Am ehesten verbunden mit ! Warum? |- | '''[[:w:ChatGPT|ChatGPT]]''' | Texte schreiben, Fragen beantworten, zusammenfassen | '''Überwachtes Lernen''' + '''bestärkendes Lernen''' | Sprachmodelle lernen zunächst aus sehr vielen Textbeispielen. Danach werden sie oft durch menschliches Feedback verbessert, z. B. indem Menschen Antworten bewerten. OpenAI nennt dafür RLHF, also Reinforcement Learning from Human Feedback. |- | '''[[:w:Microsoft Copilot|Microsoft Copilot]]''' | KI-Hilfe in Word, Excel, Outlook, Teams, PowerPoint | '''Überwachtes Lernen''' + große Sprachmodelle | Copilot hilft beim Schreiben, Zusammenfassen und Analysieren von Arbeitsdaten. Es nutzt Sprachmodelle und wird in Microsoft-365-Arbeitsabläufe eingebettet. |- | '''[[:w:Siri (Software)|Siri]]''' | Sprachassistent auf iPhone, iPad, Mac | '''Überwachtes Lernen''' | Siri muss Sprache erkennen: Welche Geräusche entsprechen welchen Wörtern? Dafür werden Modelle mit Beispielen trainiert. Apple beschreibt etwa „Hey Siri“ als Spracherkennung mit neuronalen Netzen. |- | '''[[:w:Amazon Alexa|Alexa]]''' | Sprachassistent von Amazon | '''Überwachtes Lernen''' | Auch Alexa muss Sprache erkennen und Befehle zuordnen: Musik spielen, Timer stellen, Licht steuern. Dafür braucht es viele Beispiele von Sprache und passenden Absichten. |- | '''[[:w:Google Assistant|Google Assistant]] / [[:w:Gemini (Sprachmodell)|Gemini]]''' | Suchen, Antworten, Schreiben, Smartphone-Hilfe | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Wie ChatGPT arbeitet Gemini mit großen Sprachmodellen. Solche Systeme werden mit Textdaten trainiert und häufig durch menschliche Bewertungen verbessert. |- | '''[[:w:DeepL|DeepL]]''' | Übersetzung von Texten | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus vielen Textpaaren: Satz auf Deutsch – passender Satz auf Englisch, Französisch usw. |- | '''[[:w:Grammarly|Grammarly]]''' | Rechtschreibung, Stil, Grammatik verbessern | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus Beispielen, welche Formulierung wahrscheinlich korrekt, klarer oder stilistisch besser ist. |- | '''[[:w:Netflix|Netflix]] / [[:w:Spotify|Spotify]] / YouTube-Empfehlungen''' | Vorschläge für Filme, Musik oder Videos | '''Unüberwachtes Lernen''' | Systeme erkennen Muster: Wer hört oder schaut Ähnliches? Welche Inhalte passen zusammen? Die Gruppen entstehen oft aus Nutzungsverhalten. |- | '''Amazon-Produktempfehlungen''' | „Kunden kauften auch …“ | '''Unüberwachtes Lernen''' | Das System sucht Ähnlichkeiten zwischen Produkten, Käufen und Kundengruppen. |- | '''[[:w:Google Maps|Google Maps]] / Navigationsoptimierung''' | Routen, Verkehr, Ankunftszeit | '''Überwachtes Lernen''' + Optimierung | Aus historischen Verkehrsdaten werden Fahrzeiten vorhergesagt. Für Routenentscheidungen kommen zusätzlich Optimierungsverfahren dazu. |- | '''[[:w:Staubsaugerroboter|Staubsaugerroboter]]''' | Wohnung reinigen, Hindernisse vermeiden | teils '''bestärkendes Lernen''' | In der Entwicklung kann ein Roboter durch Versuch und Irrtum lernen, welche Bewegungen oder Strategien gut funktionieren. Im fertigen Gerät laufen aber oft fest eingebaute Regeln und Sensorverfahren. |- | '''[[:w:Selbstfahrendes Kraftfahrzeug|Autonome Fahrzeuge]] / Fahrassistenzsysteme''' | Spur halten, Abstand halten, Hindernisse erkennen | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Bilderkennung, Schildererkennung und Objekterkennung sind oft überwacht trainiert. Fahrstrategien können zusätzlich in Simulationen durch Belohnungssysteme optimiert werden. |} [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] i40klapn583rbuhxbg2y7pf23ga5jc1 1105819 1105818 2026-07-01T07:59:19Z Paul Sutermeister 37610 1105819 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Lernziel: Kaufleute sollten:'''</big> * die Funktionsweise von KI-Systemen in Grundzügen verstehen, * Ergebnisse kritisch hinterfragen, * mögliche Fehler, Verzerrungen (Bias) und Risiken erkennen, * Datenschutz sowie ethische Aspekte berücksichtigen, * KI als Entscheidungshilfe nutzen, nicht als unfehlbare Entscheidungsinstanz. Für Kaufleute ist nicht entscheidend, wie die Algorithmen programmiert sind, sondern zu verstehen, * '''woher''' die KI ihr Wissen bezieht, * '''wie''' sie zu ihren Ergebnissen gelangt, * '''welche Grenzen''' sie hat und * '''wann menschliche Kontrolle notwendig ist'''. </div> <quiz display="simple"> { '''WAS HEISST «LERNEN»?''' Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { '''WAS HEISST «MASCHINELLES LERNEN»?''' Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { '''«MASCHINELLES LERNEN» IST ETWAS ANDERES ALS «PROGRAMMIEREN».''' Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge '''Programmieren''' und '''Maschinelles Lernen''' ein: | type="{}" } { Programmieren } bedeutet: Ein Mensch sagt dem Computer ganz genau, was er tun soll. Beispiel: „Wenn jemand sein Passwort falsch eingibt, zeige: Passwort falsch.“ Der Mensch schreibt also die Regeln selbst. { Maschinelles Lernen } bedeutet: Der Mensch zeigt dem Computer viele Beispiele, und der Computer versucht, die Regeln selbst zu erkennen. Beispiel: Man zeigt dem Computer tausende Bilder von Katzen und Hunden. Mit der Zeit lernt er: „Das hier sieht eher nach einer Katze aus.“ Ganz einfach gesagt: { Maschinelles Lernen } heisst, Computer lernt Regeln aus vielen Beispielen. { Programmieren } heisst, Mensch schreibt die Regeln. Ein Vergleich mit einem Kind: Beim { Programmieren } sagst du dem Kind: „Wenn die Ampel rot ist, bleib stehen.“ Beim { Maschinellen Lernen|Maschinelles Lernen } zeigst du dem Kind sehr viele Ampeln und Situationen, bis es selbst versteht, wann man stehen bleiben sollte. { Maschinelles Lernen } ist also eine besondere Art von { Programmieren }: Statt jede Regel einzeln aufzuschreiben, bringt man dem Computer mit Beispielen etwas bei. