Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.9 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 95432 1106024 1067706 2026-07-06T10:16:19Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1106024 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da <math>\mathbb{C}</math> keine [[w:de:Ordnungsrelation#Totalordnung|vollständige/totale Ordnung]] besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen. <span id="UG-RI"></span> == Ungleichung für Summe von Realteil- und Imaginärteil - UG-RI== Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>f_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>f_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann gilt: :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f_1(t) | \, dt +\int_{a}^{b} | f_2(t) | \, dt </math> === Aufgabe - UG-RI=== Führen Sie den Beweis für UG.RI aus. Der Beweis erfolgt durch Zerlegung in Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion, Linearität des Integrals und der Anwendung der Dreiecksungleichung. == Ungleichung für Betrag im Integrand - UG-BI == Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig, dann gilt:<ref>Funktionentheorie, Fischer, W., Lieb, W. (1988) Vieweg, S. 37</ref> :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> == Beweis - UG-BI== Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt mit: * '''(BI-1)''' <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> * '''(BI-2)'''<math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt \not= 0</math> === Fall - (BI-1) === Mit <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> folgt <math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0</math>. Da <math>| f(t) | \geq 0 </math> folgt <math> \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt \geq 0 </math> und man erhält: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0 \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> === Fall - (BI-2) === Das Integral <math> \beta = \int_{a}^{b} f(t)\, dt \in \mathbb{C} </math> ist eine komplexe Zahl mit <math> \beta \not= 0 </math>, für die gilt mit <math>| \beta | = \sqrt{\beta\cdot \overline{\beta} }</math>: :<math> | \beta | = \frac{| \beta |^2}{|\beta|} = \frac{ \beta \cdot \overline{\beta} }{|\beta|} = \underbrace{ \frac{ \overline{\beta} }{|\beta|} }_{\alpha := } \cdot \beta = \alpha \cdot \beta </math> <math>\alpha</math> dreht die komplexe Zahl über die Multiplikation so, dass <math>\beta</math> auf der positiven reellen Achse liegt. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 1 ==== Mit <math>\beta\not= 0</math> erhält durch die Anwendung der Linearität des Integrals: :<math> | \beta | = \alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \int_{a}^{b} f(t)\, dt = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 3 ==== Sei <math>g := \alpha \cdot f</math> und <math> g:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>g_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>g_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>g=g_1+i\cdot g_2</math>, dann gilt mit der Linearität des Integrals: :<math> \begin{array}{rcl} \mathfrak{Re}\bigg( \int_{a}^{b} g(t)\, dt \bigg) & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} + i \cdot \underbrace{\int_{a}^{b} g_2(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) \\ & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} g_1(t)\, dt \\ &=& \int_{a}^{b} \mathfrak{Re}(g_1(t))\, dt \\ \end{array} </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 4 ==== Weil <math> | \beta | = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt \in \mathbb{R} </math> gilt, erhält man mit der obigen Rechenregel aus Schritt 3 für den Realteil: :<math> | \beta | = \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 5 ==== Die folgende Realteilabschätzung gegen den Betrag einer komplexen Zahl <math>z</math> :<math> \mathfrak{Re}(z) = z_1 \leq |z_1| = \sqrt{z_1^2} \leq \sqrt{z_1^2+z_2^2} = |z| </math> für <math> z=z_1+i\cdot z_2 </math> wird nun auf den Integranden des obigen Integrals <math> \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} </math> angewendet. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 6 ==== Die folgende Abschätzung ergibt analog zu Schritt 5 über die Linearität des Integrals :<math> | \beta | = \int_{a}^{b} \mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) \, dt \leq \int_{a}^{b} \left| \alpha \cdot f(t) \right| \, dt = | \alpha| \cdot\int_{a}^{b} \left| f(t) \right| \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 7 ==== Da <math> | \alpha| = \left| \frac{ \overline{\beta} }{ | \beta | } \right| = \frac{ |\overline{\beta} | }{ | \beta | } = 1 </math> gilt, erhält man insgesamt die gesuchte Abschätzung mit Schritt 6: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq |\alpha| \cdot \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt = \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> q.e.d. == Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswegen == Sei <math>\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]] und <math>f:U\rightarrow \mathbb{C}</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> stetige Funktion (<math>Spur(\gamma):=\{\gamma(t) \, : \, t \in [a,b]\}\subset U</math>). Dann gilt: :<math>\left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | \cdot \mathcal{L} (\gamma) </math> Dabei ist <math>\mathcal{L}(\gamma)= \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| \, dt</math> die Länge des Integrals. === Beweis === Durch Verwendung der obigen Abschätzung nach oben durch <math>\left| f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | </math> und der Verwendung des Ungleichung (UG-BI) erhält man. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| & \stackrel{UG-BI}{\leq} & \displaystyle \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \right|\, dt = \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \right| \cdot \left| \gamma{\,}'(t) \right|\, dt \\ & \leq & \displaystyle \int_{a}^{b} \underbrace{\max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) |}_{M :=} \cdot |\gamma{\,}'(t)| \, dt = M \cdot \int_{\gamma} |\gamma{\,}'(t)| \, dt \\ & = & \displaystyle M \cdot \mathcal{L}(\gamma) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare_Kurve|rektifizierbare Kurve]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]] == Literatur == <references/> == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen] * Die Seite wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator]. [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Inequalities]]</noinclude> 6os13wkg8t0309q9hftjttmetouncsn 1106025 1106024 2026-07-06T10:16:48Z Bert Niehaus 20843 /* Ungleichung für Betrag im Integrand - UG-BI */ 1106025 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da <math>\mathbb{C}</math> keine [[w:de:Ordnungsrelation#Totalordnung|vollständige/totale Ordnung]] besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen. <span id="UG-RI"></span> == Ungleichung für Summe von Realteil- und Imaginärteil - UG-RI== Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>f_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>f_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann gilt: :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f_1(t) | \, dt +\int_{a}^{b} | f_2(t) | \, dt </math> === Aufgabe - UG-RI=== Führen Sie den Beweis für UG.RI aus. Der Beweis erfolgt durch Zerlegung in Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion, Linearität des Integrals und der Anwendung der Dreiecksungleichung. <span id="UG-BI"></span> == Ungleichung für Betrag im Integrand - UG-BI == Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig, dann gilt:<ref>Funktionentheorie, Fischer, W., Lieb, W. (1988) Vieweg, S. 37</ref> :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> == Beweis - UG-BI== Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt mit: * '''(BI-1)''' <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> * '''(BI-2)'''<math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt \not= 0</math> === Fall - (BI-1) === Mit <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> folgt <math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0</math>. Da <math>| f(t) | \geq 0 </math> folgt <math> \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt \geq 0 </math> und man erhält: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0 \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> === Fall - (BI-2) === Das Integral <math> \beta = \int_{a}^{b} f(t)\, dt \in \mathbb{C} </math> ist eine komplexe Zahl mit <math> \beta \not= 0 </math>, für die gilt mit <math>| \beta | = \sqrt{\beta\cdot \overline{\beta} }</math>: :<math> | \beta | = \frac{| \beta |^2}{|\beta|} = \frac{ \beta \cdot \overline{\beta} }{|\beta|} = \underbrace{ \frac{ \overline{\beta} }{|\beta|} }_{\alpha := } \cdot \beta = \alpha \cdot \beta </math> <math>\alpha</math> dreht die komplexe Zahl über die Multiplikation so, dass <math>\beta</math> auf der positiven reellen Achse liegt. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 1 ==== Mit <math>\beta\not= 0</math> erhält durch die Anwendung der Linearität des Integrals: :<math> | \beta | = \alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \int_{a}^{b} f(t)\, dt = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 3 ==== Sei <math>g := \alpha \cdot f</math> und <math> g:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>g_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>g_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>g=g_1+i\cdot g_2</math>, dann gilt mit der Linearität des Integrals: :<math> \begin{array}{rcl} \mathfrak{Re}\bigg( \int_{a}^{b} g(t)\, dt \bigg) & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} + i \cdot \underbrace{\int_{a}^{b} g_2(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) \\ & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} g_1(t)\, dt \\ &=& \int_{a}^{b} \mathfrak{Re}(g_1(t))\, dt \\ \end{array} </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 4 ==== Weil <math> | \beta | = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt \in \mathbb{R} </math> gilt, erhält man mit der obigen Rechenregel aus Schritt 3 für den Realteil: :<math> | \beta | = \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 5 ==== Die folgende Realteilabschätzung gegen den Betrag einer komplexen Zahl <math>z</math> :<math> \mathfrak{Re}(z) = z_1 \leq |z_1| = \sqrt{z_1^2} \leq \sqrt{z_1^2+z_2^2} = |z| </math> für <math> z=z_1+i\cdot z_2 </math> wird nun auf den Integranden des obigen Integrals <math> \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} </math> angewendet. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 6 ==== Die folgende Abschätzung ergibt analog zu Schritt 5 über die Linearität des Integrals :<math> | \beta | = \int_{a}^{b} \mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) \, dt \leq \int_{a}^{b} \left| \alpha \cdot f(t) \right| \, dt = | \alpha| \cdot\int_{a}^{b} \left| f(t) \right| \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 7 ==== Da <math> | \alpha| = \left| \frac{ \overline{\beta} }{ | \beta | } \right| = \frac{ |\overline{\beta} | }{ | \beta | } = 1 </math> gilt, erhält man insgesamt die gesuchte Abschätzung mit Schritt 6: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq |\alpha| \cdot \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt = \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> q.e.d. == Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswegen == Sei <math>\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]] und <math>f:U\rightarrow \mathbb{C}</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> stetige Funktion (<math>Spur(\gamma):=\{\gamma(t) \, : \, t \in [a,b]\}\subset U</math>). Dann gilt: :<math>\left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | \cdot \mathcal{L} (\gamma) </math> Dabei ist <math>\mathcal{L}(\gamma)= \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| \, dt</math> die Länge des Integrals. === Beweis === Durch Verwendung der obigen Abschätzung nach oben durch <math>\left| f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | </math> und der Verwendung des Ungleichung (UG-BI) erhält man. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| & \stackrel{UG-BI}{\leq} & \displaystyle \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \right|\, dt = \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \right| \cdot \left| \gamma{\,}'(t) \right|\, dt \\ & \leq & \displaystyle \int_{a}^{b} \underbrace{\max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) |}_{M :=} \cdot |\gamma{\,}'(t)| \, dt = M \cdot \int_{\gamma} |\gamma{\,}'(t)| \, dt \\ & = & \displaystyle M \cdot \mathcal{L}(\gamma) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare_Kurve|rektifizierbare Kurve]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]] == Literatur == <references/> == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen] * Die Seite wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator]. [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Inequalities]]</noinclude> qb1b01hohhtf1rh6e6phlinacif5qcj 1106026 1106025 2026-07-06T10:18:01Z Bert Niehaus 20843 /* Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswegen */ 1106026 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da <math>\mathbb{C}</math> keine [[w:de:Ordnungsrelation#Totalordnung|vollständige/totale Ordnung]] besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen. <span id="UG-RI"></span> == Ungleichung für Summe von Realteil- und Imaginärteil - UG-RI== Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>f_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>f_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann gilt: :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f_1(t) | \, dt +\int_{a}^{b} | f_2(t) | \, dt </math> === Aufgabe - UG-RI=== Führen Sie den Beweis für UG.RI aus. Der Beweis erfolgt durch Zerlegung in Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion, Linearität des Integrals und der Anwendung der Dreiecksungleichung. <span id="UG-BI"></span> == Ungleichung für Betrag im Integrand - UG-BI == Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig, dann gilt:<ref>Funktionentheorie, Fischer, W., Lieb, W. (1988) Vieweg, S. 37</ref> :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> == Beweis - UG-BI== Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt mit: * '''(BI-1)''' <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> * '''(BI-2)'''<math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt \not= 0</math> === Fall - (BI-1) === Mit <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> folgt <math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0</math>. Da <math>| f(t) | \geq 0 </math> folgt <math> \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt \geq 0 </math> und man erhält: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0 \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> === Fall - (BI-2) === Das Integral <math> \beta = \int_{a}^{b} f(t)\, dt \in \mathbb{C} </math> ist eine komplexe Zahl mit <math> \beta \not= 0 </math>, für die gilt mit <math>| \beta | = \sqrt{\beta\cdot \overline{\beta} }</math>: :<math> | \beta | = \frac{| \beta |^2}{|\beta|} = \frac{ \beta \cdot \overline{\beta} }{|\beta|} = \underbrace{ \frac{ \overline{\beta} }{|\beta|} }_{\alpha := } \cdot \beta = \alpha \cdot \beta </math> <math>\alpha</math> dreht die komplexe Zahl über die Multiplikation so, dass <math>\beta</math> auf der positiven reellen Achse liegt. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 1 ==== Mit <math>\beta\not= 0</math> erhält durch die Anwendung der Linearität des Integrals: :<math> | \beta | = \alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \int_{a}^{b} f(t)\, dt = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 3 ==== Sei <math>g := \alpha \cdot f</math> und <math> g:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>g_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>g_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>g=g_1+i\cdot g_2</math>, dann gilt mit der Linearität des Integrals: :<math> \begin{array}{rcl} \mathfrak{Re}\bigg( \int_{a}^{b} g(t)\, dt \bigg) & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} + i \cdot \underbrace{\int_{a}^{b} g_2(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) \\ & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} g_1(t)\, dt \\ &=& \int_{a}^{b} \mathfrak{Re}(g_1(t))\, dt \\ \end{array} </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 4 ==== Weil <math> | \beta | = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt \in \mathbb{R} </math> gilt, erhält man mit der obigen Rechenregel aus Schritt 3 für den Realteil: :<math> | \beta | = \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 5 ==== Die folgende Realteilabschätzung gegen den Betrag einer komplexen Zahl <math>z</math> :<math> \mathfrak{Re}(z) = z_1 \leq |z_1| = \sqrt{z_1^2} \leq \sqrt{z_1^2+z_2^2} = |z| </math> für <math> z=z_1+i\cdot z_2 </math> wird nun auf den Integranden des obigen Integrals <math> \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} </math> angewendet. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 6 ==== Die folgende Abschätzung ergibt analog zu Schritt 5 über die Linearität des Integrals :<math> | \beta | = \int_{a}^{b} \mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) \, dt \leq \int_{a}^{b} \left| \alpha \cdot f(t) \right| \, dt = | \alpha| \cdot\int_{a}^{b} \left| f(t) \right| \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 7 ==== Da <math> | \alpha| = \left| \frac{ \overline{\beta} }{ | \beta | } \right| = \frac{ |\overline{\beta} | }{ | \beta | } = 1 </math> gilt, erhält man insgesamt die gesuchte Abschätzung mit Schritt 6: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq |\alpha| \cdot \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt = \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> q.e.d. <span id="UG-AI"></span> == Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswege UG-AI== Sei <math>\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]] und <math>f:U\rightarrow \mathbb{C}</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> stetige Funktion (<math>Spur(\gamma):=\{\gamma(t) \, : \, t \in [a,b]\}\subset U</math>). Dann gilt: :<math>\left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | \cdot \mathcal{L} (\gamma) </math> Dabei ist <math>\mathcal{L}(\gamma)= \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| \, dt</math> die Länge des Integrals. === Beweis === Durch Verwendung der obigen Abschätzung nach oben durch <math>\left| f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | </math> und der Verwendung des Ungleichung (UG-BI) erhält man. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| & \stackrel{UG-BI}{\leq} & \displaystyle \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \right|\, dt = \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \right| \cdot \left| \gamma{\,}'(t) \right|\, dt \\ & \leq & \displaystyle \int_{a}^{b} \underbrace{\max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) |}_{M :=} \cdot |\gamma{\,}'(t)| \, dt = M \cdot \int_{\gamma} |\gamma{\,}'(t)| \, dt \\ & = & \displaystyle M \cdot \mathcal{L}(\gamma) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare_Kurve|rektifizierbare Kurve]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]] == Literatur == <references/> == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen] * Die Seite wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator]. [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Inequalities]]</noinclude> o3ea5fyzecjk8u9k4sc90gzko9hezy7 1106027 1106026 2026-07-06T10:18:36Z Bert Niehaus 20843 /* Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswege UG-AI */ 1106027 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da <math>\mathbb{C}</math> keine [[w:de:Ordnungsrelation#Totalordnung|vollständige/totale Ordnung]] besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen. <span id="UG-RI"></span> == Ungleichung für Summe von Realteil- und Imaginärteil - UG-RI== Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>f_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>f_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann gilt: :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f_1(t) | \, dt +\int_{a}^{b} | f_2(t) | \, dt </math> === Aufgabe - UG-RI=== Führen Sie den Beweis für UG.RI aus. Der Beweis erfolgt durch Zerlegung in Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion, Linearität des Integrals und der Anwendung der Dreiecksungleichung. <span id="UG-BI"></span> == Ungleichung für Betrag im Integrand - UG-BI == Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig, dann gilt:<ref>Funktionentheorie, Fischer, W., Lieb, W. (1988) Vieweg, S. 37</ref> :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> == Beweis - UG-BI== Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt mit: * '''(BI-1)''' <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> * '''(BI-2)'''<math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt \not= 0</math> === Fall - (BI-1) === Mit <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> folgt <math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0</math>. Da <math>| f(t) | \geq 0 </math> folgt <math> \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt \geq 0 </math> und man erhält: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0 \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> === Fall - (BI-2) === Das Integral <math> \beta = \int_{a}^{b} f(t)\, dt \in \mathbb{C} </math> ist eine komplexe Zahl mit <math> \beta \not= 0 </math>, für die gilt mit <math>| \beta | = \sqrt{\beta\cdot \overline{\beta} }</math>: :<math> | \beta | = \frac{| \beta |^2}{|\beta|} = \frac{ \beta \cdot \overline{\beta} }{|\beta|} = \underbrace{ \frac{ \overline{\beta} }{|\beta|} }_{\alpha := } \cdot \beta = \alpha \cdot \beta </math> <math>\alpha</math> dreht die komplexe Zahl über die Multiplikation so, dass <math>\beta</math> auf der positiven reellen Achse liegt. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 1 ==== Mit <math>\beta\not= 0</math> erhält durch die Anwendung der Linearität des Integrals: :<math> | \beta | = \alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \int_{a}^{b} f(t)\, dt = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 3 ==== Sei <math>g := \alpha \cdot f</math> und <math> g:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>g_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>g_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>g=g_1+i\cdot g_2</math>, dann gilt mit der Linearität des Integrals: :<math> \begin{array}{rcl} \mathfrak{Re}\bigg( \int_{a}^{b} g(t)\, dt \bigg) & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} + i \cdot \underbrace{\int_{a}^{b} g_2(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) \\ & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} g_1(t)\, dt \\ &=& \int_{a}^{b} \mathfrak{Re}(g_1(t))\, dt \\ \end{array} </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 4 ==== Weil <math> | \beta | = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt \in \mathbb{R} </math> gilt, erhält man mit der obigen Rechenregel aus Schritt 3 für den Realteil: :<math> | \beta | = \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 5 ==== Die folgende Realteilabschätzung gegen den Betrag einer komplexen Zahl <math>z</math> :<math> \mathfrak{Re}(z) = z_1 \leq |z_1| = \sqrt{z_1^2} \leq \sqrt{z_1^2+z_2^2} = |z| </math> für <math> z=z_1+i\cdot z_2 </math> wird nun auf den Integranden des obigen Integrals <math> \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} </math> angewendet. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 6 ==== Die folgende Abschätzung ergibt analog zu Schritt 5 über die Linearität des Integrals :<math> | \beta | = \int_{a}^{b} \mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) \, dt \leq \int_{a}^{b} \left| \alpha \cdot f(t) \right| \, dt = | \alpha| \cdot\int_{a}^{b} \left| f(t) \right| \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 7 ==== Da <math> | \alpha| = \left| \frac{ \overline{\beta} }{ | \beta | } \right| = \frac{ |\overline{\beta} | }{ | \beta | } = 1 </math> gilt, erhält man insgesamt die gesuchte Abschätzung mit Schritt 6: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq |\alpha| \cdot \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt = \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> q.e.d. <span id="UG-AI"></span> == Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswege - UG-AI== Sei <math>\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]] und <math>f:U\rightarrow \mathbb{C}</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> stetige Funktion (<math>Spur(\gamma):=\{\gamma(t) \, : \, t \in [a,b]\}\subset U</math>). Dann gilt: :<math>\left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | \cdot \mathcal{L} (\gamma) </math> Dabei ist <math>\mathcal{L}(\gamma)= \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| \, dt</math> die Länge des Integrals. === Beweis === Durch Verwendung der obigen Abschätzung nach oben durch <math>\left| f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | </math> und der Verwendung des Ungleichung (UG-BI) erhält man. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| & \stackrel{UG-BI}{\leq} & \displaystyle \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \right|\, dt = \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \right| \cdot \left| \gamma{\,}'(t) \right|\, dt \\ & \leq & \displaystyle \int_{a}^{b} \underbrace{\max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) |}_{M :=} \cdot |\gamma{\,}'(t)| \, dt = M \cdot \int_{\gamma} |\gamma{\,}'(t)| \, dt \\ & = & \displaystyle M \cdot \mathcal{L}(\gamma) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare_Kurve|rektifizierbare Kurve]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]] == Literatur == <references/> == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen] * Die Seite wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator]. [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Inequalities]]</noinclude> d7xw9ssnr91toi956gqqmn4vi2elim5 1106028 1106027 2026-07-06T10:19:24Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1106028 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da <math>\mathbb{C}</math> keine [[w:de:Ordnungsrelation#Totalordnung|vollständige/totale Ordnung]] besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen. <span id="UG-RI"></span> == Ungleichung für Summe von Realteil- und Imaginärteil - UG-RI== Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>f_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>f_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann gilt: :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f_1(t) | \, dt +\int_{a}^{b} | f_2(t) | \, dt </math> === Aufgabe - UG-RI=== Führen Sie den Beweis für UG.RI aus. Der Beweis erfolgt durch Zerlegung in Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion, Linearität des Integrals und der Anwendung der Dreiecksungleichung. <span id="UG-BI"></span> == Ungleichung für Betrag im Integrand - UG-BI == Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig, dann gilt:<ref>Funktionentheorie, Fischer, W., Lieb, W. (1988) Vieweg, S. 37</ref> :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> == Beweis - UG-BI== Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt mit: * '''(BI-1)''' <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> * '''(BI-2)'''<math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt \not= 0</math> === Fall - (BI-1) === Mit <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> folgt <math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0</math>. Da <math>| f(t) | \geq 0 </math> folgt <math> \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt \geq 0 </math> und man erhält: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0 \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> === Fall - (BI-2) === Das Integral <math> \beta = \int_{a}^{b} f(t)\, dt \in \mathbb{C} </math> ist eine komplexe Zahl mit <math> \beta \not= 0 </math>, für die gilt mit <math>| \beta | = \sqrt{\beta\cdot \overline{\beta} }</math>: :<math> | \beta | = \frac{| \beta |^2}{|\beta|} = \frac{ \beta \cdot \overline{\beta} }{|\beta|} = \underbrace{ \frac{ \overline{\beta} }{|\beta|} }_{\alpha := } \cdot \beta = \alpha \cdot \beta </math> <math>\alpha</math> dreht die komplexe Zahl über die Multiplikation so, dass <math>\beta</math> auf der positiven reellen Achse liegt. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 1 ==== Mit <math>\beta\not= 0</math> erhält durch die Anwendung der Linearität des Integrals: :<math> | \beta | = \alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \int_{a}^{b} f(t)\, dt = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 3 ==== Sei <math>g := \alpha \cdot f</math> und <math> g:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>g_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>g_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>g=g_1+i\cdot g_2</math>, dann gilt mit der Linearität des Integrals: :<math> \begin{array}{rcl} \mathfrak{Re}\bigg( \int_{a}^{b} g(t)\, dt \bigg) & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} + i \cdot \underbrace{\int_{a}^{b} g_2(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) \\ & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} g_1(t)\, dt \\ &=& \int_{a}^{b} \mathfrak{Re}(g_1(t))\, dt \\ \end{array} </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 4 ==== Weil <math> | \beta | = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt \in \mathbb{R} </math> gilt, erhält man mit der obigen Rechenregel aus Schritt 3 für den Realteil: :<math> | \beta | = \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 5 ==== Die folgende Realteilabschätzung gegen den Betrag einer komplexen Zahl <math>z</math> :<math> \mathfrak{Re}(z) = z_1 \leq |z_1| = \sqrt{z_1^2} \leq \sqrt{z_1^2+z_2^2} = |z| </math> für <math> z=z_1+i\cdot z_2 </math> wird nun auf den Integranden des obigen Integrals <math> \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} </math> angewendet. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 6 ==== Die folgende Abschätzung ergibt analog zu Schritt 5 über die Linearität des Integrals :<math> | \beta | = \int_{a}^{b} \mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) \, dt \leq \int_{a}^{b} \left| \alpha \cdot f(t) \right| \, dt = | \alpha| \cdot\int_{a}^{b} \left| f(t) \right| \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 7 ==== Da <math> | \alpha| = \left| \frac{ \overline{\beta} }{ | \beta | } \right| = \frac{ |\overline{\beta} | }{ | \beta | } = 1 </math> gilt, erhält man insgesamt die gesuchte Abschätzung mit Schritt 6: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq |\alpha| \cdot \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt = \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> q.e.d. <span id="UG-AI"></span> == Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswege - UG-AI== Sei <math>\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]] und <math>f:U\rightarrow \mathbb{C}</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> stetige Funktion (<math>Spur(\gamma):=\{\gamma(t) \, : \, t \in [a,b]\}\subset U</math>). Dann gilt: :<math>\left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | \cdot \mathcal{L} (\gamma) </math> Dabei ist <math>\mathcal{L}(\gamma)= \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| \, dt</math> die Länge des Integrals. === Beweis === Durch Verwendung der obigen Abschätzung nach oben durch <math>\left| f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | </math> und der Verwendung des Ungleichung (UG-BI) erhält man. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| & \stackrel{UG-BI}{\leq} & \displaystyle \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \right|\, dt = \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \right| \cdot \left| \gamma{\,}'(t) \right|\, dt \\ & \leq & \displaystyle \int_{a}^{b} \underbrace{\max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) |}_{M :=} \cdot |\gamma{\,}'(t)| \, dt = M \cdot \underbrace{\int_{\gamma} |\gamma{\,}'(t)| \, dt}_{=\mathcal{L}(\gamma)} \\ & = & \displaystyle M \cdot \mathcal{L}(\gamma) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare_Kurve|rektifizierbare Kurve]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]] == Literatur == <references/> == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen] * Die Seite wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator]. [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Inequalities]]</noinclude> j9efp64dozededi3iaq5nucwn8e77mq 1106029 1106028 2026-07-06T10:20:20Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1106029 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da <math>\mathbb{C}</math> keine [[w:de:Ordnungsrelation#Totalordnung|vollständige/totale Ordnung]] besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen. <span id="UG-RI"></span> == Ungleichung für Summe von Realteil- und Imaginärteil - UG-RI== Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>f_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>f_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann gilt: :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f_1(t) | \, dt +\int_{a}^{b} | f_2(t) | \, dt </math> === Aufgabe - UG-RI=== Führen Sie den Beweis für UG.RI aus. Der Beweis erfolgt durch Zerlegung in Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion, Linearität des Integrals und der Anwendung der Dreiecksungleichung. <span id="UG-BI"></span> == Ungleichung für Betrag im Integrand - UG-BI == Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig, dann gilt:<ref>Funktionentheorie, Fischer, W., Lieb, W. (1988) Vieweg, S. 37</ref> :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> == Beweis - UG-BI== Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt mit: * '''(BI-1)''' <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> * '''(BI-2)'''<math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt \not= 0</math> === Fall - (BI-1) === Mit <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> folgt <math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0</math>. Da <math>| f(t) | \geq 0 </math> folgt <math> \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt \geq 0 </math> und man erhält: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0 \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> === Fall - (BI-2) === Das Integral <math> \beta = \int_{a}^{b} f(t)\, dt \in \mathbb{C} </math> ist eine komplexe Zahl mit <math> \beta \not= 0 </math>, für die gilt mit <math>| \beta | = \sqrt{\beta\cdot \overline{\beta} }</math>: :<math> | \beta | = \frac{| \beta |^2}{|\beta|} = \frac{ \beta \cdot \overline{\beta} }{|\beta|} = \underbrace{ \frac{ \overline{\beta} }{|\beta|} }_{\alpha := } \cdot \beta = \alpha \cdot \beta </math> <math>\alpha</math> dreht die komplexe Zahl über die Multiplikation so, dass <math>\beta</math> auf der positiven reellen Achse liegt. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 1 ==== Mit <math>\beta\not= 0</math> erhält durch die Anwendung der Linearität des Integrals: :<math> | \beta | = \alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \int_{a}^{b} f(t)\, dt = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 3 ==== Sei <math>g := \alpha \cdot f</math> und <math> g:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>g_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>g_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>g=g_1+i\cdot g_2</math>, dann gilt mit der Linearität des Integrals: :<math> \begin{array}{rcl} \mathfrak{Re}\bigg( \int_{a}^{b} g(t)\, dt \bigg) & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} + i \cdot \underbrace{\int_{a}^{b} g_2(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) \\ & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} g_1(t)\, dt \\ &=& \int_{a}^{b} \mathfrak{Re}(g_1(t))\, dt \\ \end{array} </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 4 ==== Weil <math> | \beta | = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt \in \mathbb{R} </math> gilt, erhält man mit der obigen Rechenregel aus Schritt 3 für den Realteil: :<math> | \beta | = \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 5 ==== Die folgende Realteilabschätzung gegen den Betrag einer komplexen Zahl <math>z</math> :<math> \mathfrak{Re}(z) = z_1 \leq |z_1| = \sqrt{z_1^2} \leq \sqrt{z_1^2+z_2^2} = |z| </math> für <math> z=z_1+i\cdot z_2 </math> wird nun auf den Integranden des obigen Integrals <math> \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} </math> angewendet. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 6 ==== Die folgende Abschätzung ergibt analog zu Schritt 5 über die Linearität des Integrals :<math> | \beta | = \int_{a}^{b} \mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) \, dt \leq \int_{a}^{b} \left| \alpha \cdot f(t) \right| \, dt = | \alpha| \cdot\int_{a}^{b} \left| f(t) \right| \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 7 ==== Da <math> | \alpha| = \left| \frac{ \overline{\beta} }{ | \beta | } \right| = \frac{ |\overline{\beta} | }{ | \beta | } = 1 </math> gilt, erhält man insgesamt die gesuchte Abschätzung mit Schritt 6: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq |\alpha| \cdot \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt = \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> q.e.d. <span id="UG-AI"></span> == Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswege - UG-AI== Sei <math>\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]] und <math>f:U\rightarrow \mathbb{C}</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> stetige Funktion (<math>Spur(\gamma):=\{\gamma(t) \, : \, t \in [a,b]\}\subset U</math>). Dann gilt: :<math>\left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | \cdot \mathcal{L} (\gamma) </math> Dabei ist <math>\mathcal{L}(\gamma)= \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| \, dt</math> die Länge des Integrals. === Beweis === Durch Verwendung der obigen Abschätzung nach oben durch <math>\left| f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | </math> und der Verwendung des Ungleichung (UG-BI) erhält man. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| & \stackrel{UG-BI}{\leq} & \displaystyle \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \right|\, dt = \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \right| \cdot \left| \gamma{\,}'(t) \right|\, dt \\ & \leq & \displaystyle \int_{a}^{b} \underbrace{\max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) |}_{M :=} \cdot |\gamma{\,}'(t)| \, dt \stackrel{Lin}{=} M \cdot \underbrace{\int_{\gamma} |\gamma{\,}'(t)| \, dt}_{=\mathcal{L}(\gamma)} \\ & = & \displaystyle M \cdot \mathcal{L}(\gamma) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare_Kurve|rektifizierbare Kurve]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]] == Literatur == <references/> == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen] * Die Seite wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator]. [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Inequalities]]</noinclude> jrszlfva4t3x90wnu2bsswybyhsprql 1106030 1106029 2026-07-06T10:20:52Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis */ 1106030 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da <math>\mathbb{C}</math> keine [[w:de:Ordnungsrelation#Totalordnung|vollständige/totale Ordnung]] besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen. <span id="UG-RI"></span> == Ungleichung für Summe von Realteil- und Imaginärteil - UG-RI== Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>f_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>f_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann gilt: :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f_1(t) | \, dt +\int_{a}^{b} | f_2(t) | \, dt </math> === Aufgabe - UG-RI=== Führen Sie den Beweis für UG.RI aus. Der Beweis erfolgt durch Zerlegung in Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion, Linearität des Integrals und der Anwendung der Dreiecksungleichung. <span id="UG-BI"></span> == Ungleichung für Betrag im Integrand - UG-BI == Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig, dann gilt:<ref>Funktionentheorie, Fischer, W., Lieb, W. (1988) Vieweg, S. 37</ref> :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> == Beweis - UG-BI== Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt mit: * '''(BI-1)''' <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> * '''(BI-2)'''<math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt \not= 0</math> === Fall - (BI-1) === Mit <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> folgt <math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0</math>. Da <math>| f(t) | \geq 0 </math> folgt <math> \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt \geq 0 </math> und man erhält: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0 \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> === Fall - (BI-2) === Das Integral <math> \beta = \int_{a}^{b} f(t)\, dt \in \mathbb{C} </math> ist eine komplexe Zahl mit <math> \beta \not= 0 </math>, für die gilt mit <math>| \beta | = \sqrt{\beta\cdot \overline{\beta} }</math>: :<math> | \beta | = \frac{| \beta |^2}{|\beta|} = \frac{ \beta \cdot \overline{\beta} }{|\beta|} = \underbrace{ \frac{ \overline{\beta} }{|\beta|} }_{\alpha := } \cdot \beta = \alpha \cdot \beta </math> <math>\alpha</math> dreht die komplexe Zahl über die Multiplikation so, dass <math>\beta</math> auf der positiven reellen Achse liegt. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 1 ==== Mit <math>\beta\not= 0</math> erhält durch die Anwendung der Linearität des Integrals: :<math> | \beta | = \alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \int_{a}^{b} f(t)\, dt = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 3 ==== Sei <math>g := \alpha \cdot f</math> und <math> g:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>g_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>g_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>g=g_1+i\cdot g_2</math>, dann gilt mit der Linearität des Integrals: :<math> \begin{array}{rcl} \mathfrak{Re}\bigg( \int_{a}^{b} g(t)\, dt \bigg) & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} + i \cdot \underbrace{\int_{a}^{b} g_2(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) \\ & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} g_1(t)\, dt \\ &=& \int_{a}^{b} \mathfrak{Re}(g_1(t))\, dt \\ \end{array} </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 4 ==== Weil <math> | \beta | = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt \in \mathbb{R} </math> gilt, erhält man mit der obigen Rechenregel aus Schritt 3 für den Realteil: :<math> | \beta | = \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 5 ==== Die folgende Realteilabschätzung gegen den Betrag einer komplexen Zahl <math>z</math> :<math> \mathfrak{Re}(z) = z_1 \leq |z_1| = \sqrt{z_1^2} \leq \sqrt{z_1^2+z_2^2} = |z| </math> für <math> z=z_1+i\cdot z_2 </math> wird nun auf den Integranden des obigen Integrals <math> \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} </math> angewendet. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 6 ==== Die folgende Abschätzung ergibt analog zu Schritt 5 über die Linearität des Integrals :<math> | \beta | = \int_{a}^{b} \mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) \, dt \leq \int_{a}^{b} \left| \alpha \cdot f(t) \right| \, dt = | \alpha| \cdot\int_{a}^{b} \left| f(t) \right| \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 7 ==== Da <math> | \alpha| = \left| \frac{ \overline{\beta} }{ | \beta | } \right| = \frac{ |\overline{\beta} | }{ | \beta | } = 1 </math> gilt, erhält man insgesamt die gesuchte Abschätzung mit Schritt 6: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq |\alpha| \cdot \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt = \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> q.e.d. <span id="UG-AI"></span> == Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswege - UG-AI== Sei <math>\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]] und <math>f:U\rightarrow \mathbb{C}</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> stetige Funktion (<math>Spur(\gamma):=\{\gamma(t) \, : \, t \in [a,b]\}\subset U</math>). Dann gilt: :<math>\left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | \cdot \mathcal{L} (\gamma) </math> Dabei ist <math>\mathcal{L}(\gamma)= \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| \, dt</math> die Länge des Integrals. === Beweis === Durch Verwendung der obigen Abschätzung nach oben durch <math>\left| f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | </math> und der Verwendung des Ungleichung (UG-BI) erhält man. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| & \stackrel{UG-BI}{\leq} & \displaystyle \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \right|\, dt = \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \right| \cdot \left| \gamma{\,}'(t) \right|\, dt \\ & \leq & \displaystyle \int_{a}^{b} \underbrace{\max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) |}_{M :=} \cdot |\gamma{\,}'(t)| \, dt \, \stackrel{Lin}{=} \, M \cdot \underbrace{\int_{\gamma} |\gamma{\,}'(t)| \, dt}_{=\mathcal{L}(\gamma)} \\ & = & \displaystyle M \cdot \mathcal{L}(\gamma) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare_Kurve|rektifizierbare Kurve]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]] == Literatur == <references/> == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen] * Die Seite wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator]. [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Inequalities]]</noinclude> 5vmegiojsev3c771gt79gv44j9wsrf3 1106031 1106030 2026-07-06T10:27:29Z Bert Niehaus 20843 /* Einführung */ 1106031 wikitext text/x-wiki == Einführung == Ungleichungen sind ein wesentliches Hilfsmittel um zentrale Aussage in der Funktionentheorie zu zeigen. Da <math>\mathbb{C}</math> keine [[w:de:Ordnungsrelation#Totalordnung|vollständige/totale Ordnung]] besitzt, muss man für Abschätzungen auf den Betrag der Funktionen übergehen. === Ungleichungen === * '''([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-RI]])''' Ungleichung für '''Real- und Imaginärteil''' einer Funktion * '''([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]])''' Ungleichung für den '''Betrag im Integranden''' * '''([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-|UG-AI]])''' Ungleichung für '''Abschätzung''' über Supremum und Länge des '''Integrationweg''' * '''([[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|CUG]])''' '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' können erst späten nach dem Beweis der [[Cauchy-Integralformel]] behandelt werden. <span id="UG-RI"></span> == Ungleichung für Summe von Realteil- und Imaginärteil - UG-RI== Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>f_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>f_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>f=f_1+i\cdot f_2</math>, dann gilt: :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f_1(t) | \, dt +\int_{a}^{b} | f_2(t) | \, dt </math> === Aufgabe - UG-RI=== Führen Sie den Beweis für UG.RI aus. Der Beweis erfolgt durch Zerlegung in Realteilfunktion und Imaginärteilfunktion, Linearität des Integrals und der Anwendung der Dreiecksungleichung. <span id="UG-BI"></span> == Ungleichung für Betrag im Integrand - UG-BI == Sei <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig, dann gilt:<ref>Funktionentheorie, Fischer, W., Lieb, W. (1988) Vieweg, S. 37</ref> :<math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> == Beweis - UG-BI== Der Beweis wird über eine Fallunterscheidung geführt mit: * '''(BI-1)''' <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> * '''(BI-2)'''<math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt \not= 0</math> === Fall - (BI-1) === Mit <math> \int_{a}^{b} f(t)\, dt = 0</math> folgt <math>\left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0</math>. Da <math>| f(t) | \geq 0 </math> folgt <math> \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt \geq 0 </math> und man erhält: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| = 0 \leq \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> === Fall - (BI-2) === Das Integral <math> \beta = \int_{a}^{b} f(t)\, dt \in \mathbb{C} </math> ist eine komplexe Zahl mit <math> \beta \not= 0 </math>, für die gilt mit <math>| \beta | = \sqrt{\beta\cdot \overline{\beta} }</math>: :<math> | \beta | = \frac{| \beta |^2}{|\beta|} = \frac{ \beta \cdot \overline{\beta} }{|\beta|} = \underbrace{ \frac{ \overline{\beta} }{|\beta|} }_{\alpha := } \cdot \beta = \alpha \cdot \beta </math> <math>\alpha</math> dreht die komplexe Zahl über die Multiplikation so, dass <math>\beta</math> auf der positiven reellen Achse liegt. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 1 ==== Mit <math>\beta\not= 0</math> erhält durch die Anwendung der Linearität des Integrals: :<math> | \beta | = \alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \int_{a}^{b} f(t)\, dt = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 3 ==== Sei <math>g := \alpha \cdot f</math> und <math> g:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> stückweise stetig mit <math>g_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>g_2:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> und <math>g=g_1+i\cdot g_2</math>, dann gilt mit der Linearität des Integrals: :<math> \begin{array}{rcl} \mathfrak{Re}\bigg( \int_{a}^{b} g(t)\, dt \bigg) & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} + i \cdot \underbrace{\int_{a}^{b} g_2(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) \\ & = & \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} g_1(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} g_1(t)\, dt \\ &=& \int_{a}^{b} \mathfrak{Re}(g_1(t))\, dt \\ \end{array} </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 4 ==== Weil <math> | \beta | = \int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt \in \mathbb{R} </math> gilt, erhält man mit der obigen Rechenregel aus Schritt 3 für den Realteil: :<math> | \beta | = \mathfrak{Re}\bigg( \underbrace{\int_{a}^{b} \alpha \cdot f(t)\, dt}_{ \in \mathbb{R}} \bigg) = \int_{a}^{b} \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 5 ==== Die folgende Realteilabschätzung gegen den Betrag einer komplexen Zahl <math>z</math> :<math> \mathfrak{Re}(z) = z_1 \leq |z_1| = \sqrt{z_1^2} \leq \sqrt{z_1^2+z_2^2} = |z| </math> für <math> z=z_1+i\cdot z_2 </math> wird nun auf den Integranden des obigen Integrals <math> \underbrace{\mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) }_{ \in \mathbb{R}} </math> angewendet. ==== Fall - (BI-2) - Schritt 6 ==== Die folgende Abschätzung ergibt analog zu Schritt 5 über die Linearität des Integrals :<math> | \beta | = \int_{a}^{b} \mathfrak{Re} \left( \alpha \cdot f(t) \right) \, dt \leq \int_{a}^{b} \left| \alpha \cdot f(t) \right| \, dt = | \alpha| \cdot\int_{a}^{b} \left| f(t) \right| \, dt </math> ==== Fall - (BI-2) - Schritt 7 ==== Da <math> | \alpha| = \left| \frac{ \overline{\beta} }{ | \beta | } \right| = \frac{ |\overline{\beta} | }{ | \beta | } = 1 </math> gilt, erhält man insgesamt die gesuchte Abschätzung mit Schritt 6: :<math> \left| \int_{a}^{b} f(t)\, dt \right| \leq |\alpha| \cdot \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt = \int_{a}^{b} | f(t) | \, dt </math> q.e.d. <span id="UG-AI"></span> == Ungleichung für die Abschätzung über Integrationswege - UG-AI== Sei <math>\gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{C}</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]] und <math>f:U\rightarrow \mathbb{C}</math> auf der Spur von <math>\gamma</math> stetige Funktion (<math>Spur(\gamma):=\{\gamma(t) \, : \, t \in [a,b]\}\subset U</math>). Dann gilt: :<math>\left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | \cdot \mathcal{L} (\gamma) </math> Dabei ist <math>\mathcal{L}(\gamma)= \int_{a}^{b} |\gamma'(t)| \, dt</math> die Länge des Integrals. === Beweis === Durch Verwendung der obigen Abschätzung nach oben durch <math>\left| f(z)\, dz \right| \leq \max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) | </math> und der Verwendung des Ungleichung (UG-BI) erhält man. :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \left| \int_{\gamma} f(z)\, dz \right| & \stackrel{UG-BI}{\leq} & \displaystyle \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \right|\, dt = \int_{a}^{b} \left| f(\gamma(t)) \right| \cdot \left| \gamma{\,}'(t) \right|\, dt \\ & \leq & \displaystyle \int_{a}^{b} \underbrace{\max_{z \in Spur(\gamma)} | f(z) |}_{M :=} \cdot |\gamma{\,}'(t)| \, dt \, \stackrel{Lin}{=} \, M \cdot \underbrace{\int_{\gamma} |\gamma{\,}'(t)| \, dt}_{=\mathcal{L}(\gamma)} \\ & = & \displaystyle M \cdot \mathcal{L}(\gamma) \\ \end{array} </math> == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare_Kurve|rektifizierbare Kurve]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]] == Literatur == <references/> == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen] * Die Seite wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator]. [[Category:Wiki2Reveal]] [[Kategorie:Funktionentheorie]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Inequalities]]</noinclude> 16181nkagd4044g9xlkqinfzpbqjj0b 106 114996 1106032 1105036 2026-07-06T10:29:37Z Bocardodarapti 2041 1106032 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe|p||| |Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Z^2/5 Punkte/Zwischenpunkt geradzahlig/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Relation/Teilmengenbeziehung/2 Elemente/Aufgabe|p||| |Schnick Schnack Schnuck/Gerichteter Graph/Aufgabe|p||| |Funktionen/R nach R/Infimum und Supremum/Aufgabe|p||| |Relation/Reflexiv und transitiv/Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation auf Quotientenmenge/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Dritte Potenz/Wertetabelle/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/3/Aufgabe|p||| 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Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch innere Punkte der betrachteten Kreisschreibe gegen eine Term in Abhängigkeit Werte von <math>|f|</math> auf einem Kreisrand abschätzen. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>z \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Zusätzlich zur Bedingung wird verlangt,<math>z</matDas sagen h> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> vom Kreisrand besitzt, d.h. <math> |z-z_0| \leq r - \delta </math> für <math>|z-z_0|=r</math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(z)| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] duf1ehyxi1srjvyqoyup6yumi9au4wh 1106040 1106038 2026-07-06T11:10:11Z Bert Niehaus 20843 /* Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel: */ 1106040 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch innere Punkte der betrachteten Kreisschreibe gegen eine Term in Abhängigkeit Werte von <math>|f|</math> auf einem Kreisrand abschätzen. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. 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Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>z \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Zusätzlich zur Bedingung wird verlangt,<math>z</matDas sagen h> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> vom Kreisrand besitzt, d.h. <math> |z-z_0| \leq r - \delta </math> für <math>|z-z_0|=r</math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(z)| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ktu4m5lwq5643zg7l5f73datvxsve6x 1106053 1106040 2026-07-06T11:31:29Z Bert Niehaus 20843 /* Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel: */ 1106053 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch innere Punkte der betrachteten Kreisschreibe gegen eine Term in Abhängigkeit Werte von <math>|f|</math> auf einem Kreisrand abschätzen. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>z \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Zusätzlich zur Bedingung wird verlangt,<math>z</matDas sagen h> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> vom Kreisrand besitzt, d.h. <math> |z-z_0| \leq r - \delta </math> für <math>|z-z_0|=r</math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(z)| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 6eifwoiir81mv0d2gl2tobcbxegc08v 1106054 1106053 2026-07-06T11:37:01Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe - Erweiterung */ 1106054 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch innere Punkte der betrachteten Kreisschreibe gegen eine Term in Abhängigkeit Werte von <math>|f|</math> auf einem Kreisrand abschätzen. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>\widehat{z} \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Als zusätzlich zur Bedingung wird also verlangt, dass <math>z</math> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> von Punkten auf dem Kreisrand besitzt, d.h. <math> |\widehat{z}-z_0| \leq r - \delta </math> bzw. für <math>|w-z_0|=r</math> gilt dann <math> |w-\widehat{z}| \leq \delta </math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ee1zl4367v2cr1y2yituom31zlq3cpu 1106055 1106054 2026-07-06T11:38:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral */ 1106055 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch innere Punkte der betrachteten Kreisschreibe gegen eine Term in Abhängigkeit Werte von <math>|f|</math> auf einem Kreisrand abschätzen. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>\widehat{z} \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Als zusätzlich zur Bedingung wird also verlangt, dass <math>z</math> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> von Punkten auf dem Kreisrand besitzt, d.h. <math> |\widehat{z}-z_0| \leq r - \delta </math> bzw. für <math>|w-z_0|=r</math> gilt dann <math> |w-\widehat{z}| \leq \delta </math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{\delta^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tfsi8tfpgiih4s17zwf0nvwfb72fe2s 1106058 1106055 2026-07-06T11:41:56Z Bert Niehaus 20843 /* Beweischritt 4 - Schlussfolgerung */ 1106058 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch innere Punkte der betrachteten Kreisschreibe gegen eine Term in Abhängigkeit Werte von <math>|f|</math> auf einem Kreisrand abschätzen. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>\widehat{z} \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Als zusätzlich zur Bedingung wird also verlangt, dass <math>z</math> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> von Punkten auf dem Kreisrand besitzt, d.h. <math> |\widehat{z}-z_0| \leq r - \delta </math> bzw. für <math>|w-z_0|=r</math> gilt dann <math> |w-\widehat{z}| \leq \delta </math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{\delta^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir für <math>\widehat{z}\in D_{r-\delta}(z_o)</math> gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math>, dem minimalen Abstand <math>\delta</math> vom Kreisrand und dem Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z)| \leq \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] byssvk971ssuajpojrz5d6onypk7u0t 1106061 1106058 2026-07-06T11:44:29Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Erweiterung Cauchy-Ungleichung */ 1106061 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch innere Punkte der betrachteten Kreisschreibe gegen eine Term in Abhängigkeit Werte von <math>|f|</math> auf einem Kreisrand abschätzen. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>\widehat{z} \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Als zusätzlich zur Bedingung wird also verlangt, dass <math>z</math> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> von Punkten auf dem Kreisrand besitzt, d.h. <math> |\widehat{z}-z_0| \leq r - \delta </math> bzw. für <math>|w-z_0|=r</math> gilt dann <math> |w-\widehat{z}| \leq \delta </math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung Cauchy-Ungleichung == Stellen den Beweis in den Übungen vor und nennen Sie für den folgenden Beweis die Beweisidee gegliedert in die folgenden Teilschritte * (E1) Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * (E2) Abschätzung des Integrals * (E3) Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * (E4) Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{\delta^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir für <math>\widehat{z}\in D_{r-\delta}(z_o)</math> gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math>, dem minimalen Abstand <math>\delta</math> vom Kreisrand und dem Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z)| \leq \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 8cy3xxjzcvdhm15df0xcq9ok2w329cw 1106062 1106061 2026-07-06T11:44:48Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis - Erweiterung Cauchy-Ungleichung */ 1106062 wikitext text/x-wiki == Einführung == Die Cauchy-Ungleichungen sind wichtige Konsequenzen der Cauchy-Integralformel in der komplexen Analysis. Sie geben Abschätzungen für die Ableitungen einer holomorphen Funktion <math>f</math> in Abhängigkeit von den Werten der Funktion <math>|f|</math> auf einem Kreisrand. Mit der Erweiterung der Cauchy-Ungleichung (am Ende als Aufgabe formuliert) kann auch innere Punkte der betrachteten Kreisschreibe gegen eine Term in Abhängigkeit Werte von <math>|f|</math> auf einem Kreisrand abschätzen. == Cauchy-Ungleichung == Sei <math> f </math> eine holomorphe Funktion auf einem Gebiet <math> G \subseteq \mathbb{C} </math>, und sei <math> \overline{D_r(z_0)} \subseteq G </math> ein abgeschlossener Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math>. Dann gilt für alle <math> n \in \mathbb{N}_0 </math>: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> == Beweis der Cauchy-Ungleichung == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Beweischritte * Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * Abschätzung des Integrals * Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * Schlussfolgerung === Beweischritt 1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Die [[Cauchy-Integralformel]] besagt, dass es für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widetilde{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für Mittelpunkt <math>z_0</math> der Kreisscheibe <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt 2 - Abschätzung des Integrals=== Betrachte den Betrag der <math> n </math>-ten Ableitung: :<math> |f^{(n)}(z_0)| = \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz \right| </math> Durch Anwendung der [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_Betrag_im_Integrand_-_UG-BI|Standabschätzung des Integrals]] für den Betrag der <math> f </math> auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math> erhält man: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt 3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(z_0)| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{r^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{r^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{r^n} \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math> und Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!}{r^n} \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die oben genannte Cauchy-Ungleichung. == Aufgabe - Erweiterung == In der folgenden Aufgabe soll die Cauchy-Ungleichung für <math>\widehat{z} \in D_{r-\delta}(z_0)</math> erweitert werden. Als zusätzlich zur Bedingung wird also verlangt, dass <math>z</math> mindestens den Abstand <math>\delta > 0</math> von Punkten auf dem Kreisrand besitzt, d.h. <math> |\widehat{z}-z_0| \leq r - \delta </math> bzw. für <math>|w-z_0|=r</math> gilt dann <math> |w-\widehat{z}| \leq \delta </math>. Zeigen Sie folgende Erweiterung der obigen Aussage: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!\cdot r}{\delta^{n+1}} \cdot \max_{|\xi - z_0| = r} |f(\xi)| </math> Verwenden Sie ein analoges Vorgehen zum obigen Beweis der Cauchy-Ungleichung. == Beweis - Erweiterung -Cauchy-Ungleichung == Stellen den Beweis in den Übungen vor und nennen Sie für den folgenden Beweis die Beweisidee gegliedert in die folgenden Teilschritte * (E1) Anwendung der [[Cauchy-Integralformel]] * (E2) Abschätzung des Integrals * (E3) Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral * (E4) Schlussfolgerung === Beweischritt E1 - Anwendung der Cauchy-Integralformel:=== Auf für die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung verwendet man die [[Cauchy-Integralformel]], mit der für eine holomorphe Funktion <math> f </math> mit einen Punkt <math> z_0 \in G</math> auf einer offenen Kreischeibe <math>D_r(z_o)</math> innerhalb eines [[Kurs:Funktionentheorie/Gebiet|Gebiets]] <math> G </math> die <math>n</math>-te Ableitung für <math>\widehat{z}\in D_r(z_o)</math> die folgende Darstellung besitzt: :<math> f^{(n)}(\widehat{z}) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \, dz </math> wobei <math> \int_{|z - z_0| = r} </math> das Integral über den Kreis mit Radius <math> r </math> und Mittelpunkt <math> z_0 </math> bezeichnet. Diese Darstellung gilt dann insbesondere für <math>\widehat{z}:= z_0\in D_r(z_o)</math>. === Beweischritt E2 - Abschätzung des Integrals=== Mit der Standardabschätzung für den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|Betrag im Integranden]] ([[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#UG-BI|UG-BI]]) gilt für die <math> n </math>-te Ableitung auf dem Kreis <math> |z - z_0| = r </math>: :<math> |f^{(n)}(\widehat{z})| \leq \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \left| \frac{f(z)}{(z - \widehat{z})^{n+1}} \right| \, dz </math> === Beweischritt E3 - Maximum auf dem Kreisrand und Kreisintegral === Da <math>f</math> eine holomorphe Funktion ist, ist insbesondere <math>|f|</math> eine stetig Funktion, nimmt daher auf einer [[w:de:kompakte Menge|kompakten Menge]] (hier der Rand des Kreisrand) das Maximum an. Sei <math> M := \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math>. Dann gilt mit den [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen#Ungleichung_für_die_Abschätzung_über_Integrationswegen|Abschätzungen für Wegintegrale]] für <math> \gamma(t) := z_0 + r\cdot e^{it} </math>: :<math> \begin{array}{rcl} |f^{(n)}(\widehat{z})| & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{|f(z)|}{{\underbrace{|z - \widehat{z}|}_{\geq \delta}}^{n+1}} \, dz \\ & \leq & \displaystyle \frac{n!}{2\pi} \int_{|z - z_0| = r} \frac{M}{\delta^{n+1}} \, dz = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \int_{|z - z_0| = r} 1 \, dz \\ & \leq & \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot \mathcal{L}(\gamma) = \frac{n!}{2\pi} \cdot \frac{M}{\delta^{n+1}} \cdot 2\pi r = \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot M \end{array} </math> === Beweischritt 4 - Schlussfolgerung === Damit haben wir für <math>\widehat{z}\in D_{r-\delta}(z_o)</math> gezeigt, dass man jede beliebige Ableitung einer holomorphen Funktionen gegen einen Term abschätzen kann, der nur vom Kreisradius <math>r</math>, dem minimalen Abstand <math>\delta</math> vom Kreisrand und dem Maximum der Funktion <math>|f|</math> auf dem Kreisrand abhängt: :<math> |f^{(n)}(z)| \leq \frac{n!}{\delta^{n+1}}\cdot r \cdot \max_{|z - z_0| = r} |f(z)| </math> Dies liefert die Erweiterung der Cauchy-Ungleichung. == Bemerkung - Anwendung der Ungleichung == Die Cauchy-Ungleichungen sind nützlich, um die Wachstumsrate der Ableitungen einer holomorphen Funktion in Abhängigkeit von den Werten der Funktion auf einem Kreis abzuschätzen. Ferner ergeben sich darüber auch Schranken für [[w:de:Taylorreihe|Taylorreihen]] auf abgeschlossenen Kreisschreiben <math> D_r(z_0)</math> mit Entwicklungspunkt <math>z_o \in \mathbb{C}</math>. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen für Wegintegrale]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 149cvytmag516unsr5tre9ozmpehczs 106 170179 1105999 1105905 2026-07-05T17:36:07Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der orientierten Fläche - Schritt 1 */ 1105999 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0.5 \, , \, 0) = \widehat{w_{1}} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{2}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0.5) = \widehat{w_{2}}= z_o + r\cdot e^{i 0\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (0.5 \, , \, 1) = \widehat{w_{3}} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{2}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 0.5) = \widehat{w_{4}} = z_o + r\cdot e^{i \pi}</math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0b91z9ukni1g0iel2d0axud935xtu4p 1106000 1105999 2026-07-05T17:37:13Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 */ 1106000 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4gf081y2vgnj0k6hjeek3jvrs82ftax 1106001 1106000 2026-07-05T17:50:48Z Bert Niehaus 20843 /* Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 */ 1106001 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] qot34n88s7hzc5x88ljmki1cuo0f8aj 1106002 1106001 2026-07-05T18:03:40Z Bert Niehaus 20843 /* Abbildung der Ecken auf Kreisrand */ 1106002 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. In dem vereinfachten Parameterraum wird das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> verwendet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1eu8ejeq2irefa7hagwzgac6pqnbqqy 1106003 1106002 2026-07-05T18:04:56Z Bert Niehaus 20843 /* Abbildung der Ecken auf Kreisrand */ 1106003 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. Im weiteren Verlauf der Lerneinheit wird das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum verwendet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] cyx7agqzssmdin21zszbalwnodbt1ks 1106004 1106003 2026-07-05T18:05:45Z Bert Niehaus 20843 /* Abbildung der Ecken auf Kreisrand */ 1106004 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9e9trdw6cehl6aqahbz79zike6gkiiz 1106005 1106004 2026-07-05T18:07:16Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte */ 1106005 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit wird für die Kreisscheibe als [[orientierte Fläche]] das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum für <math>\gamma_\circ</math> verwendet. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] knqjzvl4ne30tmwu7nhr8pqiuz53cay 1106006 1106005 2026-07-05T18:30:56Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Winkel und Eckpunkte */ 1106006 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit wird für die Kreisscheibe als [[orientierte Fläche]] das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum für <math>\gamma_\circ</math> verwendet. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9vwv5zp8fogl7wuepm9xfff961m0b0m 1106007 1106006 2026-07-05T18:34:10Z Bert Niehaus 20843 /* Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche */ 1106007 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ab6b7qcizwuqx5wygyxr1733bobr2is 1106008 1106007 2026-07-05T18:46:17Z Bert Niehaus 20843 /* Randwege auf dem Kreisrand */ 1106008 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bsiotnntrfgm5krxlcb370wbumvbd3x 1106009 1106008 2026-07-05T18:52:58Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 */ 1106009 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jcxmnt4709363in1xyj70spdt0rkov4 1106010 1106009 2026-07-05T19:01:01Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche */ 1106010 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \big( z_0 + r\cdot e^{} \big) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \big( z_0 + r\cdot e^{} \big) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jywogguy1um0l4v26al5h9uo32rgdh2 1106011 1106010 2026-07-05T19:03:16Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der orientierten Kreisfläche */ 1106011 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2b79uymb304bn52xwsm7jv4pmhb13ju 1106017 1106011 2026-07-05T19:31:09Z Bert Niehaus 20843 /* Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 */ 1106017 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math>: :<math> \gamma_1(t_1) - z_0 = </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 750skco1zpuy438x98vfs17ctvvv1t5 1106018 1106017 2026-07-05T19:32:15Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 */ 1106018 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math>: :<math> \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} = </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 50uhq5ye4wk765nsxh52d691refujtb 1106019 1106018 2026-07-05T19:47:28Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der orientierten Kreisfläche */ 1106019 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} = \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hnjtaxm3gu6dnhhiykpzdl46g9a7hf6 1106020 1106019 2026-07-05T19:49:29Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 */ 1106020 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}\\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7wwspj7f653dhffczijw65neezznvbu 1106021 1106020 2026-07-05T19:51:18Z Bert Niehaus 20843 /* Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 */ 1106021 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}\\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] oy6ocz5okyjlvm2munfp4eu2fhkztlg 1106022 1106021 2026-07-06T07:01:30Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der orientierten Kreisfläche */ 1106022 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 3 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}\\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 3 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 5 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 6 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter 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|Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Baum/Durchmesser/Blatt/Aufgabe|p||| |Graph/Homomorphismen/Anzahl/1/Aufgabe|p||| |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Zusammenhängend/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|p||| |Graph/Tensorprodukt/Adjazenzmatrix/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} j3x7u0mup6q7gt68y906dqgw8nfq4uu 106 171807 1106033 1105285 2026-07-06T10:30:09Z Bocardodarapti 2041 1106033 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/31/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/31/Aufgabe|p||| |Finger und Zehen/Aufteilung/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe|p||| |Quadrat/Teilquadrate/Anzahl/Aufgabe|p||| |Zirkeltraining/Reihenfolgen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Z^3/Injektive Abbildung/Aufgabe|p||| |Untergruppenkriterium/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Starr/8/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 4cormtzsuq4wf5e8qmd1oxg8d206dgi 106 171905 1106065 1105689 2026-07-06T11:53:19Z Bocardodarapti 2041 1106065 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/35/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/35/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/831600/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Starr/6/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} pgkmhcyn9ebntrj2bvc9j14kelxyggo 0 171927 1105998 1105821 2026-07-05T17:15:51Z Alexander-Barth 41682 typo 1105998 wikitext text/x-wiki === Aufgabe 1 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - 5 x + 6 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> mit <math>a = 1</math>, <math>b = -5</math> und <math>c = 6</math>. <math>\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}</math> Die beiden Lösungen lauten <math>x_1=\frac{5 - 1}{2} = 2</math> und <math>x_2=\frac{5 + 1}{2} = 3</math> </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 2 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>2 x^2 - 2 x - 12 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 2</math>, <math>b = -2</math> und <math>c = -12</math>. <math>\Delta = (-2)^2 - 4 \times 2 \times (-12) = 4 + 96 = 100</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{100}}{2 \times 2} = \frac{2 \pm 10}{4}</math> Die beiden Lösungen lauten <math>x_1=\frac{2 - 10}{4} = -2</math> und <math>x_2=\frac{2 + 10}{4} = 3</math>. </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 3 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - 4 x + 4 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -4</math> und <math>c = 4</math>. <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = 0</math> Da <math>\Delta</math> null ist, gibt es nur eine Lösung: <math>x=\frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2</math> Das Problem kann auch mit der zweiten binomischen Formel gelöst werden: <math> \begin{align} x^2 - 4 x + 4 &= 0 \\ (x - 2)^2 &= 0 \\ x - 2 &= 0 \\ x &= 2 \\ \end{align} </math> </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 4 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - 4 x + 5 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -4</math> und <math>c = 5</math>. <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 16 - 20 = -4</math> Da <math>\Delta</math> negatif ist, gibt es keine reelle Lösung, <math>x \notin \R</math>. </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 5 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2} = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -\frac{3}{2}</math> und <math>c = \frac{1}{2}</math>. <math>\Delta = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 - 4 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-\left(-\frac{3}{2}\right) \pm \sqrt{\frac{1}{4}}}{2 \times 1} = \frac{\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}}{2} = \frac{3 \pm 1}{4}</math> Die beiden Lösungen lauten <math>x_1=\frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}</math> und <math>x_2=\frac{3 + 1}{4} = 1</math>. Die Brüche können vermieden werden wenn alle Termen mit 2 multipliziert werden. </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 6 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - 4 x + 3 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -4</math> und <math>c = 3</math>. <math>\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}</math> Die beiden Lösungen lauten <math>x_1=\frac{4 - 2}{2} = 1</math> und <math>x_2=\frac{4 + 2}{2} = 3</math> </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 7 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>100 x^2 - 700 x + 600 = 0</math> <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Ein naheliegender Ansatz besteht darin, zunächst alle Terme dieser Gleichung durch 100 zu teilen, um unnötig große Zahlen zu vermeiden. <math>x^2 - 7 x + 6 = 0</math> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -7</math> und <math>c = 6</math>. <math>\Delta = (-7)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 49 - 24 = 25</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2}</math> Die beiden Lösungen lauten <math>x_1=\frac{7 - 5}{2} = 1</math> und <math>x_2=\frac{7 + 5}{2} = 6</math> </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 8 === Löse für <math>x \in \R</math>: <math>x^2 - x - d x + d = 0</math> wobei <math>d \in \R</math>. <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Die Gleichung hat die Form <math> a x^2 + b x + c = 0 </math> wobei <math>a = 1</math>, <math>b = -(1+d)</math> und <math>c = d</math>. <math>\Delta = (1+d)^2 - 4 \times 1 \times d = 1 + 2 d + d^2 - 4 d = 1 - 2d + d^2 = (1-d)^2</math> Die Diskriminante <math>\Delta</math> ist positif (oder null wenn <math>d=1</math>). Daher gibt es zwei (oder eine) Lösung: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1+d \pm |1-d|}{2}</math> Es ist nicht erforderlich, das Vorzeichen von <math>1-d</math> zu diskutieren, da beide Fälle ohnehin durch das <math>\pm</math>-Zeichen abgedeckt werden. Die Lösungen sind <math>x_1=\frac{1+d - (1-d)}{2} = d</math> und <math>x_2=\frac{1+d + 1 - d}{2} = 1</math>. Fall <math>d=1</math>, sind beide Lösungen identisch. </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 9 === Bestimme die Schnittpunkte der Parabel <math>f(x) = x^2 - x - 2</math> und der Geraden <math>g(x) = x+1</math>. <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Am Schnittpunkt <math>f(x) = g(x)</math>: :<math>\begin{align} x^2 - x - 2 &= x+1 \\ x^2 - 2x - 3 &= 0 \end{align} </math> Die Diskriminante <math>\Delta</math>: <math>\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{2}</math> Die Lösungen sind <math>x_1=-1</math> und <math>x_2=3</math>. Die entsprechenden <math>y</math>-Werte sind <math>y_1=x_1+1 = 0</math> und <math>y_2=x_2 + 1 = 4</math>. <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> schneiden sich also in den Punkten (-1,0) und (3,4). Die Graphen der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> sind unten dargestellt. [[File:Quadratic equation exercise parabola intersecting line.png]] </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 10 === Bestimme den Schnittpunkt der Parabel <math>f(x) = 2 x^2 - 3</math> und der Geraden <math>g(x) = 2x + 1</math>. <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> Am Schnittpunkt <math>f(x) = g(x)</math>: :<math>\begin{align} 2x^2 - 3 &= 2x + 1 \\ 2x^2 - 2x - 4 &= 0 \end{align} </math> Die Diskriminante <math>\Delta</math>: <math>\Delta = (-2)^2 - 4 \times 2 \times (-4) = 4 + 32 = 36</math> Da <math>\Delta</math> positiv ist, gibt es zwei Lösungen: <math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{4}</math> Die Lösungen sind <math>x_1=-1</math> und <math>x_2=2</math>. Die entsprechenden <math>y</math>-Werte sind <math>y_1=2x_1+1 = -1</math> und <math>y_2=2x_2 + 1 = 5</math>. <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> schneiden sich also in den Punkten (-1,-1) und (2,5). Die Graphen der Funktionen <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> sind unten dargestellt. [[File:Quadratic equation exercise parabola intersecting line2.png]] </div></div><div class="NavEnd"> </div> === Aufgabe 11 === Bestimme alle Werte von <math>k</math>, für die sich die Parabel <math>f(x) = x^2 + 3x + k</math> und die Gerade <math>g(x) = -x + 1</math> berühren. Berechne die Koordinaten des Berührungspunktes. <div class="NavFrame"><div class="NavHead"> Lösungsvorschlag: </div><div class="NavContent" style="text-align:left"> <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> berühren einander, wenn sie sich in einem einzigen Punkt schneiden. Der Schnittpunkt lässt sich durch Lösen von <math>f(x) = g(x)</math> berechnen: :<math>\begin{align} x^2 + 3 x + k &= -x +1 \\ x^2 + 4 x + k-1 &= 0 \end{align} </math> Die Diskriminante muss null sein: :<math>\begin{align} \Delta = (4)^2 - 4 (k-1) &= 0 \\ 16 - 4 (k-1) &= 0 \\ 4 - (k-1) &= 0 \\ 4 - k + 1 &= 0 \\ k &= 5 \\ \end{align} </math> Die Lösung ist <math>x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2} = -2</math> und der zugehörige <math>y</math>-Wert ist <math>y = -x +1 = 3</math>. <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> berühren einander, wenn <math>k = 5</math> ist, und die Koordinaten des Berührpunkts sind (-2, 3). Die Kurven <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> sind unten für k = 5 dargestellt. [[File:Quadratic equation exercise parabola line tangent.png]] </div></div><div class="NavEnd"> </div> 9bypce3noodmcv0e767b3qkeswb1uil 106 171930 1105990 1105989 2026-07-05T11:59:05Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105990 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201 f.): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei beschreibt ... '''füge ich noch ein.''' Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2019: 201) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. ka6mb6gkz07fqfrqqj28g158k01cbo1 1105991 1105990 2026-07-05T12:00:54Z Clara Schug 41691 /* Literaturverzeichnis */ 1105991 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201 f.): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei beschreibt ... '''füge ich noch ein.''' Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2019: 201) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. emocoojxyvo20w62v1of2c0m44d86hw 1105995 1105991 2026-07-05T12:05:52Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1105995 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho </math>\cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei beschreibt ... '''füge ich noch ein.''' Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. escsi0yjos0nsa88a0mxovepie3jiun 1105997 1105995 2026-07-05T14:11:43Z ~2026-38385-59 41700 /* Kontinuitätsgleichung */ 1105997 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''' -> Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei beschreibt ... '''füge ich noch ein.''' Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. b1kd93fhx5qw6ghkta2ssm4fodlb78p 1106012 1105997 2026-07-05T19:08:16Z Clara Schug 41691 /* 2D-Modellierung */ 1106012 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei beschreibt ... '''füge ich noch ein.''' Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. m4son2njnlgj6efwkg91ac0wxi3h6bq 1106013 1106012 2026-07-05T19:08:35Z Clara Schug 41691 /* Mathematische und physikalische Hintergründe */ 1106013 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei beschreibt ... '''füge ich noch ein.''' Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 3q0jb5afuh590uizxqx1lgzifc4fpkr 1106014 1106013 2026-07-05T19:09:12Z Clara Schug 41691 Änderung [[Special:Diff/1106013|1106013]] von [[Special:Contributions/Clara Schug|Clara Schug]] ([[User talk:Clara Schug|Diskussion]]) rückgängig gemacht. 1106014 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = 2D-Simulation der Ausbreitung von Zigarettenrauch (als Laminar Flow in COMSOL) == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei beschreibt ... '''füge ich noch ein.''' Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. m4son2njnlgj6efwkg91ac0wxi3h6bq 1106015 1106014 2026-07-05T19:09:31Z Clara Schug 41691 /* Mathematische und physikalische Hintergründe */ 1106015 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei beschreibt ... '''füge ich noch ein.''' Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. s8hz83ee78dd0w9gjkc1pk5v7n1976p 1106016 1106015 2026-07-05T19:14:01Z Clara Schug 41691 /* Navier-Stokes-Gleichungen */ 1106016 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== ===Anfangsbedingung=== werden ergänzt ===Randbedingung=== werden ergänzt = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. jafmazi4suynsz2f3en0ybwffs75c1l 1106042 1106016 2026-07-06T11:10:58Z Katharina Müller3203 37345 /* Rand- und Anfangsparameter */ 1106042 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. jiodd3c6z56sfpumupxren69dd54suk 1106043 1106042 2026-07-06T11:17:44Z Katharina Müller3203 37345 /* Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch */ 1106043 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. (ca. 250 sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. imzdahl7mxcqtk6gphh8g7znqm46w5u 1106044 1106043 2026-07-06T11:18:06Z Katharina Müller3203 37345 /* Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch */ 1106044 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = Gesundheitszeug Aspekt Passivrauchen = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 3v8u2nwbzzk5vu0ie82cs2iznk5pf2m 1106046 1106044 2026-07-06T11:19:27Z Katharina Müller3203 37345 /* Relevanz */ 1106046 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Maximilian Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstrom- rauch8,10,16,22–24,38. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 6bmrf8cmvc8q0rpe691si8zse13njrm 1106047 1106046 2026-07-06T11:19:30Z ~2026-38319-60 41704 /* Gruppenteilnehmer */ 1106047 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstrom- rauch8,10,16,22–24,38. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. 364qgly4i0ka5hpfua73qj5b3fomfkz 1106048 1106047 2026-07-06T11:22:18Z Katharina Müller3203 37345 /* Literaturverzeichnis */ 1106048 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstrom- rauch8,10,16,22–24,38. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) edumua4zugx6xu7jcu1awe1y4e2ez49 1106049 1106048 2026-07-06T11:23:23Z ~2026-38319-60 41704 /* Relevanz */ 1106049 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstrom- rauch8,10,16,22–24,38. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) 9e66x7s9s61qmq2pjueyo9udyo5ig3q 1106050 1106049 2026-07-06T11:25:21Z Katharina Müller3203 37345 /* Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch */ 1106050 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstrom- rauch8,10,16,22–24,38. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) 3l5c5dmh9t1i1nihj918qlza40mtwwg 1106052 1106050 2026-07-06T11:28:30Z ~2026-38319-60 41704 /* Literaturverzeichnis */ 1106052 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstrom- rauch8,10,16,22–24,38. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: Dichte, Viskosität,... ggf. Temperatur, Auftrieb === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) fvj8gi74yey266sqkr9n8585kf9ik60 1106056 1106052 2026-07-06T11:39:47Z Katharina Müller3203 37345 /* Materialparameter Zigarettenrauch */ 1106056 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstrom- rauch8,10,16,22–24,38. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || Beispiel |} Für strömungsmechanische Berechnung von Strömungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) qtuf2lcm5j42voygjrjx3lcwhvdi1dy 1106057 1106056 2026-07-06T11:39:57Z Katharina Müller3203 37345 /* Materialparameter Zigarettenrauch */ 1106057 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstrom- rauch8,10,16,22–24,38. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnung von Strömungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) qggeyjatjqcxoo0b54iqbhjon3harvp 1106059 1106057 2026-07-06T11:43:05Z Katharina Müller3203 37345 /* Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch */ 1106059 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstrom- rauch8,10,16,22–24,38. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnung von Strömungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) cdizt4xraw0eqjlwzyh471pv04cci37 1106060 1106059 2026-07-06T11:44:28Z Katharina Müller3203 37345 /* Literaturverzeichnis */ 1106060 wikitext text/x-wiki = Gruppenteilnehmer = * Katharina Müller * Max Groben * Clara Schug = Thema = Ausbreitung von Zigarettenrauch = Fragestellung = * Wie breitet sich Zigarettenrauch in der Umgebung einer rauchenden Person aus? * Wie können sich Nicht-Rauchende Personen in Gegenwart einer rauchenden Person positionieren, damit diese möglichst nicht passiv rauchen? * Wie verändert sich die Aussetzung mit dem Zigarettenqualm, wenn man sich in einem (geschlossenen/teils geschlossenen) Raum (bzw. in der Natur) befindet? = Relevanz = '''Gesundheitszeug''' (ca. 250 Stoffe (teils auch bei der Verbrennung) sind als hochgiftig bzw. krebserregend anzusehen) '''Aspekt Passivrauchen''' (Der Hauptstromrauch, den der Raucher inhaliert, und der Nebenstromrauch, der beim Glimmen der Zigarette während der Rauchpausen entsteht, enthalten beide nahezu die gleichen chemischen Komponenten – aller- dings liegen im Nebenstromrauch einige Substanzen wegen der unvollständigen Verbrennung infolge der nied- rigeren Verbrennungstemperatur in mehr als zehnmal höherer Konzentration vor als im Hauptstrom- rauch8,10,16,22–24,38. Beim Passivrauchen werden der Nebenstromrauch und der vom Raucher wieder aus- geatmete Rauch eingeatmet.) (Kopie aus Deutsches Krebsforschungsszentrum, Heidelberg) Die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen ist ein alltägliches Phänomen und hat eine hohe gesellschaftliche sowie gesundheitliche Bedeutung. Obwohl die Gefahren des aktiven Rauchens allgemein bekannt sind, werden die Auswirkungen des Passivrauchens häufig unterschätzt. Der Rauch enthält viele giftige und krebserregende Stoffe. Schon eine kurze Belastung kann zu gereizten Augen, Husten, Kopfschmerzen oder Schwindel führen. Wer über einen längeren Zeitraum regelmäßig Tabakrauch ausgesetzt ist, hat ein erhöhtes Risiko für Herz-Kreislauf-Erkrankungen, Lungenkrebs und verschiedene Atemwegserkrankungen. Besonders gefährdet sind Kinder, Säuglinge und schwangere Frauen, da Passivrauchen die Gesundheit und Entwicklung von Kindern beeinträchtigen kann. Vor allem in geschlossenen Räumen können sich die Schadstoffe im Tabakrauch länger in der Luft halten und dadurch auch Personen belasten, die selbst nicht rauchen. Im Freien wird der Rauch dagegen durch Wind und Luftbewegungen schneller verteilt und verdünnt. Dennoch stellt sich die Frage, wie groß diese Unterschiede tatsächlich sind und welchen Einfluss Faktoren wie Raumgröße, Luftströmung oder Wind auf die Ausbreitung des Rauchs haben. Im Rahmen dieses Projekts wird deshalb die Ausbreitung von Rauch beim Rauchen in einem geschlossenen Raum mit der Ausbreitung im offenen Raum/im Freien verglichen. Ziel ist es, die Unterschiede mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Dafür wird die Simulationssoftware COMSOL Multiphysics verwendet. = Mathematische und physikalische Hintergründe = == Zigarettenrauch als Gas-Partikel-Gemisch == Es bietet sich an zwischen Haupt- und Nebenstrom zu unterscheiden. Tabakrauch enthält mehr als 4800 Substanzen. Die Meisten entstehen erst durch das Verbrennen des Tabaks. '''Gase (ca. 95%):''' * Stickstoff * Sauerstoff * Kohlendioxid * Kohlenmonoxid * Wasserdampf '''feste/flüssige Aerosolpartikel:''' * Nikotin * Teer * Feinstaub Der Rauch breitet sich durch Luftströmungen aus. Aufgrund der höheren Temperatur steigt er zunächst nach oben (=Auftrieb). Durch Konvektion und Diffusion werden die Teilchen im Raum verteilt. == Physikalische Annahmen == === Materialparameter Zigarettenrauch === wird noch ergänzt: physikalische Eigenschaften des Materials: {| class="wikitable" |+ Physikalische Eigenschaften von Zigarettenrauch |- ! Eigenschaft !! Wert !! Anmerkung |- | Dichte || ca. 1,15-1,30 kg/m^3 || Luft ca. 1,20 kg/m³ bei 20° |- | Viskosität || ca. 1,8-2,0 * 10 ^-5 Pa*s || nahezu Identisch mit Luft; Partikel beeinflussen Viskosität kaum. |- | Ausgeatmeter Rauch || 30-35° || Nähert sich schnell Umgebungstemperatur an. |- | Verbrennungstemperatur || 600-900° || Innerhalb der Zigarette bzw. an der Spitze |- | Partikelgröße || 0,1 -1 µm || |} Für strömungsmechanische Berechnung von Strömungen kann Zigarettenrauch mit den Materialeigenschaften von Luft modelliert werden. === 2D-Modellierung === * '''Simulation in 2D-Geometrie''': Betrachtung der Ausbreitung des Rauchs in waagerechter Ebene; Vernachlässigung senkrechter Strömungen. * Umgebende '''Luft als inkompressibles Newtonsches Fluid'''. Dichte und Viskosität können hier aufgrund der geringen Strömungsgeschwindigkeiten als konstant angenommen werden. * '''Laminare Strömung:''' Luftschichten bewegen sich geordnet und weitgehend ohne Turbulenzen (geringe Strömungsgeschwindigkeiten in ruhender Umgebung) * Die Konzentration des Zigarettenrauchs wird durch die Luftströmung transportiert, ohne die Strömungseigenschaften der Luft wesentlich zu beeinflussen. Chemische Reaktionen sowie Veränderungen der Stoffzusammensetzung werden nicht berücksichtigt. === ( evtl. noch? 3D-Modellierung )=== * '''Wärmeleitungsgleichung''', da Zigarettenrauch deutlich wärmer als die Umgebungsluft ist. Sie berechnet die Temperaturverteilung, Wärmeübertragung und Abkühlung des Rauchs u * Eine Näherung um den '''Auftrieb''' des Rauchs zu beschrieben. Der Auftrieb entsteht durch die geringere Dichte warmer Luft. ==Mathematische und physikalische Hintergründe == ===Benötigte Zusammenhänge und Gleichungen:=== ====laminare und turbulente Strömung ==== Bei einer laminaren Strömung bewegen sich Fluidteilchen in geordneten Bahnen, ohne dass ausgeprägte turbulente Wirbel entstehen. Zur Beurteilung des Strömungszustands wird die [[Reynolds-Zahl]] verwendet: <math>\mathit{Re} = \frac{\rho \, v \, L}{\nu} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des '''Fluids''', <math>v</math> ist die mittlere '''Strömungsgeschwindigkeit''' und <math>L</math> eine '''charakteristische Länge''' des Strömungssystems und die <math>\nu</math> die '''Viskosität''' des Fluids. Grundsätzlich ist die Reynolds-Zahl durch die charakteristische Länge l problemabhängig, sodass <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}</math> keinen harten Übergang von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung markiert, sondern verweist eher auf einen Übergangbereich. Für die meisten Rohre liege der typische Wert bei <math>\mathit{Re}_\mathrm{krit}=2000</math> (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196-198). ''Kleine Reynolds-Zahlen'' sprechen für eine ''laminare Strömung'', während bei ''großen Reynolds-Zahlen'' ''turbulente Strömungen'' auftreten können. Die Annahme einer laminaren Strömung kann insbesondere über den aufgestellten Term der Reynolds-Zahl bei einer geringen Strömungsgeschwindigkeiten und einer kleinen charakteristischen Länge gerechtfertigt werden. ====Kontinuitätsgleichung==== Kontinuität bedeutet umgangssprachlich ausgedrückt "Was irgendwo reingeht, muss auch wieder rauskommen. Und was irgendwo rauskommt, muss irgendwo reingekommen sein" ( Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201). Die Kontinuitätsgleichung wird allgemein formuliert durch: <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math> Hierbei steht <math>\rho</math> für die '''Dichte''' des Fluids. Deren Produkt <math> \rho \cdot \vec v </math> beschreibt den Massenstrom. <math> div </math> steht für den Divergenzoperator. Somit wird durch den ersten Teil des Ausdruck die Änderung der Dichte im Fluid beschrieben und durch den zweiten Ausdruck die Quellstärke des Massenstroms ausgedrückt. Ist der Term <math>\mathit {div(\rho \cdot \vec v) = 0} </math>, bedeutet dies, dass der Massenstrom quellfrei ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 198-201). Für inkompressible Fluide lässt sich basierend auf der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung unter Berücksichtigung weiterer Annahmen ein einfacheres Kontinuitätsgesetz formulieren. Hierbei wird insbesondere davon ausgegangen, dass die Dichte konstant bleibt, also <math>\mathit { \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0} </math> und die Kontinuität kann für diesen Fall alleine über die Ströme beschrieben werden, wobei Volumen- und Massenstrom (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 196) zu allen Zeiten konstant ist (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2019: 201): <math>\mathit { \frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\partial s}{\partial t} \cdot A =v \cdot A = const.