Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.9 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 61327 1105977 1105062 2026-07-05T11:08:32Z Bocardodarapti 2041 1105977 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Seitenüberschrift|Zur Fußball-WM 2026}} {{ inputbild |FIFA World Cup Trophy at National Football Museum, Manchester 02|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Das Einzelspiel}} {{ inputaufgabe |Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbeispiel |Fußballspiel/Zweikampf/Bipartiter 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{{ inputbeispiel |Abbildung/Fußballspiel/Torschütze/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Borussia Dortmund/5 zu 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe gehört eher zur Analysis II. {{ inputaufgabe |Tor/Winkeloptimierung/Gradient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Gruppenphase}} Ein Turnier führt sowohl zu einem ungerichteten Graphen {{ Zusatz/Klammer |text=Spielrelation| |ISZ=|ESZ= }} als auch zu einem gerichteten Graphen {{ Zusatz/Klammer |text=Gewinnrelation| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Spielgruppen (Fußball)/4/Darstellungsmöglichkeiten/Beispiel|| }} {{ inputaufgabe |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt}} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Euro 2016/C/Relation/Graph/Adjazenzmatrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Euro 2016/C/Stochastische 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inputaufgabe |WM 26/Gesamtspielgraph/Cliquen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Turnierplanung}} {{ inputaufgabe |EM 2016/Fußballgruppen/Drittplatzierte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Heimvorteil}} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1970 bis 2014/Auswahl/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1978 bis 2014/Ohne 1998/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1978 bis 2014/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Informationsverarbeitung}} {{ inputaufgabe |Fußball-Weltmeisterschaft/Teilinformation/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Liga}} {{ inputaufgabe |Rekordrekordmeister/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} iyv79ery3ceniq0b31l12vl3wy6ibpl 106 118356 1105930 1105864 2026-07-05T07:14:38Z ~2026-38123-02 41693 /* SOSE 2026 */ 1105930 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] Der Kurs zur räumlichen Modellbildung wurde im Sommersemester 2020 erstellt und nutzt den [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal Foliengenerator Wiki2Reveal], der direkt aus dem jeweiligen Wiki-Quelltext eine Präsentation erstellt, die man im Browser mit der Taste "F" in den Vollbildmodus (z.B. für die Nutzung direkt in der Vorlesung verwenden kann. Mit der Taste "C" (Comment) kann man die Folien im Browser auch beschreiben. Mit der Taste "B" (Blackboard) hat man zu jeder Folien eine digitale Tafel für handschriftliche Anmerkungen. Die Annotationen bleiben nur für den jeweiligen Aufruf der Wiki2Reveal-Präsentation im eigenen Browser erhalten und sind bei nächsten Aufruf der Seite nicht mehr sichtbar. == Hinweis == Diese Seite wird während der [[COVID-19|COVID-19-Pandemie]] aufgebaut. Es ist eine Lerneinheit zur räumliche Modellbildung. Bitte informieren Sie sich bzgl. [https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html COVID-19] immer auf * offiziellen Seite von internationalen Gesundheitsbehörden - '''[https://www.who.int/emergencies/diseases/novel-coronavirus-2019 Weltgesundheitsorganisation - WHO]''' oder * offiziellen nationalen Einrichtungen - '''[https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html Robert Koch Institut - RKI]<ref>Robert Koch Institut (2020) Informationen zum neuartigen Corona-Virus COVID-19 - URL: https://www.rki.de/DE/Content/InfAZ/N/Neuartiges_Coronavirus/nCoV.html - (accessed 2020/03/27)</ref>''' - [https://www.cdc.gov/coronavirus/2019-ncov/about/index.html CDC] über aktuelle Empfehlungen und Hinweise. ::: '''<div style="color:red">Eine Lerneinheit kann nie die Informationen der offiziellen Behörden ersetzen!!!</div>'''. == Wesentliche Begriffsdefinitionen == * [[w:de:Partielle_Ableitung|Partielle Ableitung]], [[ w:Richtungsableitung |Richtungsableitung]] <br> * [[w:de:Gewöhnliche_Differentialgleichung|Gewöhnliche Differentialgleichung]] * [[w:de:Partielle_Differentialgleichung|Partielle Differentialgleichung]] <!-- [[File:Video Gradient.webm|thumb|Gradient und Tangentialebende, Screencast vom [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth interaktivem Geogebra-Applet Gradient], Autor L. Sittinger und S. Schmitz ]] [[File:Video Richtungsableitung.webm|thumb|Richtungsableitung, geometrische Darstellung, Screencast vom [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Geogebra-Applet Richtungsableitung], Autor L. Sittinger und S. Schmitz]] --> Zu geometrischer Darstellung der partiellen Ableitungen als Komponenten vom Gradientvektor, Tangentialebende, des steilsten Anstiegs siehe [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth Interaktives Geogebra-Applet Gradient], der Richtungsableitung und ihre Approximation durch Differenzenquotient siehe [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Interaktives Geogebra-Applet Richtungsableitung] (Autor L. Sittinger und S. Schmitz). {| class="wikitable" |+ |- ! Gradient und Tangentialebene !! Richtungsableitung |- | [[File:Video Gradient.webm|500px|Gradient und Tangentialebende]] || [[File:Video Richtungsableitung.webm|500px|Tichtungsableitung]] |- | [https://www.geogebra.org/m/ngbpudth Interaktives Geogebra-Applet Gradient] (L. Sittinger und S. Schmitz)|| [https://www.geogebra.org/m/rzpyhdf2 Interaktives Geogebra-Applet Richtungsableitung] (L. Sittinger und S. Schmitz) |} == Lernressourcen == <!-- Kommentartext * [[/Aufgaben Tutorium SS2020/]]--> * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium kontinuerliche räumliche Modellierung|Aufgaben Tutorium kontinuerliche räumliche Modellierung ]] * [[COVID-19]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] * [[/Deterministisches Kontaktmodell/]] === Kontinuerliche Modellierung === In diesem Teil des Kurses werden kontinuerliche Modelle für räumliche (Verbreitungs)Prozesse mithilfe Differentialgleichungen studiert und in der Modellierung der Coronaverbreitung angewendet. In solchem Modellen sind die gesuchte Größen (Konzentration eines Stoffes oder der Corona-Infizierten Menschen) als makroskopische Größen betrachtet und als unbekannte Dichtefunktion der Raum- und Zeitveränderlichen <math display="block"> {\bf u} (x,t), x \in \mathbb R^n, \ t \in \mathbb R^+</math> beschrieben.<br> Die Anzahl der Infizierten auf einer Fläche <math>S</math> im Zeitpunkt <math>t</math> ergibt sich als Integral der Dichtefunktion über diese Fläche, <math>I(t)=\int_S f(x,t) \ dx.</math> <br> Es werden dynamische Populationsmodelle wie [https://de.wikiversity.org/wiki/COVID-19/Mathematische_Modellierung exponenzielle und logistische], Kompartimentmodelle wie [https://de.wikipedia.org/wiki/SIR-Modell SIR-Modell] im Kursteil [[Kurs:Räumliche Modellbildung#Epidemiologie_-_Modellbildung|Epidemiologie - Modellbildung]] vorgestellt und in diesem Kursteil mit räumlichen Diffusionsprozessen verknüpft. Das resultierende [https://de.wikipedia.org/wiki/Reaktionsdiffusionsgleichung Reaktion-Difussionsmodell] wird in diesem Kursteil näher studiert. Die numerische Diskretisierung mit [https://de.wikipedia.org/wiki/Finite-Differenzen-Methode Finite-Differenzen-Methode] wird implementiert und praktisch angewendet. Inhalte des Kurses Kontinuerliche Modellierung: ==== Einstieg in die räumliche Modellierung ==== * [[/Deterministisches Kontaktmodell/| Deterministisches Kontakt-Modell]] ==== [[Reaktion-Diffusionsprozess|Reaktionsdiffusiongleichung ]] ==== * ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Reaktion-Diffusionsprozess&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&audioslide=yes Folien 06.04]).- AH [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ==== [[Modelle der Populationsdynamik|Modelle der Populationsdynamik ]] ==== * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Modelle%20der%20Populationsdynamik&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes (Wiki2Reveal-Folien)] - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], (Anna Hundertmark - 2020) ==== [[Numerische Modellierung der Diffusion| Numerische Modellierung des Reaktionsdiffusionsprozesses ]] ==== * ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Numerische%20Modellierung%20der%20Diffusion&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes Folien 16.04]).- AH [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], <br> ==== Tutorium zu kontinuerlichen Modellierung ==== <!-- ===== Kontakt-Modell ===== --> <!-- Kommentartext * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|1. Tutoriumaufgabe.]]- Kontaktmodell. --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#1._Übungsaufgabe_SW1%3A_Kontaktmodell |1. Tutoriumaufgabe]]- Kontaktmodell <!-- ===== Reaktion-Diffusionsprozess ===== --> <!-- * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|2. Tutoriumaufgabe.]]- Fundamentallösungen der Poisson und der Diffusionsgleichung. * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|3. Tutoriumaufgabe.]]- Kompartimentmodelle für die dynamische Beschreibung der Infektionsverbreitung und die Datenlage --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#2._Übungsaufgabe_SW2_- Fundamentallösungen |2. Tutoriumaufgabe]]- Fundamenallösunen der Diffusionsgleichung <!-- ===== Populationsmodelle ===== --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#3._Übungsaufgabe_SW5:_Kompartimentmodelle|3. Tutoriumaufgabe]]- SIR Populationsmodell <!-- ===== Numerischen Modellierung ===== --> <!-- * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|4. Tutoriumaufgabe.]]- Randwertaufgabe für Poissongleichung mit Finite-Differenzen-Verfahren. * [[Kurs:Räumliche Modellbildung/Aufgaben Tutorium SS2020|5. Tutoriumaufgabe.]]