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Übung: Zeichnen und von KI erkennen lassen'''</big> '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen mit '''[[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]]''' ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- '''[[:w:Ampel|Ampel]]''' -+ '''[[:w:Bilderkennung|Komplexe Bilderkennung]]''' +- '''[[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]]''' -+ '''[[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]]''' </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = <quiz display="simple"> { Füge '''Lernen ohne richtige Lösungen''' und '''Lernen durch Versuch und Fehler''' und '''Lernen mit richtigen Lösungen''' ein: | type="{}" } Maschinelles Lernen ist nicht immer gleich. Es gibt mehrere Arten: Beim '''{ Lernen mit richtigen Lösungen }''' bekommt der Computer Beispiele mit Antwort. Beispiel: Viele Bilder mit dem Hinweis „Katze“ oder „Hund“. Dann lernt der Computer, neue Bilder einzuordnen. So ähnlich wie Unterricht mit Lösungen. Beim '''{ Lernen ohne richtige Lösungen }''' bekommt der Computer viele Dinge, aber niemand sagt ihm, was sie bedeuten. Er sucht selbst nach Gruppen oder Mustern. Beispiel: Viele Kundinnen und Kunden mit ihren Einkäufen. Der Computer entdeckt vielleicht: „Diese Gruppe kauft oft Brot, diese Gruppe oft Computerspiele.“ So ähnlich wie Dinge sortieren, ohne vorher zu wissen, welche Gruppen es geben soll. Beim '''{ Lernen durch Versuch und Fehler }''' probiert der Computer etwas aus. Für gute Entscheidungen bekommt er eine Belohnung, für schlechte nicht. Beispiel: Ein Computer lernt ein Spiel. Gewinnt er Punkte, merkt er: „Das war vermutlich gut.“ Verliert er, probiert er beim nächsten Mal etwas anderes. So ähnlich wie ein Hund, der für richtiges Verhalten ein Leckerli bekommt. Ganz grob: '''Mit Lösungen:''' „Hier ist die richtige Antwort. Lerne daraus.“ '''Ohne Lösungen:''' „Schau selbst, was zusammenpasst.“ '''Durch Belohnung:''' „Probiere aus und merke dir, was gut funktioniert.“ </quiz> <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> Beispiel für <big>'''Überwachtes Lernen'''</big>: * [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025. </div> {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''[[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias (Verzerrungen)]]''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''[[:w:AI-Alignment|Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)]]''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' ([[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]) </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]] | [[:w:AI-Alignment|Reward Hacking]] | [[:w:Clickworker|Daten-Labeling]] +-- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' -+- Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' --+ Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' </quiz> = Rolle des Menschen beim maschinellen Lernen = Maschinelles Lernen unterscheidet sich nicht in erster Linie durch seine Anwendungen, sondern dadurch, '''wie''' ein KI-System lernt und '''welche Rolle Menschen''' dabei spielen. {| class="wikitable" ! Lernart ! Wie lernt die KI? ! Rolle des Menschen ! Typische Anwendungen ! Typische Herausforderung |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen (Supervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Beispiele '''mit der richtigen Lösung''' (Labels) und lernt daraus Muster. | Menschen sind die '''Lehrpersonen'''. Sie kennzeichnen Daten, z. B. als „Spam“ oder „kein Spam“, „Katze“ oder „Hund“, „Krebs“ oder „kein Krebs“. | Spamfilter, Gesichtserkennung, medizinische Bilddiagnostik, Kreditwürdigkeitsprüfung | Das Kennzeichnen großer Datenmengen (Data Labeling) ist aufwendig und wird teilweise von schlecht bezahlten Clickworkerinnen und Clickworkern ausgeführt. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen (Unsupervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Daten '''ohne richtige Lösung''' und sucht selbst nach Mustern, Gruppen oder Auffälligkeiten. | Menschen liefern die Daten und interpretieren anschließend die gefundenen Muster. Die KI entdeckt z. B. ähnliche Kundengruppen; erst Menschen geben diesen Gruppen Namen wie „Familien“ oder „Gelegenheitskäufer“. | Kundensegmentierung, Anomalie- und Betrugserkennung, wissenschaftliche Datenanalyse | Die KI kann Verzerrungen (Bias) oder zufällige Muster übernehmen, die von Menschen kritisch überprüft werden müssen. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und lernt durch '''Belohnungen''' und '''Strafen''', welche Strategie langfristig zum besten Ergebnis führt. | Menschen legen die '''Spielregeln''' fest. Sie definieren, wofür die KI Punkte erhält und wofür nicht. | Robotik, autonome Fahrzeuge, Spiel-KI (z. B. Schach oder Go), Verkehrssteuerung | Ist die Belohnungsfunktion schlecht gewählt, optimiert die KI möglicherweise das Punktesystem statt das eigentliche Ziel (Reward Hacking). |} <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen --+ '''Ein Roboter soll laufen lernen:''' Niemand zeigt ihm die richtige Bewegung. Stattdessen erhält er Rückmeldungen über den Erfolg seines Handelns, z. B.: Umgefallen → −100 Punkte; einen Schritt geschafft → +10 Punkte; zehn Schritte geschafft → +100 Punkte. Durch viele Wiederholungen entwickelt der Roboter schrittweise eine erfolgreiche Laufstrategie. +-- '''Eine KI soll Spam-E-Mails erkennen:''' Menschen haben zuvor Millionen E-Mails als '''„Spam“''' oder '''„kein Spam“''' gekennzeichnet. Aus diesen Beispielen lernt die KI, typische Merkmale von Spam zu erkennen. -+- '''Ein Supermarkt besitzt Millionen Einkaufsdaten:''' Die KI weiss nicht, wer Familien, Studierende oder Seniorinnen und Senioren sind. Sie erkennt lediglich, dass bestimmte Kundinnen und Kunden ein ähnliches Kaufverhalten haben, und bildet daraus Gruppen. Erst anschließend interpretieren Menschen diese Gruppen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Der Mensch ist die '''Lehrperson'''. Er kennt die richtige Lösung und stellt sie der KI zur Verfügung. -+- Der Mensch ist '''Beobachter und Interpret'''. Er bewertet die von der KI gefundenen Muster. --+ Der Mensch ist '''Trainer oder Spieldesigner'''. Er legt Ziele sowie Belohnungen und Strafen fest. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen -+- Die KI entdeckt selbst Muster in den Daten. +-- Die KI lernt aus Beispielen mit bekannten Lösungen. --+ Die KI entwickelt durch Versuch und Irrtum eine erfolgreiche Strategie. </quiz> <quiz display="simple"> { Kaufleute entwickeln in der Regel keine KI-Systeme. Sie nutzen, beschaffen, beurteilen oder überwachen sie. Deshalb sollten sie verstehen, '''wie''' eine KI zu ihren Ergebnissen gelangt und '''welche Grenzen''' sie hat. Warum ist die Unterscheidung der drei Lernarten für Kaufleute wichtig? Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes Lernen | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Kaufleute arbeiten häufig mit KI-Systemen, die Entscheidungen auf der Grundlage früherer Beispiele treffen, z. B. bei Spamfiltern, Bonitätsprüfungen oder der Dokumentenklassifikation. Sie sollten wissen, dass die Qualität solcher Systeme von den Trainingsdaten abhängt. -+- Unternehmen nutzen diese Lernart, um Kundengruppen zu erkennen, Verkaufsdaten auszuwerten oder ungewöhnliche Geschäftsvorfälle zu entdecken. Kaufleute müssen die Ergebnisse kritisch interpretieren und dürfen erkannte Muster nicht automatisch als Tatsachen ansehen. --+ Diese Lernart wird eingesetzt, um Prozesse zu optimieren, z. B. in der Lagerlogistik, Produktionsplanung oder Verkehrssteuerung. Kaufleute sollten verstehen, dass das Verhalten einer KI von den vorgegebenen Zielen und Anreizsystemen abhängt. </quiz> == Bekannte KI-Produkte und Lernarten == {| class="wikitable" ! Produkt / Marke ! Typische Nutzung im Alltag ! Am ehesten verbunden mit ! Warum? |- | '''[[:w:ChatGPT|ChatGPT]]''' | Texte schreiben, Fragen beantworten, zusammenfassen | '''Überwachtes Lernen''' + '''bestärkendes Lernen''' | Sprachmodelle lernen zunächst aus sehr vielen Textbeispielen. Danach werden sie oft durch menschliches Feedback verbessert, z. B. indem Menschen Antworten bewerten. OpenAI nennt dafür RLHF, also Reinforcement Learning from Human Feedback. |- | '''[[:w:Microsoft Copilot|Microsoft Copilot]]''' | KI-Hilfe in Word, Excel, Outlook, Teams, PowerPoint | '''Überwachtes Lernen''' + große Sprachmodelle | Copilot hilft beim Schreiben, Zusammenfassen und Analysieren von Arbeitsdaten. Es nutzt Sprachmodelle und wird in Microsoft-365-Arbeitsabläufe eingebettet. |- | '''[[:w:Siri (Software)|Siri]]''' | Sprachassistent auf iPhone, iPad, Mac | '''Überwachtes Lernen''' | Siri muss Sprache erkennen: Welche Geräusche entsprechen welchen Wörtern? Dafür werden Modelle mit Beispielen trainiert. Apple beschreibt etwa „Hey Siri“ als Spracherkennung mit neuronalen Netzen. |- | '''[[:w:Amazon Alexa|Alexa]]''' | Sprachassistent von Amazon | '''Überwachtes Lernen''' | Auch Alexa muss Sprache erkennen und Befehle zuordnen: Musik spielen, Timer stellen, Licht steuern. Dafür braucht es viele Beispiele von Sprache und passenden Absichten. |- | '''[[:w:Google Assistant|Google Assistant]] / [[:w:Gemini (Sprachmodell)|Gemini]]''' | Suchen, Antworten, Schreiben, Smartphone-Hilfe | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Wie ChatGPT arbeitet Gemini mit großen Sprachmodellen. Solche Systeme werden mit Textdaten trainiert und häufig durch menschliche Bewertungen verbessert. |- | '''[[:w:DeepL|DeepL]]''' | Übersetzung von Texten | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus vielen Textpaaren: Satz auf Deutsch – passender Satz auf Englisch, Französisch usw. |- | '''[[:w:Grammarly|Grammarly]]''' | Rechtschreibung, Stil, Grammatik verbessern | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus Beispielen, welche Formulierung wahrscheinlich korrekt, klarer oder stilistisch besser ist. |- | '''[[:w:Netflix|Netflix]] / [[:w:Spotify|Spotify]] / YouTube-Empfehlungen''' | Vorschläge für Filme, Musik oder Videos | '''Unüberwachtes Lernen''' | Systeme erkennen Muster: Wer hört oder schaut Ähnliches? Welche Inhalte passen zusammen? Die Gruppen entstehen oft aus Nutzungsverhalten. |- | '''Amazon-Produktempfehlungen''' | „Kunden kauften auch …“ | '''Unüberwachtes Lernen''' | Das System sucht Ähnlichkeiten zwischen Produkten, Käufen und Kundengruppen. |- | '''[[:w:Google Maps|Google Maps]] / Navigationsoptimierung''' | Routen, Verkehr, Ankunftszeit | '''Überwachtes Lernen''' + Optimierung | Aus historischen Verkehrsdaten werden Fahrzeiten vorhergesagt. Für Routenentscheidungen kommen zusätzlich Optimierungsverfahren dazu. |- | '''[[:w:Staubsaugerroboter|Staubsaugerroboter]]''' | Wohnung reinigen, Hindernisse vermeiden | teils '''bestärkendes Lernen''' | In der Entwicklung kann ein Roboter durch Versuch und Irrtum lernen, welche Bewegungen oder Strategien gut funktionieren. Im fertigen Gerät laufen aber oft fest eingebaute Regeln und Sensorverfahren. |- | '''[[:w:Selbstfahrendes Kraftfahrzeug|Autonome Fahrzeuge]] / Fahrassistenzsysteme''' | Spur halten, Abstand halten, Hindernisse erkennen | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Bilderkennung, Schildererkennung und Objekterkennung sind oft überwacht trainiert. Fahrstrategien können zusätzlich in Simulationen durch Belohnungssysteme optimiert werden. |} [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] 27lx4yz4cwng6mlt7fnvr5nd41r2v83 1105820 1105819 2026-07-01T08:05:52Z Paul Sutermeister 37610 /* Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme */ 1105820 wikitext text/x-wiki <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Lernziel: Kaufleute sollten:'''</big> * die Funktionsweise von KI-Systemen in Grundzügen verstehen, * Ergebnisse kritisch hinterfragen, * mögliche Fehler, Verzerrungen (Bias) und Risiken erkennen, * Datenschutz sowie ethische Aspekte berücksichtigen, * KI als Entscheidungshilfe nutzen, nicht als unfehlbare Entscheidungsinstanz. Für Kaufleute ist nicht entscheidend, wie die Algorithmen programmiert sind, sondern zu verstehen, * '''woher''' die KI ihr Wissen bezieht, * '''wie''' sie zu ihren Ergebnissen gelangt, * '''welche Grenzen''' sie hat und * '''wann menschliche Kontrolle notwendig ist'''. </div> <quiz display="simple"> { '''WAS HEISST «LERNEN»?''' Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Regeln befolgen. +- Neues verarbeiten. -+ Gelerntes wiederholen. +- Erfahrung sammeln. </quiz> <quiz display="simple"> { '''WAS HEISST «MASCHINELLES LERNEN»?''' Ordne zu: | typ="[]" } | Biologisches Lernen | Maschinelles Lernen +- Ein Lebewesen lernt. -+ Ein Computerprogramm lernt. +- Ein Mensch lernt. +- Ein Hund lernt. </quiz> <quiz display="simple"> { '''«MASCHINELLES LERNEN» IST ETWAS ANDERES ALS «PROGRAMMIEREN».''' Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Programmierung|Programmieren]] | [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] +- Regeln werden von Menschen formuliert. -+ Regeln werden aus Daten gelernt. </quiz> <quiz display="simple"> { Füge '''Programmieren''' und '''Maschinelles Lernen''' ein: | type="{}" } { Programmieren } bedeutet: Ein Mensch sagt dem Computer ganz genau, was er tun soll. Beispiel: „Wenn jemand sein Passwort falsch eingibt, zeige: Passwort falsch.“ Der Mensch schreibt also die Regeln selbst. { Maschinelles Lernen } bedeutet: Der Mensch zeigt dem Computer viele Beispiele, und der Computer versucht, die Regeln selbst zu erkennen. Beispiel: Man zeigt dem Computer tausende Bilder von Katzen und Hunden. Mit der Zeit lernt er: „Das hier sieht eher nach einer Katze aus.“ Ganz einfach gesagt: { Maschinelles Lernen } heisst, Computer lernt Regeln aus vielen Beispielen. { Programmieren } heisst, Mensch schreibt die Regeln. Ein Vergleich mit einem Kind: Beim { Programmieren } sagst du dem Kind: „Wenn die Ampel rot ist, bleib stehen.“ Beim { Maschinellen Lernen|Maschinelles Lernen } zeigst du dem Kind sehr viele Ampeln und Situationen, bis es selbst versteht, wann man stehen bleiben sollte. { Maschinelles Lernen } ist also eine besondere Art von { Programmieren }: Statt jede Regel einzeln aufzuschreiben, bringt man dem Computer mit Beispielen etwas bei. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils zwei Antworten zu: | typ="[]" } | Lernen | Nicht lernen -+ Ein Programm ausführen. +- Muster erkennen. -+ Einem Befehl gehorchen. +- Regeln verbessern. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein [[:w:Hundeerziehung#Hundekommandos|Kommando]] zu: | typ="[]" } | Sitz | Platz | Bleib +-- Hund setzt sich hin. -+- Hund legt sich hin. --+ Hund wartet. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne jeweils ein Kommando zu: | typ="[]" } | Copy | Paste | Delete --+ Löschen. -+- Einfügen. +-- Kopieren. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Muster | Zufall +- Wiederholung -+ Ausnahme </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Verhaltensmuster|Muster]] zu: | typ="[]" } | Freude | Angst -+ Erstarren, Zurückweichen +- Lächeln, lebhafte Bewegung </quiz> <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> <big>'''Übung: Zeichnen und von KI erkennen lassen'''</big> '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen mit '''[[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]]''' ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' </div> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster -+ Ähnlichkeit +- Kommando +- Programmcode +- Regel -+ Regelmässigkeit +- Rezept -+ Rhythmus -+ Trend </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- Mensch gibt Regeln vor. -+ Regeln entstehen aus Beispielen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Anweisung | Muster +- [[:w:Programmierung|Programmieren]] -+ [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- Menschen schreiben die Regeln. -+ Das System lernt Muster aus Daten. +- Klar, kontrollierbar, gut nachvollziehbar. -+ Gut bei komplexen Mustern, für die man Regeln schwer formulieren kann. +- Aufwendig, wenn es sehr viele Sonderfälle gibt. -+ Braucht viele passende Daten und kann Fehler schwer erklärbar machen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Programmieren | Maschinelles Lernen +- '''[[:w:Ampel|Ampel]]''' -+ '''[[:w:Bilderkennung|Komplexe Bilderkennung]]''' +- '''[[:w:Taschenrechner|Taschenrechner]]''' -+ '''[[:w:Maschinelle Übersetzung|Übersetzungsprogramm]]''' </quiz> = Arten des maschinellen Lernens und typische Probleme = <quiz display="simple"> { Füge '''Lernen ohne richtige Lösungen''' und '''Lernen durch Versuch und Fehler''' und '''Lernen mit richtigen Lösungen''' ein: | type="{}" } Maschinelles Lernen ist nicht immer gleich. Es gibt mehrere Arten: Beim '''{ Lernen mit richtigen Lösungen }''' bekommt der Computer Beispiele mit Antwort. Beispiel: Viele Bilder mit dem Hinweis „Katze“ oder „Hund“. Dann lernt der Computer, neue Bilder einzuordnen. So ähnlich wie Unterricht mit Lösungen. Beim '''{ Lernen ohne richtige Lösungen }''' bekommt der Computer viele Dinge, aber niemand sagt ihm, was sie bedeuten. Er sucht selbst nach Gruppen oder Mustern. Beispiel: Viele Kundinnen und Kunden mit ihren Einkäufen. Der Computer entdeckt vielleicht: „Diese Gruppe kauft oft Brot, diese Gruppe oft Computerspiele.“ So ähnlich wie Dinge sortieren, ohne vorher zu wissen, welche Gruppen es geben soll. Beim '''{ Lernen durch Versuch und Fehler }''' probiert der Computer etwas aus. Für gute Entscheidungen bekommt er eine Belohnung, für schlechte nicht. Beispiel: Ein Computer lernt ein Spiel. Gewinnt er Punkte, merkt er: „Das war vermutlich gut.“ Verliert er, probiert er beim nächsten Mal etwas anderes. So ähnlich wie ein Hund, der für richtiges Verhalten ein Leckerli bekommt. Ganz grob: '''Mit Lösungen:''' „Hier ist die richtige Antwort. Lerne daraus.“ '''Ohne Lösungen:''' „Schau selbst, was zusammenpasst.“ '''Durch Belohnung:''' „Probiere aus und merke dir, was gut funktioniert.