} </math> und <math>\mathit { \frac{\partial m}{\partial t} = \rho \cdot \frac{\partial V}{\partial t} = const.} </math> Dabei beschreibt <math>{s}</math> die Strecke der Flussrichtung. Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide zur Beschreibung der Massenerhaltung stellt sicher, dass bei einer inkompressiblen Strömung keine Masse erzeugt oder vernichtet wird. ====Navier-Stokes-Gleichungen==== Die Beschreibung der Impulserhaltung in einem Fluid erfolgt durch die '''Navier-Stokes-Gleichungen''', die in allgemeiner Form folgendermaßen aussehen (vgl. Kommer, Tugendhat & Wahl 2025: 202): <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \vec{v}) + \vec{f}}</math> Dabei ist <math> \lambda </math> die Materialkonstante, die die Elastizität beschreibt und <math> \vec{f} </math> die Volumen kraftdichte, welche auf das komplette Volumen wirkende Kräfte umfasst. Diese Gleichung könnte nach Kommer, Tugendhat & Wahl (2025: 202) analytisch nicht gelöst werden. Daher wird mit einer Vereinfachung gearbeitet, der die Annahme eines inkompressiblen Fluides zu Grunde liegt. Bei der sich daraus ergebende vereinfachten Gleichung entfällt der Term mit der Elastizitätskonstante. Unter bestimmten Voraussetzungen kann die nachfolgende Gleichung zumindest numerisch arbeiten: <math> \mathit{\rho \left( \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \vec{v} + \vec{f}}</math> '''Überleitung und passt das... ''' Die Gleichungen bilden die Grundlage der Fluiddynamik und ermöglichen die Berechnung von * Geschwindigkeit * Druck * Dichte * Impuls innerhalb des betrachteten Gebiets. Die Navier-Stokes-Gleichungen beruhen auf dem Prinzip der ''Impulserhaltung''. Sie beschreiben das Gleichgewicht zwischen den Trägheitskräften der strömenden Luft, dem Druck, der Viskosität und äußeren Kräften (bspw. Schwerkraft). Aus der Lösung der Gleichung ergibt sich die Strömungsgeschwindigkeit an jedem Punkt des Simulationsgebiets. Da eine analytische Lösung der Gleichungen aufgrund der hohen Komplexität nur schwer möglich ist, löst COMSOL diese Gleichungen numerisch mithilfe der ''Finite-Elemente-Methode'': Dabei wird das Simulationsgebiet in eine Vielzahl kleiner Elemente unterteilt, die gemeinsam ein sogenanntes Netz (Mesh) bilden. Innerhalb jedes Elements werden die gesuchten Größen wie Geschwindigkeit, Druck und Rauchkonzentration mithilfe von Ansatzfunktionen angenähert. Durch die Diskretisierung entsteht ein großes Gleichungssystem, das von COMSOL iterativ gelöst wird. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt unter anderem von der Netzqualität und der Größe der einzelnen Elemente ab. Ein feineres Netz liefert in der Regel genauere Ergebnisse, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand. ====Konvektions-Diffusions-Gleichung==== Die mit den Navier-Stokes-Gleichungen berechnete Luftströmung bildet die Grundlage für die Simulation der Rauchausbreitung. Die berechneten Geschwindigkeiten werden verwendet, um den Transport ''(Ausbreitung) des Zigarettenrauchs'' durch Konvektion und Diffusion zu bestimmen. '''Konvektion''' = Mitnahme des Rauchs durch die Luftströmung. '''Diffusion''' = eigenständige, gleichmäßige Ausbreitung des Rauchs infolge Konzentrationsunterschieden. Beide Prozesse wirken gleichzeitig und bestimmen zusammen die räumliche und zeitliche Verteilung des Rauchs. Die '''Konvektions-Diffusions-Gleichung''' zur Beschreibung des Transports von Teilchen in strömenden Medien (hier Luft). '' ((Einfügen Gleichung))'' == Rand- und Anfangsparameter== Damit die mathematischen Gleichungen eindeutig gelöst werden können, müssen geeignete Anfangs- und Randbedingungen definiert werden. ===Anfangsbedingung=== ===Randbedingung=== = Implementierung in Comsol = ''' Dimensionenauswahl''' Zunächst in 2D. Die Ausbreitung des Rauches und der sich dadurch ergebende, sinnvolle Abstand für umstehende Personen kann durch eine Ansicht von oben aus der Vogelperspektive bestimmt werden und entsprechend kann auch ein geeigneter Radius als Abstand um die Person erkennbar sein. ''' Auswahl der Physik-Interfaces''' Auswahl laminarer Strömung: Die Modellierung erfolgte mit laminarer Strömung, da in der Comsol-Classroom-Lizenz keine turbulente Strömung gegeben ist. Genau genommen wäre über die Reynolds-Zahl zu bestimmen, ob es sich dabei um eine laminare oder turbulente Strömung handelt. Insbesondere bei einem geschlossenen Raum ohne Klimaanlage oder Fenster ist davon auszugehen, dass es sich um eine laminare Strömung handelt. In der Natur verhält sich dies anders, zum Beispiel durch Wind. Aber für die Konzentration eines Stoffes könne man dies auch vernachlässigen ... (Schwäche der Modellierung... in Diskussion) ''' Studienart''' ''' Geometrieerstellung''' Folgende Geometrien wurden erstellt: ''' Materialauswahl''' ''' Randbedingungen''' ''' Gittermesh''' = Ergebnisse = = Diskussion = = Fazit = = Literaturverzeichnis = Deutsches Krebsforschungszentrum (Hg.): Tabakrauch - ein Giftgemisch. Heidelberg 2008. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Tabakrauch-ein-Giftgemisch.pdf (06.07.2026) Deutsches Krebsforschungzentrum: Fakten zum Rauchen: Gesundheitsschäden durch Rauchen und Passivrauchen. Heidelberg. https://www.dkfz.de/fileadmin/user_upload/Krebspraevention/Download/pdf/FzR/FzR_2008_Gesundheitsschaeden-durch-Rauchen-und-Passivrauchen.pdf (05.07.2026) Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2019): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 2. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Kommer, C., Tugendhat, T. & Wahl, N. (2025): ''Tutorium Physik fürs Nebenfach. Übersetzt aus dem Unverständlichen''. 3. Auflage. Berlin: Springer Spektrum. Öffentliches Gesundheitsportal Österreichs: Gesundheitsschäden durch Passivrauchen. https://www.gesundheit.gv.at/leben/gesundheitsvorsorge/nichtrauchen/gesundheitsschaeden.html (05.07.2026) ef4puqhdelkbtax33i3qmpt66hw6ezj 0 171932 1105992 2026-07-05T12:02:30Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105992 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} mit Knotenmenge {{mathl|term= \{a,b,c\} |SZ=,}} wobei {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= b |SZ=}} durch eine Kante verbunden sei, und es sei {{math|term= H |SZ=}} der Graph mit der Knotenmenge {{mathl|term= \{1,2,3\} |SZ=,}} wobei {{math|term= 1 |SZ=}} mit {{math|term= 2 |SZ=}} und {{mathl|term= 2 |SZ=}} mit {{math|term= 3 |SZ=}} durch eine Kante verbunden sei. {{ Aufzählung2 |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der Graphhomomorphismen von {{math|term= H |SZ=}} nach {{math|term= G |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} bwas17msmhry38yne5sliro4brrkilb 0 171933 1105996 2026-07-05T12:14:21Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105996 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Wenn {{math|term= a |SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=}} abgebildet wird, so muss {{math|term= b |SZ=}} auf {{math|term= 2 |SZ=}} abgebildet werden, ebenso, wenn {{math|term= a |SZ=}} auf {{math|term= 3 |SZ=}} abgebildet wird. Wenn {{math|term= a |SZ=}} auf {{math|term= 2 |SZ=}} abgebildet wird, so kann {{math|term= b |SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=}} oder {{math|term= 3 |SZ=}} abgebildet werden. In all diesen vier Fällen kann {{math|term= c |SZ=}} auf einen beliebigen Punkt abgebildet werden, es gibt also {{math|term= 12 |SZ=}} Graphhomomorphismen von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=.}} |Wenn {{math|term= 1 |SZ=}} auf {{math|term= a |SZ=}} abgebildet wird, so muss {{math|term= 2 |SZ=}} auf {{math|term= b |SZ=}} abgebildet werden und dann muss {{math|term= 3 |SZ=}} auf {{math|term= a |SZ=}} abgebildet werden. Wenn {{math|term= 1 |SZ=}} auf {{math|term= b |SZ=}} abgebildet wird, so muss {{math|term= 2 |SZ=}} auf {{math|term= a |SZ=}} abgebildet werden und dann muss {{math|term= 3 |SZ=}} auf {{math|term= b |SZ=}} abgebildet werden. Da {{math|term= 1 |SZ=}} nicht auf den isolierten Punkt {{math|term= c |SZ=}} abgebildet werden kann, gibt es {{math|term= 2 |SZ=}} Graphhomomorphismen von {{math|term= H |SZ=}} nach {{math|term= G |SZ=.}} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 5992ic87vlgqd6ebptvwv87d0rknfab 3 171934 1106023 2026-07-06T07:03:46Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1106023 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Loophole2026}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 09:03, 6. Jul. 2026 (CEST) dmh0soer84xrrfcsqkcdf0z1mv3m909 0 171935 1106034 2026-07-06T10:55:03Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1106034 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | V || A \uplus B || || || |SZ= }} eine bipartite Zerlegung und sei {{ Relationskette | a | \in | A || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass durch diese Anfangbedingung die Aufteilung bereits festgelegt ist. Alle Nachbarn von {{math|term= a |SZ=}} müssen zu {{math|term= B |SZ=}} gehören. Alle Nachbarn von diesen Elementen müssen wieder zu {{math|term= A |SZ=}} gehören. Alle Nachbarn von diesen Elementen müssen zu {{math|term= B |SZ=}} gehören, etc. Da {{math|term= G |SZ=}} zusammenhängend ist, erfasst diesr rekursive Prozess letztlich alle Elemente. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} i7755g0a5ykth6nis6do9958ijxvdnj 0 171936 1106045 2026-07-06T11:19:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1106045 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Rekursion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | x_n || x_{n-1} - x_{n-2} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung5/a |Erstelle{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Rekursionsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Rekursion. |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=lineare Rekursion| |SZ= }} zu dieser Rekursion. |Bestimme{{n Sie}} die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. |Bestimme{{n Sie}} die Eigenvektoren zur Rekursionsmatrix. |Bestimme{{n Sie}} die explizite Lösung zu dieser Rekursion für die Anfangsglieder {{ Relationskette | x_0 || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x_1 || 1 || || || |SZ= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} go4rxsz6tk17y92uj5dwvmbmwonrr6f 1106051 1106045 2026-07-06T11:28:11Z Bocardodarapti 2041 1106051 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Rekursion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | x_n || x_{n-1} - x_{n-2} || || || |SZ= }} über {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} {{ Aufzählung5/a |Erstelle{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Rekursionsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Rekursion. |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=lineare Rekursion| |SZ= }} zu dieser Rekursion. |Bestimme{{n Sie}} die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. |Bestimme{{n Sie}} die Eigenvektoren zur Rekursionsmatrix. |Bestimme{{n Sie}} die explizite Lösung zu dieser Rekursion für die Anfangsglieder {{ Relationskette | x_0 || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x_1 || 1 || || || |SZ= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} nvh6tyrtcdymws4opisdvfd0w92q36k 0 171937 1106063 2026-07-06T11:46:21Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1106063 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung5/a |Die Rekursionsmatrix ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|1|-1|1|0}} |SZ=. }} |Das charakteristische Polynom ist {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| {{op:Matrix22|T-1|1|-1|T}} |}} || T(T-1) +1 || T^2-T+1 || || |SZ=. }} |Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind {{ Relationskette/display | \lambda_{1,2} || {{op:Bruch|1 \pm \sqrt{ -3 } | 2 }} || {{op:Bruch|1 \pm \sqrt{ 3 } {{imaginäre Einheit|}} | 2 }} || || |SZ=. }} |Eine Basis aus Eigenvektoren ist {{ mathkor|term1= {{op:Spaltenvektor| 1 + \sqrt{ 3 } {{imaginäre Einheit|}} | 2 }} |und|term2= {{op:Spaltenvektor| 1 - \sqrt{ 3 } {{imaginäre Einheit|}} | 2 }} |SZ=. }} |Wir schreiben {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| 1 | 0 }} || a {{op:Spaltenvektor| 1 + \sqrt{ 3 } {{imaginäre Einheit|}} | 2 }} +b {{op:Spaltenvektor| 1 - \sqrt{ 3 } {{imaginäre Einheit|}} | 2 }} || || || |SZ=. }} Dieses lineare Gleichungssystem besitzt die Lösung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| a | b }} || {{op:Spaltenvektor| - {{op:Bruch| \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} | 6 }} | {{op:Bruch| \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} | 6 }} }} || || || |SZ=. }} Daher ist {{ Relationskette/display | x_n || {{op:Bruch(| 1 + \sqrt{ 3 } {{imaginäre Einheit|}} | 2 }}^n \cdot {{op:Bruch| - \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} | 6 }} {{op:Spaltenvektor| 1 + \sqrt{ 3 } {{imaginäre Einheit|}} | 2 }} + {{op:Bruch(| 1 - \sqrt{ 3 } {{imaginäre Einheit|}} | 2 }}^n \cdot {{op:Bruch| \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} | 6 }} {{op:Spaltenvektor| 1 - \sqrt{ 3 } {{imaginäre Einheit|}} | 2 }} || || || |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} die explizite Lösung. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 85ezw3jw6g45pxyj4v6734wiwjub6uw