- Epidemiologische Modellierung durch numerische Diskretisierung --> * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#4._Übungsaufgabe_SW7:_Poissongleichung_mit_FDM|4. Tutoriumaufgabe]]- FDM für Poisongleichung * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Aufgaben_Tutorium_kontinuerliche_räumliche_Modellierung#5._Übungsaufgabe_SW11:_Epidemiologische_Modellierung_als_Reaktionsdiffusionsprozess_mit_FDM|5. Tutoriumaufgabe]] - Räumliche Epidemieausbreitung mit FDM ==== Studentische Arbeiten zur kontinuerlichen Modellierung SOSE 2020==== * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_1#Kontinuierliche_Diffusionsprozesse_(Hundertmark)| Gruppe 1]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_4| Gruppe 4]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_6#A1_Einfaches_Kontaktmodell |Gruppe 6]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_8#Kontinuierliche_Modellierung_von_Diffusionsprozessen| Gruppe 8 ]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_11 | Gruppe 11]] ==== Studentische Arbeiten SOSE 2021==== Sie können sich einem dieser Gruppenseiten zuordnen: * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_2#Kontinuierliche_Diffusionsprozesse_(Hundertmark)| Gruppe 2]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_3| Gruppe 3]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_5#A1_Einfaches_Kontaktmodell |Gruppe 5]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_7#Kontinuierliche_Modellierung_von_Diffusionsprozessen| Gruppe 7 ]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_9 | Kirstin, Erika, Moritz, Erik]] * [[Kurs:R%C3%A4umliche_Modellbildung/Gruppe_10 | Gruppe 10]] oder eine neue Gruppe bilden: * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_13| Gruppe 13]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_14| Gruppe 14]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_15| Gruppe 15]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_16| Gruppe 16]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr |Gruppe 17]] ==== Studentische Arbeiten Thema Fluiddynamik ==== ===== SOSE 2022 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr18 |Gruppe 18]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Gruppe_Nr19 |Gruppe 19]] ===== SOSE 2023 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr1 |Gruppe 1: Simulation des Luftstroms in einer Blockflöte]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr2 |Gruppe 2: Simulation einer Ölverschmutzung des Rheins]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr3 |Gruppe 3: Simulation der Aerodynamik verschiedener Autoformen]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr4 |Gruppe 4: Simulation eines Windrades in 2D und 3D]] * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_Nr5 |Gruppe 5: Simulation des Windschattens bei Radfahrern in 2D]] * [[Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung#Modellierungszyklus_4_-_Implementierung_in_Comsol_2D| Gruppe 6: Simulation Aerosolen im Klassenzimmer]] ===== SOSE 2026 ===== * [[Kurs:Räumliche_Modellbildung/Fluiddynamik_Gruppe_1|Gruppe_1: Ausbreitung von Zigarettenrauch]] === Diskrete Modellbildung === In diesem Kursteil gehen wir von der epidemiologischen Situation<ref>„Epidemiologie“. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 10. April 2021, 13:41 UTC. URL: https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Epidemiologie&oldid=210784660 (Abgerufen: 22. April 2021, 10:25 UTC) </ref> aus und versuchen daraus schrittweise die mathematischen Anforderungen und Rahmenbedingungen für die Modellbildung abzuleiten. Die folgenden Wiki2Reveal-Folien können für die Portfolioprüfung verwendet und angepasst werden. Ob Erweiterungen vorgenommen werden oder eine eigen Wiki2Reveal-Präsentation verwendet wird, wir jeweils in der Lehrveranstaltung besprochen * '''[[/COVID-19/|COVID-19 Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung/COVID-19&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes Folien 15.04.2021]) - EN - [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], ==== Mathematische Modellbildung COVID-19 ==== Unter der Lernressource '''[[COVID-19/Mathematische_Modellbildung|Mathematische Modellbildung COVID-19]]''' finden Sie einführende Informationen zur mathematischen Modellbildung von COVID-19, die als mathematische Werkzeuge untersucht werden, aber nicht zur tatsächlichen Risikoabschätzung verwendet werden sollten (dazu bitte RKI, WHO, Gesundheitsbehörden, ...) * '''[[Epidemiologische Distanz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Epidemiologische%20Distanz&author=Kurs:R%C3%A4umliche%20Modellierung&language=de&audioslide=yes Folien 22.04.2021]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum:]]''' Zeitspanne über die die Krankheitsentwicklung modelliert wird. === Beiträge zu Wikiversity === In dem folgenden Dokument werden die Beiträge gelistet, die einzelne Gruppe/Studierende zu der kollaborativen Entwicklung von Inhalten beigetragen haben. Verweisen Sie auf den entsprechenden Artikel in Wikiversity den Sie optimiert haben, bzw. den Sie in Absprache in der Lehrveranstaltungen selbst oder in der Gruppe erstellt haben. * [[/SoSe 2021/]] * [[/Arbeitsaufträge/|Arbeitsaufträge diskrete Modellbildung]] === Zitieren von Vorarbeiten === Auch in Wikiversity kann man und sollte man Vorarbeiten von anderen Studierende oder anderen Mitgliedern der Wiki-Gemeinschaft in anderen Artikeln zitieren. Dies ist auf jeder Seite in Wikipedia und Wikiversity mit dem Menüpunkt "Diese Seite zitieren" möglich. ==== Gruppenarbeit in Videokonferenz ==== In einem [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Videokonferenzsystem kann Gruppenarbeit]] abbgebildet werden (Breakouträume in BigBlueButton). Es wird versucht die Gruppengröße an die Schwierigkeit der Aufgaben für die Gruppenarbeit anzupassen. == Zeiten Flipped Classroom == In Breakout-Räumen in BigBlueButton werden die individuellen Arbeiten in den Gruppen besprochen. Es werden Zeit-Slots in Breakouträumen für die Gruppen angeboten ('''Termin 15.04.2021 12c.t.'''): Die Breakouträume sind mit Links hinterlegt, auf denen Sie vorab Kernfragen für die individuelle Betreuung in den Breakouträumen definieren können. Das erlaubt die Planung bestimmte Gruppen mit gleichen Themen zusammenzufassen. Die Nummern der Breakouträume werden in der Regel konsistent zu den Gruppennummer gewählt. Es kann aber auch sein, dass sich Gruppe 1 (VN) und Gruppe 7 (HP) gemeinsam im Breakoutraum 1 treffen sollen, weil ein bestimmtes Thema beide Gruppen betrifft. Dann würde das jeweils angegeben. === Gruppenseiten === Wenn Sie auf den Gruppenlink klicken kommen Sie auf Ihre Wikiversity-Gruppenseite, auf der Sie Informationen aus Ihren Portfolio zusammentragen können. Diese Informationen sind die Grundlage für die Prüfung. Sie können bei anderen Gruppen schauen und ihre Arbeit anpassen. Verwenden Sie die Option "Seite zitieren", um wie bei einer wissenschaftlichen Veröffentlichung auf die Arbeiten anderer Gruppen zu verweisen {| class="wikitable sortable" |+ Projektdokumentation |- ! Gruppe (Kürzel) !! Doku !! Funktionen !! Implementation !! Octave-Tut !! Script-URL !! Fertig |- | '''[[/Gruppe 1/|Gruppe 1:]]''' - (NWG) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 1/Script/|Script 1]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 2/|Gruppe 2:]]''' - (GLP) || Dok100% || Fkt || Imp100% || || [[/Gruppe 2/Script/|Script 2]] || JA |- | '''[[/Gruppe 3/|Gruppe 3:]]''' - (D) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 3/Script/|Script 3]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 4/|Gruppe 4:]]''' - (HHL) || Dok || Fkt || Imp75% || || [[/Gruppe 4/Script/|Script 4]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 5/|Gruppe 5:]]''' - (CGL) || Dok || Fkt || Imp100% || || [[/Gruppe 5/Script/|Script 5]] || JA |- | '''[[/Gruppe 6/|Gruppe 6:]]''' - (KWS) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 6/Script/|Script 6]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 7/|Gruppe 7:]]''' - (HP) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 7/Script/|Script 7]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 8/|Gruppe 8:]]''' - (ST) || Dok || Fkt || Imp || || [[/Gruppe 8/Script/|Script 8]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 9/|Gruppe 9:]]''' - (OK) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 9/Script/|Script 9]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 10/|Gruppe 10:]]''' - (VT) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 10/Script/|Script 10]] || NEIN |- | '''[[/Gruppe 11/|Gruppe 11:]]''' - (BSM) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 11/Script/|Script 11]] || JA |- | '''[[/Gruppe 12/|Gruppe 12:]]''' - (KKS) || Dok || Fkt || Imp || OctTut || [[/Gruppe 12/Script/|Script 12]] || NEIN |} === Zeitplanung 15.04.2021 === * Wenn Breakoutzeiten unbelegt bleiben, beginnt die Gruppenphase später. * Definition von mathematischen Funktionen: Wählen Sie in Ihrem Projekt eine kleine Funktion aus der Implementierung der Modellbildung aus und dokumentieren Sie diese. Auf den Gruppenseiten sollten die Funktionen ** sowohl in einer mathematischen Schreibweise als Funktion definiert sein und ** als dokumentierter Code in Octave mit Eingabeparametern (Definitionsbereich) und Rückgabewerten (Wertebereich ** Passen Sie dazu die bereitgestellten Textblöcke auf Ihren Gruppenseiten an. ** Für die Prüfung benötigen Sie keine LibreOffice-Impress-Folien. Ein exportiertes PDF-Dokument reicht. {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum]] || Do 12:15-12:30 min (EN) |- | '''Breakoutraum 5:''' || [[/Gruppe 5/]] || Gruppenphase 0:00 - 15min (CGL) |- | '''Breakoutraum 1:''' || [[/Gruppe 12/]] - || Gruppenphase +0:15 - 15min (KKS) |- | '''Breakoutraum 4:''' ||[[/Gruppe 4/]] || Gruppenphase +0:30 - 15min (HHL) |- | '''Breakoutraum 2:''' || [[/Gruppe 2 /]] || Gruppenphase +0:45 - 15min (GLP) |- | '''Breakoutraum 3:''' || [[/Gruppe 3/]] || Gruppenphase +1:00 - 15min (DJ) |} === Zeitplanung 22.04.2021 === {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[COVID-19/Mathematische Modellierung/DiMoT|Krankheitsmodellierungszeitraum]] || Do 12:15- 12:30min (EN) |- | '''Breakoutraum 7:''' ||[[/Gruppe 7/]] || Do 12:30-12:45 - 15min (HP) |- | '''Breakoutraum 3:''' || [[/Gruppe 3/]] || Do 12:45-13:00 - 15min (DJ) |- | '''Breakoutraum 2:''' || [[/Gruppe 