“ </quiz> <div style=" border-left:6px solid #ffb703; background:#fff7e6; padding:0.9em; margin:1em 0; border-radius:8px; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.08); "> Beispiel für <big>'''Überwachtes Lernen'''</big>: * [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025. Beispiel für <big>'''Lernen durch Belohnung'''</big> und '''Muster-bei-ähnlichen-Nutzerinnen-und-Nutzern-Suchen''': * Reportage des [[:w:Schweizer Radio und Fernsehen|SRF]]: ''Gefangen im Rabbit Hole: Wie Tiktok unser Gehirn verändert'', Kassensturz, 2026. </div> {| class="wikitable" ! Art des Lernens ! Wie funktioniert es? ! Bildhafte Vorstellung ! Typisches Problem ! Konkretes Beispiel |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält viele Beispiele mit der richtigen Lösung (Labels) und lernt daraus Muster. | Ein Kind lernt Tiere kennen. Jemand zeigt auf ein Bild und sagt immer: „Das ist eine Katze“, „Das ist ein Hund“. | '''[[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]''' | Millionen Bilder müssen von Menschen beschriftet werden. Diese Arbeit wird teilweise an schlecht bezahlte Clickworker ausgelagert, z. B. in Kenia, Indien oder auf den Philippinen. Es gibt Berichte über sehr niedrige Löhne und belastende Arbeitsbedingungen. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]]''' | Die KI erhält keine Lösungen, sondern sucht selbst nach Mustern und Gruppen. | Ein Kind bekommt eine Kiste voller Legosteine und sortiert sie selbst nach Farbe, Form oder Größe – ohne Anleitung. | '''[[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias (Verzerrungen)]]''' | Die KI findet zwar Muster, aber diese können gesellschaftliche Vorurteile widerspiegeln. Enthalten die Daten z. B. überwiegend Fotos hellhäutiger Menschen, erkennt die KI dunklere Hauttöne oft schlechter. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und erhält für gute Ergebnisse eine Belohnung (Punkte), für schlechte weniger oder gar keine. | Ein Hund lernt Tricks: Für richtiges Verhalten gibt es ein Leckerli, für falsches keines. | '''[[:w:AI-Alignment|Falsche Belohnungsfunktion (Reward Hacking)]]''' | Die KI lernt, die Belohnung zu maximieren, statt das eigentliche Ziel zu erfüllen. Beispiel: Ein Kundenservice-Chatbot wird dafür belohnt, Gespräche möglichst kurz zu halten – und beendet deshalb Anfragen vorschnell, statt den Kundinnen und Kunden wirklich zu helfen. |} <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen]] | [[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen]] | [[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen]] -+- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' ([[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]]) --+ Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' ([[:w:AI-Alignment|Belohnungs-Hacking]]) +-- Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' ([[:w:Clickworker|Daten-Labeling]]) </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | [[:w:Künstliche_Intelligenz#Schwachstellen_der_Deep_Learning_basierten_KI|Bias]] | [[:w:AI-Alignment|Reward Hacking]] | [[:w:Clickworker|Daten-Labeling]] +-- Problem: ''Welche Vorurteile stecken in den Daten?'' -+- Problem: ''Ist die Belohnung richtig definiert?'' --+ Problem: ''Wer beschriftet die Daten?'' </quiz> = Rolle des Menschen beim maschinellen Lernen = Maschinelles Lernen unterscheidet sich nicht in erster Linie durch seine Anwendungen, sondern dadurch, '''wie''' ein KI-System lernt und '''welche Rolle Menschen''' dabei spielen. {| class="wikitable" ! Lernart ! Wie lernt die KI? ! Rolle des Menschen ! Typische Anwendungen ! Typische Herausforderung |- | '''[[:w:Überwachtes Lernen|Überwachtes Lernen (Supervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Beispiele '''mit der richtigen Lösung''' (Labels) und lernt daraus Muster. | Menschen sind die '''Lehrpersonen'''. Sie kennzeichnen Daten, z. B. als „Spam“ oder „kein Spam“, „Katze“ oder „Hund“, „Krebs“ oder „kein Krebs“. | Spamfilter, Gesichtserkennung, medizinische Bilddiagnostik, Kreditwürdigkeitsprüfung | Das Kennzeichnen großer Datenmengen (Data Labeling) ist aufwendig und wird teilweise von schlecht bezahlten Clickworkerinnen und Clickworkern ausgeführt. |- | '''[[:w:Unüberwachtes Lernen|Unüberwachtes Lernen (Unsupervised Learning)]]''' | Die KI erhält viele Daten '''ohne richtige Lösung''' und sucht selbst nach Mustern, Gruppen oder Auffälligkeiten. | Menschen liefern die Daten und interpretieren anschließend die gefundenen Muster. Die KI entdeckt z. B. ähnliche Kundengruppen; erst Menschen geben diesen Gruppen Namen wie „Familien“ oder „Gelegenheitskäufer“. | Kundensegmentierung, Anomalie- und Betrugserkennung, wissenschaftliche Datenanalyse | Die KI kann Verzerrungen (Bias) oder zufällige Muster übernehmen, die von Menschen kritisch überprüft werden müssen. |- | '''[[:w:Bestärkendes Lernen|Bestärkendes Lernen (Reinforcement Learning)]]''' | Die KI probiert verschiedene Handlungen aus und lernt durch '''Belohnungen''' und '''Strafen''', welche Strategie langfristig zum besten Ergebnis führt. | Menschen legen die '''Spielregeln''' fest. Sie definieren, wofür die KI Punkte erhält und wofür nicht. | Robotik, autonome Fahrzeuge, Spiel-KI (z. B. Schach oder Go), Verkehrssteuerung | Ist die Belohnungsfunktion schlecht gewählt, optimiert die KI möglicherweise das Punktesystem statt das eigentliche Ziel (Reward Hacking). |} <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen --+ '''Ein Roboter soll laufen lernen:''' Niemand zeigt ihm die richtige Bewegung. Stattdessen erhält er Rückmeldungen über den Erfolg seines Handelns, z. B.: Umgefallen → −100 Punkte; einen Schritt geschafft → +10 Punkte; zehn Schritte geschafft → +100 Punkte. Durch viele Wiederholungen entwickelt der Roboter schrittweise eine erfolgreiche Laufstrategie. +-- '''Eine KI soll Spam-E-Mails erkennen:''' Menschen haben zuvor Millionen E-Mails als '''„Spam“''' oder '''„kein Spam“''' gekennzeichnet. Aus diesen Beispielen lernt die KI, typische Merkmale von Spam zu erkennen. -+- '''Ein Supermarkt besitzt Millionen Einkaufsdaten:''' Die KI weiss nicht, wer Familien, Studierende oder Seniorinnen und Senioren sind. Sie erkennt lediglich, dass bestimmte Kundinnen und Kunden ein ähnliches Kaufverhalten haben, und bildet daraus Gruppen. Erst anschließend interpretieren Menschen diese Gruppen. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne '''Rolle des Menschen''' zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Der Mensch ist die '''Lehrperson'''. Er kennt die richtige Lösung und stellt sie der KI zur Verfügung. -+- Der Mensch ist '''Beobachter und Interpret'''. Er bewertet die von der KI gefundenen Muster. --+ Der Mensch ist '''Trainer oder Spieldesigner'''. Er legt Ziele sowie Belohnungen und Strafen fest. </quiz> <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen -+- Die KI entdeckt selbst Muster in den Daten. +-- Die KI lernt aus Beispielen mit bekannten Lösungen. --+ Die KI entwickelt durch Versuch und Irrtum eine erfolgreiche Strategie. </quiz> <quiz display="simple"> { Kaufleute entwickeln in der Regel keine KI-Systeme. Sie nutzen, beschaffen, beurteilen oder überwachen sie. Deshalb sollten sie verstehen, '''wie''' eine KI zu ihren Ergebnissen gelangt und '''welche Grenzen''' sie hat. Warum ist die Unterscheidung der drei Lernarten für Kaufleute wichtig? Ordne zu: | typ="[]" } | Überwachtes Lernen | Unüberwachtes | Bestärkendes Lernen +-- Kaufleute arbeiten häufig mit KI-Systemen, die Entscheidungen auf der Grundlage früherer Beispiele treffen, z. B. bei Spamfiltern, Bonitätsprüfungen oder der Dokumentenklassifikation. Sie sollten wissen, dass die Qualität solcher Systeme von den Trainingsdaten abhängt. -+- Unternehmen nutzen diese Lernart, um Kundengruppen zu erkennen, Verkaufsdaten auszuwerten oder ungewöhnliche Geschäftsvorfälle zu entdecken. Kaufleute müssen die Ergebnisse kritisch interpretieren und dürfen erkannte Muster nicht automatisch als Tatsachen ansehen. --+ Diese Lernart wird eingesetzt, um Prozesse zu optimieren, z. B. in der Lagerlogistik, Produktionsplanung oder Verkehrssteuerung. Kaufleute sollten verstehen, dass das Verhalten einer KI von den vorgegebenen Zielen und Anreizsystemen abhängt. </quiz> == Bekannte KI-Produkte und Lernarten == {| class="wikitable" ! Produkt / Marke ! Typische Nutzung im Alltag ! Am ehesten verbunden mit ! Warum? |- | '''[[:w:ChatGPT|ChatGPT]]''' | Texte schreiben, Fragen beantworten, zusammenfassen | '''Überwachtes Lernen''' + '''bestärkendes Lernen''' | Sprachmodelle lernen zunächst aus sehr vielen Textbeispielen. Danach werden sie oft durch menschliches Feedback verbessert, z. B. indem Menschen Antworten bewerten. OpenAI nennt dafür RLHF, also Reinforcement Learning from Human Feedback. |- | '''[[:w:Microsoft Copilot|Microsoft Copilot]]''' | KI-Hilfe in Word, Excel, Outlook, Teams, PowerPoint | '''Überwachtes Lernen''' + große Sprachmodelle | Copilot hilft beim Schreiben, Zusammenfassen und Analysieren von Arbeitsdaten. Es nutzt Sprachmodelle und wird in Microsoft-365-Arbeitsabläufe eingebettet. |- | '''[[:w:Siri (Software)|Siri]]''' | Sprachassistent auf iPhone, iPad, Mac | '''Überwachtes Lernen''' | Siri muss Sprache erkennen: Welche Geräusche entsprechen welchen Wörtern? Dafür werden Modelle mit Beispielen trainiert. Apple beschreibt etwa „Hey Siri“ als Spracherkennung mit neuronalen Netzen. |- | '''[[:w:Amazon Alexa|Alexa]]''' | Sprachassistent von Amazon | '''Überwachtes Lernen''' | Auch Alexa muss Sprache erkennen und Befehle zuordnen: Musik spielen, Timer stellen, Licht steuern. Dafür braucht es viele Beispiele von Sprache und passenden Absichten. |- | '''[[:w:Google Assistant|Google Assistant]] / [[:w:Gemini (Sprachmodell)|Gemini]]''' | Suchen, Antworten, Schreiben, Smartphone-Hilfe | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Wie ChatGPT arbeitet Gemini mit großen Sprachmodellen. Solche Systeme werden mit Textdaten trainiert und häufig durch menschliche Bewertungen verbessert. |- | '''[[:w:DeepL|DeepL]]''' | Übersetzung von Texten | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus vielen Textpaaren: Satz auf Deutsch – passender Satz auf Englisch, Französisch usw. |- | '''[[:w:Grammarly|Grammarly]]''' | Rechtschreibung, Stil, Grammatik verbessern | '''Überwachtes Lernen''' | Das System lernt aus Beispielen, welche Formulierung wahrscheinlich korrekt, klarer oder stilistisch besser ist. |- | '''[[:w:Netflix|Netflix]] / [[:w:Spotify|Spotify]] / YouTube-Empfehlungen''' | Vorschläge für Filme, Musik oder Videos | '''Unüberwachtes Lernen''' | Systeme erkennen Muster: Wer hört oder schaut Ähnliches? Welche Inhalte passen zusammen? Die Gruppen entstehen oft aus Nutzungsverhalten. |- | '''Amazon-Produktempfehlungen''' | „Kunden kauften auch …“ | '''Unüberwachtes Lernen''' | Das System sucht Ähnlichkeiten zwischen Produkten, Käufen und Kundengruppen. |- | '''[[:w:Google Maps|Google Maps]] / Navigationsoptimierung''' | Routen, Verkehr, Ankunftszeit | '''Überwachtes Lernen''' + Optimierung | Aus historischen Verkehrsdaten werden Fahrzeiten vorhergesagt. Für Routenentscheidungen kommen zusätzlich Optimierungsverfahren dazu. |- | '''[[:w:Staubsaugerroboter|Staubsaugerroboter]]''' | Wohnung reinigen, Hindernisse vermeiden | teils '''bestärkendes Lernen''' | In der Entwicklung kann ein Roboter durch Versuch und Irrtum lernen, welche Bewegungen oder Strategien gut funktionieren. Im fertigen Gerät laufen aber oft fest eingebaute Regeln und Sensorverfahren. |- | '''[[:w:Selbstfahrendes Kraftfahrzeug|Autonome Fahrzeuge]] / Fahrassistenzsysteme''' | Spur halten, Abstand halten, Hindernisse erkennen | '''Überwachtes Lernen''' + teils '''bestärkendes Lernen''' | Bilderkennung, Schildererkennung und Objekterkennung sind oft überwacht trainiert. Fahrstrategien können zusätzlich in Simulationen durch Belohnungssysteme optimiert werden. |} [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] p79v433jt1dc23xnlui4d4xv8swadp8 106 171923 1105812 1105806 2026-07-01T07:08:28Z Paul Sutermeister 37610 1105812 wikitext text/x-wiki Das Ziel des '''Promptens''' ist es, einer KI möglichst klar mitzuteilen, ''was'' sie tun soll und ''wie'' das Ergebnis aussehen soll. <quiz display="simple"> { Ein guter Prompt enthält häufig: | typ="[]" } | Aufgabe | Kontext | Format | Stil | Vorgaben/Grenzen +---- Was soll erstellt, erklärt oder analysiert werden? -+--- Für wen oder welchen Zweck ist das Ergebnis gedacht? --+-- Zum Beispiel eine E-Mail, Tabelle, Zusammenfassung oder Code. ---+- Etwa kurz, freundlich, sachlich, kreativ oder leicht verständlich. ----+ Was soll vermieden werden? Wie lang soll die Antwort sein? </quiz> Beispiel: <blockquote> Erkläre die Photosynthese für ein 12-jähriges Kind in höchstens fünf einfachen Sätzen. </blockquote> Dieser Prompt nennt nicht nur das Thema, sondern auch Zielgruppe, Länge und Stil. Je präziser ein Prompt formuliert ist, desto besser kann die KI ein passendes Ergebnis liefern. = Woraus besteht ein guter [[:w:Prompt-Engineering|Prompt]] = Ein guter Prompt (also eine gute Eingabe an eine KI) besteht aus klaren, konkreten und zielgerichteten Informationen. Je besser formuliert wird, ''was'' gewünscht ist und ''wie'', desto besser ist das Ergebnis: * '''<big>Ziel / Aufgabe klar benennen</big>''': Direkt sagen, was verlangt wird. <small> Schlecht: Erklär mir KI Gut: Erkläre mir die wichtigsten Begriffe der KI einfach für Anfänger auf Deutsch </small> * '''<big>Kontext geben</big>''': Erklären, warum etwas gebraucht wird und für wen. <small> Beispiel: Ich bin Lehrer und brauche eine einfache Erklärung für Schüler auf Niveau A2 </small> * '''<big>Format festlegen</big>''': Festlegen, wie die Antwort aussehen soll. <small> * Liste * Tabelle * Fliesstext * Stichpunkte * Beispiel + Erklärung Beispiel: Gib mir 5 Stichpunkte mit je einem Beispiel </small> * '''<big>Stil definieren</big>''': Bestimmen, wie die Antwort klingen soll. <small> * einfach / komplex * sachlich / locker * kurz / ausführlich Beispiel: Schreibe in sehr einfacher Sprache (A1-Niveau) </small> * '''<big>Einschränkungen setzen</big>''': Festlegen, was vermieden werden soll. <small> Beispiel: Keine Fachbegriffe verwenden, maximal 100 Wörter </small> * '''<big>Beispiele geben (optional, aber hilfreich)</big>''': Zeigen, was erwartet wird. <small> Beispiel: So in etwa: „KI ist wie ein Computer, der lernen kann…“ </small> * '''<big>Rolle vergeben (sehr effektiv)</big>''': Der KI eine Perspektive geben. <small> Beispiel: Du bist ein geduldiger Lehrer für Anfänger </small> = Praktisches = KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 2: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können: lunaai.video, vidful.ai usw.. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Die Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] 5mir1bej6fvnmtzgkszfe26pz85brvz 1105813 1105812 2026-07-01T07:17:56Z Paul Sutermeister 37610 1105813 wikitext text/x-wiki Das Ziel des '''[[:w:Prompt-Engineering|Prompt]]''' ist es, einer KI möglichst klar mitzuteilen, ''was'' sie tun soll und ''wie'' das Ergebnis aussehen soll. <quiz display="simple"> { Ein guter Prompt enthält häufig: | typ="[]" } | Aufgabe | Kontext | Format | Stil | Vorgaben/Grenzen +---- Was soll erstellt, erklärt oder analysiert werden? -+--- Für wen oder welchen Zweck ist das Ergebnis gedacht? --+-- Zum Beispiel eine E-Mail, Tabelle, Zusammenfassung oder Code. ---+- Etwa kurz, freundlich, sachlich, kreativ oder leicht verständlich. ----+ Was soll vermieden werden? Wie lang soll die Antwort sein? </quiz> Folgender Prompt nennt nicht nur das Thema, sondern auch Zielgruppe, Länge und Stil. Je präziser ein Prompt formuliert ist, desto besser kann die KI ein passendes Ergebnis liefern. <blockquote> Erkläre die Photosynthese für ein 12-jähriges Kind in höchstens fünf einfachen Sätzen. </blockquote> <quiz display="simple"> { Ein guter Prompt (also eine gute Eingabe an eine KI) besteht aus klaren, konkreten und zielgerichteten Informationen. Je besser formuliert wird, ''was'' gewünscht ist und ''wie'', desto besser ist das Ergebnis: | typ="[]" } | Ziel/Aufgabe klar benennen | Kontext geben | Format festlegen | Stil definieren | Einschränkungen setzen | Beispiele geben | Rolle vergeben +------ Direkt sagen, was verlangt wird. -+----- Erklären, warum etwas gebraucht wird und für wen. --+---- Festlegen, wie die Antwort aussehen soll: Liste, Tabelle, Fliesstext, Stichpunkte, Beispiel&Erklärung usw. ---+--- Bestimmen, wie die Antwort klingen soll, zum Beispiel einfach/komplex, sachlich/locker, kurz/ausführlich ----+-- Festlegen, was vermieden werden soll, zum Beispiel: „Keine Fachbegriffe verwenden“ oder „maximal 100 Wörter“ -----+- Zeigen, was erwartet wird. ------+ Der KI eine Perspektive geben, zum Beispiel: „Du bist eine geduldige Vorgesetzte“ </quiz> = Praktisches = KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 2: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können: lunaai.video, vidful.ai usw.. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Die Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)]] cb4a0bmhu4qhchpfga5n7gs6nux2vih 0 171927 1105821 2026-07-01T08:21:02Z Alexander-Barth 41682 Aufgaben zu quadratischen Gleichungen übersetzt aus meinem Beitrag hier: https://en.wikiversity.org/wiki/Quadratic_equation_(exercise) 1105821 wikitext text/x-wiki === Aufgabe 1 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - 5 x + 6 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> mit <math>a = 1</math>, <math>b = -5</math> und <math>c = 6</math>. <math>\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}</math> Die beiden Lösungen lauten <math>x_1=\frac{5 - 1}{2} = 2</math> und <math>x_2=\frac{5 + 1}{2} = 3</math> </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 2 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>2 x^2 - 2 x - 12 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 2</math>, <math>b = -2</math> und <math>c = -12</math>. <math>\Delta = (-2)^2 - 4 \times 2 \times (-12) = 4 + 96 = 100</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{100}}{2 \times 2} = \frac{2 \pm 10}{4}</math> Die beiden Lösungen lauten <math>x_1=\frac{2 - 10}{4} = -2</math> und <math>x_2=\frac{2 + 10}{4} = 3</math>. </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 3 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - 4 x + 4 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -4</math> und <math>c = 4</math>. <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0</math> Da <math>\Delta</math> null ist, gibt es nur eine Lösung: <math>x=\frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2</math> Das Problem kann auch mit der zweiten binomischen Formel gelöst werden: <math> \begin{align} x^2 - 4 x + 4 &= 0 \\ (x - 2)^2 &= 0 \\ x - 2 &= 0 \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 4 