9/]] || Do 13:00-13:15 - 15min (OK) |- | '''Breakoutraum 1:''' || [[/Gruppe 1/]] - Nachholtermin || Do 13:15-13:30 - 15min (VN) |- | '''Breakoutraum 8:''' || [[/Gruppe 8/]] - Nachholtermin || Do 13:30-13:45 - 15min (ST) |} === Zeitplanung 29.04.2021 === {| class="wikitable" |- ! Gruppe/Raum !! Thema/Beratung !! Zeit |- | '''[[/Plenum/|Plenum:]]''' || [[/Plenum/|Zusammenfassung der Rückmeldung]] || Do 12:15-12:45 - 30min (EN) |- | '''[[/Gruppe 6/|Breakoutraum 6:]]''' || Gruppentermin 6 - Nachholtermin wegen Zeitmangel || Do 12:45-13:00 - 15min - (KWS) |- | '''[[/Gruppe 7/|Breakoutraum 7:]]''' || Gruppentermin 7 - Nachholtermin wegen Zeitmangel || Do 13:00-13:15 - 15min - (HP) |- | '''[[/Gruppe 1/|Breakoutraum 1:]]''' || Gruppentermin 1 || Do 13:15-13:30 - 15min - (VN) |- | '''[[/Gruppe 8/|Breakoutraum 8:]]''' || Neue Gruppe 8 - ohne Vorstellung in der Übung || Do 13:30-13:45 - 15min - (ST) |} Bitte dokumentieren Sie Ihr Projekt auf den Gruppenseiten und kennzeichnen Sie Ihre Gruppe durch ein selbst gewähltes eindeutiges '''<div style="color:red">Namenskürzel der Gruppe</div>''', z.B. wenn sich Ihre Gruppe zu einem bestimmten Zeitfenster in einem Breakoutroum trifft '''<div style="color:red">(ABC) 22.06.2020 Breakoutroom 5</div>''' ein * z.B. wie bei (EN) bei Plenum * Nennen Sie die Gruppe und das Gruppenkürzel und belegen Sie die freien Beratungsplätze. * Sie können den Breakoutraum während der gesamten Gruppenarbeitsphase verwenden. Die angegebenen Zeiten beziehen sich auf die geplante Besuchszeit des Dozenten in der Gruppe. * Speichern Sie die geteilten Dokumente vor dem Verlassen der Breakouträume ab bzw. machen Sie Screenshots von den Skizzen. [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Videokonferenz/PDF_Kollaboration_BigBlueButton.pdf Leere Arbeitsblätter]<ref>Bert Niehaus (2020) [https://niebert.github.io/wikiversity_files Leere Arbeitsblätter für Gruppenarbeit in Breakouträumen von BigBlueButton] - URL: https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Videokonferenz/PDF_Kollaboration_BigBlueButton.pdf - Enthalten im GitHub-ZIP File </ref> können * Besuch des Dozenten in den Breakouträume findet ungefähr in dem angegebenen Zeitfenster statt * Wenn z.B. die Zeiten für die individuelle Arbeitsruppenberatung nicht ausreichend sind. == Siehe auch == * [[Graph einer Funktion]] * [[w:de:Optimierung_(Mathematik)|Optimierung in der Mathematik]] * [[Räumliche Diffusion]] * [[/Explizte-implizite Modelle/]] * [[COVID-19/Mathematische_Modellierung]] * [[Octave-Tutorial]] * [[Octave-Tutorial/Funktionsdefinition|Funktionsdefinition in Octave]] * [[b:Octave_Programming_Tutorial|Wikibook zu Octave]] * [[Humanitarian Open Streetmap]] - Kartenerstellung für humanitäre Zwecke - Räumliche Modellbildung für die Erstellung von Risikokarten. * [[Kontinuitätsgleichung]] == Externe Links == * [https://www.hotosm.org/impact-areas/public-health/ HOT-OSM Public Health] == Quellen/Literatur == [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Epidemiologie]] [[Kategorie:Mathematische Modellierung]] mtvi5oslb2q7lbttnl0zidno2dlydbr 106 121952 1105988 1105323 2026-07-05T11:55:33Z Bocardodarapti 2041 1105988 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe|p||| |Mörder/Aussagenlogik/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Injektive Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe|p||| |Schokolade/Heidi Gonzales/Aufteilung/Karate/Aufgabe|p||| |Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Rationales Einheitsintervall/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Planet/Drei Geschlechter/Generationen/Aufgabe|p||| |Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/831600/Aufgabe|p||| |Gewichte/Zweischalig/1/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p||| |Graph/Homomorphismen/Anzahl/1/Aufgabe|p||| |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Kein Graph/Aufgabe|p||| |Nullteilergraph/Sterngraph/Körper/Aufgabe|p||| |Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Kante/Kontraktion/Aufgabe|p||| |Rundgang/Graphhomomorphismus/Kanten und knotensurjektiv/Nicht eulersch/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 36v026291eakqlceq1dskh2x8olhsnz 4 141067 1105928 1105697 2026-07-04T20:58:27Z Alexis Jazz 32026 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 1105928 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. 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Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> == Aufstellen der Zielfunktion == Da nicht nur der Energieertrag maximiert, sondern gleichzeitig die Kosten minimiert werden sollen, wird eine Nutzenfunktion eingeführt: == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. '''Siehe auch''' [[Gradientenabstiegsverfahren]] Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+20 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] 8ipaux5vcsdj0rxrph93wcf93m1v13i 1105967 1105966 2026-07-05T09:50:41Z Björn Henrich 41518 /* Modellierung der Kosten */ 1105967 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Aufstellen der Zielfunktion == Da nicht nur der Energieertrag maximiert, sondern gleichzeitig die Kosten minimiert werden sollen, wird eine Nutzenfunktion eingeführt: == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. '''Siehe auch''' [[Gradientenabstiegsverfahren]] Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+20 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] 7mbna7iu5iezti3r0qub8flj1gxcz65 1105968 1105967 2026-07-05T09:56:57Z Björn Henrich 41518 /* Aufstellen der Zielfunktion */ 1105968 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt wird erneut der Gradient berechnet. Dadurch ergibt sich wiederum eine neue Bewegungsrichtung. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis sich die Koordinaten kaum noch verändern. Schließlich nähert sich das Verfahren dem Maximum <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt wird erneut der Gradient berechnet. Da die Punkte mit jeder Iteration näher zum Ursprung rücken, konvergiert das Verfahren schließlich gegen das Minimum <math> (0,0). </math> == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. '''Siehe auch''' [[Gradientenabstiegsverfahren]] Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+20 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] ori8zka94kmvx5zghm0z08xfa3x9ejh 1105969 1105968 2026-07-05T09:57:46Z Björn Henrich 41518 /* Gradientenabstiegsverfahren */ 1105969 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die Funktion besitzt ein Maximum beim Punkt: <math> (2,-1) </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt wird erneut der Gradient berechnet. Dadurch ergibt sich wiederum eine neue Bewegungsrichtung. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis sich die Koordinaten kaum noch verändern. Schließlich nähert sich das Verfahren dem Maximum <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt wird erneut der Gradient berechnet. Da die Punkte mit jeder Iteration näher zum Ursprung rücken, konvergiert das Verfahren schließlich gegen das Minimum <math> (0,0). </math> == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. '''Siehe auch''' [[Gradientenabstiegsverfahren]] Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+20 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] am8u0ql5diu5x34980xhnv1kooxrzlr 1105970 1105969 2026-07-05T09:58:39Z Björn Henrich 41518 /* Modellierung des Energieertrags */ 1105970 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt wird erneut der Gradient berechnet. Dadurch ergibt sich wiederum eine neue Bewegungsrichtung. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis sich die Koordinaten kaum noch verändern. Schließlich nähert sich das Verfahren dem Maximum <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt wird erneut der Gradient berechnet. Da die Punkte mit jeder Iteration näher zum Ursprung rücken, konvergiert das Verfahren schließlich gegen das Minimum <math> (0,0). </math> == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. '''Siehe auch''' [[Gradientenabstiegsverfahren]] Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+20 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] rahmmxcm478ygzfeasmq4qikhrgo9k1 1105971 1105970 2026-07-05T09:59:05Z Björn Henrich 41518 /* Gradientenaufstiegsverfahren */ 1105971 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt wird erneut der Gradient berechnet. Dadurch ergibt sich wiederum eine neue Bewegungsrichtung. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis sich die Koordinaten kaum noch verändern. Schließlich nähert sich das Verfahren dem Maximum <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt wird erneut der Gradient berechnet. Da die Punkte mit jeder Iteration näher zum Ursprung rücken, konvergiert das Verfahren schließlich gegen das Minimum <math> (0,0). </math> == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. '''Siehe auch''' [[Gradientenabstiegsverfahren]] Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+20 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] 9q7mrzoggz3cjs08ep636ttvhdomagy 1105972 1105971 2026-07-05T10:00:49Z Björn Henrich 41518 /* Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen */ 1105972 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt wird erneut der Gradient berechnet. Dadurch ergibt sich wiederum eine neue Bewegungsrichtung. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis sich die Koordinaten kaum noch verändern. Schließlich nähert sich das Verfahren dem Maximum <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt wird erneut der Gradient berechnet. Da die Punkte mit jeder Iteration näher zum Ursprung rücken, konvergiert das Verfahren schließlich gegen das Minimum <math> (0,0). </math> == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. '''Siehe auch''' [[Gradientenabstiegsverfahren]] Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+20 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] 6zil7inkw3bthyvmdrl9k3c6k7fvpbh 1105973 1105972 2026-07-05T10:04:16Z Björn Henrich 41518 /* Schritt 5: Iteration wiederholen */ 1105973 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt wird erneut der Gradient berechnet. Da die Punkte mit jeder Iteration näher zum Ursprung rücken, konvergiert das Verfahren schließlich gegen das Minimum <math> (0,0). </math> == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. '''Siehe auch''' [[Gradientenabstiegsverfahren]] Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+20 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] bpct6jvapkn2ao62ed5e4u89ny24uat 1105974 1105973 2026-07-05T10:05:46Z Björn Henrich 41518 /* Schritt 5: Iteration wiederholen */ 1105974 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Mathematische Bearbeitung: Gradient == Zur Bestimmung des optimalen Standortes wird der Gradient der Zielfunktion betrachtet. '''Siehe auch''' [[Gradientenabstiegsverfahren]] Der Gradient ist: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> und <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Damit ergibt sich: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -11x+30\\ -5y+20 \end{pmatrix} </math> Der Gradient zeigt die Richtung, in der sich der wirtschaftliche Nutzen am stärksten verändert. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] knxqa1dvn6yopwlb9eeu7kk2704vyif 1105975 1105974 2026-07-05T10:06:52Z Björn Henrich 41518 /* Mathematische Bearbeitung: Gradient */ 1105975 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen == '''Szenario 1: Energieertrag ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=1 </math> Der Energieertrag wird doppelt so stark bewertet wie die Kosten. '''Szenario 2: Kostenminimierung ist besonders wichtig''' <math> a=2,\quad b=3 </math> Die Kosten werden stärker berücksichtigt als der Energieertrag. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] 0kp8jstvsay7nobo2e72d8g1tzhya4e 1105976 1105975 2026-07-05T10:07:28Z Björn Henrich 41518 /* Beispiel für unterschiedliche Gewichtungen */ 1105976 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage finden erleichtern kann. Zum Plotten und der Eingabe der Funktion kann dafür Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-2)^2-3(y+1)^2. </math> Diese Funktion besitzt ein eindeutiges Maximum bei <math> (2,-1). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-2) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -6(y+1). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-2)\\ -6(y+1) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 40\\ -24 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte verkleinert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>)''': ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot40=0 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot(-24)=1,8. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0,1{,}8). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0,1{.}8)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0,1{.}8)= \begin{pmatrix} -10(0-2)\\ -6(1{,}8+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20\\ -16{,}8 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0+0,05\cdot20=1 </math> und <math> y_2=1,8+0,05\cdot(-16,8)=0,96. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1,0{,}96). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1,0{,}96)= \begin{pmatrix} -10(1-2)\\ -6(0{,}96+1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -11{,}76 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1+0,05\cdot10=1,5 </math> und <math> y_3=0,96+0,05\cdot(-11,76)=0,372. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (1{,}5,0{,}372). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (2,-1) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{,}6,2{,}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{,}6,2{,}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{,}24,2{,}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{,}24,2{,}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{,}916,2{,}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == Beide Verfahren verwenden den Gradienten einer Funktion. Der Unterschied besteht ausschließlich in der Bewegungsrichtung. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n+\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{x}_{n+1}=\mathbf{x}_n-\alpha\nabla f(\mathbf{x}_n)</math> |} Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Durchführung des Optimierungsverfahrens == Da ein Maximum gesucht wird, wird ein Gradientenaufstiegsverfahren verwendet. Die Iterationsformel lautet: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha \nabla G(x_n,y_n) </math> Dabei bezeichnet: * <math>\alpha</math>: Schrittweite * <math>(x_n,y_n)</math>: aktueller Standort * <math>(x_{n+1},y_{n+1})</math>: neuer Standort === Beispielhafte Durchführung === Als Startpunkt wird gewählt: <math> (x_0,y_0)=(0,0) </math> Der Gradient am Startpunkt ist: <math> \nabla G(0,0)= \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> Für eine Schrittweite: <math> \alpha=0,1 </math> ergibt sich: <math> (x_1,y_1) = (0,0)+0,1 \begin{pmatrix} 30\\ 20 \end{pmatrix} </math> also: <math> (x_1,y_1)=(3,2) </math> Durch weitere Wiederholungen nähert sich der Punkt dem optimalen Standort an. == Abbruchkriterium == Das Verfahren wird beendet, wenn die Veränderung des Standortes sehr klein wird: <math> ||(x_{n+1},y_{n+1})-(x_n,y_n)||<\varepsilon </math> Dann wird angenommen, dass der optimale Standort erreicht wurde. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Einfluss der Gewichtung auf das Optimierungsverfahren == Das Optimierungsziel verändert sich durch die Wahl der Parameter <math>a</math> und <math>b</math>. Dadurch kann sich der optimale Standort verändern. Der Gradient der gewichteten Zielfunktion lautet: <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{\partial G}{\partial x}\\ \frac{\partial G}{\partial y} \end{pmatrix} </math> Das Gradientenverfahren wird weiterhin durch: <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} + \alpha\nabla G(x_n,y_n) </math> beschrieben. Dabei wird in jedem Schritt die Richtung des größten Anstiegs des gewichteten Gesamtnutzens bestimmt. --- == Interpretation der Erweiterung == Durch die Gewichtungsfaktoren wird das Modell realistischer, da unterschiedliche Zielvorstellungen berücksichtigt werden können. Die mathematische Lösung hängt somit nicht nur von den physikalischen Eigenschaften des Standortes ab, sondern auch davon, welche Kriterien bei der Entscheidungsfindung bevorzugt werden. Damit zeigt das Modell, dass mathematische Optimierung nicht nur eine Rechnung ist, sondern auch eine Möglichkeit, reale Entscheidungsprozesse abzubilden. == Realer Modellierungszyklus == [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] kejkijv5u963jxqwae22iz2iuzys0e5 106 171930 1105908 1105886 2026-07-04T12:19:13Z Katharina Müller3203 37345 /* Mathematische und physikalische Hintergründe */ 1105908 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) '''Würde in 3D-Modell Sinn ergeben:''' * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modelle == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. COMSOL löst diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. * Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Physikalische Parameter== ===Materialparameter=== ===Rand- und Anfangsbedingungen:=== * = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = 928pqjw3l834vbca9wyucqzjpgbni00 1105909 1105908 2026-07-04T12:19:51Z Katharina Müller3203 37345 /* Mathematische Modelle */ 1105909 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) '''Würde in 3D-Modell Sinn ergeben:''' * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. COMSOL löst diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. * Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Physikalische Parameter== ===Materialparameter=== ===Rand- und Anfangsbedingungen:=== * = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = ocedh0z6rw2gzmqfuk3v1p0m0ssr4lr 1105910 1105909 2026-07-04T12:20:14Z Katharina Müller3203 37345 /* Konvektions-Diffusions-Gleichung */ 1105910 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) '''Würde in 3D-Modell Sinn ergeben:''' * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. COMSOL löst diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. * Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Physikalische Parameter== ===Materialparameter=== ===Rand- und Anfangsbedingungen:=== * = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = 0idlqvp8hb6y4v480kfzliiqedsz8b8 1105911 1105910 2026-07-04T12:20:35Z Katharina Müller3203 37345 /* Konvektions-Diffusions-Gleichung */ 1105911 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) '''Würde in 3D-Modell Sinn ergeben:''' * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. COMSOL löst diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Physikalische Parameter== ===Materialparameter=== ===Rand- und Anfangsbedingungen:=== * = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = j94y4692tau8hqj242v6qf8j90x7lew 1105912 1105911 2026-07-04T12:20:52Z Katharina Müller3203 37345 /* Rand- und Anfangsbedingungen: */ 1105912 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) '''Würde in 3D-Modell Sinn ergeben:''' * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. COMSOL löst diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Physikalische Parameter== ===Materialparameter=== ===Rand- und Anfangsbedingungen === = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = 63akrwiwthgppixxj4f8kqydc39109s 1105913 1105912 2026-07-04T12:21:47Z Katharina Müller3203 37345 /* Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? */ 1105913 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) '''Würde in 3D-Modell Sinn ergeben:''' * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== über Reynoldszahl folgt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. COMSOL löst diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Physikalische Parameter== ===Materialparameter=== ===Rand- und Anfangsbedingungen === = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = 0u9nh33ksecav7prkd3rcjal8nmnkdd 1105914 1105913 2026-07-04T12:51:04Z Katharina Müller3203 37345 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105914 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) '''Würde in 3D-Modell Sinn ergeben:''' * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== über Reynoldszahl folgt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Physikalische Parameter== ===Materialparameter=== ===Rand- und Anfangsbedingungen === = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = 70344wfya9dixr2iqw6gnimgt6ytyj2 1105915 1105914 2026-07-04T12:57:20Z Katharina Müller3203 37345 /* Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? */ 1105915 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) '''Würde in 3D-Modell Sinn ergeben:''' * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die '''Reynolds-Zahl''' verwendet: ((einfügen Reynolds-Zahl)) ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Diese Annahme ist für geringe Strömungsgeschwindigkeiten und kleine charakteristische Längen sinnvoll. Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Physikalische Parameter== ===Materialparameter=== ===Rand- und Anfangsbedingungen === = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = nclsgaokrg65nugqc6l2utovncyg9no 1105916 1105915 2026-07-04T12:58:55Z Katharina Müller3203 37345 /* Physikalische Parameter */ 1105916 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) '''Würde in 3D-Modell Sinn ergeben:''' * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die '''Reynolds-Zahl''' verwendet: ((einfügen Reynolds-Zahl)) ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Diese Annahme ist für geringe Strömungsgeschwindigkeiten und kleine charakteristische Längen sinnvoll. Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = 3t2p5r1i1j49p96xs4jb5z2vg6soqlu 1105917 1105916 2026-07-04T13:00:47Z Katharina Müller3203 37345 /* Physikalische Annahmen */ 1105917 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die '''Reynolds-Zahl''' verwendet: ((einfügen Reynolds-Zahl)) ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Diese Annahme ist für geringe Strömungsgeschwindigkeiten und kleine charakteristische Längen sinnvoll. Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = lzrut5zz85lvxx9yc57nc3k4a437384 1105918 1105917 2026-07-04T13:02:01Z Katharina Müller3203 37345 /* Materialparameter Zigarettenrauch */ 1105918 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die '''Reynolds-Zahl''' verwendet: ((einfügen Reynolds-Zahl)) ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Diese Annahme ist für geringe Strömungsgeschwindigkeiten und kleine charakteristische Längen sinnvoll. Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = 1xzsgfmx0bvxbrz5csnontxkrwhbjb4 1105919 1105918 2026-07-04T13:02:17Z Katharina Müller3203 37345 /* Materialparameter Zigarettenrauch */ 1105919 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die '''Reynolds-Zahl''' verwendet: ((einfügen Reynolds-Zahl)) ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Diese Annahme ist für geringe Strömungsgeschwindigkeiten und kleine charakteristische Längen sinnvoll. Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = rfi4e0mop3k4owdbzw6zaqjew563poa 1105920 1105919 2026-07-04T13:03:03Z Katharina Müller3203 37345 /* Rand- und Anfangsparameter */ 1105920 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die '''Reynolds-Zahl''' verwendet: ((einfügen Reynolds-Zahl)) ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Diese Annahme ist für geringe Strömungsgeschwindigkeiten und kleine charakteristische Längen sinnvoll. Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = jp4oewmvkndnj9lfzimav2t99q16x7f 1105921 1105920 2026-07-04T13:04:19Z Katharina Müller3203 37345 /* Rand- und Anfangsparameter */ 1105921 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die '''Reynolds-Zahl''' verwendet: ((einfügen Reynolds-Zahl)) ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Diese Annahme ist für geringe Strömungsgeschwindigkeiten und kleine charakteristische Längen sinnvoll. Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = jzbc07qrwjx75vea8s6srhdgru26eve 1105929 1105921 2026-07-05T07:12:07Z ~2026-38123-02 41693 /* Literaturverzeichnis */ 1105929 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die '''Reynolds-Zahl''' verwendet: ((einfügen Reynolds-Zahl)) ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Diese Annahme ist für geringe Strömungsgeschwindigkeiten und kleine charakteristische Längen sinnvoll. Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. p1gwjq2qmd6k6zx2kd6mcj89ctoiqiq 1105931 1105929 2026-07-05T07:16:10Z ~2026-38123-02 41693 /* Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? */ 1105931 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die '''Reynolds-Zahl''' verwendet: ((einfügen Reynolds-Zahl)) <math> Re=</math> <br> ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Diese Annahme ist für geringe Strömungsgeschwindigkeiten und kleine charakteristische Längen sinnvoll. Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. fbla201uzwfxcl0un1at7kypormr3m5 1105932 1105931 2026-07-05T07:30:34Z ~2026-38123-02 41693 /* Mathematische Modellierung */ 1105932 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho_0 \, v \, L}{\eta} = \frac{v \, L}{\nu}</math> Hierbei steht <math>\rho_0</math> für die [[Dichte]] des [[Fluid]]s, <math>v</math> ist die mittlere [[Strömungsgeschwindigkeit]] und <math>L</math> eine [[charakteristische Länge]] des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die [[kinematische Viskosität]] des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\Re_krit=2000</math>. ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 5a1lmipiblaii19h626tl12fzpojsyc 1105933 1105932 2026-07-05T07:31:56Z ~2026-38123-02 41693 /* laminare und turbulente Strömung */ 1105933 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho_0 \, v \, L}{\eta} = \frac{v \, L}{\nu}</math> Hierbei steht <math>\rho_0</math> für die [[Dichte]] des [[Fluid]]s, <math>v</math> ist die mittlere [[Strömungsgeschwindigkeit]] und <math>L</math> eine [[charakteristische Länge]] des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die [[kinematische Viskosität]] des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\{\Re}_{\krit}=2000</math>. ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 7z8pawoihykhzd2qa0e9706q9b26d04 1105934 1105933 2026-07-05T07:33:22Z ~2026-38123-02 41693 /* laminare und turbulente Strömung */ 1105934 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho_0 \, v \, L}{\eta} = \frac{v \, L}{\nu}</math> Hierbei steht <math>\rho_0</math> für die [[Dichte]] des [[Fluid]]s, <math>v</math> ist die mittlere [[Strömungsgeschwindigkeit]] und <math>L</math> eine [[charakteristische Länge]] des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die [[kinematische Viskosität]] des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei {Re}_\mathrm{krit}=2000</math>. ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 4vm2t9p18o4smgijqbxue5hvux0g5nm 1105935 1105934 2026-07-05T07:34:17Z ~2026-38123-02 41693 /* laminare und turbulente Strömung */ 1105935 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho_0 \, v \, L}{\eta} = \frac{v \, L}{\nu}</math> Hierbei steht <math>\rho_0</math> für die [[Dichte]] des [[Fluid]]s, <math>v</math> ist die mittlere [[Strömungsgeschwindigkeit]] und <math>L</math> eine [[charakteristische Länge]] des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die [[kinematische Viskosität]] des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math>. ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. dgeo7h4hyucf7r9mtt63hkxqxp5gmo7 1105936 1105935 2026-07-05T07:36:37Z ~2026-38123-02 41693 /* laminare und turbulente Strömung */ 1105936 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho_0 \, v \, L}{\eta} = \frac{v \, L}{\nu}</math> Hierbei steht <math>\rho_0</math> für die [[Dichte]] des [[Fluid]]s, <math>v</math> ist die mittlere [[Strömungsgeschwindigkeit]] und <math>L</math> eine [[charakteristische Länge]] des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die [[kinematische Viskosität]] des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 40lqzfw2cwwtgdy8ihmvr9wtzpdl8rp 1105937 1105936 2026-07-05T07:38:21Z ~2026-38123-02 41693 /* laminare und turbulente Strömung */ 1105937 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho_0 \, v \, L}{\eta} = \frac{v \, L}{\nu}</math> Hierbei steht <math>\rho_0</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. lhvqi3ljhkbcxx6dnjct5ida3ktrruy 1105938 1105937 2026-07-05T07:39:25Z ~2026-38123-02 41693 /* laminare und turbulente Strömung */ 1105938 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} Hierbei steht <math>\rho_0</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. rr0x69aey8b0v7wi806j1nva72yqu3v 1105939 1105938 2026-07-05T07:39:49Z ~2026-38123-02 41693 /* laminare und turbulente Strömung */ 1105939 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} <math> Hierbei steht <math>\rho_0</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. r0gm78ek2mtfs2a2workf16kbqp9zp9 1105940 1105939 2026-07-05T07:40:11Z ~2026-38123-02 41693 /* laminare und turbulente Strömung */ 1105940 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho_0</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. m2racarkzn99syqxhwahdlmj4sqvdm8 1105941 1105940 2026-07-05T07:40:30Z ~2026-38123-02 41693 /* laminare und turbulente Strömung */ 1105941 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. '' ((Einfügen Gleichung))'' ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. tnm3afnmnhqtg9exu17gnsbcr5a0lad 1105942 1105941 2026-07-05T07:44:54Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105942 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v = 0</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 5u8u6qmx192asfkbz17ida0mu8kk0e0 1105943 1105942 2026-07-05T07:45:36Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105943 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. <math> \mathit \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v = 0 </math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. sq6ss5hmvgbm9gn4w7osxaf1m7edm1z 1105944 1105943 2026-07-05T07:45:52Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105944 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung. Sie stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. <math> \mathit \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0 </math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 0wkq57srip9hy8cs77ind9vq3sugzam 1105945 1105944 2026-07-05T07:57:30Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105945 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was rein kommt, kommt auch wieder raus" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren: Die '''Kontinuitätsgleichung''' für inkompressible Strömungen zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. Gleichung für inkompressible einfügen !! ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. ilb61dgn1aou0t6fc52ba4g5m3pn4lq 1105946 1105945 2026-07-05T08:06:26Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105946 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. Gleichung für inkompressible einfügen !! ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. b2q35w4syqcjclct1yd6lc570d56khs 1105947 1105946 2026-07-05T08:06:55Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105947 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\Re_krit</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. (Gleichung für inkompressible einfügen !!) ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 1ghcwbnzkj6s0f4n1hzf67glputsven 1105948 1105947 2026-07-05T08:08:18Z ~2026-38123-02 41693 /* laminare und turbulente Strömung */ 1105948 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Physikalische Modellierung: Fluiddynamik== ===Benötigte Gleichungen:=== ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. (Gleichung für inkompressible einfügen !!) ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 4sthgqoammcd38dtfbn7ep62a4p6d0m 1105949 1105948 2026-07-05T08:10:56Z ~2026-38123-02 41693 /* Physikalische Modellierung: Fluiddynamik */ 1105949 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Mathematische und physikalische Hintergründe: Fluiddynamik== ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. (Gleichung für inkompressible einfügen !!) ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 2773lqpzuzhf6oe5i9sr2kmymbkx1jw 1105950 1105949 2026-07-05T08:11:22Z ~2026-38123-02 41693 /* Mathematische und physikalische Hintergründe: Fluiddynamik */ 1105950 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==== Exkurs: Warum wird hier laminare Strömung verwendet? ==== Da sich Zigarettenrauch in der Simulation unter ruhigen Umgebungsbedingungen mit vergleichsweise geringen Geschwindigkeiten ausbreitet, ist die Annahme einer '''laminaren Strömung''' gerechtfertigt. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. (Gleichung für inkompressible einfügen !!) ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. fnx3l56lmtqwtslphe8bstr9pbkuv19 1105951 1105950 2026-07-05T08:15:21Z ~2026-38123-02 41693 /* Mathematische Modellierung */ 1105951 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. == Mathematische Modellierung == ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. (Gleichung für inkompressible einfügen !!) ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. p8bxij5dzs1gxh64ri38z7c9mdq1dcg 1105952 1105951 2026-07-05T08:15:47Z ~2026-38123-02 41693 /* Mathematische Modellierung */ 1105952 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum bzw. in der Natur befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. (Gleichung für inkompressible einfügen !!) ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. rbb6vqf5rnikih079jwud09nhqq1pso 1105953 1105952 2026-07-05T08:16:54Z ~2026-38123-02 41693 /* Fragestellung */ 1105953 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. (Gleichung für inkompressible einfügen !!) ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. r016pj4gwn1vr22k40kqdd2k38602d5 1105954 1105953 2026-07-05T08:17:13Z ~2026-38123-02 41693 /* Relevanz */ 1105954 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. (Gleichung für inkompressible einfügen !!) ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. rvi3zkhchi2o9qqem73zt1k826orsek 1105955 1105954 2026-07-05T08:22:45Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105955 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. (Gleichung für inkompressible einfügen !!) <math>\mathit { \frac{\partial \V}{\partial t} = \frac{\partial \s}{\partial t} \cdot \A = \v \cdot \A = const.} </math> ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 8m4htcztz0w2vlj83ht843ss4qyt9g4 1105956 1105955 2026-07-05T08:23:37Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105956 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. (Gleichung für inkompressible einfügen !!) <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. gg7v9vm770nc4o6vqec3g00t2z9x6iy 1105957 1105956 2026-07-05T08:26:48Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105957 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität'''des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 66azqrj2pj1mm4uagb41i1bursb3vco 1105958 1105957 2026-07-05T08:28:37Z Katharina Müller3203 37345 /* laminare und turbulente Strömung */ 1105958 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedürckt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. kz67adcyrx4sd35yq6jmhb7j5qpun2i 1105959 1105958 2026-07-05T08:29:40Z Katharina Müller3203 37345 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105959 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 4shgq7v1it5q66c8hem7dwim1oovk3q 1105960 1105959 2026-07-05T08:29:48Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105960 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. khw1wnu399ixgycepcm9zn3xanwu1y3 1105961 1105960 2026-07-05T08:32:04Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105961 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math>\rho </math> \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. of8s1ym5x43as9a374sk1urwime6aew 1105962 1105961 2026-07-05T08:32:23Z Katharina Müller3203 37345 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105962 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Massen- und Volumenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 4nc8besxlbfg0p4j85eun6uopf38izr 1105963 1105962 2026-07-05T08:32:29Z ~2026-38123-02 41693 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105963 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. eep7xcg2n36ebxmpdy2tw9fbxka6h34 1105964 1105963 2026-07-05T08:34:21Z Katharina Müller3203 37345 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105964 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' in 2D ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 7gvcy775b8ov9j73mhcl70dh34drr7v 1105965 1105964 2026-07-05T08:41:31Z ~2026-38123-02 41693 /* Implementierung in Comsol */ 1105965 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. jr4cepn4nqidk8jeod6t1hssej7ef45 1105978 1105965 2026-07-05T11:23:04Z Clara Schug 41691 /* 3D-Modellierung */ 1105978 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. * Annahme konstanter Materialeigenschaften (Dichte und Viskosität) ( evtl. noch? === 3D-Modellierung === * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft.) ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. n7cv9rjg1pyowyyso6xrq15kclu51j2 1105979 1105978 2026-07-05T11:24:06Z Clara Schug 41691 /* 2D-Modellierung */ 1105979 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. ''((Einfügen Gleichung))'' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. jzrgd1x8z5x4lpa6zgsicazav42dr9x 1105980 1105979 2026-07-05T11:36:38Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105980 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Luftbewegung wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. <math>\mathit {\rho\left(\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta\vec{t}}+\left\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v}\right)=-\nabla p+\mu\Delta\vec{v}+(\lambda+\mu)\nabla (\nabla\cdot\vec{v})+\vec{f}}</math> Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 7r5r80gsr8uaohf9uza7n604nkhzqnk 1105981 1105980 2026-07-05T11:37:16Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105981 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Das Strömungsverhalten wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. <math>\mathit {\rho\left(\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta\vec{t}}+\left\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v}\right)=-\nabla p+\mu\Delta\vec{v}+(\lambda+\mu)\nabla (\nabla\cdot\vec{v})+\vec{f}}</math> Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. fhyaybxq6labhvosai82ski3lxyv5ja 1105982 1105981 2026-07-05T11:41:56Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105982 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Das Strömungsverhalten wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. <math>\mathit {\rho\left(\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta\vec{t}}+\left\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v}\right)=-\nabla p+\mu\Delta\vec{v}+(\lambda+\mu)\nabla (\nabla\cdot\vec{v})+\vec{f}}</math> <math>\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}</math> Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 88m2e89gsfvy1ul5t6q1vzkprskqwmv 1105983 1105982 2026-07-05T11:42:34Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105983 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Das Strömungsverhalten wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. <math>\mathit {\rho\left(\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta\vec{t}}+\left\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v}\right)=-\nabla p+\mu\Delta\vec{v}+(\lambda+\mu)\nabla (\nabla\cdot\vec{v})+\vec{f}}</math> <math>\mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \Delta \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. e8xm560zfqychis4nd5vmh9ly09de2p 1105984 1105983 2026-07-05T11:44:10Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105984 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Das Strömungsverhalten wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. <math>\mathit {\rho\left(\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta\vec{t}}+\left\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v}\right)=-\nabla p+\mu\Delta\vec{v}+(\lambda+\mu)\nabla (\nabla\cdot\vec{v})+\vec{f}}</math> <math>\mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v}</math>\vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 5qbaaodw2rvvh7ev9xufqsfbf1e281t 1105985 1105984 2026-07-05T11:45:45Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105985 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Das Strömungsverhalten wird durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' beschrieben. <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. fokpmfc2jnu88a2ujox81wzn23bohde 1105986 1105985 2026-07-05T11:48:18Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105986 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''' (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201 f.). <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei beschreibt ... '''Seite 201 f. füge ich noch ein.''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. t9jgffv4feyrkl2nzdzzt3245roqsjo 1105987 1105986 2026-07-05T11:48:53Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105987 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201 f.): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei beschreibt ... '''Seite 201 f. füge ich noch ein.''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. h202h0eek8egiclh6y8m2yl2tn8lgdb 1105989 1105987 2026-07-05T11:58:34Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105989 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201 f.): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei beschreibt ... '''füge ich noch ein.''' Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2019: 201) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> --------------------------------------------------------------------------------------------------- Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. bne5jmmjfuh7b0654a83ul3totnzuvo 0 171931 1105922 1105907 2026-07-04T13:15:17Z ~2026-37853-41 41694 1105922 wikitext text/x-wiki [[Datei:Fiche Max Frisch - CH-BAR - 5294964.pdf|thumb|mini|Staatsschutzfiche von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]]]] Der '''[[:w:Fichenskandal|Fichenskandal]]''' wird in der Schweiz je nach Schulstufe unterschiedlich behandelt. Auf der [[:w:Sekundarstufe I|Sekundarstufe I (7.–9. Klasse)]] wird er meist nur kurz im Zusammenhang mit dem [[:w:Kalter Krieg|Kalten Krieg]] oder der Rolle des Staates erwähnt. Auf der [[:w:Sekundarstufe II|Sekundarstufe II (Gymnasium, Berufsschule)]] ist die Fichenaffäre ein Beispiel der Schweizer Zeitgeschichte. Gelernt wird, dass während des Kalten Krieges rund 900'000 Personen überwacht wurden, und diskutieren Fragen zu Demokratie, Datenschutz und staatlicher Macht. Auf der [[:w:Tertiärstufe|Tertiärstufe (Universitäten, Pädagogische Hochschulen)]] wird das Thema vertieft analysiert, etwa durch Quellenarbeit und die Einordnung in den internationalen Kontext von Überwachung und Geheimdiensten. [[Datei:Fiche Hans Martin Sutermeister - CH-BAR - 5294288.pdf|thumb|mini|Fiche von [[:w:Hans Martin Sutermeister|Sutermeister]]]] Fichen waren ursprünglich staatliche Geheimdokumente und sind daher nicht frei zugänglich, sondern im [[:w:Schweizerisches Bundesarchiv|Bundesarchiv]] unter Schutz archiviert. Gerade deshalb sind öffentlich einsehbare Beispiele sehr selten. Auf der Plattform [[:w:Wikimedia Commons|Wikimedia Commons]] finden sich lediglich zwei zugängliche Fichen: jene von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]] und jene von [[:w:Hans Martin Sutermmeister|Hans Martin Sutermeister]]. Folgendes Quiz widmet sich der Fiche von Sutermeister. Im Unterschied zu Max Frisch ist diese Fiche weniger erforscht und umfangreicher. <quiz display="simple"> { '''Sutermeister denunzierte seine Brüder [[:w:Heinrich Sutermeister|Heinrich]] und [[:w:Peter Sutermeister|Peter]] 1942,''' } - weil sie ihn um Geld betrogen hatten. - weil sie politisch unzuverlässig waren. + wegen Liebes- und Frauenkonflikten. - grundlos. </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was wollte Sutermeister 1974 überwachen lassen?''' } - Schweizerische Bundeskanzlei + Botschaft des Libanon - Botschaft von Chile - Botschaft von Israel </quiz> [[Kategorie:Fach:Geschichte]] [[Kategorie:Schweiz]] dm5z04rttxubmjagagqd4mfn6t1odef 1105923 1105922 2026-07-04T13:20:19Z ~2026-37853-41 41694 1105923 wikitext text/x-wiki [[Datei:Fiche Max Frisch - CH-BAR - 5294964.pdf|thumb|mini|Staatsschutzfiche von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]]]] Der '''[[:w:Fichenskandal|Fichenskandal]]''' wird in der Schweiz je nach Schulstufe unterschiedlich behandelt. Auf der [[:w:Sekundarstufe I|Sekundarstufe I (7.–9. Klasse)]] wird er meist nur kurz im Zusammenhang mit dem [[:w:Kalter Krieg|Kalten Krieg]] oder der Rolle des Staates erwähnt. Auf der [[:w:Sekundarstufe II|Sekundarstufe II (Gymnasium, Berufsschule)]] ist die Fichenaffäre ein Beispiel der Schweizer Zeitgeschichte. Gelernt wird, dass während des Kalten Krieges rund 900'000 Personen überwacht wurden, und diskutieren Fragen zu Demokratie, Datenschutz und staatlicher Macht. Auf der [[:w:Tertiärstufe|Tertiärstufe (Universitäten, Pädagogische Hochschulen)]] wird das Thema vertieft analysiert, etwa durch Quellenarbeit und die Einordnung in den internationalen Kontext von Überwachung und Geheimdiensten. [[Datei:Fiche Hans Martin Sutermeister - CH-BAR - 5294288.pdf|thumb|mini|Fiche von [[:w:Hans Martin Sutermeister|Sutermeister]]]] Fichen waren ursprünglich staatliche Geheimdokumente und sind daher nicht frei zugänglich, sondern im [[:w:Schweizerisches Bundesarchiv|Bundesarchiv]] unter Schutz archiviert. Gerade deshalb sind öffentlich einsehbare Beispiele sehr selten. Auf der Plattform [[:w:Wikimedia Commons|Wikimedia Commons]] finden sich lediglich zwei zugängliche Fichen: jene von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]] und jene von [[:w:Hans Martin Sutermmeister|Hans Martin Sutermeister]]. Folgendes Quiz widmet sich der Fiche von Sutermeister. Im Unterschied zu Max Frisch ist diese Fiche weniger erforscht und umfangreicher. <quiz display="simple"> { '''Sutermeister denunzierte seine Brüder [[:w:Heinrich Sutermeister|Heinrich]] und [[:w:Peter Sutermeister|Peter]] 1942,''' } - weil sie ihn um Geld betrogen hatten. - weil sie politisch unzuverlässig waren. + wegen Liebes- und Frauenkonflikten. - grundlos. </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was wollte Sutermeister 1974 überwachen lassen?''' } - Schweizerische Bundeskanzlei + Botschaft des Libanon - Botschaft von Chile - Botschaft von Israel </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was war Sutermeister 1975?''' } + Informant des Nachrichtendienstes - Freier linker Journalist - Gewählter Politiker - Kaiseraugst-Besetzer </quiz> [[Kategorie:Fach:Geschichte]] [[Kategorie:Schweiz]] 1dyofrh6iakkfr7qs52gdg7v0qu99vr 1105924 1105923 2026-07-04T14:21:12Z Paul Sutermeister 37610 1105924 wikitext text/x-wiki [[Datei:Fiche Max Frisch - CH-BAR - 5294964.pdf|thumb|mini|Staatsschutzfiche von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]]]] Der '''[[:w:Fichenskandal|Fichenskandal]]''' wird in der Schweiz je nach Schulstufe unterschiedlich behandelt. Auf der [[:w:Sekundarstufe I|Sekundarstufe I (7.–9. Klasse)]] wird er meist nur kurz im Zusammenhang mit dem [[:w:Kalter Krieg|Kalten Krieg]] oder der Rolle des Staates erwähnt. Auf der [[:w:Sekundarstufe II|Sekundarstufe II (Gymnasium, Berufsschule)]] ist die Fichenaffäre ein Beispiel der Schweizer Zeitgeschichte. Gelernt wird, dass während des Kalten Krieges rund 900'000 Personen überwacht wurden, und diskutieren Fragen zu Demokratie, Datenschutz und staatlicher Macht. Auf der [[:w:Tertiärstufe|Tertiärstufe (Universitäten, Pädagogische Hochschulen)]] wird das Thema vertieft analysiert, etwa durch Quellenarbeit und die Einordnung in den internationalen Kontext von Überwachung und Geheimdiensten. [[Datei:Fiche Hans Martin Sutermeister - CH-BAR - 5294288.pdf|thumb|mini|Fiche von [[:w:Hans Martin Sutermeister|Sutermeister]]]] Fichen waren ursprünglich staatliche Geheimdokumente und sind daher nicht frei zugänglich, sondern im [[:w:Schweizerisches Bundesarchiv|Bundesarchiv]] unter Schutz archiviert. Gerade deshalb sind öffentlich einsehbare Beispiele sehr selten. Auf der Plattform [[:w:Wikimedia Commons|Wikimedia Commons]] finden sich lediglich zwei zugängliche Fichen: jene von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]] und jene von [[:w:Hans Martin Sutermmeister|Hans Martin Sutermeister]]. Folgendes Quiz widmet sich der Fiche von Sutermeister. Im Unterschied zu Max Frisch ist diese Fiche weniger erforscht und umfangreicher. <quiz display="simple"> { '''Sutermeister denunzierte seine Brüder [[:w:Heinrich Sutermeister|Heinrich]] und [[:w:Peter Sutermeister|Peter]] 1942,''' } - weil sie ihn um Geld betrogen hatten. - weil sie politisch unzuverlässig waren. + wegen Liebes- und Frauenkonflikten. - grundlos. </quiz> <quiz display="simple"> { '''Auf welcher Liste stand 1970 Sutermeisters Name?''' } + Liste der Berner Kriegsdienstgegner - Liste der Neonazis - Liste der Frauenbewegung - Liste der Schwulenbewegung </quiz> <quiz display="simple"> { '''Warum war Sutermeister 1971 in den Schlagzeilen?''' } - Wegen des Vietcong + Wegen der Sekundarschule Laubegg - Wegen Wegzugs nach Basel - Wegen eines seiner Bücher </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was wollte Sutermeister 1974 überwachen lassen?''' } - Schweizerische Bundeskanzlei + Botschaft des Libanon - Botschaft von Chile - Botschaft von Israel </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was war Sutermeister 1975?''' } + Informant des Nachrichtendienstes - Freier linker Journalist - Gewählter Politiker - Kaiseraugst-Besetzer </quiz> [[Kategorie:Fach:Geschichte]] [[Kategorie:Schweiz]] ps2q36meypj7qfng3yezrprpjoggxdc 1105925 1105924 2026-07-04T16:13:37Z Paul Sutermeister 37610 1105925 wikitext text/x-wiki [[Datei:Fiche Max Frisch - CH-BAR - 5294964.pdf|thumb|mini|Staatsschutzfiche von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]]]] Der '''[[:w:Fichenskandal|Fichenskandal]]''' wird in der Schweiz je nach Schulstufe unterschiedlich behandelt. Auf der [[:w:Sekundarstufe I|Sekundarstufe I (7.