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - 4 x + 5 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -4</math> und <math>c = 5</math>. <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 16 - 20 = -4</math> Da <math>\Delta</math> negatif ist, gibt es keine reelle Lösung, <math>x \notin \R</math>. </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 5 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -\frac{3}{2}</math> und <math>c = \frac{1}{2}</math>. <math>\Delta = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 4 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-\frac{3}{2}\right) \pm \sqrt{\frac{1}{4}}}{2 \times 1} = \frac{\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}}{2} = \frac{3 \pm 1}{4}</math> Die beiden Lösungen lauten <math>x_1=\frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}</math> und <math>x_2=\frac{3 + 1}{4} = 1</math>. Die Brüche können vermieden werden wenn alle Termen mit 2 multipliziert werden. </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 6 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - 4 x + 3 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -4</math> und <math>c = 3</math>. <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}</math> Die beiden Lösungen lauten <math>x_1=\frac{4 - 2}{2} = 1</math> und <math>x_2=\frac{4 + 2}{2} = 3</math> </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 7 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>100 x^2 - 700 x + 600 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Ein naheliegender Ansatz besteht darin, zunächst alle Terme dieser Gleichung durch 100 zu teilen, um unnötig große Zahlen zu vermeiden. <math>x^2 - 7 x + 6 = 0</math> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -7</math> und <math>c = 6</math>. <math>\Delta = (-7)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 49 - 24 = 25</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}</math> Die beiden Lösungen lauten <math>x_1=\frac{7 - 5}{2} = 1</math> und <math>x_2=\frac{7 + 5}{2} = 6</math> </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 8 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - x - d x + d = 0</math> wobei <math>d \in \R</math>. <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -(1+d)</math> und <math>c = d</math>. <math>\Delta = (1+d)^2 - 4 \times 1 \times d = 1 + 2 d + d^2 - 4 d = 1 - 2d + d^2 = (1-d)^2</math> Die Diskriminante <math>\Delta</math> ist positif (oder null wenn <math>d=1</math>). Daher gibt es zwei (oder eine) Lösung: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1+d \pm |1-d|}{2}</math> Es ist nicht erforderlich, das Vorzeichen von <math>1-d</math> zu diskutieren, da beide Fälle ohnehin durch das <math>\pm</math>-Zeichen abgedeckt werden. Die Lösungen sind <math>x_1=\frac{1+d - (1-d)}{2} = d</math> und <math>x_2=\frac{1+d + 1 - d}{2} = 1</math>. Fall <math>d=1</math>, sind beide Lösungen identisch. </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 9 === Bestimme die Schnittpunkte der Parabel <math>f(x) = x^2 - x - 2</math> und der Geraden <math>g(x) = x+1</math>. <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Am Schnittpunkt <math>f(x) = g(x)</math>: :<math>\begin{align} x^2 - x - 2 &= x+1 \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{align} </math> Die Diskriminante <math>\Delta</math>: <math>\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2}</math> Die Lösungen sind <math>x_1=-1</math> und <math>x_2=3</math>. Die entsprechenden <math>y</math>-Werte sind <math>y_1=x_1+1 = 0</math> und <math>y_2=x_2 + 1 = 4</math>. <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> schneiden sich also in den Punkten (-1,0) und (3,4). Die Graphen der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> sind unten dargestellt. [[File:Quadratic equation exercise parabola intersecting line.png]] </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 10 === Bestimme den Schnittpunkt der Parabel <math>f(x) = 2 x^2 - 3</math> und der Geraden <math>g(x) = 2x + 1</math>. <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Am Schnittpunkt <math>f(x) = g(x)</math>: :<math>\begin{align} 2x^2 - 3 &= 2x + 1 \\ 2x^2 - 2x - 4 &= 0 \end{align} </math> Die Diskriminante <math>\Delta</math>: <math>\Delta = (-2)^2 - 4 \times 2 \times (-4) = 4 + 32 = 36</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{4}</math> Die Lösungen sind <math>x_1=-1</math> und <math>x_2=2</math>. Die entsprechenden <math>y</math>-Werte sind <math>y_1=2x_1+1 = -1</math> und <math>y_2=2x_2 + 1 = 5</math>. <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> schneiden sich also in den Punkten (-1,-1) und (2,5). Die Graphen der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> sind unten dargestellt. [[File:Quadratic equation exercise parabola intersecting line2.png]] </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 11 === Bestimme alle Werte von <math>k</math>, für die sich die Parabel <math>f(x) = x^2 + 3x + k</math> und die Gerade <math>g(x) = -x + 1</math> berühren. Berechne die Koordinaten des Berührungspunktes. <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> berühren einander, wenn sie sich in einem einzigen Punkt schneiden. Der Schnittpunkt lässt sich durch Lösen von <math>f(x) = g(x)</math> berechnen: :<math>\begin{align} x^2 + 3 x + k &= -x +1 \\ x^2 + 4 x + k-1 &= 0 \end{align} </math> Die Diskriminante muss null sein: :<math>\begin{align} \Delta = (4)^2 - 4 (k-1) &= 0 \\ 16 - 4 (k-1) &= 0 \\ 4 - (k-1) &= 0 \\ 4 - k + 1 &= 0 \\ k &= 5 \\ \end{align} </math> Die Lösung ist <math>x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2} = -2</math> und der zugehörige <math>y</math>-Wert ist <math>y = -x +1 = -3</math>. <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> berühren einander, wenn <math>k = 5</math> ist, und die Koordinaten des Berührpunkts sind (-2, -3). Die Kurven <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> sind unten für k = 5 dargestellt. [[File:Quadratic equation exercise parabola line tangent.png]] </div></div><div class="NavEnd"> </div> 9qk8cks5rq7si4bv998dsk9ql9eixp2