–9. Klasse)]] wird er meist nur kurz im Zusammenhang mit dem [[:w:Kalter Krieg|Kalten Krieg]] oder der Rolle des Staates erwähnt. Auf der [[:w:Sekundarstufe II|Sekundarstufe II (Gymnasium, Berufsschule)]] ist die Fichenaffäre ein Beispiel der Schweizer Zeitgeschichte. Gelernt wird, dass während des Kalten Krieges rund 900'000 Personen überwacht wurden, und diskutieren Fragen zu Demokratie, Datenschutz und staatlicher Macht. Auf der [[:w:Tertiärstufe|Tertiärstufe (Universitäten, Pädagogische Hochschulen)]] wird das Thema vertieft analysiert, etwa durch Quellenarbeit und die Einordnung in den internationalen Kontext von Überwachung und Geheimdiensten. [[Datei:Fiche Hans Martin Sutermeister - CH-BAR - 5294288.pdf|thumb|mini|Fiche von [[:w:Hans Martin Sutermeister|Sutermeister]]]] Fichen waren ursprünglich staatliche Geheimdokumente und sind daher nicht frei zugänglich, sondern im [[:w:Schweizerisches Bundesarchiv|Bundesarchiv]] unter Schutz archiviert. Gerade deshalb sind öffentlich einsehbare Beispiele sehr selten. Auf der Plattform [[:w:Wikimedia Commons|Wikimedia Commons]] finden sich lediglich zwei zugängliche Fichen: jene von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]] und jene von [[:w:Hans Martin Sutermmeister|Hans Martin Sutermeister]]. Folgendes Quiz widmet sich der Fiche von Sutermeister. Im Unterschied zu Max Frisch ist diese Fiche weniger erforscht und umfangreicher. <quiz display="simple"> { '''Sutermeister denunzierte seine Brüder [[:w:Heinrich Sutermeister|Heinrich]] und [[:w:Peter Sutermeister|Peter]] 1942,''' } - weil sie ihn um Geld betrogen hatten. - weil sie politisch unzuverlässig waren. + wegen Liebes- und Frauenkonflikten. - grundlos. </quiz> <quiz display="simple"> { '''Warum setzte sich Sutermeister für den verurteilten Genfer Anwalt [[:w:Pierre Jaccoud|Pierre Jaccoud]] ein?''' } - Weil Jaccoud ihn persönlich dazu beauftragte. - Weil er vom Vormund von Jaccoud beauftragt wurde. - Weil die Familie von Jaccoud ihn beauftragte. + Weil Sutermeister aus eigenem Antrieb tätig wurde. </quiz> <quiz display="simple"> { '''Auf welcher Liste stand 1970 Sutermeisters Name?''' } + Liste der Berner Kriegsdienstgegner - Liste der Neonazis - Liste der Frauenbewegung - Liste der Schwulenbewegung </quiz> <quiz display="simple"> { '''Warum war Sutermeister 1971 in den Schlagzeilen?''' } - Wegen des Vietcong + Wegen der Sekundarschule Laubegg - Wegen Wegzugs nach Basel - Wegen eines seiner Bücher </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was wollte Sutermeister 1974 überwachen lassen?''' } - Schweizerische Bundeskanzlei + Botschaft des Libanon - Botschaft von Chile - Botschaft von Israel </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was war Sutermeister 1975?''' } + Informant des Nachrichtendienstes - Freier linker Journalist - Gewählter Politiker - Kaiseraugst-Besetzer </quiz> [[Kategorie:Fach:Geschichte]] [[Kategorie:Schweiz]] s3ibnc98ejznotdeqtuo3gmcsq16m3b 1105926 1105925 2026-07-04T16:18:00Z Paul Sutermeister 37610 1105926 wikitext text/x-wiki [[Datei:Fiche Max Frisch - CH-BAR - 5294964.pdf|thumb|mini|Staatsschutzfiche von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]]]] Der '''[[:w:Fichenskandal|Fichenskandal]]''' wird in der Schweiz je nach Schulstufe unterschiedlich behandelt. Auf der [[:w:Sekundarstufe I|Sekundarstufe I (7.–9. Klasse)]] wird er meist nur kurz im Zusammenhang mit dem [[:w:Kalter Krieg|Kalten Krieg]] oder der Rolle des Staates erwähnt. Auf der [[:w:Sekundarstufe II|Sekundarstufe II (Gymnasium, Berufsschule)]] ist die Fichenaffäre ein Beispiel der Schweizer Zeitgeschichte. Gelernt wird, dass während des Kalten Krieges rund 900'000 Personen überwacht wurden, und diskutieren Fragen zu Demokratie, Datenschutz und staatlicher Macht. Auf der [[:w:Tertiärstufe|Tertiärstufe (Universitäten, Pädagogische Hochschulen)]] wird das Thema vertieft analysiert, etwa durch Quellenarbeit und die Einordnung in den internationalen Kontext von Überwachung und Geheimdiensten. [[Datei:Fiche Hans Martin Sutermeister - CH-BAR - 5294288.pdf|thumb|mini|Fiche von [[:w:Hans Martin Sutermeister|Sutermeister]]]] Fichen waren ursprünglich staatliche Geheimdokumente und sind daher nicht frei zugänglich, sondern im [[:w:Schweizerisches Bundesarchiv|Bundesarchiv]] unter Schutz archiviert. Gerade deshalb sind öffentlich einsehbare Beispiele sehr selten. Auf der Plattform [[:w:Wikimedia Commons|Wikimedia Commons]] finden sich lediglich zwei zugängliche Fichen: jene von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]] und jene von [[:w:Hans Martin Sutermmeister|Hans Martin Sutermeister]]. Folgendes Quiz widmet sich der Fiche von Sutermeister. Im Unterschied zu Max Frisch ist diese Fiche weniger erforscht und umfangreicher. <quiz display="simple"> { '''Sutermeister denunzierte seine Brüder [[:w:Heinrich Sutermeister|Heinrich]] und [[:w:Peter Sutermeister|Peter]] 1942,''' } - weil sie ihn um Geld betrogen hatten. - weil sie politisch unzuverlässig waren. + wegen Liebes- und Frauenkonflikten. - grundlos. </quiz> <quiz display="simple"> { '''In welchem politischen Umfeld war Hans Martin Sutermeister im gleichen Jahr aktiv?''' } - In der [[:w:Nationale Front|Nationalen Front]] der Schweiz (rechtsextreme, NS-sympathisierende Bewegung) + In der [[:w:Partei der Arbeit|Partei der Arbeit]] - In einer marxistisch-kommunistischen Untergrundorganisation - Offen und direkt für die Nationalsozialisten tätig </quiz> <quiz display="simple"> { '''Warum setzte sich Sutermeister für den verurteilten Genfer Anwalt [[:w:Pierre Jaccoud|Pierre Jaccoud]] ein?''' } - Weil Jaccoud ihn persönlich dazu beauftragte. - Weil er vom Vormund von Jaccoud beauftragt wurde. - Weil die Familie von Jaccoud ihn beauftragte. + Weil Sutermeister aus eigenem Antrieb tätig wurde. </quiz> <quiz display="simple"> { '''Auf welcher Liste stand 1970 Sutermeisters Name?''' } + Liste der Berner Kriegsdienstgegner - Liste der Neonazis - Liste der Frauenbewegung - Liste der Schwulenbewegung </quiz> <quiz display="simple"> { '''Warum war Sutermeister 1971 in den Schlagzeilen?''' } - Wegen des Vietcong + Wegen der Sekundarschule Laubegg - Wegen Wegzugs nach Basel - Wegen eines seiner Bücher </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was wollte Sutermeister 1974 überwachen lassen?''' } - Schweizerische Bundeskanzlei + Botschaft des Libanon - Botschaft von Chile - Botschaft von Israel </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was war Sutermeister 1975?''' } + Informant des Nachrichtendienstes - Freier linker Journalist - Gewählter Politiker - Kaiseraugst-Besetzer </quiz> [[Kategorie:Fach:Geschichte]] [[Kategorie:Schweiz]] t1tx0ytpsxjuj036snnef1yr35mjg4a 1105927 1105926 2026-07-04T16:23:16Z Paul Sutermeister 37610 1105927 wikitext text/x-wiki <!--[[Datei:Fiche Max Frisch - CH-BAR - 5294964.pdf|thumb|mini|Staatsschutzfiche von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]]]] Der '''[[:w:Fichenskandal|Fichenskandal]]''' wird in der Schweiz je nach Schulstufe unterschiedlich behandelt. Auf der [[:w:Sekundarstufe I|Sekundarstufe I (7.–9. Klasse)]] wird er meist nur kurz im Zusammenhang mit dem [[:w:Kalter Krieg|Kalten Krieg]] oder der Rolle des Staates erwähnt. Auf der [[:w:Sekundarstufe II|Sekundarstufe II (Gymnasium, Berufsschule)]] ist die Fichenaffäre ein Beispiel der Schweizer Zeitgeschichte. Gelernt wird, dass während des Kalten Krieges rund 900'000 Personen überwacht wurden, und diskutieren Fragen zu Demokratie, Datenschutz und staatlicher Macht. Auf der [[:w:Tertiärstufe|Tertiärstufe (Universitäten, Pädagogische Hochschulen)]] wird das Thema vertieft analysiert, etwa durch Quellenarbeit und die Einordnung in den internationalen Kontext von Überwachung und Geheimdiensten.--> [[Datei:Fiche Hans Martin Sutermeister - CH-BAR - 5294288.pdf|thumb|mini|Fiche von [[:w:Hans Martin Sutermeister|Sutermeister]]]] [[:w:Fichenskandal|Fichen]] waren ursprünglich staatliche Geheimdokumente und sind daher nicht frei zugänglich, sondern im [[:w:Schweizerisches Bundesarchiv|Bundesarchiv]] unter Schutz archiviert. Gerade deshalb sind öffentlich einsehbare Beispiele sehr selten. Auf der Plattform [[:w:Wikimedia Commons|Wikimedia Commons]] finden sich lediglich zwei zugängliche Fichen: jene von [[:w:Max Frisch|Max Frisch]] und jene von [[:w:Hans Martin Sutermmeister|Hans Martin Sutermeister]]. Folgendes Quiz widmet sich der Fiche von Sutermeister. Im Unterschied zu Max Frisch ist diese Fiche weniger erforscht und umfangreicher. <quiz display="simple"> { '''Sutermeister denunzierte seine Brüder [[:w:Heinrich Sutermeister|Heinrich]] und [[:w:Peter Sutermeister|Peter]] 1942,''' } - weil sie ihn um Geld betrogen hatten. - weil sie politisch unzuverlässig waren. + wegen Liebes- und Frauenkonflikten. - grundlos. </quiz> <quiz display="simple"> { '''In welchem politischen Umfeld war Hans Martin Sutermeister im gleichen Jahr aktiv?''' } - In der [[:w:Nationale Front|Nationalen Front]] der Schweiz (rechtsextreme, NS-sympathisierende Bewegung) + In der [[:w:Partei der Arbeit|Partei der Arbeit]] - In einer marxistisch-kommunistischen Untergrundorganisation - Offen und direkt für die Nationalsozialisten tätig </quiz> <quiz display="simple"> { '''Warum setzte sich Sutermeister für den verurteilten Genfer Anwalt [[:w:Pierre Jaccoud|Pierre Jaccoud]] ein?''' } - Weil Jaccoud ihn persönlich dazu beauftragte. - Weil er vom Vormund von Jaccoud beauftragt wurde. - Weil die Familie von Jaccoud ihn beauftragte. + Weil Sutermeister aus eigenem Antrieb tätig wurde. </quiz> <quiz display="simple"> { '''Auf welcher Liste stand 1970 Sutermeisters Name?''' } + Liste der Berner Kriegsdienstgegner - Liste der Neonazis - Liste der Frauenbewegung - Liste der Schwulenbewegung </quiz> <quiz display="simple"> { '''Warum war Sutermeister 1971 in den Schlagzeilen?''' } - Wegen des Vietcong + Wegen der Sekundarschule Laubegg - Wegen Wegzugs nach Basel - Wegen eines seiner Bücher </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was wollte Sutermeister 1974 überwachen lassen?''' } - Schweizerische Bundeskanzlei + Botschaft des Libanon - Botschaft von Chile - Botschaft von Israel </quiz> <quiz display="simple"> { '''Was war Sutermeister 1975?''' } + Informant des Nachrichtendienstes - Freier linker Journalist - Gewählter Politiker - Kaiseraugst-Besetzer </quiz> [[Kategorie:Fach:Geschichte]] [[Kategorie:Schweiz]] o096u6l1jtknwl0w9itlr6z4nowxjzm